การค้นหาพิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วน: ตัวอย่าง วิธีแก้ไข เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลอง การดำเนินการกับเวกเตอร์ พิกัดเวกเตอร์ ปัญหาที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับเวกเตอร์ พิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วนออนไลน์

เวกเตอร์คือปริมาณที่มีลักษณะเฉพาะด้วยค่าตัวเลขและทิศทาง กล่าวอีกนัยหนึ่ง เวกเตอร์คือเซกเมนต์ที่มีทิศทาง ตำแหน่ง เวกเตอร์ AB ในอวกาศกำหนดโดยพิกัดของจุดเริ่มต้น เวกเตอร์ก และจุดสิ้นสุด เวกเตอร์ B. มาดูวิธีการกำหนดพิกัดของจุดกึ่งกลางกัน เวกเตอร์.

คำแนะนำ

ขั้นแรก เรามากำหนดจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดกันก่อน เวกเตอร์- ถ้าเวกเตอร์เขียนเป็น AB แล้วจุด A คือจุดกำเนิด เวกเตอร์และจุด B คือจุดสิ้นสุด และในทางกลับกันสำหรับ เวกเตอร์ BA จุด B คือจุดเริ่มต้น เวกเตอร์และจุด A คือจุดสิ้นสุด ขอเราให้เวกเตอร์ AB พร้อมพิกัดของจุดกำเนิด เวกเตอร์ A = (a1, a2, a3) และสิ้นสุด เวกเตอร์ข = (b1, b2, b3) แล้วพิกัด เวกเตอร์ AB จะเป็นดังนี้: AB = (b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3) เช่น จากพิกัดปลาย เวกเตอร์จำเป็นต้องลบพิกัดกำเนิดที่เกี่ยวข้อง เวกเตอร์- ความยาว เวกเตอร์ AB (หรือโมดูลัส) คำนวณเป็นรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัด: |AB| = ?((b1 – a1)^2 + (b2 – a2)^2 + (b3 – a3)^2)

ค้นหาพิกัดของจุดที่อยู่ตรงกลาง เวกเตอร์- ให้เราเขียนแทนด้วยตัวอักษร O = (o1, o2, o3) พบพิกัดตรงกลาง เวกเตอร์เช่นเดียวกับพิกัดที่อยู่ตรงกลางของส่วนปกติตามสูตรต่อไปนี้: o1 = (a1 + b1)/2, o2 = (a2 + b2)/2, o3 = (a3 + b3)/2 มาหาพิกัดกัน เวกเตอร์อ่าว: AO = (o1 – a1, o2 – a2, o3 – a3) = ((b1 – a1)/2, (b2 – a2)/2, (b3 – a3)/2)

ลองดูตัวอย่าง ให้เวกเตอร์ AB ถูกกำหนดพร้อมกับพิกัดของจุดกำเนิด เวกเตอร์ A = (1, 3, 5) และสิ้นสุด เวกเตอร์ข = (3, 5, 7) แล้วพิกัด เวกเตอร์ AB สามารถเขียนเป็น AB = (3 – 1, 5 – 3, 7 – 5) = (2, 2, 2) เรามาค้นหาโมดูลกันดีกว่า เวกเตอร์เอบี: |เอบี| = ?(4 + 4 + 4) = 2 * ?3. ค่าความยาวที่ระบุ เวกเตอร์จะช่วยให้เราตรวจสอบความถูกต้องของพิกัดตรงกลางต่อไปได้ เวกเตอร์- ต่อไป เราจะหาพิกัดของจุด O: O = ((1 + 3)/2, (3 + 5)/2, (5 + 7)/2) = (2, 4, 6) แล้วพิกัด เวกเตอร์ AO คำนวณเป็น AO = (2 – 1, 4 – 3, 6 – 5) = (1, 1, 1)

มาตรวจสอบกัน ความยาว เวกเตอร์ AO = ?(1 + 1 + 1) = ?3 จำได้ว่ามีความยาวจากต้นฉบับ เวกเตอร์เท่ากับ 2 * ?3 เช่น ครึ่ง เวกเตอร์เท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวต้นฉบับจริงๆ เวกเตอร์- ทีนี้ลองคำนวณพิกัดกัน เวกเตอร์ OB: OB = (3 – 2, 5 – 4, 7 – 6) = (1, 1, 1) ลองหาผลรวมของเวกเตอร์ AO และ OB: AO + OB = (1 + 1, 1 + 1, 1 + 1) = (2, 2, 2) = AB ดังนั้นพิกัดของตรงกลาง เวกเตอร์พบอย่างถูกต้อง

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

หลังจากคำนวณพิกัดของจุดกึ่งกลางของเวกเตอร์แล้ว อย่าลืมตรวจสอบที่ง่ายที่สุดเป็นอย่างน้อย - คำนวณความยาวของเวกเตอร์และเปรียบเทียบกับความยาวของเวกเตอร์ที่กำหนด

บทความด้านล่างจะครอบคลุมถึงประเด็นในการค้นหาพิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วนหากพิกัดนั้นมีอยู่ในข้อมูลเริ่มต้น จุดสูงสุด- แต่ก่อนที่เราจะเริ่มศึกษาประเด็นนี้ ให้เราแนะนำคำจำกัดความจำนวนหนึ่งก่อน

คำจำกัดความ 1

เซ็กเมนต์– เส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดสองจุดโดยพลการ เรียกว่าส่วนปลายของส่วน ตามตัวอย่าง ให้เป็นจุด A และ B และส่วน A B ตามลำดับ

หากส่วน A B ต่อเนื่องกันทั้งสองทิศทางจากจุด A และ B เราจะได้เส้นตรง A B จากนั้นส่วน A B ก็เป็นส่วนหนึ่งของเส้นตรงที่เกิดขึ้นซึ่งล้อมรอบด้วยจุด A และ B ส่วน A B รวมจุด A และ B ซึ่งเป็นจุดสิ้นสุด เช่นเดียวกับชุดของจุดที่วางอยู่ระหว่าง ตัวอย่างเช่น หากเราหาจุดใดๆ ที่ต้องการ K ซึ่งอยู่ระหว่างจุด A และ B เราสามารถบอกได้ว่าจุด K อยู่บนส่วน A B

คำจำกัดความ 2

ความยาวส่วน– ระยะห่างระหว่างปลายของเซ็กเมนต์ตามมาตราส่วนที่กำหนด (ส่วนของความยาวหน่วย) ให้เราแสดงความยาวของส่วน AB ดังนี้: A B .

คำจำกัดความ 3

จุดกึ่งกลางของส่วน– จุดที่วางอยู่บนส่วนและอยู่ห่างจากปลายเท่ากัน หากจุดกึ่งกลางของส่วน A B ถูกกำหนดโดยจุด C ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง: A C = C B

ข้อมูลเริ่มต้น: เส้นพิกัด O x และจุดที่ไม่ตรงกัน: A และ B ประเด็นเหล่านี้สอดคล้องกัน ตัวเลขจริง x ก และ เอ็กซ์ บี . จุด C อยู่ตรงกลางของกลุ่ม AB: จำเป็นต้องกำหนดพิกัด x ซี

เนื่องจากจุด C เป็นจุดกึ่งกลางของส่วน AB ความเท่าเทียมกันจึงเป็นจริง: | เอ ซี | - ซีบี | - ระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ ถูกกำหนดโดยโมดูลัสของความแตกต่างในพิกัด เช่น

- เอ ซี | - ซีบี | ⇔ x ค - x ก = x ข - x ค

จากนั้นมีความเท่าเทียมกันสองประการ: x C - x A = x B - x C และ x C - x A = - (x B - x C)

จากความเท่าเทียมกันครั้งแรกเราได้สูตรสำหรับพิกัดของจุด C: x C = x A + x B 2 (ครึ่งหนึ่งของผลรวมพิกัดของส่วนท้ายของส่วน)

จากความเท่าเทียมกันประการที่สอง เราได้: x A = x B ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เนื่องจาก ในแหล่งข้อมูล - จุดที่ไม่ตรงกัน ดังนั้น, สูตรกำหนดพิกัดตรงกลางของส่วน AB ที่ปลาย A (x A) และข(xB):

สูตรที่ได้จะเป็นพื้นฐานในการกำหนดพิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วนบนระนาบหรือในอวกาศ

ข้อมูลเริ่มต้น: ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบ O x y จุดที่ไม่ตรงกันสองจุดโดยกำหนดพิกัด A x A, y A และ B x B, y B จุด C อยู่ตรงกลางของกลุ่ม A B จำเป็นต้องกำหนดพิกัด x C และ y C สำหรับจุด C

ให้เราวิเคราะห์กรณีที่จุด A และ B ไม่ตรงกันและไม่อยู่บนเส้นพิกัดเดียวกันหรือเส้นตั้งฉากกับแกนใดแกนหนึ่ง ก x , ก ย ; B x, B y และ C x, C y - การฉายภาพของจุด A, B และ C บนแกนพิกัด (เส้นตรง O x และ O y)

ตามการก่อสร้าง เส้น A A x, B B x, C C x ขนานกัน เส้นขนานกันด้วย เมื่อรวมกันตามทฤษฎีบทของ Thales จากความเท่าเทียมกัน A C = C B ความเท่าเทียมกันจะตามมา: A x C x = C x B x และ A y C y = C y B y และในทางกลับกันบ่งชี้ว่าจุด C x คือ ตรงกลางของส่วน A x B x และ C y อยู่ตรงกลางของส่วน A y B y จากนั้นตามสูตรที่ได้รับก่อนหน้านี้เราจะได้:

x C = x A + x B 2 และ y C = y A + y B 2

สามารถใช้สูตรเดียวกันนี้ได้ในกรณีที่จุด A และ B อยู่บนเส้นพิกัดเดียวกันหรือเส้นตั้งฉากกับแกนใดแกนหนึ่ง เราจะไม่ทำการวิเคราะห์โดยละเอียดเกี่ยวกับกรณีนี้ เราจะพิจารณาเฉพาะในรูปแบบกราฟิกเท่านั้น:

โดยสรุปทั้งหมดที่กล่าวมาข้างต้น พิกัดตรงกลางของส่วน AB บนระนาบกับพิกัดของส่วนปลายก (x ก , ย ก) และบี(xB, ยB) ถูกกำหนดให้เป็น:

(x A + x B 2 , ใช่ A + Y B 2)

ข้อมูลเริ่มต้น: ระบบพิกัด O x y z และจุดสองจุดโดยกำหนดพิกัด A (x A, y A, z A) และ B (x B, y B, z B) จำเป็นต้องกำหนดพิกัดของจุด C ซึ่งอยู่ตรงกลางของส่วน A B

ก x , ก , ก z ; B x , B y , B z และ C x , C y , C z - ประมาณการทั้งหมด คะแนนที่ได้รับบนแกนของระบบพิกัด

ตามทฤษฎีบทของทาเลส ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

ดังนั้น จุด C x , C y , C z คือจุดกึ่งกลางของกลุ่ม A x B x , A y B y , A z B z ตามลำดับ แล้ว, ในการกำหนดพิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วนในอวกาศ สูตรต่อไปนี้ถูกต้อง:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

สูตรผลลัพธ์ยังสามารถใช้ได้ในกรณีที่จุด A และ B อยู่บนเส้นพิกัดเส้นใดเส้นหนึ่ง บนเส้นตรงตั้งฉากกับแกนใดแกนหนึ่ง ในหนึ่งเดียว ประสานงานเครื่องบินหรือระนาบตั้งฉากกับระนาบพิกัดอันใดอันหนึ่ง

การกำหนดพิกัดของจุดกึ่งกลางของเซ็กเมนต์ผ่านพิกัดของเวกเตอร์รัศมีของส่วนปลาย

สูตรในการค้นหาพิกัดของจุดกึ่งกลางของเซ็กเมนต์สามารถหาได้จากการตีความเวกเตอร์เชิงพีชคณิต

ข้อมูลเริ่มต้น: ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม O x y จุดที่มีพิกัดที่กำหนด A (x A, y A) และ B (x B, x B) จุด C อยู่ตรงกลางของกลุ่ม A B

ตาม คำจำกัดความทางเรขาคณิตการกระทำกับเวกเตอร์ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะเป็นจริง: O C → = 1 2 · O A → + O B → . จุด C ในกรณีนี้คือจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนพื้นฐานของเวกเตอร์ O A → และ O B → เช่น จุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม พิกัดของเวกเตอร์รัศมีของจุดเท่ากับพิกัดของจุด จากนั้นความเท่ากันจะเป็นจริง: O A → = (x A, y A), O B → = (x B , และ ข) มาดำเนินการบางอย่างกับเวกเตอร์ในพิกัดและรับ:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

ดังนั้นจุด C จึงมีพิกัด:

x A + x B 2 , ใช่ A + y B 2

โดยการเปรียบเทียบ สูตรถูกกำหนดเพื่อค้นหาพิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วนในอวกาศ:

C (x A + x B 2, และ A + y B 2, z A + z B 2)

ตัวอย่างการแก้ปัญหาการหาพิกัดของจุดกึ่งกลางของเซ็กเมนต์

ในบรรดาปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการใช้สูตรที่ได้รับข้างต้น มีคำถามโดยตรงคือการคำนวณพิกัดของส่วนตรงกลางและปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการนำเงื่อนไขที่กำหนดมาสู่คำถามนี้: คำว่า "ค่ามัธยฐาน" มักใช้โดยมีเป้าหมายคือค้นหาพิกัดของจุดหนึ่งจากปลายเซกเมนต์และปัญหาสมมาตรก็เป็นเรื่องปกติเช่นกัน ซึ่งวิธีแก้ปัญหาโดยทั่วไปไม่ควรทำให้เกิดปัญหาหลังจากศึกษาหัวข้อนี้ ลองดูตัวอย่างทั่วไป

ตัวอย่างที่ 1

ข้อมูลเริ่มต้น:บนเครื่องบิน - จุดที่มีพิกัดที่กำหนด A (- 7, 3) และ B (2, 4) จำเป็นต้องค้นหาพิกัดของจุดกึ่งกลางของกลุ่ม A B

สารละลาย

ให้เราแสดงจุดกึ่งกลางของกลุ่ม AB ตามจุด C พิกัดจะถูกกำหนดเป็นครึ่งหนึ่งของผลรวมพิกัดของส่วนท้ายของเซ็กเมนต์นั่นคือ จุด A และ B

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 ปี C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

คำตอบ: พิกัดตรงกลางของกลุ่ม AB - 5 2, 7 2.

ตัวอย่างที่ 2

ข้อมูลเริ่มต้น:รู้จักพิกัดของสามเหลี่ยม A B C: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8) จำเป็นต้องหาความยาวของค่ามัธยฐาน A M

สารละลาย

1. ตามเงื่อนไขของปัญหา A M คือค่ามัธยฐาน ซึ่งหมายความว่า M คือจุดกึ่งกลางของส่วน B C ก่อนอื่น เรามาค้นหาพิกัดที่อยู่ตรงกลางของส่วน B C กันก่อน เช่น คะแนนเอ็ม:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 ปี M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. เนื่องจากตอนนี้เรารู้พิกัดของปลายทั้งสองของค่ามัธยฐาน (จุด A และ M) เราจึงสามารถใช้สูตรเพื่อกำหนดระยะห่างระหว่างจุดและคำนวณความยาวของค่ามัธยฐาน A M:

ก. = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

คำตอบ: 58

ตัวอย่างที่ 3

ข้อมูลเริ่มต้น:ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม พื้นที่สามมิติให้ขนาน A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . ให้พิกัดของจุด C 1 (1, 1, 0) และจุด M ก็ถูกกำหนดด้วยซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม B D 1 และมีพิกัด M (4, 2, - 4) จำเป็นต้องคำนวณพิกัดของจุด A

สารละลาย

เส้นทแยงมุมของเส้นทแยงมุมที่ตัดกันที่จุดหนึ่งซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมทั้งหมด จากข้อความนี้ เราสามารถจำไว้ว่าจุด M ซึ่งทราบจากเงื่อนไขของปัญหาคือจุดกึ่งกลางของส่วน A C 1 จากสูตรในการค้นหาพิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วนในอวกาศ เราจะหาพิกัดของจุด A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z ค 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

คำตอบ:พิกัดของจุด A (7, 3, - 8)

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ในที่สุดฉันก็ได้รับมือกับหัวข้อที่กว้างขวางและรอคอยมานานนี้ เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์- ก่อนอื่น เล็กน้อยเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ชั้นสูงในส่วนนี้... ตอนนี้คุณจำหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนที่มีทฤษฎีบทมากมาย การพิสูจน์ ภาพวาด ฯลฯ ได้อย่างแน่นอน สิ่งที่ต้องซ่อน วิชาที่ไม่มีใครรักและมักจะคลุมเครือสำหรับนักเรียนในสัดส่วนที่มีนัยสำคัญ เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ ที่น่าแปลกก็คืออาจดูน่าสนใจและเข้าถึงได้ง่ายกว่า คำว่า “วิเคราะห์” มีความหมายว่าอย่างไร? วลีทางคณิตศาสตร์ที่ซ้ำซากจำเจสองวลีเข้ามาในใจทันที: "วิธีการแก้ปัญหาแบบกราฟิก" และ " วิธีการวิเคราะห์โซลูชั่น" วิธีการแบบกราฟิกแน่นอนว่าเกี่ยวข้องกับการสร้างกราฟและภาพวาด วิเคราะห์หรือ วิธีเกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหา ส่วนใหญ่ผ่านการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต ในเรื่องนี้อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาเกือบทั้งหมดของเรขาคณิตวิเคราะห์นั้นง่ายและโปร่งใส บ่อยครั้งที่การใช้สูตรที่จำเป็นอย่างระมัดระวังก็เพียงพอแล้ว - และคำตอบก็พร้อมแล้ว! ไม่ แน่นอน เราจะไม่สามารถทำได้หากไม่มีภาพวาดเลย และนอกจากนี้ เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นในเนื้อหา ฉันจะพยายามอ้างอิงสิ่งเหล่านี้โดยไม่จำเป็น

บทเรียนที่เพิ่งเปิดใหม่เกี่ยวกับเรขาคณิตไม่ได้อ้างว่าเสร็จสมบูรณ์ทางทฤษฎี แต่มุ่งเน้นไปที่การแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ ฉันจะรวมเฉพาะสิ่งที่สำคัญในทางปฏิบัติเท่านั้นในการบรรยายของฉัน หากคุณต้องการความช่วยเหลือที่สมบูรณ์เพิ่มเติมในส่วนย่อยใด ๆ ฉันขอแนะนำวรรณกรรมที่เข้าถึงได้ง่ายต่อไปนี้:

1) เรื่องที่คนหลายชั่วอายุคนคุ้นเคยกันดี: หนังสือเรียนเรื่องเรขาคณิตของโรงเรียน, ผู้เขียน – แอล.เอส. Atanasyan และบริษัท- ไม้แขวนเสื้อห้องล็อกเกอร์ของโรงเรียนนี้พิมพ์ซ้ำไปแล้ว 20 (!) ซึ่งแน่นอนว่าไม่ใช่ขีดจำกัด

2) เรขาคณิตใน 2 เล่ม- ผู้เขียน แอล.เอส. อตานาเซียน, บาซีเลฟ วี.ที.- นี่คือวรรณกรรมสำหรับ โรงเรียนมัธยมปลายคุณจะต้องการ เล่มแรก- งานที่ไม่ค่อยพบอาจหลุดจากสายตาของฉันและ คู่มือการฝึกอบรมจะให้ความช่วยเหลืออันล้ำค่า

สามารถดาวน์โหลดหนังสือทั้งสองเล่มได้ฟรีทางออนไลน์ นอกจากนี้ คุณสามารถใช้ไฟล์เก็บถาวรของฉันกับโซลูชันสำเร็จรูปซึ่งสามารถพบได้ในหน้านี้ ดาวน์โหลดตัวอย่างในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง.

ในบรรดาเครื่องมือต่างๆ ฉันขอเสนอการพัฒนาของตัวเองอีกครั้ง - แพคเกจซอฟต์แวร์ในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ ซึ่งจะทำให้ชีวิตง่ายขึ้นอย่างมาก และประหยัดเวลาได้มาก

สันนิษฐานว่าผู้อ่านคุ้นเคยกับแนวคิดและตัวเลขทางเรขาคณิตขั้นพื้นฐาน: จุด เส้น ระนาบ สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยมด้านขนาน ลูกบาศก์ ฯลฯ ขอแนะนำให้จำทฤษฎีบทบางทฤษฎีอย่างน้อยก็ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสวัสดีผู้ทำซ้ำ)

และตอนนี้เราจะพิจารณาตามลำดับ: แนวคิดของเวกเตอร์, การกระทำกับเวกเตอร์, พิกัดเวกเตอร์ ฉันแนะนำให้อ่านเพิ่มเติม บทความที่สำคัญที่สุด ผลคูณดอทของเวกเตอร์และยัง เวกเตอร์และผลคูณของเวกเตอร์- งานในท้องถิ่น - การแบ่งส่วนในส่วนนี้ - จะไม่ฟุ่มเฟือยเช่นกัน จากข้อมูลข้างต้น คุณสามารถเชี่ยวชาญได้ สมการของเส้นตรงในระนาบกับ ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดซึ่งจะช่วยให้ เรียนรู้การแก้ปัญหาเรขาคณิต- บทความต่อไปนี้มีประโยชน์เช่นกัน: สมการของเครื่องบินในอวกาศ, สมการของเส้นตรงในอวกาศ,ปัญหาเบื้องต้นเกี่ยวกับเส้นตรงและระนาบ, ส่วนอื่นๆ ของเรขาคณิตวิเคราะห์ โดยปกติแล้ว งานมาตรฐานจะได้รับการพิจารณาไปพร้อมกัน

แนวคิดเรื่องเวกเตอร์ เวกเตอร์ฟรี

ก่อนอื่น เรามาทวนคำจำกัดความของเวกเตอร์แบบโรงเรียนกันก่อน เวกเตอร์เรียกว่า กำกับส่วนที่ระบุจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด:

ในกรณีนี้ จุดเริ่มต้นของส่วนคือจุด จุดสิ้นสุดของส่วนคือจุด เวกเตอร์นั้นเขียนแทนด้วย ทิศทางเป็นสิ่งสำคัญ ถ้าคุณเลื่อนลูกศรไปที่ปลายอีกด้านของเซ็กเมนต์ คุณจะได้เวกเตอร์ และมันก็เป็นเช่นนั้นแล้ว เวกเตอร์ที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง- สะดวกในการระบุแนวคิดของเวกเตอร์ด้วยการเคลื่อนไหวของร่างกาย: คุณต้องยอมรับว่าการเข้าประตูสถาบันหรือการออกจากประตูสถาบันเป็นสิ่งที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง

สะดวกในการพิจารณาแต่ละจุดของเครื่องบินหรือพื้นที่ตามที่เรียกว่า เวกเตอร์เป็นศูนย์- สำหรับเวกเตอร์ดังกล่าว จุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้นตรงกัน

- บันทึก: ที่นี่และต่อไป คุณสามารถสรุปได้ว่าเวกเตอร์อยู่ในระนาบเดียวกันหรือคุณสามารถสันนิษฐานได้ว่าเวกเตอร์นั้นอยู่ในอวกาศ - สาระสำคัญของวัสดุที่นำเสนอนั้นใช้ได้กับทั้งระนาบและอวกาศ

การกำหนด:หลายคนสังเกตเห็นแท่งไม้นั้นทันทีโดยไม่มีลูกศรอยู่ในชื่อ และบอกว่ามีลูกศรอยู่ด้านบนด้วย! จริงอยู่คุณสามารถเขียนด้วยลูกศร: แต่ก็เป็นไปได้เช่นกัน รายการที่ฉันจะใช้ในอนาคต- ทำไม เห็นได้ชัดว่านิสัยนี้พัฒนาขึ้นด้วยเหตุผลในทางปฏิบัติ เพราะนักกีฬาของฉันที่โรงเรียนและมหาวิทยาลัยกลายเป็นคนที่มีขนาดแตกต่างกันเกินไปและมีขนดก ใน วรรณกรรมการศึกษาบางครั้งพวกเขาไม่สนใจการเขียนแบบฟอร์มเลย แต่เน้นตัวอักษรด้วยตัวหนา: ดังนั้นจึงบอกเป็นนัยว่านี่คือเวกเตอร์

นั่นคือโวหาร และตอนนี้เกี่ยวกับวิธีการเขียนเวกเตอร์:

1) เวกเตอร์สามารถเขียนด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่สองตัว:
และอื่น ๆ ในกรณีนี้คืออักษรตัวแรก จำเป็นหมายถึงจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ และตัวอักษรตัวที่สองหมายถึงจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์

2) เวกเตอร์เขียนด้วยตัวอักษรละตินตัวเล็ก:
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เพื่อความกระชับ เวกเตอร์ของเราสามารถกำหนดใหม่ให้มีขนาดเล็กได้ อักษรละติน.

ความยาวหรือ โมดูลเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เรียกว่าความยาวของเซ็กเมนต์ ความยาวของเวกเตอร์ศูนย์คือศูนย์ ตรรกะ

ความยาวของเวกเตอร์แสดงด้วยเครื่องหมายโมดูลัส: ,

เราจะเรียนรู้วิธีค้นหาความยาวของเวกเตอร์ (หรือเราจะทำซ้ำ ขึ้นอยู่กับว่าใคร) ในภายหลัง

นี่เป็นข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์ที่เด็กนักเรียนทุกคนคุ้นเคย ในเรขาคณิตวิเคราะห์ที่เรียกว่า เวกเตอร์ฟรี.

พูดง่ายๆ ก็คือ - เวกเตอร์สามารถพล็อตได้จากจุดใดก็ได้:

เราคุ้นเคยกับการเรียกเวกเตอร์ดังกล่าวว่าเท่ากัน (คำจำกัดความของเวกเตอร์ที่เท่ากันจะได้รับด้านล่าง) แต่จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ พวกมันคือ SAME VECTOR หรือ เวกเตอร์ฟรี- ทำไมฟรี? เพราะในการแก้ปัญหา คุณสามารถ "แนบ" เวกเตอร์ "โรงเรียน" นี้หรือนั้นกับจุดใดก็ได้ของระนาบหรือพื้นที่ที่คุณต้องการ นี่เป็นคุณสมบัติที่ยอดเยี่ยมมาก! ลองนึกภาพส่วนที่กำกับซึ่งมีความยาวและทิศทางตามอำเภอใจ - มันสามารถ "โคลน" ได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง และจริงๆ แล้ว ณ จุดใดก็ได้ในอวกาศ มีอยู่ทุกที่ มีนักเรียนคนหนึ่งพูดว่า: อาจารย์ทุกคนต่างให้ความสำคัญกับเวกเตอร์ ท้ายที่สุดมันไม่ได้เป็นเพียงสัมผัสที่มีไหวพริบ แต่ทุกอย่างถูกต้อง - คุณสามารถเพิ่มส่วนที่กำกับไว้ที่นั่นได้เช่นกัน แต่อย่ารีบดีใจนะ นิสิตเองต่างหากที่ต้องทนทุกข์ =)

ดังนั้น, เวกเตอร์ฟรี- นี้ มากมาย ส่วนกำกับที่เหมือนกัน คำจำกัดความของเวกเตอร์ของโรงเรียน ซึ่งให้ไว้ที่ตอนต้นของย่อหน้า: “ส่วนที่กำกับเรียกว่าเวกเตอร์…” โดยนัย เฉพาะเจาะจงส่วนตรงที่นำมาจากชุดที่กำหนด ซึ่งเชื่อมโยงกับจุดเฉพาะในระนาบหรือพื้นที่

ควรสังเกตว่าจากมุมมองของฟิสิกส์ แนวคิดของเวกเตอร์อิสระโดยทั่วไปนั้นไม่ถูกต้อง และประเด็นของการประยุกต์ใช้ก็มีความสำคัญ อันที่จริงการตีโดยตรงด้วยแรงเดียวกันที่จมูกหรือหน้าผากซึ่งเพียงพอที่จะพัฒนาตัวอย่างโง่ ๆ ของฉันนั้นนำมาซึ่งผลที่ตามมาที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม, ไม่ว่างเวกเตอร์ยังพบได้ในหลักสูตร vyshmat (อย่าไปที่นั่น :))

การดำเนินการกับเวกเตอร์ เส้นตรงของเวกเตอร์

ใน หลักสูตรของโรงเรียนเรขาคณิต พิจารณาการกระทำและกฎจำนวนหนึ่งด้วยเวกเตอร์: การบวกตามกฎสามเหลี่ยม การบวกตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน กฎผลต่างเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ ฯลฯเพื่อเป็นจุดเริ่มต้น ให้เราทำซ้ำกฎสองข้อที่เกี่ยวข้องโดยเฉพาะในการแก้ปัญหาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์

กฎสำหรับการบวกเวกเตอร์โดยใช้กฎสามเหลี่ยม

พิจารณาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวโดยพลการและ:

คุณต้องหาผลบวกของเวกเตอร์พวกนี้ เนื่องจากเวกเตอร์ทั้งหมดถือว่าฟรี เราจึงแยกเวกเตอร์นั้นออกไป จบเวกเตอร์:

ผลรวมของเวกเตอร์คือเวกเตอร์ เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นเกี่ยวกับกฎขอแนะนำให้รวมไว้ด้วย ความหมายทางกายภาพ: ปล่อยให้ร่างกายเคลื่อนที่ไปตามเวกเตอร์ แล้วตามด้วยเวกเตอร์ จากนั้นผลรวมของเวกเตอร์คือเวกเตอร์ของเส้นทางผลลัพธ์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดที่จุดที่มาถึง กฎที่คล้ายกันถูกกำหนดขึ้นสำหรับผลรวมของเวกเตอร์จำนวนเท่าใดก็ได้ อย่างที่พวกเขาพูดกันว่าร่างกายสามารถโน้มตัวไปตามซิกแซกหรืออาจจะเป็นแบบอัตโนมัติ - ไปตามเวกเตอร์ผลลัพธ์ของผลรวม

ยังไงก็ตามหากเวกเตอร์ถูกเลื่อนออกไป เริ่มเวกเตอร์ แล้วเราจะได้ค่าที่เท่ากัน กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานการบวกเวกเตอร์

ประการแรก เกี่ยวกับความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ เรียกเวกเตอร์สองตัวนี้ว่า คอลลิเนียร์ถ้าพวกมันอยู่บนเส้นเดียวกันหรือเส้นคู่ขนาน พูดคร่าวๆ, เรากำลังพูดถึงเวกเตอร์คู่ขนาน แต่สำหรับคำเหล่านั้น คำคุณศัพท์ "collinear" มักจะถูกใช้เสมอ

ลองนึกภาพเวกเตอร์เชิงเส้นสองตัว หากลูกศรของเวกเตอร์เหล่านี้หันไปในทิศทางเดียวกัน ก็จะเรียกเวกเตอร์ดังกล่าว ร่วมกำกับ- หากลูกศรชี้ไปในทิศทางที่ต่างกัน เวกเตอร์ก็จะเป็นเช่นนี้ ทิศทางตรงกันข้าม.

การกำหนด:ความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์เขียนด้วยสัญลักษณ์ความเท่าเทียมตามปกติ: ในขณะที่รายละเอียดเป็นไปได้: (เวกเตอร์มีทิศทางร่วม) หรือ (เวกเตอร์มีทิศทางตรงกันข้าม)

การทำงานเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์บนตัวเลขคือเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับ และเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางร่วมและทิศทางตรงกันข้ามที่

กฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลขนั้นง่ายต่อการเข้าใจโดยใช้รูปภาพ:

มาดูรายละเอียดเพิ่มเติม:

1) ทิศทาง หากตัวคูณเป็นลบ แสดงว่าเวกเตอร์ เปลี่ยนทิศทางในทางตรงกันข้าม

2) ความยาว หากตัวคูณอยู่ภายใน หรือ ความยาวของเวกเตอร์ ลดลง- ดังนั้น ความยาวของเวกเตอร์คือครึ่งหนึ่งของความยาวของเวกเตอร์ ถ้าโมดูลัสของตัวคูณมากกว่า 1 แสดงว่าความยาวของเวกเตอร์ เพิ่มขึ้นในบางครั้ง

3) โปรดทราบว่า เวกเตอร์ทั้งหมดอยู่ในแนวเดียวกันในขณะที่เวกเตอร์ตัวหนึ่งแสดงผ่านอีกตัวหนึ่ง ตัวอย่างเช่น สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน: หากเวกเตอร์ตัวหนึ่งสามารถแสดงผ่านอีกเวกเตอร์หนึ่งได้ เวกเตอร์นั้นจำเป็นต้องอยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้น: ถ้าเราคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข เราจะได้เส้นตรง(สัมพันธ์กับต้นฉบับ) เวกเตอร์.

4) เวกเตอร์มีทิศทางร่วม เวกเตอร์และยังมีกำกับร่วมด้วย เวกเตอร์ใดๆ ของกลุ่มแรกจะมีทิศตรงข้ามกับเวกเตอร์ใดๆ ของกลุ่มที่สอง

เวกเตอร์ใดเท่ากัน?

เวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันถ้าพวกมันไปในทิศทางเดียวกันและมี ความยาวเท่ากัน - โปรดทราบว่าความเป็นทิศทางร่วมหมายถึงความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ คำจำกัดความจะไม่ถูกต้อง (ซ้ำซ้อน) ถ้าเราพูดว่า: “เวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันถ้าพวกมันอยู่ในแนวเดียวกัน มีทิศทางร่วม และมีความยาวเท่ากัน”

จากมุมมองของแนวคิดของเวกเตอร์อิสระ เวกเตอร์ที่เท่ากันนั้นเป็นเวกเตอร์เดียวกันดังที่กล่าวไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า

พิกัดเวกเตอร์บนเครื่องบินและในอวกาศ

ประเด็นแรกคือการพิจารณาเวกเตอร์บนเครื่องบิน ขอให้เราพรรณนาระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนและพล็อตมันจากจุดกำเนิดของพิกัด เดี่ยวเวกเตอร์ และ :

เวกเตอร์และ ตั้งฉาก- มุมฉาก = ตั้งฉาก ฉันขอแนะนำให้คุณค่อยๆ ทำความคุ้นเคยกับคำศัพท์: แทนที่จะมีความเท่าเทียมและตั้งฉาก เราใช้คำตามลำดับ ความสอดคล้องกันและ ตั้งฉาก.

การกำหนด:มุมตั้งฉากของเวกเตอร์เขียนด้วยสัญลักษณ์ตั้งฉากตามปกติ เช่น:

เวกเตอร์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณาเรียกว่า พิกัดเวกเตอร์หรือ ออร์ต- เวกเตอร์เหล่านี้ก่อตัวขึ้น พื้นฐานบนเครื่องบิน ฉันคิดว่าพื้นฐานคืออะไรนั้นชัดเจนสำหรับคนจำนวนมาก ข้อมูลรายละเอียดสามารถพบได้ในบทความ การพึ่งพาเชิงเส้น (ไม่) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์กล่าวง่ายๆ ก็คือพื้นฐานและที่มาของพิกัดจะกำหนดทั้งระบบ - นี่คือรากฐานชนิดหนึ่งที่ชีวิตทางเรขาคณิตที่สมบูรณ์และสมบูรณ์เดือดพล่าน

บางครั้งเรียกว่าพื้นฐานที่สร้างขึ้น ออร์โธนอร์มอลพื้นฐานของระนาบ: "ortho" - เนื่องจากเวกเตอร์พิกัดตั้งฉาก คำคุณศัพท์ "ทำให้เป็นมาตรฐาน" หมายถึงหน่วย เช่น ความยาวของเวกเตอร์ฐานเท่ากับหนึ่ง

การกำหนด:พื้นฐานมักจะเขียนอยู่ในวงเล็บซึ่งข้างใน ตามลำดับอย่างเคร่งครัดเวกเตอร์พื้นฐานจะถูกแสดงรายการไว้ เช่น: เวกเตอร์พิกัด มันเป็นสิ่งต้องห้ามจัดเรียงใหม่

ใดๆเวกเตอร์เครื่องบิน วิธีเดียวเท่านั้นแสดงเป็น:
, ที่ไหน - ตัวเลขซึ่งเรียกว่า พิกัดเวกเตอร์ในพื้นฐานนี้ และการแสดงออกนั้นเอง เรียกว่า การสลายตัวของเวกเตอร์ตามพื้นฐาน .

เสิร์ฟอาหารค่ำ:

เริ่มจากตัวอักษรตัวแรกของตัวอักษร: . ภาพวาดแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าเมื่อแยกย่อยเวกเตอร์เป็นพื้นฐาน จะใช้สิ่งที่เพิ่งกล่าวถึง:
1) กฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข: และ ;
2) การบวกเวกเตอร์ตามกฎสามเหลี่ยม: .

ทีนี้ ให้พลอตเวกเตอร์จากจุดอื่นใดบนระนาบทางจิตใจ เห็นได้ชัดว่าความเสื่อมสลายของเขาจะ "ติดตามเขาอย่างไม่ลดละ" นี่คืออิสรภาพของเวกเตอร์ - เวกเตอร์ "นำทุกสิ่งมาด้วยตัวมันเอง" แน่นอนว่าคุณสมบัตินี้เป็นจริงสำหรับเวกเตอร์ใดๆ เป็นเรื่องตลกที่ไม่จำเป็นต้องลงจุดเวกเตอร์พื้นฐาน (ฟรี) จากจุดเริ่มต้น คุณสามารถวาดเวกเตอร์ตัวหนึ่งที่ด้านล่างซ้ายและอีกตัวที่มุมขวาบนและจะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง! จริงอยู่ คุณไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ เนื่องจากครูจะแสดงความคิดริเริ่มและดึง "เครดิต" ให้คุณในสถานที่ที่ไม่คาดคิด

เวกเตอร์แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงกฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข เวกเตอร์นั้นมีทิศทางร่วมกับเวกเตอร์ฐาน เวกเตอร์นั้นอยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์ฐาน สำหรับเวกเตอร์เหล่านี้ พิกัดตัวใดตัวหนึ่งจะเท่ากับศูนย์ คุณสามารถเขียนมันอย่างพิถีพิถันได้ดังนี้:


และเวกเตอร์พื้นฐานก็เป็นดังนี้: (อันที่จริงพวกมันแสดงออกมาผ่านตัวมันเอง)

และสุดท้าย: , . ว่าแต่ การลบเวกเตอร์คืออะไร แล้วทำไมฉันไม่พูดถึงกฎการลบล่ะ ที่ไหนสักแห่งใน พีชคณิตเชิงเส้นฉันจำไม่ได้ว่าที่ไหน ฉันสังเกตว่าการลบเป็นกรณีพิเศษของการบวก ดังนั้น การขยายตัวของเวกเตอร์ “de” และ “e” จึงเขียนเป็นผลรวมได้อย่างง่ายดาย: , - ทำตามรูปวาดเพื่อดูว่าการบวกเวกเตอร์แบบเก่าที่ดีตามกฎสามเหลี่ยมใช้ได้ผลในสถานการณ์เหล่านี้อย่างชัดเจนเพียงใด

การพิจารณาสลายตัวของแบบฟอร์ม บางครั้งเรียกว่าการสลายตัวของเวกเตอร์ ในระบบออร์ต(เช่น ในระบบเวกเตอร์หน่วย) แต่นี่ไม่ใช่วิธีเดียวในการเขียนเวกเตอร์ ตัวเลือกต่อไปนี้เป็นเรื่องปกติ:

หรือมีเครื่องหมายเท่ากับ:

เวกเตอร์พื้นฐานเขียนดังนี้: และ

นั่นคือพิกัดของเวกเตอร์จะแสดงอยู่ในวงเล็บ ในปัญหาเชิงปฏิบัติ จะใช้ตัวเลือกสัญลักษณ์ทั้งสามแบบ

ฉันสงสัยว่าจะพูดหรือไม่ แต่ฉันจะพูดต่อไป: พิกัดเวกเตอร์ไม่สามารถจัดเรียงใหม่ได้. อย่างเคร่งครัดเป็นอันดับแรกเราเขียนพิกัดที่สอดคล้องกับเวกเตอร์หน่วย เคร่งครัดเป็นอันดับสองเราเขียนพิกัดที่สอดคล้องกับเวกเตอร์หน่วย แท้จริงแล้ว และ เป็นเวกเตอร์สองตัวที่ต่างกัน

เราหาพิกัดบนเครื่องบินได้ ทีนี้ลองดูเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ เกือบทุกอย่างจะเหมือนกันตรงนี้! มันจะเพิ่มอีกหนึ่งพิกัด การสร้างภาพวาดสามมิติเป็นเรื่องยาก ดังนั้นฉันจะจำกัดตัวเองให้อยู่ที่เวกเตอร์เพียงตัวเดียว ซึ่งเพื่อความง่ายฉันจะแยกออกจากจุดกำเนิด:

ใดๆเวกเตอร์อวกาศ 3 มิติ วิธีเดียวเท่านั้นขยายออกไปตามหลักออร์โธนอร์มอล:
โดยที่พิกัดของเวกเตอร์ (ตัวเลข) อยู่ที่ไหนบนพื้นฐานนี้

ตัวอย่างจากภาพ: - มาดูกันว่ากฎเวกเตอร์ทำงานอย่างไรที่นี่ ขั้นแรก ให้คูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข: (ลูกศรสีแดง) (ลูกศรสีเขียว) และ (ลูกศรราสเบอร์รี่) ประการที่สอง นี่คือตัวอย่างของการเพิ่มเวกเตอร์หลายตัว ในกรณีนี้ สามตัว: เวกเตอร์ผลรวมเริ่มต้นที่จุดเริ่มต้นเริ่มต้น (จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์) และสิ้นสุดที่จุดสุดท้ายที่มาถึง (จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์)

เวกเตอร์ทั้งหมดของพื้นที่สามมิตินั้นเป็นอิสระเช่นกัน พยายามแยกเวกเตอร์ออกจากจุดอื่นในใจแล้วคุณจะเข้าใจว่าการสลายตัวของมัน "จะยังคงอยู่กับมัน"

คล้ายกับเคสแบนนอกเหนือจากการเขียน รุ่นที่มีวงเล็บปีกกาใช้กันอย่างแพร่หลาย: ทั้ง .

หากไม่มีเวกเตอร์พิกัดหนึ่ง (หรือสอง) ตัวในส่วนขยาย ก็จะใส่ศูนย์เข้าไปแทนที่ ตัวอย่าง:
เวกเตอร์ (อย่างพิถีพิถัน ) – มาเขียนกันเถอะ ;
เวกเตอร์ (อย่างพิถีพิถัน ) – มาเขียนกันเถอะ ;
เวกเตอร์ (อย่างพิถีพิถัน ) – มาเขียนกัน

เวกเตอร์พื้นฐานเขียนดังนี้:

นั่นอาจเป็นขั้นต่ำทั้งหมด ความรู้ทางทฤษฎีจำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาเรขาคณิตวิเคราะห์ อาจมีคำศัพท์และคำจำกัดความมากมาย ดังนั้น แนะนำให้กาน้ำชาอ่านและทำความเข้าใจข้อมูลนี้อีกครั้ง และจะเป็นประโยชน์สำหรับผู้อ่านที่จะอ้างอิงถึงบทเรียนพื้นฐานเป็นครั้งคราวเพื่อดูดซึมเนื้อหาได้ดีขึ้น ความเป็นเส้นตรง, ความตั้งฉาก, พื้นฐาน orthonormal, การสลายตัวของเวกเตอร์ - แนวคิดเหล่านี้และแนวคิดอื่น ๆ มักจะถูกนำมาใช้ในอนาคต ฉันต้องการทราบว่าเนื้อหาของไซต์ไม่เพียงพอที่จะผ่านการทดสอบทางทฤษฎีหรือการประชุมสัมนาในเรขาคณิต เนื่องจากฉันเข้ารหัสทฤษฎีบททั้งหมดอย่างระมัดระวัง (และไม่มีการพิสูจน์) - ส่งผลเสียต่อ สไตล์วิทยาศาสตร์การนำเสนอ แต่จะเป็นการบวกกับความเข้าใจของคุณในเรื่องนี้ หากต้องการรับข้อมูลเชิงทฤษฎีโดยละเอียด โปรดโค้งคำนับศาสตราจารย์อตานาสยาน

และเราไปยังส่วนที่ใช้งานได้จริง:

ปัญหาที่ง่ายที่สุดของเรขาคณิตวิเคราะห์
การดำเนินการกับเวกเตอร์ในพิกัด

ขอแนะนำอย่างยิ่งให้เรียนรู้วิธีการแก้ปัญหางานที่จะได้รับการพิจารณาโดยอัตโนมัติและสูตร จดจำคุณไม่จำเป็นต้องจำมันโดยตั้งใจ แต่พวกเขาจะจำมันเอง =) สิ่งนี้สำคัญมากเนื่องจากปัญหาอื่น ๆ ของเรขาคณิตวิเคราะห์นั้นขึ้นอยู่กับตัวอย่างเบื้องต้นที่ง่ายที่สุดและจะน่ารำคาญที่จะใช้เวลาเพิ่มเติมในการกินเบี้ย . ไม่จำเป็นต้องติดกระดุมบนเสื้อเพราะมีหลายสิ่งที่คุ้นเคยจากโรงเรียน

การนำเสนอเนื้อหาจะดำเนินไปในทิศทางคู่ขนาน - ทั้งสำหรับเครื่องบินและอวกาศ ด้วยเหตุผลที่ว่าทุกสูตร...คุณจะเห็นเอง

จะหาเวกเตอร์จากจุดสองจุดได้อย่างไร?

หากให้จุดสองจุดของระนาบแล้วเวกเตอร์จะมีพิกัดต่อไปนี้:

หากให้จุดสองจุดในอวกาศแล้วเวกเตอร์จะมีพิกัดต่อไปนี้:

นั่นคือ จากพิกัดจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์คุณต้องลบพิกัดที่เกี่ยวข้อง จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์.

ออกกำลังกาย:สำหรับจุดเดียวกัน ให้เขียนสูตรในการหาพิกัดของเวกเตอร์ สูตรในตอนท้ายของบทเรียน

ตัวอย่างที่ 1

ให้จุดสองจุดของระนาบและ. ค้นหาพิกัดเวกเตอร์

สารละลาย:ตามสูตรที่เหมาะสม:

หรืออาจใช้รายการต่อไปนี้:

สุนทรียศาสตร์จะตัดสินสิ่งนี้:

โดยส่วนตัวแล้วฉันคุ้นเคยกับการบันทึกเวอร์ชันแรกแล้ว

คำตอบ:

ตามเงื่อนไขนั้น ไม่จำเป็นต้องสร้างภาพวาด (ซึ่งเป็นเรื่องปกติสำหรับปัญหาของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์) แต่เพื่อที่จะชี้แจงบางจุดสำหรับหุ่นจำลอง ฉันจะไม่ขี้เกียจ:

คุณต้องเข้าใจอย่างแน่นอน ความแตกต่างระหว่างพิกัดจุดและพิกัดเวกเตอร์:

พิกัดจุด– เป็นพิกัดสามัญในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ฉันคิดว่าทุกคนรู้วิธีพล็อตจุดบนระนาบพิกัดตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6 แต่ละจุดมีสถานที่ที่เข้มงวดบนเครื่องบินและไม่สามารถเคลื่อนย้ายไปที่ใดก็ได้

พิกัดของเวกเตอร์– นี่คือการขยายตามพื้นฐาน ในกรณีนี้ เวกเตอร์ใดๆ นั้นฟรี ดังนั้นหากต้องการหรือจำเป็น เราสามารถย้ายมันออกจากจุดอื่นบนระนาบได้อย่างง่ายดาย (เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน โดยกำหนดใหม่ เช่น โดย ) สิ่งที่น่าสนใจคือสำหรับเวกเตอร์ คุณไม่จำเป็นต้องสร้างแกนหรือระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเลย คุณเพียงต้องการพื้นฐานเท่านั้น ในกรณีนี้คือพื้นฐานออร์โธนอร์มอลของระนาบ

บันทึกพิกัดของจุดและพิกัดของเวกเตอร์ดูเหมือนจะคล้ายกัน: , และ ความหมายของพิกัดอย่างแน่นอน แตกต่างและคุณควรตระหนักดีถึงความแตกต่างนี้ แน่นอนว่าความแตกต่างนี้ใช้ได้กับพื้นที่ด้วย

ท่านสุภาพสตรีและสุภาพบุรุษ เรามาเติมมือกันเถอะ:

ตัวอย่างที่ 2

ก) คะแนนและได้รับ ค้นหาเวกเตอร์และ .
b) ให้คะแนน และ . ค้นหาเวกเตอร์และ .
c) คะแนนและได้รับ ค้นหาเวกเตอร์และ .
d) ให้คะแนน ค้นหาเวกเตอร์ .

บางทีนั่นอาจจะเพียงพอแล้ว นี่เป็นตัวอย่างสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระพยายามอย่าละเลยสิ่งเหล่านั้น มันจะได้ผลตอบแทน ;-) ไม่จำเป็นต้องวาดรูป แนวทางแก้ไขและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

สิ่งสำคัญในการแก้ปัญหาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์คืออะไร?สิ่งสำคัญคือต้องระมัดระวังเป็นอย่างยิ่งเพื่อหลีกเลี่ยงการทำผิดพลาดแบบ "สองบวกสองเท่ากับศูนย์" อย่างเชี่ยวชาญ ฉันขอโทษทันทีหากฉันทำผิดพลาดที่ไหนสักแห่ง =)

จะหาความยาวของส่วนได้อย่างไร?

ความยาวตามที่ระบุไว้แล้วจะถูกระบุด้วยเครื่องหมายโมดูลัส

หากให้จุดสองจุดของระนาบ และ ความยาวของส่วนสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

หากมีการกำหนดสองจุดในอวกาศความยาวของส่วนสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

บันทึก: สูตรจะยังคงถูกต้องหากมีการสลับพิกัดที่เกี่ยวข้อง: และ แต่ตัวเลือกแรกจะเป็นมาตรฐานมากกว่า

ตัวอย่างที่ 3

สารละลาย:ตามสูตรที่เหมาะสม:

คำตอบ:

เพื่อความชัดเจนฉันจะวาดรูป

ส่วน – นี่ไม่ใช่เวกเตอร์และแน่นอนว่าคุณไม่สามารถเคลื่อนย้ายมันไปไหนได้ นอกจากนี้ หากคุณวาดเป็นขนาด: 1 หน่วย = 1 ซม. (เซลล์สมุดบันทึกสองเซลล์) ดังนั้นคำตอบที่ได้จึงสามารถตรวจสอบได้โดยใช้ไม้บรรทัดธรรมดาโดยการวัดความยาวของส่วนนั้นโดยตรง

ใช่ วิธีแก้ปัญหานั้นสั้น แต่ก็มีอีกสองสามข้อในนั้น จุดสำคัญที่ข้าพเจ้าอยากจะชี้แจงว่า

ประการแรก เราใส่มิติข้อมูลลงในคำตอบ: "หน่วย" สภาพไม่ได้บอกว่ามันคืออะไร มิลลิเมตร เซนติเมตร เมตร หรือกิโลเมตร ดังนั้น วิธีแก้ไขที่ถูกต้องทางคณิตศาสตร์คือสูตรทั่วไป: "หน่วย" - เรียกโดยย่อว่า "หน่วย"

ประการที่สอง ให้เราทำซ้ำเนื้อหาของโรงเรียนซึ่งมีประโยชน์ไม่เพียง แต่สำหรับงานที่พิจารณาเท่านั้น:

โปรดทราบ สำคัญ เทคนิคทางเทคนิค – ลบตัวคูณออกจากใต้รูต- จากการคำนวณ เราได้ผลลัพธ์ และรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่ดีคือการลบปัจจัยออกจากใต้ราก (ถ้าเป็นไปได้) รายละเอียดเพิ่มเติมกระบวนการมีลักษณะดังนี้: - แน่นอนว่าการทิ้งคำตอบไว้อย่างที่เป็นอยู่นั้นไม่ใช่ความผิดพลาด แต่แน่นอนว่ามันจะเป็นข้อบกพร่องและเป็นข้อโต้แย้งที่หนักหน่วงสำหรับการพูดเล่นของครู

ต่อไปนี้เป็นกรณีทั่วไปอื่นๆ:

มักมีเพียงพอที่ราก จำนวนมาก, ตัวอย่างเช่น . จะทำอย่างไรในกรณีเช่นนี้? ใช้เครื่องคิดเลขตรวจสอบว่าตัวเลขหารด้วย 4 ลงตัวหรือไม่: ใช่แล้ว มันถูกแบ่งแยกโดยสิ้นเชิง ดังนี้: - หรือบางทีตัวเลขสามารถหารด้วย 4 อีกครั้งได้? - ดังนั้น: - หลักสุดท้ายของตัวเลขเป็นเลขคี่ ดังนั้นการหารด้วย 4 เป็นครั้งที่สามจะไม่ได้ผลอย่างเห็นได้ชัด ลองหารด้วยเก้า: . เป็นผลให้:
พร้อม.

บทสรุป:หากเราได้รับตัวเลขที่ไม่สามารถแยกออกมาทั้งหมดได้ภายใต้รูทเราจะพยายามลบตัวประกอบออกจากใต้รูท - ใช้เครื่องคิดเลขเพื่อตรวจสอบว่าตัวเลขหารด้วย: 4, 9, 16, 25, 36 หรือไม่ 49 เป็นต้น

ในระหว่างการตัดสินใจ งานต่างๆรากเป็นเรื่องปกติ พยายามแยกปัจจัยจากใต้รากเสมอเพื่อหลีกเลี่ยงเกรดที่ต่ำกว่าและปัญหาที่ไม่จำเป็นในการสรุปวิธีแก้ปัญหาตามความคิดเห็นของครู

เรามาทำซ้ำการยกกำลังสองและค่ากำลังอื่นๆ กัน:

กฎสำหรับการดำเนินการที่มีองศาเข้า มุมมองทั่วไปสามารถพบได้ใน หนังสือเรียนของโรงเรียนในพีชคณิต แต่ฉันคิดว่าจากตัวอย่างที่ให้มาทุกอย่างหรือเกือบทุกอย่างชัดเจนอยู่แล้ว

การมอบหมายโซลูชันอิสระพร้อมส่วนในพื้นที่:

ตัวอย่างที่ 4

คะแนนและได้รับ ค้นหาความยาวของส่วน.

คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

จะหาความยาวของเวกเตอร์ได้อย่างไร?

หากให้เวกเตอร์ระนาบมา สูตรจะคำนวณความยาวของเวกเตอร์

หากกำหนดเวกเตอร์อวกาศ ความยาวจะถูกคำนวณโดยสูตร .

สูตรเหล่านี้ (เช่นเดียวกับสูตรสำหรับความยาวของส่วน) สามารถหามาได้ง่ายๆ โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่รู้จักกันดี