วงจรฮอร์เนอร์ - ตัวอย่างและอัลกอริธึมสำหรับการแก้พหุนาม การนำเสนอในหัวข้อ "วงจรฮอร์เนอร์" การขยายพหุนามกำลังของวงจรฮอร์เนอร์ออนไลน์

ทฤษฎีบทของเบซูต์แม้จะดูเรียบง่ายและชัดเจน แต่ก็เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีพหุนาม ในทฤษฎีบทนี้ ลักษณะพีชคณิตของพหุนาม (อนุญาตให้คุณทำงานกับพหุนามเป็นจำนวนเต็ม) มีความเกี่ยวข้องกับคุณลักษณะเชิงฟังก์ชัน (ซึ่งอนุญาตให้คุณพิจารณาพหุนามเป็นฟังก์ชัน)

ทฤษฎีบทของเบซูต์ระบุว่าส่วนที่เหลือเมื่อหารพหุนามด้วยพหุนามคือ

ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามอยู่ในวงแหวนสับเปลี่ยนที่มีเอกภาพ (เช่น ในด้านจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน)

ทฤษฎีบทของเบซูต์ - การพิสูจน์

หารพหุนามกับส่วนที่เหลือ พี(เอ็กซ์)เป็นพหุนาม (x-ก):

โดยอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่า องศา R(x)< deg (x-a) = 1 - พหุนามดีกรีไม่สูงกว่าศูนย์ เราทดแทนเนื่องจากเราได้รับ .

แต่ไม่ใช่ทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุด แต่เป็นข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทของเบซูต์:

1. Number คือรากของพหุนาม พี(เอ็กซ์)แล้วและเมื่อเท่านั้น พี(เอ็กซ์)หารด้วยทวินามโดยไม่มีเศษเหลือ เอ็กซ์เอ.

จากนี้ เซตรากของพหุนาม พี(เอ็กซ์)เหมือนกับเซตรากของสมการที่สอดคล้องกัน เอ็กซ์เอ.

2. พจน์อิสระของพหุนามจะถูกหารด้วยรากจำนวนเต็มใดๆ ของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม (เมื่อค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับ 1 รากตรรกยะทั้งหมดจะเป็นจำนวนเต็ม)

3. สมมุติว่านั่นคือรากจำนวนเต็มของพหุนามรีดิวซ์ พี(เอ็กซ์)ด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ซึ่งหมายความว่า สำหรับจำนวนเต็มใดๆ ตัวเลขจะถูกหารด้วย .

ทฤษฎีบทของเบซูต์ช่วยให้สามารถค้นหารากของพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่า 1 อยู่แล้ว เมื่อพบรากของพหุนามแล้ว เพื่อหารากของพหุนามที่น้อยกว่าอยู่แล้ว: ถ้า แล้วพหุนามนี้ พี(เอ็กซ์)จะมีลักษณะเช่นนี้:

ตัวอย่างทฤษฎีบทของ Bezout:

ค้นหาเศษที่เหลือเมื่อหารพหุนามด้วยทวินาม

ตัวอย่างทฤษฎีบทของการแก้ปัญหาของ Bezout:

จากทฤษฎีบทของเบซูต์ ส่วนที่เหลือที่ต้องการจะสอดคล้องกับค่าของพหุนามที่จุดนั้น จากนั้น เราจะพบว่า สำหรับสิ่งนี้ เราจะแทนค่าลงในนิพจน์สำหรับพหุนามแทน เราได้รับ:

คำตอบ: ส่วนที่เหลือ = 5

แผนการของฮอร์เนอร์

แผนการของฮอร์เนอร์เป็นอัลกอริทึมสำหรับการหาร (หารด้วยโครงร่างของฮอร์เนอร์) พหุนาม ซึ่งเขียนขึ้นสำหรับกรณีพิเศษ หากผลหารเท่ากับทวินาม

มาสร้างอัลกอริทึมนี้กัน:

สมมติว่านั่นคือเงินปันผล

ความฉลาดทาง (ระดับของมันอาจจะน้อยกว่าหนึ่ง) ร- ส่วนที่เหลือ (เนื่องจากการหารดำเนินการโดยพหุนาม ที่ 1องศา แล้วระดับของเศษเหลือจะน้อยกว่าหนึ่ง นั่นคือ 0 ดังนั้นเศษที่เหลือจึงเป็นค่าคงที่)

ตามนิยามของการหารด้วยเศษ P(x) = Q(x) (x-a) + r- หลังจากแทนนิพจน์พหุนามแล้ว เราจะได้:

เราเปิดวงเล็บและแบ่งค่าสัมประสิทธิ์ด้วยกำลังเท่ากัน หลังจากนั้นเราแสดงค่าสัมประสิทธิ์ผลหารผ่านค่าสัมประสิทธิ์ของเงินปันผลและตัวหาร:

สะดวกในการสรุปการคำนวณในตารางต่อไปนี้:

โดยจะเน้นเซลล์ที่มีเนื้อหาเกี่ยวข้องกับการคำนวณในขั้นตอนถัดไป

ตัวอย่างโครงการของ Horner:

สมมติว่าเราต้องหารพหุนามด้วยทวินาม x-2.

เราสร้างตารางที่มีสองแถว ในบรรทัดที่ 1 เราเขียนค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามของเรา ในบรรทัดที่สอง เราจะได้ค่าสัมประสิทธิ์ของผลหารที่ไม่สมบูรณ์ตามรูปแบบต่อไปนี้: ก่อนอื่น เราเขียนค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าของพหุนามนี้ใหม่ จากนั้นเพื่อให้ได้ค่าสัมประสิทธิ์ถัดไป เราจะคูณค่าสุดท้ายที่พบด้วย ก=2และบวกด้วยสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันของพหุนาม ฉ(x)- ค่าสัมประสิทธิ์ล่าสุดจะเป็นส่วนที่เหลือ และค่าสัมประสิทธิ์ก่อนหน้าทั้งหมดจะเป็นสัมประสิทธิ์ของผลหารที่ไม่สมบูรณ์

1. แบ่ง 5x 4 + 5 x 3 + x 2 − 11 บน x - 1โดยใช้แผนของฮอร์เนอร์

สารละลาย:

มาสร้างตารางสองบรรทัดกัน: ในบรรทัดแรกเราเขียนค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนาม 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11 จัดเรียงองศาของตัวแปรจากมากไปน้อย x- โปรดทราบว่าพหุนามนี้ไม่มี xในระดับแรกคือ สัมประสิทธิ์มาก่อน xกำลังแรกเท่ากับ 0 เนื่องจากเราหารด้วย x−1 จากนั้นในบรรทัดที่สองเราเขียนหนึ่ง:

มาเริ่มเติมเซลล์ว่างในบรรทัดที่สองกัน ในเซลล์ที่สองของแถวที่สองเราเขียนตัวเลข 5 เพียงย้ายจากเซลล์ที่เกี่ยวข้องของบรรทัดแรก:

มาเติมเซลล์ถัดไปตามหลักการนี้: 1⋅ 5 + 5 = 10 :

กรอกข้อมูลในเซลล์ที่สี่ของแถวที่สองด้วยวิธีเดียวกัน: 1⋅ 10 + 1 = 11 :

สำหรับเซลล์ที่ห้าเราได้รับ: 1⋅ 11 + 0 = 11 :

และสุดท้าย สำหรับเซลล์สุดท้าย เซลล์ที่หก เรามี: 1⋅ 11 + (−11)= 0 :

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือการเขียนคำตอบ:

อย่างที่คุณเห็น ตัวเลขที่อยู่ในบรรทัดที่สอง (ระหว่างหนึ่งกับศูนย์) คือสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่ได้รับหลังจากหาร 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11 ต่อ x−1. โดยธรรมชาติแล้ว เนื่องจากดีกรีของพหุนามดั้งเดิมคือ 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11 เท่ากับ 4 แล้วดีกรีของพหุนามผลลัพธ์คือ 5 x 3 +10x 2 +11x+11 น้อยกว่าหนึ่งอันนั่นคือ เท่ากับสาม ตัวเลขสุดท้ายในบรรทัดที่สอง (ศูนย์) หมายถึงเศษที่เหลือของการหารพหุนาม 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11 ต่อ x−1.
ในกรณีของเรา ส่วนที่เหลือเป็นศูนย์ นั่นคือ พหุนามสามารถหารลงตัวได้ ผลลัพธ์นี้สามารถแสดงลักษณะเฉพาะได้ดังต่อไปนี้: ค่าของพหุนามคือ 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11 เวลา x=1 เท่ากับศูนย์
ข้อสรุปสามารถกำหนดได้ในรูปแบบนี้ เนื่องจากค่าของพหุนามคือ 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11 เวลา x=1 เท่ากับศูนย์ จากนั้นความสามัคคีคือรากของพหุนาม 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11.

2. ค้นหาผลหารย่อยและเศษของพหุนาม

ก(เอ็กซ์) = เอ็กซ์ 3 – 2เอ็กซ์ 2 + 2เอ็กซ์– 1 ต่อทวินาม เอ็กซ์ – 1.

สารละลาย:

		– 2		– 1
α = 1		– 1

คำตอบ: ถาม(x) = เอ็กซ์ 2 – เอ็กซ์ + 1 , ร(x) = 0.

3. คำนวณค่าของพหุนาม ก(เอ็กซ์) ที่ เอ็กซ์ = – 1 ถ้า ก(เอ็กซ์) = เอ็กซ์ 3 – 2 เอ็กซ์ – 1.

สารละลาย:

			– 2	– 1
α = – 1		– 1	– 1

คำตอบ: ก(– 1) = 0.

4. คำนวณค่าของพหุนามก(เอ็กซ์) ที่ เอ็กซ์= 3 ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ และส่วนที่เหลืออยู่ที่ไหน

ก(เอ็กซ์)= 4 เอ็กซ์ 5 – 7เอ็กซ์ 4 + 5เอ็กซ์ 3 – 2 เอ็กซ์ + 1.

สารละลาย:

		– 7			– 2
α = 3					178	535

คำตอบ: ร(x) = ก(3) = 535, ถาม(x) = 4 เอ็กซ์ 4 + 5เอ็กซ์ 3 + 20เอ็กซ์ 2 + 60เอ็กซ์ +178.

5. ค้นหารากของสมการเอ็กซ์ 3 + 4 เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ – 6 = 0.

สารละลาย:

ค้นหาตัวหารของพจน์อิสระ ±1; ± 2; ± 3; ± 6

โดยที่ a = 1 (x – 1 = x – a) และสัมประสิทธิ์ของพหุนามเงินปันผลจะเท่ากัน ตามลำดับ
1, 4, 1, – 6 เราสร้างตารางสำหรับการใช้โครงการ Horner:

กระทรวงศึกษาธิการและนโยบายเยาวชนของสาธารณรัฐชูวัช

BOU DP(PK)S "สถาบันการศึกษา Chuvash" กระทรวงศึกษาธิการของ Chuvashia

งานหลักสูตร

วิชาเลือก « เทคนิคและวิธีการแก้สมการระดับสูง"

จบโดยครูคณิตศาสตร์

MBOU "มัธยมศึกษาปีที่ 49 แบบเจาะลึก

เรียนรายวิชารายบุคคล”

เชบอคซารย์

รุมยันต์เซวา ยูเลีย อิโซซิมอฟนา

เชบอคซารย์

หัวข้อบทเรียน: รากของพหุนาม แผนการของฮอร์เนอร์

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

สอนวิธีการหาค่าของพหุนามและรากของมันโดยใช้ทฤษฎีบทของ Bezout และโครงร่างของ Horner

พัฒนาทักษะในการหารากของพหุนาม

สอนการสรุปและจัดระบบเนื้อหา

พัฒนาทักษะการใช้คอมพิวเตอร์ สมาธิ ฟังก์ชั่นการควบคุมตนเอง

ปลูกฝังความต้องการตนเองและความขยันหมั่นเพียร

แผนการสอน:

I. ช่วงเวลาขององค์กร

วี. ทำงานอิสระ

8. การบ้านที่ได้รับมอบหมาย

ความก้าวหน้าของบทเรียน

I. ช่วงเวลาขององค์กร

แจ้งหัวข้อบทเรียน กำหนดเป้าหมายของบทเรียน

ครั้งที่สอง การอัพเดตความรู้ของนักเรียน

1. ตรวจการบ้าน

a) ค้นหา GCD ((x 6 – 1);(x 8 – 1)) โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด (นักเรียนทำอาหารบนกระดาน).

สารละลาย:

GCD ((x 6 – 1);(x 8 – 1)) = x 2 – 1

คำตอบ: x 2 – 1 .

b) ค้นหาว่าพหุนามหารลงตัวหรือไม่ ฉ(x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 บน (x – 1), (x + 1), (x – 2) (ตรวจสอบจากด้านหน้า)

สารละลาย- ตามทฤษฎีบทของเบซูต์ ถ้า ฉ(1) = 0, ที่ ฉ(x)หารด้วย (x – 1)- เรามาตรวจสอบกัน

f(1) = 1 – 5 + 8 – 5 + 1 + 2 > 0, f(x) หารด้วย (x – 1) ไม่ลงตัว
ฉ(–1) = – 1 – 5 – 8 – 5 – 1 + 2 < 0, f(x) не делится на (x + 1);
f(2) = 32 – 80 + 64 – 20 + 4 = 0, f(x) หารด้วย (x – 2)

คำตอบ: หารด้วย (x – 2) ลงตัว

c) พหุนาม P(x) เมื่อหารด้วย (x – 1) จะได้เศษ 3 และเมื่อหารด้วย (x – 2) ให้เศษ 5 ค้นหาเศษเมื่อหารพหุนาม P(x) ด้วย (x 2 – 3 x + 2)

(วิธีการแก้ปัญหาจะถูกฉายบนหน้าจอหรือเขียนไว้บนกระดานล่วงหน้า)

สารละลาย.

P(x) = (x – 1) Q 1 (x) + 3 (1)
P(x) = (x – 2) Q 2 (x) + 5 (2)
จาก (1) และ (2) เป็นไปตามนั้น พี(1) = 3, พี(2) = 5.
ให้ P(x) = (x 2 – 3 x + 2) Q (x) + a x + b หรือ
P(x) = (x – 1) (x – 2) Q (x) + a x + b (3)

เมื่อแทนค่า x = 1 และ x = 2 ตามลำดับลงใน (3) เราจะได้ระบบสมการโดยที่ a = 2, b = 1

คำตอบ: 2x+1.

d) อะไร ม. และ nพหุนาม x 3 + m x + n สำหรับค่าใดๆ xหารด้วย x 2 + 3 x + 10 ลงตัวโดยไม่มีเศษ.

สารละลาย- เมื่อหารด้วย "มุม" เราจะได้ x 3 + m x + n = (x 2 + 3 x + 10) (x – 3) + ((m – 1) x + (n + 30))

เพราะ การหารจะดำเนินการโดยไม่มีเศษ จากนั้น (m – 1) x + (n + 30) = 0 และเป็นไปได้ (สำหรับ x ใดๆ) เฉพาะในกรณีที่ m = 1, n = –30

คำตอบ: ม. = 1, น = –30.

2. การสำรวจเชิงทฤษฎี

ก) วิธีอ่านทฤษฎีบท

b) ให้ตัวอย่างว่าทฤษฎีบทของ Bezout ใช้อยู่ที่ไหน?

c) จากกฎของการคูณพหุนามสองตัวจะหาค่าสัมประสิทธิ์นำของผลิตภัณฑ์ได้อย่างไร?

d) พหุนามมีดีกรีเป็นศูนย์หรือไม่?

III. การเตรียมตัวศึกษาเนื้อหาใหม่

ในพหุนาม เช่นเดียวกับในนิพจน์ตามตัวอักษร คุณสามารถแทนที่ตัวเลขแทนตัวแปร และผลที่ตามมาก็คือ กลายเป็นนิพจน์ตัวเลข ซึ่งสุดท้ายก็คือเป็นตัวเลข ขอให้เราตั้งข้อสังเกตที่สำคัญสองประการในการแก้ปัญหา:

ความหมายฉ(0)เท่ากับเทอมอิสระของพหุนาม

ความหมายฉ(1)เท่ากับผลรวมของสัมประสิทธิ์ของพหุนาม

การค้นหาค่าของพหุนามไม่ได้ทำให้เกิดปัญหาพื้นฐานใด ๆ แต่การคำนวณอาจค่อนข้างยุ่งยาก เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น มีเทคนิคที่เรียกว่าแผนฮอร์เนอร์ ซึ่งตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษแห่งศตวรรษที่ 16 โครงร่างนี้ประกอบด้วยการเติมตารางสองแถว

ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณค่าของพหุนาม f(x) = 2 x 4 – 9 x 3 – 32 x 2 – 57 สำหรับ x = 7 (นั่นคือ ค้นหาว่าหารด้วย (x – 7) ลงตัวหรือไม่ โดยใช้ทฤษฎีบทของเบซูต์) คุณต้องแทนตัวเลขสำหรับ x 7 . ถ้า f(7) = 0 แล้ว f(x) แบ่งออกโดยไม่มีเศษเหลือ ถ้าฉ(7 ) ไม่เท่ากัน 0 แล้ว f(x) หารด้วย (x – 7) ด้วยเศษ เพื่อให้ง่ายต่อการค้นหาค่าของ f(7) เราใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์ มากรอกตารางสองแถวโดยใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้:

1. เขียนเส้นสัมประสิทธิ์ก่อน
2. ค่าสัมประสิทธิ์นำจะถูกทำซ้ำในบรรทัดที่สอง และนำหน้าด้วยค่าของตัวแปร (ในกรณีของเราคือหมายเลข 7) ซึ่งเราจะคำนวณค่าของพหุนาม

ผลลัพธ์คือตารางที่ต้องกรอกเซลล์ว่าง

ตารางที่ 1

3. ทำได้ตามกฎข้อเดียว: สำหรับเซลล์ว่างทางด้านขวา หมายเลข 2 จะถูกคูณด้วย 7 และเพิ่มเข้ากับตัวเลขที่อยู่เหนือเซลล์ว่าง คำตอบเขียนอยู่ในเซลล์ว่างเซลล์แรก ทำเช่นนี้เพื่อเติมเซลล์ว่างที่เหลือ ดังนั้นในเซลล์ว่างเซลล์แรกจะมีการวางตัวเลข 2 7 – 9 = 5 ในเซลล์ว่างที่สองจะมีการวางตัวเลข 5 7 – 32 = 3 ในช่องที่สามจะมีการวางตัวเลข 3 7 + 0 = 21 และใน 21 7 – 57 สุดท้าย = 90 โดยสมบูรณ์แล้วตารางนี้จะมีลักษณะดังนี้:

ตารางที่ 2

หมายเลขสุดท้ายของบรรทัดที่สองคือคำตอบ

ความคิดเห็น:โปรแกรมสำหรับคำนวณค่าพหุนามบนคอมพิวเตอร์ถูกคอมไพล์ตามโครงร่างของฮอร์เนอร์

IV. เสริมสร้างเนื้อหาที่เรียนรู้

พิจารณาวิธีแก้ปัญหาการบ้านหมายเลข 1 (b) ตามแบบแผนของฮอร์เนอร์ ดังนั้น เมื่อใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์ จงหาว่าพหุนาม (x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 หารด้วย (x – 1), (x + 1), (x) ลงตัวหรือไม่ – 2) . หากคุณต้องการตรวจสอบค่าหลายค่า ให้สร้างวงจรรวมหนึ่งชุดเพื่อบันทึกการคำนวณ

ตารางที่ 3

ในคอลัมน์สุดท้ายของบรรทัดที่สาม สี่ และห้าคือเศษที่เหลือจากการหาร จากนั้น f(x) จะถูกหารโดยไม่มีเศษด้วย (x – 2) เพราะว่า ร = 0

V. การค้นหารากของพหุนาม

ทฤษฎีบทของเบซูต์ช่วยให้สามารถค้นหารากของพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่าหนึ่งรากได้ เมื่อค้นพบรากของพหุนามแล้ว บางครั้งการใช้เทคนิคนี้ เรียกว่า "การลดระดับ" คุณจะพบรากทั้งหมดของพหุนามได้

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โดยการเลือกรากหนึ่งของสมการกำลังสาม ซึ่งจะทำให้ระดับลดลง จึงเป็นไปได้ที่จะแก้สมการกำลังสองได้อย่างสมบูรณ์โดยการแก้สมการกำลังสองที่ได้

เมื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าว โครงการ Horner แบบเดียวกันจะมีประโยชน์อย่างมาก อย่างไรก็ตาม ที่จริงแล้ว โครงร่างของฮอร์เนอร์ให้มากกว่านั้นมาก: ตัวเลขในบรรทัดที่สอง (ไม่นับสุดท้าย) คือค่าสัมประสิทธิ์ของกิ่งบางส่วนบน (x – a)

ในตารางที่ 3:

ตัวอย่างที่ 1ค้นหารากของพหุนาม f(x) = (x 4 – x 3 – 6 x 2 – x + 3)

สารละลาย- ตัวหารของพจน์อิสระ: – 1, 1, – 3, 3 สามารถเป็นรากของพหุนามได้ ที่ x = 1 ผลรวมของสัมประสิทธิ์จะเป็นศูนย์อย่างเห็นได้ชัด ซึ่งหมายความว่า x 1 = 1 เป็นราก ใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์ มาตรวจสอบรากของตัวเลข - 1 และตัวหารอื่นๆ ของพจน์อิสระกัน

ตารางที่ 4

x = –1 - รูท
ครั้งที่สอง x = –1 ไม่ใช่รูท
ลองตรวจสอบ x = 3 กัน
x = 3 – รูท
ฉ(x) = (x + 1) (x – 3) (x 2 + x – 1), x 2 + x – 1 = 0,

ความคิดเห็น- เมื่อค้นหารากของพหุนาม คุณไม่ควรคำนวณอย่างแม่นยำโดยไม่จำเป็น ในกรณีที่การประมาณค่าคร่าวๆ ที่ชัดเจนนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ต้องการ
ตัวอย่างเช่น รูปแบบของฮอร์เนอร์ในการทดสอบค่า 31 และ – 31 เป็น “รากของผู้สมัคร” ของพหุนาม x 5 – 41 x 4 + 32 x 2 – 4 x + 31 อาจมีลักษณะดังนี้:

ตารางที่ 5

31 และ – 31 ไม่ใช่รากของพหุนาม x 5 – 41 x 4 + 32 x 2 – 4 x + 31

ตัวอย่างที่ 2ค้นหารากของพหุนาม f (x) = x 4 + 2 x 3 – 6 x 2 – 22 x + 55

สารละลาย- ตัวหารของ 55: – 1, 1, – 5, 5, – 11, 11, – 55, 55 โปรดทราบว่า – 1 และ 1 ไม่ใช่รากของพหุนาม ควรตรวจสอบตัวหารที่เหลือ

ความคิดเห็น- เป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับนักเรียนที่จะเชี่ยวชาญโครงการฮอร์เนอร์ "ระยะยาว" ในตัวอย่างนี้ รูปแบบ "ยาว" มีความสะดวก

ตารางที่ 6

x 2 + 57 x + 3 129 = 0, ไม่มีราก

คำตอบ: ไม่มีราก

วี. ทำงานอิสระ

บนกระดาน สามคนตัดสินใจตรวจสอบครั้งต่อไป

ค้นหารากของพหุนามโดยใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์:

ก) ฉ (x) = x 3 + 2 x 2 – 5 x – 6;

คำตอบ: – 1; 2; – 3.

ข) ฉ (x) = x 5 – 5 x 4 + 6 x 3 – x 2 + 5 x – 6;

คำตอบ: 1; 2; 3.

ค) ฉ (x) = x 4 + 12 x 3 + 32 x 2 – 8 x – 4

คำตอบ:

(การทดสอบจะดำเนินการเป็นคู่ โดยจะมีการให้คะแนน)

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว งานวิจัยของนักศึกษา

– พวกคุณไม่สังเกตเห็นพหุนามที่เราเรียนในชั้นเรียนเป็นส่วนใหญ่เหรอ?

(คำตอบของนักเรียน).

– ใช่ นี่คือพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มและมีเทอมนำหน้า k = 1

– ได้รับการตอบรับเป็นจำนวนเท่าใด?

(คำตอบของนักเรียน).

– ใช่แล้ว รากของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มและมีคำนำหน้า k = 1 อาจเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนอตรรกยะ หรือจำนวนเต็มและจำนวนอตรรกยะ หรือไม่มีราก บันทึกข้อสรุปลงในสมุดบันทึกของคุณ

8. การบ้านที่ได้รับมอบหมาย

1. หมายเลข 129 (1, 3, 5, 6) – N.Ya. Vilenkin – 10, หน้า 78.
2. เรียนรู้ทฤษฎีของบทเรียนนี้

ทรงเครื่อง สรุปบทเรียนและให้คะแนน

วรรณกรรม

ม.ล. กาลิตสกี้. การศึกษาเชิงลึกเกี่ยวกับพีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ // การตรัสรู้ พ.ศ. 2540

จี.วี. โดโรเฟเยฟ. พหุนามที่มีตัวแปรเดียว // เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก วรรณกรรมพิเศษ 2540

N.Ya. วิเลนคิน. พีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 // การศึกษาจ

หมายเหตุอธิบาย

หลักสูตรนี้ออกแบบมาสำหรับนักเรียนฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 ที่มีระดับการเตรียมตัวทางคณิตศาสตร์ในระดับดี และได้รับการออกแบบมาเพื่อช่วยเตรียมความพร้อมสำหรับการแข่งขันและการแข่งขันโอลิมปิกในวิชาคณิตศาสตร์ต่างๆ และเพื่อสนับสนุนการศึกษาทางคณิตศาสตร์อย่างจริงจังอย่างต่อเนื่อง เป็นการขยายหลักสูตรคณิตศาสตร์พื้นฐาน เป็นวิชาเฉพาะ และเปิดโอกาสให้นักเรียนได้ทำความคุ้นเคยกับคำถามคณิตศาสตร์ที่ไม่เป็นมาตรฐานที่น่าสนใจ และวิธีการแก้สมการระดับสูง หลักสูตรนี้รวมถึงความเป็นไปได้ของการเรียนรู้ที่แตกต่าง

ด้วยการแนะนำให้เด็กนักเรียนค้นหาคำตอบที่สวยงามและสง่างามสำหรับสมการระดับที่สูงกว่า ครูจึงมีส่วนช่วยในการศึกษาด้านสุนทรียศาสตร์ของนักเรียนและปรับปรุงวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา หลักสูตรนี้เป็นภาคต่อของตำราเรียนซึ่งมีไว้เพื่อสอนเด็กนักเรียนถึงวิธีการทำงานอย่างอิสระและวิธีการแก้สมการในระดับที่สูงกว่า เมื่อสอนเด็กนักเรียนให้แก้สมการระดับสูงอย่างมีจุดมุ่งหมาย ควรสอนให้สังเกต ใช้การเปรียบเทียบ การอุปนัย การเปรียบเทียบ และหาข้อสรุปที่เหมาะสม ผ่านสมการระดับที่สูงกว่า จำเป็นต้องปลูกฝังให้นักเรียนไม่เพียงแต่ทักษะการใช้เหตุผลเชิงตรรกะเท่านั้น แต่ยังรวมถึงทักษะการคิดแบบฮิวริสติกที่แข็งแกร่งด้วย

เป้าหมายและวัตถุประสงค์ของหลักสูตร

การพัฒนาความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์ การคิดแบบฮิวริสติก

ส่งเสริมการศึกษาคณิตศาสตร์อย่างจริงจังอย่างต่อเนื่อง

เพื่อสอนวิธีการเลือกวิธีการอย่างมีเหตุผลในการแก้ปัญหาและปรับทางเลือก

มีส่วนร่วมในการก่อตัวของรูปแบบการคิดทางวิทยาศาสตร์

เตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State

วิชาเลือกนี้ประกอบด้วยบทเรียนเฉพาะเรื่อง 34 บท

นักศึกษาจะได้รับแจ้งถึงวัตถุประสงค์และวัตถุประสงค์ของรายวิชาเลือก ชั้นเรียนประกอบด้วยภาคทฤษฎีและภาคปฏิบัติ - การบรรยาย การประชุมเชิงปฏิบัติการการให้คำปรึกษา งานอิสระและงานวิจัย

การศึกษาหลักการพื้นฐานของทฤษฎีพหุนามช่วยให้เราสามารถสรุปทฤษฎีบทของ Vieta สำหรับสมการทุกระดับได้ ความสามารถในการดำเนินการหารของพหุนามจะทำให้ในอนาคตสามารถแก้ปัญหาจากการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ได้ง่ายขึ้น

การศึกษาโครงร่างของฮอร์เนอร์และทฤษฎีบทเกี่ยวกับรากตรรกยะของพหุนามเป็นวิธีการทั่วไปในการแยกตัวประกอบนิพจน์พีชคณิตใดๆ ในทางกลับกัน ความสามารถในการแก้สมการที่มีระดับสูงกว่าจะขยายช่วงของสมการและอสมการเลขชี้กำลัง ลอการิทึม ตรีโกณมิติ และอตรรกยะได้อย่างมาก

วรรณกรรม

1. Galitsky M.L., Goldman A.M., Zvavich L.I. การรวบรวมปัญหาพีชคณิตสำหรับเกรด 8-9

2 Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. ปัญหาคณิตศาสตร์ พีชคณิต.

3 Olehnik S.N., Pasichenko P.I. วิธีการแก้สมการและอสมการที่ไม่ได้มาตรฐาน

4 ..Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. สมการและอสมการ

5. ชาริกิน ไอ.เอฟ. หลักสูตรเสริมในวิชาคณิตศาสตร์

เป้าหมายและวัตถุประสงค์ของหลักสูตร 1

วรรณกรรม 4

ภาคผนวก 6

พหุนามของแบบฟอร์ม
ก n x n + n-1 x n-1 + n-2 x n-2 + ... + 1 x + 0
สามารถแยกตัวประกอบได้ ตามแผนของฮอร์เนอร์ถ้ารู้รากของมันอย่างน้อย 1 อัน

ลองดูการแบ่งตามแบบแผนของ Horner โดยใช้ตัวอย่าง:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10

ก่อนอื่นคุณต้องค้นหาหนึ่งรูทโดยใช้วิธีการเลือก โดยปกติแล้วจะเป็นตัวหารของคำอิสระ ในกรณีนี้คือตัวหารของตัวเลข -10 เป็น ±1, ±2, ±5, ±10มาเริ่มแทนที่กันทีละรายการ:

1: 2 + 9 - 10 - 27 - 10 = -36 ⇒ จำนวน 1

-1: 2 - 9 - 10 + 27 - 10 = 0 ⇒ จำนวน -1 คือรากของพหุนาม

เราพบรากของพหุนามแล้ว 1 รายการ รากของพหุนามคือ -1, ซึ่งหมายความว่าพหุนามดั้งเดิมจะต้องหารด้วย x+1- เพื่อที่จะทำการหารพหุนาม เราใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์:

	2	9	-10	-27	-10
-1

ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามดั้งเดิมจะแสดงอยู่ที่บรรทัดบนสุด รากที่เราพบจะอยู่ในเซลล์แรกของแถวที่สอง -1. บรรทัดที่สองประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่เป็นผลมาจากการหาร พวกเขาจะถูกนับดังนี้:

2 9 -10 -27 -10 -1 2	ในเซลล์ที่สองของแถวที่สองเราเขียนตัวเลข 2, เพียงแค่ย้ายจากเซลล์ที่เกี่ยวข้องของแถวแรก
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7	-1 ∙ 2 + 9 = 7
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17	-1 ∙ 7 - 10 = -17
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10	-1 ∙ (-17) - 27 = -10
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0	-1 ∙ (-10) - 10 = 0

ตัวเลขสุดท้ายคือเศษที่เหลือของการหาร ถ้ามันเท่ากับ 0 แสดงว่าเราคำนวณทุกอย่างถูกต้องแล้ว

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1)(2x 3 + 7x 2 - 17x - 10)

แต่นี่ไม่ใช่จุดสิ้นสุด คุณสามารถลองขยายพหุนามด้วยวิธีเดียวกันได้ 2x 3 + 7x 2 - 17x - 10.

เรากำลังมองหารากของตัวหารของคำอิสระอีกครั้ง ตามที่เราได้ค้นพบแล้ว ตัวหารของตัวเลข -10 เป็น ±1, ±2, ±5, ±10

1: 2 + 7 - 17 - 10 = -18 ⇒ จำนวน 1 ไม่ใช่รากของพหุนาม

-1: -2 + 7 + 17 - 10 = 12 ⇒ จำนวน -1 ไม่ใช่รากของพหุนาม

2: 2 ∙ 8 + 7 ∙ 4 - 17 ∙ 2 - 10 = 0 ⇒ หมายเลข 2 คือรากของพหุนาม

มาเขียนรูทที่พบลงในโครงร่าง Horner ของเรา และเริ่มกรอกข้อมูลในเซลล์ว่าง:

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2	ในเซลล์ที่สองของแถวที่สามเราเขียนตัวเลข 2, เพียงแค่ย้ายจากเซลล์ที่สอดคล้องกันของแถวที่สอง
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11	2 ∙ 2 + 7 = 11
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5	2 ∙ 11 - 17 = 5
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0	2 ∙ 5 - 10 = 0

ดังนั้นเราจึงแยกตัวประกอบพหุนามดั้งเดิม:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1)(x - 2)(2x 2 + 11x + 5)

พหุนาม 2x 2 + 11x + 5ยังสามารถแยกตัวประกอบได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณสามารถแก้สมการกำลังสองโดยใช้ตัวจำแนก หรือคุณอาจหารากระหว่างตัวหารของตัวเลขก็ได้ 5. ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง เราจะได้ข้อสรุปว่ารากของพหุนามนี้คือตัวเลข -5

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2	ในเซลล์ที่สองของแถวที่สี่เราเขียนตัวเลข 2, เพียงแค่ย้ายจากเซลล์ที่สอดคล้องกันของแถวที่สาม
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1	-5 ∙ 2 + 11 = 1
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1 0	-5 ∙ 1 + 5 = 0

ดังนั้นเราจึงแยกพหุนามดั้งเดิมออกเป็นปัจจัยเชิงเส้น

โดยทั่วไปแล้วพหุนามจะแสดงเป็น:

$f(x)=\sum\limits_(k=0)^(n) a_k x^k$

f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a k x k

ที่ไหน เคเหล่านี้เป็นจำนวนจริงที่แสดงถึงสัมประสิทธิ์ของพหุนามและ
เอ็กซ์เคสิ่งเหล่านี้คือตัวแปรของพหุนาม

พหุนามข้างต้นเรียกว่าพหุนามของดีกรีที่ n กล่าวคือ องศา(ฉ(x)) = n, ที่ไหน nแสดงถึงระดับสูงสุดของตัวแปร

โครงร่างของฮอร์เนอร์ในการหารพหุนามเป็นอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณค่าของพหุนามได้ง่ายขึ้น ฉ(x)ในระดับหนึ่ง x = x 0วิธีการแบ่งพหุนามออกเป็น monomials (พหุนามระดับที่ 1) แต่ละ monomial มีกระบวนการคูณและบวกหนึ่งกระบวนการมากที่สุด ผลลัพธ์ที่ได้จาก monomial หนึ่งจะถูกบวกเข้ากับผลลัพธ์ที่ได้รับจาก monomial ถัดไป และต่อไปเรื่อยๆ ในลักษณะสะสม กระบวนการฟิชชันนี้เรียกอีกอย่างว่าฟิชชันสังเคราะห์

เพื่ออธิบายข้างต้น เราจะเขียนพหุนามใหม่ในรูปแบบขยาย

f(x 0) = ก 0 + ก 1 x 0 + ก 2 x 0 2 + ... + ก n x 0 n

นอกจากนี้ยังสามารถเขียนเป็น:

f(x 0) = a 0 + x 0 (a 1 + x 0 (a 2 + x 0 (a 3 + ... + (a n-1 + a n x 0)....)

อัลกอริธึมที่เสนอโดยโครงร่างนี้ขึ้นอยู่กับการค้นหาค่าของ monomials ที่เกิดขึ้นด้านบน โดยเริ่มจากค่าที่อยู่ในวงเล็บเพิ่มเติมและเคลื่อนออกไปด้านนอกเพื่อค้นหาค่าของ monomials ในวงเล็บด้านนอก

อัลกอริทึมถูกนำไปใช้จริงโดยทำตามขั้นตอนด้านล่าง:

1. ให้ เค = น
2. ให้ ข เค = ก
3. ให้ b k - 1 = a k - 1 + b k x 0
4. ให้ เค = เค - 1
5. ถ้า เค ≥ 0จากนั้นกลับสู่ขั้นตอนที่ 3
มิฉะนั้นจะสิ้นสุด

อัลกอริธึมนี้ยังสามารถมองเห็นเป็นภาพกราฟิกได้ โดยคำนึงถึงพหุนามระดับ 5 นี้:

f(x) = ก 0 + ก 1 x + ก 2 x 2 + ก 3 x 3 + ก 4 x 4 + ก 5 x 5

ซึ่งมีค่าเท่ากับ x = x 0โดยจัดเรียงใหม่ดังนี้

f(x 0) = ก 0 + x 0 (ก 1 + x 0 (ก 2 + x 0 (ก 3 + x 0 (ก 4 + 5 x 0))))

อีกวิธีหนึ่งในการนำเสนอผลลัพธ์โดยใช้อัลกอริทึมนี้คือในรูปแบบของตารางด้านล่าง:

ดังนั้น f(2) = 83

ทำไมเราต้องทำเช่นนี้?

โดยปกติเมื่อค้นหาค่าของพหุนามสำหรับค่าหนึ่งของตัวแปรเราจะใช้ในการแทนที่ค่านี้เป็นพหุนามและทำการคำนวณ นอกจากนี้เรายังสามารถพัฒนาโปรแกรมคอมพิวเตอร์สำหรับการคำนวณทางคณิตศาสตร์ได้ ซึ่งเป็นสิ่งจำเป็นเมื่อเราจัดการกับพหุนามที่ซับซ้อนในระดับสูง

วิธีการที่คอมพิวเตอร์จัดการกับปัญหานั้นขึ้นอยู่กับว่าคุณในฐานะโปรแกรมเมอร์จะอธิบายปัญหานั้นกับคอมพิวเตอร์เป็นส่วนใหญ่อย่างไร คุณสามารถพัฒนาโปรแกรมของคุณเพื่อค้นหาค่าของพหุนามได้โดยการแทนที่ค่าของตัวแปรโดยตรง หรือใช้การหารสังเคราะห์ตามแบบแผนของฮอร์เนอร์ ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวระหว่างสองวิธีนี้คือความเร็วที่คอมพิวเตอร์จะหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับกรณีที่กำหนด

ข้อดีของวงจร Horner คือช่วยลดจำนวนการดำเนินการคูณ เมื่อพิจารณาว่าเวลาประมวลผลของแต่ละกระบวนการคูณนั้นนานกว่าเวลาประมวลผลของกระบวนการบวก 5 ถึง 20 เท่า คุณสามารถโต้แย้งได้ว่าการสร้างโปรแกรมเพื่อค้นหาค่าของพหุนามโดยใช้โครงร่างของ Horner จะช่วยลดเวลาในการคำนวณที่ใช้กับ คอมพิวเตอร์.