Прогнози за три взаимно перпендикулярни равнина на прогнозите. Министерство на образованието и науката на Руската федерация Федерална държавна бюджетна образователна институция по висше професионално образование KUZBASS Държавно

Система от три взаимно перпендикулярни равнина

Обучение на цялостен чертеж (EPUR)

За удобство за използване на получените изображения от пространствената система на самолетите, ние се обръщаме към самолета.

За това:

1. Нанесете режима на въртене на равнината Р 1 около оста, за да се подравните със самолета Р2 (фиг. 1)

2. Ние комбинираме самолета Р 1 и Р2 в една чертежна равнина (фиг. 2)

Снимка 1.	Фигура 2.

Прогнозите А 1 и А2 са разположени на един ред от перпендикулярна ос X. Тази линия се нарича линия за размножаване (фиг. 3).

Фигура 3.

Тъй като равнината на прогнозите се счита за безкрайна в пространството, границите на равнината Р 1, Р2 не могат да бъдат изобразени (фиг. 4).

Фигура 4.

В резултат на подравняването на равнините P 1 и P 2 се оказва цялостна рисунка. или EPUR (от Franz. Eppure Draw), ᴛ.ᴇ. Рисуване в системата P 1 и P 2 или в системата на две равнини на прогнозите. Смяна на визуален образ с EPUR, ние загубихме пространствената картина на местоположението на равнините на прогнозите и точките. Но EPUR осигурява точност и удобни изображения на изображения със значителна простота на конструкциите.

Точката, посочена в пространството, може да има различни позиции по отношение на равнините на прогнозите.

Изграждането на изображения могат да се извършват по различни начини:

• думи (вербален);
• графично (чертежи);
• визуален образ (обем);
• самолет (изчерпателен чертеж).

маса 1

Пример за изображения на точки, принадлежащи към равнини P 1 и P 2

Позиция точка	Визуален образ	Цялостна рисунка.	Характерни знаци
Точка а принадлежи самолет P 1			И 1 - под ос x и 2 - на оста х
Точка B принадлежи към P 1 равнината			B 1 - над Axis, B 2 - на ос X
Точка c принадлежи p 2			C2 - над x ос, с 1 - на ос x
Точка d принадлежи p 2 равнина			D 1 - ON AXIS, D 2 - под ос x
Точка e принадлежи x ос			E 1 съвпада с E 2 и принадлежи към оста х

Снимка 1.

Разгледайте три взаимно перпендикулярни самолетаp 1. , р 2. , р 3. (фиг. един). Се нарича вертикален планеп 3 i.профилна равнина на проекцията. Пресичане помежду си, плане от 1 , р 2. , р 3 образуват осите на прогнозите, докато пространството е разделено на 8 октанти.

пс. 1 пс. 2 \u003d x; -Х.

пс. 1 пс. 3 \u003d y; -U.

пс. 2 пс. 3 \u003d Z; -Z.

0 - Точка на пресичане на прогнозите.

Самолетите на прогнозите, в двойки пресичащи се, определят трите оси X, Y, Z, които могат да се видят като система от десетиращи координати: оста Х. Обичайно е да се обади на оста на Abcissa, ос y. - оси Ortinity, ос Z. - ос на жалбоподателя, точка на пресичане е операционна система, обозначена с писмото ОТНОСНО, Има началото на координатите.

За да получите цялостен чертеж, прилагаме метод за завъртане на самолетите Р 1 и Р 3, до комбинация с P2 равнина. Окончателният изглед на всички равнини в първия октант е показан на фиг. 2.

Фигура 2.

Тук е оста Ол и Оз.лежи в стационарния самолет P 2, изобразена само веднъж, оста Oy. Показан два пъти. Това се обяснява с факта, че се върти със самолета P 1, оста y. на парцела, съчетан с оста Оз.и се върти с P3 равнина, същата ос е комбинирана с оста Ол.

Всяка точка на пространството се дава от координати. Чрез координатни признаци можете да дефинирате октант, в който се намира посочената точка. За да направите това, използваме таблицата. 1, в който могат да се вземат признаци на координати в 1-4 (5-8 октанта не са представени, те имат отрицателна стойност. х., но y.и z. повтаряне).

маса 1

х.	y.	z.	Октатен
+	+	+	I.
+	_	+	II.
+	_	_	III
+	+	_	IV.

Определя се позицията на равнината в пространството:

• три точки, които не лежат на една права линия;
• направо и точка, извадена от права;
• две пресичащи се права;
• два паралелни права;
• плоска фигура.

В съответствие с това равнината може да бъде посочена на сцената.

• прогнози от три точки, които не лежат на едно право (фигура 3.1, а);
• прогнози на точката и права (фигура 3.1, б);
• прогнози за две пресичащи се прави линии (Фигура 3.1, б);
• прогнози за две паралелни прави линии (фигура 3.1, г);
• плоска фигура (фигура 3.1, е);
• следи от равнината;
• линия най-големият равнинен наклон.

Фигура 3.1 - Методи за определяне на самолети

Самолет общ - Това е равнина, която не е паралелна и не е перпендикулярна на някоя от равнините на прогнозите.

Следване на равнина Тя се нарича директно, произтичаща от пресичането на дадена равнина с една от равнините на прогнозите.

Равнината на общата позиция може да има три следи: хоризонтално – απ 1, фронтално – Απ 2 I. профил – Απ 3, която се формира при пресичане с известни равнини на прогнози: хоризонтален π 1, фронтален π 2 и профил π 3 (Фигура 3.2).

Фигура 3.2 - следи от равнината на общата позиция

3.2. Частни равнини

Самолетна позиция - самолет, перпендикулярна или паралелна равнина на прогнозите.

Самолетът перпендикулярна на равнината на прогнозите се нарича прогнози и на тази равнина на прогнозите тя ще бъде прожектирана като права линия.

Собственост на прожекционната равнина: всички точки, линии, плоски фигурипринадлежащи към прогнозната равнина имат прогнози на наклонената следа на равнината (Фигура 3.3).

Фигура 3.3 - предна частна равнина, която принадлежи: точки НО, В, ОтШпакловка Линии AC., AU., СлънцеШпакловка Равнина на триъгълник АВС

Равнина на предната прожектиране – равнина, перпендикулярна на фронталната равнина на прогнозите (Фигура 3.4, а).

Хоризонтална прожекционна равнина – равнина, перпендикулярна на хоризонталната равнина на прогнозите (Фигура 3.4, б).

Profobile-прожекционна равнина – равнина, перпендикулярна на профилната равнина на прогнозите.

Наричат \u200b\u200bсе самолети, успоредни на равнините на прогнозите равнища на равнините или два пъти проектни самолети.

Равнина на фронталното ниво – равнина успоредно на фронталната равнина на прогнозите(Фигура 3.4, б).

Хоризонтално равнище равнино – самолет успоредно с хоризонталната равнина на прогнозите (Фигура 3.4, г).

Нивото на самолета на профила – равнина, успоредна на профилната равнина на прогнозите (Фигура 3.4, Е).

Фигура 3.4 - Цени на позициониране на равнините

3.3. Точка и директно в самолета. Точка и директна равнина

Точката принадлежи на равнината, ако принадлежи на всяко пряко лъчение в този самолет (Фигура 3.5).

Direct принадлежи към равнината, ако има със самолет най-малко две общи точки (Фигура 3.6).

Фигура 3.5 - принадлежности на равнината на точката

α = м. // н.

Д.∈ н.⇒ Д.∈ α

Фигура 3.6 - принадлежност на директната равнина

Упражнението

Дадена е самолет, определен от четириъгълник (Фигура 3.7, А). Трябва да завършите хоризонталната проекция на върха От.

но	б.

Фигура 3.7 - Решение за задачи

Решение:

1. ABCD. - плоска рамка, задаваща самолет.
2. Направете в нея диагонал AC. и BD. (Фигура 3.7, б), които се пресичат директно, също така уточнява същата равнина.
3. Според признаците на пресичане на директни, ние изграждаме хоризонтална проекция на пресечната точка на тези директни - К. Според нейната известна фронтална проекция: А. 2 ° С. 2 ∩ Б. 2 Д. 2 \u003d К. 2 .
4. Възстановете проекционната линия на пресечната точка с хоризонтална проекция на директно BD.: на проекцията диагонал Б. 1 Д. 1 Build. ДА СЕ 1 .
5. През НО 1 ДА СЕ 1 Извършваме проекционната диагонал НО 1 От 1 .
6. Точка От 1 преминаваме през прожекционната линия, преди да я прекосим с хоризонтална проекция на продължаващия диагонал НО 1 ДА СЕ 1 .

3.4. Основни линии равнина

В самолета можете да изградите безкраен набор от директни, но има специални права, лежащи в самолета, наречени основните линии на самолета (Фигура 3.8 - 3.11).

Директно ниво или паралелен план Тя се нарича права, лежаща в тази равнина и паралелно един от равнините на прогнозите.

Хоризонтално или хоризонтално направо ниво х.(първи паралел) е права линия, лежаща в тази равнина и успоредна на хоризонталната равнина на прогнозите (π 1) (Фигура 3.8, А; 3.9).

Фронтален или фронтално направо ниво е. (Втори паралел) е директна лежаща в тази равнина и паралелна предна равнина на прогнозите (π 2) (Фигура 3.8, Б; 3.10).

Профил направо ниво пс. (Трети паралел) е директна лежаща в тази равнина и успоредна на профилната равнина на прогнозите (π 3) (Фигура 3.8, б; 3.11).

Фигура 3.8 А - хоризонтално пряко ниво в равнина, дадена от триъгълник

Фигура 3.8 b - ниво на първа линия в равнина, дадена от триъгълник

Фигура 3.8 V - Профил Директно ниво в равнина, дадена от триъгълник

Фигура 3.9 - хоризонтално пряко ниво в равнина, определен от следи

Фигура 3.10 - Фронтално направо ниво в равнина, зададена от следи

Фигура 3.11 - Профил Директно ниво в равнина, зададена от Traces

3.5. Взаимно положение на прекия и равнината

Директната равнина по отношение на определената равнина може да бъде успоредна и може да има обща точка с нея, т.е. пресичане.

3.5.1. Паралелизъм на правимата равнина

Симптом на паралелизма на правата равнина: Директна паралелна равнина, ако е успоредна на директна принадлежност към тази равнина (Фигура 3.12).

Фигура 3.12 - успоредност на правия

3.5.2. Кръстосана линия със самолет

За изграждане на точка на пресичане, линията с равнината на общата позиция (Фигура 3.13), е необходимо:

1. Заключение Право нов спомагателния самолет (като спомагателен самолет трябва да се избере равнината на частната позиция);
2. Намерете пресечната точка на спомагателната равнина β с дадена равнина α;
3. Намерете точката на пресичане на посоченото директно но с пресечка на равнините на равнините Mn..

Фигура 3.13 - Изграждане на правилна точка със самолет

Упражнението

Комплект: Право AU. Обща позиция, равнина σ⊥π 1. (Фигура 3.14). Изграждане на пряка точка за пресичане AU. със самолет σ.

Решение:

1. Следователно равнината е хоризонталната проекция, следователно, хоризонталната проекция на равнината σ е прав σ 1 (хоризонтална следа на равнината);
2. Точка ДА СЕ Трябва да принадлежи директно AU. ⇒ ДА СЕ 1 ∈НО 1 В 1 и дадена равнина σ ⇒ ДА СЕ 1, 1, ДА СЕ 1 е в точката на пресичане на прогнозите НО 1 В 1 и σ 1;
3. Точка на предната прожекция ДА СЕ Ние откриваме чрез проекционната връзка: ДА СЕ 2 ∈НО 2 В 2 .

Фигура 3.14 - пресичане на пряка обща позиция с частна позиция за позиция

Упражнението

Комплект: самолет σ \u003d δ АВС - Обща позиция, права EF. (Фигура 3.15).

Необходими за изграждане на пряка точка за пресичане EF. със самолет σ.

но	б.

Фигура 3.15 - пресичане директно със самолет

1. Ние заключаваме прав EF.в спомагателната равнина, която използваме хоризонтално-проектиращата равнина α (фигура 3.15, а);
2. Ако α⊥π 1, тогава равнината на издатините π 1, равнината α се прожектира в права линия (хоризонтална следа от равнината απ 1 или α) съвпада с Д. 1 Е. 1 ;
3. Ще намерим прякото пресичане (1-2) на прожекционната равнина α със самолета σ (ще се обмисли решението на такава задача);
4. Направо (1-2) и задайте направо EF. лежат в същата равнина α и се пресичат в точката К..

Алгоритъм за решаване на проблеми (Фигура 3.15, б):

През EF. Извършваме спомагателен самолет α:

3.6. Определяне на видимостта чрез конкурентни точки

При оценката на позицията на тази линия е необходимо да се определи - точката на която секция от права линия се намира по-близо (по-нататък) към нас, за наблюдатели, когато гледате на равнината на прогнозите π 1 или π 2.

Точките, които принадлежат към различни обекти, и на една от равнините на прогнозите за тяхното издание съвпадат (т.е. две точки се проектират в едно), се наричат \u200b\u200bконкурентни прогнози на този самолет.

Необходимо е да се определи отделно видимостта на всяка равнина на прогнозите.

Видимост на π 2 (фиг. 3.15)

Изберете точки, конкуриращи се на π 2 - точки 3 и 4. Нека точка 3∈ Sun ∈σ., Точка 4∈. EF..

За да се определи видимостта на точките на равнината на прогнозите π 2, е необходимо да се определи местоположението на тези точки на хоризонталната равнина на прогнозите при гледане на π 2.

Посоката на изгледа на π 2 е показана от стрелката.

Според хоризонтални прогнози на точки 3 и 4, когато се гледа на π 2, може да се види, че точка 4 1 е по-близо до наблюдателя, отколкото 3 1.

4 1 ∈Д. 1 Е. 1 ⇒ 4∈EF. ⇒ на π 2 ще бъде видима точка 4, която лежи по права линия EF.Затова прав EF. На мястото на разглежданите точки се намира пред равнината σ и ще се вижда до точката К.

Видимост на π 1

За да определите видимостта, изберете точка, която се състезава на π 1 - точки 2 и 5.

За да се определи видимостта на точките на равнината на прогнозите π 1, е необходимо да се определи местоположението на тези точки на фронталната равнина на прогнозите, когато се гледа на π 1.

Посоката на изглед на π 1 се показва от стрелката.

Според предните прогнози на точки 2 и 5, когато се гледа на π 1, може да се види, че точка 2 2 е по-близо до наблюдателя от 5 2.

2 1 ∈НО 2 В 2 ⇒ 2∈AU. ⇒ на π 1 ще бъде видим точка 2, лежаща по права линия AU.Затова прав EF. На мястото на разглежданите точки се намира под самолета σ и ще бъде невидим до точката К. - точка на пресичане на директно със самолета Σ.

Видимата от две състезателни точки ще бъде тази, в която координата "Z" или (и) "Y" е по-голяма.

3.7. Перпендикулярност на правилата

Симптом на перпендикулярност на правилата: Директна перпендикулярна равнина, ако е перпендикулярна на два пресичащи се директни лежащи в тази равнина.

но	б.

Фигура 3.16 - Директна задача, перпендикулярна равнина

Теорема. Ако директно е перпендикулярно на равнината, тогава на сцената: хоризонтална проекция Директно перпендикулярно на хоризонталната проекция на хоризонталната равнина и предната проекция на прав перпендикулярно на фронталната проекция на Frontali (Фигура 3.16, б)

Теоремата се доказва чрез теорема за проекцията на директния ъгъл в конкретния случай.

Ако равнината е зададена от следи, тогава проекцията на директната перпендикулярна равнина е перпендикулярна на съответните пътеки на равнината (Фигура 3.16, А).

Нека изпратено пс. перпендикулярно на равнината σ \u003d δ АВС и преминава през точката К..

1. Ние изграждаме хоризонтала и предната част в равнината σ \u003d δ АВС : А-1.∈σ; А-1.// π 1; C-2.∈σ; C-2.// π 2.
2. Рестат от точка К. Перпендикулярно на определената равнина: p 1.⊥h 1. и р 2.⊥f 2., или p 1.⊥απ 1 и р 2.⊥απ 2

3.8. Взаимно положение на две равнини

3.8.1. Паралелизъм на равнините

Две равнини могат да бъдат успоредни и пресичащи помежду си.

Знак за паралелизъм на две равнини: Две самолета са взаимно успоредни, ако две пресичащи се прав равнина са съответно успоредно на две пресичащи се директни други равнини.

Упражнението

Равнината на общата позиция се дава α \u003d δ АВС и точка Е.∉α (Фигура 3.17).

През точката Е. Провеждане на равнината β, паралелен самолет α.

Фигура 3.17 - Изграждане на самолет, успоредно на посочения

Решение:

Като пресичане директни равнини α, ние приемаме, например, страните на триъгълника AB и SUN.

1. През точката Е. Ние извършваме права м.паралелно, например, AU..
2. През точката Е.или чрез всяка точка на принадлежност м., прекарайте право н.паралелно, например, Слънцеосвен това m∩.n \u003d F..
3. β = м.∩н. и β // α по дефиниция.

3.8.2. Планиращи самолети

Резултатът от пресичането на 2 самолета е прав. Всяко директно на равнината или в пространството може да бъде уникално настроено с две точки. Затова, за да се изгради линия на пресичане на две равнини, трябва да намерите две точки, които са общи за двете равнини, след това ги свържете.

Разгледайте примери за пресичане на две равнини по различни начини за тяхната задача: следи; Три точки, които не лежат на една права линия; паралелно право; пресичане на прави и други.

Упражнението

Двете самолета α и β са определени от следи (Фигура 3.18). Изграждане на линейна пресечка на равнините.

Фигура 3.18 - пресичане на самолетите на общата позиция, посочена от стъпките

Реда за изграждане на линейната пресечка на самолетите:

1. Намерете точка на пресичане на хоризонтални следи - това е точка М.(Прогнозите му М. 1 и М. 2, докато М. 1 \u003d М.като M -точка на частна позиция, принадлежаща към равнината π 1).
2. Намерете точка на пресичане на преден песни - това е точка Н. (Прогнозите му Н. 1 I. Н. 2, докато Н. 2 = Н.като Н - Точка на частна позиция, принадлежаща към равнината π 2).
3. Изграждане на пресечка на самолети чрез свързване на прогнозите на получените точки: М. 1 Н. 1 I. М. 2 Н. 2 .

М.Н. - линейна пресечка на равнините.

Упражнението

Се дава равнината σ \u003d Δ АВС, Равнината α е хоризонтално протепинг (α⊥π 1) ⇒α 1 - хоризонтална следа на равнината (Фигура 3.19).

Изграждане на линейна пресечка на тези равнини.

Решение:

Тъй като самолетът α пресича страните AU. и AC. Триъгълник АВСТогава точки за пресичане К. и Л. Тези страни със самолета α са общи за определени равнини, което ще позволи свързването им да намерят желаната кръстосана линия.

Точките могат да бъдат намерени като кръстовища точки на директно с прожектиращата равнина: откриваме хоризонтални прожекционни точки К. и Л., т.е. К. 1 I. Л. 1, при пресичане на хоризонталната следа (α 1) на дадена равнина α с хоризонтални издатини на страните δ АВС: НО 1 В 1 I. А. 1 ° С. един. След това чрез проекционните линии ние намираме предни прогнози на тези точки К2.и Л. 2 на предни прогнози за директно AU. и AC.. Свържете същите прогнози: К. 1 I. Л. 1 ; К2.и Л. 2. Изградена е кръстовището на посочените равнини.

Алгоритъм за решаване на проблема:

Kl. - линия за пресичане δ АВС и σ (α∩σ \u003d Kl.).

Фигура 3.19 - пресичане на равнините на общо и частно положение

Упражнението

Равнината α \u003d m // n и равнината β \u003d δ са дадени АВС (Фигура 3.20).

Изграждане на линейна пресечка на определени равнини.

Решение:

1. За да намерите точки, общи за определени равнини, и пресечната точка на пресичането на равнините α и β, е необходимо да се възползват от спомагателните равнини на частната позиция.
2. Като такива самолети, ние избираме две спомагателни равнини на частна позиция, например: σ // τ; σ⊥π 2; τ⊥π 2.
3. Новопоставените самолети се пресичат с всяка от посочените равнини α и β на директно, успоредно един на друг, тъй като σ // τ:

- резултатът от пресичането на равнините α, σ и τ са прави (4-5) и (6-7);

- Резултатът от пресечната точка на самолетите β, σ и τ са прави (3-2) и (1-8).

1. Прави линии (4-5) и (3-2) лежат в равнината σ; Точка на тяхното пресичане М. В същото време се крие в равнините α и β, т.е. при прякото пресичане на тези равнини;
2. По същия начин намираме точка Н., общи за самолетите α и β.
3. Свързващи точки М. и Н., изграждаме пряко пресичане на а и β самолетите.

Фигура 3.20 - пресичане на две равнини на обща позиция (общ случай)

Алгоритъм за решаване на проблема:

Упражнението

Дават се самолетите α \u003d δ АВС и β \u003d а.//б.. Изграждане на линейно пресичане на определени равнини (Фигура 3.21).

Фигура 3.21 Задача за преминаване на равнини

Решение:

Ние използваме спомагателните планове на частната позиция. Ние ги представяме така, че да намалим броя на сградите. Например, ние въвеждаме равнината σ⊥π 2, заключавайки директно а. в спомагателната равнина σ (σ∈ а.). Равнината σ пресича равнината α в права линия (1-2) и σ∩β \u003d но. Следователно (1-2) ∩ но=К..

Точка ДА СЕ Той принадлежи на двете равнини α и β.

Следователно, точка К.е една от желаните точки, през които преминават директното пресичане на посочените равнини α и β.

Да намерите втора точка, принадлежаща към директното пресичане на α и β, въведете направо б. в спомагателната равнина τ⊥π 2 (τ∈ б.).

Свързващи точки К. и Л., получаваме прякото пресичане на а и β самолетите.

3.8.3. Взаимно перпендикулярно на равнината

Самолетът е взаимно перпендикулярно, ако един от тях преминава през перпендикулярно на друг.

Упражнението

Дадена е равнината σ⊥π 2 и директната обща позиция - De. (Фигура 3.22)

Необходимо е да се изгради De. Равнина τ⊥σ.

Решение.

Постави перпендикулярно CD. до самолета σ - ° С. 2 Д. 2 ⊥σ 2 (въз основа на).

Фигура 3.22 - Изграждане на равнина, перпендикулярна на дадена равнина

От прожекционната теорема на директен ъгъл ° С. 1 Д. 1 трябва да бъде успоредно на оста на прогнозите. Пресичане на права CD∩.De. Задайте самолета τ. Така че, τ⊥σ.

Подобни аргументи, в случай на обща равнинна равнина.

Упражнението

Дадена е равнината α \u003d δ АВС и точка К. Извън самолета α.

Необходимо е да се изгради равнината β⊥α, преминаваща през точката К..

Алгоритъм решения (Фигура 3.23):

1. Изграждане на хоризонтално х. И фронтал е. в дадена равнина α = Δ АВС;
2. През точката К.постави перпендикулярно б. към самолета α (от теорема на перпендикулярно на равнината: Ако директното е перпендикулярно на равнината, тогава неговите прогнози са перпендикулярни на наклонените прогнози на хоризонталата и предната част, лежащи в равнината:b 2.⊥f 2.; b 1.⊥h 1.;
3. Ние определяме самолета р по какъвто и да е начин, β \u003d a∩.б.По този начин, равнината, перпендикулярна на посочената, конструирана: α⊥β.

Фигура 3.23 - Изграждане на равнина, перпендикулярна на даден δ АВС

3.9. Задачи за саморешения

1. Самолетът е зададен α \u003d м.//н.(Фигура 3.24). Известно е, че К.∈α.

Изграждане на проекцията на фронталната точка ДА СЕ.

Фигура 3.24.

2. изграждане на следи от права линия, посочена от сегмента Cb.и определят квадрантите, чрез които преминава (Фигура 3.25).

Фигура 3.25.

3. Изградете дизайна на квадрата, принадлежащ към равнината на α⊥π 2, ако нейната диагонална Mn.// π 2 (Фигура 3.26).

Фигура 3.26.

4. Изградете правоъгълник ABCD. С повечето Слънце на директен м.Въз основа на условието съотношението на нейните партии е 2 (Фигура 3.27).

Фигура 3.27.

5. Самолетът е зададен α \u003d а.//б. (Фигура 3.28). Конструирайте равнината β паралелен плосък а и отстранен от него на разстояние 20 mm.

Фигура 3.28.

6. Самолетът α \u003d Δ е даден АВС и точка Д. Д. Равнината β⊥α и β⊥π 1.

7. Самолетът е зададен α \u003d δ АВС и точка Д. Извън самолета. Изграждане през точката Д. прав De.// α I. De.// π 1.

10.1 Diograni ъгъл. Ъгълът между самолетите

Две пресичащи права линия образуват две двойки вертикални ъгли. Точно както две пресичащи прави линии на равнината образуват двойка вертикални ъгли (фиг. 89, а), така че две пресичащи се равнини в пространството образуват два двойки вертикални ъгли на Dugrani (Фиг. 89, б).

Фиг. 89.

Кърпачът на кашлица се нарича фигура, която се състои от две полупозиции, имащи обща граница директно и не лежа в една и съща равнина (фиг. 90). Самите половин плочи се наричат \u200b\u200bръбовете на ъгъла на дюгстрич и общата им граница е нейният ръб.

Фиг. 90.

Измерване на фиктивни ъгли, както следва.

Ние приемаме на ръба на фиктивния ъгъл с ръбовете на α и β точка О. Извършвам от точката o в лицата на лъчите А и В, перпендикулярно на ръба P: a - в ръба α и b - в ръба на β (фиг. 91, а).

Фиг. 91.

Ъгълът със страните А, В се нарича линеен ъгъл на диодрален ъгъл.

Размерът на линейния ъгъл не зависи от избора на неговите върхове на ръба на диедричен ъгъл.

Наистина, ние приемаме друга точка около 1 ребра P и прекарват в ръбовете на α и β лъчи 1 ⊥ p и b1 ⊥ р (фиг. 91, б).

Ние ще отложим на лъча и сегмента на OA, върху лъча А 1 от сегмента O 1 A 1, равен на сегмента на OA, на сегмента B и на лъча В 1 на сегмента от 1 в 1, равна на сегмента на ОБ (фиг. 91, б).

В правоъгълниците на OAA 1O 1 и 0VV 1 0 1 страните AA 1 и BB 1 са равни на общата им страна на OO 1 и успоредна на нея. Следователно, AA 1 \u003d BB 1 и AA 1 || BB 1.

Следователно, тримесечието на ABV 1 A 1 - паралелограма (фиг. 91, d) и следователно, AV \u003d A 1 в 1. Следователно, триъгълниците на avo и 1 в 1 o 1 са равни на (според три страни) и ъгълът на AB е равен на ъгъла А 1 b1.

Сега е възможно да се даде такова определение: величината на ъгъла на джуджето се нарича стойност на линейния му ъгъл.

Ъгълът между пресичащите се равнини е величината на по-малките от оформените от тях DIHED. Ако този ъгъл е 90 °, тогава равнината се нарича взаимно перпендикулярна. Ъгълът между паралелните самолети се освобождава равен на 0 °.

Ъгълът между самолетите α и β, както и величината на дихедтралния ъгъл с ръбовете на α и β, се обозначава с ∠αβ.

Ъгълът между краищата на полиедрона, имащ общ ръб, е стойността на съответния ъглов ъгъл на джуджета.

10.2 свойства на взаимно перпендикулярни равнини

Имот 1.. Право, лежащо в една от двете взаимно перпендикулярни равнини и перпендикулярно на общата им директна, перпендикулярна на друга равнина.

Доказателства. Нека самолетът α и β са взаимно перпендикулярни и пресичат по права линия. Нека право лежи в равнината α и a ⊥ с (фиг. 92). Прави кръстове с някаква точка О. Ние извършваме в равнината β чрез точката на директно L, перпендикулярно на права линия с. Тъй като α ⊥ β, след това a ⊥ b. Тъй като ⊥ b и a ⊥ c, тогава α ⊥ β на базата на перпендикулярността на прав и равнина.

Фиг. 92.

Вторият имот е твърдение, обратна собственост.

Имот 2.. Права линия, която има обща точка с една от двете взаимно перпендикулярни равнини и перпендикулярна на другата равнина, лежи в първия от тях.

Доказателства. Позволете на равнината α и β да са взаимно перпендикулярни и пресичат по права линия С, прав р и А с обща точка А (Фиг. 93). През точката и в равнината α direct p перпендикулярна на права линия с. Според свойството 1 p ⊥ β. Директ А и P преминават през точката А и перпендикулярна на равнината β. Следователно те съвпадат, тъй като само един пряк, перпендикулярен на някакъв самолет преминава през точката. Тъй като направата линия p се намира в самолета α, след това прав и лежи в равнината α.

Фиг. 93.

Последствията от Свойствата 2 е такъв знак за перпендикулярността на директната и равнината: ако две равнини перпендикулярни на третия равнина се пресичат, тогава тяхното пряко пресичане е перпендикулярно на третия равнина.

Доказателства. Оставете двете равнища на α и β да пресичат в пряко перпендикулярно на равнината γ (фиг. 94). След това, през всяка точка, насочете директна, перпендикулярна равнина γ. Според свойството 2, това директно се крие в равнината α, а в равнината β, т.е. съвпада с директен a. Така, a ⊥ γ.

Фиг. 94.

10.3 Знак за перпендикулярността на самолетите

Нека започнем С. практически примери. Самолетът на вратата висеше върху перпендикулярния етаж на JAMB, е перпендикулярно на равнината на пода с всяка позиция на позицията (фиг. 95). Когато искат да проверят дали е инсталирана плоска повърхност (стена, ограда и т.н.) вертикално инсталирана, тогава това се прави с водопроводни въжета с товар. Отвъдът винаги е насочен вертикално, а стената е вертикално, ако отвъд, разположен по протежение на него, не се отклонява. Тези примери ни показват следващия прост знак за перпендикулярността на самолетите: ако равнината преминава през перпендикулярна на друга равнина, тогава тези равнини са взаимно перпендикулярни.

Фиг. 95.

Доказателства. Позволете на равнината α да съдържа права, перпендикулярна на равнината β (виж фиг. 92). След това направо и пресича равнината β в някаква точка О. Точката o лежи по права линия, според която равнината α и β се пресичат. Ние рисуваме в равнината β чрез точката на директна б перпендикулярна на права линия с. Тъй като ⊥ β, след това a ⊥ b и a ⊥ s. Това означава, че линейните ъгли на ъгли на Dugrani, образувани чрез пресичащи се равнини α и β, са директни. Следователно самолетите α и β са взаимно перпендикулярни.

Имайте предвид, че на всеки две от трите прави линии А, В и С, се считат сега (виж Фиг. 92), взаимно перпендикулярно. Ако построите друг директен, минавайки през точката o и перпендикулярна на две от тези три прави линии, то съвпада с третата права линия. Този факт говори за трите измерения на пространството около нас: четвъртата права, перпендикулярна на всяка от правите линии А, В и С, не.

Въпроси за самоконтрол

1. Как изчислявате величината на ъгъла на DUGRAN?
2. Как да се изчисли ъгъла между самолетите?
3. Какви равнини се наричат \u200b\u200bвзаимно перпендикулярно?
4. Какви свойства на взаимно перпендикулярни самолети знаете?
5. Какъв знак перпендикулярност на самолетите знаеш?

Номер 4.

Номер 3.

Номер 2.

Номер 1.

Обучение на цялостен чертеж (EPUR)

За удобство за използване на получените изображения от пространствената система на самолетите, ние се обръщаме към самолета.

За това:

1. Нанесете метода за въртене на равнината Р 1 около оста X до комбинация със самолета Р2 (фиг. 2.7)

2. Ние комбинираме самолета Р 1 и Р2 в една чертежна равнина (фиг. 2.8)

Фиг. 2.7.	Фиг. 2.8.

Прогнозите А 1 и А2 са разположени на един ред от перпендикулярна ос X. Тази линия се нарича прожекционна линия (фиг. 2.9).

Тъй като равнината на прогнозите се счита за безкрайна в пространството, границите на равнината Р 1, Р2 могат да бъдат изобразени (Фиг. 2.10).

В резултат на комбинацията от равнините P 1 и P2 се получава изчерпателен чертеж или AE (от франц. EPURE чертеж), т.е. Рисуване в системата P 1 и P 2 или в системата на две равнини на прогнозите. Смяна на визуален образ с EPUR, ние загубихме пространствената картина на местоположението на равнините на прогнозите и точките. Но EPUR осигурява точност и удобни изображения на изображения със значителна простота на конструкциите. За да представите пространствена картина на EPUR, се изисква работата на въображението: например на фиг. 2.11 е необходимо да изпратите снимка, показана на фиг. 2.12.

Ако има прожекционна ос на комплексното чертеж на прогнози за прогнози А 1 и А2, можете да зададете позицията на точката спрямо Р 1 и Р2 (виж фиг. 2.5 и 2.6). Сравняване на фиг. 2.11 и 2.12 Не е трудно да се установи, че сегментът А 2 a x е разстоянието от точка А до самолета Р 1, а сегментът А 1 А х е разстоянието от точка А до Р 2. Местоположение 2 над оста на прогнозите означава, че точката А се намира над равнината Р 1. Ако 1 на парцела е разположен под оста на прогнозите, тогава точката А се намира пред самолета Р 2. По този начин хоризонталната проекция на геометричното изображение определя позицията му по отношение на фронталната равнина на прогнозите Р 2, а фронталната проекция на геометричното изображение е по отношение на хоризонталната равнина на прогнозите P 1.

Фиг. 2.11.	Фиг. 2.12.

§ 4. Характеристики на позицията на позицията в системата P 1 и P2

Точката, посочена в пространството, може да има различни позиции по отношение на равнините на прогнозите (фиг. 2.13).

Помислете за възможни варианти за местоположението на точката в пространството на първото тримесечие:

1. Точката се намира в една четвърт разстояние на всяко разстояние от ос X и самолетите P 1P 2, например, точки А, В (такива точки се наричат \u200b\u200bточки на общата позиция) (фиг. 2.14 и фиг. , 2.15).

3. Точка К принадлежи към равнината Р 1 и Р 2 и равнината, т.е. осната ос принадлежи (фиг. 2.18):

Въз основа на гореизложеното можете да направите следното заключение:

1. Ако точката е разположена в една четвърт пространство, неговата проекция А2 е разположена над ос от х, а 1 е под ос от х; 2 a 1 - лежи на една перпендикулярна (линии) към ос от х (Фиг. 2.14).

2. Ако точката принадлежи към равнината Р 2, след това неговата проекция с 2 ° С (съвпада с точка С) и проекцията от 1 x (принадлежи към оста X) и съвпада с X: C1 с H.

3. Ако точката принадлежи към равнината на Р 1, тогава нейната проекция D1 на тази равнина съвпада с d d d 1 и проекцията D2 принадлежи към ос X и съвпада с D X: D2 D.

4. Ако точката принадлежи към оста X, тогава всичките му издатини съвпадат и принадлежат към оста х: до 1 до 2 до x.

Задачата:

1. Дайте позицията на точките в тримесечие на пространството I (фиг. 2.19).

2. Изградете визуален образ и изчерпателен чертеж на точка в описание:

а) точка С е разположена в първата квартена и е равна на равнините P 1 и P 2.

б) точка m принадлежи на равнината Р 2.

в) точка К е разположена през първото тримесечие, а разстоянието му до P 1 е два пъти по-голямо от равнината P 2.

г) точка l принадлежи към оста x.

3. Изграждане на цялостен чертеж на точка в описание:

а) точка P се намира през първото тримесечие, а отдалеченото от самолета Р 2 е по-голямо от равнината P 1.

б) точка А се намира през първото тримесечие и разстоянието му до самолета Р 1 3 пъти повече, отколкото до самолета Р 2.

в) точка Б се намира през първото тримесечие, а разстоянието до самолета P 1 \u003d 0.

4. Сравнете позицията на точките по отношение на равнините на прогнозите Р 1 и Р 2 и един друг. Сравнението се извършва според характеристиките или характеристиките. За точки тези характеристики имат разстояние до самолетите P 1; Р2 (фиг. 2.20).

Използването на горната теория в изграждането на изображения може да се извърши по различни начини:

• думи (вербален);
• графично (чертежи);
• визуален образ (обем);
• самолет (изчерпателен чертеж).

Възможността за превод на информация от един метод за друг насърчава развитието пространствено мислене. С вербален във визуален (обем) и след това в равнина и обратно.

Помислете за това на примерите (таблица 2.1 и таблица. 2.2).

Таблица 2.1.

Примери за изображения
В системата на две равнини на прогнозите

Четвърт пространство	Визуален образ	Цялостна рисунка.	Характерни знаци
I.			Фронтална проекция на точката и над ос х, хоризонтална проекция на точката и под ос от х
II.			Фронтална и хоризонтална точка за прожекционна точка B над ос X
III			Фронтална проекция на точката с по-долу ос х, хоризонтална проекция на точката c над ос от х
IV.			Фронтална и хоризонтална проекция на точката d под ос x

Таблица 2.2.

Пример за изображения на точки, принадлежащи към равнини P 1 и P 2

Позиция точка	Визуален образ	Цялостна рисунка.	Характерни знаци
Точка а принадлежи самолет P 1			И 1 - под ос x и 2 - на оста х
Точка B принадлежи към P 1 равнината			B 1 - над Axis, B 2 - на ос X
Точка c принадлежи p 2			C2 - над x ос, с 1 - на ос x
Точка d принадлежи p 2 равнина			D 1 - ON AXIS, D 2 - под ос x
Точка e принадлежи x ос			E 1 съвпада с E 2 и принадлежи към оста х

Изграждане на цялостен чертеж на точката А, ако:

1. Точката е разположена през II тримесечие и е равна на равнините P 1 и P 2.

2. Точката е разположена през третото тримесечие, а разстоянието до самолета P 1 е два пъти по-голямо от равнината P 2.

3. Въпросът е разположен в четвърти IV, а разстоянието му до самолета P 1 е по-голямо от равнината P 2.

Определете в кои квартали има точки (фиг. 2.21).

1. Изградете визуален образ на точки в кварталите:

а) а - общата разпоредба през III тримесечие;

б) в общо ниво на IV;

в) В - през второто тримесечие, ако разстоянието му от Р 1 е 0;

г) D - IN I тримесечие, ако разстоянието му от Р 2 е 0.

Изграждане на цялостен чертеж на точки А, В, С, г (виж задача 3).

На практика, проучването и изграждането на изображения, системата от две взаимно перпендикулярни самолета не винаги дава възможност ясно да се реши. Например, ако преместите точката и по оста x, тогава изображението му няма да се промени.

Положението на точката в пространството (фиг. 2.22) се е променило (фиг. 2.24), а изображенията на чертежа на комплекса остават непроменени (Фиг. 2.23 и Фиг. 2.25).

Фиг. 2.22.	Фиг. 2.23.
Фиг. 2.24.	Фиг. 2.25.

За да се реши този проблем, се въвежда система от три взаимно перпендикулярни самолета, тъй като при изготвянето на чертежи, като машини и техните части, не две, но повече изображения. На тази основа, в някои конструкции, когато решават задачи, е необходимо да се въведе в системата P 1, P 2 и други равнини на прогнозите.

Тези самолети разделят цялото пространство VIII Частикоито се наричат \u200b\u200bоктантци (от лат. осем). Самолетите нямат дебелина, непрозрачна и безкрайна. Наблюдателят е през първото тримесечие (за системи Р 1, Р 2) или първия октант (за системи Р 1, Р 2, Р 3) в безкрайно разстояние от проекционните равнини.

§ 6. Точка в системата P 1, P 2, P3

Изграждане на прогнози от някаква точка А, разположена в I Octante, за три взаимно перпендикулярни равнини P 1, P2, P3 е показана на фиг. 2.27. Използвайки комбинацията от равнините на прогнозите с равнината Р 2 и прилагане на метод за въртене на равнините, получаваме цялостен чертеж на точката А (фиг. 2.28):

Aa 1 ^ p 1; AA 2 ^ P 2; Aa 3 ^ p 3,

където 3 е прожекционна проекция на точки А; И X, и Y, и Z - аксиални прожекционни точки А.

Прогнозите и 1, А2 и 3 се наричат \u200b\u200bпредната, хоризонталната и профилната проекция на точката А.

Фиг. 2.27.	Фиг. 2.28.

Самолетите на прогнозите, в двойки пресичащи се, определят трите оси X, Y, Z, които могат да се видят като система от десетиращи координати: оста Х. наречена ос на отсъствие, ос y. - оси Ortinity, ос Z. - оста на заявлението, точката на пресичане на ос е обозначена с писмото ОТНОСНО, Има началото на координатите.

Така, зрителят, който изследва темата, е в първия октан.

За да получите цялостен чертеж, използваме метода за завъртане на самолетите Р 1 и Р 3 (както е показано на фиг. 2.27), до комбинация с P2 равнина. Крайният вид на всички равнини в първия октант е показан на фиг. 2.29.

Тук е оста Ол и Оз.лежи в стационарния самолет P 2, изобразена само веднъж, оста Oy. Показан два пъти. Това се обяснява с факта, че се върти със самолета P 1, оста y. на парцела, съчетан с оста Оз.и се върти с P3 равнина, същата ос е комбинирана с оста Ол.

Помислете за фиг. 2.30, където пространството НО- попита координатите (5,4,6). Тези координати са положителни и самата тя е в първия октан. Изграждането на образа на самата точка и неговите прогнози върху пространствения модел се извършва с помощта на координатна правоъгълна паралелограма. За да направите това, върху осите на координатите, ние поставяме сегменти, съответно, дължина сегмента: Тъп = 5, Крак = 4, Oaz.\u003d 6. На тези сегменти ( OAA, OA, OAA), както в ребрата, изграждане правоъгълен паралелепипед. Един от неговите върхове ще определи зададена точка НО.

Говорейки за системата от три самолета на прогнозите за изчерпателен чертеж (фиг. 2.30), е необходимо да се отбележи следното.

Има много подробности, информация за формата, която не може да бъде прехвърлена от два проекта за рисуване. За да бъде представена подробна информация за сложната форма е представена съвсем напълно, проекцията се използва за три взаимно перпендикулярни самолета на проекцията: преден - V, хоризонтален - N и профил - w (прочетете "двойно ние").

Цялостен чертеж, представен от три вида или прогнози, в повечето случаи тя дава пълна картина на формата и дизайна на частта (обект и обект) и се нарича също сложен чертеж. с чертеж. Ако чертежът е изграден с оси с координати, той се нарича високочервене. Предприятието, ако чертежът е построен без координатни оси, той се нарича без свободен профил, ако W самолет е перпендикулярно на фронталните и хоризонталните равнини на прогнозите, след което се нарича профил

Триъгълният ъгъл е поставен на темата, така че образуването му и основата да бъде успоредно на фронталните и хоризонталните равнини на прогнозите. След това чрез всички точки на темата се извършват прожекционни лъчи, перпендикулярно на всичките три проектори на прогнозите, на които се получава предната, хоризонтална и профилна проекция на обекта. След прожекцията, елементът се отстранява от триъгълен ъгъл, а след това хоризонталната и профилната равнина на прогнозите се върти 90 °, съответно през осите Ohoz, преди да се съчетае с предната равнина на проекцията и да получи детайлния чертеж, съдържащ три прогнози.

Трите прогнози за рисуване са свързани помежду си. Фронтални и хоризонтални прогнози запазват прогнозното отношение на изображенията, т.е. прожекционните връзки са установени между фронталния и хоризонталния, фронталния и профила, както и хоризонтални и профилни прогнози. Проекционните линии определят местоположението на всяка проекция на рисунката. Формата на повечето предмети е комбинация от различни геометрични тела или техните части. Следователно, за четене и изпълнение на рисунките, трябва да знаете как геометричните тела са изобразени в системата от три прогнози в производството

1.RANI. паралелни равнини Прогнозите се проектират по него без изкривяване, в пълен размер. 2. В сегмента на директните линии се предвиждат перпендикулярни на равнината на прогнозите. 3.Мързвци, разположени косо до равнините на прогнозите, изображенията върху него с изкривяване (намалено)

И 3. Страница Задача за писане 4.1. Страници на страницата и 5, стр.37-45, Въпроси за писане на задача