كيفية بناء توقعات للنقاط في رسم معقد. عرض رسومي لنقطة في رسم معقد. الموضع النسبي للنقاط في الفضاء

بناء رسومات معقدة للنقاط: أ(15,30,0), الخامس(30,25,15), مع(30,10,15), د(15,30,20)

نقسم حل المشكلة إلى أربع مراحل.

1. أ(15,30,0); x أ= 15 ملم ; ذ أ= 30 ملم ؛ ضأ= 0.

ما رأيك إذا كانت النقطة أتنسيق ض أ= 0 ، إذن ما هو الموقع الذي تشغله في الفضاء؟

يبدو وكأنه رسم معقد لنقطة أتآمر في إحداثيات معينة

إذا كان هناك إحداثي واحد يساوي صفرًا ، فإن النقطة تنتمي إلى أحد مستويات الإسقاط. في هذه الحالة ، النقطة ليس لها ارتفاع: ض= 0 ، ومن هنا جاءت النقطة أتقع في الطائرة ص 1.

في رسم معقد ، الأصل (أي النقطة نفسها أ) ليست مصورة ، هناك فقط توقعاتها.

2. الخامس(30،25،15) و مع(30,10,15).

في المرحلة الثانية ، دعنا نجمع بين بناء نقطتين.

× ب= 30 مم ؛ س ج= 30 ملم

ذ ب= 35 مم ؛ ذ ج= 10 مم

ض ب= 15 مم ؛ ض ج= 15 ملم

في بعض النقاط الخامسو مع: × ب = س ج= 30 مم ، ض ب = ض ج= 15 ملم

أ)إحداثيات NSالنقاط هي نفسها ، لذلك ، في نظام P 1 - P 2 ، تقع إسقاطات النقاط على نفس خط الاتصال (الشكل 1.2) ،

ب)إحداثيات ضتتطابق النقاط ، (كلا النقطتين بعيدتان بشكل متساوٍ عن ص 1 15 مم) تقع على نفس الارتفاع ، لذلك في ص 2تتطابق إسقاطات النقاط: في 2=(ج 2).

الخامس)لتحديد مدى الرؤية بالنسبة إلى ص 2انظر إلى الشكل. 1.3 يرى المراقب النقطة الخامسالذي يغطي النقطة مع، بمعنى آخر. نقطة الخامستقع بالقرب من المراقب ، لذلك على ص 2هو مرئي. (انظر M1 - 13 و 16).

في النظام ص 2 ص 3تقع إسقاطات النقاط أيضًا على نفس خط الاتصال ويتم تحديد الرؤية بواسطة السهم (الشكل 1.2).

نقاط الخامسو مع- تسمى المنافسة الأمامية.

3. د(15,30,20); وجه ضاحك= 15 مم ؛ ذ د= 30 مم ؛ ض د= 20 مم.

أ)في هذا الرسم المعقد (الشكل 1.4) ، تم بناء ثلاثة إسقاطات للنقطة د (د 1 ،د 2 ،د 3).

جميع الإحداثيات الثلاثة لها قيم عددية غير الصفر ، وبالتالي فإن النقطة لا تنتمي إلى أي مستوى إسقاط.

ب)صورة مكانية متوافقة أو د(الشكل 1.5). في النظام P 1 -P 2توقعات نقطة أو دتقع على نفس خط الاتصال ، فقط نقطة واحدة دفوق النقطة أ، بالتالي د- مرئي و أ- غير مرئي (مرئي في ص 1النقطة التي تقع أعلاه)

في المرحلة الرابعة والأخيرة ، نربط الأجزاء الثلاثة من الرسومات المعقدة للنقاط أ ، ب ، ج ،دفي واحد مشترك.

نقاط أو د- يسمى التنافس الأفقي.

من المعتاد كتابة إحداثيات نقطة بين قوسين بجوار تعيين النقطة. على سبيل المثال: دخول الخامس(3 ، 2 ، 3) تعني إحداثيات النقطة الخامسما يلي: X = 3 ؛ ص = 2 ؛ Z = 3. يوضح الشكل 43 البناء على صورة محورية وعلى قطعة أرض لنقطة الخامسفي إحداثيات معينة.

الشكل 43 - بناء نقطة بإحداثيات محددة

مادة التثبيت:

1. حدد الظروف التي يمكن بموجبها تحديد موضع نقطة في الفضاء.

2. حدد عدد الإسقاطات التي يمكن أن تحتويها نقطة ما في الفضاء على مستوى الإسقاط.

3. اذكر أسماء طائرات الإسقاط وتسمياتها.

4. وضح كيفية تحديد موقع طائرات الإسقاط بالنسبة لبعضها البعض.

5. حدد أسماء الخطوط المستقيمة التي تتقاطع معها مستويات الإسقاط.

6. اعرض تعيين نقطة تقاطع مستويات الإسقاط.

7. اعرض تعيين نقاط الإسقاط على مستويات الإسقاط.

8. اشرح استلام قطعة أرض أو رسم معقد.

9. اشرح الغرض من الرسم التخطيطي.

10. شرح الغرض من إحداثيات النقطة.

11. شرح إمكانية نقل إحداثيات نقطة على طول المحور ص.

12. اشرح معنى إحداثيات النقطة أ (6 ، 10 ، 4).

بعد التوحيد النظري للمادة ، يقوم الطلاب بأداء مهام عملية فردية لبناء رسم معقد لنقطة على طول الإحداثيات المحددة ، وفقًا لخيار الطالب

(المهمة 4 أ). يتم تنفيذ العمل بتنسيق A4 ، مع مراعاة خطوط الرسم. عنوان الرسم هو "عمل الجرافيك رقم 4. توقعات نقطة ".

بناء رسم معقد لخط مستقيم

يمكن اعتبار أي خط ، بما في ذلك الخط المستقيم ، على أنه مجموعة من النقاط المتسلسلة في الفراغ ، وإسقاط خط مستقيم ABعلى متن الطائرة ح- كمجموعة من إسقاطات النقاط لخط مستقيم معين (الشكل 44).

يتم تحديد موضع الخط المستقيم في الفضاء بنقطتيه. يسمى الجزء من الخط المستقيم الذي تحده نقطتان قطعة... لبناء إسقاط لجزء AB ، يكفي إنشاء إسقاط له نقاط متطرفة... من خلال توصيل الإسقاطات التي تحمل الاسم نفسه بخطوط مستقيمة ، نحصل على توقعات المقطع (الشكل 45).

الشكل 45 - التوقعات القطاعية

يتم تحديد موضع القطعة المستقيمة في الفضاء من خلال إسقاطين لها. للعثور على الإسقاط الثالث للقطعة المستقيمة ، من الضروري إنشاء الإسقاطات الثالثة للنقاط التي تربط الخط. في الشكل 45 أ ، توضح الأسهم b التقدم المحرز في إنشاء إسقاط ملف تعريف أ "ب" "قطعة ABوفقًا للأفقي المحدد عوأمامي أ "ج"التوقعات.

تأمين المادة:

بواسطة الإحداثيات المحددة لنقاط المقطع ABأنشئ رسمًا معقدًا وفقًا لإصدارك (المهمة 13 ، 14 ، 15). يتم تنفيذ العمل بتنسيق A4 ، مع مراعاة خطوط الرسم وتعيين النقاط على مستويات الإسقاط (المهمة 4 ب).

عنوان الرسم هو "عمل الجرافيك رقم 4. توقعات القطاع ".

يمكن تحديد موضع نقطة في الفضاء من خلال اثنين من الإسقاطات المتعامدة ، على سبيل المثال ، الأفقي والأمامي والأمامي والملف الجانبي. مزيج من أي اثنين الإسقاطات المتعامدةيسمح لك بمعرفة قيمة جميع إحداثيات نقطة ما ، وبناء إسقاط ثالث ، وتحديد الثماني الذي يقع فيه. دعونا ننظر في العديد من المشاكل النموذجية من دورة الهندسة الوصفية.

وفقًا لرسم معقد معين للنقطتين A و B ، من الضروري:

دعنا أولاً نحدد إحداثيات النقطة A ، والتي يمكن كتابتها في صورة A (x ، y ، z). الإسقاط الأفقيم أ - النقطة أ "، ذات الإحداثيين س ، ص. ارسم من النقطة أ" المتعامدة على المحاور س ، ص واعثر على التوالي ، أ х ، أ у. إحداثي x للنقطة A يساوي طول القطعة A x O بعلامة زائد ، لأن A x تقع في منطقة القيم الموجبة للمحور x. مع الأخذ في الاعتبار مقياس الرسم ، نجد x = 10. إحداثي y يساوي طول المقطع A y O بعلامة ناقص ، بما أن m. A y تقع في منطقة القيم السالبة لـ المحور ص. مع الأخذ بعين الاعتبار مقياس الرسم y = –30. الإسقاط الأمامي للنقطة A - النقطة A "" له إحداثيات x و z. دعونا نحذف الخط العمودي من A "" إلى المحور z ونجد A z. إحداثي z للنقطة A يساوي طول المقطع A z O بعلامة ناقص ، لأن A z يقع في منطقة القيم السالبة للمحور z. مع الأخذ بعين الاعتبار مقياس الرسم z = –10. وبالتالي ، فإن إحداثيات النقطة أ هي (10 ، –30 ، –10).

يمكن كتابة إحداثيات النقطة ب في صورة ب (س ، ص ، ض). ضع في اعتبارك الإسقاط الأفقي للنقطة B - m. B ". نظرًا لأنه يقع على المحور x ، فإن B x = B" والإحداثيات B y = 0. الإحداثي x للنقطة B يساوي طول المقطع ب س س بعلامة زائد. مع الأخذ في الاعتبار مقياس الرسم x = 30. الإسقاط الأمامي للنقطة B - النقطة B˝ لها إحداثيات x ، z. لنرسم عموديًا من B "" على المحور z ، لذلك نجد B z. التطبيق z للنقطة B يساوي طول المقطع B z O بعلامة ناقص ، لأن B z يقع في منطقة القيم السالبة للمحور z. مع الأخذ في الاعتبار مقياس الرسم ، حدد القيمة z = –20. إذن ، إحداثيات ب هي (30 ، 0 ، -20). يتم عرض جميع الإنشاءات اللازمة في الشكل أدناه.

إسقاطات بناء النقاط

النقطتان A و B في المستوى П 3 لها الإحداثيات التالية: A "" "(y ، z) ؛ B" "" (y ، z). في هذه الحالة ، يقع A "" و A "" "في نفس العمود العمودي على المحور z ، لأنهما لهما إحداثي z مشترك. وبالمثل ، يقع B" "و B" "" على العمود العمودي المشترك على z -محور. للعثور على إسقاط الملف الشخصي للنقطة A ، دعنا نضبط قيمة الإحداثي المقابل الموجود سابقًا على طول المحور y. في الشكل ، يتم ذلك باستخدام قوس لدائرة نصف قطرها A y O. بعد ذلك ، ارسم عموديًا من A y حتى يتقاطع مع العمودي المستعاد من النقطة A "" إلى المحور z. تحدد نقطة التقاطع بين هذين العمودين موضع "" ".

النقطة B "" تقع على المحور z ، لأن الإحداثي y لهذه النقطة هو صفر. للعثور على إسقاط الملف الشخصي للنقطة B في هذه المسألة ، تحتاج فقط إلى رسم عمودي من B "" إلى z- المحور: نقطة تقاطع هذا العمودي مع المحور z هي B "" ".

تحديد موقع النقاط في الفراغ

تصور تخطيطًا مكانيًا يتكون من مستويات الإسقاط P 1 و P 2 و P 3 ، وترتيب الثماني ، بالإضافة إلى ترتيب تحويل التخطيط إلى رسوم بيانية ، يمكن للمرء أن يحدد مباشرة أن النقطة A تقع في الثماني الثالث ، والنقطة B تقع في المستوى P 2.

خيار آخر لحل هذه المشكلة هو طريقة الاستثناءات. على سبيل المثال ، إحداثيات النقطة أ هي (10 ، -30 ، -10). يسمح لنا الإحداثي الموجب x بالحكم على أن النقطة تقع في الثمانينات الأربعة الأولى. يشير إحداثيات y السالب إلى أن النقطة في الثماني أو الثماني الثالث. أخيرًا ، يشير التطبيق السالب z إلى أن m. A يقع في الثماني الثالث. المنطق أعلاه موضح بوضوح في الجدول التالي.

أوكتانتس	تنسيق العلامات
	x	ذ	ض
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

إحداثيات النقطة ب (30 ، 0 ، -20). بما أن إحداثي م ب يساوي صفرًا ، فإن هذه النقطة تقع في مستوى الإسقاطات P 2. تشير الإحداثيات الموجبة ونقطة التطبيق السلبية B إلى أنها تقع على حدود الثمانين الثالث والرابع.

بناء صورة بصرية للنقاط في نظام المستويات P 1، P 2، P 3

باستخدام الإسقاط الأمامي متساوي القياس ، قمنا ببناء تخطيط مكاني للثامن الثالث. وهو شكل ثلاثي السطوح مستطيل وجوهه المستويات P 1 و P 2 و P 3 والزاوية (-y0x) تساوي 45 º. في هذا النظام ، سيتم رسم المقاطع على طول المحاور x و y و z بالحجم الكامل دون تشويه.

سنبدأ في إنشاء صورة مرئية للنقطة A (10 ، -30 ، -10) بإسقاطها الأفقي ". بوضع الإحداثيات المقابلة على طول المحور الإحداثي والإحداثيات ، نجد النقطتين A x و A y. تقاطع الخطوط العمودية أعيد بناؤها من A x و A y على التوالي إلى المحورين x و y يحدد موقع النقطة A ". بعيدًا عن "القطعة AA" الموازية للمحور z باتجاه قيمها السالبة ، التي يبلغ طولها 10 ، نجد موضع النقطة A.

يتم إنشاء صورة مرئية للنقطة B (30 ، 0 ، -20) بطريقة مماثلة - في المستوى P2 على طول محوري x و z ، تحتاج إلى تأجيل الإحداثيات المقابلة. سيحدد تقاطع الخطوط العمودية المعاد بناؤها من B x و B z موضع النقطة B.

1. تم تلقي أكبر تطبيق في الممارسة الفنية من خلال رسم يتكون من اثنين أو أكثر من الإسقاطات المتعامدة المترابطة من الأصل الذي يتم تصويره. يسمى هذا الرسم معقدًا.

مبدأ تشكيل مثل هذا الرسم هو أن هذا الأصل يُسقط بشكل متعامد على طائرتين متعامدين بشكل متبادل ، ثم يتم محاذاة بشكل مناسب مع مستوى الرسم. إحدى طائرات الإسقاط 1 يقع عموديًا أمام المراقب ولذلك يُسمى طائرة الإسقاط الأمامية (الشكل 5 أ) والطائرة الأخرى 2 يقع أفقيًا ويسمى مستوى الإسقاط الأفقي ... يسمى خط تقاطع مستويات الإسقاط محور الإسقاطات.

لنقم بالإسقاط بشكل متعامد على مستوى الإسقاط 1 و 2 أي نقطة أ، ثم نحصل على اثنين من إسقاطاته: الإسقاط الأمامي أ 1 على متن الطائرة 1 والإسقاط الأفقي أ 2 على متن طائرة 2 .

خطوط الإسقاط AA 1 و AA 2 ، بمساعدة النقطة التي أمسقطة على مستوى الإسقاط ، حدد مستوى الإسقاط أ 1 AA 2 ، عمودي على كل من طائرات الإسقاط ومحور الإسقاط NS... مباشر أ 1 أ xو أ x أ 2 ، وهي إسقاطات لمستوى الإسقاط على مستويات الإسقاط 1 و 2 عمودي على محور الإسقاط NS.

على العكس من ذلك ، كل زوج من النقاط أ 1 و أ 2 ، على التوالي تنتمي إلى الطائرات 1 و 2 وتقع على خطوط عمودية على المحور NSتعافى من نفس النقطة أ NS، يحدد نقطة واحدة في الفضاء أ... في الواقع ، إذا رسمنا النقاط أ 1 و أ 2 عمودي أ 1 أو أ 2 أعلى التوالي للطائرات 1 و 2 ، ثم هم في نفس المستوى أ 1 أ x أ 2 ، تتقاطع في مرحلة ما أ.

مسافة أ 2 أنقاط أمن مستوى الإسقاط الأفقي يسمى الارتفاع حنقاط أو بعده أ 1 أمن المستوى الأمامي للإسقاطات - العمق Fنقاط أ.

2. ليحصل رسم مسطح، سنطابق مستوى الإسقاطات 2 بالطائرة 1 تدوير الطائرة 2 حول المحور NSفي الاتجاه الموضح في الشكل. 5 أ مع سهم. نتيجة لذلك ، نحصل عليه رسم معقد نقاط أ(الشكل 5 ب) ، يتكون من إسقاطين أ 1 و أ 2 نقطة أمستلقية على خط مستقيم واحد عمودي على المحور NS... على التوالي. مستقيم أ 1 أ 2 يسمى توصيل إسقاطين من نقطة خط الاتصال .

سيكون الرسم المعقد الناتج تفريغ ، وهذا يعني ، وفقًا لهذا الرسم ، أنه من الممكن تحديد الأصل أو إعادة بنائه كما يقولون. في الواقع ، مع الأخذ في الاعتبار ، على سبيل المثال ، الإسقاط الأمامي أ 1 نقطة أوله عمق في الرسم F= أنا أ x أ 2 أنا ، يمكنك إعادة بناء النقطة أ... للقيام بذلك ، تحتاج إلى استعادة الوضع العمودي على مستوى الرسم عند نقطته أ 1 ووضع جانباً عمق النقطة المرغوبة من مستوى الرسم ، ثم ستحدد نهاية العمود العمودي موضع النقطة أ.

3. تم استخدام المبدأ المدروس لتشكيل رسم معقد على نطاق واسع في الأدبيات التعليمية منذ زمن مونج. ومع ذلك ، في الممارسة الفنية ، ليست هناك حاجة لتحديد موضع الأصل المعروض بالنسبة إلى نظام ثابت لطائرات الإسقاط ، لذلك ، عند تكوين رسم معقد ، يمكنك رفض إصلاح طائرات الإسقاط. يمكن أن يستند هذا إلى الخاصية 6 ، المنصوص عليها في الفقرة 1 (2) ، أن إسقاط الشكل لا يتغير في ظل ترجمة موازية لمستوى الإسقاطات.

تشكيل رسم معقد للنقطة ألطائرات الإسقاط غير الثابتة في الشكل. 6. في هذه الحالة ، طائرات الإسقاط 1 و 2 تتماشى مع مستوى الرسم بحيث يكون إسقاط مستوى الإسقاط على الطائرات 1 و 2 تقع على خط مستقيم واحد (الشكل 6 ب) . يمكن القيام بذلك عند تشكيل رسم معقد لأي مجموعة من النقاط ، حيث أن إسقاطات جميع مستويات الإسقاط لهذه النقاط على كلا مستويي الإسقاط ستكون متوازية ، والمسافات بين الإسقاطات لكل اثنين من هذه المستويات على المستويات 1 و 2 متساوية مع بعضها البعض. لسهولة قراءة الرسم ، الطائرة 2 يعتبر موجودًا أسفل جميع نقاط الأصل والمستوى 1 - خلف كل نقاط الأصل.

صورة على مستوى الإسقاط 1 في الممارسة التقنية التي يسمونها منظر أمامي أو باختصار اكتب 1 , التعيين على مستوى الإسقاط 2 وتسمى منظر علوي ، أو رأي 2 ... تتم إعادة بناء النسخة الأصلية وفقًا لرسمها المعقد ، المكون من طائرات إسقاط غير ثابتة ، وفقًا لمنظرها الأمامي 1 وأعماق نقاط الأصل المقاسة في الرسم فيما يتعلق بمستوى الإسقاط المثبت في وضع تعسفي 1 (الشكل 6 أ) ؛ في العرض العلوي ، سيتم الإشارة إلى هذا المستوى بعلامة مثلث.

فيما يلي تسمى طائرات الإسقاط الثابتة ، التي يتم إجراء أي قياسات لها ، بالمستويات الأساسية.

وهكذا ، لإعادة بناء النقطة أوفقًا للرسم المعقد (الشكل 6 ب) ، تحتاج إلى استعادة العمودي على مستوى الرسم عند نقطته أفي المنظر الأمامي وقم بتخصيص العمق عليه من مستوى الرسم Fنقاط أتم قياسه في المنظر العلوي من المستوى الأساسي ، وتم تمييزه في هذا العرض بعلامة المثلث (سيطلق على المنظر العلوي لهذا المستوى الأساسي اسم القاعدة المرجعية للعمق).

ستحدد نهاية هذا العمودي موضع النقطة أفيما يتعلق بمستوى الرسم. نظرًا لأن موضع المستوى الأساسي يتم اختياره بشكل تعسفي ، عند إعادة بناء الأصل من رسم معقد يتكون من مستويات إسقاط غير مثبتة ، يتم تحديد موضعه بدقة الترجمة المتوازية.

النقطة هي أحد المفاهيم الأساسية للهندسة. في الرياضيات الحديثة ، تسمى النقاط عناصر ذات طبيعة مختلفة تشكل المساحات ، على سبيل المثال ، في الفضاء الإقليدي ، النقطة هي مجموعة مرتبة من عدد n.

في الهندسة الوصفية ، يمكن تحديد موضع نقطة في الفضاء من خلال إحداثياتها. الميزة الرائعة هي أن الإحداثي الذي يميز مسافة نقطة من مستوى الإسقاط له نفس الاسم مع محور غير موجود عند تكوين مستوى الإسقاط هذا. لذلك ، تُقاس مسافة نقطة من P 2 بالإحداثي y ، ويتشكل المستوى الأمامي لإسقاطات P2 نفسها من تقاطع محوري OX و OZ.

وهكذا ، فإن كل من ثلاثة توقعاتتتميز النقاط بإحداثيين ، اسمها يتوافق مع أسماء المحاور التي تشكل مستوى الإسقاط المقابل: أفقي - A 1 (X A ؛ Y A) ؛ أمامي - A 2 (X A ؛ Z A) ؛ الملف الشخصي - A 3 (Y A؛ Z A).

تتم ترجمة الإحداثيات بين الإسقاطات باستخدام خطوط الاتصال. لذلك ، في نظام مستويات الإسقاط P 1 P 2 ، يتم ترجمة الإحداثي x المشترك للإسقاطات الأمامية والأفقية بواسطة خط الاتصال الرأسي A 2 A 1 ، المتعامد مع محور OX.

من إسقاطين محددين ، يمكنك بناء إسقاطات لنقطة ما إما باستخدام الإحداثيات أو بيانيا. بيانياً ، يتم إنشاء إسقاط الملف الشخصي عن طريق ترجمة المعلمة Z بخط اتصال أفقي مستمد من الإسقاط الأمامي ، ويتم نقل المعلمة Y من الإسقاط الأفقي باستخدام خط ثابت للرسم k - منصف زاوية المحور المنفصل: Y 1 ОY 3 ، حيث ينكسر خط الاتصال الأفقي المرسوم من الإسقاط الأفقي العمودي على OY 1 بزاوية قائمة. في هذه الحالة ، يتم تكوين مربع عند أصل الإحداثيات مع جانب يساوي الإحداثي Y للأصل ، مما يضمن نقل الإحداثي Y بين الإسقاطات الأفقية والملف الشخصي. طاولة 1.3 و 3.2 ، الخوارزميات العامة لبناء النقطة A بالإحداثيات في النموذج المكاني لنظام من ثلاثة مستويات من الإسقاطات P 1 P 2 P 3 وعلى رسم معقد.

الجدول 3.1

خوارزمية لتكوين صورة بصرية لنقطة بواسطة الإحداثيات
الشكل اللفظي	شكل رسومي
1. قم بتأجيل الإحداثيات المقابلة للنقطة أ على المحاور X ، Y ، نحصل على النقاط A x ، A y ، A z
2. يقع الإسقاط الأفقي А 1 عند تقاطع خطوط الاتصال من النقطتين A x و A y ، مرسومة بالتوازي مع المحورين X و Y
3. يقع الإسقاط الأمامي 2 عند تقاطع خطوط الاتصال من النقطتين A x و A z ، مرسومة بالتوازي مع المحورين X و
4. يقع إسقاط الملف الشخصي А 3 عند تقاطع خطوط الاتصال من النقطتين A y و A z ، مرسومة بالتوازي مع المحورين Y و
5. تقع النقطة A عند تقاطع خطوط الاتصال المستمدة من النقاط A 1 و A 2 و A 3