จะค้นหารัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ได้อย่างไร? จารึกไว้และวงกลมนอกวงกลม คู่มือภาพพร้อมตัวอย่าง (2019)

วงกลมนั้นถือว่าถูกจารึกไว้ภายในขอบเขต รูปหลายเหลี่ยมปกติเผื่ออยู่ข้างในให้แตะเส้นตรงที่ทะลุทุกด้าน มาดูวิธีหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลมกัน จุดศูนย์กลางของวงกลมคือจุดที่เส้นแบ่งครึ่งของมุมของรูปหลายเหลี่ยมตัดกัน รัศมีคำนวณได้: R=S/P; S คือพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม P คือกึ่งปริมณฑลของวงกลม

ในรูปสามเหลี่ยม

มีเพียงวงกลมเดียวเท่านั้นที่ถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมปกติ ซึ่งจุดศูนย์กลางเรียกว่าจุดศูนย์กลาง ซึ่งอยู่ห่างจากทุกด้านเท่ากันและเป็นจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่ง

ในรูปสี่เหลี่ยม

บ่อยครั้งที่คุณต้องตัดสินใจว่าจะหารัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปทรงเรขาคณิตนี้อย่างไร จะต้องนูน (หากไม่มีทางแยกตัวเอง) วงกลมสามารถเขียนไว้ได้ก็ต่อเมื่อผลรวมของด้านตรงข้ามเท่ากัน: AB+CD=BC+AD

ในกรณีนี้ จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ ซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม จะอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว (ตามทฤษฎีบทของนิวตัน) ส่วนที่มีปลายอยู่ที่ด้านตรงข้ามของจุดตัดรูปสี่เหลี่ยมปกติอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เรียกว่าเส้นตรงแบบเกาส์เซียน จุดศูนย์กลางของวงกลมคือจุดที่ความสูงของรูปสามเหลี่ยมตัดกับจุดยอดและเส้นทแยงมุม (ตามทฤษฎีบทของโบรคาร์ด)

ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ถือเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านยาวเท่ากัน รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในนั้นสามารถคำนวณได้หลายวิธี

1. ในการดำเนินการนี้อย่างถูกต้อง ให้ค้นหารัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหากทราบพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและความยาวของด้านข้าง ใช้สูตร r=S/(2Xa) ตัวอย่างเช่น หากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือสี่เหลี่ยมจัตุรัส 200 มม. ความยาวด้านคือ 20 มม. ดังนั้น R = 200/(2X20) นั่นคือ 5 มม.
2. ทราบมุมแหลมของจุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง จากนั้นคุณต้องใช้สูตร r=v(S*sin(α)/4) เช่น มีพื้นที่ 150 มม. และ ถ่านหินที่รู้จักที่ 25 องศา R= v(150*sin(25°)/4) µ v(150*0.423/4) µ v15.8625 กลับไปยัง 3.983 มม.
3. มุมทุกมุมในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากัน ในสถานการณ์เช่นนี้ รัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวด้านหนึ่งของรูปนี้ หากเราให้เหตุผลตาม Euclid ซึ่งระบุว่าผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ เท่ากับ 360 องศา มุมหนึ่งจะเท่ากับ 90 องศา เหล่านั้น. มันจะกลายเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

รัศมีคือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดใดๆ บนวงกลมเข้ากับศูนย์กลาง นี่เป็นหนึ่งในคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของตัวเลขนี้ เนื่องจากสามารถคำนวณพารามิเตอร์อื่น ๆ ทั้งหมดบนพื้นฐานของมันได้ หากคุณรู้วิธีหารัศมีของวงกลม คุณสามารถคำนวณเส้นผ่านศูนย์กลาง ความยาว และพื้นที่ของมันได้ ในกรณีที่ตัวเลขที่กำหนดถูกจารึกหรืออธิบายไว้รอบๆ รูปอื่น ปัญหาอื่นๆ อีกจำนวนหนึ่งสามารถแก้ไขได้ วันนี้เราจะมาดูสูตรพื้นฐานและคุณสมบัติของการใช้งาน

ปริมาณที่ทราบ

หากคุณรู้วิธีค้นหารัศมีของวงกลมซึ่งโดยปกติจะแสดงด้วยตัวอักษร R ก็สามารถคำนวณได้โดยใช้คุณลักษณะเดียว ค่าเหล่านี้ได้แก่:

• เส้นรอบวง (C);
• เส้นผ่านศูนย์กลาง (D) - ส่วน (หรือค่อนข้างเป็นคอร์ด) ที่ผ่านจุดศูนย์กลาง
• พื้นที่ (S) - พื้นที่ที่ถูกจำกัดด้วยตัวเลขที่กำหนด

เส้นรอบวง

หากทราบค่า C ในปัญหา ดังนั้น R = C / (2 * P) สูตรนี้เป็นอนุพันธ์ ถ้าเรารู้ว่าเส้นรอบวงคืออะไร เราก็ไม่จำเป็นต้องจำมันอีกต่อไป สมมติว่าในโจทย์ C = 20 m. ในกรณีนี้ เราจะหารัศมีของวงกลมได้อย่างไร? เราเพียงแค่แทนค่าที่ทราบลงในสูตรข้างต้น โปรดทราบว่าในปัญหาดังกล่าวความรู้เกี่ยวกับหมายเลข P มักจะบอกเป็นนัย เพื่อความสะดวกในการคำนวณ เราจะใช้ค่าของมันคือ 3.14 วิธีแก้ปัญหาในกรณีนี้มีลักษณะดังนี้: เราจดปริมาณที่ได้รับ หาสูตร และดำเนินการคำนวณ ในคำตอบเราเขียนว่ารัศมีคือ 20 / (2 * 3.14) = 3.19 ม. สิ่งสำคัญคือต้องไม่ลืมสิ่งที่เราคำนวณและระบุชื่อหน่วยวัด

โดยเส้นผ่านศูนย์กลาง

ให้เราเน้นทันทีว่านี่เป็นปัญหาประเภทที่ง่ายที่สุด ซึ่งถามว่าจะหารัศมีของวงกลมได้อย่างไร หากคุณเจอตัวอย่างดังกล่าวในการทดสอบ คุณก็สามารถมั่นใจได้ คุณไม่จำเป็นต้องมีเครื่องคิดเลขที่นี่ด้วยซ้ำ! ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว เส้นผ่านศูนย์กลางคือส่วนหรือถ้าพูดให้ถูกต้องกว่านั้นคือคอร์ดที่ผ่านจุดศูนย์กลาง ในกรณีนี้ จุดทุกจุดของวงกลมมีระยะห่างเท่ากัน ดังนั้นคอร์ดนี้จึงประกอบด้วยสองซีก แต่ละรัศมีมีรัศมี ซึ่งตามมาจากคำจำกัดความว่าเป็นส่วนที่เชื่อมต่อจุดบนวงกลมและจุดศูนย์กลาง หากทราบเส้นผ่านศูนย์กลางในปัญหา ก็ต้องหารัศมีโดยหารค่านี้ด้วยสอง สูตรดังต่อไปนี้: R = D / 2 ตัวอย่างเช่นหากเส้นผ่านศูนย์กลางของปัญหาคือ 10 ม. รัศมีก็จะเท่ากับ 5 เมตร

ตามพื้นที่ของวงกลม

ปัญหาประเภทนี้มักเรียกว่าปัญหาที่ยากที่สุด สาเหตุหลักมาจากความไม่รู้สูตร หากคุณรู้วิธีหารัศมีของวงกลมในกรณีนี้ ที่เหลือก็เป็นเรื่องของเทคนิค ในเครื่องคิดเลข คุณเพียงแค่ต้องค้นหาไอคอนการคำนวณรากที่สองล่วงหน้า พื้นที่ของวงกลมเป็นผลคูณของเลข P และรัศมีคูณด้วยตัวมันเอง สูตรมีดังนี้: S = P * R 2 การแยกรัศมีออกจากด้านหนึ่งของสมการจะทำให้แก้ปัญหาได้อย่างง่ายดาย จะเท่ากับรากที่สองของผลหารของพื้นที่หารด้วยจำนวน P ถ้า S = 10 m แล้ว R = 1.78 เมตร เช่นเดียวกับปัญหาก่อนหน้านี้ สิ่งสำคัญคือต้องจำหน่วยการวัดที่ใช้

วิธีหาเส้นรอบวงของวงกลม

สมมติว่า a, b, c เป็นด้านของสามเหลี่ยม ถ้าคุณทราบค่าของมัน คุณจะพบรัศมีของวงกลมที่อธิบายรอบๆ วงกลมนั้นได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องหาระยะกึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมก่อน เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้น ให้ใช้อักษรตัวเล็ก p แทน จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของด้าน สูตร: p = (a + b + c) / 2

เรายังคำนวณผลคูณของความยาวของด้านข้างด้วย เพื่อความสะดวก ให้เราแทนด้วยตัวอักษร S สูตรรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบจะมีลักษณะดังนี้: R = S / (4 * √(p * (p - a) * (p - b) * (p - ค))

ลองดูตัวอย่างงาน เรามีวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ความยาวของด้านข้างคือ 5, 6 และ 7 ซม. ขั้นแรกให้คำนวณกึ่งปริมณฑล ในโจทย์ของเรา มันจะเท่ากับ 9 เซนติเมตร. ทีนี้ลองคำนวณผลคูณของความยาวของด้านข้าง - 210 เราแทนที่ผลลัพธ์ของการคำนวณขั้นกลางลงในสูตรแล้วค้นหาผลลัพธ์ รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบคือ 3.57 เซนติเมตร เราเขียนคำตอบโดยไม่ลืมหน่วยการวัด

วิธีค้นหารัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

สมมติว่า a, b, c คือความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยม ถ้าคุณรู้ค่าของมัน คุณก็จะสามารถหารัศมีของวงกลมที่อยู่ภายในนั้นได้ ก่อนอื่นคุณต้องหาระยะกึ่งเส้นรอบวงก่อน เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้น ให้ใช้อักษรตัวเล็ก p แทน สูตรการคำนวณมีดังนี้ p = (a + b + c) / 2 ปัญหาประเภทนี้ค่อนข้างง่ายกว่าปัญหาก่อนหน้าดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องคำนวณระดับกลางอีกต่อไป

รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้คำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้: R = √((p - a) * (p - b) * (p - c) / p) ลองดูที่นี้ ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง- สมมติว่าปัญหาอธิบายสามเหลี่ยมที่มีด้าน 5, 7 และ 10 ซม. มีวงกลมถูกจารึกไว้ซึ่งจะต้องค้นหารัศมี ขั้นแรกเราหากึ่งเส้นรอบรูป ในโจทย์ของเรา มันจะเท่ากับ 11 ซม. ตอนนี้เราแทนมันเป็นสูตรหลักแล้ว รัศมีจะเท่ากับ 1.65 เซนติเมตร เขียนคำตอบและอย่าลืม หน่วยที่ถูกต้องการวัด

วงกลมและคุณสมบัติของมัน

รูปทรงเรขาคณิตแต่ละอันมีลักษณะเฉพาะของตัวเอง ความถูกต้องของการแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับความเข้าใจของพวกเขา วงกลมก็มีพวกเขาด้วย มักใช้เมื่อแก้ตัวอย่างด้วยตัวเลขที่อธิบายหรือจารึกไว้เนื่องจากจะให้ภาพที่ชัดเจนของสถานการณ์ดังกล่าว ในหมู่พวกเขา:

• เส้นตรงสามารถมีจุดตัดกันเป็นศูนย์ หนึ่งหรือสองจุดกับวงกลมได้ ในกรณีแรกมันไม่ตัดกับมัน ในวินาทีมันเป็นแทนเจนต์ ในสามมันเป็นเซแคนต์
• หากเราเอาสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นเดียวกันก็จะสามารถลากวงกลมได้เพียงวงเดียวเท่านั้น
• เส้นตรงสามารถสัมผัสกันกับตัวเลขสองตัวพร้อมกันได้ ในกรณีนี้ มันจะผ่านจุดที่อยู่บนส่วนที่เชื่อมต่อศูนย์กลางของวงกลม ความยาวเท่ากับผลรวมของรัศมีของตัวเลขเหล่านี้
• วงกลมจำนวนอนันต์สามารถวาดผ่านจุดหนึ่งหรือสองจุดได้

บทความนี้มักอธิบายวิธีหารัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในสี่เหลี่ยมจัตุรัส เนื้อหาทางทฤษฎีจะช่วยให้คุณเข้าใจความแตกต่างทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับหัวข้อ หลังจากอ่านข้อความนี้แล้ว คุณจะสามารถแก้ไขปัญหาที่คล้ายกันนี้ได้อย่างง่ายดายในอนาคต

ทฤษฎีพื้นฐาน

ก่อนที่จะเคลื่อนที่ไปหารัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยตรง คุณควรทำความคุ้นเคยกับแนวคิดพื้นฐานบางประการก่อน อาจดูเรียบง่ายและชัดเจนเกินไป แต่จำเป็นต้องเข้าใจปัญหา

สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ซึ่งด้านทุกด้านมีขนาดเท่ากัน และค่าองศาของทุกมุมคือ 90 องศา

วงกลมคือเส้นโค้งปิดสองมิติซึ่งอยู่ห่างจากจุดหนึ่งจุดหนึ่ง เสี้ยวหนึ่งซึ่งปลายด้านหนึ่งอยู่ตรงกลางของวงกลม และอีกด้านหนึ่งอยู่บนพื้นผิวใดๆ เรียกว่ารัศมี

เราคุ้นเคยกับเงื่อนไขต่างๆ แล้ว เหลือเพียงคำถามหลักเท่านั้น เราจำเป็นต้องค้นหารัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่วลีสุดท้ายหมายถึงอะไร? ไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่เช่นกัน หากทุกด้านของรูปหลายเหลี่ยมสัมผัสเส้นโค้ง จะถือว่ารูปหลายเหลี่ยมนั้นถูกจารึกไว้ในรูปหลายเหลี่ยมนี้

รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในสี่เหลี่ยมจัตุรัส

กับ วัสดุทางทฤษฎีที่เสร็จเรียบร้อย. ตอนนี้เราต้องหาวิธีนำไปปฏิบัติ ลองใช้ภาพวาดสำหรับสิ่งนี้

รัศมีตั้งฉากกับ AB อย่างเห็นได้ชัด ซึ่งหมายความว่าในขณะเดียวกัน มันก็ขนานกับ AD และ BC พูดคร่าวๆ ก็คือ คุณสามารถ "วางซ้อน" ไว้ที่ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเพื่อกำหนดความยาวเพิ่มเติมได้ อย่างที่คุณเห็นเซ็กเมนต์ BK จะสอดคล้องกัน

ปลายด้านหนึ่งอยู่ที่ศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งเป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุม หลังแบ่งครึ่งตามคุณสมบัติอย่างใดอย่างหนึ่ง เมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าพวกมันแบ่งด้านข้างของรูปออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กันด้วย

จากข้อโต้แย้งเหล่านี้เราได้ข้อสรุป

สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านเท่ากันทุกด้าน ดังนั้นจึงสืบทอดคุณสมบัติทั้งหมดของสี่เหลี่ยมด้านขนาน กล่าวคือ:

• เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตั้งฉากกัน
• เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายใน

วงกลมสามารถเขียนเป็นรูปสี่เหลี่ยมได้ก็ต่อเมื่อผลรวมของด้านตรงข้ามเท่ากัน
ดังนั้นจึงสามารถเขียนวงกลมเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนใดก็ได้ จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้นั้นเกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางของจุดตัดของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสามารถแสดงได้หลายวิธี

1 วิธี. รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนถึงความสูง

ความสูงของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ สิ่งนี้ตามมาจากคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งเกิดจากเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้และความสูงของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน - ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะเท่ากัน

ดังนั้น สูตรสำหรับรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนในแง่ของความสูง:

วิธีที่ 2 รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนผ่านเส้นทแยงมุม

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสามารถแสดงเป็นรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้
, ที่ไหน ร– เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เมื่อรู้ว่าเส้นรอบวงคือผลรวมของทุกด้านของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เราก็ได้ พ= 4×ก.แล้ว
แต่พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนก็เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นทแยงมุมด้วย
เมื่อเทียบด้านขวามือของสูตรพื้นที่ เราจะได้ค่าเท่ากันดังนี้
เป็นผลให้เราได้สูตรที่ช่วยให้เราสามารถคำนวณรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนผ่านเส้นทแยงมุม

ตัวอย่างการคำนวณรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหากทราบเส้นทแยงมุม
ค้นหารัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหากรู้ว่าความยาวของเส้นทแยงมุมคือ 30 ซม. และ 40 ซม.
อนุญาต เอบีซีดี-รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแล้ว เอ.ซี.และ บีดีเส้นทแยงมุมของมัน เอซี= 30 ซม ,บี.ดี=40 ซม
ปล่อยให้ประเด็น เกี่ยวกับ– เป็นจุดศูนย์กลางของรอยจารึกเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เอบีซีดีวงกลม จากนั้นมันจะเป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุมโดยแบ่งครึ่ง


เนื่องจากเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตัดกันที่มุมขวา จากนั้นก็เป็นรูปสามเหลี่ยม เอโอบีสี่เหลี่ยม จากนั้นตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส
แทนที่ค่าที่ได้รับก่อนหน้านี้ลงในสูตร

เอบี= 25 ซม
เราได้รับสูตรที่ได้รับก่อนหน้านี้สำหรับรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

3 ทาง. รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนผ่านส่วน m และ n

จุด เอฟ– จุดสัมผัสของวงกลมกับด้านข้างของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งแบ่งออกเป็นส่วนๆ เอเอฟและ บี.เอฟ.- อนุญาต เอเอฟ=ม., BF=n.
จุด โอ– จุดศูนย์กลางของจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้
สามเหลี่ยม เอโอบี– เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เนื่องจากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตัดกันเป็นมุมฉาก
, เพราะ คือรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัสของวงกลม เพราะฉะนั้น ของ– ความสูงของรูปสามเหลี่ยม เอโอบีถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก แล้ว เอเอฟและ แฟนการฉายขาลงบนด้านตรงข้ามมุมฉาก
ความสูงใน สามเหลี่ยมมุมฉากลดลงเหลือด้านตรงข้ามมุมฉากคือสัดส่วนเฉลี่ยระหว่างส่วนที่ยื่นออกมาของขาไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก

สูตรสำหรับรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนผ่านส่วนต่างๆ เท่ากับรากที่สองของผลคูณของส่วนเหล่านี้ โดยที่จุดสัมผัสของวงกลมจะแบ่งด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน