กำลังตัวเลข: คำจำกัดความ การกำหนด ตัวอย่าง กำลังของตัวเลข: คำจำกัดความ สัญกรณ์ ตัวอย่าง กำลังที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ กำลังสองของตัวเลข กำลังสามของตัวเลข

“ระดับเปรียบเทียบ” - คุ้ยเขี่ยอาศัยอยู่ในหลุมเดียวกัน N.f. Smart + MORE - ฉลาดกว่า N.f. ฉลาด + น้อย - ฉลาดน้อยลง บทบาทในประโยค สุนัขที่ว่องไวน้อยกว่าของเราไปเชียร์หนูในการแข่งขัน เทศบาล สถาบันการศึกษา“เอลไกหลัก โรงเรียนมัธยมศึกษา- หนูแฮมสเตอร์มีความว่องไวมากกว่าลูกสุนัข รองเท้าของเราถูกลูกสุนัขของเพื่อนบ้านที่ว่องไวน้อยกว่าลากไป

“ระดับที่มีตัวบ่งชี้ธรรมชาติ” - องศาที่มีตัวบ่งชี้ธรรมชาติและจำนวนเต็ม (-1)2k=1, (-1)2k-1= -1 คุณสมบัติของระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ การกำหนดระดับด้วยตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ 1 กำลังใดๆ เท่ากับ 1 1n=1 ปริญญาคืออะไร? เขียนยังไงให้สั้น. ทวีคูณพลังด้วย ในบริเวณเดียวกัน- เงื่อนไขไม่มี 10n=100000…0.

“ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม” - คำนวณ แสดงการแสดงออกเป็นพลัง เขียนนิพจน์ x-12 เป็นผลคูณของกำลังสองที่มีฐาน x ถ้าทราบตัวประกอบตัวหนึ่ง เรียงตามลำดับจากมากไปน้อย ลดความซับซ้อน สำหรับค่า x ใดที่ความเท่าเทียมกันเป็นจริง

“ สมการของระดับที่สาม” - (ในกรณีที่สาม - ค่าต่ำสุดในระดับที่สี่ - ค่าสูงสุด) ในกรณีที่แรกและกรณีที่สอง เราบอกว่าฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิกที่จุด x = สูตรของเราให้ผลลัพธ์: “ศิลปะอันยิ่งใหญ่” ดังนั้น Tartaglia จึงยอมให้ตัวเองถูกชักชวน เล็มมา ในกรณีที่สามและสี่ เราบอกว่าฟังก์ชันนี้มีจุดสิ้นสุดที่จุด x = การเปิดวงเล็บ

“คุณสมบัติของปริญญา” - ลักษณะทั่วไปของความรู้และทักษะในการประยุกต์คุณสมบัติของปริญญาพร้อมตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ คุณสมบัติของระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ ระดมความคิด- ลูกบาศก์ของเลขอะไรคือ 64? การหยุดการคำนวณชั่วคราว คุณสมบัติของระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ การพัฒนาความเพียร กิจกรรมทางจิต และกิจกรรมสร้างสรรค์

“ รากของระดับที่ n” - คำจำกัดความ 2: A) ลองยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ: - นิพจน์รากศัพท์ พิจารณาสมการ x? = 1. ลองยกทั้งสองข้างของสมการเป็นกำลังสี่: ลองพลอตฟังก์ชัน y = x กัน? และ y = 1 แนวคิดของรากที่ n ของ จำนวนจริง- ถ้า n เป็นเลขคี่ ดังนั้นจะมีหนึ่งรูท: มาสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = x กันดีกว่า? และ y = 1

โปรดทราบว่าส่วนนี้จะกล่าวถึงแนวคิดนี้ องศาที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติเท่านั้นและเป็นศูนย์

แนวคิดและคุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ (มีลบและเศษส่วน) จะกล่าวถึงในบทเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

ลองหาว่ากำลังของตัวเลขคืออะไร.ในการเขียนผลคูณของตัวเลขเพียงอย่างเดียว จะใช้สัญกรณ์แบบย่อหลายครั้ง

แทนที่จะผลคูณของตัวประกอบหกตัวที่เหมือนกัน 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 ให้เขียน 4 6 แล้วพูดว่า "สี่ยกกำลังหก"

4 4 4 4 4 4 = 4 6

นิพจน์ 4 6 เรียกว่ากำลังของตัวเลข โดยที่:

• 4 — ฐานปริญญา;
• 6 — เลขชี้กำลัง.

ใน มุมมองทั่วไปองศาที่มีฐาน “a” และเลขชี้กำลัง “n” เขียนโดยใช้นิพจน์:

จดจำ!

กำลังของจำนวน “a” ที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ “n” มากกว่า 1 เป็นผลคูณของตัวประกอบ “n” ที่เหมือนกัน ซึ่งแต่ละตัว เท่ากับจำนวน"ก"

รายการ “a n” อ่านได้ดังนี้: “a ยกกำลัง n” หรือ “กำลังที่ n ของจำนวน a”

ข้อยกเว้นคือรายการต่อไปนี้:

• 2 - สามารถออกเสียงได้ว่า "กำลังสอง";
• 3 - สามารถออกเสียงได้ว่า "ลูกบาศก์"

• a 2 - "a ยกกำลังสอง";
• 3 - "a ยกกำลังสาม"

กรณีพิเศษเกิดขึ้นหากเลขยกกำลัง เท่ากับหนึ่งหรือศูนย์ (n = 1; n = 0)

จดจำ!

พลังของตัวเลข “a” ที่มีเลขชี้กำลัง n = 1 คือตัวเลขนี้เอง:
1 = ก

จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง
0 = 1

ศูนย์พลังธรรมชาติใดๆ มีค่าเท่ากับศูนย์
0 น = 0

หนึ่งยกกำลังใด ๆ เท่ากับ 1
1 น = 1

นิพจน์ 0 0 ( เป็นศูนย์ถึงกำลังเป็นศูนย์) ถือว่าไม่มีความหมาย

• (−32) 0 = 1
• 0 253 = 0
• 1 4 = 1

เมื่อแก้ตัวอย่าง คุณต้องจำไว้ว่าการยกกำลังคือการค้นหาค่าตัวเลขหรือตัวอักษรหลังจากยกกำลังแล้ว

ตัวอย่าง. ยกกำลังขึ้น.

• 5 3 = 5 5 5 = 125
• 2.5 2 = 2.5 2.5 = 6.25
• ( · = = 81

  256

การยกจำนวนลบยกกำลัง

ฐาน (ตัวเลขที่ถูกยกกำลัง) อาจเป็นตัวเลขใดก็ได้ - บวก ลบ หรือศูนย์

จดจำ!

การเพิ่มจำนวนบวกยกกำลังจะทำให้เกิดจำนวนบวก

เมื่อศูนย์ถูกยกขึ้นเป็นพลังธรรมชาติ ผลลัพธ์จะเป็นศูนย์

เมื่อถูกยกขึ้นสู่อำนาจ จำนวนลบผลลัพธ์อาจเป็นจำนวนบวกหรือจำนวนลบก็ได้ ขึ้นอยู่กับว่าเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่หรือคี่

ลองดูตัวอย่างการเพิ่มจำนวนลบให้เป็นกำลัง

จากตัวอย่างที่พิจารณา เห็นชัดเจนว่าหากยกจำนวนลบเป็นเลขคี่ ก็จะได้จำนวนลบ เนื่องจากผลคูณของตัวประกอบลบจำนวนคี่จึงเป็นลบ

ถ้าจำนวนลบยกกำลังคู่ ก็จะกลายเป็นจำนวนบวก

จดจำ!

เนื่องจากผลคูณของปัจจัยลบจำนวนคู่เป็นบวก

จำนวนลบที่ถูกยกกำลังเป็นคู่ก็คือจำนวนบวก

จำนวนลบยกกำลังคี่ก็คือจำนวนลบ

กำลังสองของจำนวนใดๆ ที่เป็นจำนวนบวกหรือศูนย์ นั่นคือ:

• a 2 ≥ 0 สำหรับ a ใดๆ
• 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18

−5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

ใส่ใจ!

เมื่อแก้ตัวอย่างการยกกำลัง มักจะเกิดข้อผิดพลาด โดยลืมไปว่าค่า (−5) 4 และ −5 4 เป็นนิพจน์ที่แตกต่างกัน ผลลัพธ์ของการเพิ่มการแสดงออกเหล่านี้สู่อำนาจจะแตกต่างกัน

การคำนวณ (−5) 4 หมายถึงการค้นหาค่ากำลังสี่ของจำนวนลบ

(−5) 4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

1. ในขณะที่การค้นหา “−5 4” หมายความว่าตัวอย่างจะต้องได้รับการแก้ไขใน 2 ขั้นตอน:
   ยกเลขบวก 5 ขึ้นเป็นกำลังสี่
2. 5 4 = 5 5 5 5 = 625
   −5 4 = −625

วางเครื่องหมายลบไว้หน้าผลลัพธ์ที่ได้รับ (นั่นคือ ดำเนินการลบ)

−6 2 − (−1) 4 = −37

1. ตัวอย่าง. คำนวณ: −6 2 − (−1) 4
2. −6 2 = −36
3. 6 2 = 6 6 = 36
4. −(−1) 4 = −1
5. −36 − 1 = −37

(−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1

ขั้นตอนในตัวอย่างที่มีองศา

จดจำ!

การคำนวณค่าเรียกว่าการกระทำของการยกกำลัง นี่คือการกระทำขั้นที่สาม ในนิพจน์ที่มีอำนาจซึ่งไม่มีวงเล็บ ให้ทำก่อนการยกกำลัง , แล้วการคูณและการหาร และในตอนท้าย.

การบวกและการลบ

หากนิพจน์มีวงเล็บ ให้ดำเนินการในวงเล็บตามลำดับที่ระบุไว้ข้างต้นก่อน จากนั้นจึงดำเนินการที่เหลือในลำดับเดียวกันจากซ้ายไปขวา

ตัวอย่าง. คำนวณ:

เพื่อให้แก้ตัวอย่างได้ง่ายขึ้น การรู้และใช้ตารางองศาจะมีประโยชน์ ซึ่งคุณสามารถดาวน์โหลดได้ฟรีบนเว็บไซต์ของเรา

หากต้องการตรวจสอบผลลัพธ์คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขบนเว็บไซต์ของเราได้ " ในบทความนี้เราจะมาดูกันว่ามันคืออะไรยกกำลังของตัวเลข

- ที่นี่เราจะให้คำจำกัดความของกำลังของตัวเลข ในขณะที่เราจะพิจารณารายละเอียดเลขชี้กำลังที่เป็นไปได้ทั้งหมด โดยเริ่มจากเลขชี้กำลังธรรมชาติและลงท้ายด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว ในเนื้อหาคุณจะพบตัวอย่างองศามากมายซึ่งครอบคลุมรายละเอียดปลีกย่อยทั้งหมดที่เกิดขึ้น

การนำทางหน้า

ยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ, กำลังสองของตัวเลข, ยกกำลังสามของตัวเลข เรามาเริ่มกันที่ เมื่อมองไปข้างหน้า สมมติว่านิยามกำลังของจำนวน a ที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ n ให้ไว้สำหรับ a ซึ่งเราจะเรียกว่าพื้นฐานการศึกษาระดับปริญญา และ n ซึ่งเราจะเรียกว่า- นอกจากนี้ เรายังสังเกตด้วยว่าระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาตินั้นถูกกำหนดผ่านผลคูณ ดังนั้นเพื่อที่จะเข้าใจเนื้อหาด้านล่าง คุณจะต้องมีความเข้าใจเรื่องการคูณตัวเลข

คำนิยาม.

กำลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ nคือนิพจน์ที่อยู่ในรูปแบบ a n ซึ่งมีค่าเท่ากับผลคูณของตัวประกอบ n ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับ a นั่นคือ
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กำลังของตัวเลข a ที่มีเลขชี้กำลัง 1 ก็คือตัวเลข a ซึ่งก็คือ a 1 =a

เป็นเรื่องที่ควรพูดถึงทันทีเกี่ยวกับกฎการอ่านองศา วิธีสากลในการอ่านสัญลักษณ์ a n คือ: “a ยกกำลัง n” ในบางกรณี สามารถใช้ตัวเลือกต่อไปนี้ได้: “a กำลัง n” และ “กำลัง n ของ a” ตัวอย่างเช่น ลองยกกำลัง 8 12 ซึ่งก็คือ "แปดยกกำลังสิบสอง" หรือ "แปดยกกำลังสิบสอง" หรือ "ยกกำลังสิบสองของแปด"

กำลังสองของตัวเลข เช่นเดียวกับกำลังสามของตัวเลข มีชื่อเป็นของตัวเอง เรียกว่ากำลังสองของตัวเลข ยกกำลังสองจำนวนเช่น 7 2 อ่านว่า “เจ็ดกำลังสอง” หรือ “กำลังสองของเลขเจ็ด” เรียกว่ากำลังสามของจำนวน ตัวเลขกำลังสามเช่น 5 3 อ่านว่า "ห้าลูกบาศก์" หรืออาจพูดว่า "ลูกบาศก์ของเลข 5" ก็ได้

ถึงเวลาที่ต้องนำมา ตัวอย่างองศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ- เริ่มจากดีกรี 5 7 โดยที่ 5 คือฐานของดีกรี และ 7 เป็นเลขชี้กำลัง อีกตัวอย่างหนึ่ง: 4.32 คือฐาน และ จำนวนธรรมชาติ 9 – เลขชี้กำลัง (4.32) 9 .

โปรดทราบว่าในตัวอย่างสุดท้าย ฐานของกำลัง 4.32 จะเขียนอยู่ในวงเล็บ: เพื่อหลีกเลี่ยงความคลาดเคลื่อน เราจะใส่ฐานทั้งหมดของกำลังที่แตกต่างจากจำนวนธรรมชาติไว้ในวงเล็บ ตามตัวอย่าง เราให้องศาต่อไปนี้พร้อมเลขชี้กำลังธรรมชาติ ฐานของพวกมันไม่ใช่ตัวเลขธรรมชาติ จึงเขียนอยู่ในวงเล็บ เพื่อความชัดเจนโดยสมบูรณ์ ณ จุดนี้เราจะแสดงความแตกต่างที่มีอยู่ในบันทึกของรูปแบบ (−2) 3 และ −2 3 นิพจน์ (−2) 3 คือกำลังของ −2 โดยมีเลขชี้กำลังธรรมชาติเป็น 3 และนิพจน์ −2 3 (เขียนได้เป็น −(2 3) ) สอดคล้องกับตัวเลข ค่าของกำลัง 2 3 .

โปรดทราบว่ามีสัญลักษณ์ยกกำลังของตัวเลข a โดยมีเลขชี้กำลัง n อยู่ในรูป a^n ยิ่งไปกว่านั้น ถ้า n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มีหลายค่า เลขยกกำลังจะอยู่ในวงเล็บ ตัวอย่างเช่น 4^9 เป็นอีกสัญลักษณ์หนึ่งสำหรับยกกำลังของ 4 9 และนี่คือตัวอย่างเพิ่มเติมของการเขียนองศาโดยใช้สัญลักษณ์ “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . ต่อไปนี้ เราจะใช้สัญลักษณ์ระดับในรูปแบบ a n เป็นหลัก

ปัญหาหนึ่งที่ตรงกันข้ามกับการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือปัญหาการหาฐานของกำลังโดย คุณค่าที่ทราบองศาและตัวบ่งชี้ที่ทราบ ภารกิจนี้นำไปสู่.

เป็นที่ทราบกันว่าชุดของจำนวนตรรกยะประกอบด้วยจำนวนเต็มและเศษส่วน และจำนวนเศษส่วนแต่ละจำนวนสามารถแสดงเป็นบวกหรือลบได้ เศษส่วนทั่วไป- เรากำหนดดีกรีด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มในย่อหน้าก่อนหน้า ดังนั้น เพื่อที่จะให้นิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะสมบูรณ์ เราจำเป็นต้องให้ความหมายยกกำลังของจำนวน a ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน m/n โดยที่ m เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ มาทำสิ่งนี้กันเถอะ

ลองพิจารณาระดับด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วนของแบบฟอร์ม เพื่อให้คุณสมบัติการแปลงพลังงานยังคงใช้ได้ ความเท่าเทียมกันจะต้องคงไว้ - หากเราคำนึงถึงผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกันและวิธีการกำหนด ก็มีเหตุผลที่จะยอมรับมัน โดยมีเงื่อนไขว่าเมื่อให้ m, n และ a นิพจน์นั้นสมเหตุสมผล

เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าคุณสมบัติทั้งหมดของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มนั้นถูกต้อง (ซึ่งทำในคุณสมบัติส่วนของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ)

การให้เหตุผลข้างต้นช่วยให้เราสามารถทำสิ่งต่อไปนี้ได้ บทสรุป: หากกำหนดให้ m, n และนิพจน์นั้นสมเหตุสมผลแล้ว กำลังของ a ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน m/n จะเรียกว่ารากที่ n ของ a ยกกำลัง m

ข้อความนี้ทำให้เราเข้าใกล้คำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน สิ่งที่เหลืออยู่คือการอธิบายว่า m, n และนิพจน์ใดที่สมเหตุสมผล ขึ้นอยู่กับข้อจำกัดของ m, n และ a มีสองแนวทางหลัก

วิธีที่ง่ายที่สุดคือกำหนดข้อจำกัดให้กับ a โดยการใช้ a≥0 สำหรับค่าบวก m และ a>0 สำหรับค่าลบ m (เนื่องจากสำหรับ m≤0 ระดับ 0 ของ m ไม่ได้ถูกกำหนดไว้) จากนั้นเราจะได้คำจำกัดความของระดับที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนดังนี้

คำนิยาม.

กำลังของจำนวนบวก a ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน m/nโดยที่ m เป็นจำนวนเต็มและ n เป็นจำนวนธรรมชาติ เรียกว่ารากที่ n ของจำนวน a ยกกำลัง m นั่นคือ

กำลังเศษส่วนของศูนย์จะถูกกำหนดด้วยข้อแม้เดียวที่ตัวบ่งชี้จะต้องเป็นค่าบวก

คำนิยาม.

กำลังของศูนย์ที่มีเลขชี้กำลังบวกเศษส่วน m/nโดยที่ m เป็นจำนวนเต็มบวก และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ จึงนิยามได้ว่า .
เมื่อไม่ได้กำหนดดีกรี นั่นคือดีกรีของเลขศูนย์ที่มีเลขชี้กำลังลบแบบเศษส่วนไม่สมเหตุสมผล

ควรสังเกตว่าด้วยคำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน มีข้อแม้ประการหนึ่ง: สำหรับลบ a และ m และ n บางค่า นิพจน์นี้สมเหตุสมผล และเราละทิ้งกรณีเหล่านี้โดยนำเงื่อนไข a≥0 มาใช้ ตัวอย่างเช่น รายการมีความสมเหตุสมผล หรือ และคำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้นบังคับให้เราบอกว่ากำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนของรูปแบบ ไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากฐานไม่ควรเป็นลบ

อีกวิธีหนึ่งในการกำหนดระดับด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วน m/n คือการพิจารณาเลขชี้กำลังเลขยกกำลังเลขคู่และเลขคี่ของรากแยกกัน วิธีนี้ต้องใช้ เงื่อนไขเพิ่มเติม: กำลังของจำนวน a ซึ่งเป็นเลขยกกำลังของจำนวนนั้น ถือเป็นกำลังของจำนวน a โดยเลขชี้กำลังของจำนวนนั้นเป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ที่สอดคล้องกัน (จะอธิบายความสำคัญของเงื่อนไขนี้ไว้ด้านล่าง) นั่นคือ ถ้า m/n เป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ ดังนั้นสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ k ระดับจะถูกแทนที่ด้วย

สำหรับเลขคู่และค่าบวก m นิพจน์นี้สมเหตุสมผลสำหรับค่า a (root แม้แต่ปริญญาจากจำนวนลบไม่สมเหตุสมผล) สำหรับลบ m ตัวเลข a จะต้องยังคงแตกต่างจากศูนย์ (ไม่เช่นนั้นจะมีการหารด้วยศูนย์) และสำหรับเลขคี่ n และบวก m จำนวน a สามารถเป็นค่าใดก็ได้ (รากของดีกรีคี่ถูกกำหนดไว้สำหรับจำนวนจริงใดๆ) และสำหรับลบ m จำนวน a จะต้องไม่เป็นศูนย์ (เพื่อไม่ให้หารด้วย ศูนย์).

การให้เหตุผลข้างต้นนำเราไปสู่คำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน

คำนิยาม.

ให้ m/n เป็นเศษส่วนลดไม่ได้ m เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ สำหรับเศษส่วนที่ลดลงใดๆ ระดับจะถูกแทนที่ด้วย กำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนที่ลดไม่ได้ m/n นั้นใช้สำหรับ



ให้เราอธิบายว่าทำไมดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนที่ลดได้จึงถูกแทนที่ด้วยดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่ลดไม่ได้ หากเรากำหนดระดับเป็น และไม่ได้สำรองไว้เกี่ยวกับการลดทอนไม่ได้ของเศษส่วน m/n เราก็จะต้องเผชิญกับสถานการณ์ที่คล้ายกับต่อไปนี้: เนื่องจาก 6/10 = 3/5 ดังนั้นความเท่าเทียมกันจึงต้องคงอยู่ , แต่ , ก.