คุณสมบัติพื้นฐานของอินทิกรัลไม่ จำกัด พร้อมตัวอย่าง คุณสมบัติพื้นฐานของอินทิกรัลไม่ จำกัด ค่าคงที่ของรูปแบบของการรวมกลุ่ม

ผลรวมของซีรีส์

เว็บไซต์ช่วยให้คุณค้นหา ผลรวมซีรีส์ออนไลน์ลำดับหมายเลข นอกจากการค้นหาผลรวมของชุดของลำดับหมายเลขออนไลน์แล้ว เซิร์ฟเวอร์ยังอยู่ในนั้นด้วย ออนไลน์จะหา ผลรวมบางส่วนของซีรีส์- สิ่งนี้มีประโยชน์สำหรับการคำนวณเชิงวิเคราะห์เมื่อใด ผลรวมซีรีส์ออนไลน์จะต้องแสดงและพบว่าเป็นคำตอบจนถึงขีดจำกัดของลำดับ ผลรวมบางส่วนของอนุกรม- เมื่อเทียบกับเว็บไซต์อื่นๆ เว็บไซต์มีข้อได้เปรียบที่ไม่อาจปฏิเสธได้เนื่องจากช่วยให้คุณค้นหาได้ ผลรวมซีรีส์ออนไลน์ไม่ใช่แค่ตัวเลขเท่านั้น แต่ยังรวมถึง ช่วงการทำงานซึ่งจะช่วยให้เรากำหนดพื้นที่การบรรจบกันของต้นฉบับได้ แถวโดยใช้วิธีการที่เป็นที่รู้จักมากที่สุด ตามทฤษฎี แถว, เงื่อนไขที่จำเป็นการบรรจบกันของลำดับตัวเลขคือการเท่ากับศูนย์ของขีดจำกัดของคำศัพท์ทั่วไป ชุดตัวเลข เนื่องจากตัวแปรมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด อย่างไรก็ตามเงื่อนไขนี้ไม่เพียงพอที่จะระบุการบรรจบกันของชุดตัวเลขออนไลน์.. เพื่อกำหนด การบรรจบกันของซีรีส์ออนไลน์พบสัญญาณของการบรรจบกันหรือความแตกต่างที่เพียงพอหลายประการ แถว- สิ่งที่มีชื่อเสียงและใช้บ่อยที่สุดคือสัญลักษณ์ของ D'Alembert, Cauchy, Raabe, การเปรียบเทียบ ชุดตัวเลขเช่นเดียวกับสัญลักษณ์สำคัญของการบรรจบกัน ชุดตัวเลข- สถานที่พิเศษในหมู่ ชุดตัวเลขครอบครองสิ่งที่สัญญาณของเงื่อนไขสลับกันอย่างเคร่งครัดและค่าสัมบูรณ์ ชุดตัวเลขลดลงอย่างน่าเบื่อ ปรากฎว่าเป็นเช่นนั้น ชุดตัวเลขสัญญาณที่จำเป็นของการบรรจบกันของซีรีส์ออนไลน์นั้นเพียงพอในเวลาเดียวกันนั่นคือความเท่าเทียมกันของขีด จำกัด ของคำศัพท์ทั่วไปเป็นศูนย์ ชุดตัวเลขเนื่องจากตัวแปรมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด มีเว็บไซต์ต่าง ๆ มากมายที่ให้บริการ เซิร์ฟเวอร์เพื่อคำนวณ ผลรวมซีรีส์ออนไลน์ตลอดจนการขยายฟังก์ชันใน แถวออนไลน์ ณ จุดใดจุดหนึ่งจากขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้ ถ้าเราขยายฟังก์ชันเข้าไป ซีรีส์ออนไลน์ไม่ยากโดยเฉพาะบนเซิร์ฟเวอร์เหล่านี้ จากนั้นจึงคำนวณ ผลรวมของซีรีย์ฟังก์ชันออนไลน์สมาชิกแต่ละคนซึ่งตรงกันข้ามกับตัวเลข แถวไม่ใช่ตัวเลข แต่เป็นฟังก์ชัน ดูเหมือนแทบจะเป็นไปไม่ได้เลยเนื่องจากขาดทรัพยากรทางเทคนิคที่จำเป็น สำหรับ www.เว็บไซต์ไม่มีปัญหาดังกล่าว

ในขณะที่เงินฝากถูกเก็บไว้ในธนาคาร ดอกเบี้ยจะเกิดขึ้นทุกเดือน ครั้งแรกที่ 5% จากนั้น 12% จากนั้นและสุดท้ายคือ 12.5% ​​​​ต่อเดือน เป็นที่ทราบกันว่าเงินฝากนั้นขึ้นอยู่กับอัตราดอกเบี้ยใหม่แต่ละรายการเป็นเวลาจำนวนเต็มของเดือนและหลังจากสิ้นสุดระยะเวลาการจัดเก็บจำนวนเงินเริ่มต้นจะเพิ่มขึ้นโดยกำหนดระยะเวลาการเก็บรักษาของเงินฝาก

สารละลาย.

เป็นที่รู้จัก:

1. ดอกเบี้ยเงินฝากเกิดขึ้นทุกเดือน

2. เปอร์เซ็นต์ที่เพิ่มขึ้นในแต่ละครั้งหลังจากสิ้นเดือนตามปฏิทินจะถูกคำนวณโดยคำนึงถึงจำนวนเงินฝากที่สร้างขึ้นใหม่และคำนึงถึงการเพิ่มขึ้นครั้งก่อน

หากจำนวนเงินฝากเริ่มต้นที่อัตราดอกเบี้ย 5% ต่อเดือนคงอยู่เป็นเวลาหลายเดือน เงินฝากจะเพิ่มขึ้นทุกเดือนคูณด้วยค่าสัมประสิทธิ์นี้จะถูกรักษาไว้จนกว่าอัตราจะเปลี่ยนแปลง

หากอัตราดอกเบี้ยเปลี่ยนจากเป็น (อัตราคงอยู่เป็นเวลาหลายเดือน) จำนวนเงินฝากเริ่มต้นสำหรับเดือนจะเพิ่มขึ้นหลายเท่า

สมมติว่าอัตราดอกเบี้ยคงอยู่เป็นเวลาหลายเดือนและอัตราดอกเบี้ยคงอยู่เป็นเวลาหลายเดือน จากนั้นปัจจัยการเพิ่มขึ้นที่สอดคล้องกันจะเป็น:

ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์การเพิ่มขึ้นของจำนวนเงินฝากโดยรวมตลอดระยะเวลาการจัดเก็บเงินฝากในธนาคารจะเป็น:

ในทางกลับกันตามเงื่อนไขของปัญหา จำนวนเงินเริ่มต้นของเงินฝากในช่วงเวลาเดียวกันเพิ่มขึ้นคือ

ตามทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตทุกประการ จำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 สามารถแสดงเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะได้ และการแทนค่านี้จะมีลักษณะเฉพาะตามลำดับการเกิดขึ้น ในกรณีนี้:

ให้เราแก้ระบบนี้ด้วยความเคารพต่อธรรมชาติและจากสมการสุดท้ายของระบบที่เรามี: ด้วยค่าเหล่านี้ ระบบจะอยู่ในรูปแบบ:

ดังนั้นเงินฝากในธนาคารจึงถูกเก็บไว้เป็นเวลา 7 เดือน ด้วยค่าที่พบและเท่ากับศูนย์แน่นอน

คำตอบ: 7.

บันทึก.

สำหรับปัญหานี้ในเวอร์ชันที่ง่ายกว่า โปรดดูหมายเลขและ

ที่มา: อ. ลาริน: ตัวเลือกการฝึกอบรม № 81.

Semyon Kuznetsov วางแผนที่จะลงทุนเงินออมทั้งหมดของเขาในบัญชีออมทรัพย์ที่ Navrode Bank ที่ 500% โดยหวังว่าจะถอนออกในหนึ่งปี กรูเบิล อย่างไรก็ตาม การล่มสลายของธนาคาร Navrode ได้เปลี่ยนแผนของเขา เพื่อป้องกันการกระทำที่หุนหันพลันแล่น ด้วยเหตุนี้ คุณ Kuznetsov จึงนำเงินส่วนหนึ่งไปฝากไว้ที่ First Municipal Bank และส่วนที่เหลือใส่ขวดพาสต้า หนึ่งปีต่อมา First Municipal เพิ่มเปอร์เซ็นต์การชำระเงินสองเท่าครึ่ง และนาย Kuznetsov ตัดสินใจฝากเงินฝากไว้อีกปีหนึ่ง เป็นผลให้จำนวนเงินที่ได้รับที่ First Municipal มีจำนวนรูเบิล พิจารณาว่าธนาคารเทศบาลแห่งแรกได้รับดอกเบี้ยเท่าใดในปีแรกหากเซมยอน "ลงทุน" รูเบิลในขวดพาสต้า

สารละลาย.

สมมติว่าเงินออมของ Kuznetsov เป็น เอ็กซ์ร.

เซมยอนวางแผนที่จะรับ 6 รายการจากธนาคาร Navroda ในหนึ่งปี เอ็กซ์ = ก(น)

อย่างไรก็ตาม นายคุซเนตซอฟ (ขวา) ได้ "ลงทุน" เงินออมของเขาในขวดพาสต้า และรูเบิลที่เหลือในธนาคารเทศบาลแห่งแรก สมมติว่าในธนาคารนี้การจ่ายดอกเบี้ยในปีแรกของการจัดเก็บเงินมีจำนวน ย- จากนั้นในปีที่สองอัตราดอกเบี้ยนี้กลายเป็น % ตลอดระยะเวลา 2 ปีที่เก็บรักษาไว้ในธนาคารเทศบาลแห่งแรก เงินฝากของ Semyon เพิ่มขึ้นเป็น

และค่าของพจน์นี้คือ

มาแก้สมการกัน ที่.

ไม่ตรงตามวัตถุประสงค์ของงาน

ธนาคารเทศบาลแห่งแรกได้รับ 20% ให้กับ Semyon Kuznetsov ในปีแรกของการรักษาเงินฝาก

คำตอบ: 20%

ที่มา: อ. ลาริน: ทางเลือกการฝึกอบรมหมายเลข 94

ตัวแยกประเภทชิ้นส่วนพื้นฐาน: ปัญหาเชิงปฏิบัติ

ฯลฯ – ความรู้น้อยที่สุดเกี่ยวกับ ชุดตัวเลข- จำเป็นต้องเข้าใจว่าซีรีส์คืออะไร สามารถอธิบายได้อย่างละเอียด และไม่ลืมตาหลังจากวลี "ซีรีส์มาบรรจบกัน" "ซีรีส์แตกต่าง" "ผลรวมของซีรีส์" ดังนั้น หากอารมณ์ของคุณอยู่ที่ศูนย์โดยสิ้นเชิง โปรดใช้เวลา 5-10 นาทีกับบทความนี้ แถวสำหรับหุ่น(ตามตัวอักษร 2-3 หน้าแรก) จากนั้นกลับมาที่นี่และเริ่มแก้ตัวอย่างได้เลย!

ควรสังเกตว่าในกรณีส่วนใหญ่การหาผลรวมของอนุกรมนั้นไม่ใช่เรื่องง่ายและปัญหานี้มักจะแก้ไขได้ ซีรี่ส์การทำงาน (เราจะอยู่ เราจะมีชีวิตอยู่ :))- ยกตัวอย่างจำนวนศิลปินดัง ส่งออกผ่าน อนุกรมฟูริเยร์- ในทางปฏิบัติจำเป็นต้องติดตั้งเกือบทุกครั้ง ความจริงของการบรรจบกันแต่หาเลขเฉพาะไม่เจอ (ผมว่าหลายๆ คนคงสังเกตเห็นแล้ว) อย่างไรก็ตาม ในบรรดาชุดตัวเลขที่หลากหลาย มีตัวแทนเพียงไม่กี่คนที่อนุญาตให้แม้แต่กาน้ำชาเต็มสามารถสัมผัสความศักดิ์สิทธิ์แห่งความศักดิ์สิทธิ์ได้โดยไม่มีปัญหาใดๆ และในบทเรียนเบื้องต้น ฉันยกตัวอย่างความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด จำนวนที่คำนวณได้ง่าย ๆ โดยใช้สูตรโรงเรียนชื่อดัง

ในบทความนี้ เราจะพิจารณาตัวอย่างที่คล้ายกันต่อไป นอกจากนี้ เราจะเรียนรู้คำจำกัดความที่เข้มงวดของผลรวม และเราจะทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติบางอย่างของอนุกรมไปพร้อมๆ กัน มาอุ่นเครื่องกัน... และมาอุ่นเครื่องกับความก้าวหน้ากันดีกว่า:

ตัวอย่างที่ 1

หาผลรวมของอนุกรม

สารละลาย: ลองจินตนาการว่าซีรีส์ของเราเป็นผลรวมของสองซีรีส์:

ทำไม ในนี้เป็นไปได้ไหมที่จะทำเช่นนี้? การดำเนินการที่ดำเนินการจะขึ้นอยู่กับข้อความง่ายๆ สองข้อความ:

1) ถ้าซีรีส์มาบรรจบกัน จากนั้นอนุกรมที่ประกอบด้วยผลรวมหรือผลต่างของคำศัพท์ที่เกี่ยวข้องก็จะมาบรรจบกัน: ในกรณีนี้ ข้อเท็จจริงที่สำคัญก็คือว่าเรากำลังพูดถึง มาบรรจบกันแถว ในตัวอย่างของเราเรา เรารู้ล่วงหน้าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตทั้งสองจะมาบรรจบกัน ซึ่งหมายความว่าเราจะแยกชุดข้อมูลดั้งเดิมออกเป็นสองแถวอย่างไม่ต้องสงสัย

2) คุณสมบัติที่สองนั้นชัดเจนยิ่งขึ้น ค่าคงที่สามารถย้ายออกนอกซีรีส์ได้: และสิ่งนี้จะไม่ส่งผลกระทบต่อการลู่เข้าหรือความแตกต่างและผลรวมสุดท้าย ทำไมต้องดึงค่าคงที่ออกมา? ใช่เพียงเพื่อที่เธอ "จะไม่ขวางทาง" แต่บางครั้งก็เป็นประโยชน์ที่จะไม่ทำเช่นนี้

ตัวอย่างที่ชัดเจนมีลักษณะดังนี้:

เราใช้สูตรสองครั้งเพื่อค้นหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด โดยที่ คือเทอมแรกของความก้าวหน้า และเป็นฐานของความก้าวหน้า

คำตอบ: ผลรวมของซีรีย์

จุดเริ่มต้นของโซลูชันสามารถออกแบบได้ในรูปแบบที่แตกต่างกันเล็กน้อย - เขียนชุดข้อมูลโดยตรงและจัดเรียงสมาชิกใหม่:

ต่อไปตามเส้นทางที่ถูกตี

ตัวอย่างที่ 2

หาผลรวมของอนุกรม

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ- เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

ไม่มีความสุขพิเศษที่นี่ แต่วันหนึ่งฉันเจอซีรีส์ที่ไม่ธรรมดาซึ่งสามารถทำให้คนที่ไม่มีประสบการณ์ประหลาดใจได้ นี่... ก็ลดลงไม่สิ้นสุดเช่นกัน ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต- แน่นอนและจำนวนเงินจะถูกคำนวณในเวลาเพียงไม่กี่นาที: .

และตอนนี้เป็นการจิบเพื่อชีวิต การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์จำเป็นต้องแก้ไขปัญหาเพิ่มเติม:

ผลรวมของซีรีย์คืออะไร?

คำจำกัดความที่เข้มงวดของการลู่เข้า/การลู่เข้าและผลรวมของอนุกรมทางทฤษฎีให้ไว้ผ่านสิ่งที่เรียกว่า จำนวนบางส่วนแถว. บางส่วน หมายถึง ไม่สมบูรณ์ ลองเขียนผลรวมบางส่วนของชุดตัวเลขกัน :

และ บทบาทพิเศษผลรวมบางส่วนของสมาชิก "en" ของซีรีส์นี้เล่น:

ถ้าขีดจำกัดของผลรวมบางส่วนของชุดตัวเลขเท่ากับ สุดท้าย number: จากนั้นจึงเรียกซีรี่ส์ดังกล่าว มาบรรจบกันและจำนวนนั้นก็คือ ผลรวมของซีรีส์- ถ้าขีดจำกัดไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่มีอยู่ อนุกรมนั้นจะถูกเรียก แตกต่าง.

กลับไปที่แถวสาธิตกัน และเขียนผลรวมบางส่วน:

ขีดจำกัดของผลรวมบางส่วนคือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด ซึ่งผลรวมจะเท่ากับ: เราดูขีดจำกัดที่คล้ายกันในบทเรียน เกี่ยวกับลำดับตัวเลข- จริงๆ แล้ว สูตรนี้เป็นผลโดยตรงจากการคำนวณทางทฤษฎีข้างต้น (ดู Matan เล่มที่ 2)

จึงถูกวาดขึ้น อัลกอริธึมทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหาของเรา: จำเป็นต้องเขียนผลรวมส่วนที่ n ของอนุกรมแล้วค้นหาขีดจำกัด เรามาดูวิธีการปฏิบัตินี้กัน:

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณผลรวมของอนุกรม

สารละลาย: ในขั้นตอนแรกคุณต้องย่อยสลาย คำทั่วไปของซีรีส์ถึงผลรวมของเศษส่วน เราใช้ วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน:

เป็นผลให้:

โดยทันทีมีประโยชน์ต่อการใช้จ่าย การกระทำย้อนกลับจึงดำเนินการตรวจสอบ:

คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนี้ได้มาในรูปแบบดั้งเดิม ดังนั้น การสลายตัวเป็นผลรวมของเศษส่วนจึงดำเนินการได้สำเร็จ

ทีนี้มาสร้างผลรวมบางส่วนของอนุกรมกัน โดยทั่วไปจะทำด้วยวาจา แต่เมื่อฉันจะอธิบายรายละเอียดให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ว่ามาจากอะไร:

จะเขียนยังไงให้ชัดเจน แต่คำที่แล้วเท่ากับอะไร? ในแง่ทั่วไปของซีรีส์ แทนเราแทนที่ "en":

เงื่อนไขเกือบทั้งหมดของผลรวมบางส่วนสามารถยกเลิกซึ่งกันและกันได้สำเร็จ:


เราทำบันทึกด้วยดินสอในสมุดบันทึก โคตรสะดวกเลย

ยังคงต้องคำนวณขีด จำกัด เบื้องต้นและค้นหาผลรวมของอนุกรม:

คำตอบ:

ซีรี่ส์ที่คล้ายกันสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณผลรวมของอนุกรม

ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาขั้นสุดท้ายโดยประมาณในตอนท้ายของบทเรียน

แน่นอนว่า การค้นหาผลรวมของอนุกรมหนึ่งๆ ถือเป็นข้อพิสูจน์ถึงการบรรจบกันของมันในตัวมันเอง (นอกเหนือจาก สัญญาณเปรียบเทียบ, ดาล็องแบร์, คอชี่ฯลฯ) ซึ่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งมีการบอกเป็นนัยด้วยถ้อยคำ งานต่อไป:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาผลรวมของอนุกรมหรือสร้างความแตกต่าง

โดย รูปร่างของสมาชิกทั่วไปคุณสามารถบอกได้ทันทีว่าสหายคนนี้มีพฤติกรรมอย่างไร ไม่มีคอมเพล็กซ์ โดยการใช้ เกณฑ์จำกัดสำหรับการเปรียบเทียบเป็นเรื่องง่ายที่จะทราบ (แม้จะพูดด้วยวาจา) ว่าซีรีส์นี้จะมาบรรจบกับซีรีส์นี้ แต่ก่อนเรา. กรณีที่หายากเมื่อคำนวณจำนวนเงินแล้วไม่ยุ่งยากมากนัก

สารละลาย: ลองขยายตัวส่วนของเศษส่วนให้เป็นผลคูณกัน. ในการทำเช่นนี้คุณต้องตัดสินใจ สมการกำลังสอง:

ดังนั้น:

เป็นการดีกว่าที่จะจัดเรียงปัจจัยตามลำดับจากน้อยไปมาก: .

เรามาทำการตรวจสอบระดับกลางกัน:

ตกลง

ดังนั้น ศัพท์ทั่วไปของซีรีย์นี้ก็คือ

ดังนั้น:

อย่าขี้เกียจ:

ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องตรวจสอบ

ให้เราเขียนผลรวมบางส่วน "en" ของสมาชิกของซีรีส์โดยให้ความสนใจกับความจริงที่ว่า "ตัวนับ" ของซีรีส์ "เริ่มทำงาน" จากตัวเลข . ดังตัวอย่างก่อนหน้านี้ การยืดงูเห่าให้ยาวพอสมควรจะปลอดภัยกว่า:

อย่างไรก็ตาม ถ้าเราเขียนเป็นหนึ่งหรือสองบรรทัด ก็จะยังค่อนข้างยากที่จะเข้าใจคำศัพท์ต่างๆ (ในแต่ละเทอมจะมี 3 บรรทัด) และที่นี่... เรขาคณิตจะมาช่วยเรา มาทำให้งูเต้นตามทำนองของเรา:

ใช่ เหมือนที่เราเขียนเทอมหนึ่งไว้ใต้อีกเทอมหนึ่งลงในสมุดบันทึก แล้วขีดฆ่าแบบนั้น. โดยวิธีการประดิษฐ์ของฉันเอง อย่างที่คุณเข้าใจไม่ใช่งานที่ง่ายที่สุดในชีวิตนี้ =)

จากการปอกเราได้รับ:

และสุดท้ายผลรวมของซีรีส์นี้:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 8

คำนวณผลรวมของอนุกรม

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง

แน่นอนว่าปัญหาที่อยู่ระหว่างการพิจารณาไม่ได้ทำให้เราพอใจกับความหลากหลายของมัน - ในทางปฏิบัติ เราพบกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด หรืออนุกรมที่มีคำศัพท์ร่วมที่เป็นตรรกศาสตร์เศษส่วนและพหุนามที่ย่อยสลายได้ในตัวส่วน (ยังไงก็ตาม ไม่ใช่ทุก พหุนามดังกล่าวทำให้สามารถหาผลรวมของอนุกรมได้) แต่อย่างไรก็ตาม บางครั้งก็มีตัวอย่างที่ผิดปกติเกิดขึ้น และตามประเพณีที่ดีที่กำหนดไว้ ฉันจบบทเรียนด้วยปัญหาที่น่าสนใจ

คุณสมบัติเหล่านี้ใช้ในการแปลงอินทิกรัลเพื่อลดอินทิกรัลเบื้องต้นและคำนวณต่อไป

1. อนุพันธ์ของอินทิกรัลไม่ จำกัด เท่ากับปริพันธ์:

2. ส่วนต่างของอินทิกรัลไม่ จำกัด เท่ากับปริพันธ์:

3. อินทิกรัลไม่ จำกัด ของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันบางอย่างเท่ากับผลรวมของฟังก์ชันนี้และค่าคงที่ตามอำเภอใจ:

4. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัลได้:

ยิ่งไปกว่านั้น ≠ 0

5. อินทิกรัลของผลรวม (ผลต่าง) เท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอินทิกรัล:

6. คุณสมบัติคือการรวมกันของคุณสมบัติ 4 และ 5:

ยิ่งกว่านั้น a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. คุณสมบัติไม่แปรเปลี่ยนของอินทิกรัลไม่ จำกัด :

ถ้าอย่างนั้น

8. ทรัพย์สิน:

ถ้าอย่างนั้น

จริงๆ แล้ว คุณสมบัตินี้แสดงถึงกรณีพิเศษของการบูรณาการโดยใช้วิธีการเปลี่ยนตัวแปร ซึ่งจะกล่าวถึงรายละเอียดเพิ่มเติมในหัวข้อถัดไป

ลองดูตัวอย่าง:

ขั้นแรกเราใช้คุณสมบัติ 5 จากนั้นจึงใช้คุณสมบัติ 4 จากนั้นเราใช้ตารางแอนติเดริเวทีฟแล้วได้ผลลัพธ์

อัลกอริธึมของเครื่องคิดเลขอินทิกรัลออนไลน์ของเรารองรับคุณสมบัติทั้งหมดที่ระบุไว้ข้างต้นและสามารถค้นหาได้ง่าย วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดสำหรับอินทิกรัลของคุณ

ให้ฟังก์ชัน ย = ฉ(x) ถูกกำหนดไว้ในช่วงเวลา [ ก, ข ], ก < ข- มาดำเนินการต่อไปนี้:

1) มาแยก [ ก, ข] จุด ก = x 0 < x 1 < ... < x ฉัน- 1 < x ฉัน < ... < x n = ข บน nบางส่วน [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x ฉัน- 1 , x ฉัน ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) ในแต่ละส่วนบางส่วน [ x ฉัน- 1 , x ฉัน ], ฉัน = 1, 2, ... nให้เลือกจุดใดก็ได้และคำนวณค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้: ฉ(ฉัน ) ;

3) ค้นหาผลงาน ฉ(ฉัน ) · Δ x ฉัน โดยที่ความยาวของส่วนบางส่วน [ x ฉัน- 1 , x ฉัน ], ฉัน = 1, 2, ... n;

4) มาแต่งหน้ากันเถอะ ผลรวมปริพันธ์ฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) บนส่วน [ ก, ข ]:

กับ จุดเรขาคณิตจากมุมมองที่มองเห็น ผลรวมนี้ σ คือผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีฐานเป็นส่วนบางส่วน [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x ฉัน- 1 , x ฉัน ], ..., [x n- 1 , x n ] และความสูงเท่ากัน ฉ(z 1 ) , ฉ(z 2 ), ..., ฉ(z n) ตามนั้น (รูปที่ 1) ให้เราแสดงโดย λ ความยาวของส่วนที่ยาวที่สุด:

5) ค้นหาขีด จำกัด ของผลรวมอินทิกรัลเมื่อใด λ → 0.

คำนิยาม.ถ้ามี ขีดจำกัดสุดท้ายผลรวมอินทิกรัล (1) และไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการแบ่งส่วน [ ก, ข] ไปยังบางส่วนหรือจากการเลือกจุด ฉันในนั้นจึงเรียกว่าขีด จำกัด นี้ อินทิกรัลที่แน่นอนจากฟังก์ชัน ย = ฉ(x) บนส่วน [ ก, ข] และแสดงแทน

ดังนั้น,

ในกรณีนี้คือฟังก์ชัน ฉ(x) เรียกว่า บูรณาการได้บน [ ก, ข- ตัวเลข กและ ขเรียกว่าขอบเขตล่างและบนของการบูรณาการตามลำดับ ฉ(x) – ฟังก์ชันอินทิเกรต ฉ(x ) ดีเอ็กซ์– นิพจน์ปริพันธ์ x– ตัวแปรอินทิเกรต ส่วน [ ก, ข] เรียกว่าช่วงอินทิเกรต

ทฤษฎีบท 1ถ้าฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) ต่อเนื่องในช่วงเวลา [ ก, ข] จากนั้นจึงสามารถอินทิเกรตได้ในช่วงเวลานี้

อินทิกรัลจำกัดเขตที่มีขีดจำกัดอินทิเกรตเท่ากันจะเท่ากับศูนย์:

ถ้า ก > ขจากนั้นตามคำนิยาม เราถือว่า

2. ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลจำกัดเขต

ให้ในส่วน [ ก, ข] มีการระบุฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบอย่างต่อเนื่อง ย = ฉ(x ) . สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งคือตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน ย = ฉ(x) จากด้านล่าง - ตามแนวแกน Ox ไปทางซ้ายและขวา - เส้นตรง x = กและ x = ข(รูปที่ 2)

อินทิกรัลจำกัดจำนวนฟังก์ชันไม่เป็นลบ ย = ฉ(x) จากมุมมองทางเรขาคณิต เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน ย = ฉ(x) , ซ้ายและขวา – ส่วนของเส้นตรง x = กและ x = ขจากด้านล่าง - ส่วนของแกน Ox

3. คุณสมบัติพื้นฐานของอินทิกรัลจำกัดเขต

1. ค่าของอินทิกรัลจำกัดไม่ขึ้นอยู่กับการกำหนดตัวแปรอินทิกรัล:

2. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอินทิกรัลจำกัดเขตได้:

3. อินทิกรัลจำกัดขอบเขตของผลรวมพีชคณิตของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอินทิกรัลจำกัดขอบเขตของฟังก์ชันเหล่านี้:

4.ถ้าฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) สามารถบูรณาการได้บน [ ก, ข] และ ก < ข < ค, ที่

5. (ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย)- ถ้าฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) ต่อเนื่องในช่วงเวลา [ ก, ข] จากนั้นในส่วนนี้มีจุดเช่นนั้น

4. สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ

ทฤษฎีบท 2ถ้าฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) ต่อเนื่องในช่วงเวลา [ ก, ข] และ เอฟ(x) คือแอนติเดริเวทีฟใดๆ ในส่วนนี้ ดังนั้นสูตรต่อไปนี้จึงใช้ได้:

ซึ่งเรียกว่า สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซความแตกต่าง เอฟ(ข) - เอฟ(ก) โดยปกติจะเขียนดังนี้:

โดยที่สัญลักษณ์นั้นเรียกว่าไวด์การ์ดคู่

ดังนั้น สามารถเขียนสูตร (2) ได้เป็น:

ตัวอย่างที่ 1คำนวณอินทิกรัล

สารละลาย. สำหรับการบูรณาการ ฉ(x ) = x 2 แอนติเดริเวทีฟตามอำเภอใจมีรูปแบบ

เนื่องจากสามารถใช้แอนติเดริเวทีฟใดๆ ในสูตรของนิวตัน-ไลบนิซได้ ในการคำนวณอินทิกรัล เราจึงใช้แอนติเดริเวทีฟที่มีรูปแบบที่ง่ายที่สุด:

5. การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในอินทิกรัลจำกัดเขต

ทฤษฎีบท 3ให้ฟังก์ชัน ย = ฉ(x) ต่อเนื่องในช่วงเวลา [ ก, ข- ถ้า:

1) ฟังก์ชั่น x = φ ( ที) และอนุพันธ์ของมัน φ "( ที) มีความต่อเนื่องที่ ;

2) ชุดของค่าฟังก์ชัน x = φ ( ที) สำหรับคือส่วน [ ก, ข ];

3) φ ( ก) = ก, φ ( ข) = ขแล้วสูตรก็ใช้ได้

ซึ่งเรียกว่า สูตรสำหรับการเปลี่ยนตัวแปรในอินทิกรัลจำกัดเขต .

ไม่เหมือน อินทิกรัลไม่ จำกัดในกรณีนี้ ไม่จำเป็นเพื่อกลับไปยังตัวแปรการรวมดั้งเดิม - เพียงค้นหาขีดจำกัดใหม่ของการรวม α และ β (สำหรับสิ่งนี้คุณต้องแก้ไขหาตัวแปร ทีสมการ φ ( ที) = กและ φ ( ที) = ข).

แทนที่จะทดแทน x = φ ( ที) คุณสามารถใช้การทดแทนได้ ที = ก(x- ในกรณีนี้ ให้ค้นหาขีดจำกัดใหม่ๆ ของการอินทิเกรตเหนือตัวแปร ทีลดความซับซ้อน: α = ก(ก) , β = ก(ข) .

ตัวอย่างที่ 2- คำนวณอินทิกรัล

สารละลาย. ขอแนะนำตัวแปรใหม่โดยใช้สูตร โดยการยกกำลังสองทั้งสองด้านของความเท่ากัน เราจะได้ 1 + x= ที 2 , ที่ไหน x= ที 2 - 1, ดีเอ็กซ์ = (ที 2 - 1)"dt= 2ทีที- เราค้นพบขีดจำกัดใหม่ๆ ของการบูรณาการ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ แทนที่ขีดจำกัดเก่าลงในสูตร x= 3 และ x= 8. เราได้รับ: จากที่ไหน ที= 2 และ α = 2; , ที่ไหน ที= 3 และ β = 3 ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 3คำนวณ

สารละลาย. อนุญาต คุณ= บันทึก x, แล้ว , โวลต์ = x- ตามสูตร (4)