Енергія кванту. Квантова енергія Поняття кванта енергії

Деякі люди думають, що квант — це лише якась одиниця дрібних розмірів, яка жодним чином не належить до реального життя. Однак справи далеко не так. Він не лише доля заняття вчених. Квантова теорія важлива всім людей, оскільки допомагає розширити свою свідомість, значно розсовуючи межі світорозуміння і заглядаючи у його глибину. У ній вивчається як мікросвіт, так і звичайний навколишній світ, на який чудовим чином вдається подивитися зовсім по-іншому.

Концепція

Квант - це не щось незначне, що стосується лише мікросвіту. Він допомагає описати навколишню реальність, з власних станів.

Далеко не лише матерія та фізичні поля є основою нашого світу. Вони лише частка величезної квантової реальності. Тому в майбутньому ще доведеться осмислити всю глибину та широту цього простого, начебто, пояснення.

Квант - це неподільна фундаментальна одиниця енергії (quantum у перекладі з латинської означає "скільки", "кількість"), яка поглинається або віддається фізичною величиною.

Навколо ідеї розвинувся цілий напрямок, який отримав назву квантової фізики. Про неї говорять як науку майбутнього.

Квантова та класична фізика

Для більшості спочатку новий напрям здасться абсурдним та нелогічним. Але після поглибленого вивчення поняття набувають глобального сенсу. Квантова фізика з легкістю може пояснити те, що класичною не під силу.

В останній вважається, що природа незмінна незалежно від способів її опису. Але у квантовій фізиці це не так. В її основі лежать не є основою, а принцип суперпозиції. Згідно з ним, квант — це частка, яка може бути одночасно і в одному, і в іншому стані, а також у їх сумі. Тому неможливо розрахувати точно, де він перебуватиме у якийсь момент часу. Можливе лише обчислення ймовірності.

У ній будується не фізичного тіла, як завжди, а розподіл ймовірностей, що змінюються у часі.

У класичній фізиці також є ймовірність, але тільки в тому випадку, якщо дослідник не знає властивостей об'єкта. У квантовій науці є у будь-якому випадку завжди.

У класичній механіці використовуються будь-які значення швидкості та енергії. У новій – тільки такі, яким відповідає власний стан. Це звані квантовані, певні значення.

Гіпотеза Макса Планка

Тіло, яке нагріте, віддає та поглинає світло певними порціями, а не безперервно. Квант енергії — це ті мінімальні частинки, про які йдеться.

Кожна порція прямо пропорційна частоті випромінювання. p align="justify"> Коефіцієнт пропорційності був названий на честь його відкривача постійної Планка (хоча до нього деяке відношення мав і Ейнштейн). Вона дорівнює 6,6265 * 10 (-34) Дж / с.

Такою була гіпотеза, озвучена Максом Планком у 1900 році, на основі якої вдалося вирахувати закон розподілу енергії в спектрі, який добре відповідав експериментальним даним. Таким чином, квантова гіпотеза підтверджувалася. Вона стала справжньою революцією. Безліч фізиків підхопило цю гіпотезу, і так почала розвиватися квантова наука.

та квантова реальність

Далеко не лише науковим діячам-теоретикам було цікаво новий напрям. Багато містичних явищ стало можливо пояснити науково. Хоча дехто називає це «псевдонаукою».

Тим не менше, люди, які цікавилися нею, могли розширити межі свого сприйняття і побачити або відчути позамежне.

Наприклад, стало очевидним, що квант світла — це передача енергії Всесвіту до тями через просторово-часовий континіум. Адже він є випромінюванням енергії-частоти, яку називають також вогненними символами ДНК або світловими кодами. Вони надходять планету через потік енергетичної частоти. На тілі людини через систему чакр.

Свідомість та матерія – це енергія-частота. Усі почуття, думки та емоції генерують імпульси електрики, які формують світлове тіло. Здебільшого Землі є дуже низькочастотні вібрації. Але ті люди, які навчилися отримувати з Всесвіту енергію, що входить у квант випромінювання, це духовно індивіди, що розвиваються, які формують своє світлове тіло на високих частотах. Вони можуть не лише звільнитися від негативних вібрацій, що панують на планеті, а й очищати простір навколо себе, допомагаючи іншим людям перейти на новий рівень розвитку.

У всіх класичних механічних хвиль (у рідинах, газах та твердих тілах) головний параметр, що визначає енергію хвилі, – це її амплітуда (точніше, квадрат амплітуди). У разі світла амплітуда визначає інтенсивність випромінювання. Однак щодо явища фотоефекту - вибивання світлом електронів з металу - виявилося, що енергія вибитих електронів не пов'язана з інтенсивністю (амплітудою) випромінювання, а залежить тільки від його частоти. Навіть слабке блакитне світло вибиває електрони з металу, а найпотужніший жовтий прожектор не може вибити з того ж металу жодного електрона. Інтенсивність визначає, скільки буде вибито електронів, але якщо частота перевищує деякий поріг. Виявилося, що енергія в електромагнітній хвилі роздроблена на порції, які отримали назву квантів. Енергія кванта електромагнітного випромінювання фіксована і дорівнює

E = hν ,

де h= 4 · 10 -15 еВ· з= 6 · 10 -34 Дж· з- Постійна Планка, ще одна фундаментальна фізична величина, що визначає властивості нашого світу. З окремим електроном при фотоефект взаємодіє окремий квант, і якщо його енергії недостатньо, він не може вибити електрон з металу. Давня суперечка про природу світла - це хвилі або потік частинок - вирішилася на користь своєрідного синтезу. Одні явища описуються хвильовими рівняннями, а інші - уявленнями про фотони, кванти електромагнітного випромінювання, які були введені в обіг двома німецькими фізиками - Максом Планком та Альбертом Ейнштейном.

Енергію квантів у фізиці прийнято виражати в електрон-вольтах. Це позасистемна одиниця виміру енергії. Один електрон-вольт (1 еВ) дорівнює енергії, яку набуває електрон, коли розганяється електричним полем напругою 1 вольт. Це дуже невелика величина в одиницях системи Сі 1 еВ= 1,6 · 10 -19 Дж. Але в масштабах атомів та молекул електрон-вольт – цілком солідна величина.

Від енергії квантів безпосередньо залежить здатність випромінювання справляти певний вплив на речовину. Багато процесів у речовині характеризуються порогової енергією - якщо окремі кванти несуть меншу енергію, то, хоч би багато їх, вони зможуть спровокувати надпороговий процес.

Трохи забігаючи наперед, наведемо приклади. Енергії НВЧ-квантів вистачає для збудження обертальних рівнів основного електронно-коливання деяких молекул, наприклад води. Енергії у частки електрон-вольта вистачає для порушення коливальних рівнів основного стану в атомах та молекулах. Цим визначається, наприклад, поглинання інфрачервоного випромінювання атмосфері. Кванти видимого світла мають енергію 2-3 еВ- цього достатньо для порушення хімічних зв'язків та провокування деяких хімічних реакцій, наприклад, тих, що протікають у фотоплівці та сітківці ока. Ультрафіолетові кванти можуть руйнувати сильніші хімічні зв'язки, і навіть іонізувати атоми, відриваючи зовнішні електрони. Це робить ультрафіолет небезпечним для життя. Рентгенівське випромінювання може виривати з атомів електрони із внутрішніх оболонок, а також збуджувати коливання всередині атомних ядер. Гамма-випромінювання здатне руйнувати атомні ядра, а найенергійніші гамма-кванти навіть впроваджуються в структуру елементарних частинок, таких як протони та нейтрони.

квант енергії- Кількість енергії, що віддається або виходить будь-якою системою за її квантового переходу. [Збірник термінів, що рекомендуються. Випуск 79. Фізична оптика. Академія наук СРСР. Комітет науково-технічної термінології. 1970] Тематики фізична … Довідник технічного перекладача

квант енергії- energijos kvantas statusas t sritis standartizacija ir metrologija apibrėžtis mažiausias energijos kiekis, kurį isspinduliuoja arba sugeria fizikinė mikrosistema, peršokdama is vieno energijos lygmens į kitą. Energijos kvantas išreiškiamas… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

квант енергії- energijos kvantas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. quantum of energy vok. Energiequant, n rus. квант енергії, m pranc. ergon, m; quantum d’énergie, m … Fizikos terminų žodynas

Кінцева кількість енергії, до рої може бути віддано або поглинено к. л. мікросистемою у отд. акт зміни її стану. Напр., стаціонарним станам атома відповідає визнач. ряд дискретних значень енергії (квантованість енергії атома). Великий енциклопедичний політехнічний словник

Квант- (Від латів. quantum скільки) щось чисельно виміряне; певна величина. Квант енергії кінцева кількість енергії, яка випромінюється або поглинається якоюсь мікросистемою (ядерною, атомною, молекулярною) в елементарному (одиночному,… …). Початки сучасного природознавства

Квант (від латів. quantum «скільки») неподільна порція будь-якої величини у фізиці. В основі поняття лежить уявлення квантової механіки про те, що деякі фізичні величини можуть набувати лише певних значень.

КВАНТ, а, чоловік. У фізиці: найменша кількість енергії, що віддається або поглинається фізичною величиною у її нестаціонарному стані. енергії. світла. | дод. квантовий, а, ое. Квантова теорія. Квантова електроніка. К. генератор. Тлумачний словник Ожегова

- [Нім. Quant Словник іноземних слів російської мови

А; м. [від лат. quantum скільки] Фіз. 1. Найменша можлива кількість, на яку може змінюватися дискретна за своєю величиною (дія, енергія, кількість руху тощо). світлової енергії. дії (одна з основних постійних ... Енциклопедичний словник

М. Найменша можлива кількість енергії, яка може бути поглинена або віддана молекулярною, атомною або ядерною системою в окремому акті зміни її стану. Тлумачний словник Єфремової. Т. Ф. Єфремова. 2000 … Сучасний тлумачний словник Єфремової

Цей термін має й інші значення, див. Квант (значення). Модуль космічної станції СВІТ КВАНТ … Вікіпедія

Книги

• Струм. Як робити вигідні кроки без втрат, Рибаков І.. У вас в руках не біографія і не суха методичка. Це спресований досвід перемог Ігоря Рибакова – мільярдера, співзасновника компанії ТЕХНОНІКОЛЬ філантропа та венчурного інвестора. Бізнес,…

У сучасному трактуванні гіпотеза квантів стверджує, що енергія Eколивань атома або молекули може дорівнювати hν, 2 hν, 3 hν і т.д., але немає коливань з енергією в проміжку між двома послідовними цілими, кратними . Це означає, що енергія не безперервна, як вважали протягом століть, а квантується , тобто. існує лише у строго певних дискретних порціях. Найменша порція називається квантом енергії . Гіпотезу квантів можна сформулювати і як твердження про те, що на атомно-молекулярному рівні коливання відбуваються не з будь-якими амплітудами. Допустимі значення амплітуди пов'язані з частотою коливання ν .

У 1905 р. Ейнштейн висунув сміливу ідею, що узагальнювала гіпотезу квантів, і поклав її в основу нової теорії світла (квантової теорії фотоефекту). Відповідно до теорії Ейнштейна , світло з частотоюν не тільки випускається, як це передбачав Планк, а й поширюється та поглинається речовиною окремими порціями (квантами), енергія яких. Таким чином, поширення світла потрібно розглядати не як безперервний хвильовий процес, а як потік локалізованих у просторі дискретних світлових квантів, що рухаються зі швидкістю поширення світла у вакуумі ( з). Квант електромагнітного випромінювання отримав назву фотон .

Як ми вже говорили, випромінювання електронів з поверхні металу під дією падаючого на нього випромінювання відповідає уявленню про світло як про електромагнітну хвилю, т.к. Електричне поле електромагнітної хвилі впливає на електрони в металі і вириває деякі з них. Але Ейнштейн звернув увагу на те, що деталі фотоефекту, що передбачаються хвильовою теорією і фотонною (квантовою корпускулярною) теорією світла, істотно розходяться.

Отже, ми можемо виміряти енергію електрона, що вилетів, виходячи з хвильової та фотонної теорії. Щоб відповісти на питання, яка теорія краща, розглянемо деякі деталі фотоефекту.

Почнемо з хвильової теорії, і припустимо, що пластина висвітлюється монохроматичним світлом. Світлова хвиля характеризується параметрами: інтенсивністю та частотою(або довжиною хвилі). Хвильова теорія передбачає, що з зміні цих показників відбуваються такі явища:

· зі збільшенням інтенсивності світла число вибитих електронів та його максимальна енергія повинні зростати, т.к. більш висока інтенсивність світла означає більшу амплітуду електричного поля, а сильніше електричне поле вириває електрони з більшою енергією;

вибитих електронів; кінетична енергія залежить лише від інтенсивності падаючого світла.

Зовсім інше передбачає фотонна (корпускулярна) теорія. Насамперед, зауважимо, що у монохроматичному пучку всі фотони мають однакову енергію (рівну hν). Збільшення інтенсивності світлового пучка означає збільшення числа фотонів у пучку, але не позначається на їхній енергії, якщо частота залишається незмінною. Відповідно до теорії Ейнштейна, електрон вибивається з поверхні металу при зіткненні з ним окремого фотона. У цьому вся енергія фотона передається електрону, а фотон перестає існувати. Т.к. електрони утримуються в металі силами тяжіння, для вибивання електрона з поверхні металу потрібна мінімальна енергія A(яка називається роботою виходу і становить, більшість металів, величину порядку кількох электронвольт). Якщо частота ν падаючого світла мала, енергії і енергії фотона недостатньо для того, щоб вибити електрон з поверхні металу. Якщо ж , то електрони вилітають із поверхні металу, причому енергія у такому процесізберігається, тобто. енергія фотона ( hν) дорівнює кінетичній енергії електрона, що вилетів, плюс роботі з вибивання електрона з металу:

(2.3.1)

Рівняння (2.3.1) називається рівнянням Ейнштейна для зовнішнього фотоефекту.

На основі цих міркувань, фотонна (корпускулярна) теорія світла передбачає таке.

1. Збільшення інтенсивності світла означає збільшення числа фотонів, що налітають, які вибивають з поверхні металу більше електронів. Але оскільки енергія фотонів одна й та сама, максимальна кінетична енергія електрона не зміниться ( підтверджується I закон фотоефекту).

2. При збільшенні частоти падаючого світла максимальна кінетична енергія електронів лінійно зростає відповідно до формули Ейнштейна (2.3.1). ( Підтвердження II закону фотоефекту). Графік цієї залежності подано на рис. 2.3.

,

Мал. 2.3

3. Якщо частота менше критичної частоти , то вибивання електронів з поверхні не відбувається (III закон).

Отже, бачимо, що прогнози корпускулярної (фотонної) теорії сильно відрізняються від прогнозів хвильової теорії, але дуже добре збігаються з трьома експериментально встановленими законами фотоефекту.

Рівняння Ейнштейна було підтверджено дослідами Міллікена, виконаними у 1913–1914 роках. Основна відмінність від досвіду Столетова в тому, що поверхня металу піддавалася очищенню у вакуумі. Досліджувалась залежність максимальної кінетичної енергії від частоти та визначалася постійна Планка h.

У 1926 р. російські фізики П.І. Лукірський та С.С. Прилежавши для дослідження фотоефекту застосували метод сферичного вакуумного конденсатора. Анодом служили посріблені стінки скляного сферичного балона, а катодом – кулька ( R≈ 1,5 см) із досліджуваного металу, поміщеного у центр сфери. Така форма електродів дозволяла збільшити нахил ВАХ і тим самим точно визначити затримуючу напругу (а отже, і h). Значення постійної Планка h, отримане з цих дослідів, узгоджується зі значеннями, знайденими іншими методами (з випромінювання чорного тіла і короткохвильової межі суцільного рентгенівського спектру). Усе це є доказом правильності рівняння Ейнштейна, а водночас і його квантової теорії фотоефекту.

Для пояснення теплового випромінювання Планк припустив, що світло випромінюється квантами. Ейнштейн при поясненні фотоефекту припустив, що світло поглинається квантами. Також Ейнштейн припустив, що світло поширюється квантами, тобто. порціями. Квант світлової енергії отримав назву фотон . Тобто. знову дійшли поняття корпускула (частка).

Найбільш безпосереднє підтвердження гіпотези Ейнштейна дав досвід Боте, де використовувався метод збігу (рис. 2.4).

Мал. 2.4

Тонка металева фольга Фпоміщалася між двома газорозрядними лічильниками рах. Фольга висвітлювалася слабким пучком рентгенівських променів, під впливом яких вона сама ставала джерелом рентгенівських променів (це явище називається рентгенівською флуоресценцією). Внаслідок малої інтенсивності первинного пучка кількість квантів, що випускаються фольгою, була невелика. При попаданні квантів на лічильник механізм спрацьовував і на паперовій стрічці, що рухається, робилася позначка. Якби випромінювана енергія поширювалася рівномірно на всі боки, як це випливає з хвильових уявлень, обидва лічильники повинні були спрацьовувати одночасно і позначки на стрічці були б одна проти іншої. Насправді ж спостерігалося абсолютно безладне розташування позначок. Це можна пояснити лише тим, що в окремих актах випромінювання виникають світлові частки, що летять то одному, то іншому напрямку. Так було експериментально підтверджено існування спеціальних світлових частинок – фотонів.

Фотон має енергію . Для видимого світла довжина хвилі λ = 0,5 мкм та енергія Е= 2,2 еВ, для рентгенівських променів λ = мкм і Е= 0,5 еВ.

Фотон має інертну масу , яку можна знайти із співвідношення :

;

(2.3.2)

Фотон рухається зі швидкістю світла c= 3 · 10 8 м / с. Підставимо це значення швидкості у вираз для релятивістської маси:

.

Фотон - частка, що не має маси спокою. Вона може існувати тільки рухаючись зі швидкістю світла c .

Знайдемо зв'язок енергії з імпульсом фотона.

Ми знаємо релятивістський вираз імпульсу:

.

(2.3.3)

І для енергії:

.

(2.3.4)

У фізиці часто розглядається модель, в якій тіло знаходиться в термодинамічній рівновазі з власним випромінюванням. В цьому випадку прийнято говорити про «чорне тіло» і про «чорнотільне випромінювання». Поле випромінювання в середині чорного тіла однозначно визначається його температурою. Дослідження спектра чорного тіла стало початком теорії атома. Хоча випромінювання чорного тіла у сфері малих частот можна пояснити у межах класичної фізики, його повний аналіз можна здійснити лише рамках квантової теорії. Це випливає хоча б з того, що до аналітичних формул, що описують спектр чорного тіла, входить введена Планком постійна ħ . Строго кажучи, у природі абсолютно чорне тіло в чистому вигляді не існує, але його моделлю може бути замкнута порожнина з малим отвором (рис.2.1).

Спектральну щільність випромінювання чорного тіла будемо позначати Uω. Її розмірність - ерг/(див. 3 · рад/с). Зі співвідношення

(1)ω = 2π n

між круговою ω та лінійною nчастотою випливає, що Uω у 2π разів менше щільності енергії U n, Розрахованої на один герц:

U n= 2π U ω .

У теоретичних побудовах часто користуються величиною Uω , а в практичних розрахунках віддають перевагу U n. Важливу роль додатках відіграє інтенсивність випромінювання, яку для випадку чорного тіла прийнято позначати Bω і B n .

Результати спостережень часто розраховуються на одиницю довжини хвилі l, а чи не частоти. Відповідна інтенсивність позначається B l, А щільність енергії - U l. Кількість енергії у певному спектральному інтервалі, звичайно, не залежить від вибору шкали, тому U ω , U nі U lпов'язані один з одним співвідношенням

Діапазони довжин хвиль Dlта частот Dω і Dnвизначаються функціональною залежністю

(3)l = з/ n,n= 2π ω,

з якої випливає

Слід звернути увагу, що спектральні інтервали рівні модулям диференціалів відповідних змінних. Наприклад, з (2.3) випливає негативне значення похідної dl/dn, у той час як Dlі Dω суттєво позитивні величини.

Поле випромінювання всередині чорного тіла є ізотропним, тому його потік дорівнює нулю. Проте існує спеціальна модель, у якій розглядається не внутрішня область, а межа ізотропного джерела. Випромінювання кордону анізотропно і, отже, потік від неї відмінний від нуля. У рамках такої моделі справедливий відомий закон Стефана-Больцмана для повного, проінтегрованого по всьому спектру потоку випромінювання від чорного тіла: потік пропорційний до четвертого ступеня температури.

2.1. Особливості спектру випромінювання

У цьому розділі ми викладемо основні результати експериментів, на яких ґрунтується теорія чорнотільного випромінювання.

Формула Релея-Джинса

У діапазоні гранично малих частот,

іменованим областю Релея-Джинса, щільність енергії пропорційна температурі T і квадрат частоти ω:

На рис.2.1.1 ця область позначена РД. Формула Релея-Джинса може бути виведена чисто

класичним шляхом, без залучення квантових уявлень. Що температура чорного тіла, то ширше діапазон частот, у якому справедлива ця формула. Вона пояснюється в класичній теорії, але її не можна поширювати на високі частоти (пунктирна лінія на рис.2.1.1), оскільки підсумована за спектром щільність енергії в цьому випадку нескінченно велика:

Цю особливість закону Релея-Джинса називають «ультрафіолетовою катастрофою».

Формула вина.

У діапазоні великих частот (область на рис.2.1.1) справедлива формула Вина:

Добре видно, що права частина змінюється немонотонно. Якщо частота не надто велика, то переважає множник 3 і функція U ω зростає. У міру збільшення частоти зростання Uω сповільнюється, вона проходить через максимум, а потім зменшується за рахунок експоненційного множника. Наявність максимуму у спектрі випромінювання відрізняє виновський діапазон від області Релея-Джинса.

Що температура тіла, то вище гранична частота, починаючи з якої виконується формула Вина. Розмір параметра aв експоненті правої частини залежить від вибору одиниць, у яких вимірюються температура та частота. Висновок формули Вина вимагає залучення квантових поглядів на природу світла.

Закон усунення Вина

Позначимо max частоту максимуму функції Планка. Закон усунення Вина говорить, що вона пропорційна температурі, отже:

Константа у правій частині залежить від вибору одиниць частоти та температури. Крім того, вона різна для функцій B nі B l .

Закон Стефана-Больцмана.

Закон Стефана-Больцмана полягає в тому, що щільність енергії чорнотільного випромінювання, проінтегрована за всіма частотами, пропорційна четвертому ступеню температури:

Він часто використовується в астрономії щодо світності зірки за її температурою. Для цього необхідно перейти від щільності випромінювання до величини, що спостерігається - потоку. Формула для інтегрального спектру потоку випромінювання буде виведена в третьому розділі.

2.2. Число осциляторів в одиниці об'єму

Спробуємо пояснити всі наведені вище експериментальні факти. Для цього введемо уявлення про осцилятори, або про стоячі хвилі всередині деякої порожнини (наприклад, як на рис.2.1). Кількість енергії випромінювання U ω dω визначається числом осциляторів dNω в інтервалі частот (ω, ω + dω), обсягом Vпри середній енергії одного осцилятора< E>:

Перейдемо до обчислення dNω і< E >.

Число осциляторів

Підрахунок числа осциляторів ми виконаємо за методом, запропонованим Релеєм та реалізованим Джинсом. Число осциляторів dNω дорівнює кількості стоячих хвиль у обсязі, що розглядається. Підрахунок числа коливань можна виконати і термінах довжин хвиль

для інтервалу від lдо l + dlале зручніше проводити його в шкалі хвильових чисел

для інтервалу від kдо k+ dk. Розглянемо хвилі у кубі L Î L Î L. Введемо хвильовий вектор kпроекції якого на осі координат дорівнюють kx, ky, kz. Всередині об'єму, що розглядається, по кожному напрямку має вкладатися ціла кількість хвиль:

де Nx, Nyі Nz- Цілі позитивні числа. Сукупність таких значень kx, ky, kzзабезпечує наявність вузлів на гранях куба. Модуль kхвильового вектора виражається через його проекції як модуль будь-якого вектора:

Для знаходження числа осциляторів зручно скористатися простим геометричним прийомом. Виберемо Nx, Nyі Nzз формули (2.4) за координатні осі у уявному просторі чисел. На рис. 2.1 зображено частину цього простору. Кожній трійці чисел Nx, Nyі Nzцьому малюнку відповідає точка. Введемо величину

Якщо числа Nx, Nyі Nzдосить великі, то їхня функція Nзмінюватиметься майже безперервно і на рис.(2.1) зобразиться радіус-вектором. Відповідно до (2.4–6), модуль хвильового вектора однозначно виражається через N:

Звідси випливає, що кількість хвиль із модулем хвильового вектора, що лежить в інтервалі від kдо k + dk, дорівнює кількості чисел Nв інтервалі від Nдо N + dN. Останнє дорівнює числу точок, що потрапляють у шаровий шар між сферами радіусом. Nі N + dN, А саме,

Таким чином, число хвиль, або число осциляторів з величиною хвильового числа між kі k + dkта з певним напрямом поляризації в обсязі V = L 3 одно

Остання рівність справа вийшла після диференціювання (2.7). Нам залишилося помножити отриманий вираз на 2 - число незалежних напрямів поляризації випромінювання, і, скориставшись формулою (2.3), перейти до шкали частот:

З огляду на велику важливість (2.8), наведемо інший його висновок, заснований на формулі (2.3) першого розділу

для числа квантових станів dNв елементі фазового об'єму dG. Проінтегрувавши останню формулу за всіма просторовими координатами, отримаємо, що кількість квантів в обсязі Vта в елементі dpxdpydpzпростору імпульсів дорівнює V dpxdpydpz /h 3 . Тепер перейдемо до сферичних координат у просторі імпульсів

dp x dpydpz = p 2 dp sin q dj dq

і проінтегруємо по кутових змінних:

Отже, у просторі імпульсів об'єм кульового шару радіусом. pта завтовшки dpдорівнює 4π p 2 dp. За допомогою формули p=ħ ω / c перейдемо від інтервалу імпульсів фотона до діапазону частот випромінювання:

звідки слідує вираз для кількості квантів в обсязі Vта в інтервалі частот dω із заданим напрямком поляризації:

Якщо тепер зважити на наявність у фотона двох незалежних поляризацій, то знову вийде формула (2.8). Примітно, що вона не містить постійної планки. Ця обставина є вказівкою на те, що її можна отримати в рамках класичного розгляду.

Тепер обчислимо середню енергію осцилятора. Розглянемо послідовно випадки класичного та квантового осциляторів

2.3 Середня енергія класичного осцилятора

Енергія одновимірного осцилятора виражається через імпульс pта координату q:

У класичній статистиці рівноважний розподіл частинок (в даному випадку осциляторів) за енергіями визначається формулою

Тому середня енергія дорівнює

Введемо позначення

В останньому інтегралі змінні Pі Qподіляються. Після скорочення загальних множників у чисельнику та знаменнику приходимо до формули

Інтеграли в чисельнику та знаменнику обох доданків можуть бути приведені до вигляду

Бо в нашому випадку nприймає тільки два значення: 0 і 2, то підінтегральна функція (3.2) - парна і вираз для інтегралів I 0,2 можуть бути записані у вигляді

За допомогою останньої формули перепишеться вираз енергії:

Для обчислення інтегралів Inскористаємося визначенням гамма-функції

з якого випливає

Тоді інтеграли Inзапишуться у вигляді

Тепер можна виписати цікавий для нас вираз для середньої

енергії одновимірного осцилятора

Ми отримали відомий результат: у стані термодинамічної рівноваги на кожний ступінь свободи припадає енергія T/2, а сумі на один осцилятор - енергія T.

Повернемося до формули (2.1). Підставляючи в неї величину середньої енергії (3.3), отримаємо

Отже, закон Релея-Джинса виходить виходячи з класичних міркувань.

2.4 Квантовий осцилятор

Як зазначалося вище, формулу Вина не можна отримати на підставі класичних уявлень. Планку вдалося відтворити спектр випромінювання чорного тіла у всьому діапазоні частот після того, як він висловив припущення про дискретність енергетичного спектра осциляторів. Гіпотеза Планка входила у явну суперечність із уявленнями класичної фізики. Згідно Планку, випромінювання та поглинання випромінювання відбувається порціями енергії (квантами)

(4.1)ε= ħ ω,

де - частота осцилятора. Сам осцилятор знаходиться в дискретних енергетичних станах

(4.2)E = En= n ε = n ħ ω,

пронумерованих цілим невід'ємним числом

(4.3)n = 0, 1, 2, …

Таким чином, енергетичні рівні осцилятора утворюють, як кажуть, еквідистантний спектр: різниця енергії будь-яких двох сусідніх рівнів одна і та ж - ħ ω. Спектр енергії у разі є дискретний набір рівнів. Осцилятор може перебувати в кожному з цих станів, а при переходах між сусідніми станами випромінюється або поглинається енергія ħ ω.

Згідно з гіпотезою Планка, щоб знайти середню енергію одновимірного осцилятора, потрібно інтеграли (3.1) замінити сумами:

Ввівши позначення

перепишемо вираз для у вигляді:

Дільник

(4.5)B = 1 + e-x + e – 2x + e – 3x + …+e –nx + …

являє собою суму нескінченно спадної геометричної прогресії зі знаменником e –x :

Якщо продиференціювати ряд (4.5) x, то отримаємо

звідки слідує вираз для A:

Тепер легко переконатися, що потрібне ставлення A/Bодно

Отже, середня енергія кванта визначається температурою випромінювання Tта елементарною порцією енергії ħ ω:

Корисно виділити так звані числа заповнення

які є число фотонів, які припадають однією моду коливань. Тоді

Підставляючи (4.6) і (2.8) (2.1), отримаємо повний вираз для щільності енергії з урахуванням квантових ефектів:

Це остаточне вираз для формули Планка, що дає спектр випромінювання абсолютно чорного тіла у всьому діапазоні частот. Спектральний розподіл числа фотонів легко виходить із густини енергії:

Нижче будуть наведені формули для інтенсивності випромінювання та потоку від межі чорного тіла.

2.5 Приклади

В яких умовах очікується прояв квантових властивостей осциляторів? У випадку - коли малі числа заповнення. Розглянемо такі приклади.

1) Макроскопічний випадок. Частота коливань механічних приладів – пружин, маятників – по порядку величини близька до зворотної секунди: ω ~ 1 с – 1 . Відповідний квант енергії дорівнює

ε = ħ ω ~ 10 -27 ерг ~ 10 -15 еВ ~ 10 -11 До.

Енергетична щілина між рівнями вийшла настільки малою, що ні за яких досягнутих нині температура квантування таких осциляторів ми спостерігати не можемо.

2) Радіодіапазон. Довжина хвилі, на якій працює 100-метровий телескоп під Бонном, дорівнює 6 см. Частота випромінювання дорівнює ω = 2π c/ l~ 3·10 10 с –1 , а енергія кванта

ε ~ 3 · 10 -17 ерг ~ 3 · 10 -5 еВ ~ 0.3 К.

Відомо, що цей інструмент може вимірювати потоки радіовипромінювання близько 10 -28 / (Вт м - -2 Гц) в смузі частот Dnвід 200 МГц до 500 МГц. Приймемо

Dn= 300 МГц = 3 · 10 8 Гц.

Потік випромінювання у всій смузі частот дорівнює

3 · 10 -20 Вт м -2 = 3 · 10 -17 ерг см -2 з -1.

Порівнюючи цю величину з енергією кванта 10 -17 ерг, приходимо до висновку, що телескоп реєструє в середньому прихід трьох фотонів за секунду на квадратний один сантиметр. Тут можуть проявлятися квантові властивості випромінювання. Однак виникає непросте питання: як на майданчику розміром один квадратний сантиметр локалізується фотон із довжиною хвилі 6 см. Це питання ми розглянемо нижче.

3) Атом.Характерна частота в даному випадку дорівнює частоті обігу електрона навколо ядра і, згідно з наведеними вище оцінками, становить приблизно ~ 10 16 с -1 . Звідси випливає діапазон енергій:

ε ~ 10 -11 ерг ~ 10 еВ ~ 10 5 К.

І тут дискретність енергетичних рівнів є основним чинником.

2.6 Граничні випадки формули Планка

Відомості про граничні випадки великих та малих частот зібрані у таблиці. Ліворуч - низькі частоти (область Релея-Джинса), праворуч - високі (область Вина).

Велика кількість осциляторів задіяна в коливаннях	Заселення збуджених станів осцилятора експоненційно мало
U ω dω = ħ ω 3 exp(– ħ ω/ T) dω/(π 2 c 3)

Формули в останньому рядку таблиці є граничними випадками функції Планка.

2.7 Закон усунення Вина

Як ми бачили вище, щільність енергії чорного випромінювання як функція частоти при фіксованій температурі не є монотонною: вона зростає в класичному діапазоні спектру, поки енергія квантів значно менше температури, і зменшується при де

Максимум функції f W( x) припадає на значення аргументу

Оскільки e 3 ≈ 20, то максимум дійсно знаходиться у винній області спектру, причому помилка наближення (7.5) не повинна перевищувати п'яти відсотків.

Уточнимо отриману величину частоти максимуму. Для цього формулу Планка (4.7) виразимо у безрозмірній формі

Умова df/ dx= 0 призводить до трансцендентного рівняння

3(1 – e-x) = x.

Відповідно до рішення задачі про максимум функції Вина, будемо шукати корінь останнього рівняння у вигляді x=3 -δ, припускаючи мале значення? Запишемо рівняння для δ:

δ = e -3 + δ

та розкладемо експоненту eδ за малим параметром

eδ ≈ 1 + δ + δ2/2.

Рівняння з трансцендентного щодо xстає квадратним за δ:

Потрібний нам корінь дорівнює

x= 3 - δ = 2.822.

Підставляючи отримане значення xв (7.2) і виражаючи температуру в градусах Кельвіна, приходимо до формулювання закону усунення Вина в шкалі частот:

Тут довжина хвилі виражена сантиметрах.

2.8 Частота максимуму у шкалі довжин хвиль.

Вище ми згадували про два способи представлення спектральних характеристик густини енергії випромінювання: у розрахунку на одиницю частоти U ω та на одиницю довжини хвилі U

Виконавши викладки, аналогічні виконаним у попередньому розділі, для різниці

δ = 5 - x

і, відповідно,

Випишемо закон усунення Вина для розподілу спектру за довжинами хвиль:

(8.5)T· l max = 0.28979 см · До,

де температура виражена у градусах Кельвіна, а довжина хвилі – у сантиметрах.

Отже, максимум функції Планка посідає різні довжини хвиль, залежно від цього, вивчаємо ми розподіл за частотами чи з довжинам хвиль. Наприклад, Сонце світить найбільш яскраво на довжині хвилі 5500 Å, якщо вимірювання ведуться в шкалі довжин хвиль, і 8800 Å - в шкалі частот. Сприйняття світла людським оком ближче до шкали довжин хвиль. Тому в оцінках положення максимуму в спектрі випромінювання Сонця зазвичай користуються формулою (8.5). Однак, якщо ми маємо справу зі спектральним приладом, який працює в шкалі частот - наприклад, зі спектральними гратами, - то правильний результат дає (7.6).