กฎการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ หัวข้อ: "กฎของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์" - คำจำกัดความเอกสารของจำนวนธรรมชาติ, กฎของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์

ในอนาคตเมื่อเราศึกษาการกระทำกับตัวเลขที่แสดงด้วยตัวเลขหรือตัวอักษร (ไม่สำคัญ) เราจะต้องอาศัยข้อสรุปหลายประการเกี่ยวกับกฎแห่งการกระทำที่ศึกษาในทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากความสำคัญของกฎหมายเหล่านี้ จึงเรียกว่ากฎพื้นฐานแห่งการกระทำ

มาเตือนพวกเขากันเถอะ

1. กฎการสับเปลี่ยนของการบวก

ผลรวมจะไม่เปลี่ยนแปลงหากลำดับของข้อกำหนดมีการเปลี่ยนแปลง

กฎหมายนี้ได้เขียนไว้ในมาตรา 1 ในรูปแบบของความเท่าเทียมกันแล้ว:

โดยที่ a และ เป็นตัวเลขใดๆ

จากเลขคณิต เรารู้ว่ากฎการสับเปลี่ยนเป็นจริงสำหรับผลรวมของเทอมจำนวนเท่าใดก็ได้

2. กฎการบวกของการบวก

ผลรวมของคำศัพท์หลายคำจะไม่เปลี่ยนแปลงหากกลุ่มของคำศัพท์ที่อยู่ติดกันถูกแทนที่ด้วยผลรวม

สำหรับผลรวมของสามเทอมเรามี:

ตัวอย่างเช่น สามารถคำนวณจำนวนเงินได้สองวิธี:

กฎหมายการรวมกันมีผลใช้ได้สำหรับข้อกำหนดจำนวนเท่าใดก็ได้

ดังนั้น ในผลรวมของสี่เทอม เทอมที่อยู่ติดกันสามารถรวมกันเป็นกลุ่มได้ตามต้องการ และเทอมเหล่านี้สามารถแทนที่ด้วยผลรวมได้:

ตัวอย่างเช่น เราจะได้เลข 16 เท่ากัน ไม่ว่าเราจะจัดกลุ่มคำที่อยู่ติดกันอย่างไร:

กฎการสับเปลี่ยนและกฎการเชื่อมโยงมักใช้ในการคำนวณทางจิต โดยจัดเรียงตัวเลขเพื่อให้ง่ายต่อการบวกเข้าไปในใจ

ลองสลับสองเทอมสุดท้ายแล้วได้:

การเพิ่มตัวเลขตามลำดับนี้ง่ายกว่ามาก

โดยปกติแล้วคำศัพท์จะไม่ถูกเขียนใหม่ในลำดับใหม่ แต่จะถูกกระตุ้นในใจ: จัดเรียง 67 และฉันใหม่ทางจิตใจ เพิ่ม 89 และ 11 ทันทีแล้วเพิ่ม 67

เพื่อให้ง่ายต่อการเพิ่มตัวเลขเหล่านี้ในหัวของคุณ เรามาเปลี่ยนลำดับของคำดังนี้:

เมื่อใช้กฎการรวมกัน เราจะใส่คำสองคำสุดท้ายไว้ในวงเล็บ:

การบวกตัวเลขในวงเล็บเป็นเรื่องง่าย เราได้:

3. กฎการคูณของการคูณ

ผลิตภัณฑ์ไม่เปลี่ยนแปลงขึ้นอยู่กับลำดับของปัจจัย:

มีตัวเลขอยู่ไหน

จากการคำนวณ เป็นที่ทราบกันว่ากฎการสับเปลี่ยนเป็นจริงสำหรับผลคูณของตัวประกอบจำนวนเท่าใดก็ได้

4. กฎการรวมกันของการคูณ

ผลคูณของปัจจัยหลายประการจะไม่เปลี่ยนแปลงหากกลุ่มของปัจจัยที่อยู่ติดกันถูกแทนที่ด้วยผลคูณของมัน

สำหรับผลคูณของปัจจัยสามประการที่เรามี:

ตัวอย่างเช่น ผลคูณของสามปัจจัย 5-3-4 สามารถคำนวณได้ดังนี้:

สำหรับผลคูณของปัจจัยสี่ประการที่เรามี:

ตัวอย่างเช่น จะได้เลข 20 เท่ากันกับการจัดกลุ่มของตัวประกอบที่อยู่ติดกัน:

การใช้กฎการคูณแบบสับเปลี่ยนและแบบเชื่อมโยงมักจะทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก

การคูณ 25 ด้วย 37 ไม่ใช่เรื่องง่าย ลองย้ายสองปัจจัยสุดท้าย:

ตอนนี้การคูณสามารถทำได้อย่างง่ายดายในหัวของคุณ

แน่นอนว่าในระหว่างการพัฒนาทางประวัติศาสตร์ พวกมันได้เพิ่มและทวีคูณมาเป็นเวลานานโดยที่ไม่ตระหนักถึงกฎเกณฑ์ที่ปฏิบัติการเหล่านี้ต้องปฏิบัติตาม เฉพาะในช่วงทศวรรษที่ 20 และ 30 ของศตวรรษก่อนหน้าเท่านั้นที่นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสและอังกฤษส่วนใหญ่เข้าใจคุณสมบัติพื้นฐานของการดำเนินการเหล่านี้ ใครก็ตามที่ต้องการทำความคุ้นเคยกับประวัติความเป็นมาของปัญหานี้โดยละเอียดยิ่งขึ้น ผมขอแนะนำได้ที่นี่ เพราะผมจะทำซ้ำๆ กันใน "สารานุกรมวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์" ขนาดใหญ่ด้านล่างนี้

กลับมาที่หัวข้อของเรา ตอนนี้ผมหมายถึงแจกแจงกฎพื้นฐานทั้งห้าข้อที่การบวกลดน้อยลง:

1) แทนตัวเลขเสมอ กล่าวอีกนัยหนึ่งการกระทำของการบวกนั้นเป็นไปได้เสมอโดยไม่มีข้อยกเว้นใด ๆ (ซึ่งตรงข้ามกับการลบซึ่งไม่สามารถทำได้ในพื้นที่ของจำนวนบวก)

2) จำนวนเงินจะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกันเสมอ

3) มีกฎหมายผสมหรือเชื่อมโยง: ดังนั้นจึงสามารถละเว้นวงเล็บทั้งหมดได้

4) มีกฎหมายสับเปลี่ยนหรือสับเปลี่ยน:

5) กฎแห่งความน่าเบื่อหน่ายถือ: ถ้า แล้ว .

คุณสมบัติเหล่านี้เป็นที่เข้าใจได้โดยไม่ต้องอธิบายเพิ่มเติมหากเรามีการแสดงตัวเลขเป็นปริมาณต่อหน้าต่อตาเรา แต่จะต้องแสดงออกอย่างเป็นทางการอย่างเคร่งครัดเพื่อให้สามารถพึ่งพาในการพัฒนาทฤษฎีเชิงตรรกะที่เข้มงวดต่อไปได้

สำหรับการคูณ ประการแรกมีกฎห้าข้อที่คล้ายกับกฎที่ระบุไว้ข้างต้น:

1) มีตัวเลขเสมอ

2) ผลิตภัณฑ์ไม่คลุมเครือ

3) กฎของการรวมกัน:

4) กฎแห่งการเคลื่อนไหว:

5) กฎแห่งความน่าเบื่อ: ถ้า แล้ว

ในที่สุด ความเชื่อมโยงระหว่างการบวกและการคูณถูกกำหนดขึ้นโดยกฎข้อที่หก:

6) กฎการกระจายหรือการกระจาย:

เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจว่าการคำนวณทั้งหมดเป็นไปตามกฎหมาย 11 ประการนี้เท่านั้น ฉันจะจำกัดตัวเองให้เป็นเพียงตัวอย่างง่ายๆ เช่น คูณเลข 7 ด้วย 12

ตามกฎหมายว่าด้วยการจำหน่าย

ในการสนทนาสั้นๆ นี้ แน่นอนว่า คุณจะจดจำแต่ละขั้นตอนที่เราดำเนินการเมื่อคำนวณในระบบทศนิยม ฉันจะปล่อยให้คุณคิดหาตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้ด้วยตัวเอง ที่นี่เราจะแสดงเฉพาะผลลัพธ์โดยสรุป: การคำนวณแบบดิจิทัลของเราประกอบด้วยการนำข้อกำหนดพื้นฐานทั้ง 11 ประการที่ระบุไว้ข้างต้นไปใช้ใหม่ เช่นเดียวกับการนำผลลัพธ์ของการดำเนินการไปใช้กับตัวเลขหลักเดียว (ตารางบวกและตารางสูตรคูณ) ที่เรียนรู้จากใจ .

อย่างไรก็ตาม กฎแห่งความซ้ำซากจำเจนำไปใช้ได้ที่ไหน? ในการคำนวณแบบธรรมดาและเป็นทางการ เราไม่ได้พึ่งพาการคำนวณเหล่านี้จริงๆ แต่กลับกลายเป็นว่าจำเป็นสำหรับปัญหาที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย ฉันขอเตือนคุณถึงวิธีการนับทศนิยมที่เรียกว่าการประมาณมูลค่าของผลิตภัณฑ์และความฉลาดทาง นี่เป็นเทคนิคที่มีความสำคัญในทางปฏิบัติมากที่สุดซึ่งน่าเสียดายที่โรงเรียนและในหมู่นักเรียนยังไม่เป็นที่รู้จักเพียงพอแม้ว่าพวกเขาจะพูดถึงเรื่องนี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่สองเป็นครั้งคราวก็ตาม ผมจะจำกัดตัวเองไว้เพียงตัวอย่างเท่านั้น สมมติว่าเราจำเป็นต้องคูณ 567 ด้วย 134 และในตัวเลขเหล่านี้ ตัวเลขของหน่วยต่างๆ ถูกสร้างขึ้น - กล่าวคือ ผ่านการวัดทางกายภาพ - เพียงแต่ไม่แม่นยำเท่านั้น ในกรณีนี้ การคำนวณผลิตภัณฑ์ที่มีความแม่นยำโดยสมบูรณ์จะไม่มีประโยชน์อย่างยิ่ง เนื่องจากการคำนวณดังกล่าวยังไม่รับประกันเราถึงมูลค่าที่แน่นอนของตัวเลขที่เราสนใจ แต่สิ่งที่สำคัญมากสำหรับเราคือการรู้ลำดับความสำคัญของผลิตภัณฑ์ กล่าวคือ เพื่อกำหนดว่าตัวเลขนั้นอยู่ภายในจำนวนหลักสิบหรือร้อยเท่าใด แต่กฎของความซ้ำซากจำเจให้การประมาณค่านี้แก่คุณโดยตรง เนื่องจากตามมาด้วยจำนวนที่ต้องการอยู่ระหว่าง 560-130 ถึง 570-140 ฉันฝากการพัฒนาเพิ่มเติมของข้อควรพิจารณาเหล่านี้ไว้ให้คุณเองอีกครั้ง

ไม่ว่าในกรณีใด คุณจะเห็นว่าในการ "ประมาณการคำนวณ" คุณต้องใช้กฎแห่งความซ้ำซากจำเจอยู่เสมอ

สำหรับการประยุกต์สิ่งเหล่านี้จริง ๆ ในการสอนในโรงเรียน ไม่มีข้อสงสัยใด ๆ เกี่ยวกับการอธิบายกฎพื้นฐานของการบวกและการคูณอย่างเป็นระบบ ครูสามารถอาศัยกฎแห่งการรวมกัน การสับเปลี่ยน และการแจกแจงเท่านั้น และต่อเมื่อไปสู่การคำนวณตามตัวอักษรเท่านั้น โดยอนุมานจากตัวอย่างเชิงตัวเลขที่เรียบง่ายและชัดเจนตามหลักสำนึกเท่านั้น

วิธีการบวกจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบช่วยให้เราสามารถยืนยันกฎการบวกที่รู้จักกันดี: การสับเปลี่ยนและการรวมกัน

ก่อนอื่นให้เราพิสูจน์กฎการสับเปลี่ยน กล่าวคือ เราพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบใดๆ a และ b ความเท่าเทียมกัน a + b = b + a คงอยู่

ให้ a เป็นจำนวนสมาชิกในชุด A, b เป็นจำนวนสมาชิกในชุด B และ A B=0 จากนั้น ตามนิยามของผลรวมของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ a + b คือจำนวนสมาชิกของเซต A และ B: a + b = n (A//B) แต่เซต A B เท่ากับเซต B A ตามสมบัติการสับเปลี่ยนของเซตของเซต และ ดังนั้น n(AU B) = n(B U A) ตามนิยามของผลรวม n(BiA) = b + a ดังนั้น a+b=b+a สำหรับจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ใช่ลบ a และ b

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์กฎการรวมกัน กล่าวคือ เราพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบใดๆ a, b, c ความเท่าเทียมกัน (a + b) + c = a + (b + c) ถืออยู่

ให้ a = n(A), b = n(B), c = n(C) และ АУВ = 0, ВУС = 0 จากนั้น เมื่อนิยามผลรวมของตัวเลขสองตัว เราสามารถเขียน (a+ b)+ ได้ c = n(A/ /)B) + p(C) = p((AUBUC)

เนื่องจากการรวมกันของเซตเป็นไปตามกฎการรวมกัน ดังนั้น n((AUB)U C) = n(A U(BUC)) โดยที่ ตามนิยามผลรวมของตัวเลขสองตัว เราจะได้ n (A J(BUC)) = n (A) + n (BU C) = a + (b + c) ดังนั้น (a+ b)+ c -- a+(b + c) สำหรับจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ใช่ลบ a, b และ c

กฎการบวกแบบร่วมมีจุดประสงค์อะไร? เขาอธิบายว่าคุณสามารถหาผลรวมของคำศัพท์สามคำได้อย่างไร โดยทำเพียงแค่บวกเทอมแรกกับเทอมที่สองแล้วบวกเทอมที่สามเข้ากับตัวเลขผลลัพธ์ หรือบวกเทอมแรกเข้ากับผลรวมของเทอมที่สองและสาม โปรดทราบว่ากฎหมายการรวมกันไม่ได้หมายความถึงการจัดเรียงข้อกำหนดใหม่

ทั้งกฎการสับเปลี่ยนและกฎการบวกสามารถสรุปเป็นเงื่อนไขจำนวนเท่าใดก็ได้ ในกรณีนี้ กฎการสับเปลี่ยนจะหมายความว่าผลรวมไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการจัดเรียงคำศัพท์ใหม่ และกฎการเชื่อมโยงจะหมายความว่าผลรวมไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการจัดกลุ่มคำศัพท์ใดๆ (โดยไม่เปลี่ยนลำดับ)

จากกฎการสับเปลี่ยนและกฎการบวกของการบวก จะตามมาว่าผลรวมของคำศัพท์หลายคำจะไม่เปลี่ยนแปลงหากจัดเรียงใหม่ไม่ว่าด้วยวิธีใดก็ตาม และหากมีกลุ่มใดกลุ่มหนึ่งอยู่ในวงเล็บ

ลองคำนวณโดยใช้กฎการบวกค่าของนิพจน์ 109 + 36+ 191 +64 + 27

ตามกฎการสับเปลี่ยน เราจัดเรียงพจน์ 36 และ 191 ใหม่ จากนั้น 109 + 36+191+64 + 27= 109+191+36 + 64 + 27

ลองใช้กฎการรวมกัน จัดกลุ่มพจน์ แล้วหาผลรวมในวงเล็บ: 109+ 191 +36 + 64 + 27 ==(109 + 191) + (36 + 64) + 27 = 300 + 100 + 27

ลองใช้กฎการรวมกันอีกครั้ง โดยใส่ผลรวมของตัวเลข 300 และ 100 ในวงเล็บ: 300+ 100 + 27 = (300+ 100) + 27

มาคำนวณกัน: (300+ 100)+ 27 = 400+ 27 = 427

นักเรียนชั้นประถมศึกษาจะคุ้นเคยกับสมบัติการสับเปลี่ยนของการบวกเมื่อศึกษาตัวเลขสิบตัวแรก ขั้นแรกจะใช้เพื่อสร้างตารางการบวกหลักเดียว จากนั้นจึงหาเหตุผลเข้าข้างตนเองในการคำนวณต่างๆ

กฎการบวกเชิงผสมไม่ได้ถูกศึกษาอย่างชัดเจนในวิชาคณิตศาสตร์เบื้องต้น แต่มีการใช้อยู่ตลอดเวลา ดังนั้นจึงเป็นพื้นฐานสำหรับเทคนิคการบวกตัวเลขทีละส่วน: 3 + 2 = 3 + (1 + 1) = (3+ 1)+ 1 =4+ 1 =5 นอกจากนี้ ในกรณีที่จำเป็นต้องบวกตัวเลขเข้ากับผลรวม ผลรวมต่อตัวเลข ผลรวมต่อผลรวม กฎการเชื่อมโยงก็ใช้ควบคู่กับกฎการสับเปลี่ยน ตัวอย่างเช่น การบวกผลรวม 2+1 เข้ากับเลข 4 เสนอด้วยวิธีต่อไปนี้:

1) 4 + (2+1) = 4 + 3 = 7;

4+2+ 1 = 6+1 =7;

4 + (2+1) = 5 + 2 = 7.

มาวิเคราะห์วิธีการเหล่านี้กัน กรณีที่ 1 ให้คำนวณตามขั้นตอนที่กำหนด ในกรณีที่ 2 จะใช้คุณสมบัติการเชื่อมโยงของการบวก การคำนวณในกรณีหลังจะขึ้นอยู่กับกฎการสับเปลี่ยนและกฎการเชื่อมโยงของการบวก และละเว้นการแปลงระดับกลาง พวกเขาเป็นเช่นนั้น อย่างแรก ตามกฎการสับเปลี่ยน เราสลับเทอม 1 และ 2: 4+(2-1) = 4 + (1+2) จากนั้นเราใช้กฎการรวมกัน: 4 + (1 +2) = (4+ 1) + 2 และสุดท้าย เราก็ทำการคำนวณตามลำดับการดำเนินการ (4 +1)+ 2 = 5 + 2 = 7

กฎสำหรับการลบตัวเลขจากผลรวมและผลรวมจากตัวเลข

ขอให้เราพิสูจน์กฎที่ทราบในการลบตัวเลขจากผลรวมและผลรวมจากตัวเลข

กฎการลบตัวเลขออกจากผลรวม หากต้องการลบตัวเลขออกจากผลรวม ก็เพียงพอที่จะลบตัวเลขนี้ออกจากเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งแล้วบวกอีกเทอมหนึ่งเข้ากับผลลัพธ์ที่ได้

ลองเขียนกฎนี้โดยใช้สัญลักษณ์: ถ้า a, b, c เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ แล้ว:

ก) สำหรับ a>c เรามี (a+b) -- c = (a -- c)+b;

b) สำหรับ b>c เรามีว่า (a+b) -- c==a + (b -- c);

c) สำหรับ a>c และ b>c คุณสามารถใช้สูตรใดก็ได้เหล่านี้

ปล่อยให้ a >c ดังนั้นความแตกต่าง a -c จึงมีอยู่ ให้เราเขียนแทนด้วย p: a - c = p ดังนั้น a = p+c แทนผลรวม p+-c แทน a ลงในนิพจน์ (a+b) -- c แล้วแปลงมัน: (a + 6) --c = (p + c+b) -- c = p+b+-c - - ค = พี+ข

แต่ตัวอักษร p แสดงถึงความแตกต่าง a - c ซึ่งหมายความว่าเรามี (a + b) - - c = (a - c) + b ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

การให้เหตุผลแบบเดียวกันนี้ใช้กับกรณีอื่น ๆ ให้เราอธิบายกฎนี้ (กรณี "a") โดยใช้วงกลมออยเลอร์ ขอให้เราใช้เซตจำกัดสามเซต A, B และ C โดยที่ n(A) = a, n(B) = b, n(C) = c และ AUB = 0, CUA จากนั้น (a+b) - c คือจำนวนองค์ประกอบของเซต (AUB)C และตัวเลข (a - c) + b คือจำนวนองค์ประกอบของเซต (AC)UB บนวงกลมออยเลอร์ เซต (AUB)C จะแสดงด้วยพื้นที่แรเงาดังแสดงในรูป

เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าเซต (AC)UB จะแสดงด้วยพื้นที่เดียวกันทุกประการ ดังนั้น (AUB)C = (AC)UB สำหรับข้อมูล

เซต A, B และ C ดังนั้น n((AUB)C) = n((AC)UB)u (a + b) - c - (a - c) + b

กรณี “b” สามารถอธิบายได้เช่นเดียวกัน

กฎสำหรับการลบผลรวมจากตัวเลข หากต้องการลบผลรวมของตัวเลขออกจากตัวเลข ก็เพียงพอที่จะลบออกจากจำนวนนี้ทีละเทอม เช่น ถ้า a, b, c เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ดังนั้นสำหรับ a>b+c เราจะได้ a--( ข+ค ) = (ก - ข) - ค.

เหตุผลสำหรับกฎนี้และภาพประกอบทางทฤษฎีเซตนั้นดำเนินการในลักษณะเดียวกับกฎสำหรับการลบตัวเลขออกจากผลรวม

กฎที่ให้มาจะมีการพูดคุยกันในโรงเรียนประถมศึกษาโดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง และใช้รูปภาพเพื่อพิสูจน์เหตุผล กฎเหล่านี้อนุญาตให้คุณคำนวณอย่างมีเหตุผล ตัวอย่างเช่น กฎสำหรับการลบผลรวมจากตัวเลขรองรับเทคนิคการลบตัวเลขตามส่วน:

5-2 = 5-(1 + 1) = (5-1)-1=4-1=3.

ความหมายของกฎข้างต้นได้รับการเปิดเผยอย่างดีเมื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบต่างๆ เช่น ปัญหา “ในตอนเช้ามีเรือประมงเล็ก 20 ลำ และเรือใหญ่ 8 ลำออกสู่ทะเล กลับเรือแล้ว 6 ลำ ยังมีเรือประมงอีกกี่ลำที่ต้องกลับ? สามารถแก้ไขได้สามวิธี:

/ ทาง. 1. 20 + 8 = 28 2. 28 -- 6 = 22

// ทาง. 1. 20 -- 6=14 2. 14 + 8 = 22

วิธีการที่สาม 1. 8 -- 6 = 2 2. 20 + 2 = 22

กฎการคูณ

ขอให้เราพิสูจน์กฎของการคูณตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ผ่านผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต

1. กฎการสับเปลี่ยน: สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ a และ b ความเท่าเทียมกัน a*b = b*a จะเป็นจริง

ให้ a = n(A), b = n(B) จากนั้น ตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ a*b = n(A*B) แต่เซต A*B และ B*A มีพลังเท่ากัน แต่ละคู่ (a, b) จากเซต AXB สามารถเชื่อมโยงกับคู่เดียว (b, a) จากเซต BxA และในทางกลับกัน ซึ่งหมายความว่า n(AXB) = n(BxA) ดังนั้น a-b = n (AXB) = n (BXA) = b-a

2. กฎการรวมกัน: สำหรับจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ใช่ลบ a, b, c ความเท่าเทียมกัน (a* b) *c = a* (b*c) เป็นจริง

ให้ a = n(A), b = n(B), c = n(C) จากนั้น ตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ (a-b)-c = n((AXB)XQ, a-(b -c) = n (AX(BXQ) เซต (AxB)XC และ A X (BX Q นั้นแตกต่างกัน: อันแรกประกอบด้วยคู่ของแบบฟอร์ม ((a, b), c) และอันที่สอง - จากคู่ของแบบฟอร์ม (a, (b, c)) โดยที่ aЈA, bЈB, cЈC แต่เซต (AXB)XC และ AX(BXC) มีค่าเท่ากัน เนื่องจากมีการจับคู่ระหว่างชุดหนึ่งกับอีกชุดหนึ่ง ดังนั้น n((AXB) *C) = n(A*(B*C)) และด้วยเหตุนี้ ( ก*ข) *ค = ก* (ข*ค)

3. กฎการกระจายของการคูณสัมพันธ์กับการบวก: สำหรับจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ใช่ลบ a, b, c ความเท่าเทียมกัน (a + b) x c = ac+ be เป็นจริง

กำหนดให้ a - n (A), b = n (B), c = n (C) และ AUB = 0 จากนั้น ตามนิยามของผลิตภัณฑ์ เราจะได้ (a + b) x c = n ((AUB) * C. จากที่ใด ตามความเท่าเทียมกัน (*) เราได้ n ((A UВ) * C) = n((A * C)U(B* C)) จากนั้นตามคำจำกัดความของผลรวมและผลิตภัณฑ์ n ((A * C)U(B* C) ) -- = n(A*C) + n(B*C) = เอซี + บีซี

4. กฎการกระจายของการคูณสัมพันธ์กับการลบ: สำหรับจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ใช่ลบ a, b และ c และ a^b ความเท่าเทียมกัน (a - b)c = = ac - bc เป็นจริง

กฎนี้ได้มาจากความเท่าเทียมกัน (AB) *C = (A *C)(B*C) และได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกันกับกฎก่อนหน้านี้

กฎการสับเปลี่ยนและกฎการเชื่อมโยงของการคูณสามารถขยายไปยังปัจจัยจำนวนเท่าใดก็ได้ นอกจากนี้ กฎหมายเหล่านี้มักจะใช้ร่วมกัน กล่าวคือ ผลคูณของปัจจัยหลายประการจะไม่เปลี่ยนแปลงหากจัดเรียงใหม่ในทางใดทางหนึ่ง และหากกลุ่มใดกลุ่มหนึ่งอยู่ในวงเล็บ

กฎการกระจายกำหนดความเชื่อมโยงระหว่างการคูณและการบวกและการลบ ตามกฎหมายเหล่านี้ วงเล็บจะถูกเปิดในนิพจน์เช่น (a + b) c และ (a - b) c รวมถึงปัจจัยที่ถูกนำออกจากวงเล็บหากนิพจน์อยู่ในรูปแบบ ac - be หรือ

ในวิชาคณิตศาสตร์เบื้องต้น มีการศึกษาสมบัติการสับเปลี่ยนของการคูณ มีสูตรดังนี้: “ผลคูณจะไม่เปลี่ยนแปลงโดยการจัดเรียงปัจจัยใหม่” - และมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการรวบรวมตารางสูตรคูณสำหรับตัวเลขหลักเดียว กฎการสับเปลี่ยนไม่ได้รับการพิจารณาอย่างชัดเจนในโรงเรียนประถมศึกษา แต่ใช้ร่วมกับกฎการสับเปลี่ยนเมื่อคูณตัวเลขด้วยผลคูณ สิ่งนี้เกิดขึ้นดังนี้: ให้นักเรียนพิจารณาวิธีต่างๆ ในการค้นหาค่าของนิพจน์ 3* (5*2) และเปรียบเทียบผลลัพธ์

กรณีจะได้รับ:

1) 3* (5*2) = 3*10 = 30;

2) 3* (5*2) = (3*5) *2 = 15*2 = 30;

3) 3* (5*2) = (3*2) *5 = 6*5 = 30.

กฎข้อแรกขึ้นอยู่กับกฎแห่งการเรียงลำดับการกระทำ ข้อที่สองขึ้นอยู่กับกฎการเชื่อมโยงของการคูณ ข้อที่สามขึ้นอยู่กับกฎการสับเปลี่ยนและกฎการเชื่อมโยงของการคูณ

กฎการกระจายของการคูณเทียบกับการบวกมีการอภิปรายในโรงเรียนโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ และเรียกว่ากฎสำหรับการคูณตัวเลขด้วยผลรวมและผลรวมด้วยตัวเลข การพิจารณากฎทั้งสองข้อนี้กำหนดโดยการพิจารณาด้านระเบียบวิธี

กฎสำหรับการหารผลรวมด้วยตัวเลขและตัวเลขด้วยผลคูณ

มาทำความรู้จักกับคุณสมบัติบางประการของการหารจำนวนธรรมชาติกันดีกว่า การเลือกกฎเหล่านี้จะพิจารณาจากเนื้อหาของหลักสูตรคณิตศาสตร์เบื้องต้น

กฎสำหรับการหารผลรวมด้วยตัวเลข ถ้าตัวเลข a และ b หารด้วยจำนวน c ลงตัวแล้ว ผลบวกของ a + b หารด้วย c ลงตัว ผลหารที่ได้จากการหารผลรวม a + b ด้วยจำนวน c เท่ากับผลรวมของผลหารที่ได้รับโดยการหาร a ด้วย c และ b ด้วย c เช่น

(ก + ข): ค = ก: ค + ข: ค

การพิสูจน์. เนื่องจาก a หารด้วย c ลงตัว จึงมีจำนวนธรรมชาติ m = a:c โดยที่ a = c-m ในทำนองเดียวกัน มีจำนวนธรรมชาติ n - b:c โดยที่ b = c-n จากนั้น a+b = c-m + c-/2 = c-(m + n) ตามมาว่า a + b หารด้วย c ลงตัว และผลหารที่ได้จากการหาร a + b ด้วยจำนวน c เท่ากับ m + n เช่น a: c + b: c

กฎที่พิสูจน์แล้วสามารถตีความได้จากมุมมองทางทฤษฎีเซต

ให้ a = n(A), b = n(B) และ AGV = 0 หากแต่ละเซต A และ B สามารถแบ่งออกเป็นเซตย่อยเท่ากัน ดังนั้นการรวมกันของเซตเหล่านี้จะอนุญาตให้มีพาร์ติชันเดียวกันได้

ยิ่งไปกว่านั้น หากแต่ละเซตย่อยของพาร์ติชันของเซต A มีองค์ประกอบ a:c และแต่ละเซตย่อยของเซต B มีองค์ประกอบ b:c ดังนั้นแต่ละเซตย่อยของเซต A[)B ก็จะมีองค์ประกอบ a:c+b:c ซึ่งหมายความว่า (a + b): c = a: c + b: c

กฎสำหรับการหารตัวเลขด้วยผลคูณ หากจำนวนธรรมชาติ a หารด้วยจำนวนธรรมชาติ b และ c จากนั้นให้หาร a ด้วยผลคูณของตัวเลข b และ c ก็เพียงพอที่จะหารจำนวน a ด้วย b (c) และหารผลหารผลหารด้วย c (b) : a: (b * c) --(a: b): c = (a: c): b พิสูจน์ สมมุติว่า (a:b):c = x จากนั้น ตามนิยามของผลหาร a:b = c-x ดังนั้น a - b-(cx) ในทำนองเดียวกัน ตามกฎการเชื่อมโยงของการคูณ a = (bc)-x ผลลัพธ์ความเท่าเทียมกันหมายความว่า a:(bc) = x ดังนั้น a:(bc) = (a:b):c

กฎสำหรับการคูณตัวเลขด้วยผลหารของตัวเลขสองตัว หากต้องการคูณตัวเลขด้วยผลหารของตัวเลขสองตัว ก็เพียงพอที่จะคูณตัวเลขนี้ด้วยเงินปันผลและหารผลคูณผลลัพธ์ด้วยตัวหาร เช่น

ก-(ข:ค) = (ก-ข):ค

การใช้กฎที่กำหนดทำให้การคำนวณง่ายขึ้น

ตัวอย่างเช่น หากต้องการค้นหาค่าของนิพจน์ (720+ 600): 24 ก็เพียงพอที่จะหารพจน์ 720 และ 600 ด้วย 24 แล้วบวกผลหารผลลัพธ์:

(720+ 600): 24 = 720:24 + 600:24 = 30 + 25 = 55 ค่าของนิพจน์ 1440:(12* 15) สามารถหาได้โดยการหาร 1440 ด้วย 12 ก่อน แล้วจึงหารผลหารผลลัพธ์ ภายใน 15:

1440: (12 * 15) = (1440:12): 15 = 120:15 = 8.

กฎเหล่านี้จะกล่าวถึงในหลักสูตรคณิตศาสตร์เบื้องต้นโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ เมื่อคุณคุ้นเคยกับกฎการหารผลรวม 6 + 4 ด้วยเลข 2 เป็นครั้งแรก จะใช้สื่อประกอบประกอบ ในอนาคต กฎนี้ใช้เพื่อหาเหตุผลเข้าข้างตนเองในการคำนวณ กฎการหารตัวเลขด้วยผลคูณนั้นใช้กันอย่างแพร่หลายเมื่อทำการหารตัวเลขที่ลงท้ายด้วยศูนย์

วัตถุประสงค์: เพื่อตรวจสอบการพัฒนาทักษะในการคำนวณโดยใช้สูตร แนะนำเด็ก ๆ ให้รู้จักกับกฎการสับเปลี่ยน การเชื่อมโยงและการแจกแจงของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์

• แนะนำสัญกรณ์ตัวอักษรของกฎการบวกและการคูณ สอนการใช้กฎของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เพื่อทำให้การคำนวณและนิพจน์ตัวอักษรง่ายขึ้น
• พัฒนาความคิดเชิงตรรกะ ทักษะการทำงานทางจิต นิสัยเอาแต่ใจ คำพูดทางคณิตศาสตร์ ความจำ ความสนใจ ความสนใจในคณิตศาสตร์ การปฏิบัติจริง
• ปลูกฝังความเคารพซึ่งกันและกัน ความรู้สึกของความสนิทสนมกัน และความไว้วางใจ

ประเภทบทเรียน: รวม

• การทดสอบความรู้ที่ได้รับมาก่อนหน้านี้
• การเตรียมนักเรียนให้เรียนรู้เนื้อหาใหม่
• การนำเสนอเนื้อหาใหม่
• การรับรู้และความตระหนักรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับเนื้อหาใหม่
• การรวมเบื้องต้นของเนื้อหาที่ศึกษา
• สรุปบทเรียนและทำการบ้าน

อุปกรณ์ : คอมพิวเตอร์ โปรเจคเตอร์ การนำเสนอ

วางแผน:

1. ช่วงเวลาขององค์กร
2. การตรวจสอบเนื้อหาที่ศึกษาก่อนหน้านี้
3. ศึกษาเนื้อหาใหม่
4. การทดสอบเบื้องต้นของการได้มาซึ่งความรู้ (การทำงานกับตำราเรียน)
5. การติดตามและทดสอบความรู้ด้วยตนเอง (งานอิสระ)
6. สรุปบทเรียน
7. การสะท้อนกลับ

ความคืบหน้าของบทเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร

ครู: สวัสดีตอนบ่ายเด็ก ๆ ! เราเริ่มบทเรียนด้วยบทกวีพรากจากกัน ให้ความสนใจกับหน้าจอ (1 สไลด์). ภาคผนวก 2 .

คณิตศาสตร์เพื่อน
ทุกคนต้องการมันอย่างแน่นอน
ทำงานอย่างขยันขันแข็งในชั้นเรียน
และความสำเร็จรอคุณอยู่อย่างแน่นอน!

2. การทำซ้ำของวัสดุ

เรามาทบทวนเนื้อหาที่เรากล่าวถึงกัน ฉันเชิญนักเรียนไปที่หน้าจอ ภารกิจ: ใช้พอยน์เตอร์เพื่อเชื่อมต่อสูตรที่เขียนกับชื่อและตอบคำถามว่ามีอะไรอีกบ้างที่สามารถพบได้โดยใช้สูตรนี้ (2 สไลด์)

เปิดสมุดบันทึก เซ็นเลข เยี่ยมมาก ให้ความสนใจกับหน้าจอ (3 สไลด์)

เราพูดคุยกันในสไลด์ถัดไป (5 สไลด์)

12 + 5 + 8		25 10		250 – 50
200 – 170		30 + 15		45: 3
15 + 30		45 – 17		28 25 4

งาน: ค้นหาความหมายของสำนวน (นักเรียนคนหนึ่งทำงานที่หน้าจอ)

– คุณสังเกตเห็นสิ่งที่น่าสนใจอะไรขณะแก้ไขตัวอย่าง? ตัวอย่างใดบ้างที่ควรค่าแก่การเอาใจใส่เป็นพิเศษ? (คำตอบของเด็ก ๆ )

สถานการณ์ปัญหา

– คุณรู้จักคุณสมบัติของการบวกและการคูณอะไรบ้างตั้งแต่ชั้นประถมศึกษา? คุณสามารถเขียนโดยใช้นิพจน์ตัวอักษรได้หรือไม่? (คำตอบของเด็ก).

3. การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

– ดังนั้น หัวข้อของบทเรียนวันนี้คือ “กฎการดำเนินการทางคณิตศาสตร์” (6 สไลด์)
– เขียนหัวข้อบทเรียนลงในสมุดบันทึกของคุณ
– เราควรเรียนรู้อะไรใหม่ในชั้นเรียน? (กำหนดเป้าหมายของบทเรียนร่วมกับเด็กๆ)
- เราดูที่หน้าจอ (7 สไลด์).

คุณเห็นกฎการบวกที่เขียนในรูปแบบตัวอักษรและตัวอย่าง (การวิเคราะห์ตัวอย่าง).

– สไลด์ถัดไป (8 สไลด์)

มาดูกฎการคูณกัน

– ตอนนี้เรามาทำความรู้จักกับกฎหมายการกระจายสินค้าที่สำคัญมากกันดีกว่า (9 สไลด์)

- มาสรุปกัน. (10 สไลด์)

– เหตุใดจึงจำเป็นต้องรู้กฎของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์? จะมีประโยชน์ในการศึกษาต่อหรือไม่เมื่อเรียนวิชาอะไรบ้าง? (คำตอบของเด็ก ๆ )

- เขียนกฎหมายลงในสมุดบันทึกของคุณ

4. การยึดวัสดุ

– เปิดหนังสือเรียนแล้วค้นหาหมายเลข 212 (a, b, d) ด้วยวาจา

หมายเลข 212 (c, d, g, h) เป็นลายลักษณ์อักษรบนกระดานและในสมุดบันทึก (การตรวจสอบ).

– เรากำลังดำเนินการกับหมายเลข 214 ด้วยวาจา

– เราดำเนินงานหมายเลข 215 กฎหมายอะไรใช้ในการแก้ตัวเลขนี้? (คำตอบของเด็ก).

5. งานอิสระ

– เขียนคำตอบลงในการ์ดและเปรียบเทียบผลลัพธ์ของคุณกับเพื่อนบ้านที่โต๊ะของคุณ ตอนนี้หันความสนใจของคุณไปที่หน้าจอ (11 สไลด์)(ตรวจสอบงานอิสระ).

6. สรุปบทเรียน

– ให้ความสนใจกับหน้าจอ (12 สไลด์)จบประโยค.

คะแนนบทเรียน

7. การบ้าน

มาตรา 13 เลขที่ 227, 229

8. การสะท้อนกลับ

หัวข้อที่ 1.

จำนวนจริง นิพจน์เชิงตัวเลข การแปลงนิพจน์ตัวเลข

I. เนื้อหาทางทฤษฎี

แนวคิดพื้นฐาน

· จำนวนธรรมชาติ

· สัญกรณ์ทศนิยมของตัวเลข

· ตัวเลขตรงข้าม

· จำนวนเต็ม

· เศษส่วนร่วม

จำนวนตรรกยะ

·ทศนิยมอนันต์

· คาบของจำนวน, เศษส่วนคาบ

· จำนวนอตรรกยะ

· จำนวนจริง

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

นิพจน์ตัวเลข

· ค่านิพจน์

· การแปลงเศษส่วนทศนิยมเป็นเศษส่วนสามัญ

การแปลงเศษส่วนให้เป็นทศนิยม

การแปลงเศษส่วนคาบเป็นเศษส่วนสามัญ

· กฎการดำเนินการทางคณิตศาสตร์

· สัญญาณของการแบ่งแยก

ตัวเลขที่ใช้ในการนับวัตถุหรือเพื่อระบุหมายเลขซีเรียลของวัตถุระหว่างวัตถุที่คล้ายกันจะถูกเรียก เป็นธรรมชาติ- จำนวนธรรมชาติใดๆ สามารถเขียนได้โดยใช้สิบ ตัวเลข: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. สัญกรณ์ตัวเลขนี้เรียกว่า ทศนิยม

ตัวอย่างเช่น: 24; 3711; 40125.

โดยปกติแล้วเซตของจำนวนธรรมชาติจะแสดงแทน เอ็น.

เรียกว่าตัวเลขสองตัวที่แตกต่างกันโดยเครื่องหมายเท่านั้น ตรงข้ามตัวเลข

ตัวอย่างเช่น, หมายเลข 7 และ – 7.

จำนวนธรรมชาติ จำนวนตรงข้าม และเลขศูนย์ประกอบกันเป็นเซต ทั้งหมด ซี.

ตัวอย่างเช่น: – 37; 0; 2541.

หมายเลขแบบฟอร์ม ที่ไหน ม –จำนวนเต็ม, ไม่มี –จำนวนธรรมชาติ เรียกว่า จำนวนสามัญ เศษส่วน- โปรดทราบว่าจำนวนธรรมชาติใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนโดยมีส่วนเป็น 1 ได้

ตัวอย่างเช่น: , .

การรวมกันของเซตของจำนวนเต็มและเศษส่วน (บวกและลบ) ถือเป็นเซต มีเหตุผลตัวเลข มันมักจะแสดงแทน ถาม.

ตัวอย่างเช่น: ; – 17,55; .

ให้เศษส่วนทศนิยมที่กำหนดได้รับ ค่าของมันจะไม่เปลี่ยนแปลงหากคุณบวกเลขศูนย์ใดๆ ทางด้านขวา

ตัวอย่างเช่น: 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… .

ทศนิยมดังกล่าวเรียกว่าทศนิยมอนันต์

เศษส่วนร่วมใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมอนันต์ได้

กลุ่มของตัวเลขที่ทำซ้ำตามลำดับหลังจุดทศนิยมของตัวเลขจะถูกเรียก ระยะเวลาและเศษส่วนทศนิยมอนันต์ที่มีจุดดังกล่าวเรียกว่า เป็นระยะๆ- เพื่อความกระชับ เป็นเรื่องปกติที่จะเขียนจุดหนึ่งครั้งโดยใส่ไว้ในวงเล็บ

ตัวอย่างเช่น: 0,2142857142857142857… = 0,2(142857).

2,73000… = 2,73(0).

เศษส่วนที่ไม่ใช่คาบของทศนิยมอนันต์เรียกว่า ไม่มีเหตุผลตัวเลข

การรวมกันของเซตของจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะจะประกอบเป็นเซตนี้ ถูกต้องตัวเลข มันมักจะแสดงแทน ร.

ตัวอย่างเช่น: ; 0,(23); 41,3574…

ตัวเลข ไม่มีเหตุผล

สำหรับตัวเลขทั้งหมด การดำเนินการของสามขั้นตอนถูกกำหนดไว้:

· การกระทำระยะที่ 1: การบวกและการลบ;

·การกระทำขั้นที่ 2: การคูณและการหาร;

· การดำเนินการระยะที่ 3: การยกกำลังและการแตกราก

นิพจน์ที่ประกอบด้วยตัวเลข สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ และวงเล็บเรียกว่า ตัวเลข

ตัวอย่างเช่น: ; .

หมายเลขที่ได้รับจากการดำเนินการเรียกว่า ค่าของการแสดงออก.

นิพจน์ตัวเลข ไม่สมเหตุสมผลถ้ามีการหารด้วยศูนย์

เมื่อค้นหาค่าของนิพจน์ การกระทำของระยะที่ 3, ระยะที่ 2 และเมื่อสิ้นสุดการกระทำของระยะที่ 1 จะดำเนินการตามลำดับ ในกรณีนี้จำเป็นต้องคำนึงถึงตำแหน่งของวงเล็บในนิพจน์ตัวเลขด้วย

การแปลงนิพจน์ตัวเลขประกอบด้วยการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ตามลำดับกับตัวเลขที่รวมอยู่ในนั้นโดยใช้กฎที่เหมาะสม (กฎสำหรับการบวกเศษส่วนธรรมดาที่มีตัวส่วนต่างกัน การคูณทศนิยม ฯลฯ ) งานสำหรับการแปลงนิพจน์ตัวเลขในตำราเรียนมีอยู่ในสูตรต่อไปนี้: "ค้นหาค่าของนิพจน์ตัวเลข", "ลดความซับซ้อนของนิพจน์ตัวเลข", "คำนวณ" ฯลฯ

เมื่อค้นหาค่าของนิพจน์ตัวเลขคุณต้องดำเนินการกับเศษส่วนประเภทต่างๆ: สามัญ, ทศนิยม, เป็นระยะ ในกรณีนี้อาจจำเป็นต้องแปลงเศษส่วนธรรมดาเป็นทศนิยมหรือดำเนินการตรงกันข้าม - แทนที่เศษส่วนตามคาบด้วยเศษส่วนธรรมดา

เพื่อแปลง ทศนิยมให้เป็นเศษส่วนร่วมก็เพียงพอที่จะเขียนตัวเลขหลังจุดทศนิยมในตัวเศษของเศษส่วนและหนึ่งที่มีศูนย์ในตัวส่วนและควรมีศูนย์มากเท่ากับที่มีตัวเลขทางด้านขวาของจุดทศนิยม

ตัวอย่างเช่น: ; .

เพื่อแปลง เศษส่วนเป็นทศนิยมคุณต้องหารเศษด้วยตัวส่วนตามกฎสำหรับการหารเศษส่วนทศนิยมด้วยจำนวนเต็ม

ตัวอย่างเช่น: ;

;

.

เพื่อแปลง เศษส่วนคาบเป็นเศษส่วนร่วม, จำเป็น:

1) จากตัวเลขก่อนช่วงที่สองให้ลบตัวเลขก่อนช่วงแรก

2) เขียนผลต่างนี้เป็นตัวเศษ;

3) เขียนเลข 9 ในตัวส่วนกี่ครั้งก็ได้ตามจำนวนตัวเลขในช่วงเวลานั้น

4) เพิ่มศูนย์ให้มากที่สุดเท่าที่มีตัวเลขระหว่างจุดทศนิยมและช่วงแรก

ตัวอย่างเช่น: ; .

กฎการดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับจำนวนจริง

1. การเดินทาง(การสับเปลี่ยน) กฎการบวก: การจัดเรียงเงื่อนไขใหม่จะไม่ทำให้ค่าของผลรวมเปลี่ยน:

2. การเดินทาง(การสับเปลี่ยน) กฎแห่งการคูณ: การจัดเรียงตัวประกอบใหม่จะไม่ทำให้มูลค่าของผลิตภัณฑ์เปลี่ยนแปลง:

3. การเชื่อมต่อ(การเชื่อมโยง) กฎของการบวก: มูลค่าของผลรวมจะไม่เปลี่ยนแปลงหากกลุ่มคำศัพท์ใด ๆ ถูกแทนที่ด้วยผลรวม:

4. การเชื่อมต่อ(การเชื่อมโยง) กฎของการคูณ: ค่าของผลิตภัณฑ์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากกลุ่มของปัจจัยใด ๆ ถูกแทนที่ด้วยผลิตภัณฑ์ของพวกเขา:

.

5. การกระจาย(การแจกแจง) กฎการคูณที่สัมพันธ์กับการบวก: หากต้องการคูณผลรวมด้วยตัวเลข ก็เพียงพอที่จะคูณการบวกแต่ละรายการด้วยตัวเลขนี้แล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้:

คุณสมบัติ 6 – 10 เรียกว่า กฎการดูดซับ 0 และ 1

สัญญาณของการแบ่งแยก

คุณสมบัติที่ในบางกรณียอมให้กำหนดว่าตัวเลขหนึ่งหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งลงตัวหรือไม่ เรียกว่าคุณสมบัติที่ในบางกรณีไม่ต้องหาร สัญญาณของการแบ่งแยก.

ทดสอบการหารด้วย 2 ลงตัวตัวเลขจะหารด้วย 2 ลงตัวก็ต่อเมื่อตัวเลขลงท้ายด้วย สม่ำเสมอตัวเลข. นั่นคือที่ 0, 2, 4, 6, 8

ตัวอย่างเช่น: 12834; –2538; 39,42.

ทดสอบการหารด้วย 3 ลงตัว- ตัวเลขจะหารด้วย 3 ลงตัวก็ต่อเมื่อผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3 เท่านั้น

ตัวอย่างเช่น: 2742; –17940.

ทดสอบการหารด้วย 4 ลงตัว- ตัวเลขที่มีตัวเลขอย่างน้อยสามหลักจะหารด้วย 4 ลงตัวก็ต่อเมื่อตัวเลขสองหลักที่เกิดจากตัวเลขสองหลักสุดท้ายของตัวเลขที่กำหนดนั้นหารด้วย 4 ลงตัวเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น: 15436; –372516.

การทดสอบการหารลงตัวด้วย 5- ตัวเลขจะหารด้วย 5 ลงตัวก็ต่อเมื่อตัวเลขหลักสุดท้ายเป็น 0 หรือ 5

ตัวอย่างเช่น: 754570; –4125.

การทดสอบการหารด้วย 9 ลงตัว- ตัวเลขจะหารด้วย 9 ได้ก็ต่อเมื่อผลรวมของตัวเลขหารด้วย 9 เท่านั้น

ตัวอย่างเช่น: 846; –76455.