คำถาม:

พีระมิดมีระนาบขนานกับฐาน พื้นที่ฐานคือ 1690 dm2 และพื้นที่หน้าตัดคือ 10 dm2 ระนาบตัดแบ่งความสูงของปิรามิดในอัตราส่วนใด

คำตอบ:

ระนาบขนานตัดปิรามิดที่คล้ายกับอันนี้ (h1/h)²=s1/s (h1/h)²=10/1690=1/169 h1/h=√1/169= 1/13 jndtn 1/13

คำถามที่คล้ายกัน

• ทดสอบในหัวข้อ: “การสะกดคำวิเศษณ์” เราตรวจสอบการสะกดคำต่อท้ายคำวิเศษณ์แยกและ การเขียนอย่างต่อเนื่อง ไม่ใช่ด้วยคำวิเศษณ์ ต่อเนื่อง แยก การเขียนคำวิเศษณ์ยัติภังค์ ตัวเลือกที่ 1 1. เปิดวงเล็บ ทำเครื่องหมาย "ล้อที่สาม": ก) นั่ง (ไม่เคลื่อนไหว); เห็น (ไม่) บังเอิญ; ร้องเพลง (ไม่) ดัง; เน้นแถวด้วยคำวิเศษณ์เชิงลบ: ก) ไม่มีอะไร; จากที่ไหนเลย; ไม่มีที่ไหนเลย; ค่อนข้างมาก

บทที่สาม

โพลีเฮดรา

1. ขนานและปิรามิด

คุณสมบัติของส่วนขนานในปิรามิด

74. ทฤษฎีบท. ถ้าเป็นปิรามิด (รูปวาด 83) ตัดกันด้วยระนาบขนานกับฐาน แล้ว:

1) ระนาบนี้แบ่งซี่โครงด้านข้างและความสูงออกเป็นส่วนตามสัดส่วน

2) ในส่วนตัดขวางจะกลายเป็นรูปหลายเหลี่ยม (เอบีซี ), คล้ายกับฐาน

3) พื้นที่หน้าตัดและฐานสัมพันธ์กันเป็นกำลังสองของระยะห่างจากจุดยอด

1) ตรง เกี่ยวกับและ AB ถือได้ว่าเป็นเส้นตัดของระนาบขนานสองระนาบ (ฐานและเส้นตัดขวาง) กับระนาบ ASB ที่สาม นั่นเป็นเหตุผล เกี่ยวกับ||AB (มาตรา 16) ด้วยเหตุผลเดียวกัน ก่อนคริสต์ศักราช|| ก่อนคริสต์ศักราช ซีดี||ซีดี ...และ ที่||เช้า; อันเป็นผลมาจากสิ่งนี้

ส ก / กเอ=ส ข / ขบี=ส ค / คค=...=ส ม / มม

2) จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม ASB และ กส ขจากนั้น BSC และ ขส คฯลฯ เราส่งออก:

เอบี / เกี่ยวกับ= วท / บี- บี.เอส. / บี= พ.ศ / ก่อนคริสต์ศักราช ,

เอบี / เกี่ยวกับ= พ.ศ / ก่อนคริสต์ศักราช

บี.ซี. / ก่อนคริสต์ศักราช=ซีเอส / ซีเอส- ซี.เอส. / ซีเอส= ซีดี / ซีดีจากพ.ศ / ก่อนคริสต์ศักราช= ซีดี / ซีดี .

เราจะพิสูจน์สัดส่วนของด้านที่เหลือของรูปหลายเหลี่ยม ABCDE และ เอบีซี- เนื่องจากยิ่งไปกว่านั้น รูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้มีมุมที่สอดคล้องกันเท่ากัน (ซึ่งเกิดจากด้านที่ขนานกันและมีทิศทางเหมือนกัน) พวกมันจึงคล้ายกัน

3) พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกันสัมพันธ์กันเป็นกำลังสองของด้านที่คล้ายกัน นั่นเป็นเหตุผล

75. ผลที่ตามมา อันที่ถูกต้อง ปิรามิดที่ถูกตัดทอนมีฐานด้านบน รูปหลายเหลี่ยมปกติคล้ายกับฐานล่างและใบหน้าด้านข้างเท่ากันและมีสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว(ภาพวาด 83)

ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูใดๆ เหล่านี้เรียกว่า ระยะกึ่งกลางของตำแหน่งปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ

76. ทฤษฎีบท ถ้าปิรามิดสองตัวที่มีความสูงเท่ากันถูกตัดออกจากด้านบนด้วยระนาบขนานกับฐานในระยะเท่ากัน พื้นที่ของส่วนต่างๆ จะเป็นสัดส่วนกับพื้นที่ของฐาน

ให้ (รูปที่ 84) B และ B 1 เป็นพื้นที่ฐานของปิรามิดสองตัว H คือความสูงของแต่ละปิรามิด ขและ ข 1 - พื้นที่หน้าตัดโดยระนาบขนานกับฐานและลบออกจากจุดยอดในระยะห่างเท่ากัน ชม..

ตามทฤษฎีบทก่อนหน้าเราจะได้:

77. ผลที่ตามมาถ้า B = B 1 แล้ว ข = ข 1 กล่าวคือ หากปิรามิดสองตัวที่มีความสูงเท่ากันมีฐานเท่ากัน ส่วนที่เว้นระยะห่างจากด้านบนเท่ากันก็จะเท่ากันเช่นกัน

คุณจะสร้างปิรามิดได้อย่างไร? บนเครื่องบิน รมาสร้างรูปหลายเหลี่ยมกัน เช่น รูปห้าเหลี่ยม ABCDE ออกจากเครื่องบิน รมาดูจุด S กัน โดยเชื่อมต่อจุด S กับเซ็กเมนต์กับทุกจุดของรูปหลายเหลี่ยม เราจะได้ปิรามิด SABCDE (รูปที่)

จุด S เรียกว่า สูงสุดและรูปหลายเหลี่ยม ABCDE คือ พื้นฐานปิรามิดนี้ ดังนั้น พีระมิดที่มี S บนสุดและฐาน ABCDE คือการรวมกันของทุกส่วนโดยที่ M ∈ ABCDE

สามเหลี่ยม SAB, SBC, SCD, SDE, SEA เรียกว่า ใบหน้าด้านข้างปิรามิดด้านทั่วไปของใบหน้าด้านข้าง SA, SB, SC, SD, SE - ซี่โครงด้านข้าง.

ปิรามิดมีชื่อเรียกว่า สามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม, พีเชิงมุมขึ้นอยู่กับจำนวนด้านของฐาน ในรูป ให้แสดงภาพปิรามิดสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และหกเหลี่ยม

ระนาบที่ผ่านยอดปิรามิดและเส้นทแยงมุมของฐานเรียกว่า เส้นทแยงมุมและส่วนที่ได้ผลลัพธ์ก็คือ เส้นทแยงมุมในรูป 186 หนึ่งในส่วนแนวทแยงของปิรามิดหกเหลี่ยมถูกแรเงา

ส่วนตั้งฉากที่ลากผ่านด้านบนของปิรามิดไปยังระนาบของฐานเรียกว่าความสูงของปิรามิด (ปลายของส่วนนี้คือด้านบนของปิรามิดและฐานของตั้งฉาก)

ปิรามิดมีชื่อว่า ถูกต้องถ้าฐานของปิรามิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและจุดยอดของปิรามิดถูกฉายไว้ที่จุดศูนย์กลาง

ใบหน้าด้านข้างของพีระมิดปกติทุกด้านมีขนาดเท่ากันทุกประการ สามเหลี่ยมหน้าจั่ว- ในพีระมิดปกติ ขอบด้านข้างทุกด้านจะเท่ากันทุกประการ

เรียกว่าความสูงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติที่ดึงมาจากจุดยอด ระยะกึ่งกลางของตำแหน่งปิรามิด เส้นตั้งฉากในพีระมิดปกติทุกเส้นเท่ากันทุกประการ

หากเรากำหนดให้ด้านฐานเป็น กและระยะกึ่งกลางผ่าน ชม.แล้วพื้นที่ด้านหนึ่งของพีระมิดคือ 1/2 อา

ผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดเรียกว่า พื้นที่ผิวด้านข้างพีระมิดและถูกกำหนดโดยด้าน S

เพราะ พื้นผิวด้านข้างพีระมิดปกติประกอบด้วย nใบหน้าที่ตรงกันแล้ว

ด้านเอส = 1/2 อ่าห์= ป ชม. / 2 ,

โดยที่ P คือเส้นรอบวงของฐานของปิรามิด เพราะฉะนั้น,

ด้านเอส =พ ชม. / 2

เช่น. พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดปกติเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและจุดกึ่งกลางของฐาน

พื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิดคำนวณโดยสูตร

S = ส โอค + ฝั่งเอส. -

ปริมาตรของปิรามิดเท่ากับหนึ่งในสามของผลคูณของพื้นที่ฐาน Socn ถึงความสูง H:

V = 1/3 S หลัก เอ็น.

ที่มาของสูตรนี้และสูตรอื่นๆ บางส่วนจะมีให้ในบทต่อๆ ไป

ตอนนี้เรามาสร้างปิรามิดด้วยวิธีที่แตกต่างออกไป ให้กำหนดมุมหลายเหลี่ยม เช่น เพนตาฮีดรัล โดยมีจุดยอด S (รูปที่)

มาวาดเครื่องบินกันเถอะ รเพื่อที่จะตัดขอบทั้งหมดของมุมหลายเหลี่ยมที่กำหนดเข้ามา จุดที่แตกต่างกัน A, B, C, D, E (รูปที่) จากนั้นปิรามิด SABCDE ก็ถือได้ว่าเป็นจุดตัดของมุมหลายเหลี่ยมและครึ่งหนึ่งของปริภูมิที่มีขอบเขต รโดยที่จุดยอด S อยู่

เห็นได้ชัดว่าจำนวนหน้าทั้งหมดของปิรามิดสามารถกำหนดเองได้ แต่ต้องไม่น้อยกว่าสี่หน้า เมื่อมุมสามเหลี่ยมตัดกับระนาบ จะได้ปิรามิดสามเหลี่ยมซึ่งมีสี่ด้าน ฉันรักมัน ปิรามิดสามเหลี่ยมบางครั้งเรียกว่า จัตุรมุขซึ่งหมายถึงจัตุรมุข

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนสามารถรับได้หากปิรามิดตัดกันด้วยระนาบขนานกับระนาบของฐาน

ในรูป ให้ภาพของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปสี่เหลี่ยม

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนเรียกอีกอย่างว่า สามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม, n-gonalขึ้นอยู่กับจำนวนด้านของฐาน จากการก่อสร้างปิรามิดที่ถูกตัดทอนจะมีฐานสองฐาน: บนและล่าง ฐานของปิรามิดที่ถูกตัดทอนนั้นเป็นรูปหลายเหลี่ยมสองอัน ซึ่งด้านข้างขนานกันเป็นคู่ ใบหน้าด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนนั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

ความสูงปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นส่วนตั้งฉากที่ลากจากจุดใดก็ได้ของฐานบนไปยังระนาบของฐานด้านล่าง

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติเรียกว่าส่วนของปิรามิดปกติที่อยู่ระหว่างฐานและระนาบหน้าตัดขนานกับฐาน ความสูงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ (สี่เหลี่ยมคางหมู) เรียกว่า ระยะกึ่งกลางของตำแหน่ง.

สามารถพิสูจน์ได้ว่าปิรามิดที่ถูกตัดปลายปกติมีขอบด้านข้างที่เท่ากันทุกประการ ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเท่ากันทุกประการ และเส้นตั้งฉากในเท่ากันทั้งหมดเท่ากันทุกประการ

หากถูกตัดทอนให้ถูกต้อง n- ปิรามิดถ่านหินผ่าน กและ บีเอ็นระบุความยาวของด้านข้างของฐานบนและล่างและผ่าน ชม.คือความยาวของเส้นเอพเธม แล้วพื้นที่ของหน้าพีระมิดแต่ละด้านจะเท่ากับ

1 / 2 (ก + บีเอ็น) ชม.

ผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดเรียกว่าพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างและถูกกำหนดให้เป็นด้าน S - เห็นได้ชัดว่าสำหรับการตัดทอนที่ถูกต้อง n-ปิรามิดถ่านหิน

ด้านเอส - n 1 / 2 (ก + บีเอ็น) ชม..

เพราะ ต่อปี= ป และ ไม่มี= P 1 - เส้นรอบวงของฐานของปิรามิดที่ถูกตัดทอนแล้ว

ด้านเอส = 1/2 (พี + พี 1) ชม,

นั่นคือพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของผลรวมของเส้นรอบวงของฐานและระยะกึ่งกลางของฐาน

ส่วนขนานกับฐานของปิระมิด

ทฤษฎีบท. หากปิรามิดตัดกันด้วยระนาบขนานกับฐาน แล้ว:

1) ซี่โครงด้านข้างและความสูงจะแบ่งออกเป็นส่วนตามสัดส่วน

2) ในหน้าตัดคุณจะได้รูปหลายเหลี่ยมคล้ายกับฐาน

3) พื้นที่หน้าตัดและฐานมีความสัมพันธ์กันเป็นรูปกำลังสองของระยะห่างจากด้านบน

ก็เพียงพอแล้วที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทของปิรามิดสามเหลี่ยม

เนื่องจากระนาบขนานตัดกันด้วยระนาบที่สามตามเส้นขนาน ดังนั้น (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (ก 1 ค 1) (รูปที่)

เส้นขนานจะตัดด้านข้างของมุมออกเป็นส่วนๆ ตามสัดส่วน ดังนั้น

$$ \frac(\left|(SA)\right|)(\left|(SA_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1)\right| )=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

ดังนั้น ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 และ

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1 )\right|) $$

ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 และ

$$ \frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_(1)C_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1 )\right|)=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

ดังนั้น,

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_ (1)C_1)\right|)=\frac(\left|(AC)\right|)(\left|(A_(1)C_1)\right|) $$

มุมที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 มีความเท่ากันทุกประการ เช่น มุมที่มีด้านขนานกันและด้านเท่ากัน นั่นเป็นเหตุผล

∆ABC ~ ∆A 1 B 1 C 1

พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่คล้ายกันสัมพันธ์กันเป็นกำลังสองของด้านที่ตรงกัน:

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SH)\right|)(\left|(SH_1 )\right|) $$

เพราะฉะนั้น,

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$

ทฤษฎีบท. ถ้าปิรามิดสองตัวที่มีความสูงเท่ากันถูกตัดออกจากด้านบนด้วยระนาบขนานกับฐานในระยะเท่ากัน พื้นที่ของส่วนต่างๆ จะเป็นสัดส่วนกับพื้นที่ของฐาน

ให้ (รูปที่ 84) B และ B 1 เป็นพื้นที่ฐานของปิรามิดสองตัว H คือความสูงของแต่ละปิรามิด ขและ ข 1 - พื้นที่หน้าตัดโดยระนาบขนานกับฐานและลบออกจากจุดยอดในระยะห่างเท่ากัน ชม..

ตามทฤษฎีบทก่อนหน้าเราจะได้:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: และ \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
ที่ไหน
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: หรือ \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

ผลที่ตามมาถ้า B = B 1 แล้ว ข = ข 1 กล่าวคือ หากปิรามิดสองตัวที่มีความสูงเท่ากันมีฐานเท่ากัน ส่วนที่เว้นระยะห่างจากด้านบนเท่ากันก็จะเท่ากันเช่นกัน

วัสดุอื่นๆ

- showPlots(;0 noAxes0 );

ข้าว. 1.10: สี่เหลี่ยมขนานกัน

1.3 คุณสมบัติของส่วนขนานในปิรามิด

1.3.1 ทฤษฎีบทเรื่องการตัดในปิรามิด

หากปิรามิด (1.11) ตัดกันด้วยระนาบขนานกับฐาน ดังนั้น:

1) ระนาบนี้แบ่งซี่โครงด้านข้างและความสูงออกเป็นส่วนตามสัดส่วน

2) ในหน้าตัดจะได้รูปหลายเหลี่ยม (abcde) คล้ายกับฐาน

3) พื้นที่หน้าตัดและฐานสัมพันธ์กันเป็นกำลังสองของระยะห่างจากจุดยอด

1) เส้นตรง ab และ AB ถือได้ว่าเป็นเส้นตัดกันของระนาบขนานสองเส้น (ฐานและเส้นตัด) กับระนาบ ASB ที่สาม ดังนั้น abkAB ด้วยเหตุผลเดียวกัน bckBC, cdkCD.... และ amkAM; อันเป็นผลมาจากสิ่งนี้

AA Sa = bB Sb = cC Sc = ::: = mM Sm :

2) จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม ASB และ aSb จากนั้น BSC และ bSc ฯลฯ เราได้มา:

AB ab = BS BS ; BS BS = BC ก่อนคริสต์ศักราช ;

AB ab = BC บีซี :

ก่อนคริสต์ศักราช bc = ซีเอส ซีเอส ; CS cS = ซีดี ซีดี ;

BC bc = ซีดี ซีดี

นอกจากนี้ เราจะพิสูจน์สัดส่วนของด้านที่เหลือของรูปหลายเหลี่ยม ABCDE และ abcde เนื่องจากนอกจากนี้ รูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้มีมุมที่เท่ากัน (ซึ่งประกอบขึ้นด้วยด้านที่ขนานกันและมีทิศทางเหมือนกัน) ดังนั้น พวกมันจึงคล้ายกัน พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกันสัมพันธ์กันเป็นกำลังสองของด้านที่คล้ายกัน นั่นเป็นเหตุผล

AB ab = AS = M msS ;

set2D(1; 9; 1; 14);

;0 ขีด0 );

;0 ขีด0 );

			ข้าว. 1.11: พีระมิด
p5 = จุดพล็อต (

[ 0A 0; 0 บี 0; 0 ค 0; 0 วัน 0; 0 อี 0; 0 ถึง 0; 0 ข 0; 0 ค 0; 0 วัน 0; 0 ม 0; 0 ม. 0; 0 วิ 0];

- showPlots(;0 noAxes0 );

1.3.2 ผลที่ตามมา

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนแบบปกติจะมีฐานด้านบนซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติคล้ายกับฐานด้านล่าง และด้านด้านข้างมีขนาดเท่ากันและมีสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว (1.11)

ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูเหล่านี้เรียกว่าจุดกึ่งกลางของพีระมิดที่ถูกตัดทอนปกติ

1.3.3 ทฤษฎีบทส่วนขนานในปิรามิด

ถ้าปิรามิดสองตัวที่มีความสูงเท่ากันถูกตัดออกจากด้านบนด้วยระนาบขนานกับฐานในระยะเท่ากัน พื้นที่ของส่วนต่างๆ จะเป็นสัดส่วนกับพื้นที่ของฐาน

ให้ (1.12) B และ B1 เป็นพื้นที่ฐานของปิรามิด 2 ชิ้น โดย H เป็นความสูงของแต่ละปิรามิด b และ b1 เป็นพื้นที่หน้าตัดโดยระนาบที่ขนานกับฐาน และแยกออกจากจุดยอดที่ระยะ h เท่ากัน

ตามทฤษฎีบทก่อนหน้าเราจะได้:

H2 B1

set2D(2; 36; 2; 23);

23 );

p10 = ตารางพล็อต (			;0 ลูกศร0 );

p11 = ตารางพล็อต (			;0 ลูกศร0 );

p12 = ตารางพล็อต (			;0 ลูกศร0 );

p13 = ตารางพล็อต (			;0 ลูกศร0 );

p14 = ตารางพล็อต (				;0 ขีด0 );