Множення та поділ кореня n ого ступеня. Ступенева функція та коріння - визначення, властивості та формули. Рівняння х n = а

Цілі уроку:

Освітня: створити умови на формування в учнів цілісного ставлення до корені n-ого ступеня, навичок свідомого і раціонального використання властивостей кореня під час вирішення різних завдань.

Розвиваюча: створити умови у розвиток алгоритмічного, творчого мислення, розвивати навички самоконтролю.

Виховні: сприяти розвитку інтересу до предмета, активності, виховувати акуратність у роботі, вміння висловлювати власну думку, давати рекомендації.

Хід уроку

1. Організаційний момент.

Доброго дня! Добра година!

Як я рада вас бачити.

Продзвенів уже дзвінок

Починається урок.

Усміхнулися. Дорівнювали.

Один на одного подивилися

І тихенько дружно сіли.

2. Мотивація уроку.

Видатний французький філософ, учений Блез Паскаль стверджував: «Велич людини у його здатності мислити». Сьогодні ми спробуємо відчути себе великими людьми, відкриваючи знання собі. Девізом до сьогоднішнього уроку будуть слова давньогрецького математика Фалеса:

Що є найбільше у світі? - Простір.

Що найшвидше? - Розум.

Що наймудріше? – Час.

Що найприємніше? - Досягти бажаного.

Хочеться, щоб кожен із вас на сьогоднішньому уроці досягнув бажаного результату.

3. Актуалізація знань.

1. Назвіть взаємозворотні операції алгебри над числами. (Складання та віднімання, множення та поділ)

2. Чи завжди можна виконати таку операцію алгебри, як розподіл? (Ні, ділити на нуль не можна)

3. Яку ще операцію ви можете виконувати з числами? (Зведення у ступінь)

4. Яка операція їй буде зворотною? (Вилучення кореня)

5. Корінь якого ступеня ви можете отримувати? (Корінь другого ступеня)

6. Які властивості квадратного кореня ви знаєте? (Витяг квадратного кореня з твору, з приватного, з кореня, зведення в ступінь)

7. Знайдіть значення виразів:

З історії.Ще 4000 років тому вавилонські вчені склали поряд з таблицями множення та таблицями зворотних величин (за допомогою яких розподіл чисел зводилося до множення) таблиці квадратів чисел і квадратних коренів чисел. При цьому вони вміли знаходити приблизно значення квадратного кореня з будь-якого цілого числа.

4. Вивчення нового матеріалу.

Очевидно, що відповідно до основних властивостей ступенів з натуральними показниками, з будь-якого позитивного числа існує два протилежні значення кореня парного ступеня, наприклад, числа 4 і -4 є корінням квадратним з 16, так як (-4) 2 = 42 = 16, а числа 3 і -3 є корінням четвертого ступеня з 81, так як (-3) 4 = З4 = 81.

Крім того, немає кореня парного ступеня з негативного числа, оскільки парний ступінь будь-якого дійсного числа невід'ємний. Що ж до кореня непарного ступеня, то для будь-якого дійсного числа існує тільки один корінь непарного ступеня з цього числа. Наприклад, 3 є корінь третього ступеня з 27, оскільки З3 = 27, а -2 є корінь п'ятого ступеня з -32, оскільки (-2) 5 = 32.

У зв'язку з існуванням двох коренів парного ступеня з позитивного числа, введемо поняття арифметичного кореня, щоб усунути цю двозначність кореня.

Невід'ємне значення кореня n-го ступеня з невід'ємного числа називається арифметичним коренем.

Позначення: - Корінь n-го ступеня.

Число n називається ступенем арифметичного кореня. Якщо n = 2, то рівень кореня не вказується і пишеться. Корінь другого ступеня прийнято називати квадратним, а корінь третього ступеня – кубічним.

B, b2 = а, а ≥ 0, b ≥ 0

B, bп = а, п - парне а ≥ 0, b ≥ 0

п - непарне а, b - будь-які

Властивості

1. , а ≥ 0, b ≥ 0

2. , а ≥ 0, b >0

3. , а ≥ 0

4. , m, n, k - натуральні числа

5. Закріплення нового матеріалу.

Усна робота

а) Які висловлювання мають сенс?

б) При яких значеннях змінної а є сенс вираз?

Вирішити №3, 4, 7, 9, 11.

6. Фізкультхвилинка.

У всіх справах помірність потрібна,

Нехай головним правилом буде вона.

Гімнастикою займися, якщо думав довго,

Гімнастика не виснажує тіла,

Але очищає організм повністю!

Закрийте очі, розслабте тіло,

Уявіть – ви птахи, ви раптом полетіли!

Тепер в океані дельфіном пливете,

Тепер у саду яблука стиглі рветься.

Ліворуч, праворуч, довкола подивилися,

Розплющили очі, і знову за справу!

7. Самостійна робота.

Робота у парах с. 178 №1, №2.

8. Д/з.Вивчити п.10 (с.160-161), вирішити № 5, 6, 8, 12, 16(1, 2).

9. Підсумки уроку. Рефлексія діяльності.

Чи досягнув урок своєї мети?

Чого ви навчилися?

Сценарій уроку в 11 класі на тему:

Корінь n-го ступеня з дійсного числа. »

Мета уроку:Формування в учнів цілісного ставлення до корені n-ого ступеня та арифметичного корінь n-ого ступеня, формування обчислювальних навичок, навичок свідомого та раціонального використання властивостей кореня при вирішенні різних завдань, що містять радикал. Перевірити рівень засвоєння учнями теми.

Предметні:створити змістовні та організаційні умови для засвоєння матеріалу на тему «Числові та буквені вирази » на рівні сприйняття осмислення та первинного запам'ятовування; формувати вміння застосовувати дані відомості при обчисленні кореня n-го ступеня із дійсного числа;

Метопредметні:сприяти розвитку обчислювальних навичок; вміння аналізувати, порівнювати, узагальнювати, робити висновки;

Особистісні:виховувати вміння висловлювати свою думку, слухати відповіді інших, брати участь у діалозі, формувати здатність до позитивного співробітництва.

Запланований результат.

Предметні: вміти в процесі реальної ситуації застосовувати властивості кореня n-го ступеня з дійсного числа при обчисленні коренів, розв'язання рівнянь.

Особистісні: формувати уважність та акуратність у обчисленнях, вимогливе ставлення до себе та до своєї роботи, виховувати почуття взаємодопомоги.

Тип уроку: урок вивчення та первинного закріплення нових знань

Мотивація до навчальної діяльності:

Східна мудрість каже: «Можна коня привести до води, але не можна змусити його пити». І людину неможливо змусити вчитися добре, якщо вона сама не намагається дізнатися більше, не має бажання працювати над своїм розумовим розвитком. Адже знання лише тоді знання, коли вони набуті зусиллями своєї думки, а не пам'яттю.

Наш урок пройде під девізом: «Підкоримо будь-яку вершину, якщо будемо до неї прагнути». Нам з вами протягом уроку потрібно встигнути подолати кілька вершин, і кожен із вас має вкласти всі свої зусилля, щоб підкорити ці вершини.

«Сьогодні у нас урок, на якому ми повинні познайомитися з новим поняттям: «Корінь n-го ступеня» та навчитися застосовувати це поняття до перетворення різних виразів.

Ваша мета – на основі різних форм роботи активізувати наявні знання, зробити свій внесок у вивчення матеріалу та отримати хороші оцінки»
Корінь квадратний із дійсного числа ми з вами вивчали у 8 класі. Корінь квадратний пов'язаний з функцією виду y=x 2 . Хлопці, ви пам'ятаєте, як ми обчислювали коріння квадратне, і які в нього були властивості?
а) індивідуальне опитування:

що це за вираз

що називається квадратним коренем

що називається арифметичним квадратним коренем

перерахуйте властивості квадратного кореня

б) робота в парах: обчисліть.

-

2. Актуалізація знань та створення проблемної ситуації:Розв'яжіть рівняння x 4 =1 . Як ми можемо його вирішити? (Аналітично та графічно). Вирішимо його графічно. Для цього в одній системі координат збудуємо графік функції у = х 4 пряму у = 1 (рис. 164 а). Вони перетинаються у двох точках: А(-1;1) та B(1;1). Абсциси точок А та B, тобто. х 1 = -1,

х 2 = 1, є корінням рівняння х 4 = 1.
Розмірковуючи так само, знаходимо коріння рівняння х 4 = 16: А тепер спробуємо вирішити рівняння х 4 = 5; геометричні ілюстрації представлені на рис. 164 б. Зрозуміло, що рівняння має два корені x 1 і x 2 , причому ці числа, як і двох попередніх випадках, взаємно протилежні. Але для перших двох рівнянь коріння було знайдено легко (їх можна було знайти і не користуючись графіками), а з рівнянням х 4 =5 є проблеми: за кресленням ми не можемо вказати значення коренів, а можемо тільки встановити, що один корінь розташовується лівіше точки -1, а другий - правіше точки 1.

х 2 = - (читається: "корінь четвертого ступеня з п'яти").

Ми говорили про рівняння х 4 = а, де а 0. З рівним успіхом ми могли говорити і про рівняння х 4 = а де а 0, а n - будь-яке натуральне число. Наприклад, розв'язуючи графічно рівняння х 5 = 1, знаходимо х = 1 (рис. 165); вирішуючи рівняння х 5 " = 7, встановлюємо, що рівняння має один корінь х 1 , який розташовується на осі х трохи правіше точки 1 (див. рис. 165). Для числа х 1 введемо позначення .

Визначення 1.Коренем n-го ступеня з невід'ємного числа а (n = 2, 3,4, 5,...) називають таке невід'ємне число, яке при зведенні до ступеня n дає в результаті число а.

Це число позначають , а число при цьому називають підкореним числом, а число n - показником кореня.
Якщо n=2, то зазвичай не кажуть «корінь другого ступеня», а кажуть «корінь квадратний». У цьому випадку не пишуть Це той окремий випадок, який ви спеціально вивчали в курсі алгебри 8-го класу.

Якщо n = 3, то замість «корінь третього ступеня» часто кажуть «корінь кубічний». Перше знайомство із кубічним коренем у вас також відбулося в курсі алгебри 8-го класу. Ми використали кубічний корінь у курсі алгебри 9-го класу.

Отже, якщо а ≥0, n= 2,3,4,5,…, то 1) ≥ 0; 2) () n = а.

Взагалі, =b і b n =а - та сама залежність між неотрицательными числами а і b, але друга описана більш простою мовою (використовує простіші символи), ніж перша.

Операцію знаходження кореня з невід'ємної кількості називають зазвичай вилученням кореня. Ця операція є зворотною по відношенню до зведення у відповідний ступінь. Порівняйте:

Ще раз зверніть увагу: у таблиці фігурують лише позитивні числа, оскільки це обумовлено у визначенні 1. І хоча, наприклад, (-6) 6 =36 - правильна рівність, перейти від нього до запису з використанням квадратного кореня, тобто. написати, що не можна. За визначенням - позитивне число, отже = 6 (а чи не -6). Так само, хоч і 2 4 =16, т (-2) 4 =16, переходячи до знаків коріння, ми повинні написати = 2 (і в той же час ≠-2).

Іноді вираз називають радикалом (від латинського слова гаdix – «корінь»). У російській термін термінальний використовується досить часто, наприклад, «радикальні зміни» - це означає «корінні зміни». Між іншим, і саме позначення кореня нагадує про слово гаdix: символ – це стилізована літера r.

Операцію вилучення кореня визначають і негативного підкореного числа, але у разі непарного показника кореня. Іншими словами, рівність (-2) 5 = -32 можна переписати в еквівалентній формі =-2. У цьому використовується таке визначення.

Визначення 2.Коренем непарного ступеня n із негативного числа а (n = 3,5,...) називають таке негативне число, яке, будучи зведене до ступеня n, дає в результаті число а.

Це число, як і визначенні 1, позначають , число а - підкорене число, число n - показник кореня.
Отже, якщо а, n=,5,7,…, то: 1) 0; 2) () n = а.

Таким чином, корінь парного ступеня має сенс (тобто визначено) тільки для невід'ємного підкореного виразу; корінь непарної міри має сенс будь-якого підкореного висловлювання.

5. Первинне закріплення знань:

1. Обчислити: №№33.5; 33.6; 33.74 33.8 усно а); б); в); г).

г) На відміну від попередніх прикладів ми не можемо вказати точне значення числа Ясно лише, що воно більше, ніж 2, але менше, ніж 3, оскільки 24 = 16 (це менше, ніж 17), а З 4 = 81 (це більше, ніж 17). Помічаємо, що 24 набагато ближче до 17, ніж З4, тому є підстави використовувати знак наближеної рівності:
2. Знайти значення наступних виразів.

Поставити біля прикладу відповідну букву.

Невелика інформація про великого вченого. Рене Декарт (1596-1650) французький дворянин, математик, філософ, фізіолог, мислитель. Рене Декарт заклав основи аналітичної геометрії, ввів літерні позначення x2, y3. Усім відомі декартові координати, що визначають функцію змінної величини.

3 . Розв'язати рівняння: а) = -2; б) = 1; в) = -4

Рішення:а) Якщо = –2, то y = –8. Фактично обидві частини заданого рівняння ми маємо звести у куб. Отримаємо: 3х +4 = - 8; 3х = -12; х = -4. б) Розмірковуючи, як у прикладі а), зведемо обидві частини рівняння на четвертий ступінь. Отримаємо: х = 1.

в) Тут не треба зводити на четвертий ступінь, це рівняння не має рішень. Чому? Тому що згідно з визначенням 1 корінь парного ступеня – невід'ємне число.
До вашої уваги запропоновано кілька завдань. Коли ви виконаєте ці завдання, ви дізнаєтесь ім'я та прізвище великого вченого-математика. Цей учений у 1637 р. першим увів знак кореня.

6. Давайте трохи відпочинемо.

Піднімає руки клас – це «раз».

Повернулася голова – це два.

Руки вниз, вперед дивись – це три.

Руки в сторони ширше розгорнули на «чотири»,

Із силою їх до рук притиснути – це «п'ять».

Всім хлопцям треба сісти - це "шість".

7. Самостійна робота:

варіант: 2 варіант:

б) 3-. б) 12-6.

2. Розв'яжіть рівняння: а) х 4 = -16; б) 0,02 х 6 -1,28 = 0; а) х 8 = -3; б) 0,3 х 9 - 2,4 = 0;

в) = -2; в) = 2

8. Повторення:Знайдіть корінь рівняння = - х. Якщо рівняння має більше одного кореня, у відповідь впишіть менший з коренів.

9. Рефлексія:Чого ви навчилися на уроці? Що було цікаво? Що було важким?

Урок та презентація на тему: "Властивості кореня n-ого ступеня. Теореми"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 11 класу
Інтерактивний посібник для 9–11 класів "Тригонометрія"
Інтерактивний посібник для 10–11 класів "Логарифми"

Властивості кореня n-ого ступеня. Теореми

Діти, ми продовжуємо вивчати коріння n-ого ступеня з дійсного числа. Як практично всі математичні об'єкти, коріння n-ого ступеня мають деякі властивості, сьогодні ми будемо їх вивчати.
Усі властивості, які ми розглянемо, формулюються і доводяться лише для невід'ємних значень змінних, які під знаком кореня.
У разі непарного показника кореня вони виконуються для негативних змінних.

Теорема 1. Корінь n-ого ступеня з добутку двох невід'ємних чисел дорівнює добутку коріння n-ого ступеня цих чисел: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\sqrt[n]( b) $.

Давайте доведемо теорему.
Доказ. Діти, для доказу теореми давайте введемо нові змінні, позначимо:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$ \ sqrt [n] (b) = z $.
Нам треба довести, що $ x = y * z $.
Зауважимо, що виконуються такі тотожності:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Тоді виконується така тотожність: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Ступені двох невід'ємних чисел та його показники рівні, тоді й самі підстави ступенів рівні. Значить $x=y*z$, що потрібно було довести.

Теорема 2. Якщо $а≥0$, $b>0$ і n – натуральне число, яке більше 1, тоді виконується така рівність: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[ n](a))(\sqrt[n](b))$.

Тобто корінь n-ого ступеня частки дорівнює приватному коріння n-ого ступеня.

Доказ.
Для доказу скористаємось спрощеною схемою у вигляді таблиці:

Приклади обчислення кореня n-ого ступеня

приклад.
Обчислити: $ \ sqrt (16 * 81 * 256) $.
Рішення. Скористаємося теоремою 1: $ sqrt (16 * 81 * 256) = sqrt (16) * sqrt (81) * sqrt (256) = 2 * 3 * 4 = 24 $.

приклад.
Обчислити: $ \ sqrt (7 \ frac (19) (32)) $.
Рішення. Представимо підкорене вираз у вигляді неправильного дробу: $ 7 frac (19) (32) = frac (7 * 32 +19) (32) = frac (243) (32) $.
Скористаємося теоремою 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1) (2) $.

приклад.
Обчислити:
а) $ \ sqrt (24) * \ sqrt (54) $.
б) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Рішення:
а) $ \ sqrt (24) * \ sqrt (54) = \ sqrt (24 * 54) = \ sqrt (8 * 3 * 2 * 27) = \ sqrt (16 * 81) = \ sqrt (16) * \ sqrt (81) = 2 * 3 = 6 $.
б) $ frac (sqrt (256)) ( sqrt (4)) = sqrt (frac (256) (4)) = sqrt (64) = 24 $.

Теорема 3. Якщо $a≥0$, k і n – натуральні числа більше 1, то справедлива рівність: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

Щоб звести корінь у натуральний ступінь, достатньо звести у цей ступінь підкорене вираз.

Доказ.
Давайте розглянемо окремий випадок для $k=3$. Скористаємося теоремою 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a * a) = \ sqrt [n] (a ^ 3) $.
Також можна довести і для будь-якого іншого випадку. Діти, доведіть самі для випадку, коли $k=4$ і $k=6$.

Теорема 4. Якщо $a≥0$ b n,k – натуральні числа більші 1, то справедлива рівність: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

Щоб витягти корінь з кореня, достатньо перемножити показники коріння.

Доказ.
Доведемо знову стисло, використовуючи таблицю. Для доказу скористаємося спрощеною схемою у вигляді таблиці:

приклад.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

Теорема 5. Якщо показники кореня та підкореного виразу помножити на одне й те саме натуральне число, то значення кореня не зміниться: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a)$.

Доказ.
Принцип доказу нашої теореми такий самий, як і в інших прикладах. Введемо нові змінні:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (за визначенням).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (за визначенням).
Остання рівність зведемо в ступінь p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Отримали:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Тобто $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, що потрібно було довести.

Приклади:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (розділили показники на 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (розділили показники на 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (помножили показники на 3).

приклад.
Виконати дії: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Рішення.
Показники коренів - це різні числа, тому ми можемо скористатися теоремою 1, але застосувавши теорему 5, ми можемо отримати рівні показники.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (помножили показники на 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (помножили показники на 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

Завдання для самостійного вирішення

1. Обчислити: $ \ sqrt (32 * 243 * 1024) $.
2. Обчислити: $ \ sqrt (7 \ frac (58) (81)) $.
3. Обчислити:
а) $ sqrt (81) * sqrt (72) $.
б) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Спростити:
а) $ sqrt (sqrt (a)) $.
б) $ \ sqrt ( \ sqrt (a)) $.
в) $ \ sqrt ( \ sqrt (a)) $.
5. Виконати дії: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Коріньn-й ступеня та його властивості

Що таке коріньn-й ступеня? Як отримати корінь?

У восьмому класі ви вже встигли познайомитись із квадратним коренем. Вирішували типові приклади з корінням, застосовуючи ті чи інші властивості коренів. Також вирішували квадратні рівняння, Де без вилучення квадратного кореня - ніяк. Але квадратний корінь – це окремий випадок ширшого поняття – кореня n -го ступеня . Крім квадратного, буває, наприклад, кубічний корінь, корінь четвертого, п'ятого і більш високих ступенів. І для успішної роботи з таким корінням непогано б все-таки для початку бути на «ти» з корінням квадратним.) Тому у кого проблеми з ними – настійно рекомендую повторити.

Вилучення кореня – це з операцій, зворотних зведенню в ступінь.) Чому «одна з»? Тому що, витягуючи корінь, ми шукаємо підставаза відомими ступеня та показником. А є ще одна зворотна операція – знаходження показниказа відомими ступеня та основи.Така операція називається знаходженням логарифму.Вона складніша, ніж вилучення кореня і вивчається у старших класах.)

Отже, знайомимося!

По-перше, позначення. Квадратний корінь, як ми знаємо, позначається так: . Називається цей значок дуже красиво та науково – радикал. А як позначають коріння інших ступенів? Дуже просто: над «хвостиком» радикалу додатково пишуть показник того ступеня, корінь якого шукається. Якщо шукається кубічний корінь, пишуть трійку: . Якщо корінь четвертого ступеня, то відповідно . І так далі.) У загальному вигляді корінь n-го ступеня позначається так:

Де.

Числоa , як і в квадратному корінні, називається підкореним виразом , а ось числоn для нас тут нове. І називається показником кореня .

Як видобувати коріння будь-яких ступенів? Так само, як і квадратні - збагнути, яке число в n-му ступені дає нам числоa .)

Як, наприклад, витягти кубічний корінь із 8? Тобто? А яке число у кубі дасть нам 8? Двійка, звичайно.) Ось і пишуть:

Або. Яке число четвертою мірою дає 81? Трійка.) Значить,

А корінь десятого ступеня з першого? Ну, їжу зрозуміло, що одиниця в будь-якій мірі (у тому числі і в десятій) дорівнює одиниці.

І взагалі.

З нулем та ж історія: нуль у будь-якій натуральній мірі дорівнює нулю. Отже, .

Як бачимо, порівняно з квадратним корінням, тут вже складніше думати, яке число тією чи іншою мірою дає нам підкорене числоa . Складніше підбиративідповідь та перевіряти його на правильність зведенням у ступіньn . Ситуація істотно полегшується, якщо знати особу ступеня популярних чисел. Тому зараз – тренуємось. :) Розпізнаємо ступені!)

Відповіді (безладно):

Так-так! Відповідей більше, ніж завдань.) Тому, що, наприклад, 2 8 , 4 4 і 16 2 – це одне й те число 256.

Потренувались? Тоді вважаємо примірники:

Відповіді (теж безладно): 6; 2; 3; 2; 3; 5.

Вийшло? Чудово! Рушаємося далі.)

Обмеження у корінні. Арифметичний коріньn-й ступеня.

У коренях n-го ступеня, як і в квадратних, теж є свої обмеження та свої фішки. За своєю суттю, вони нічим не відрізняються від таких обмежень для квадратного коріння.

Адже не підбирається, так? Що 3, що -3 четвертою мірою буде +81. :) І з будь-яким коренем парноїступеня із негативного числа буде та ж пісня. А це означає, що видобувати коріння парного ступеня з негативних чисел не можна . Це заборонена дія у математиці. Таке ж заборонене, як і поділ на нуль. Тому такі висловлювання, як і тому подібні – не мають сенсу.

Зате коріння непарнийступеня з негативних чисел – будь ласка!

Наприклад, ; , і так далі.)

А з позитивних чисел можна зі спокійною душею отримувати будь-яке коріння, будь-яких ступенів:

Загалом, зрозуміло, думаю.) І, до речі, корінь не повинен витягуватися рівно. Це просто приклади такі, чисто для розуміння.) Буває, що в процесі розв'язання (наприклад, рівнянь) випливає і досить погане коріння. Що-небудь типу. З вісімки кубічний корінь витягується добре, а тут під коренем сімка. Що робити? Нічого не страшного. Все так само.- Це число, яке при зведенні в куб дасть нам 7. Тільки число це дуже негарне і кошлате. Ось воно:

Причому це число ніколи не закінчується і не має періоду: цифри йдуть абсолютно безладно. Ірраціональне воно ... У таких випадках відповідь так і залишають у вигляді кореня.) А от якщо корінь витягується чисто (наприклад, ), то, природно, треба порахувати корінь і записати:

Знову беремо наше піддослідне число 81 і витягаємо з нього корінь четвертого ступеня:

Бо три в четвертій буде 81. Ну, добре! Але ж і мінус триу четвертій теж буде 81!

Виходить неоднозначність:

І, щоб її усунути, так само, як і в квадратному корінні, ввели спеціальний термін: арифметичний коріньn-й ступеня з числа a – це таке невід'ємнечисло,n-я ступінь якого дорівнює a .

А відповідь із плюсом-мінусом називається по-іншому – алгебраїчний коріньn-го ступеня. Будь-який парний ступінь алгебраїчного коріння буде два протилежні числа. У школі ж працюють тільки з арифметичним корінням. Тому негативні числа в арифметичному корінні просто відкидаються. Наприклад, пишуть: . Сам плюс, звичайно, не пишуть: його мають на увазі.

Все, здавалося б, просто, але ... А як же бути з корінням непарного ступеня з негативних чисел? Адже там завжди при витягуванні виходить негативне число! Оскільки будь-яке негативне число в непарного ступенятакож дає негативне число. А арифметичний корінь працює лише з невід'ємними числами! На те він і арифметичний.

У такому корінні роблять ось що: виносять мінус з-під кореня і ставлять перед коренем. Ось так:

У таких випадках кажуть, що виражений через арифметичний (тобто вже невід'ємний) корінь .

Але є один пункт, який може вносити плутанину, – це вирішення простих рівнянь зі ступенями. Наприклад, ось таке рівняння:

Пишемо відповідь: . Насправді, ця відповідь – всього лише скорочений запис двох відповідей:

Незрозумілість тут полягає в тому, що трохи вище я вже написав, що в школі розглядаються тільки невід'ємне (тобто арифметичне) коріння. А тут одна з відповідей із мінусом… Як бути? Та ніяк! Знаки тут – це результат вирішення рівняння. А сам корінь- Величина все одно невід'ємна! Дивіться самі:

Ну як, тепер зрозуміліше? З дужками?)

З непарним ступенем все набагато простіше - там завжди виходить одинкорінь. З плюсом чи з мінусом. Наприклад:

Отже, якщо ми простовилучаємо корінь (парного ступеня) з числа, то ми завжди отримуємо одинневід'ємний результат. Тому що це арифметичний корінь. А от якщо ми вирішуємо рівнянняз парним ступенем, то ми отримуємо два протилежні корені, оскільки це – рішення рівняння.

З корінням непарних ступенів (кубічними, п'ятого ступеня тощо) проблем жодних. Виймаємо собі і не паримемося зі знаками. Плюс під корінням – отже, і результат вилучення з плюсом. Мінус – значить, мінус.

А тепер настала черга познайомитися зі властивостями коренів. Деякі вже будуть нам знайомі за квадратним корінням, але додасться і кілька нових. Поїхали!

Властивості коріння. Корінь із твору.

Ця властивість вже знайома нам із квадратного коріння. Для коріння інших ступенів все аналогічно:

Тобто, корінь із твору дорівнює добутку коріння з кожного множника окремо.

Якщо показникn парний, то обидва підкорені числаa іb повинні бути, звісно, ​​неотрицательными, інакше формула сенсу немає. У разі непарного показника обмежень ніяких немає: виносимо мінуси з-під коріння вперед і далі працюємо з арифметичним корінням.

Як і в квадратному корінні, тут ця формула однаково корисна як зліва направо, так і праворуч наліво. Застосування формули зліва направо дозволяє видобувати коріння з твору. Наприклад:

Ця формула, до речі, справедлива не тільки для двох, а для будь-якого числа множників. Наприклад:

Також за цією формулою можна добувати коріння з великих чисел: для цього число під коренем розкладається на менші множники, а далі витягуються корені окремо з кожного множника.

Наприклад, таке завдання:

Число досить велике. Чи витягується з нього корінь рівно– також без калькулятора незрозуміло. Добре було б його розкласти на множники. На що точно поділяється число 3375? На 5, схоже: остання цифра – п'ятірка.

Ой знову на 5 ділиться! 675:5 = 135. І 135 знову на п'ятірку ділиться. Та коли ж це скінчиться!)

135:5 = 27. З числом 27 все вже зрозуміло – це трійка у кубі. Значить,

Тоді:

Вийняли корінь по шматочках, ну і гаразд.)

Або такий приклад:

Знову розкладаємо на множники за ознаками подільності. Яким? на 4, т.к. остання парочка цифр 40 – ділиться на 4. І 10, т.к. остання цифра – нуль. Отже, можна поділити одним махом одразу на 40:

Про число 216 ми вже знаємо, що це шістка у кубі. Отже,

А 40, своєю чергою, можна розкласти як . Тоді

І тоді остаточно отримаємо:

Чисто витягти корінь не вийшло, та й нічого страшного. Все одно ми спростили вираз: ми ж знаємо, що під коренем (хоч квадратним, хоч кубічним - будь-яким) прийнято залишати найменше з можливих.) У цьому прикладі ми проробили одну дуже корисну операцію, теж вже знайому нам із квадратного коріння. Дізнаєтесь? Так! Ми винеслимножники з-під кореня. У цьому вся прикладі ми винесли двійку і шістку, тобто. Число 12.

Як винести множник за знак кореня?

Винести множник (або множники) за знак кореня дуже легко. Розкладаємо підкорене вираз на множники і витягаємо те, що витягується.) А що не вилучається – так і залишаємо під коренем. Дивіться:

Розкладаємо число 9072 на множники. Так як у нас корінь четвертого ступеня, в першу чергу пробуємо розкласти на множники, що є четвертим ступенем натуральних чисел - 16, 81 і т.д.

Спробуємо поділити 9072 на 16:

Поділилося!

А ось 567, схоже, ділиться на 81:

Отже, .

Тоді

Властивості коріння. Розмноження коренів.

Розглянемо тепер зворотне застосування формули – справа наліво:

На перший погляд, нічого нового, але зовнішність оманлива. Зворотне застосування формули значно розширює наші можливості. Наприклад:

Хм, та й що тут такого? Помножили й усе. Тут і справді нічого особливого. Звичайне множення коренів. А ось такий приклад!

Окремо з множників коріння чисто не витягується. Зате з результату – чудово.)

Знову ж таки формула справедлива для будь-якого числа множників. Наприклад, треба порахувати такий вираз:

Тут головне – увага. У прикладі присутні різнікоріння – кубічні та четвертого ступеня. І жоден з них точно не витягується.

А формула добутку коренів застосовна лише до коренів з однаковимипоказниками. Тому згрупуємо в окрему купку кубічне коріння і в окрему - четвертому ступені. А там, дивишся, все й зросте.))

І калькулятора не знадобилося.)

Як зробити множник під знак кореня?

Наступна корисна річ – внесення числа під корінь. Наприклад:

Чи можна забрати трійку всередину кореня? Елементарно! Якщо трійку перетворити на корінь, то спрацює формула добутку коріння. Отже, перетворюємо трійку на корінь. Раз у нас корінь четвертого ступеня, то й перетворюватимемо теж на корінь четвертого ступеня.) Ось так:

Тоді

Корінь, між іншим, можна зробити з будь-якого негативного числа. Причому того ступеня, який хочемо (все від конкретного прикладу залежить). Це буде корінь з n-го ступеня цього числа:

А тепер – увага!Джерело дуже грубих помилок! Я не дарма тут сказав про невід'ємнічисла. Арифметичний корінь працює лише з такими. Якщо у нас у завданні десь затесалося негативне число, то або мінус так і залишаємо, перед коренем (якщо він зовні), або позбавляємося мінуса під коренем, якщо він усередині. Нагадую, якщо під корінням парноїступеня виходить негативне число, то вираз не має сенсу.

Наприклад, таке завдання. Внести множник під знак кореня:

Якщо ми зараз внесемо під корінь мінусдва, то жорстоко помилимося:

У чому тут помилка? А в тому, що четвертий ступінь, через свою парність, благополучно «з'їв» цей мінус, внаслідок чого свідомо негативне число перетворилося на позитивне. А вірне рішення виглядає так:

У корінні непарних ступенів мінус хоч і не «з'їдається», але його теж краще залишати зовні:

Тут корінь непарного ступеня – кубічний, і ми маємо повне право мінус також загнати під корінь. Але краще в таких прикладах мінус також залишати зовні і писати відповідь вираженим через арифметичний (ненегативний) корінь, оскільки корінь хоч і має право на життя, але арифметичним не є.

Отже, із внесенням числа під корінь теж все ясно, я сподіваюся.) Переходимо до наступної властивості.

Властивості коріння. Корінь із дробу. Поділ коріння.

Ця властивість також повністю повторює таку для квадратного коріння. Тільки тепер ми його розповсюджуємо на корені будь-якого ступеня:

Корінь із дробу дорівнює кореню із чисельника, поділеному на корінь із знаменника.

Якщо n парно, то числоa має бути невід'ємним, а числоb - Суворо позитивним (на нуль ділити не можна). У разі непарного показника єдиним обмеженням буде.

Ця властивість дозволяє легко і швидко добувати коріння з дробів:

Ідея зрозуміла, гадаю. Замість роботи з дробом цілком ми переходимо до роботи окремо з чисельником і окремо зі знаменником.) Якщо дріб десятковий або, жах, змішане число, то попередньо переходимо до звичайних дробів:

А тепер подивимося, як ця формула працює праворуч наліво. Тут також виявляються дуже корисні можливості. Наприклад, такий приклад:

З числа і знаменника коріння рівно не витягуються, зате з усього дробу – прекрасно.) Можна вирішити цей приклад і по-іншому – винести в чисельнику множник з-під кореня з наступним скороченням:

Як вам завгодно. Відповідь завжди вийде одна – правильна. Якщо помилок не наляпати дорогою.)

Отже, з множенням/розподілом коренів розібралися. Піднімаємось на наступну сходинку та розглядаємо третю властивість – корінь у ступені і корінь зі ступеня .

Корінь у ступені. Корінь зі ступеня.

Як звести корінь у ступінь? Наприклад, нехай ми маємо число . Чи можна це число звести в ступінь? У куб, наприклад? Звісно! Помножити корінь сам на себе три рази, і за формулою добутку коріння:

Тут корінь та ступінь як бивзаємознищилися чи компенсувалися. Справді, якщо ми число, яке при зведенні в куб дасть нам трійку, зведемо в цей куб, то що отримаємо? Трійку і отримаємо, ясна річ! І так буде для будь-якого негативного числа. Загалом:

Якщо показники ступеня та кореня різні, то теж жодних проблем. Якщо знати властивості ступенів.)

Якщо показник ступеня менший за показник кореня, то просто заганяємо ступінь під корінь:

Загалом буде:

Ідея зрозуміла: зводимо в ступінь підкорене вираз, а далі спрощуємо, виносячи множники з-під кореня, якщо це можливо. Якщоn парно, тоa має бути невід'ємним. Чому – зрозуміло, думаю.) А якщоn непарно, то жодних обмежень наa вже немає:

Розберемося тепер з корінням зі ступеня . Тобто, у ступінь зводитиметься вже не сам корінь, а підкорене вираз. Тут теж нічого складного, але простору для помилок значно більше. Чому? Тому що в гру входять негативні числа, які можуть вносити плутанину у знаках. Поки почнемо з коріння непарних ступенів – вони набагато простіші.

Нехай у нас є число 2. Чи можна його звести в куб? Звісно!

А тепер – назад витягнемо з вісімки кубічний корінь:

З двійки почали, до двійки і повернулися.) Нічого дивного: зведення в куб скомпенсувалося зворотною операцією - вилученням кубічного кореня.

Інший приклад:

Тут також все шляхом. Ступінь і корінь один одного компенсували. Загалом для коренів непарних ступенів можна записати таку формулку:

Ця формула справедлива для будь-якого дійсного числаa . Хоч позитивного, хоч негативного.

Тобто непарний ступінь і корінь цього ж ступеня завжди один одного компенсують і виходить підкорене вираз. :)

А ось з парноїступенем цей фокус може не пройти. Дивіться самі:

Тут поки що нічого особливого. Четвертий ступінь і корінь четвертого ж ступеня теж один одного врівноважили і вийшла просто двійка, тобто. підкорене вираз. І для будь-кого невід'ємногочисла буде те саме. А тепер лише замінимо в цьому корені два на мінус два. Тобто порахуємо ось такий корінь:

Мінус у двійки благополучно «згорів» через четвертий ступінь. І в результаті отримання кореня (арифметичного!) ми отримали позитивнечисло. Було мінус два, стало плюс два.) А от якби ми просто бездумно скоротили ступінь і корінь (однакові ж!), то отримали б

Що є грубою помилкою, так.

Тому для парногопоказника формула кореня зі ступеня виглядає так:

Тут додався нелюбимий багатьма знак модуля, але в ньому нічого страшного немає: завдяки йому, формула також працює для будь-якого дійсного числаa. І модуль просто відсікає мінуси:

Тільки коріння n-го ступеня з'явилося додаткове розмежування на парні і непарні ступеня. (парні ступеня, як ми бачимо, більш примхливі, так.)

А тепер розглянемо нову корисну і дуже цікаву властивість, вже характерну саме для коренів n-го ступеня: якщо показник кореня і показник ступеня підкореного виразу помножити (розділити) на те саме натуральне число, то значення кореня не зміниться.

Чимось нагадує основну властивість дробу, чи не так? У дробах ми теж чисельник і знаменник можемо множити (ділити) одне й те число (крім нуля). Насправді, це властивість коренів – також наслідок основної якості дробу. Коли ми познайомимося зі ступенем із раціональним показником, Все стане ясно. Що, як і звідки.)

Пряме застосування цієї формули дозволяє нам спрощувати вже будь-яке коріння з будь-яких ступенів. У тому числі, якщо показники ступеня підкореного виразу та самого кореня різні. Наприклад, треба спростити такий вираз:

Поступаємо просто. Виділяємо для початку під корінням четвертий ступінь з десятого і – вперед! Як? За властивостями ступенів, зрозуміло! Виносимо множник з-під кореня або працюємо за формулою кореня зі ступеня.

А ось спростимо, використовуючи якраз цю властивість. Для цього четвірку під коренем уявимо як:

І тепер – найцікавіше – скорочуємо подумкипоказник під коренем (двійку) з показником кореня (четвіркою)! І отримуємо: