ความยาวของส่วนโค้งของวงกลมคำนวณโดยใช้สูตร การหาเส้นรอบวงและพื้นที่ของวงกลม

คุณจำชื่อทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับวงกลมได้ดีแค่ไหน? ในกรณีที่ให้เราเตือนคุณ - ดูภาพ - รีเฟรชความรู้ของคุณ

ก่อนอื่นเลย - จุดศูนย์กลางของวงกลมคือจุดที่ระยะห่างจากทุกจุดบนวงกลมเท่ากัน

ประการที่สอง - รัศมี - ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดศูนย์กลางกับจุดบนวงกลม

มีรัศมีมากมาย (มากเท่าที่มีจุดบนวงกลม) แต่ รัศมีทั้งหมดมีความยาวเท่ากัน

บางครั้งก็สั้น รัศมีพวกเขาเรียกมันว่าอย่างแน่นอน ความยาวของส่วน“ศูนย์กลางคือจุดบนวงกลม” ไม่ใช่ส่วนนั้นเอง

และนี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น หากคุณเชื่อมต่อจุดสองจุดบนวงกลม- มีภาคด้วยเหรอ?

ดังนั้นส่วนนี้จึงเรียกว่า "คอร์ด".

เช่นเดียวกับในกรณีของรัศมี เส้นผ่านศูนย์กลางมักเป็นความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อจุดสองจุดบนวงกลมและผ่านจุดศูนย์กลาง อย่างไรก็ตาม เส้นผ่านศูนย์กลางและรัศมีมีความสัมพันธ์กันอย่างไร? ดูอย่างระมัดระวัง แน่นอน รัศมีเท่ากับครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง

นอกจากคอร์ดแล้วยังมี ซีแคนต์

จำสิ่งที่ง่ายที่สุดได้ไหม?

มุมกลางคือมุมระหว่างสองรัศมี

และตอนนี้ - มุมที่ถูกจารึกไว้

มุมที่จารึกไว้ - มุมระหว่างสองคอร์ดที่ตัดกันที่จุดบนวงกลม.

ในกรณีนี้ พวกเขาบอกว่ามุมที่จารึกไว้นั้นวางอยู่บนส่วนโค้ง (หรือบนคอร์ด)

ดูภาพ:

การวัดส่วนโค้งและมุม

เส้นรอบวง. ส่วนโค้งและมุมวัดเป็นองศาและเรเดียน อันดับแรกเกี่ยวกับองศา ไม่มีปัญหาสำหรับมุม - คุณต้องเรียนรู้วิธีวัดส่วนโค้งเป็นองศา

การวัดระดับ (ขนาดส่วนโค้ง) คือค่า (เป็นองศา) ของมุมที่ศูนย์กลางที่สอดคล้องกัน

คำว่า "เหมาะสม" ในที่นี้หมายถึงอะไร? ลองดูอย่างระมัดระวัง:

คุณเห็นส่วนโค้งสองอันและมุมตรงกลางสองอันหรือไม่? ส่วนโค้งที่ใหญ่กว่าจะสอดคล้องกับมุมที่ใหญ่กว่า (และไม่เป็นไรที่มันจะใหญ่กว่า) และส่วนโค้งที่เล็กกว่าจะสอดคล้องกับมุมที่เล็กกว่า

ดังนั้นเราจึงเห็นพ้องกันว่า ส่วนโค้งมีจำนวนองศาเท่ากันกับมุมที่จุดศูนย์กลางที่สอดคล้องกัน

และตอนนี้เกี่ยวกับสิ่งที่น่ากลัว - เกี่ยวกับเรเดียน!

“เรเดียน” นี้คือสัตว์ชนิดใด?

จินตนาการ: เรเดียนเป็นวิธีหนึ่งในการวัดมุม...ในรัศมี!

มุมวัดเรเดียนเป็นแบบนี้ มุมกลางซึ่งมีความยาวส่วนโค้งเท่ากับรัศมีของวงกลม

แล้วคำถามก็เกิดขึ้น - มุมตรงมีกี่เรเดียน?

กล่าวอีกนัยหนึ่ง: รัศมี "พอดี" ในครึ่งวงกลมมีกี่รัศมี? หรืออีกนัยหนึ่ง: ครึ่งวงกลมยาวกว่ารัศมีกี่ครั้ง?

นักวิทยาศาสตร์ถามคำถามนี้กลับเข้ามา กรีกโบราณ.

หลังจากค้นหามานานก็พบว่าอัตราส่วนของเส้นรอบวงต่อรัศมีไม่ต้องการให้แสดงเป็นตัวเลข "มนุษย์" เช่น เป็นต้น

และเป็นไปไม่ได้เลยที่จะแสดงทัศนคตินี้ผ่านรากเหง้า นั่นคือปรากฎว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะบอกว่าครึ่งวงกลมนั้นใหญ่กว่ารัศมีหลายเท่า! คุณลองจินตนาการดูสิว่ามันน่าทึ่งแค่ไหนที่ผู้คนค้นพบสิ่งนี้เป็นครั้งแรก! สำหรับอัตราส่วนความยาวครึ่งวงกลมต่อรัศมี ตัวเลข “ปกติ” ยังไม่เพียงพอ ฉันต้องป้อนจดหมาย

นี่คือตัวเลขที่แสดงอัตราส่วนของความยาวของครึ่งวงกลมต่อรัศมี

ตอนนี้เราสามารถตอบคำถามได้แล้ว: มีกี่เรเดียนในมุมตรง? มันมีเรเดียน แน่นอนเพราะว่าครึ่งหนึ่งของวงกลมมีขนาดใหญ่กว่ารัศมีหลายเท่า

คนโบราณ (และไม่โบราณนัก) ตลอดหลายศตวรรษ (!) พยายามคำนวณตัวเลขลึกลับนี้ให้แม่นยำมากขึ้น เพื่อแสดงออกได้ดีขึ้น (อย่างน้อยก็ประมาณ) ผ่านตัวเลข "ธรรมดา" และตอนนี้เราขี้เกียจอย่างไม่น่าเชื่อ - เราคุ้นเคยแล้วสำหรับเราสองสัญญาณหลังจากวันที่วุ่นวาย

ลองคิดดูสิ ซึ่งหมายความว่าความยาวของวงกลมที่มีรัศมี 1 มีค่าเท่ากันโดยประมาณ แต่ความยาวที่แน่นอนนี้เป็นไปไม่ได้เลยที่จะเขียนด้วยตัวเลข "มนุษย์" - คุณต้องมีตัวอักษร แล้วเส้นรอบวงนี้จะเท่ากัน และแน่นอน เส้นรอบวงของรัศมีก็เท่ากัน

ลองกลับไปหาเรเดียน.

เราพบแล้วว่ามุมตรงประกอบด้วยเรเดียน

เรามีอะไร:

แปลว่า ฉันดีใจ, ฉันดีใจ. ในทำนองเดียวกันจะได้จานที่มีมุมที่ได้รับความนิยมมากที่สุด

ความสัมพันธ์ระหว่างค่าของมุมที่ถูกจารึกไว้และมุมที่ศูนย์กลาง

มีข้อเท็จจริงที่น่าอัศจรรย์อย่างหนึ่ง:

มุมที่จารึกไว้คือครึ่งหนึ่งของขนาดมุมศูนย์กลางที่สอดคล้องกัน

ดูว่าข้อความนี้มีลักษณะอย่างไรในภาพ มุมกลางที่ "สอดคล้องกัน" คือมุมที่ปลายตรงกับปลายของมุมที่ถูกจารึกไว้ และมีจุดยอดอยู่ที่ศูนย์กลาง และในเวลาเดียวกัน มุมกลางที่ "สอดคล้อง" จะต้อง "ดู" ที่คอร์ดเดียวกัน () เป็นมุมที่จารึกไว้

ทำไมจึงเป็นเช่นนี้? มาดูกรณีง่ายๆกันก่อน ให้คอร์ดใดคอร์ดหนึ่งผ่านไปตรงกลาง มันเกิดขึ้นแบบนั้นบางครั้งใช่ไหม?

เกิดอะไรขึ้นที่นี่? ลองพิจารณาดู มันคือหน้าจั่ว และก็ - รัศมี ดังนั้น (ติดป้ายกำกับไว้)

ทีนี้เรามาดูกันดีกว่า. นี่คือมุมด้านนอกเพื่อ! เราจำได้ว่ามุมภายนอกเท่ากับผลรวมของมุมภายในสองมุมที่ไม่อยู่ติดกัน และเขียนว่า:

นั่นคือ! ผลกระทบที่ไม่คาดคิด แต่ก็มีมุมกลางสำหรับจารึกไว้ด้วย

ซึ่งหมายความว่าในกรณีนี้ พวกเขาพิสูจน์ว่ามุมที่ศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เขียนไว้ แต่มันเป็นกรณีพิเศษที่เจ็บปวด จริงไหมที่คอร์ดไม่ได้ผ่านจุดศูนย์กลางเสมอไป? แต่ไม่เป็นไร ตอนนี้กรณีนี้จะช่วยเราได้มาก ดู: กรณีที่สอง: ปล่อยให้ตรงกลางนอนอยู่ข้างใน

มาทำสิ่งนี้กัน: วาดเส้นผ่านศูนย์กลาง แล้ว...เราก็เห็นภาพสองภาพที่วิเคราะห์ไว้แล้วในกรณีแรก ดังนั้นเราจึงมีสิ่งนั้นอยู่แล้ว

ซึ่งหมายความว่า (ในรูปวาด a)

นั่นก็เหลือกรณีสุดท้าย: ศูนย์กลางอยู่นอกมุม

เราทำสิ่งเดียวกัน: วาดเส้นผ่านศูนย์กลางผ่านจุด ทุกอย่างเหมือนกัน แต่แทนที่จะเป็นผลรวมกลับมีความแตกต่าง

แค่นั้นแหละ!

ตอนนี้เรามาสร้างผลลัพธ์หลักและสำคัญมากสองประการจากข้อความที่ว่ามุมที่จารึกไว้คือครึ่งหนึ่งของมุมที่ศูนย์กลาง

ข้อพิสูจน์ 1

มุมที่ถูกจารึกไว้ทั้งหมดที่มีส่วนโค้งหนึ่งมีค่าเท่ากัน

เราแสดงให้เห็น:

มีมุมที่ถูกจารึกไว้จำนวนนับไม่ถ้วนตามส่วนโค้งเดียวกัน (เรามีส่วนโค้งนี้) มุมเหล่านั้นอาจดูแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง แต่ทั้งหมดก็มีมุมที่ศูนย์กลางเหมือนกัน () ซึ่งหมายความว่ามุมที่ถูกจารึกเหล่านี้ทั้งหมดเท่ากัน

ข้อพิสูจน์ 2

มุมที่ต่อด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางจะเป็นมุมฉาก

ดู: มุมใดเป็นศูนย์กลางของ?

แน่นอน, . แต่เขาเท่าเทียมกัน! ดังนั้น (รวมถึงมุมที่ถูกจารึกไว้อีกมากมายที่วางอยู่) และมีค่าเท่ากัน

มุมระหว่างสองคอร์ดและเซแคนต์

แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามุมที่เราสนใจไม่ได้ถูกจารึกไว้และไม่ได้อยู่ตรงกลาง แต่เป็นตัวอย่างดังนี้:

หรือแบบนี้?

เป็นไปได้ไหมที่จะแสดงมันผ่านมุมตรงกลางบางมุม? ปรากฎว่ามันเป็นไปได้ ดู: เรามีความสนใจ

ก) (เป็นมุมภายนอกสำหรับ) แต่ - จารึกไว้ วางอยู่บนส่วนโค้ง - - จารึกไว้, วางอยู่บนส่วนโค้ง - .

เพื่อความงามพวกเขาพูดว่า:

มุมระหว่างคอร์ดเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของค่าเชิงมุมของส่วนโค้งที่อยู่ในมุมนี้

พวกเขาเขียนสิ่งนี้เพื่อความกระชับ แต่แน่นอนว่า เมื่อใช้สูตรนี้ คุณจะต้องคำนึงถึงมุมที่อยู่ตรงกลางด้วย

b) และตอนนี้ - "ข้างนอก"! เป็นไปได้ยังไง? ใช่ เกือบจะเหมือนกัน! ตอนนี้เท่านั้น (เราใช้คุณสมบัติของมุมภายนอกอีกครั้ง) นั่นคือตอนนี้

และนั่นหมายความว่า... มานำความสวยงามและความกะทัดรัดมาสู่บันทึกและถ้อยคำ:

มุมระหว่างเส้นตัดมุมเท่ากับครึ่งหนึ่งของความแตกต่างในค่าเชิงมุมของส่วนโค้งที่อยู่ในมุมนี้

ตอนนี้คุณก็มีความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับมุมที่เกี่ยวข้องกับวงกลมแล้ว ไปข้างหน้า เผชิญกับความท้าทาย!

วงกลมและมุมที่อยู่ภายใน ระดับกลาง

แม้แต่เด็กห้าขวบยังรู้ว่าวงกลมคืออะไรใช่ไหม? นักคณิตศาสตร์มีคำจำกัดความที่ชัดเจนในเรื่องนี้เช่นเคย แต่เราจะไม่ให้คำจำกัดความ (ดู) แต่ให้เราจำไว้ว่าจุด เส้น และมุมที่เกี่ยวข้องกับวงกลมเรียกว่าอะไร

ข้อกำหนดที่สำคัญ

ก่อนอื่นเลย:

ศูนย์กลางของวงกลม- จุดที่ทุกจุดบนวงกลมมีระยะห่างเท่ากัน

ประการที่สอง:

มีอีกสำนวนหนึ่งที่ได้รับการยอมรับ: “คอร์ดหดตัวส่วนโค้ง” ในรูปนี้ คอร์ดรองรับส่วนโค้ง และหากจู่ๆ คอร์ดผ่านตรงกลาง ก็จะมีชื่อพิเศษว่า "เส้นผ่านศูนย์กลาง"

อย่างไรก็ตาม เส้นผ่านศูนย์กลางและรัศมีมีความสัมพันธ์กันอย่างไร? ดูอย่างระมัดระวัง แน่นอน

และตอนนี้ - ชื่อของมุม

เป็นธรรมชาติใช่ไหม? ด้านข้างของมุมยื่นออกมาจากจุดศูนย์กลาง - ซึ่งหมายความว่ามุมนั้นเป็นศูนย์กลาง

นี่คือจุดที่บางครั้งความยากลำบากเกิดขึ้น ให้ความสนใจ - ไม่มีมุมใดๆ ภายในวงกลมที่ถูกจารึกไว้แต่มีเพียงคนเดียวเท่านั้นที่มีจุดยอด "นั่ง" บนวงกลมนั้นเอง

มาดูความแตกต่างในภาพ:

อีกวิธีหนึ่งที่พวกเขาพูดว่า:

มีจุดยุ่งยากจุดหนึ่งที่นี่ มุมกลาง "ที่สอดคล้องกัน" หรือ "ของตัวเอง" คืออะไร? แค่มุมที่มีจุดยอดอยู่ตรงกลางวงกลมและปลายอยู่ที่ปลายส่วนโค้งใช่ไหม? ไม่เชิง. ดูภาพวาดสิ

อย่างไรก็ตาม หนึ่งในนั้นดูไม่เหมือนมุมเลยด้วยซ้ำ มันใหญ่กว่า แต่สามเหลี่ยมไม่สามารถมีมุมได้มากกว่านี้ แต่วงกลมก็อาจดีได้! ดังนั้น: ส่วนโค้ง AB ที่เล็กกว่าจะสอดคล้องกับมุมที่เล็กกว่า (สีส้ม) และส่วนโค้งที่ใหญ่กว่าจะสอดคล้องกับมุมที่ใหญ่กว่า แบบนั้นเลยไม่ใช่เหรอ?

ความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของมุมที่ถูกจารึกไว้กับมุมที่ศูนย์กลาง

จำข้อความที่สำคัญมากนี้:

ในตำราเรียนพวกเขาชอบเขียนข้อเท็จจริงเดียวกันนี้ดังนี้:

ไม่เป็นความจริงหรือที่สูตรจะง่ายกว่าเมื่อมีมุมตรงกลาง?

แต่ถึงกระนั้น เรามาค้นหาความสอดคล้องระหว่างสองสูตรกัน และในขณะเดียวกันก็เรียนรู้ที่จะค้นหามุมกลางที่ "สอดคล้อง" และส่วนโค้งที่มุมที่ถูกจารึกไว้ "วางอยู่" ในภาพวาด

ดูสิ นี่คือวงกลมและมุมที่จารึกไว้:

มุมกลาง "ที่สอดคล้องกัน" อยู่ที่ไหน?

ลองดูอีกครั้ง:

กฎคืออะไร?

แต่! ในกรณีนี้ สิ่งสำคัญคือมุมที่จารึกไว้และมุมตรงกลางจะ "ดู" ที่ส่วนโค้งจากด้านหนึ่ง ตัวอย่างเช่น:

ผิดปกติพอสีฟ้า! เพราะส่วนโค้งยาวยาวเกินครึ่งวงกลม! ดังนั้นอย่าสับสน!

ผลที่ตามมาอะไรที่สามารถอนุมานได้จาก "ความครึ่งหนึ่ง" ของมุมที่ถูกจารึกไว้?

แต่ตัวอย่างเช่น:

มุมต่อด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง

คุณสังเกตเห็นแล้วว่านักคณิตศาสตร์ชอบพูดถึงเรื่องเดียวกัน ด้วยคำพูดที่แตกต่างกัน- ทำไมพวกเขาต้องการสิ่งนี้? คุณเห็นไหมว่าภาษาของคณิตศาสตร์ถึงแม้จะเป็นทางการ แต่ก็ยังมีชีวิตอยู่ และด้วยเหตุนี้ ดังเช่นใน ภาษาธรรมดาทุกครั้งที่ต้องการพูดในแบบที่สะดวกยิ่งขึ้น เราได้เห็นแล้วว่า "มุมวางอยู่บนส่วนโค้ง" หมายความว่าอย่างไร ลองนึกภาพภาพเดียวกันนี้เรียกว่า "มุมวางอยู่บนคอร์ด" อันไหน? ใช่แน่นอนสำหรับคนที่ทำให้ส่วนโค้งนี้กระชับขึ้น!

เมื่อไหร่จะสะดวกกว่าที่จะพึ่งพาคอร์ดมากกว่าส่วนโค้ง?

โดยเฉพาะเมื่อคอร์ดนี้มีเส้นผ่านศูนย์กลาง

มีข้อความที่เรียบง่าย สวยงาม และมีประโยชน์อย่างน่าประหลาดใจสำหรับสถานการณ์เช่นนี้!

ดูสิ นี่คือวงกลม เส้นผ่านศูนย์กลาง และมุมที่วางอยู่บนวงกลม

วงกลมและมุมที่อยู่ภายใน สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

1. แนวคิดพื้นฐาน

3. การวัดส่วนโค้งและมุม

มุมเรเดียนคือมุมที่ศูนย์กลางซึ่งมีความยาวส่วนโค้งเท่ากับรัศมีของวงกลม

นี่คือตัวเลขที่แสดงอัตราส่วนระหว่างความยาวของครึ่งวงกลมต่อรัศมี

เส้นรอบวงรัศมีจะเท่ากับ

4. ความสัมพันธ์ระหว่างค่าของมุมที่ถูกจารึกไว้และมุมที่ศูนย์กลาง

เอาล่ะ หัวข้อมันจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางสิ่งได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบแสดงว่าคุณอยู่ใน 5% นี้!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณเข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำอีกครั้งว่า...นี่มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าคนรอบข้างส่วนใหญ่อยู่แล้ว

ปัญหาคือว่านี่อาจไม่เพียงพอ...

เพื่ออะไร?

เพื่อความสำเร็จ ผ่านการสอบ Unified Stateสำหรับการเข้าศึกษาในวิทยาลัยด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใด ฉันจะพูดสิ่งเดียวเท่านั้น...

คนที่ได้รับ การศึกษาที่ดีมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับมันมาก นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาเช่นนี้) อาจเป็นเพราะโอกาสมากมายเปิดกว้างต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเองนะ...

ต้องใช้อะไรบ้างเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่นๆ ในการสอบ Unified State และสุดท้ายจะ... มีความสุขมากขึ้น?

รับมือกับปัญหาในหัวข้อนี้

คุณจะไม่ถูกถามถึงทฤษฎีในระหว่างการสอบ

คุณจะต้อง แก้ปัญหากับเวลา.

และหากคุณยังไม่ได้แก้ไข (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ อย่างแน่นอนหรือไม่มีเวลาเลย

มันเหมือนกับในกีฬา คุณต้องทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งจึงจะชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหา การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และแน่นอนว่าเราแนะนำพวกเขา

เพื่อให้ใช้งานของเราได้ดียิ่งขึ้น คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อคงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความทั้ง 99 บทของหนังสือเรียน - ซื้อหนังสือเรียน - 499 RUR

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนของเราและเข้าถึงงานทั้งหมดได้ และสามารถเปิดข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุการใช้งานของไซต์

และโดยสรุป...

หากคุณไม่ชอบงานของเราก็หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจแล้ว” และ “ฉันแก้ได้” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!

หลักสูตรวิดีโอ "Get an A" มีหัวข้อทั้งหมดที่คุณต้องการ สำเร็จลุล่วงการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ 60-65 คะแนน ครบทุกปัญหา 1-13 การตรวจสอบโปรไฟล์ Unified Stateในวิชาคณิตศาสตร์ ยังเหมาะสำหรับการผ่านการสอบ Basic Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย หากคุณต้องการผ่านการสอบ Unified State ด้วยคะแนน 90-100 คุณต้องแก้ส่วนที่ 1 ใน 30 นาทีโดยไม่มีข้อผิดพลาด!

หลักสูตรเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State สำหรับเกรด 10-11 รวมถึงสำหรับครูผู้สอน ทุกสิ่งที่คุณต้องการเพื่อแก้ส่วนที่ 1 ของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหา 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่คือมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียน 100 คะแนนและนักศึกษามนุษยศาสตร์ก็สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา

ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด วิธีที่รวดเร็วแนวทางแก้ไข ข้อผิดพลาด และความลับของการสอบ Unified State งานปัจจุบันทั้งหมดของส่วนที่ 1 จาก FIPI Task Bank ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ Unified State Exam 2018 อย่างสมบูรณ์

หลักสูตรประกอบด้วย 5 หัวข้อใหญ่ หัวข้อละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อได้รับตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน

งานสอบ Unified State หลายร้อยรายการ ปัญหาคำศัพท์และทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมที่ง่ายและง่ายต่อการจดจำสำหรับการแก้ปัญหา เรขาคณิต. ทฤษฎี, วัสดุอ้างอิง, วิเคราะห์งาน Unified State Examination ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี วิธีแก้ปัญหาที่ยุ่งยาก เอกสารโกงที่มีประโยชน์ การพัฒนา จินตนาการเชิงพื้นที่- ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้นจนถึงปัญหา 13 ทำความเข้าใจแทนที่จะยัดเยียด คำอธิบายที่ชัดเจนของแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก กำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ พื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหา งานที่ซับซ้อน 2 ส่วนของการสอบ Unified State

วงกลมเป็นตัวเลขหลักในเรขาคณิตซึ่งมีการศึกษาคุณสมบัติที่โรงเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ปัญหาทั่วไปประการหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับวงกลมคือการหาพื้นที่ของบางส่วนของวงกลมซึ่งเรียกว่าเซกเตอร์วงกลม บทความนี้มีสูตรสำหรับพื้นที่ของเซกเตอร์และความยาวของส่วนโค้งรวมถึงตัวอย่างการใช้งานเพื่อแก้ไขปัญหาเฉพาะ

แนวคิดเรื่องเส้นรอบวงและวงกลม

ก่อนที่จะให้สูตรพื้นที่เซกเตอร์ของวงกลม ให้เราพิจารณาว่าตัวเลขที่ระบุนั้นคืออะไร ตามคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ วงกลมถูกเข้าใจว่าเป็นรูปบนเครื่องบิน ซึ่งจุดทั้งหมดอยู่ห่างจากจุดหนึ่ง (ศูนย์กลาง) เท่ากัน

เมื่อพิจารณาวงกลม จะใช้คำศัพท์ต่อไปนี้:

• รัศมีคือส่วนที่ลากจากจุดศูนย์กลางไปยังส่วนโค้งของวงกลม โดยปกติจะแสดงด้วยตัวอักษร R
• เส้นผ่านศูนย์กลางคือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดสองจุดบนวงกลม แต่ยังผ่านจุดศูนย์กลางของรูปด้วย โดยปกติจะแสดงด้วยตัวอักษร D
• ส่วนโค้งเป็นส่วนหนึ่งของวงกลมโค้ง มีหน่วยวัดเป็นหน่วยความยาวหรือใช้มุม

วงกลมเป็นอีกรูปหนึ่งที่สำคัญในเรขาคณิต มันคือชุดของจุดที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งของวงกลม

พื้นที่ของวงกลมและเส้นรอบวง

ค่าที่ระบุไว้ในชื่อของรายการจะคำนวณโดยใช้สองค่า สูตรง่ายๆ- พวกเขาได้รับด้านล่าง:

• เส้นรอบวง: L = 2*pi*R
• พื้นที่ของวงกลม: S = pi*R 2 .

ในสูตรเหล่านี้ pi คือค่าคงที่จำนวนหนึ่งที่เรียกว่าเลขพาย มันไม่ลงตัว กล่าวคือ ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนอย่างง่ายได้อย่างถูกต้อง ค่าประมาณของ Pi คือ 3.1416

ดังที่เห็นได้จากสำนวนข้างต้น ในการคำนวณพื้นที่และความยาว แค่รู้เฉพาะรัศมีของวงกลมก็เพียงพอแล้ว

พื้นที่เซกเตอร์ของวงกลมและความยาวของส่วนโค้ง

ก่อนที่จะพิจารณาสูตรที่เกี่ยวข้อง ให้เราจำไว้ว่ามุมในเรขาคณิตมักจะแสดงออกมาในสองวิธีหลัก:

• ในองศาหกเท่า โดยมีการหมุนรอบแกนอย่างสมบูรณ์คือ 360 o;
• เป็นเรเดียน ซึ่งแสดงเป็นเศษส่วนของตัวเลข pi และสัมพันธ์กับองศาด้วยความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: 2*pi = 360 o

เซกเตอร์ของวงกลมคือรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นสามเส้น: ส่วนโค้งของวงกลมและรัศมีสองรัศมีที่ปลายส่วนโค้งนี้ ตัวอย่างของเซกเตอร์วงกลมแสดงอยู่ในรูปภาพด้านล่าง

เมื่อได้รับแนวคิดว่าเซกเตอร์ของวงกลมคืออะไร จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจวิธีคำนวณพื้นที่และความยาวของส่วนโค้งที่สอดคล้องกัน จากรูปด้านบน จะเห็นได้ว่าส่วนโค้งของเซกเตอร์สอดคล้องกับมุม θ เรารู้ว่าวงกลมที่สมบูรณ์สอดคล้องกับ 2*pi เรเดียน ซึ่งหมายความว่าสูตรสำหรับพื้นที่ของเซกเตอร์วงกลมจะอยู่ในรูปแบบ: S 1 = S*θ/(2*pi) = pi*R 2 * θ/(2*ไพ) = θ*R 2 /2 ในที่นี้มุม θ แสดงเป็นเรเดียน สูตรที่คล้ายกันสำหรับพื้นที่เซกเตอร์หากวัดมุม θ เป็นองศาจะมีลักษณะดังนี้: S 1 = pi*θ*R 2 /360

ความยาวของส่วนโค้งที่สร้างเซกเตอร์คำนวณโดยสูตร: L 1 = θ*2*pi*R/(2*pi) = θ*R และถ้าทราบ θ เป็นองศา ดังนั้น L 1 = pi*θ*R/180

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ยกตัวอย่างปัญหาง่ายๆ เราจะแสดงวิธีใช้สูตรสำหรับพื้นที่เซกเตอร์ของวงกลมและความยาวของส่วนโค้ง

เป็นที่รู้กันว่าล้อมี 12 ซี่ เมื่อล้อหมุนครบหนึ่งรอบ มันจะครอบคลุมระยะทาง 1.5 เมตร พื้นที่ที่อยู่ระหว่างซี่ล้อสองซี่ที่อยู่ติดกันคือเท่าใด และส่วนโค้งระหว่างซี่ล้อทั้งสองเป็นเท่าใด

ดังที่เห็นได้จากสูตรที่เกี่ยวข้อง เพื่อที่จะใช้งาน คุณจำเป็นต้องทราบปริมาณสองค่า ได้แก่ รัศมีของวงกลมและมุมของส่วนโค้ง รัศมีสามารถคำนวณได้จากความรู้เรื่องเส้นรอบวงของล้อ เนื่องจากระยะทางที่มันเคลื่อนที่ในการปฏิวัติหนึ่งครั้งจะสอดคล้องกับรัศมีนั้นทุกประการ เรามี: 2*R*pi = 1.5 โดยที่: R = 1.5/(2*pi) = 0.2387 เมตร มุมระหว่างซี่ล้อที่ใกล้ที่สุดสามารถกำหนดได้โดยการรู้หมายเลขซี่ล้อเหล่านั้น สมมติว่าทั้ง 12 ซี่แบ่งวงกลมออกเป็นเซกเตอร์เท่าๆ กัน เราจะได้ 12 ซี่ที่เหมือนกัน ดังนั้น การวัดเชิงมุมของส่วนโค้งระหว่างซี่ทั้งสองจะเท่ากับ: θ = 2*pi/12 = pi/6 = 0.5236 เรเดียน

เราพบปริมาณที่จำเป็นทั้งหมดแล้ว ตอนนี้เราสามารถแทนที่มันลงในสูตรและคำนวณค่าที่ต้องการตามเงื่อนไขของปัญหาได้ เราได้รับ: S 1 = 0.5236 * (0.2387) 2/2 = 0.0149 m 2 หรือ 149 ซม. 2; L 1 = 0.5236*0.2387 = 0.125 ม. หรือ 12.5 ซม.

เส้นรอบวงเรียกว่าเส้นโค้งระนาบปิด ซึ่งทุกจุดซึ่งอยู่ในระนาบเดียวกันจะถูกลบออกด้วยระยะห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน

จุด เกี่ยวกับ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ร คือรัศมีของวงกลม - ระยะห่างจากจุดใดๆ บนวงกลมถึงจุดศูนย์กลาง โดยนิยามแล้วรัศมีทั้งหมดของรัศมีปิด

ข้าว. 1

เส้นโค้งมีความยาวเท่ากัน

ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนวงกลมเรียกว่าคอร์ด ส่วนของวงกลมที่ผ่านจุดศูนย์กลางและเชื่อมต่อจุดสองจุดเข้าด้วยกันเรียกว่าเส้นผ่านศูนย์กลาง จุดกึ่งกลางของเส้นผ่านศูนย์กลางคือจุดศูนย์กลางของวงกลม จุดบนวงกลมแบ่งเส้นโค้งปิดออกเป็นสองส่วน แต่ละส่วนเรียกว่าส่วนโค้งวงกลม หากปลายของส่วนโค้งอยู่ในเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมดังกล่าวจะเรียกว่าครึ่งวงกลมซึ่งมักจะแสดงความยาว π - องศาของวงกลมสองวงที่มีปลายเหมือนกันคือ 360 องศา

วงกลมมีศูนย์กลางร่วมกันคือวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกัน วงกลมตั้งฉากคือวงกลมที่ตัดกันที่มุม 90 องศา

ระนาบที่ล้อมรอบด้วยวงกลมเรียกว่าวงกลม ส่วนหนึ่งของวงกลมซึ่งถูกจำกัดด้วยสองรัศมีและส่วนโค้งคือเซกเตอร์วงกลม ส่วนโค้งของเซกเตอร์คือส่วนโค้งที่ขอบเขตของเซกเตอร์

ข้าว. 2

ตำแหน่งสัมพัทธ์ของวงกลมและเส้นตรง (รูปที่ 2)

วงกลมและเส้นตรงจะมีจุดเหมือนกันสองจุด ถ้าระยะห่างจากเส้นตรงถึงศูนย์กลางของวงกลมน้อยกว่ารัศมีของวงกลม ในกรณีนี้ เส้นตรงที่สัมพันธ์กับวงกลมเรียกว่าเส้นตัด

วงกลมและเส้นตรงมีจุดร่วมจุดเดียวถ้าระยะห่างจากเส้นตรงถึงศูนย์กลางของวงกลมเท่ากับรัศมีของวงกลม ในกรณีนี้ เส้นที่สัมพันธ์กับวงกลมเรียกว่าเส้นสัมผัสวงกลม ของพวกเขา จุดทั่วไปเรียกว่าจุดสัมผัสระหว่างวงกลมกับเส้นตรง

สูตรวงกลมพื้นฐาน:

• C = 2πR , ที่ไหน ค - เส้นรอบวง
• R = С/(2π) = D/2 , ที่ไหน ซ/(2π) - ความยาวของส่วนโค้งของวงกลม
• D = C/π = 2R , ที่ไหน ดี - เส้นผ่านศูนย์กลาง
• ส = πR2 , ที่ไหน ส - พื้นที่ของวงกลม
• S = ((πR2)/360)α , ที่ไหน ส – พื้นที่ภาควงกลม

เส้นรอบวงและวงกลมมีชื่อในภาษากรีกโบราณ ในสมัยโบราณผู้คนสนใจวัตถุทรงกลม ดังนั้นวงกลมจึงกลายเป็นมงกุฎแห่งความสมบูรณ์แบบ อะไร ตัวกลมสามารถเคลื่อนที่ได้เองกลายเป็นแรงผลักดันให้เกิดการประดิษฐ์วงล้อ ดูเหมือนว่ามีอะไรพิเศษเกี่ยวกับสิ่งประดิษฐ์นี้? แต่ลองจินตนาการดูว่าหากวงล้อหายไปจากชีวิตเราในทันที สิ่งประดิษฐ์นี้ต่อมาได้ให้กำเนิด แนวคิดทางคณิตศาสตร์วงกลม

ปัญหาในการหาพื้นที่ของวงกลม - ภาคบังคับ ส่วนหนึ่งของการสอบ Unified Stateในวิชาคณิตศาสตร์ ตามกฎแล้ว หัวข้อนี้ถูกกำหนดให้กับงานหลายอย่างพร้อมกันในการทดสอบการรับรอง นักเรียนมัธยมปลายทุกคนโดยไม่คำนึงถึงระดับการเตรียมตัวควรเข้าใจอัลกอริทึมในการค้นหาเส้นรอบวงและพื้นที่ของวงกลม

หากงานวางแผนดังกล่าวทำให้คุณประสบปัญหา เราขอแนะนำให้คุณไปที่พอร์ทัลการศึกษาของ Shkolkovo กับเราคุณสามารถเติมเต็มช่องว่างในความรู้ได้

ส่วนที่เกี่ยวข้องของไซต์นำเสนอปัญหามากมายในการค้นหาเส้นรอบวงและพื้นที่ของวงกลม คล้ายกับปัญหาที่รวมอยู่ในการสอบ Unified State เมื่อเรียนรู้ที่จะปฏิบัติอย่างถูกต้องแล้วผู้สำเร็จการศึกษาจะสามารถรับมือกับการสอบได้สำเร็จ

ไฮไลท์

ปัญหาที่ต้องใช้สูตรพื้นที่อาจเป็นปัญหาทางตรงหรือทางผกผันก็ได้ ในกรณีแรกจะทราบพารามิเตอร์ขององค์ประกอบรูป ในกรณีนี้ ปริมาณที่ต้องการคือพื้นที่ ในกรณีที่สอง ตรงกันข้าม พื้นที่นั้นเป็นที่รู้จัก และจำเป็นต้องค้นหาองค์ประกอบบางส่วนของภาพ อัลกอริธึมสำหรับการคำนวณคำตอบที่ถูกต้องในงานดังกล่าวจะแตกต่างกันเฉพาะตามลำดับที่ใช้สูตรพื้นฐานเท่านั้น ด้วยเหตุนี้เมื่อเริ่มแก้ไขปัญหาดังกล่าวจึงจำเป็นต้องทำซ้ำเนื้อหาทางทฤษฎี

บน พอร์ทัลการศึกษา“Shkolkovo” นำเสนอข้อมูลพื้นฐานทั้งหมดในหัวข้อ “การค้นหาความยาวของวงกลมหรือส่วนโค้งและพื้นที่ของวงกลม” รวมถึงในหัวข้ออื่นๆ เช่น ผู้เชี่ยวชาญของเราได้จัดทำและนำเสนออย่างที่สุด แบบฟอร์มที่สามารถเข้าถึงได้

เมื่อจำสูตรพื้นฐานได้แล้ว นักเรียนสามารถเริ่มแก้ปัญหาในการค้นหาพื้นที่ของวงกลมได้ เช่นเดียวกับที่รวมอยู่ในการสอบ Unified State ทางออนไลน์ สำหรับการฝึกแต่ละครั้งบนเว็บไซต์จะมีการนำเสนอ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดและคำตอบที่ถูกต้องก็จะได้รับ หากจำเป็น คุณสามารถบันทึกงานใดๆ ไว้ในส่วน "รายการโปรด" เพื่อกลับมาที่งานนั้นในภายหลังและหารือกับครู