Приватні похідні та повний диференціал функції. Приватні похідні та повний диференціал функцій кількох змінних. Систематизуємо елементарні прикладні правила

Транскрипт

1 ЛЕКЦІЯ N Повний диференціал, приватні похідні та диференціали вищих порядків Повний диференціал Приватні диференціали dz дорівнює dz= a +B () z z Помічаючи, що A=, B =, запишемо формулу () у такому вигляді z z dz= + () Поширимо поняття диференціала функції на незалежні змінні, поклавши диференціали незалежних змінних рівними їх приростам: d= ; d= Після цього формула повного диференціала функції набуде вигляду z z dz= d + d () d + d Приклад Нехай =ln(+) Тоді dz= d + d = Аналогічно, якщо u=f(, n) є функція, що диференціюється n незалежних n змінних, то du = d (d =) = Вираз d z = f (,) d (4) називається приватним диференціалом функції z = f (,) по змінній; вираз d z=f (,)d (5) називається приватним диференціалом функції z=f(,) за змінною З формул (), (4) і (5) випливає, що повний диференціал функції є сумою її приватних диференціалів: dz=d z+d z Зазначимо, що повне прирощення z функції z=f(,), взагалі кажучи, не дорівнює сумі приватних прирощень. прирост z = z z + + α (,) + β (,) відрізняється від своєї лінійної частини dz = z z + тільки на суму останніх доданків α +β, які при 0 і 0 є нескінченно малими більш високого порядку, ніж складові лінійної частини. при dz 0 лінійну частину збільшення диференційованої функції називають головною частиною збільшення функції і користуються наближеною формулою z dz, яка буде тим більш точною, чим меншими за абсолютною величиною будуть збільшення аргументів,97 Приклад Обчислити приблизно arctg(),0

2 Рішення Розглянемо функцію f(,)=arctg() Застосовуючи формулу f(х 0 + х,у 0 + у) f(х 0, у 0) + dz, отримаємо arctg(+) arctg() + [ arctg() ] + [ arctg()] або + + arctg() arctg() () + () Покладемо =, =, тоді =-0,0, =0,0 Тому, (0,0 0,0 arctg) arctg( ) + (0,0) 0,0 = arctg 0,0 = + 0,0 + () + () π = 0,05 0,0 0,75 4 Можна показати, що помилка, що виходить при застосуванні наближеної формули z dz не перевищує числа = М(+), де М найбільше значення абсолютних величин других приватних похідних f(,), f(,), f(,) при зміні аргументів від до + і від до + Приватні похідні вищих порядків Якщо функція u =f(, z) має в деякій (відкритій) області D приватну похідну по одній зі змінних, то знайдена похідна, сама будучи функцією від, z може в свою чергу в деякій точці (0, 0, z 0) мати приватні похідні по тій же або по будь-якій іншій змінній Для вихідної функції u=f(, z) ці похідні будуть приватними похідними другого порядку Якщо перша похідна була взята, наприклад, по її похідна по, z позначається так: f (0, 0, z0) f(0, 0, z0) f(0, 0, z0) = ; =; = або u, u, uzzz Аналогічно визначають похідні третього, четвертого і так далі порядків Зауважимо, що приватна похідна вищого порядку, взята за різними змінними, наприклад, ; називається змішаною приватною похідною Приклад u= 4 z тоді, u =4 z ; u = 4 z; u z = 4 z; u = z; u =6 4 z; u zz = 4; u = z; u = z; u z = 4 z; u z = 8 z; u z = 6 4 z; u z =6 4 z Зауважимо, що змішані похідні, взяті по одним і тим же змінним, але в різному порядку, збігаються. функція f(,) визначена в (відкритій) області D,) в цій області існують перші похідні f і f, а також другі змішані похідні f і f і нарешті) ці останні похідні f і f, як функції і, безперервні в деякій точці (0, 0) області D Тоді у цій точці f (0, 0)=f (0, 0) Доказ Розглянемо вираз

3 f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 + f (0, 0) W=, де, відмінні від нуля, наприклад, позитивні, і притому настільки малі, що D міститься весь прямокутник [ 0, 0 +; 0, 0 +] Введемо допоміжну функцію від: f (, 0 f (, 0) ϕ()=, яка в проміжку [ 0, 0 +] в силу () має похідну: f f ϕ (, 0 +) (, 0) ()= і, отже, безперервна За допомогою цієї функції f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 f (0, 0)) вираз W, який дорівнює W = можна переписати у вигляді: ? так: W = ϕ (0 + θ, 0 f (0 + θ, 0) (0 + θ) = (0<θ<) Пользуясь существованием второй производной f (,), снова применим формулу конечных приращений, на этот раз к функции от: f (0 +θ,) в промежутке [ 0, 0 +] Получим W=f (0 +θ, 0 +θ), (0<θ <) Но выражение W содержит и, с одной стороны, и и, с другой, одинаковым образом Поэтому, можно поменять их роли и, введя вспомогательную функцию: Ψ()= f (0 +,) f (0,), путем аналогичных рассуждений получить результат: W=f (0 +θ, 0 +θ) (0<θ, θ <) Из сопоставления () и (), находим f (0 +θ, 0 +θ)=f (0 +θ, 0 +θ) Устремив теперь и к нулю, перейдем в этом равенстве к пределу В силу ограниченности множителей θ, θ, θ, θ, аргументы и справа, и слева стремятся к 0, 0 А тогда, в силу (), получим: f (0, 0)=f (0, 0), что и требовалось доказать Таким образом, непрерывные смешанные производные f и f всегда равны Общая теорема о смешанных производных Пусть функция u=f(, n) от переменных определена в открытой n-мерной области D и имеет в этой области всевозможные частные производные до (n-)-го порядка включительно и смешанные производные n-го порядка, причем все эти производные непрерывны в D При этих условиях значение любой n-ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования Дифференциалы высших порядков Пусть в области D задана непрерывная функция u=f(, х), имеющая непрерывные частные производные первого порядка Тогда, du= d + d + + d

4 Ми бачимо, що du також є деякою функцією від, Якщо припустити існування безперервних приватних похідних другого порядку для u, то du буде мати безперервні приватні похідні першого порядку і можна говорити про повний диференціал від цього диференціала du, d(du), який називається диференціалом другого порядку (або другим диференціалом) від u; він позначається d u Підкреслимо, що збільшення d, d, d при цьому розглядаються як постійні і залишаються одними і тими ж при переході від одного диференціала до наступного (причому d, d будуть нулями) Отже, d u = d (du) = d (d + d + + d) = d() d + d() d + + d() d або d u = (d + d + d + + d) d + + (d + d + = d + d + + d + dd + dd + + dd + + Аналогічно, визначається диференціал третього порядку d u і так далі Якщо для функції u існують безперервні приватні похідні всіх порядків до n-го включно, то існування n-го диференціала забезпечене Можна спростити запис Винесемо у виразі першого диференціала «літеру u» за дужки Тоді, запис буде символічним: du = (d + d + + d) u; + + d) u, яку слід розуміти так: спочатку «многочлен», що стоїть у дужках, формально, зводиться за правилами алгебри в ступінь, потім усі отримані члени «множуються» на u (яке n дописується в чисельниках при), і лише після цього всім символам повертається їх значення як похідних і диференціалів u d) d u 4Виробні від складних функцій Нехай ми маємо функцію u=f(, z), визначену в області D, причому кожна зі змінних, z у свою чергу, є функцією від змінної t деякому проміжку: =ϕ(t), =ψ(t), z=λ(t) Нехай, крім того, при зміні точки t (, z) не виходять за межі області D Підставивши значення, і z в функцію u, отримаємо складну функцію: u=f(ϕ(t), ψ(t), λ(t)) Припустимо, що u має по і z безперервні приватні похідні u, u і u z і що t, t і z t існують Тоді можна довести існування похідної складної функції і обчислити її Надамо змінній t деяке приріст t, тоді, і z отримають відповідно прирощення, і z, функція ж u отримає прирощення u Уявимо прирощення функції u у формі: (це можна зробити, оскільки ми припустили існування безперервних приватних похідних u, u та u z) u=u +u +u z z+α +β +χ z, де α, β, χ 0 при, z 0 Розділимо обидві частини рівності на t, отримаємо u z z = u + u + uz + α + β + χ t t t t t t t 4

5 Спрямуємо тепер приріст t до нуля: тоді z будуть прагнути до нуля, оскільки функції, z від t безперервні (ми припустили існування похідних t, t, z t), а тому, α, β, χ теж прагнуть до нуля У межі отримуємо u t =u t +u t +u z z t () Бачимо, що при зроблених припущеннях похідна складної функції дійсно існує Якщо скористатися диференціальним позначенням, то d d d dz () буде мати вигляд: = + + () dt dt dt z dt Розглянемо тепер випадок залежності , z від кількох змінних t: =ϕ(t, v), =ψ(t, v), z=χ(t, v) Крім існування та безперервності приватних похідних функції f(, z), ми припускаємо тут існування похідних від функцій, z по t і v Цей випадок суттєво не відрізняється від вже розглянутого, так як при обчисленні приватної похідної функції від двох змінних ми одну зі змінних фіксуємо, і в нас залишається функція тільки від однієї змінної, формула () буде та z, а () потрібно переписати у вигляді: = + + (а) t t t z t z = + + (б) v v v z v Приклад u = ; =ϕ(t)=t; =ψ(t)=cos t u t = - t + ln t = - t-ln sint 5

Функції кількох змінних У багатьох питаннях геометрії природознавства та дисциплін доводиться мати справу з функціями двох трьох і більше змінних Приклади: Площа трикутника S a h де a основа

13. Приватні похідні вищих порядків Нехай = має і визначені на D O. Функції називають також приватними похідними першого порядку функції або першими приватними похідними функції. та загалом

Додаток Визначення похідної Нехай значення аргументу, а f) і f) - ((відповідні значення функції f () Різниця називається збільшенням аргументу, а різниця - збільшенням функції на відрізку,

Практичне заняття ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ СКЛАДНОЇ ТА НЕЯВНОЇ ФУНКЦІЇ Диференціювання складної функції Диференціювання неявної функції, що задається одним рівнянням Системи неявних і параметрично заданих

ФУНКЦІЇ КІЛЬКАХ ЗМІННИХ Функції однієї незалежної змінної не охоплюють всі залежності, що існують у природі. Тому природно розширити відоме поняття функціональної залежності та запровадити

6. Неявні функції 6.1 Визначення, попередні відомості Залежність однієї змінної від іншої (або інших) не обов'язково може бути виражена за допомогою так званого явного уявлення, коли

1. Основні поняття. Функції кількох змінних. Дослідження функції кількох змінних проведемо на прикладах функцій двох та трьох змінних, оскільки всі дані визначення та отримані результати

2.2.7. Застосування диференціала до наближених обчислень. Диференціал функції y = залежить від х і є головною частиною збільшення х. Також можна скористатися формулою: dy d Тоді абсолютна похибка:

Лекція 9. Похідні та диференціали вищих порядків, їх властивості. Крапки екстремуму функції. Теореми Ферма та Роля. Нехай функція y диференційована на деякому відрізку [b]. У такому разі її похідна

5 Точка в якій F F F або хоча б одна з цих похідних не існує називається особливою точкою поверхні У такій точці поверхня може не мати дотичної площини Визначення Нормаллю до поверхні

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ. Інтегральні суми та певний інтеграл Нехай дана функція y = f(), визначена на відрізку [, b], де< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ.. Основні поняття Диференціальним рівнянням називається рівняння, до якого невідома функція входить під знаком похідної чи диференціала.

6. Диференціал функції 1. Визначення та геометричний зміст ВИЗНАЧЕННЯ. Функція y = f(x) називається диференційованою в точці x 0, якщо її збільшення у цій точці може бути записано як сума лінійної

Лекції Розділ Функції кількох змінних Основні поняття Деякі функції багатьох змінних добре знайомі Наведемо кілька прикладів Для обчислення площі трикутника відома формула Герона S

~ 1 ~ ФУНКЦІЯ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ 3 Функція двох змінних, область визначення, способи завдання та геометричний зміст. Визначення: z f називається функцією двох змінних, якщо кожній парі значень,

Диференціальні рівняння першого порядку дозволені щодо похідної Теорема існування та єдиності рішення У загальному випадку диференціальне рівняння першого порядку має вигляд F()

Лекція 3 Екстремум функції кількох змінних Нехай функція кількох змінних u = f (x, x) визначена в області D, і точка x (x, x) = належить даній області Функція u = f (x, x) має

Модуль Тема Функціональні послідовності та ряди Властивості рівномірної збіжності послідовностей та рядів Ступінні ряди Лекція Визначення функціональних послідовностей та рядів Рівномірно

9 Похідна та диференціал 91 Основні формули та визначення для вирішення задач Визначення Нехай функція y f () визначена на деякій f (Δ) f () Δy околиці точки Межа відношення при Δ Δ Δ, якщо

1 Тема 1. Диференціальні рівняння першого порядка 1.0. Основні визначення та теореми Диференціальне рівняння першого порядку: незалежна змінна; y = y() потрібна функція; y = y() її похідна.

Лекція 8 Диференціювання складної функції Розглянемо складну функцію t t t f де t t t t t t t t t t t t t t t t Теорема Нехай функції диференційовані в деякій точці N t t t а функція f диф

МОСКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ЦИВІЛЬНОЇ АВІАЦІЇ В.М. Любимов, Є.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шурінов М А Т Е М А Т І К А Р А Д И ПОСІБНИК з вивчення дисципліни та контрольні завдання

II ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ Диференціальні рівняння першого порядку Визначення Співвідношення, в яких невідомі змінні та їх функції знаходяться під знаком похідної чи диференціала, називаються

6 Завдання, що призводять до поняття похідної Нехай матеріальна точка рухається по прямій в одному напрямку за законом s f (t), де t - час, а s - шлях, що проходить точкою за час t Зазначимо деякий момент

Лекція 3. Невизначений інтеграл. Первісна і невизначений інтеграл У диференціальному обчисленні вирішується завдання: за цією функцією f() знайти її похідну (або диференціал). Інтегральне числення

1 Лекція 7 Похідні та диференціали вищих порядків Анотація: Вводиться поняття функції, що диференціюється, дається геометрична інтерпретація першого диференціала і доводиться його інваріантність

Функції кількох аргументів Поняття функції кожному елементу х із множини Х за деяким законом у = f(х) поставлено у відповідність єдине значення змінної у з множини У кожній парі чисел

Укладач ВПБєлкін 1 Лекція 1 Функція декількох змінних 1 Основні поняття Залежність = f (1, n) змінної від змінних 1, n називається функцією n аргументів 1, n Надалі розглядатимемо

ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ Загальні поняття Диференціальні рівняння мають численні та найрізноманітніші додатки у механіці фізики астрономії техніці та інших розділах вищої математики (наприклад

I Визначення функції декількох змінних Область визначення При вивченні багатьох явищ доводиться мати справу з функціями двох і більше незалежних змінних. Наприклад температура тіла в даний момент

Лекція 8 Теореми Ферма, Роля, Коші, Лагранжа та Лопіталя Анотація: Доводяться всі названі теореми та наводяться приклади розкриття невизначеностей за правилом Лопіталю Визначення Функція y=f() досягає

СА Лавренченко wwwlawrencenkoru Лекція 4 Диференціювання складних функцій Неявне диференціювання Згадаймо правило диференціювання для функцій однієї змінної, що також називається ланцюговим правилом (див.

Розділ Диференціальне обчислення функції однієї та кількох змінних Функція дійсного аргументу Дійсні числа Цілі позитивні числа називаються натуральними Додамо до натуральних

Практикум: «Диференційність та диференціал функції» Якщо функція y f () має кінцеву похідну в точці, то збільшення функції в цій точці можна представити у вигляді: y(,) f () () (), де () при

Лекція Диференціальні рівняння -го порядку Основні види диференціальних рівнянь -го порядку та їх вирішення Диференціальні рівняння є одним із найуживаніших засобів математичного

ТЕМА 1 ВИРОБНИЧА ФУНКЦІЇ ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ ПРОГРАМНІ ПИТАННЯ: 11 Функціональний зв'язок Межа функції 1 Похідна функції 1 Механічний фізичний та геометричний зміст похідної 14 Основні

М І Н І С Т Е Р С Т О В О Б Р А З О В А Н І Я І Н А У К І Р О С С І Й С К О Й ФЕ Д Е Р А Ц І І ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА АВТОНОМНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ОСВІТИ «Національний дослідницький

ДИСЦИПЛІНА «ВИЩА МАТЕМАТИКА» курс, семестр Заочна форма навчання ТЕМА Матрична алгебра При вирішенні економічних завдань застосовуються методи економіко-математичного моделювання, що використовують рішення

В.В. Жук, А.М. Камачкін Диференційність функцій багатьох змінних. Диференційність функції у точці. Достатні умови диференційності у термінах приватних похідних. Диференціювання складної

Глава 4 Межа функції 4 1 ПОНЯТТЯ МЕЖІ ФУНКЦІЇ У цьому розділі основну увагу приділено поняттю межі функції. Визначено, що таке межа функції у нескінченності, а потім межа у точці, межі

ЛЕКЦІЯ 23 КАНОНІЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ. ТЕОРЕМА ЛІУВІЛЛЯ ПРО ЗБЕРІГАННЯ ФАЗОВОГО ОБ'ЄМУ. ВИРОБНИЧА ФУНКЦІЯ ВІЛЬНОГО ПЕРЕТВОРЕННЯ Продовжимо вивчати канонічні перетворення. Спочатку нагадаємо основні

Кафедра математики та інформатики Математичний аналіз Навчально-методичний комплекс для студентів ВПО, які навчаються із застосуванням дистанційних технологій Модуль 3 Диференціальне обчислення функцій однієї

55 є при нескінченно малою величиною більш високого порядку малості порівняно з ρ n (,), де ρ () + (), ті можна уявити його у формі Пеано n R, ρ Приклад Записати формулу Тейлора при n с

Тема Визначений інтеграл Визначений інтеграл Завдання, що приводять до поняття певного інтеграла Задача про обчислення площі криволінійної трапеції У системі координат Оху дана криволінійна трапеція,

5 Ступінні ряди 5 Ступінні ряди: визначення, область збіжності Функціональний ряд виду (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) де, a, a, K, a,k деякі числа, називають статечним рядом Числа

Числові ряди Числова послідовність Опр Числовою послідовністю називають числову ф-цію, визначену на множині натуральних чисел х - загальний член послідовності х =, х =, х =, х =,

Диференціальні рівняння лекція 4. Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник Лектор Шерстньова Анна Ігорівна 9. Рівняння в повних диференціалах Рівняння d + d = 14 називається рівнянням

Металургійний факультет Кафедра вищої математики РЯДИ Методичні вказівки Новокузнецьк 5 Федеральна агенція з освіти Державна освітня установа вищої професійної освіти

Математичний аналіз Розділ: Функція кількох змінних Тема: Диференційність ФНП (закінчення. Приватні похідні та диференціали складних ФНП. Диференціювання неявних функцій Лектор Рожкова С.В.

( теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа теорема про середнє значення - геометричне тлумачення теореми про середнє - теорема Коші - формула кінцевих прирощень - правило Лопіталя

Розділ 4 Основні теореми диференціального обчислення Розкриття невизначеностей Основні теореми диференціального обчислення Теорема Ферма (П'єр Ферма (6-665) французький математик) Якщо функція y f

ЛЕКЦІЯ 7 ДИФЕРЕНЦІЙНЕ ЗЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЙ ЗМІННОЇ 1 Поняття похідної функції Розглянемо функцію у=f(), визначену на інтервалі (а;в) Візьмемо будь-яке значення х (а;в) і задамо аргументу

Міністерство освіти Республіки Білорусь УО «Вітебський державний технологічний університет» Тема. «Ряди» Кафедра теоретичної та прикладної математики. розроблено доц. Є.Б. Дуніною. Основні

Лекція 3 Ряди Тейлора і Маклорена Застосування статечних рядів Розкладання функцій у статечні ряди Ряди Тейлора і Маклорена Для додатків важливо вміти цю функцію розкладати в статечний ряд, ті функцію

58 Певний інтеграл Нехай на проміжку задана функція () Вважатимемо функцію безперервною, хоча це не обов'язково Виберемо на проміжку довільні числа, 3, n-, які відповідають умові:

Диференціальні рівняння вищого ладу. Конєв В.В. Малюнки лекцій. 1. Основні поняття 1 2. Рівняння, що допускають зниження порядку 2 3. Лінійні диференціальні рівняння вищого порядку

Лекція 20 ТЕОРЕМА ПРО ВИРОБНИЧУ СКЛАДНУ ФУНКЦІЮ. Нехай y = f (u), а u = u (x). Отримуємо функцію y, яка залежить від аргументу x: y = f(u(x)). Остання функція називається функцією функції або складною функцією.

Диференціювання неявно заданої функції Розглянемо функцію (,) = C (C = const) Це рівняння задає неявну функцію () Припустимо, ми вирішили це рівняння і знайшли явний вираз = () Тепер можна

Московський авіаційний інститут (національний дослідний університет) Кафедра "Вища математика" Межі Похідні Функції кількох змінних Методичні вказівки та варіанти контрольних

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 7 УЗАГАЛЬНІ ФУНКЦІЇ I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т І Я І Т Е О Р Е М И Позначимо через D безліч усіх нескінченно диференційованих фінітних функцій дійсного змінного. Це

Глава 3. Дослідження функцій з допомогою похідних 3.1. Екстремуми та монотонність Розглянемо функцію y = f(), визначену на деякому інтервалі I R. Кажуть, що вона має локальний максимум у точці

Московський державний технічний університет імені Н.Е. Баумана Факультет «Фундаментальні науки» Кафедра «Математичне моделювання» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Методичні вказівки та варіанти РГР на тему Функція кількох змінних для студентів спеціальності Дизайн. Якщо величина однозначно визначається завданням значень величин і, незалежних один від одного,

Московський державний технічний університет імені Н.Е. Баумана Факультет «Фундаментальні науки» Кафедра «Математичне моделювання» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО РОЗРАХУНКОВИХ ЗАВДАНЬ ПО КУРСУ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ «ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ РЯДИ Подвійні ІНТЕГРАЛИ» ЧАСТИНА Ш ТЕМА РЯДИ

Межа функції. Межа числової послідовності Визначення. Нескінченною числовою послідовністю (або просто числовою послідовністю називається функція f f (, визначена на багатьох

Лекція 19 ВИРОБНИЧА І ЇЇ ДОДАТКИ. ВИЗНАЧЕННЯ ВИРОБНИЧОЇ. Нехай маємо деяку функцію y=f(x), визначену на певному проміжку. Для кожного значення аргументу xз цього проміжку функція y=f(x)

Диференціальне обчислення функцій кількох змінних Функції кількох змінних Величина називається функцією змінних величин n якщо кожній точці М n належить деякій множині X поставлено

ЛЕКЦІЯ N 7. Ступінні ряди і ряди Тейлора..Степінні ряди..... Ряд Тейлора.... 4.Розкладання деяких елементарних функцій у ряди Тейлора і Маклорена.... .Ступіньні

Лекція 3 Теорема існування та єдиності розв'язання скалярного рівняння Постановка задачі Основний результат Розглянемо задачу Коші d f () d =, () = Функція f (,) задана в області G площині (,

Федеральне агентство з освіти Московський Державний університет геодезії та картографії (МІІГАіК) МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ за курсом

Нехай функція визначена у певній (відкритій) області D точок
мірного простору, та
– точка у цій галузі, тобто.
D.

Приватним збільшенням функціїбагатьох змінних за якою-небудь змінною називається те збільшення, яке отримає функція, якщо ми дамо збільшення цієї змінної, вважаючи, що всі інші змінні мають постійні значення.

Наприклад, приватне збільшення функції змінної буде

Приватної похідної незалежної змінної у точці
від функції називається межа (якщо існує) відносини приватного збільшення
функції до збільшення
змінної при прагненні
до нуля:

Приватну похідну позначають одним із символів:

;
.

Зауваження.Індекс внизу в цих позначеннях лише вказує, за якою зі змінних береться похідна, і не пов'язана з тим, у якій точці
ця похідна обчислюється.

Обчислення приватних похідних не представляє нічого нового в порівнянні з обчисленням звичайної похідної, необхідно тільки пам'ятати, що при диференціюванні функції будь-якої змінної всі інші змінні приймаються за постійні. Покажемо на прикладах.

приклад 1.Знайти приватні похідні функції
.

Рішення. При обчисленні приватної похідної функції
за аргументом розглядаємо функцію як функцію лише однієї змінної , тобто. вважаємо, що має фіксоване значення. При фіксованому функція
є статечною функцією аргументу . За формулою диференціювання статечної функції отримуємо:

Аналогічно при обчисленні приватної похідної вважаємо, що фіксоване значення , і розглядаємо функцію
як показову функцію аргументу . У результаті отримуємо:

Приклад 2. Найті приватні похідні і функції
.

Рішення.При обчисленні приватної похідної за задану функцію ми розглядатимемо як функцію однієї змінної , а вирази, що містять , Будуть постійними множниками, тобто.
виступає у ролі постійного коефіцієнта при статечній функції (
). Диференціюючи цей вираз по , Отримаємо:

.

Тепер, навпаки, функцію розглядаємо як функцію однієї змінної , в той час як вирази, що містять , виступають у ролі коефіцієнта
(
).Диференціюючи за правилами диференціювання тригонометричних функцій, отримуємо:

приклад 3. Обчислити приватні похідні функції
у точці
.

Рішення.Знаходимо спочатку приватні похідні цієї функції у довільній точці
її області визначення. При обчисленні приватної похідної за вважаємо, що
є незмінними.

при диференціюванні по постійними будуть
:

а при обчисленні приватних похідних за і по , аналогічно, постійними будуть, відповідно,
і
, тобто:

Тепер обчислимо значення цих похідних у точці
, підставляючи у тому висловлювання конкретні значення змінних. У результаті отримуємо:

11. Приватні та повні диференціали функції

Якщо тепер до приватного збільшення
застосувати теорему Лагранжа про кінцеві збільшення змінної , то, вважаючи безперервної, отримаємо такі співвідношення:

де
,
- Безмежно мала величина.

Приватним диференціалом функціїза змінною називається головна лінійна частина приватного збільшення
, рівна добутку приватної похідної за цією змінною на збільшення цієї змінної, і позначається

Очевидно, приватний диференціал відрізняється від приватного збільшення на нескінченно малу вищого порядку.

Повним збільшенням функціїбагатьох змінних називається її приріст, яке вона отримає, коли всім незалежним змінним дамо приріст, тобто.

де все
, залежать ті разом із нею прагнуть нулю.

Під диференціалами незалежних змінних домовилися мати на увазі довільніприрощення
і позначати їх
. Таким чином, вираз приватного диференціала набуде вигляду:

Наприклад, приватний диференціал по визначається так:

.

Повним диференціалом
функції багатьох зміннихназивається головна лінійна частина повного збільшення
, Рівна, тобто. сумі всіх її приватних диференціалів:

Якщо функція
має безперервні приватні похідні

у точці
, то вона диференційована в даній точці.

При досить малому для функції, що диференціюється
мають місце наближені рівності

,

за допомогою яких можна робити наближені обчислення.

приклад 4.Знайти повний диференціал функції
трьох змінних
.

Рішення.Насамперед, знаходимо приватні похідні:

Помітивши, що вони безперервні за всіх значень
, знаходимо:

Для диференціалів функцій багатьох змінних вірні всі теореми про властивості диференціалів, доведені для випадку функції однієї змінної, наприклад: якщо і - Безперервні функції змінних
, що мають безперервні приватні похідні по всіх змінних, а і - довільні постійні, то:

(6)

Лінеарізація функції. Дотична площина та нормаль до поверхні.

Похідні та диференціали вищих порядків.

1. Приватні похідні ФНП *)

Розглянемо функцію і = f(P), РÎDÌR nабо, що те саме,

і = f(х 1 , х 2 , ..., х п).

Зафіксуємо значення змінних х 2 , ..., х п, а змінною х 1 дамо приріст D х 1 . Тоді функція іотримає приріст , що визначається рівністю

= f (х 1+D х 1 , х 2 , ..., х п) – f(х 1 , х 2 , ..., х п).

Це прирощення називають приватним збільшеннямфункції іза змінною х 1 .

Визначення 7.1.Приватної похідної функції і = f(х 1 , х 2 , ..., х п) за змінною х 1 називається межа відношення приватного збільшення функції до збільшення аргументу D х 1 при D х 1 ® 0 (якщо ця межа існує).

Позначається приватна похідна за х 1 символами

Таким чином, за визначенням

Аналогічно визначаються приватні похідні за іншими змінними х 2 , ..., х п. З визначення видно, що приватна похідна функції змінної х i– це звичайна похідна функції однієї змінної х iколи інші змінні вважаються константами. Тому всі раніше вивчені правила та формули диференціювання можуть бути використані для пошуку похідної функції кількох змінних.

Наприклад, для функції u = x 3 + 3xy – z 2 маємо

Таким чином, якщо функція кількох змінних задана явно, то питання існування та відшукання її приватних похідних зводяться до відповідних питань щодо функції однієї змінної – тієї, за якою необхідно визначити похідну.

Розглянемо явно задану функцію. Нехай рівняння F( x, y) = 0 визначає неявну функцію однієї змінної х. Справедлива

Теорема 7.1.

Нехай F( x 0 , y 0) = 0 та функції F( x, y), F¢ х(x, y), F¢ у(x, y) безперервні в деякій околиці точки ( х 0 , у 0), причому F¢ у(x 0 , y 0) ¹ 0. Тоді функція у, Задана неявно рівнянням F( x, y) = 0, має в точці ( x 0 , y 0) похідну, яка дорівнює

.

Якщо умови теореми виконуються у будь-якій точці області DÌ R 2 , то у кожній точці цієї області .

Наприклад, для функції х 3 –2у 4 + ух+ 1 = 0 знаходимо

Нехай тепер рівняння F( x, y, z) = 0 визначає неявну функцію двох змінних. Знайдемо і. Оскільки обчислення похідної за хпроводиться при фіксованому (постійному) у, то цих умовах рівність F( x, y=const, z) = 0 визначає zяк функцію однієї змінної хі згідно з теоремою 7.1 отримаємо

.

Аналогічно .

Таким чином, для функції двох змінних, заданої неявно рівнянням , приватні похідні знаходять за формулами: ,

Лекція 3 ФНП, приватні похідні, диференціал

Що головне ми дізналися на минулій лекції

Ми дізналися, що таке функція кількох змінних з аргументом з евклідового простору. Вивчили, що таке межа та безперервність для такої функції

Що ми дізнаємось на цій лекції

Продовжуючи вивчення ФНП, ми вивчимо приватні похідні та диференціали для цих функцій. Дізнаємося, як написати рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні.

Приватна похідна повний диференціал ФНП. Зв'язок диференційованості функції із існуванням приватних похідних

Для функції однієї речової змінної після вивчення тем «Межі» та «Безперервність» (Вступ до математичного аналізу) вивчалися похідні та диференціали функції. Перейдемо до розгляду аналогічних питань функції декількох змінних. Зауважимо, що якщо у ФНП зафіксувати всі аргументи, крім одного, то ФНП породжує функцію одного аргументу, для якої можна розглядати збільшення, диференціал та похідну. Їх ми називатимемо відповідно приватним збільшенням, приватним диференціалом та приватною похідною. Перейдемо до точним визначенням.

Визначення 10. Нехай задана функція змінних де - Елемент евклідова простору і відповідні збільшення аргументів , , ..., . При величині називаються приватними прирощеннями функція. Повне збільшення функції - це величина.

Наприклад, для функції двох змінних , де - точка на площині і , відповідні збільшення аргументів, приватними будуть збільшення , . При цьому величина є повним збільшенням функції двох змінних.

Визначення 11. Приватної похідної функції змінних за змінною називається межа відношення приватного збільшення функції за цією змінною до збільшення відповідного аргументу , коли прагне до 0.

Запишемо визначення 11 у вигляді формули або у розгорнутому вигляді. (2) Для функції двох змінних визначення 11 запишеться у вигляді формул , . З практичної точки зору це визначення означає, що при обчисленні приватної похідної по одній змінній решта всіх змінних фіксуються і ми розглядаємо цю функцію як функцію однієї обраної змінної. За цією змінною і береться звичайна похідна.

Приклад 4. Для функції , де знайдіть приватні похідні та точку, де обидві приватні похідні дорівнюють 0.

Рішення . Обчислимо приватні похідні, і систему запишемо у вигляді Рішенням цієї системи є дві точки і .

Розглянемо тепер, як поняття диференціала узагальнюється ФНП. Згадаймо, що функція однієї змінної називається диференційованою, якщо її збільшення представляється у вигляді при цьому величина є головною частиною збільшення функції і називається її диференціалом. Величина є функцією від , має ту властивість, що , тобто є функцією, нескінченно малою в порівнянні з . Функція однієї змінної диференційована в точці і тоді, коли має похідну в цій точці. У цьому константа і дорівнює цієї похідної, т. е. для диференціала справедлива формула .

Якщо розглядається приватне збільшення ФНП, то змінюється лише один з аргументів, і це приватне збільшення можна розглядати як збільшення функції однієї змінної, тобто працює та ж теорія. Отже, умова диференційності виконано тоді і лише тоді, коли існує приватна похідна , і в цьому випадку приватний диференціал визначається формулою .

А що таке повний диференціал функції кількох змінних?

Визначення 12. Функція змінних називається диференційованою в точці , якщо її збільшення представляється як . У цьому головна частина збільшення називається диференціалом ФНП.

Отже, диференціалом ФНП є величина . Уточнимо, що ми розуміємо під величиною , яку ми називатимемо нескінченно малою в порівнянні з приростами аргументів . Це функція, яка має ту властивість, що якщо всі прирощення, крім одного , дорівнюють 0, то справедлива рівність . По суті це означає, що = = + +…+ .

А як пов'язані між собою умова диференційності ФНП та умови існування приватних похідних цієї функції?

Теорема 1. Якщо функція змінних диференційована у точці , то в неї існують приватні похідні за всіма змінними в цій точці і при цьому .

Доказ. Рівність запишемо при та у вигляді та розділи обидві частини отриманої рівності на . В отриманій рівності перейдемо до межі при . У результаті ми й отримаємо необхідну рівність. Теорему доведено.

Слідство. Диференціал функції змінних обчислюється за такою формулою . (3)

У прикладі 4 диференціал функції дорівнював. Зауважимо, що цей же диференціал у точці дорівнює . А от якщо ми його обчислимо в точці з прирощеннями, то диференціал дорівнюватиме. Зауважимо, що точне значення заданої функції в точці одно , а ось це значення, приблизно обчислене за допомогою 1-го диференціала, дорівнює . Ми бачимо, що, замінюючи збільшення функції її диференціалом, ми можемо приблизно обчислювати значення функції.

А чи буде функція кількох змінних диференційована у точці, якщо вона має приватні похідні у цій точці. На відміну від функції однієї змінної у відповідь це питання негативний. Точне формулювання взаємозв'язку дає така теорема.

Теорема 2. Якщо у функції змінних у точці існують безперервні похідні приватні по всіх змінних, то функція диференційована в цій точці.

як . У кожній дужці змінюється лише одна змінна, тому ми можемо і там і там застосувати формулу кінцевих приростів Лагранжа. Суть цієї формули в тому, що для безперервно диференційованої функції однієї змінної різниця значень функції у двох точках дорівнює значенню похідної в деякій проміжній точці, помноженому на відстань між точками. Застосовуючи цю формулу кожної з дужок, отримаємо . Через безперервність приватних похідних похідна в точці і похідна в точці відрізняються від похідних і в точці на величини і , що прагнуть 0 при , що прагнуть 0. Але тоді і, очевидно, . Теорему доведено. , А координата. Перевірте, чи ця точка належить поверхні. Напишіть рівняння дотичної площини та рівняння нормалі до поверхні у зазначеній точці.

Рішення. Справді, . Ми вже обчислювали у минулій лекції диференціал цієї функції у довільній точці, у заданій точці він дорівнює . Отже, рівняння дотичної площини запишеться як або , а рівняння нормалі - як .

Поняття функції двох змінних

Величина zназивається функцією двох незалежних змінних xі yякщо кожній парі допустимих значень цих величин за певним законом відповідає одне цілком певне значення величини z.Незалежні змінні xі yназивають аргументамифункції.

Така функціональна залежність аналітично позначається

Z = f(x, y),(1)

Значення аргументів x та y, яким відповідають дійсні значення функції z,вважаються допустимими, а безліч усіх допустимих пар значень x та y називають областю визначенняфункції двох змінних.

Для функції кількох змінних, на відміну функції однієї змінної, вводять поняття її приватних прирощеньпо кожному з аргументів та поняття повного збільшення.

Приватним збільшенням Δ x z функції z = f (x, y) за аргументом x називається збільшення, яке отримує ця функція, якщо її аргумент x отримує збільшення Δxпри незмінному y:

Δ x z = f (x + Δx, y) -f (x, y), (2)

Приватним збільшенням Δ y z функції z = f (x, y) за аргументом y називається збільшення, яке отримує ця функція, якщо її аргумент y отримує збільшення Δy при незмінному x:

Δ y z = f (x, y + Δy) - f (x, y), (3)

Повним збільшенням Δzфункції z = f (x, y)за аргументами xі yназивається збільшення, яке отримує функція, якщо обидва її аргументи отримують збільшення:

Δz = f (x + Δx, y + Δy) - f (x, y), (4)

При досить малих збільшеннях Δxі Δyаргументів функції

має місце наближена рівність:

Δz Δ x z + Δ y z , (5)

причому воно тим точніше, чим менше Δxі Δy.

Приватні похідні функції двох змінних

Приватної похідної функції z = f (x, y) за аргументом x у точці (x, y)називається межа відношення приватного збільшення Δ x zцієї функції до відповідного збільшення Δxаргументу x при прагненні Δxдо 0 і за умови, що ця межа існує:

, (6)

Аналогічно визначають похідну функції z = f (x, y)за аргументом y:

Крім зазначеного позначення, приватні похідні функції також позначають , z x , f x (x, y); , z y, f y (x, y).

Основний зміст приватної похідної полягає в наступному: приватна похідна функції кількох змінних з якогось із її аргументів характеризує швидкість зміни цієї функції при зміні цього аргументу.

При обчисленні приватної похідної функції кількох змінних за будь-яким аргументом решта аргументів цієї функції вважаються постійними.

Приклад1.Знайти приватні похідні функції

f (x, y) = x 2 + y 3

Рішення. При знаходженні похідної приватної цієї функції за аргументом x аргумент y вважаємо постійною величиною:

;

При знаходженні похідної по аргументу y аргумент x вважаємо постійною величиною:

.

Приватні та повні диференціали функції декількох змінних

Приватним диференціалом функції кількох змінних за яким-або з її аргументівназивається добуток приватної похідної цієї функції за даним аргументом на диференціал цього аргументу:

d x z = ,(7)

d y z = (8)

Тут d x zі d y z-приватні диференціали функції z = f (x, y)за аргументами xі y.При цьому

dx = Δx; dy = Δy, (9)

Повним диференціаломфункції кількох змінних називається сума її приватних диференціалів:

dz = d x z + d y z, (10)

приклад 2.Знайдемо приватні та повний диференціали функції f (x, y) = x2 + y3.

Так як окремі похідні цієї функції знайдені в прикладі 1, то отримуємо

d x z = 2xdx; d y z = 3y 2 dy;

dz = 2xdx + 3y 2 dy

Приватний диференціал функції кількох змінних за кожним з її аргументів є головною частиною відповідного приватного збільшення функції.

Внаслідок цього можна записати:

Δ x z d x z, Δ y z d y z, (11)

Аналітичний зміст повного диференціала полягає в тому, що повний диференціал функції декількох змінних є головною частиною повного збільшення цієї функції..

Таким чином, має місце наближена рівність

Δz dz, (12)

На використанні формули (12) ґрунтується застосування повного диференціалу у наближених обчисленнях.

Уявимо приріст Δzу вигляді

f (x + Δx; y + Δy) - f (x, y)

а повний диференціал у вигляді

Тоді отримуємо:

f (x + Δx, y + Δy) - f (x, y) ,

, (13)

3.Мета діяльності студентів на занятті:

Студент повинен знати:

1. Визначення функції двох змінних.

2. Поняття приватного та повного збільшення функції двох змінних.

3. Визначення приватної похідної функції кількох змінних.

4. Фізичний зміст приватної похідної функції кількох змінних за яким-небудь із її аргументів.

5. Визначення приватного диференціала функції кількох змінних.

6. Визначення повного диференціала функції кількох змінних.

7. Аналітичний зміст повного диференціалу.

Студент повинен вміти:

1. Знаходити приватні та повне збільшення функції двох змінних.

2. Обчислювати окремі похідні функції кількох змінних.

3. Знаходити приватні та повні диференціали функції кількох змінних.

4. Застосовувати повний диференціал функції кількох змінних наближених обчисленнях.

Теоретична частина:

1. Поняття функції кількох змінних.

2. Функція двох змінних. Приватне та повне збільшення функції двох змінних.

3. Приватна похідна функції кількох змінних.

4. Приватні диференціали функції кількох змінних.

5. Повний диференціал функції кількох змінних.

6. Застосування повного диференціала функції кількох змінних наближених обчисленнях.

Практична частина:

1. Знайдіть приватні похідні функції:

1) ; 4) ;

2) z = e ху +2 x; 5) z = 2tg хе у;

3) z = х 2 sin 2 y; 6) .

4. Дайте визначення приватної похідної функції за цим аргументом.

5. Що називається приватним та повним диференціалом функції двох змінних? Як вони пов'язані між собою?

6. Перелік питань для перевірки кінцевого рівня знань:

1. Чи дорівнює в загальному випадку довільної функції кількох змінних її повне збільшення сумі всіх приватних прирощень?

2. У чому полягає основний сенс приватної похідної функції кількох змінних за якимось із її аргументів?

3. У чому полягає аналітичний зміст повного диференціала?

7.Хронокарта навчального заняття:

1. Організаційний момент – 5 хв.

2. Розбір теми – 20 хв.

3.Рішення прикладів та завдань - 40 хв.

4. Поточний контроль знань –30 хв.

5. Підбиття підсумків заняття – 5 хв.

8. Перелік навчальної літератури до заняття:

1. Морозов Ю.В. Основи вищої математики та статистики. М., "Медицина", 2004, §§ 4.1-4.5.

2. Павлушков І.В. та ін Основи вищої математики та математичної статистики. М., "ГЕОТАР-Медіа", 2006, § 3.3.