Решение систем уравнений. Примеры систем линейных уравнений: метод решения С помощью подстановки решается уравнение

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Метод подстановки позволяет легко решить системы линейных уравнений любой сложности. Суть метода заключается в том, что, используя первое выражение системы, мы выражаем "у", а далее производим подстановку полученного выражения во второе уравнение системы вместо "у". Поскольку уравнение уже содержит не два неизвестных, а только одно, то мы легко находим значение этой переменной, а затем с ее помощью определяем значение второй.

Допустим, дана система линейных уравнений следующего вида:

\[\left\{\begin{matrix} 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \end{matrix}\right.\]

Выразим \

\[\left\{\begin{matrix} 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \end{matrix}\right.\]

Выполним подстановку полученного выражения во 2 уравнение:

\[\left\{\begin{matrix} y=3x-10\\ x+4(3x-10)-12=0 \end{matrix}\right.\]

Найдем значение \

Упростим и решим уравнение с помощью открытия скобок и учета правил переноса членов:

Теперь нам известно значение \ Используем это для нахождения значения \

Ответ: \[(4;2).\]

Где можно решить систему уравнений онлайн методом подстановки?

Решить систему уравнений вы можете на нашем сайте . Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте.

Решение систем уравнений методом подстановки

Вспомним, что такое система уравнений.

Система двух уравнений с двумя переменными - это записанные друг под другом два уравнения, объединённые фигурной скобкой. Решить систему - это значит найти такую пару чисел, которая будет являться решением и первого, и второго уравнения одновременно.

В этом уроке познакомимся с таким способом решения систем, как способподстановки.

Давайте рассмотрим систему уравнений:

Можно решить эту систему графически. Для этого нам надо будет построить в одной системе координат графики каждого из уравнений, преобразовав их к виду:

Затем найти координаты точки пересечения графиков, которые и будут являться решением системы. Но графический способ далеко не всегда удобен, т.к. отличается малой точностью, а то и вовсе недоступностью. Попробуем рассмотреть нашу систему повнимательнее. Теперь она имеет вид:

Можно заметить, что левые части уравнений равны, а значит, должны быть равны и правые. Тогда мы получим уравнение:

Это знакомое нам уравнение с одной переменной, которое мы решать умеем. Перенесём неизвестные слагаемые в левую часть, а известные - в правую, не забыв поменять знаки +,- при переносе. Получим:

Теперь подставим найденное значение х в любое уравнение системы и найдём значение у. В нашей системе удобнее использовать второе уравнение у = 3 - х, после подстановки получим у = 2. А теперь проанализируем выполненную работу. Сначала мы в первом уравнении выразили переменную у через переменную х. Затем полученное выражение - 2х + 4 подставили во второе уравнение вместо переменной у. Потом решили полученное уравнение с одной переменной х и нашли ее значение. И в заключении использовали найденное значение х для нахождения другой переменной у. Тут возникает вопрос: а обязательно ли было выражать переменную у из обоих уравнений сразу? Конечно нет. Мы могли выразить одну переменную через другую только в одном уравнении системы и использовать его вместо соответствующей переменной во втором. Причём выразить можно любую переменную из любого уравнения. Здесь выбор зависит исключительно из удобства счёта. Подобный порядок действий математики назвали алгоритмом решения систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки.Вот как он выглядит.

1.Выразить одну из переменных через другую в одном из уравнений системы.

2.Подставить полученное выражение вместо соответствующей переменной в другое уравнение системы.

3.Решить полученное уравнение с одной переменной.

4.Найденное значение переменной подставить в выражение, полученное в пункте первом, и найти значение другой переменной.

5.Записать ответ в виде пары чисел, которые были найдены на третьем и четвертом шаге.

Давайте рассмотрим ещё один пример. Решить систему уравнений:

Здесь удобнее выразить переменную у из первого уравнения. Получим у = 8 - 2х. Полученное выражение надо подставить вместо у во второе уравнение. Получим:

Выпишем это уравнение отдельно и решим его. Сначала раскроем скобки. Получим уравнение 3х - 16 + 4х = 5. Соберём неизвестные слагаемые в левой части уравнения, а известные - в правой и приведём подобные слагаемые. Получим уравнение 7х = 21, отсюда х = 3.

Теперь, используя найденное значение х, можно найти:

Ответ: пара чисел (3; 2).

Таким образом, на этом уроке мы научились решать системы уравнений с двумя неизвестными аналитическим, точным способом, не прибегая к сомнительному графическому.

Список использованной литературы:

1. Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007.
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007.
3. Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008.
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011.
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010.

В данном случае удобно из второго уравнения системы выразить x через y и подставить полученное выражение вместо x в первое уравнение:

Первое уравнение — уравнение с одной переменной y. Решаем его:

5(7-3y)-2y = -16

Полученное значение y подставляем в выражение для x:

Ответ: (-2; 3).

В данной системе проще из первого уравнения выразить y через x и подставить полученное выражение вместо y во второе уравнение:

Второе уравнение — уравнение с одной переменной x. Решим его:

3x-4(-1,5-3,5x)=23

В выражение для y вместо x подставляем x=1 и находим y:

Ответ: (1; -5).

Здесь удобнее из второго уравнения выразить y через x (поскольку делить на 10 проще, чем на 4, -9 или 3):

Решаем первое уравнение:

4x-9(1,6-0,3x)= -1

4x-14,4+2,7x= -1

Подставляем x=2 и находим y:

Ответ: (2; 1).

Прежде чем применить метод подстановки, эту систему следует упростить. Обе части первого уравнения можно умножить на наименьший общий знаменатель, во втором уравнении раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

Получили систему линейных уравнений с двумя переменными. Теперь применим подстановку. Удобно из второго уравнения выразить a через b:

Решаем первое уравнение системы:

3(21,5 + 2,5b) — 7b = 63

Осталось найти значение a:

Согласно правилам оформления, ответ записываем в круглых скобках через точку с запятой в алфавитном порядке.

Ответ: (14; -3).

Выражая одну переменную через другую, иногда удобнее оставлять её с некоторым коэффициентом.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Место урока в системе уроков: третий урок изучения темы “Системы двух линейных уравнений с двумя переменными”

Тип урока: изучения новых знаний

Образовательная технология: развитие критического мышления через чтение и письмо

Метод обучения: исследование

Цели урока: освоить еще один способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными - способом сложения

Задачи:

• предметные : формирование практических навыков в решении систем линейных уравнений способом подстановки;
• метапредметные : развивать мышление, сознательное восприятие учебного материала;
• личностные : воспитание познавательной активности, культуры общения и привитие интереса к предмету.

В результате ученик:

• Знает определение системы линейных уравнений с двумя переменными;
• Знает, что значит решить систему линейных уравнений с двумя переменными;
• Умеет записывать систему линейных уравнений с двумя переменными;
• Понимает, сколько решений может иметь система линейных уравнений с двумя переменными;
• Умеет определять, имеет ли система решения, и если имеет, то сколько;
• Знает алгоритм решения систем линейных уравнений способом подстановки, алгебраического сложения, графическим способом.

Проблемный вопрос: “Как решить систему линейных уравнений с двумя переменными?”

Ключевые вопросы: Как и зачем мы используем уравнения в жизни?

Оборудование: презентация; мультимедийный проектор; экран; компьютер, рабочая тетрадь по алгебре: 7 класс: к учебнику А.Г. Мордковича и др. “Алгебра – 7” 2012 г.

Ресурсы (откуда берется информация по теме: книги, учебники, Интернет и т.д.): учебник “Алгебра – 7” 2012г., А.Г. Мордкович

Формы организации учебной деятельности учащихся (групповая, парно-групповая, фронтальная и т.д.): индивидуальная, частично фронтальная, частично парная

Критерии оценивания:

• А – знание и понимание +
• В – применение и рассуждение
• С – сообщение +
• D – рефлексия и оценка

Области взаимодействия:

• ATL - Уметь эффективно использовать время, планировать свою деятельность в соответствии с поставленными целями и задачами, определять наиболее рациональную последовательность деятельности. Умение отвечать на вопросы, приводить доводы, аргументировать. Уметь анализировать и оценивать собственную учебно-познавательную деятельность, находить пути решения проблем.
• HI учащиеся исследуют последствия деятельности человека

Ход урока

I. Организация урока

II. Проверка самоподготовки

a) № 12.2(б, в).

Ответ:(5; 3). Ответ:(2; 3).

Ответ: (4;2)

Выразите одну переменную через другую:

• p = р /(g * h) – плотность жидкости
• р = g * p * h - давление жидкости на дно сосуда
• h = р /(g * p) – высота
• p = m / V - плотность
• m = V * p -масса
• p = m / V – плотность

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки:

1. Выразить y через x из первого (или второго) уравнения системы.
2. Подставить полученное на первом шаге выражение вместо y во второе (первое) уравнение системы.
3. Решить полученное на втором шаге уравнение относительно х.
4. Подставить найденное на третьем шаге значение x в выражение y через x, полученное на первом шаге.
5. Записать ответ в виде пары значений (x; y), которые были найдены соответственно на третьем и четвёртом шагах.

Самостоятельная работа:

В рабочей тетради стр. 46 – 47.

• на “3” № 6(а);
• на “4” № 6(б);
• на “5” № 7.

III. Актуализация опорных знаний

Что такое система линейных уравнений с двумя переменными?

Система уравнений - это два или несколько уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения.

Что является решением системы уравнений с двумя переменными?

Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют пару чисел (x,y) такую, что если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

Сколько решений может иметь система линейных уравнений с двумя переменными?

Если угловые коэффициенты равны, то прямые параллельны, корней нет.

Если угловые коэффициенты не равны, то прямые пересекаются, один корень (координаты точки пересечения).

Если угловые коэффициенты равны, то прямые совпадают, корень бесконечно много.

IV. Изучение нового материала

Заполни пропуски: Приложение 1 (с последующей самопроверкой по слайдам)

V. Работа по теме урока

В классе: №№ 13.2(а, г),13.3(а, г).

VI. Домашнее задание

Параграф 13 - учебник; словарь; № 13.2(б, в), 13.3(б, в).

VII. Итог урока

• Ура!!! Мне всё понятно!
• Есть моменты, над которыми мне надо поработать!
• Были неудачи, но я все преодолею!

VIII. Решение задач на военную составляющую

Основной боевой танк Т-80.

Принят на вооружение в 1976 году. Первый в мире серийный танк с основной силовой установкой на базе газотурбинного двигателя.

Основные тактико-технические данные (ТТД):

Масса, т – 46

Скорость, км/ч – 70

Запас хода, км – 335-370

Вооружение: 125-мм гладкоствольное орудие (боекомплект 40 шт.);

12,7-мм пулемет (боекомплект 300 шт.);

7,62-мм пулемет ПКТ (боекомплект 2000 шт.)

Сколько времени может находиться в движении танк Т-80 без дозаправки?

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.