เส้น 2 เส้นขนานกันถ้า เส้นขนาน สัญลักษณ์ และเงื่อนไขของเส้นคู่ขนาน ข้อพิสูจน์จากสัจพจน์

สัญญาณของความขนานกันของสองบรรทัด

ทฤษฎีบท 1 ถ้า เมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกับเส้นตัดฉาก:

มุมตัดกันมีค่าเท่ากัน หรือ

มุมที่ตรงกันจะเท่ากันหรือ

ผลรวมของมุมด้านเดียวคือ 180° ดังนั้น

เส้นขนานกัน(รูปที่ 1)

การพิสูจน์. เราจำกัดตัวเองให้พิสูจน์กรณีที่ 1

ให้เส้นตัด a และ b เป็นเส้นขวาง และมุม AB เท่ากัน ตัวอย่างเช่น ∠ 4 = ∠ 6 ให้เราพิสูจน์ว่า || ข.

สมมติว่าเส้น a และ b ไม่ขนานกัน จากนั้นพวกมันจะตัดกันที่จุดใดจุดหนึ่ง M และมุมใดมุมหนึ่งที่ 4 หรือ 6 จะเป็นมุมภายนอกของสามเหลี่ยม ABM เพื่อความแน่นอน ให้ ∠ 4 เป็นมุมภายนอกของสามเหลี่ยม ABM และ ∠ 6 เป็นมุมภายใน จากทฤษฎีบทเรื่องมุมภายนอกของสามเหลี่ยม จะได้ว่า ∠ 4 มากกว่า ∠ 6 และขัดแย้งกับเงื่อนไข ซึ่งหมายความว่าเส้น a และ 6 ไม่สามารถตัดกันได้ ดังนั้นเส้นทั้งสองจึงขนานกัน

ข้อพิสูจน์ 1. เส้นตรงสองเส้นที่แตกต่างกันในระนาบที่ตั้งฉากกับเส้นเดียวกันนั้นขนานกัน(รูปที่ 2)

ความคิดเห็น วิธีที่เราเพิ่งพิสูจน์กรณีที่ 1 ของทฤษฎีบทที่ 1 เรียกว่าวิธีการพิสูจน์โดยขัดแย้งหรือลดความไร้สาระ วิธีการนี้มีชื่อเรียกเพราะว่าในตอนเริ่มต้นของการโต้แย้ง มีการสันนิษฐานที่ขัดต่อ (ตรงกันข้าม) กับสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์ มันถูกเรียกว่านำไปสู่ความไร้สาระเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าเมื่อให้เหตุผลบนพื้นฐานของสมมติฐานที่เกิดขึ้นเราจึงได้ข้อสรุปที่ไร้สาระ (ไปสู่เรื่องไร้สาระ) การได้รับข้อสรุปดังกล่าวบังคับให้เราปฏิเสธสมมติฐานที่ทำไว้ตั้งแต่ต้น และยอมรับข้อสันนิษฐานที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

ภารกิจที่ 1สร้างเส้นผ่าน จุดนี้ M และขนานกับเส้นที่กำหนด a โดยไม่ผ่านจุด M

สารละลาย. เราวาดเส้นตรง p ผ่านจุด M ตั้งฉากกับเส้นตรง a (รูปที่ 3)

จากนั้นเราลากเส้น b ผ่านจุด M ซึ่งตั้งฉากกับเส้น p เส้น b ขนานกับเส้น a ตามข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบท 1

ข้อสรุปที่สำคัญตามมาจากปัญหาที่พิจารณา:
ผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด ก็สามารถลากเส้นขนานกับจุดที่กำหนดได้เสมอ.

คุณสมบัติหลักของเส้นขนานมีดังนี้

สัจพจน์ของเส้นขนาน ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด จะมีเพียงเส้นเดียวที่ขนานกับเส้นที่กำหนด

ให้เราพิจารณาคุณสมบัติของเส้นคู่ขนานที่ตามมาจากสัจพจน์นี้

1) หากเส้นหนึ่งตัดกับเส้นคู่ขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้น เส้นนั้นจะตัดกันอีกเส้นหนึ่งด้วย (รูปที่ 4)

2) หากเส้นสองเส้นที่แตกต่างกันขนานกับเส้นที่สาม เส้นนั้นจะขนานกัน (รูปที่ 5)

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ก็เป็นจริงเช่นกัน

ทฤษฎีบท 2 ถ้าเส้นขนานสองเส้นตัดกันด้วยเส้นตัดขวาง แล้ว:

มุมขวางเท่ากัน

มุมที่ตรงกันจะเท่ากัน

ผลรวมของมุมด้านเดียวคือ 180°

ข้อพิสูจน์ 2. ถ้าเส้นตรงตั้งฉากกับเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้น เส้นนั้นจะตั้งฉากกับอีกเส้นหนึ่งด้วย(ดูรูปที่ 2)

ความคิดเห็น ทฤษฎีบทที่ 2 เรียกว่าอินเวอร์สของทฤษฎีบทที่ 1 บทสรุปของทฤษฎีบทที่ 1 คือเงื่อนไขของทฤษฎีบทที่ 2 และเงื่อนไขของทฤษฎีบทที่ 1 คือบทสรุปของทฤษฎีบทที่ 2 ไม่ใช่ทุกทฤษฎีบทที่มีการผกผัน นั่นคือ ถ้าทฤษฎีบทที่กำหนดเป็น จริง ดังนั้นทฤษฎีบทผกผันอาจเป็นเท็จ

ให้เราอธิบายสิ่งนี้โดยใช้ตัวอย่างทฤษฎีบทเรื่องมุมแนวตั้ง ทฤษฎีบทนี้สามารถกำหนดได้ดังนี้ ถ้ามุมสองมุมเป็นแนวตั้ง มุมทั้งสองจะเท่ากัน ทฤษฎีบทตรงกันข้ามคือ ถ้ามุมสองมุมเท่ากัน มุมทั้งสองก็จะเป็นแนวตั้ง และแน่นอนว่าสิ่งนี้ไม่เป็นความจริง มุมสองมุมที่เท่ากันไม่จำเป็นต้องเป็นแนวตั้ง

ตัวอย่างที่ 1เส้นคู่ขนานสองเส้นถูกข้ามโดยหนึ่งในสาม เป็นที่ทราบกันว่าความแตกต่างระหว่างมุมด้านเดียวภายในสองมุมคือ 30° หามุมเหล่านี้

สารละลาย. ให้รูปที่ 6 ตรงตามเงื่อนไข

คำนิยาม:

สองสายตรง ปา-รัล-เลล-นี-มิหากไม่ข้าม (รูปที่ 1) นี่คือความหมาย: .

ผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงที่กำหนดจะมีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวที่ผ่านไปขนานกับจุดที่กำหนด (รูปที่ 2) .

ข้อพิสูจน์จากสัจพจน์

ผลที่ตามมา1:

หากเส้นตรงตัดผ่านเส้นคู่ขนานเส้นหนึ่ง เส้นนั้นจะตัดผ่านอีกเส้นหนึ่งด้วย

ที่ให้ไว้:.

พิสูจน์:.

การพิสูจน์:

เรามาพูดถึงเรื่องนี้จากฝั่งตรงข้ามกันดีกว่า สมมุติว่า กับไม่ข้ามเส้น ข(รูปที่ 4)

จากนั้น: (ตามเงื่อนไข), (โดยการสันนิษฐาน) นั่นคือผ่านจุด มมีเส้นตรงสองเส้น ( กและ ค) ขนานตรง ข- และนี่คือโปร-ติ-โว-เร-ชิต อัค-ซิโอ-เม ซึ่งหมายความว่าสมมติฐานของเราไม่ถูกต้อง แล้วมันตรง. คขวางตรง ข.

ข้อพิสูจน์ 2:

ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกับเส้นตรงที่สาม เส้นนั้นจะขนานกัน(รูปที่ 5) .

ที่ให้ไว้:.

พิสูจน์:.

การพิสูจน์:

เรามาพูดถึงเรื่องนี้จากฝั่งตรงข้ามกันดีกว่า สมมติว่าพวกเขาตรง กและ ขเปอร์-เร-เซ-กา-ยุต-ซยา ณ จุดหนึ่ง ม(รูปที่ 6)

ด้วยวิธีนี้ เรามาพูดถึงเรื่องต่างๆ ด้วย ak-si-o-my: ผ่านประเด็นหนึ่งๆ มเส้นตรงสองเส้นผ่านไป ในเวลาเดียวกันขนานกับเส้นตรงที่สาม

ต่อไปสมมติฐานของเราไม่ถูกต้อง แล้ว .

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับคุณสมบัติของเส้นขนาน

ทฤษฎีที่ 1:

ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน มุมที่จุดตัดจะเท่ากัน(รูปที่ 7)

ที่ให้ไว้:.

พิสูจน์:.

การพิสูจน์:

เรามาพูดถึงเรื่องนี้จากฝั่งตรงข้ามกันดีกว่า เราถือว่า: .

จากนั้นจากลำแสง มนสามารถตั้งมุมเดียวได้ ∠ พีเอ็มเอ็นซึ่งจะเท่ากัน ∠ 2 (ข้าว. 7). แต่แล้ว ∠ พีเอ็มเอ็นและ ∠ 2 - นอนขวางและเท่ากัน แล้วตรง พี.เอ็ม.และ ข- พาร์-ราล-เลล-ny แล้วผ่านจุดนั้น มเส้นตรงสองเส้นผ่านไป เส้นที่สามขนานกัน กล่าวคือ:

มาคุยกับอัคซิโอมอยกันเถอะ ซึ่งหมายความว่าสมมติฐานของเราไม่ถูกต้อง นั่นคือ: .

ผลที่ตามมา:

ถ้าเส้นตรงเป็นเส้นเพอร์-ปากกา-ดี-คู-ลิยาร์-ออนบนเส้นตรงคู่ขนานเส้นใดเส้นหนึ่ง ก็จะเป็นเส้นเพอร์-ปากกา-ดี-คู-ลิยาร์-ออนและเส้นที่สอง

ที่ให้ไว้:

พิสูจน์:

การพิสูจน์:

1. กับเพอร์-เร-เซ-คา-เอต กซึ่งหมายถึงและรีเซคเอตเส้นตรงที่ขนานกับมันนั่นคือ ข- แล้ว กับ- se-ku-shchaya จาก-no-she-niyu ถึง กและ ข.

2. ตราบเท่าที่ปรากฏบนไม้กางเขนนอนราบอยู่ แล้ว . นั่นก็คือ .

ธีโอ-เร-มา 2:

ถ้าเส้นตรงคู่ขนานสองเส้นตัดกัน มุมที่ตรงกันจะเท่ากัน

ที่ให้ไว้:- ส-กุ-ชายา

พิสูจน์:(รูปที่ 9)

การพิสูจน์:

ถ้า จากทฤษฎีบทก่อนหน้า มันจะเป็นไปตามว่ามุมที่จุดตัดเท่ากัน นั่นก็คือ

บทที่ 3
ขนานตรง

§ 38 การพึ่งพาระหว่างมุม
สร้างขึ้นจากเส้นขนานสองเส้นและเส้นรอง

เรารู้ว่าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน ถ้าเมื่อมันตัดกับเส้นที่สาม มุมที่สอดคล้องกันเท่ากัน หรือมุมภายในหรือภายนอกที่วางขวางตามขวางเท่ากัน หรือผลรวมของภายใน หรือผลรวมของมุมด้านเดียวภายนอกเท่ากับ 2 ง- ให้เราพิสูจน์ว่าพวกเขาเป็นจริงและ ทฤษฎีบทสนทนากล่าวคือ:

หากเส้นคู่ขนานสองเส้นข้ามหนึ่งในสาม ดังนั้น:

1) มุมที่สอดคล้องกันเท่ากัน
2) มุมขวางภายในเท่ากัน
3) มุมขวางภายนอกเท่ากัน
4) ผลรวมของมุมด้านเดียวภายในเท่ากับ 2 ง ;
5) ผลรวมของมุมด้านเดียวภายนอกเท่ากับ 2 ง .

ตัวอย่างเช่น ขอให้เราพิสูจน์ว่าหากเส้นคู่ขนานสองเส้นตัดกันด้วยเส้นที่สาม มุมที่ตรงกันจะเท่ากัน

ให้เส้นตรง AB และ CD ขนานกัน และ MN เป็นเส้นตัดขวาง (รูปที่ 202) ให้เราพิสูจน์ว่ามุมที่ตรงกัน 1 และ 2 เท่ากัน

สมมุติว่า / 1 และ / 2ไม่เท่ากัน จากนั้นเมื่อถึงจุด O เราก็สามารถสร้างได้ / IOC สอดคล้องและเท่าเทียมกัน / 2 (รูปวาด 203)

แต่ถ้า / ขั้นต่ำ= / 2 จากนั้นเส้นตรง OK จะขนานกับ CD (§ 35)

เราพบว่าเส้นตรง AB และ OK สองเส้นลากผ่านจุด O ขนานกับเส้นตรง CD แต่สิ่งนี้ไม่สามารถเป็นได้ (§ 37)

เรามาถึงความขัดแย้งเพราะเราสันนิษฐานว่า / 1 และ / 2ไม่เท่ากัน ดังนั้นสมมติฐานของเราจึงไม่ถูกต้องและ / 1 จะต้องเท่ากัน / 2 คือ มุมที่ตรงกันจะเท่ากัน

ให้เราสร้างความสัมพันธ์ระหว่างมุมที่เหลือ ให้เส้นตรง AB และ CD ขนานกัน และ MN เป็นเส้นตัดขวาง (รูปที่ 204)

เราเพิ่งพิสูจน์ว่าในกรณีนี้มุมที่ตรงกันนั้นเท่ากัน สมมติว่าสองอันใดอันหนึ่งมีอันละ 119° ลองคำนวณขนาดของมุมอีกหกมุมที่เหลือกัน จากคุณสมบัติของมุมที่อยู่ติดกันและมุมแนวตั้ง เราพบว่ามุมทั้งแปดมุมจากทั้งหมดแปดมุมจะมีมุมละ 119° และส่วนที่เหลือจะมีมุมละ 61°

ปรากฎว่ามุมขวางทั้งภายในและภายนอกเท่ากันเป็นคู่ และผลรวมของมุมด้านเดียวด้านในหรือด้านนอกเท่ากับ 180° (หรือ 2 ง).

สิ่งเดียวกันจะเกิดขึ้นกับค่าอื่นที่มีมุมเท่ากัน

ข้อพิสูจน์ 1. หากแต่ละบรรทัด AB และ CD สองบรรทัดขนานกับบรรทัดที่สาม MN เดียวกัน สองบรรทัดแรกจะขนานกัน (ภาพวาด 205)

ในความเป็นจริง โดยการวาดเส้นตัด EF (รูปที่ 206) เราได้:
ก) / 1 = / 3 ตั้งแต่ AB || มินนิโซตา; ข) / 2 = / 3 เนื่องจาก CO || มน.

วิธี, / 1 = / 2 และนี่คือมุมที่สอดคล้องกับเส้น AB และ CD และเส้นตัดขวาง EF ดังนั้น เส้น AB และ CD จึงขนานกัน

ข้อพิสูจน์ 2. ถ้าเส้นตรงตั้งฉากกับเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้น เส้นนั้นจะตั้งฉากกับอีกเส้นหนึ่งด้วย (ภาพวาด 207)

แน่นอนถ้า EF _|_ AB แล้ว / 1 = ง- ถ้า AB || ซีดีแล้ว / 1 = / 2.

เพราะฉะนั้น, / 2 = งเช่น EF _|_ CD

เอบีและ กับดีข้ามเส้นตรงที่สาม มนจากนั้นมุมที่เกิดขึ้นในกรณีนี้จะได้รับชื่อเป็นคู่ดังนี้:

มุมที่สอดคล้องกัน: 1 และ 5, 4 และ 8, 2 และ 6, 3 และ 7;

มุมขวางภายใน: 3 และ 5, 4 และ 6;

มุมขวางภายนอก: 1 และ 7, 2 และ 8;

มุมด้านเดียวภายใน: 3 และ 6, 4 และ 5;

มุมด้านเดียวภายนอก: 1 และ 8, 2 และ 7

ดังนั้น ∠ 2 = ∠ 4 และ ∠ 8 = ∠ 6 แต่จากสิ่งที่พิสูจน์แล้ว ∠ 4 = ∠ 6

ดังนั้น ∠ 2 =∠ 8

3. มุมที่สอดคล้องกัน 2 และ 6 เหมือนกัน เนื่องจาก ∠ 2 = ∠ 4 และ ∠ 4 = ∠ 6 ตรวจสอบให้แน่ใจด้วยว่ามุมอื่นๆ ที่สอดคล้องกันนั้นเท่ากัน

4. ผลรวม มุมด้านเดียวภายใน 3 และ 6 จะเป็น 2d เพราะผลรวม มุมที่อยู่ติดกัน 3 และ 4 เท่ากับ 2d = 180 0 และ ∠ 4 สามารถถูกแทนที่ด้วย ∠ 6 ที่เหมือนกัน นอกจากนี้เรายังต้องแน่ใจว่า ผลรวมของมุม 4 และ 5 เท่ากับ 2d

5. ผลรวม มุมด้านเดียวภายนอกจะเป็น 2d เพราะมุมเหล่านี้เท่ากันตามลำดับ มุมด้านเดียวภายในเหมือนมุม แนวตั้ง.

จากเหตุผลที่พิสูจน์แล้วข้างต้นที่เราได้รับ ทฤษฎีบทสนทนา

เมื่อ ณ จุดตัดของเส้นสองเส้นกับเส้นที่สามตามใจชอบ เราจะได้ว่า:

1. มุมขวางภายในจะเท่ากัน

หรือ 2.มุมขวางภายนอกจะเหมือนกัน

หรือ 3.มุมที่สอดคล้องกันจะเท่ากัน

หรือ 4.ผลรวมของมุมด้านเดียวภายในคือ 2d = 180 0;

หรือ 5ผลรวมของด้านเดียวภายนอกคือ 2d = 180 0 ,

จากนั้นสองบรรทัดแรกจะขนานกัน