ความหมายทางเรขาคณิตและกายภาพ อนุพันธ์ ความหมายทางเรขาคณิตและทางกลของอนุพันธ์ ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x0

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

1. คำจำกัดความของอนุพันธ์ ความหมายทางเรขาคณิต

2. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

3. อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน

4. อนุพันธ์ลำดับที่สูงขึ้น

5. ฟังก์ชันที่กำหนดโดยพารามิเตอร์และโดยปริยาย

6. ความแตกต่างของฟังก์ชันที่ระบุทั้งแบบพาราเมตริกและโดยปริยาย

การแนะนำ.

ต้นกำเนิดของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์คือคำถามสองข้อที่เกิดขึ้นจากความต้องการของวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีในศตวรรษที่ 17

1) คำถามเกี่ยวกับการคำนวณความเร็วสำหรับกฎการเคลื่อนที่ที่กำหนดโดยพลการ

2) คำถามในการค้นหา (โดยใช้การคำนวณ) แทนเจนต์กับเส้นโค้งที่กำหนดโดยพลการ

ปัญหาในการวาดเส้นแทนเจนต์ให้กับเส้นโค้งบางส่วนได้รับการแก้ไขโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณอาร์คิมิดีส (287-212 ปีก่อนคริสตกาล) โดยใช้วิธีการวาดภาพ

แต่ในศตวรรษที่ 17 และ 18 เท่านั้นที่เกี่ยวข้องกับความก้าวหน้าของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและเทคโนโลยี ปัญหาเหล่านี้ได้รับการพัฒนาอย่างเหมาะสม

คำถามสำคัญประการหนึ่งเมื่อศึกษาปรากฏการณ์ทางกายภาพมักเป็นคำถามเรื่องความเร็ว ความเร็วของปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้น

ความเร็วในการเคลื่อนที่ของเครื่องบินหรือรถยนต์เป็นตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพที่สำคัญที่สุดเสมอ อัตราการเติบโตของประชากรของรัฐใดรัฐหนึ่งเป็นหนึ่งในลักษณะสำคัญของการพัฒนาสังคม

แนวคิดดั้งเดิมของความเร็วนั้นชัดเจนสำหรับทุกคน อย่างไรก็ตาม แนวคิดทั่วไปนี้ไม่เพียงพอที่จะแก้ปัญหาในทางปฏิบัติส่วนใหญ่ได้ จำเป็นต้องมีคำจำกัดความเชิงปริมาณของปริมาณนี้ซึ่งเราเรียกว่าความเร็ว ความจำเป็นในการกำหนดปริมาณที่แม่นยำเช่นนี้ถือเป็นแรงจูงใจหลักประการหนึ่งในการสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ในอดีต การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ทั้งส่วนมีไว้เพื่อแก้ไขปัญหาพื้นฐานนี้และสรุปผลจากโซลูชันนี้ เรามาศึกษาส่วนนี้กันต่อ

คำจำกัดความของอนุพันธ์ ความหมายทางเรขาคณิต

ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ในช่วงเวลาหนึ่ง (ก,ค)และต่อเนื่องอยู่ในนั้น

1. มาโต้แย้งกันเถอะ เอ็กซ์เพิ่มขึ้น จากนั้นฟังก์ชันจะได้ค่า

เพิ่มขึ้น:

2. มาสร้างความสัมพันธ์กันเถอะ .

3. ผ่านไปจนถึงขีดจำกัดที่ และ สมมติว่าขีดจำกัดนั้น

มีอยู่ เราก็จะได้ปริมาณที่เรียกว่า

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเทียบกับอาร์กิวเมนต์ เอ็กซ์.

คำนิยาม.อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เมื่อ →0

มูลค่าของอนุพันธ์นั้นขึ้นอยู่กับประเด็นอย่างชัดเจน เอ็กซ์ซึ่งพบได้ ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันจึงกลายเป็นฟังก์ชันบางส่วนของ เอ็กซ์- แสดงโดย .

ตามคำนิยามที่เรามี

หรือ (3)

ตัวอย่าง.ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

1. ;

เราเริ่มต้นบทความนี้ด้วยภาพรวมของคำจำกัดความและแนวคิดที่จำเป็น

หลังจากนี้ เราจะไปเขียนสมการของเส้นสัมผัสกันและเสนอวิธีแก้ไขโดยละเอียดสำหรับตัวอย่างและปัญหาทั่วไปส่วนใหญ่

โดยสรุป เราจะเน้นไปที่การค้นหาสมการของเส้นโค้งแทนเจนต์กับเส้นโค้งอันดับสอง ซึ่งได้แก่ วงกลม วงรี ไฮเปอร์โบลา และพาราโบลา

การนำทางหน้า

คำจำกัดความและแนวคิด

คำนิยาม.

มุมของเส้นตรง y=kx+b คือมุมที่วัดจากทิศทางบวกของแกน x ถึงเส้นตรง y=kx+b ในทิศทางบวก (นั่นคือ ทวนเข็มนาฬิกา)

ในรูป ทิศทางบวกของแกน x แสดงด้วยลูกศรสีเขียวแนวนอน ทิศทางบวกของมุมแสดงด้วยส่วนโค้งสีเขียว เส้นตรงแสดงด้วยเส้นสีน้ำเงิน และมุมเอียงของเส้นตรง เส้นจะแสดงด้วยส่วนโค้งสีแดง

คำนิยาม.

ความชันของเส้นตรง y=kx+b เรียกว่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข k

ความชันของเส้นตรงเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงนั่นคือ .

คำนิยาม.

โดยตรง เรียก AB ที่ลากผ่านจุดสองจุดบนกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ตัดออก- กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัดออกคือเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุดบนกราฟของฟังก์ชัน

ในรูป เส้นตัดขวาง AB แสดงเป็นเส้นสีน้ำเงิน กราฟของฟังก์ชัน y=f(x) แสดงเป็นเส้นโค้งสีดำ และมุมเอียงของเส้นตัดเส้นแสดงเป็นส่วนโค้งสีแดง

หากเราคำนึงว่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงเท่ากับแทนเจนต์ของมุมเอียง (ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น) และแทนเจนต์ของมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับ ที่อยู่ติดกัน (นี่คือคำจำกัดความของแทนเจนต์ของมุม) จากนั้นชุดของความเท่าเทียมกันจะเป็นจริงสำหรับซีแคนต์ของเรา , ช่องว่างของจุด A และ B อยู่ที่ไหน - ค่าฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน

นั่นคือ มุมตัดถูกกำหนดด้วยความเท่าเทียมกัน หรือ , ก สมการซีแคนต์เขียนในรูปแบบ หรือ (หากจำเป็น โปรดดูส่วนนี้)

เส้นตัดแบ่งกราฟของฟังก์ชันออกเป็นสามส่วน: ทางด้านซ้ายของจุด A จาก A ถึง B และทางด้านขวาของจุด B แม้ว่าอาจมีจุดเหมือนกันมากกว่าสองจุดกับกราฟของฟังก์ชันก็ตาม

รูปด้านล่างแสดงเส้นตัดกันสามเส้นที่แตกต่างกันจริงๆ (จุด A และ B ต่างกัน) แต่จะตรงกันและได้รับจากสมการเดียว

เราไม่เคยเจอเรื่องเส้นตัดของเส้นตรงเลย แต่ถึงกระนั้น ถ้าเราเริ่มจากนิยาม เส้นตรงกับเส้นตัดฉากจะตรงกัน

ในบางกรณี เส้นตัดกันอาจมีจุดตัดกับกราฟของฟังก์ชันเป็นจำนวนอนันต์ ตัวอย่างเช่น เส้นตัดที่กำหนดโดยสมการ y=0 มีจำนวนจุดร่วมกับไซนัสอยด์เป็นจำนวนอนันต์

คำนิยาม.

แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ที่จุดนั้นเรียกว่าเส้นตรงที่ผ่านจุดโดยมีส่วนที่กราฟของฟังก์ชันผสานเข้าด้วยกันสำหรับค่า x ใกล้กับโดยพลการ .

ให้เราอธิบายคำจำกัดความนี้ด้วยตัวอย่าง ให้เราแสดงว่าเส้นตรง y = x+1 สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่จุด (1; 2) ในการทำเช่นนี้ เราจะแสดงกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้เมื่อเราเข้าใกล้จุดสัมผัส (1; 2) กราฟของฟังก์ชันจะแสดงเป็นสีดำ เส้นสัมผัสกันจะแสดงเป็นเส้นสีน้ำเงิน และจุดสัมผัสจะแสดงเป็นจุดสีแดง

ภาพวาดที่ตามมาแต่ละภาพเป็นพื้นที่ที่ขยายใหญ่ขึ้นของภาพวาดก่อนหน้า (พื้นที่เหล่านี้ถูกเน้นด้วยสี่เหลี่ยมสีแดง)

เห็นได้ชัดว่าเมื่อใกล้จุดสัมผัสกัน กราฟของฟังก์ชันจะผสานเข้ากับเส้นสัมผัสกัน y=x+1

ทีนี้ เรามาดูคำจำกัดความของแทนเจนต์ที่มีความหมายมากขึ้นกันดีกว่า

ในการทำเช่นนี้ เราจะแสดงว่าจะเกิดอะไรขึ้นกับเส้นตัด AB หากจุด B อยู่ใกล้จุด A มาก

รูปด้านล่างแสดงให้เห็นถึงกระบวนการนี้

เส้นตัด AB (แสดงเป็นเส้นประสีน้ำเงิน) จะมีแนวโน้มที่จะเข้ารับตำแหน่งของเส้นสัมผัสกันเป็นเส้นตรง (แสดงเป็นเส้นทึบสีน้ำเงิน) มุมเอียงของเส้นตัดเส้น (แสดงเป็นส่วนโค้งประสีแดง) จะมีแนวโน้ม มุมเอียงของแทนเจนต์ (แสดงเป็นส่วนโค้งทึบสีแดง)

คำนิยาม.

ดังนั้น, แทนกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ที่จุด Aคือตำแหน่งจำกัดของเส้นตัด AB ที่

ตอนนี้เราสามารถอธิบายความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งได้แล้ว

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

ให้เราพิจารณาเส้นตัด AB ของกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) โดยที่จุด A และ B มีพิกัดและตามลำดับ การเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์อยู่ที่ไหน ให้เราแสดงด้วยการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ทำเครื่องหมายทุกอย่างบนภาพวาด:

จากสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC เราได้ เนื่องจากตามคำนิยามแล้ว แทนเจนต์คือตำแหน่งจำกัดของเส้นตัดมุม .

ให้เราจำคำจำกัดความของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง: อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=f(x) ที่จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ที่ แสดงแทน .

เพราะฉะนั้น, , ความชันของแทนเจนต์อยู่ที่ไหน

ดังนั้น การมีอยู่ของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=f(x) ที่จุดหนึ่งจะเทียบเท่ากับการมีอยู่ของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ที่จุดแทนเจนต์ และ ความชันของแทนเจนต์เท่ากับค่าของอนุพันธ์ ณ จุดนั้นนั่นคือ

เราสรุป: ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งประกอบด้วยการมีอยู่ของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้

สมการของเส้นสัมผัสกัน

ในการเขียนสมการของเส้นตรงใดๆ บนระนาบ ก็เพียงพอแล้วที่จะทราบสัมประสิทธิ์เชิงมุมและจุดที่มันผ่านไป เส้นสัมผัสกันผ่านจุดสัมผัสกันและค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของฟังก์ชันหาอนุพันธ์จะเท่ากับค่าของอนุพันธ์ที่จุดนั้น นั่นคือจากจุดนั้นเราสามารถนำข้อมูลทั้งหมดมาเขียนสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งได้

สมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ที่จุดหนึ่งดูเหมือนว่า

เราถือว่าอนุพันธ์มีค่าจำกัด ไม่เช่นนั้นแทนเจนต์จะเป็นเส้นตรงหรือแนวตั้ง (ถ้า และ ) หรือไม่มีอยู่ (ถ้า ).

ขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม แทนเจนต์สามารถขนานกับแกน abscissa () ขนานกับแกนกำหนด (ในกรณีนี้สมการแทนเจนต์จะมีรูปแบบ) เพิ่มขึ้น () หรือลดลง ()

ถึงเวลายกตัวอย่างเพื่อความกระจ่างแล้ว

ตัวอย่าง.

เขียนสมการแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชัน ที่จุด (-1;-3) และกำหนดมุมเอียง

สารละลาย.

ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้สำหรับจำนวนจริงทั้งหมด (โปรดดูบทความหากจำเป็น) เนื่องจาก (-1;-3) เป็นจุดสัมผัสแล้ว .

เราค้นหาอนุพันธ์ (สำหรับสิ่งนี้ เนื้อหาในบทความที่สร้างความแตกต่างของฟังก์ชัน การค้นหาอนุพันธ์อาจมีประโยชน์) และคำนวณค่าของมันที่จุด:

เนื่องจากค่าของอนุพันธ์ ณ จุดแทนเจนต์คือความชันของแทนเจนต์ และมันเท่ากับแทนเจนต์ของมุมเอียง ดังนั้น .

ดังนั้นมุมเอียงของแทนเจนต์จึงเท่ากับ และสมการของเส้นสัมผัสกันมีรูปแบบ

ภาพประกอบกราฟฟิค

กราฟของฟังก์ชันดั้งเดิมจะแสดงเป็นสีดำ เส้นสัมผัสกันแสดงเป็นเส้นสีน้ำเงิน และจุดสัมผัสกันจะแสดงเป็นจุดสีแดง ภาพด้านขวาเป็นภาพขยายของพื้นที่ที่ระบุโดยสี่เหลี่ยมจุดสีแดงในภาพด้านซ้าย

ตัวอย่าง.

ค้นหาว่ามีเส้นสัมผัสกันกับกราฟของฟังก์ชันหรือไม่ ณ จุด (1; 1) ถ้าใช่ ให้เขียนสมการและหามุมเอียง

สารละลาย.

โดเมนของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด

ค้นหาอนุพันธ์:

เมื่ออนุพันธ์ไม่ได้กำหนดไว้แต่ และ ดังนั้น ณ จุด (1;1) จะมีแทนเจนต์แนวตั้ง สมการของมันคือ x = 1 และมุมเอียงเท่ากับ

ภาพประกอบกราฟฟิค

ตัวอย่าง.

ค้นหาจุดทั้งหมดบนกราฟของฟังก์ชันที่:
ก) ไม่มีแทนเจนต์; b) แทนเจนต์ขนานกับแกน x; c) แทนเจนต์ขนานกับเส้นตรง

สารละลาย.

เช่นเคย เราเริ่มต้นด้วยโดเมนของนิยามของฟังก์ชัน ในตัวอย่างของเรา ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดให้กับจำนวนจริงทั้งชุด ลองขยายเครื่องหมายมอดุลัสดู โดยพิจารณาสองช่วงและ :

มาแยกความแตกต่างฟังก์ชั่นกัน:

ที่ x=-2 อนุพันธ์ไม่มีอยู่ เนื่องจากขีดจำกัดด้านเดียว ณ จุดนี้ไม่เท่ากัน:

ดังนั้น เมื่อคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ x=-2 แล้ว เราก็สามารถให้คำตอบแก่จุด a ได้): ไม่มีค่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันอยู่ที่จุด (-2;-2)

b) แทนเจนต์จะขนานกับแกน x ถ้าความชันเป็นศูนย์ (แทนเจนต์ของมุมเอียงเป็นศูนย์) เพราะ จากนั้นเราจำเป็นต้องค้นหาค่าทั้งหมดของ x ที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันหายไป ค่าเหล่านี้จะเป็นค่า abscissa ของจุดแทนเจนต์ที่แทนเจนต์ขนานกับแกน Ox

เมื่อเราแก้สมการ และเมื่อใดจะได้สมการ :

ยังคงคำนวณค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน:

นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม - จุดที่ต้องการของกราฟฟังก์ชัน

ภาพประกอบกราฟฟิค

กราฟของฟังก์ชันดั้งเดิมแสดงด้วยเส้นสีดำ จุดสีแดงแสดงถึงจุดที่พบซึ่งแทนเจนต์ขนานกับแกนแอบซิสซา

c) ถ้าเส้นตรงสองเส้นบนระนาบขนานกัน ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมจะเท่ากัน (เขียนไว้ในบทความ) จากข้อความนี้ เราจำเป็นต้องค้นหาจุดทั้งหมดบนกราฟของฟังก์ชันที่มีความชันของแทนเจนต์เท่ากับ 8/5 นั่นคือเราต้องแก้สมการ ดังนั้นเมื่อเราแก้สมการแล้ว และเมื่อใดจะได้สมการ .

การแบ่งแยกสมการแรกเป็นลบ ดังนั้นจึงไม่มีรากที่แท้จริง:

สมการที่สองมีรากจริงสองอัน:

เราพบค่าฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน:

ตามจุดต่างๆ แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันจะขนานกับเส้นตรง

ภาพประกอบกราฟฟิค

กราฟของฟังก์ชันแสดงด้วยเส้นสีดำ เส้นสีแดง แสดงกราฟของเส้นตรง เส้นสีน้ำเงิน แสดงแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดต่างๆ .

สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ เนื่องจากคาบของฟังก์ชัน อาจมีเส้นสัมผัสกันจำนวนอนันต์ที่มีความชันเท่ากัน (ความชันเท่ากัน)

ตัวอย่าง.

เขียนสมการแทนเจนต์ทั้งหมดลงในกราฟของฟังก์ชัน ซึ่งตั้งฉากกับเส้น

สารละลาย.

ในการสร้างสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน เราเพียงแค่ต้องทราบความชันและพิกัดของจุดแทนเจนต์เท่านั้น

เราพบค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์จาก: ผลคูณของสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงตั้งฉากเท่ากับลบหนึ่ง นั่นคือ เนื่องจากตามเงื่อนไขแล้ว ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงตั้งฉากจะเท่ากับ ดังนั้น .

มาเริ่มค้นหาพิกัดของจุดสัมผัสกัน ขั้นแรก เรามาค้นหา abscissas จากนั้นคำนวณค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน - ซึ่งจะเป็นพิกัดของจุดสัมผัสกัน

เมื่ออธิบายความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง เราตั้งข้อสังเกตไว้ว่า จากความเท่าเทียมกันนี้ เราจะพบ abscissa ของจุดสัมผัสกัน

เรามาถึงสมการตรีโกณมิติแล้ว โปรดใส่ใจกับมัน เนื่องจากในภายหลังเราจะใช้มันในการคำนวณพิกัดของจุดสัมผัสกัน เราแก้ไขมันได้ (หากคุณมีปัญหาใด ๆ โปรดดูในส่วนนี้ การแก้สมการตรีโกณมิติ):

พบจุดหักเหของจุดสัมผัสกันแล้ว มาคำนวณพิกัดที่สอดคล้องกันกัน (ที่นี่เราใช้ความเท่าเทียมกันที่เราขอให้คุณใส่ใจที่ด้านบน):

ดังนั้นทุกจุดติดต่อ ดังนั้นสมการแทนเจนต์ที่ต้องการจึงมีรูปแบบดังนี้

ภาพประกอบกราฟฟิค

รูปเส้นโค้งสีดำแสดงกราฟของฟังก์ชันดั้งเดิมบนส่วน [-10;10] เส้นสีน้ำเงินแสดงถึงเส้นสัมผัสกัน มองเห็นได้ชัดเจนว่าตั้งฉากกับเส้นสีแดง จุดสัมผัสจะถูกทำเครื่องหมายด้วยจุดสีแดง

แทนเจนต์กับวงกลม วงรี ไฮเปอร์โบลา พาราโบลา

จนถึงจุดนี้ เรายุ่งอยู่กับการหาสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันค่าเดียวในรูปแบบ y = f(x) ที่จุดต่างๆ สมการมาตรฐานของเส้นโค้งอันดับสองไม่ใช่ฟังก์ชันค่าเดียว แต่เราสามารถแสดงวงกลม วงรี ไฮเปอร์โบลา และพาราโบลาได้โดยใช้ฟังก์ชันค่าเดียวสองตัวรวมกัน และหลังจากนั้น เราก็สามารถเขียนสมการแทนเจนต์ตามรูปแบบที่รู้จักกันดีได้

สัมผัสกันเป็นวงกลม

วงกลมโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุด และรัศมี R กำหนดโดย

ลองเขียนความเท่าเทียมกันนี้เป็นการรวมกันของสองฟังก์ชัน:

ที่นี่ฟังก์ชั่นแรกสอดคล้องกับครึ่งวงกลมบนฟังก์ชั่นที่สอง - ไปที่ฟังก์ชั่นล่าง

ดังนั้น เพื่อสร้างสมการแทนเจนต์ของวงกลมที่จุดที่เป็นของครึ่งวงกลมบน (หรือล่าง) เราจะพบสมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน (หรือ) ที่จุดที่ระบุ

มันง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่า ณ จุดต่างๆ ของวงกลมที่มีพิกัด และ แทนเจนต์จะขนานกับแกน x และกำหนดโดยสมการและตามลำดับ (ในรูปด้านล่างจะแสดงเป็นจุดสีน้ำเงินและเส้นตรงสีน้ำเงิน) และที่จุดต่างๆ และ - ขนานกับแกนกำหนดและมีสมการ และตามลำดับ (ในรูปด้านล่างจะมีจุดสีแดงและเส้นตรงสีแดง)

แทนเจนต์กับวงรี

วงรีมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดหนึ่ง ด้วยครึ่งแกน a และ b จะได้จากสมการ .

วงรีก็เหมือนกับวงกลม สามารถกำหนดได้โดยการรวมสองฟังก์ชันเข้าด้วยกัน - วงรีครึ่งบนและล่าง:

เส้นสัมผัสที่จุดยอดของวงรีจะขนานกับแกนแอบซิสซา (แสดงเป็นเส้นตรงสีน้ำเงินในรูปด้านล่าง) หรือแกนกำหนด (แสดงเป็นเส้นตรงสีแดงในรูปด้านล่าง)

นั่นคือครึ่งวงรีบนถูกกำหนดโดยฟังก์ชัน และอันล่าง - .

ตอนนี้เราสามารถใช้อัลกอริธึมมาตรฐานเพื่อสร้างสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งได้

แทนเจนต์แรกที่จุด:

แทนเจนต์ที่สองที่จุดหนึ่ง :

ภาพประกอบกราฟฟิค

แทนเจนต์ถึงอติพจน์

ไฮเปอร์โบลามีศูนย์กลางอยู่ที่จุดหนึ่ง และยอดเขา และ มอบให้ด้วยความเท่าเทียมกัน (ภาพด้านล่างซ้าย) และมีจุดยอด และ - ความเท่าเทียมกัน (ภาพด้านล่างขวา)

เมื่อนำฟังก์ชันสองฟังก์ชันมารวมกัน ไฮเปอร์โบลาสามารถแสดงเป็นได้

หรือ .

ที่จุดยอดของไฮเปอร์โบลา แทนเจนต์จะขนานกับแกน Oy สำหรับกรณีแรก และขนานกับแกน Ox สำหรับวินาที

ดังนั้น เพื่อค้นหาสมการของแทนเจนต์กับไฮเปอร์โบลา เราจะหาว่าจุดสัมผัสของฟังก์ชันใดเป็นของฟังก์ชันใด และดำเนินการตามปกติ

คำถามเชิงตรรกะเกิดขึ้น: จะทราบได้อย่างไรว่าจุดนั้นเป็นของฟังก์ชันใด ในการตอบคำถามนี้ เราจะแทนที่พิกัดลงในแต่ละสมการและดูว่าค่าที่เท่ากันใดกลายเป็นอัตลักษณ์ ลองดูตัวอย่างนี้

ตัวอย่าง.

เขียนสมการแทนเจนต์ของไฮเปอร์โบลา ณ จุด

สารละลาย.

ลองเขียนไฮเปอร์โบลาในรูปแบบของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน:

เรามาดูกันว่าจุดสัมผัสของฟังก์ชันใดเป็นของฟังก์ชันใด

ดังนั้นสำหรับฟังก์ชันแรก จุดจึงไม่อยู่ในกราฟของฟังก์ชันนี้

ดังนั้นสำหรับฟังก์ชันที่สอง จุดจึงอยู่ในกราฟของฟังก์ชันนี้

ค้นหาสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์:

ดังนั้นสมการแทนเจนต์จึงมีรูปแบบ

ภาพประกอบกราฟฟิค

แทนเจนต์กับพาราโบลา

เพื่อสร้างสมการแทนเจนต์ของพาราโบลาของแบบฟอร์ม ณ จุดหนึ่ง เราใช้โครงร่างมาตรฐาน และเขียนสมการแทนเจนต์เป็น เส้นสัมผัสของกราฟของพาราโบลาที่จุดยอดนั้นขนานกับแกน Ox

พาราโบลา ขั้นแรกเรากำหนดมันโดยการรวมสองฟังก์ชันเข้าด้วยกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาแก้สมการนี้สำหรับ y:

ตอนนี้เราพบว่าจุดสัมผัสเป็นของฟังก์ชันใดและดำเนินการตามรูปแบบมาตรฐาน

เส้นสัมผัสกันของกราฟของพาราโบลาที่จุดยอดนั้นขนานกับแกน Oy

สำหรับฟังก์ชันที่สอง:

การได้รับจุดสัมผัส .

ดังนั้นสมการของแทนเจนต์ที่ต้องการจึงมีรูปแบบ .

คำจำกัดความของอนุพันธ์ ความหมายทางกายภาพของมัน นิยามของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ กำหนดทฤษฎีบทเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างความสามารถในการหาอนุพันธ์และความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ - แนวคิดพื้นฐานของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ซึ่งแสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ - นี่คือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ เนื่องจากการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ หากมีขีดจำกัดดังกล่าวอยู่

ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์จำกัดเรียกว่าฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์จำกัด หาความแตกต่างได้
กระบวนการคำนวณอนุพันธ์เรียกว่า ความแตกต่าง

ถ้าตำแหน่งของจุดที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นจำนวนถูกกำหนดโดยฟังก์ชัน ส= ฉ(ที), ที่ไหน ทีคือเวลาของการเคลื่อนที่ จากนั้นจึงเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ส– ความเร็วในการเคลื่อนที่ทันทีในขณะนั้น ที- โดยการเปรียบเทียบกับโมเดลนี้โดยทั่วไปจะบอกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่= ฉ(x) – อัตราการเปลี่ยนแปลง ฟังก์ชั่นตรงจุด เอ็กซ์.

ทฤษฎีบท(เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน)หากฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง ฟังก์ชันนั้นจะต่อเนื่องที่จุดนั้น

การพิสูจน์.ให้ฟังก์ชัน y=ฉ(x)แยกแยะได้ตรงจุด เอ็กซ์ 0 . ณ จุดนี้ เราให้ข้อโต้แย้งเพิ่มขึ้น ดีเอ็กซ์- ฟังก์ชั่นจะเพิ่มขึ้น ดู่- มาหากันเถอะ

เพราะฉะนั้น, y=ฉ(x)อย่างต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง เอ็กซ์ 0 .

ผลที่ตามมาถ้า เอ็กซ์ 0 คือจุดไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชัน จากนั้นฟังก์ชันที่จุดนั้นไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้

การสนทนาของทฤษฎีบทไม่เป็นความจริง ความต่อเนื่องไม่ได้หมายความถึงความแตกต่าง

ตัวอย่าง. ย=|x| , เอ็กซ์ 0 = 0.

Dх> 0, ;

ดีเอ็กซ์< 0, .

ตรงจุด เอ็กซ์ 0 = ฟังก์ชันมีความต่อเนื่อง แต่ไม่มีอนุพันธ์

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ สมการแทนเจนต์และสมการปกติ

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์พิจารณากราฟของฟังก์ชัน ย= ฉ (x):

จากรูปที่ 1 เห็นได้ชัดว่าสำหรับจุด A และ B สองจุดใดๆ ของกราฟของฟังก์ชัน:

มุมเอียงของเส้นตัด AB อยู่ที่ไหน

ดังนั้น อัตราส่วนผลต่างจึงเท่ากับความชันของเส้นตัดมุม หากคุณแก้ไขจุด A และย้ายจุด B เข้าหาจุดนั้น จุดนั้นจะลดลงโดยไม่มีขีดจำกัดและเข้าใกล้ 0 และเส้นตัด AB จะเข้าใกล้เส้นสัมผัส AC ดังนั้น ขีดจำกัดของอัตราส่วนผลต่างจะเท่ากับความชันของแทนเจนต์ที่จุด A ดังนี้ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือความชันของเส้นสัมผัสกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนั้นนี่คือสิ่งที่ ความหมายทางเรขาคณิตอนุพันธ์

สมการแทนเจนต์ขอให้เราได้สมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุด A ( x 0 , ฉ (x 0)). โดยทั่วไปสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความชัน ฉ ’(x 0) มีรูปแบบ:

ย = ฉ ’(x 0) · x + ข .

เพื่อค้นหา ขเราใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าแทนเจนต์ผ่านจุด A:

ฉ (x 0) = ฉ ’(x 0) · x 0 +ข,

จากที่นี่ ข = ฉ (x 0) – ฉ ’(x 0) · x 0 และแทนที่นิพจน์นี้แทน ขเราจะได้ สมการแทนเจนต์:

ย =ฉ (x 0) + ฉ ’(x 0) · ( x – x 0) .

ปกติไปยังกราฟของฟังก์ชัน ย = ฉ (x) ที่จุด A ( x 0 ; ย 0) เรียกว่า เส้นตรงที่ผ่านจุด กและตั้งฉากกับแทนเจนต์ถึงจุดนี้ มันถูกกำหนดโดยสมการ

ซึ่งตามมาจากคุณสมบัติของสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงที่ตั้งฉากกัน

ในกรณีของอนุพันธ์อนันต์ ค่าแทนเจนต์ ณ จุดนั้น x 0 กลายเป็นแนวตั้งและได้รับจากสมการ x = x 0 และเส้นปกติคือแนวนอน: ย = ย 0 .

หากต้องการหาค่าเรขาคณิตของอนุพันธ์ ให้พิจารณากราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ลองหาจุด M ตามใจชอบซึ่งมีพิกัด (x, y) และจุด N ใกล้กับจุดนั้น (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y) ลองวาดพิกัด $\overline(M_(1) M)$ และ $\overline(N_(1) N)$ และจากจุด M - เส้นตรงขนานกับแกน OX

อัตราส่วน $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ คือแทนเจนต์ของมุม $\alpha $1 ที่เกิดจากเส้นตัด MN ที่มีทิศทางบวกของแกน OX เนื่องจาก $\Delta $x มีแนวโน้มเป็นศูนย์ จุด N จะเข้าใกล้ M และตำแหน่งจำกัดของเส้นตัด MN จะเป็นค่าแทนเจนต์ MT ไปยังเส้นโค้งที่จุด M ดังนั้น อนุพันธ์ f`(x) จึงเท่ากับค่าแทนเจนต์ ของมุม $\alpha $ เกิดขึ้นจากแทนเจนต์ถึงโค้งที่จุด M (x, y) โดยมีทิศทางบวกกับแกน OX - ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์ (รูปที่ 1)

รูปที่ 1 กราฟฟังก์ชัน

เมื่อคำนวณค่าโดยใช้สูตร (1) สิ่งสำคัญคือต้องไม่ทำผิดพลาดในเครื่องหมายเพราะว่า การเพิ่มขึ้นอาจเป็นค่าลบก็ได้

จุด N ที่วางอยู่บนเส้นโค้งสามารถโน้มตัว M จากด้านใดก็ได้ ดังนั้น หากในรูปที่ 1 ให้แทนเจนต์มีทิศทางตรงกันข้าม มุม $\alpha $ จะเปลี่ยนไปตามจำนวน $\pi $ ซึ่งจะส่งผลต่อแทนเจนต์ของมุมอย่างมีนัยสำคัญ และค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมด้วย

บทสรุป

ตามมาว่าการมีอยู่ของอนุพันธ์สัมพันธ์กับการมีอยู่ของแทนเจนต์ของเส้นโค้ง y = f(x) และสัมประสิทธิ์เชิงมุม - tg $\alpha $ = f`(x) นั้นมีขอบเขตจำกัด ดังนั้น แทนเจนต์ไม่ควรขนานกับแกน OY ไม่เช่นนั้น $\alpha $ = $\pi $/2 และแทนเจนต์ของมุมจะไม่มีที่สิ้นสุด

ในบางจุด เส้นโค้งต่อเนื่องอาจไม่มีแทนเจนต์หรือมีแทนเจนต์ขนานกับแกน OY (รูปที่ 2) ฟังก์ชันนี้จึงไม่สามารถมีอนุพันธ์ในค่าเหล่านี้ได้ กราฟฟังก์ชันอาจมีจุดที่คล้ายกันกี่จุดก็ได้

รูปที่ 2 จุดพิเศษของเส้นโค้ง

พิจารณารูปที่ 2 ให้ $\Delta $x มีแนวโน้มเป็นศูนย์จากค่าลบหรือค่าบวก:

\[\Delta x\to -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]

หากในกรณีนี้ความสัมพันธ์ (1) มีขีดจำกัดสุดท้าย จะแสดงเป็น:

ในกรณีแรก อนุพันธ์อยู่ทางซ้าย ในกรณีที่สอง อนุพันธ์อยู่ทางขวา

การมีอยู่ของขีดจำกัดบ่งบอกถึงความเท่าเทียมกันและความเท่าเทียมกันของอนุพันธ์ด้านซ้ายและขวา:

หากอนุพันธ์ด้านซ้ายและขวาไม่เท่ากัน ณ จุดที่กำหนดจะมีแทนเจนต์ที่ไม่ขนานกับ OY (จุด M1, รูปที่ 2) ที่จุด M2 ความสัมพันธ์ M3 (1) มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด

สำหรับจุด N ที่อยู่ทางซ้ายของ M2 จะได้ $\Delta $x $

ทางด้านขวาของ $M_2$, $\Delta $x $>$ 0 แต่นิพจน์ยังเป็น f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

สำหรับจุด $M_3$ ทางด้านซ้าย $\Delta $x $$ 0 และ f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0 เช่น นิพจน์ (1) ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาเป็นบวก และมีแนวโน้มที่จะ +$\infty $ ทั้งคู่ เมื่อ $\Delta $x เข้าใกล้ -0 และ +0

กรณีที่ไม่มีอนุพันธ์ ณ จุดเฉพาะของเส้น (x = c) แสดงไว้ในรูปที่ 3

รูปที่ 3 ไม่มีอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 1

รูปที่ 4 แสดงกราฟของฟังก์ชันและแทนเจนต์ของกราฟที่จุด Abscissa $x_0$ ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันใน abscissa

สารละลาย. อนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งจะเท่ากับอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ให้เราเลือกจุดสองจุดบนแทนเจนต์ด้วยพิกัดจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเป็นจุด F (-3.2) และ C (-2.4)

บรรยาย: แนวคิดเรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

แนวคิดของฟังก์ชันอนุพันธ์

ให้เราพิจารณาฟังก์ชัน f(x) ซึ่งจะต่อเนื่องตลอดช่วงการพิจารณา ในช่วงเวลาที่กำลังพิจารณา เราเลือกจุด x 0 เช่นเดียวกับค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้

ลองดูกราฟที่เราทำเครื่องหมายจุด x 0 รวมถึงจุด (x 0 + ∆x) จำไว้ว่า ∆х คือระยะทาง (ผลต่าง) ระหว่างจุดสองจุดที่เลือก

ควรทำความเข้าใจด้วยว่าแต่ละ x มีค่าฟังก์ชัน y ของตัวเอง

ความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชันที่จุด x 0 และ (x 0 + ∆x) เรียกว่าการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันนี้: ∆у = ฉ(x 0 + ∆x) - ฉ(x 0)

มาดูข้อมูลเพิ่มเติมที่มีอยู่ในกราฟกันดีกว่า - นี่คือเส้นตัดซึ่งเรียกว่า KL รวมถึงสามเหลี่ยมที่ก่อตัวโดยมีช่วง KN และ LN

มุมที่เส้นตัดตั้งอยู่นั้นเรียกว่ามุมเอียงและเขียนแทนด้วยα สามารถระบุได้อย่างง่ายดายว่าการวัดระดับของมุม LKN นั้นเท่ากับ α เช่นกัน

ทีนี้มาจำความสัมพันธ์ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากกัน tgα = LN / KN = ∆у / ∆х

นั่นคือ ค่าแทนเจนต์ของมุมซีแคนต์เท่ากับอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์

ครั้งหนึ่ง อนุพันธ์คือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ในช่วงเวลาที่น้อยที่สุด

อนุพันธ์จะกำหนดอัตราที่ฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงไปในพื้นที่ใดพื้นที่หนึ่ง

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

หากคุณพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันใดๆ ที่จุดใดจุดหนึ่ง คุณสามารถกำหนดมุมที่จะแทนเจนต์ของกราฟในกระแสที่กำหนดได้ โดยสัมพันธ์กับแกน OX ให้ความสนใจกับกราฟ - มุมความชันวงสัมผัสแสดงด้วยตัวอักษร φ และถูกกำหนดโดยสัมประสิทธิ์ k ในสมการของเส้นตรง: y = kx + b

นั่นคือเราสามารถสรุปได้ว่าความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์คือแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์ที่จุดใดจุดหนึ่งของฟังก์ชัน