Как да намерим частни производни на функция на две променливи. Решаване на производни за манекени: определение, как да се намери, примери за решения. – Всъщност замяна на променливата

Общият принцип за намиране на частични производни от втори ред на функция на три променливи е подобен на принципа за намиране на частични производни от втори ред на функция на две променливи.

За да намерите частични производни от втори ред, първо трябва да намерите частични производни от първи ред или, в друга нотация:

Има девет частични производни от втори ред.

Първата група са вторите производни по отношение на същите променливи:

Или – втората производна по „х”;

Или – втората производна по отношение на “Y”;

Или – втората производна по отношение на “зет”.

Втората група е смесенЧастични производни от 2-ри ред, има шест от тях:

Или - смесенпроизводно “по х игрек”;

Или - смесенпроизводна “по игра x”;

Или - смесенпроизводна “по отношение на x z”;

Или - смесенпроизводна “по zt x”;

Или - смесенпроизводно „по отношение на igrek z“;

Или - смесенпроизводно "по zt igrek".

Както в случая на функция на две променливи, когато решавате задачи, можете да се съсредоточите върху следните равенства на смесени производни от втори ред:

Забележка: строго погледнато, това не винаги е така. За да бъдат равни смесените производни, трябва да е спазено изискването за тяхната непрекъснатост.

За всеки случай, ето няколко примера как правилно да прочетете този позор на глас:

- „два удара имат два пъти игра“;

– „de две y по de z квадрат“;

– „в X и Z има две черти“;

- „de two y po de zet po de igrek.“

Пример 10

Намерете всички частични производни от първи и втори ред за функция на три променливи:

.

Решение:Първо, нека намерим частичните производни от първи ред:

Взимаме намерената производна

и го разграничете с "Y":

Взимаме намерената производна

и го разграничете с "x":

Равенството е изпълнено. Глоба.

Нека разгледаме втората двойка смесени производни.

Взимаме намерената производна

и го разграничете с "z":

Взимаме намерената производна

и го разграничете с "x":

Равенството е изпълнено. Глоба.

Справяме се с третата двойка смесени производни по подобен начин:

Равенството е изпълнено. Глоба.

След свършената работа можем да гарантираме, че, първо, сме намерили правилно всички частни производни от 1-ви ред, и второ, правилно сме намерили и смесените частни производни от 2-ри ред.

Остава да намерите още три частични производни от втория ред, тук, за да избегнете грешки, трябва да концентрирате вниманието си възможно най-много:

Готов. Пак казвам, задачата не е толкова трудна, колкото е обемна. Решението може да бъде съкратено и отнесено към равенства на смесени частни производни, но в този случай няма да има проверка. Ето защо е по-добре да отделите време и да намерите всичкопроизводни (в допълнение, учителят може да изисква това) или, в краен случай, проверете черновата.

Пример 11

Намерете всички частични производни от първи и втори ред за функция на три променливи

.

Това е пример, който можете да решите сами.

Решения и отговори:

Пример 2:Решение:

Пример 4:Решение: Нека намерим частните производни от първи ред.

Нека създадем пълен диференциал от първи ред:

Пример 6:Решение: М(1, -1, 0):

Пример 7:Решение: Нека изчислим частните производни от първи ред в точкатаМ(1, 1, 1):

Пример 9:Решение:

Пример 11:Решение: Нека намерим частичните производни от първи ред:

Нека намерим частните производни от втори ред:

.

Интеграли

8.1. Неопределен интеграл. Подробни примерни решения

Нека започнем да изучаваме темата " Неопределен интеграл", а също така ще анализираме подробно примери за решения на най-простите (и не толкова прости) интеграли. Както обикновено, ще се ограничим до минимума от теория, който е в много учебници; нашата задача е да се научим как да решаваме интеграли.

Какво трябва да знаете, за да усвоите успешно материала? За да се справите с интегралното смятане, трябва да можете да намирате производни на минимум, на средно ниво. Няма да е загуба на опит, ако имате няколко десетки или още по-добре стотици независимо открити производни под колана си. Най-малкото не трябва да се обърквате от задачите за разграничаване на най-простите и най-често срещаните функции.

Изглежда, какво общо имат производните, ако статията е за интеграли?! Ето това е нещото. Факт е, че намирането на производни и намирането на неопределени интеграли (диференциране и интегриране) са две взаимно обратни действия, като събиране/изваждане или умножение/деление. По този начин, без умения и опит в намирането на производни, за съжаление, не можете да продължите напред.

В тази връзка ще ни трябват следните учебни материали: Таблица с производниИ Таблица на интегралите.

Каква е трудността при изучаването на неопределени интеграли? Ако в производните има строго 5 правила за диференциране, таблица с производни и доста ясен алгоритъм на действия, тогава в интегралите всичко е различно. Има десетки методи и техники за интегриране. И ако методът на интегриране първоначално е избран неправилно (т.е. не знаете как да решите), тогава можете да „убождате“ интеграла буквално с дни, като истински пъзел, опитвайки се да забележите различни техники и трикове. Някои хора дори го харесват.

Между другото, доста често чувахме от студенти (без специалност хуманитарни науки) мнение като: „Никога не съм имал интерес към решаването на лимит или производна, но интегралите са съвсем друг въпрос, това е очарователно, винаги има желание за „хакване” на сложен интеграл.” . Спри се. Стига с черния хумор, да преминем към тези много неопределени интеграли.

Тъй като има много начини за решаването му, тогава откъде един чайник трябва да започне да изучава неопределени интеграли? Според нас в интегралното смятане има три стълба или нещо като „ос“, около която се върти всичко останало. На първо място, трябва да имате добро разбиране на най-простите интеграли (тази статия).

След това трябва да обработите подробно урока. ТОВА Е НАЙ-ВАЖНАТА ТЕХНИКА! Може би дори най-важната статия от всички статии за интегралите. И трето, определено трябва да прочетете метод на интегриране по части, тъй като интегрира широк клас функции. Ако усвоите поне тези три урока, тогава вече няма да имате два. Може да ви бъде простено, че не знаете интеграли на тригонометрични функции, интеграли от дроби, интеграли на дробно-рационални функции, интеграли на ирационални функции (корени), но ако „попаднете в беда“ с метода на замяна или метода на интегриране по части, тогава ще бъде много, много лошо.

И така, нека започнем просто. Нека да разгледаме таблицата на интегралите. Както при производните, забелязваме няколко правила за интегриране и таблица с интеграли на някои елементарни функции. Всеки табличен интеграл (и наистина всеки неопределен интеграл) има формата:

Нека веднага разберем обозначенията и термините:

– интегрална икона.

– функция интегранд (изписва се с буквата “s”).

– диференциална икона. Ще видим какво е това съвсем скоро. Основното е, че когато пишете интеграла и по време на решението, е важно да не загубите тази икона. Ще има забележим недостатък.

– израз на интегранд или “запълване” на интеграла.

– антипроизводнофункция.

– . Няма нужда да се натоварвате много с термини; най-важното тук е, че във всеки неопределен интеграл към отговора се добавя константа.

Решаването на неопределен интеграл означава намиранемного примитивни функцииот дадения интегрант

Нека да разгледаме записа отново:

Нека да разгледаме таблицата на интегралите.

Какво се случва? Имаме левите части превръщам се вкъм други функции: .

Нека опростим нашето определение:

Решаване на неопределен интеграл - това означава да го ТРАНСФОРМИРАТЕ в недефинирана (до постоянна) функция , използвайки някои правила, техники и таблица.

Вземете например табличния интеграл . Какво стана? Символната нотация е еволюирала в много примитивни функции.

Както в случая с производните, за да се научите как да намирате интеграли, не е необходимо да сте наясно какво е интегрална или антипроизводна функция от теоретична гледна точка. Достатъчно е просто да извършите трансформации според някои формални правила. Така че, в случай Изобщо не е необходимо да разбираме защо интегралът се превръща в . Можете да приемете тази и други формули за даденост. Всеки използва електричество, но малко хора се замислят как електроните се движат през жици.

Тъй като диференцирането и интегрирането са противоположни операции, за всяко антипроизводно, което е намерено правилно, е вярно следното:

С други думи, ако диференцирате правилния отговор, тогава трябва да получите оригиналната функция интегранд.

Нека се върнем към същия табличен интеграл .

Нека проверим валидността на тази формула. Вземаме производната на дясната страна:

е оригиналната интегрална функция.

Между другото, стана по-ясно защо константа винаги се присвоява на функция. Когато се диференцира, константата винаги се обръща към нула.

Решаване на неопределен интеграл- означава да намериш няколко всекиантипроизводни, а не само една функция. В разглеждания пример с таблица , , , и т.н. – всички тези функции са решения на интеграла. Има безкрайно много решения, затова ги записваме накратко:

По този начин всеки неопределен интеграл е много лесен за проверка. Това е известна компенсация за голям брой интеграли от различни типове.

Нека да преминем към разглеждане на конкретни примери. Нека започнем, както при изучаването на производната, с две правила за интегриране:

– постоянен ° Смогат (и трябва) да бъдат извадени от интегралния знак.

– интегралът от сбора (разликата) на две функции е равен на сбора (разликата) на два интеграла. Това правило е валидно за произволен брой условия.

Както можете да видите, правилата са основно същите като за дериватите. Понякога се наричат свойства на линейностинтегрална.

Пример 1

Намерете неопределения интеграл.

Извършете проверка.

Решение:По-удобно е да го конвертирате като.

(1) Приложете правилото . Забравяме да запишем диференциалната икона dxпод всеки интеграл. Защо под всеки? dx– това е пълноценен мултипликатор.Ако го опишем подробно, първата стъпка трябва да бъде написана така:

.

(2) Съгласно правилото преместваме всички константи отвъд знаците на интегралите. Моля, имайте предвид, че през последния срок tg 5 е константа, ние също го изваждаме.

Освен това на тази стъпка подготвяме корени и мощности за интеграция. По същия начин, както при диференцирането, корените трябва да бъдат представени във формуляра . Преместете корените и степените, които се намират в знаменателя нагоре.

Забележка:За разлика от производните, корените в интегралите не трябва винаги да се редуцират до формата , и преместете градусите нагоре.

Например, - това е готов табличен интеграл, който вече е изчислен преди вас и всякакви китайски трикове като напълно ненужно. По същия начин: – това също е табличен интеграл, няма смисъл да представяме дробта във формата . Проучете внимателно таблицата!

(3) Всички наши интеграли са таблични. Извършваме трансформацията с помощта на таблица, използвайки формулите: , И

за степенна функция - .

Трябва да се отбележи, че табличният интеграл е специален случай на формулата за степенна функция: .

Константа° С достатъчно е да добавите веднъж в края на израза

(вместо да ги поставяме след всеки интеграл).

(4) Полученият резултат записваме в по-компактен вид, когато всички степени са от вида

отново ги представяме под формата на корени и нулираме степените с отрицателен показател обратно в знаменателя.

Преглед. За да извършите проверката, е необходимо да разграничите получения отговор:

Получих оригинала интегрант, т.е. интегралът е намерен правилно. От какво са танцували, към това са се върнали. Хубаво е, когато историята с интеграла приключи по този начин.

От време на време има малко по-различен подход за проверка на неопределен интеграл, когато не производната, а диференциалът се взема от отговора:

.

В резултат на това получаваме не функция за интегранд, а израз за интегранд.

Не се страхувайте от понятието диференциал.

Диференциалът е производната, умножена по dx.

Но за нас са важни не теоретичните тънкости, а какво да правим след това с този диференциал. Разликата се разкрива по следния начин: икон д премахваме го, поставяме просто число вдясно над скобата, добавяме фактор в края на израза dx :

Получен оригинал интегрант, тоест интегралът е намерен правилно.

Както виждате, диференциалът се свежда до намиране на производната. Вторият метод за проверка ми харесва по-малко, тъй като трябва допълнително да рисувам големи скоби и да плъзгам диференциалната икона dx до края на проверката. Въпреки че е по-правилно или „по-уважавано“ или нещо подобно.

Всъщност беше възможно да се мълчи за втория метод на проверка. Въпросът не е в метода, а в това, че сме се научили да отваряме диференциала. Отново.

Разликата се разкрива, както следва:

1) икона дПремахване;

2) вдясно над скобата поставяме черта (обозначаване на производната);

3) в края на израза присвояваме фактор dx .

Например:

Запомни това. Ще имаме нужда от тази техника много скоро.

Пример 2

.

Когато намерим неопределен интеграл, ние ВИНАГИ се опитваме да проверимОсвен това има страхотна възможност за това. Не всички видове задачи във висшата математика са подарък от тази гледна точка. Няма значение, че проверките често не се изискват в тестовите задачи; никой и нищо не ви пречи да го направите на чернова. Изключение може да се направи само когато няма достатъчно време (например по време на тест или изпит). Лично аз винаги проверявам интегралите и считам липсата на проверка за хакване и лошо изпълнена задача.

Пример 3

Намерете неопределения интеграл:

. Извършете проверка.

Решение: Анализирайки интеграла, виждаме, че под интеграла имаме произведението на две функции и дори степенуването на цял израз. За съжаление, в полето на интегралната битка Недобър и удобен формули за интегриране на произведението и частнотокато: или .

Следователно, когато е дадено произведение или частно, винаги има смисъл да се види дали е възможно да се трансформира интеграндът в сума? Разглежданият пример е случаят, когато е възможно.

Първо, ще представим пълното решение, коментарите ще бъдат по-долу.

(1) Използваме добрата стара формула на квадрата на сумата за всякакви реални числа, като се отърваваме от степента над общата скоба. извън скобите и прилагане на формулата за съкратено умножение в обратна посока: .

Пример 4

Намерете неопределения интеграл

Извършете проверка.

Това е пример, за да решите сами. Отговорът и пълното решение са в края на урока.

Пример 5

Намерете неопределения интеграл

. Извършете проверка.

В този пример интегрантът е дроб. Когато видим дроб в интегранта, първата мисъл трябва да бъде въпросът: „Възможно ли е по някакъв начин да се отървем от тази дроб или поне да я опростим?“

Забелязваме, че знаменателят съдържа един корен от „X“. Един в полето не е воин, което означава, че можем да разделим числителя на знаменателя член по член:

Ние не коментираме действия с дробни степени, тъй като те са били обсъждани многократно в статии за производната на функция.

Ако все още сте объркани от такъв пример като

и в никакъв случай не излиза правилният отговор,

Също така имайте предвид, че в решението липсва една стъпка, а именно прилагане на правилата , . Обикновено, с известен опит в решаването на интеграли, тези правила се считат за очевиден факт и не се описват подробно.

Пример 6

Намерете неопределения интеграл. Извършете проверка.

Това е пример, за да решите сами. Отговорът и пълното решение са в края на урока.

В общия случай с дроби в интеграли не всичко е толкова просто, допълнителен материал за интегрирането на дроби от някои видове можете да намерите в статията: Интегриране на някои дроби. Но преди да преминете към горната статия, трябва да се запознаете с урока: Метод на заместване в неопределен интеграл. Въпросът е, че включването на функция под диференциален или променлив метод за заместване е ключова точкав изучаването на темата, тъй като се намира не само в „чисти задачи по метода на заместване“, но и в много други видове интеграли.

Решения и отговори:

Пример 2: Решение:

Пример 4: Решение:

В този пример използвахме формулата за съкратено умножение

Пример 6: Решение:

Метод за промяна на променлива в неопределен интеграл. Примери за решения

В този урок ще се запознаем с една от най-важните и най-разпространени техники, които се използват при решаване на неопределени интеграли - методът на промяна на променливата. Успешното усвояване на материала изисква първоначални познания и умения за интегриране. Ако имате усещане за празен, пълен чайник в интегралното смятане, тогава първо трябва да се запознаете с материала Неопределен интеграл. Примери за решения, където в достъпна форма е обяснено какво е интеграл и подробно са анализирани основни примери за начинаещи.

Технически, методът за промяна на променлива в неопределен интеграл се прилага по два начина:

– Подвеждане на функцията под диференциалния знак.

– Всъщност промяна на променливата.

По същество това са едно и също нещо, но дизайнът на решението изглежда различно. Нека започнем с по-прост случай.

Функции на две променливи, частни производни, диференциали и градиент

Тема 5.Функции на две променливи.

частични производни

Дефиниция на функция на две променливи, методи за задаване.

Частични производни.

Градиент на функция на една променлива

Намиране на най-голямата и най-малката стойност на функция на две променливи в затворена ограничена област

1. Дефиниране на функция на няколко променливи, методи за задаване

За функции на две променливи
област на дефиниция е някои набор от точки на равнина
, а диапазонът от стойности е интервалът на оста
.

За визуално представяне функции на две промени nyh се прилагат линии на ниво.

Пример . За функция
изградете графика и нивелирайте линии. Запишете уравнението на линията на нивото, минаваща през точката
.

Графика на линейна функцияе самолетв космоса.

За функция графиката е равнина, минаваща през точките
,
,
.

Линии на функционално нивоса успоредни прави, чието уравнение е
.

За линейна функция на две променливи
линиите на нивото са дадени от уравнението
и представляват семейство от успоредни прави в равнина.

4

Графика на функция 0 1 2 X

Линии на функционално ниво

Частни проектипроизводни функции на две променливи

Помислете за функцията
. Нека дадем променливата в точката
произволно увеличение
, напускане променлива стойност непроменен. Съответно увеличение на функцията

Наречен частно увеличение на функция по променливав точката
.

Определено по подобен начин частично увеличение на функциятапо променлива: .

Обозначаванечастична производна по отношение на: , ,
,
.

Частична производна на функция по отношение на променлива наречена крайна граница :

Обозначения: , ,
,
.

За намиране на частната производна
по променлива се използват правилата за диференциране на функция на една променлива, ако приемем, че променливата е постоянна..

По същия начин, за да намерите частната производна по отношение на променлива променлива се счита за константа .

Пример . За функция
намерете частични производни
,
и изчислете техните стойности в точката
.

Частична производна на функция
по променлива е при предположението, че е константа:

Нека намерим частната производна на функцията по отношение на , приемайки константа:

Нека изчислим стойностите на частичните производни при
,
:

;
.

Частични производни от втори ред функции на няколко променливи се наричат ​​частни производни на частни производни от първи ред.

Нека запишем частните производни от 2-ри ред за функцията:

;
;

;
.

;
и т.н.

Ако смесените частни производни на функции на няколко променливи са непрекъснати в дадена точка
, тогава те равни един на другв този момент. Това означава, че за функция на две променливи стойностите на смесените частични производни не зависят от реда на диференциране:

.

Пример. За функцията намерете частичните производни от втори ред
И
.

Решение

Смесената частна производна се намира чрез последователно диференциране първо на функцията чрез (приемайки константа), след това диференциране на производната
чрез (като се има предвид константа).

Производната се намира, като първо се диференцира функцията по отношение на , а след това производната по отношение на .

Смесените частични производни са равни една на друга:
.

3. Градиент на функция на две променливи

Градиентни свойства

Пример . Дадена функция
. Намерете градиента
в точката
и го изградете.

Решение

Нека намерим координатите на градиента - частни производни.

В точката
градиент равна на . Начало на вектора
в точка , а краят в точка .

5

4. Намиране на най-големите и най-малките стойности на функция от две променливи в затворена ограничена област

Формулиране на проблема. Нека има затворена ограничена област на равнината
се дава от система от неравенства от вида
. Изисква се да се намерят точки в областта, в която функцията приема най-големи и най-малки стойности.

Важно е проблем за намиране на екстремум, чийто математически модел съдържа линеенограничения (уравнения, неравенства) и линеенфункция
.

Формулиране на проблема. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция
(2.1)

под ограничения

(2.2)

. (2.3)

Тъй като няма критични точки за линейна функция на много променливи вътререгион
, тогава се постига само оптималното решение, което осигурява екстремум на целевата функция на границата на обл. За област, дефинирана от линейни ограничения, точките на възможния екстремум са ъглови точки. Това ни позволява да разгледаме решението на проблема графичен метод.

Графично решение на система от линейни неравенства

За да разрешите този проблем графично, трябва да можете да решавате графично системи от линейни неравенства с две променливи.

Процедура:

Забележете, че неравенството
определя дясна координатна полуравнина(от ос
), и неравенството
- горна координатна полуравнина(от ос
).

Пример. Решете графично неравенството
.

Нека запишем уравнението на граничната линия
и го изградете въз основа на две точки, например,
И
. Правата линия разделя равнината на две полуравнини.

Координати на точки
удовлетворяват неравенството (
– вярно), което означава, че координатите на всички точки от полуравнината, съдържаща точката, удовлетворяват неравенството. Решението на неравенството ще бъде координатите на точките на полуравнината, разположени вдясно от граничната линия, включително точките на границата. Желаната полуравнина е маркирана на фигурата.

Решение
система от неравенства се нарича приемливо, ако координатите му са неотрицателни, . Наборът от възможни решения на системата от неравенства образува област, която се намира в първата четвърт на координатната равнина.

Пример. Конструирайте областта на решение на системата от неравенства

Решенията на неравенствата са:

1)
- полуравнина, разположена отляво и отдолу спрямо правата линия ( )
;

2)
– полуравнина, разположена в долната дясна полуравнина спрямо правата ( )
;

3)
- полуравнина, разположена вдясно от правата линия ( )
;

4) - полуравнина над оста x, тоест права линия ( )
.

0

Диапазон от осъществими решенияна дадена система от линейни неравенства е набор от точки, разположени вътре и на границата на четириъгълника
, кое е кръстовищечетири полуравнини.

Геометрично представяне на линейна функция

(равни линии и градиент)

Нека фиксираме стойността
, получаваме уравнението
, което геометрично определя права линия. Във всяка точка от линията функцията приема стойност и е линия на ниво.даване различни значения, например

, ... , получаваме много линии на ниво - набор от паралелни директен.

Да строим градиент- вектор
, чиито координати са равни на стойностите на коефициентите на променливите във функцията
. Този вектор: 1) е перпендикулярен на всяка права линия (линия на ниво)
; 2) показва посоката на нарастване на целевата функция.

Пример . Начертайте линии на ниво и градиентни функции
.

Линиите на ниво при , , са прави

,
,

, успоредни една на друга. Градиентът е вектор, перпендикулярен на всяка линия на ниво.

Графично намиране на най-големите и най-малките стойности на линейна функция в дадена област

Геометрична постановка на задачата. Намерете в областта на решение на системата от линейни неравенства точката, през която минава линията на нивото, съответстваща на най-голямата (най-малката) стойност на линейна функция с две променливи.

Последователност:

4. Намерете координатите на точка А, като решите системата от уравнения на прави, пресичащи се в точка А, и изчислете най-малката стойност на функцията
. По същия начин - за точка B и най-голямата стойност на функцията
. изградена върху точки.променливи Частнопроизводнифункцииняколко променливии техника на диференциране. Екстремум функциидвепроменливии е необходимо...

В този урок ще се запознаем с концепцията за функция на две променливи, а също така ще разгледаме подробно най-често срещаната задача - намирането частични производнипърви и втори ред, пълен диференциал на функция.

За да изучавате ефективно материала по-долу, вие необходимода можете повече или по-малко уверено да намирате „обикновени“ производни на функции на една променлива. Можете да научите как да боравите правилно с производни в уроци Как да намерим производната? и Производна на сложна функция. Ще ни трябва и таблица с производни на елементарни функции и правила за диференциране, най-удобно е, ако е под ръка в печатна форма.

Нека започнем със самото понятие за функция на две променливи, ще се опитаме да се ограничим до минимума на теорията, тъй като сайтът е с практическа насоченост. Функция на две променливи обикновено се записва като , като променливите се извикват независими променливиили аргументи.

Пример: - функция на две променливи.

Понякога се използва нотацията. Има и задачи, в които се използва буквата вместо буква.

Полезно е да се знае геометричното значение на функциите. Функция на една променлива съответства на определена линия в равнина, например познатата училищна парабола. Всяка функция на две променливи от геометрична гледна точка представлява повърхност в триизмерно пространство (равнини, цилиндри, топки, параболоиди и др.). Но всъщност това вече е аналитична геометрия и математическият анализ е на дневен ред.

Нека да преминем към въпроса за намиране на частични производни от първи и втори ред. Имам някои добри новини за тези, които са изпили няколко чаши кафе и се настройват към невероятно труден материал: частните производни са почти същите като "обикновените" производни на функция на една променлива.

За частните производни са валидни всички правила за диференциране и таблицата с производни на елементарни функции. Има само няколко малки разлики, които ще разгледаме след малко.

Пример 1

Намерете частичните производни от първи и втори ред на функцията

Първо, нека намерим частните производни от първи ред. Двама са.

Обозначения:

Или – частична производна по отношение на „x“

Или – частична производна по отношение на „y“

Да започнем с.

важно! Когато намерим частната производна по отношение на „x“, тогава променливата се счита за константа (постоянно число).

Нека решим. В този урок веднага ще предоставим пълното решение и ще предоставим коментари по-долу.

Коментари за извършените действия:

(1) Първото нещо, което правим, когато намираме частната производна, е да заключим всичкофункция в скоби под прайм с долен индекс.

Внимание, важно!НИЕ НЕ ГУБИМ индекси по време на процеса на решаване. В този случай, ако нарисувате „щрих“ някъде без , тогава учителят, като минимум, може да го постави до задачата (незабавно отхапете част от точката за невнимание).

(2) Използваме правилата за диференциране ; . За прост пример като този и двете правила могат лесно да се приложат в една стъпка. Обърнете внимание на първия термин: тъй като се счита за константа и всяка константа може да бъде извадена от знака за производна, след това го изваждаме от скоби. Тоест в тази ситуация не е по-добър от обикновен номер. Сега нека да разгледаме третия термин: тук, напротив, няма какво да извадим. Тъй като е константа, тя също е константа и в този смисъл не е по-добра от последния термин - „седем“.

(2) Използваме таблицата с производни на елементарни функции. Нека мислено променим всички „X“ в таблицата на „I“. Тоест тази таблица е еднакво валидна за (и изобщо за всяко писмо).В този случай използваните формули са: и .

И така, частичните производни от първи ред са намерени

Частичните производни се използват в задачи, включващи функции на няколко променливи. Правилата за намиране са абсолютно същите като за функциите на една променлива, с единствената разлика, че една от променливите трябва да се счита за константа (постоянно число) в момента на диференциране.

Формула

Частичните производни за функция на две променливи $ z(x,y) $ се записват в следната форма $ z"_x, z"_y $ и се намират с помощта на формулите:

Частични производни от първи ред

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

Частични производни от втори ред

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

Смесен дериват

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Частична производна на сложна функция

а) Нека $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, тогава производната на сложна функция се определя от формулата:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt)$$

б) Нека $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, тогава частните производни на функцията се намират по формулата:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Частични производни на неявна функция

а) Нека $ F(x,y(x)) = 0 $, тогава $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Нека $ F(x,y,z)=0 $, тогава $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Примери за решения

Пример 1

Намерете частични производни от първи ред $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $

Решение

За да намерим частната производна по отношение на $ x $, ще считаме $ y $ за постоянна стойност (число): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ За да намерим частната производна на функция по отношение на $y$, дефинираме $y$ чрез константа: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Ако не можете да разрешите проблема си, изпратете го до нас. Ние ще предоставим подробно решение. Ще можете да видите напредъка на изчислението и да получите информация. Това ще ви помогне да получите оценката си от вашия учител навреме!

Отговор

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

Пример 2

Намерете частните производни на функцията от втори ред $ z = e^(xy) $

Решение

Първо трябва да намерите производните от първи ред и след това като ги знаете, можете да намерите производните от втори ред. Нека $y$ е константа: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Нека сега зададем $ x $ да бъде постоянна стойност: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Познавайки първите производни, по подобен начин намираме втората. Задайте $y$ на константа: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Задаваме $ x $ на константа: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Сега всичко, което остава, е да намерим смесената производна. Можете да разграничите $ z"_x $ по $ y $ и можете да разграничите $ z"_y $ по $ x $, тъй като според теоремата $ z""_(xy) = z""_(yx) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

Отговор

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

Пример 4

Нека $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ дефинира неявната функция $ F(x,y,z) = 0 $. Намерете частични производни от първи ред.

Решение

Записваме функцията във формата: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ и намираме производните: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Отговор

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Продължаваме с любимата на всички тема за математическия анализ – производните. В тази статия ще научим как да намираме частни производни на функция на три променливи: първи производни и втори производни. Какво трябва да знаете и да можете, за да усвоите материала? Вярвате или не, първо, трябва да можете да намерите „обикновени“ производни на функция на една променлива - на високо или поне средно ниво. Ако наистина е трудно с тях, тогава започнете с урок Как да намерим производната?Второ, много е важно да прочетете статията и да разберете и решите, ако не всички, то повечето от примерите. Ако това вече е направено, тогава вървете с мен с уверена походка, ще бъде интересно, дори ще ви хареса!

Методи и принципи на намиране частни производни на функция на три променлививсъщност са много подобни на частни производни на функции на две променливи. Функция на две променливи, нека ви напомня, има формата , където "x" и "y" са независими променливи. Геометрично, функция от две променливи представлява определена повърхност в нашето триизмерно пространство.

Функция на три променливи има формата , а променливите се наричат независимапроменливиили аргументи, променливата се извиква зависима променливаили функция. Например: – функция на три променливи

А сега малко за научнофантастичните филми и извънземните. Често можете да чуете за четириизмерен, петизмерен, десетизмерен и т.н. пространства. Глупости или не?
В края на краищата функцията на три променливи предполага факта, че всички неща се случват в четириизмерното пространство (всъщност има четири променливи). Графиката на функция на три променливи е т.нар хиперповърхност. Невъзможно е да си го представим, тъй като живеем в триизмерно пространство (дължина/ширина/височина). За да не скучаете с мен, предлагам тест. Ще задам няколко въпроса и всеки, който се интересува може да се опита да отговори на тях:

– Има ли в света четвърти, пети и т.н.? измервания в смисъла на филистимското разбиране за пространство (дължина/ширина/височина)?

– Възможно ли е да се изгради четириизмерен, петизмерен и т.н. пространство в широкия смисъл на думата? Тоест дайте пример за такова пространство в живота ни.

– Възможно ли е пътуване в миналото?

– Възможно ли е да се пътува в бъдещето?

– Съществуват ли извънземни?

За всеки въпрос можете да изберете един от четири отговора:
Да / Не (науката забранява това) / Науката не забранява това / Не знам

Който отговори правилно на всички въпроси, най-вероятно ще има някакъв предмет ;-)

Постепенно ще давам отговори на въпроси с напредването на урока, не пропускайте примерите!

Всъщност те летяха. И веднага добрата новина: за функция на три променливи са валидни правилата за диференциране и таблицата на производните. Ето защо трябва да сте добри в справянето с "обикновените" производни на функцииедна променлива. Има много малко разлики!

Пример 1

Решение:Не е трудно да се досетите - за функция от три променливи има тричастични производни от първи ред, които се означават по следния начин:

Или – частна производна по „х”;
или – частична производна по отношение на „y“;
или – частична производна по отношение на „zet“.

Символът с просто число е по-често срещан, но съставителите на колекции и ръководства за обучение наистина обичат да използват тромави символи за проблеми - така че не се губете! Може би не всеки знае как правилно да чете тези „ужасяващи се дроби“ на глас. Пример: трябва да се чете, както следва: „de u po de x.“

Нека започнем с производната по отношение на "x": . Когато намерим частната производна по отношение на , след това променливите И се считат за константи (постоянни числа).И производната на всяка константа, о, благодат, е равна на нула:

Веднага обърнете внимание на индекса - никой не ви забранява да отбелязвате, че са константи. Още по-удобно е; препоръчвам на начинаещите да използват точно такъв запис, има по-малък риск да се объркате.

(1) Използваме свойствата на линейността на производната, по-специално преместваме всички константи отвъд знака на производната. Моля, обърнете внимание, че във втория член няма нужда да премахвате константата: тъй като „Y“ е константа, то също е константа. В термина “обикновената” константа 8 и константата “zet” са извадени от производния знак.

(2) Намираме най-простите производни, като не забравяме, че те са константи. След това разресваме отговора.

Частична производна. Когато намерим частната производна по отношение на "y", тогава променливите И се считат за константи:

(1) Използваме свойствата на линейността. И отново, забележете, че термините са константи, което означава, че нищо не трябва да се изважда от знака за производна.

(2) Намерете производни, като не забравяте, че те са константи. След това опростяваме отговора.

И накрая, частичната производна. Когато намерим частната производна по отношение на „zet“, тогава променливите И се считат за константи:

Общо правилоочевидно и непретенциозно: Когато намерим частната производнапо някаква причина независима променлива, тогавадруги двама независимите променливи се считат за константи.

Когато изпълнявате тези задачи, трябва да бъдете изключително внимателни, по-специално, Не можете да загубите индекси(които показват коя променлива се използва за диференциране). Загубата на индекса би била ГРУБО НЕПРАВИЛНО УСЛОВИЕ. Хммм…. Смешно е, ако след такова сплашване ги оставя да минат някъде)

Пример 2

Намерете частични производни от първи ред на функция на три променливи

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока.

Двата разгледани примера са доста прости и след решаването на няколко подобни задачи дори чайник ще свикне да се справя с тях устно.

За да разтоварим стреса, нека се върнем на първия въпрос от теста: Има ли четвърти, пети и т.н. в света? измервания в смисъла на филистимското разбиране за пространство (дължина/ширина/височина)?

Верен отговор: Науката не забранява това. Цялата фундаментална математическа аксиоматика, теореми, математически апарати са красиви и последователенработа в пространство с всякакви измерения. Възможно е някъде във Вселената да съществуват хиперповърхности извън контрола на нашия ум, например четириизмерна хиперповърхност, която се определя от функция на три променливи. Или може би хиперповърхностите са до нас или дори ние сме точно в тях, просто нашето зрение, други сетива и съзнание са способни да възприемат и разбират само три измерения.

Да се ​​върнем към примерите. Да, ако някой е много натоварен с теста, по-добре е да прочетете отговорите на следните въпроси, след като научите как да намирате частните производни на функция от три променливи, в противен случай ще ви объркам главата по време на статията =)

В допълнение към най-простите примери 1 и 2, на практика има задачи, които могат да бъдат наречени малък пъзел. Такива примери, за мое съжаление, изчезнаха, когато създадох урока Частни производни на функция на две променливи. Нека наваксаме:

Пример 3

Решение:Изглежда, че тук „всичко е просто“, но първото впечатление е измамно. Когато намират частични производни, мнозина ще се досетят за чаените листа и ще направят грешки.

Нека разгледаме примера последователно, ясно и разбираемо.

Нека започнем с частната производна по отношение на "x". Когато намерим частната производна по отношение на „x“, променливите се считат за константи. Следователно показателят на нашата функция също е константа. За манекени препоръчвам следното решение: в черновата променете константата на конкретно положително цяло число, например „пет“. Резултатът е функция на една променлива:
или можете също да го напишете така:

Това мощностфункция с комплексна основа (синус). от:

Сега си спомняме това, така че:

На последния етап, разбира се, решението трябва да бъде написано така:

Намираме частната производна по отношение на „y“, те се считат за константи. Ако "x" е константа, то също е константа. В черновата правим същия трик: заменете, например, с 3, „Z“ - заменете със същото „пет“. Резултатът отново е функция на една променлива:

Това показателенфункция с комплексен показател. от правило за диференциране на сложни функции:

Сега нека си спомним нашата замяна:

По този начин:

На последната страница, разбира се, дизайнът трябва да изглежда добре:

И огледалният случай с частичната производна по отношение на „zet“ ( – константи):

С известен опит анализът може да се извърши мислено.

Нека изпълним втората част на задачата - съставяне на диференциал от първи ред. Много е просто, по аналогия с функция на две променливи, диференциал от първи ред се записва с помощта на формулата:

В такъв случай:

И това е бизнес. Отбелязвам, че в практически задачи се изисква да се конструира пълен диференциал от 1-ви ред за функция от три променливи много по-рядко, отколкото за функция от две променливи.

Забавен пример за самостоятелно решаване на проблема:

Пример 4

Намерете частични производни от първи ред на функция от три променливи и конструирайте пълен диференциал от първи ред

Пълно решение и отговор в края на урока. Ако срещнете някакви затруднения, използвайте обсъждания алгоритъм "Chaynikovsky", гарантирано ще помогне. И още един полезен съвет - не бързай. Дори аз не мога да решавам такива примери бързо.

Нека се отклоним и да разгледаме втория въпрос: Възможно ли е да се изгради четириизмерен, петизмерен и т.н. пространство в широкия смисъл на думата? Тоест дайте пример за такова пространство в живота ни.

Верен отговор: да. Освен това е много лесно. Например добавяме четвърто измерение към дължината/ширината/височината - време. Популярното четириизмерно пространство-време и добре известната теория на относителността, спретнато открадната от Айнщайн от Лобачевски, Поанкаре, Лоренц и Минковски. Не всеки знае също. Защо Айнщайн спечели Нобеловата награда? В научния свят имаше ужасен скандал и Нобеловият комитет формулира заслугите на плагиатора приблизително по следния начин: „За цялостния му принос в развитието на физиката“. Значи това е. Марката на студента Айнщайн е чиста промоция и PR.

Лесно е да добавите пето измерение към разглежданото четириизмерно пространство, например: атмосферно налягане. И така нататък, така нататък, така нататък, колкото размери посочите във вашия модел - толкова ще бъдат. В най-широкия смисъл на думата ние живеем в многоизмерно пространство.

Нека да разгледаме още няколко типични задачи:

Пример 5

Намерете частични производни от първи ред в точка

Решение:Задача в тази формулировка често се среща на практика и включва следните две действия:
– трябва да намерите частични производни от първи ред;
– трябва да изчислите стойностите на частичните производни от 1-ви ред в точката.

Ние решаваме:

(1) Пред нас е сложна функция и в първата стъпка трябва да вземем производната на арктангенса. В този случай ние всъщност спокойно използваме табличната формула за производната на арктангенса. от правило за диференциране на сложни функциирезултатът трябва да се умножи по производната на вътрешната функция (вграждане): .

(2) Използваме свойствата на линейността.

(3) И вземаме останалите производни, като не забравяме, че те са константи.

Съгласно условията на заданието е необходимо да се намери стойността на намерената частна производна в точката. Нека заместим координатите на точката в намерената производна:

Предимството на тази задача е фактът, че други частични производни се намират по много подобна схема:

Както можете да видите, шаблонът за решение е почти същият.

Нека изчислим стойността на намерената частична производна в точката:

И накрая, производното по отношение на „zet“:

Готов. Решението можеше да бъде формулирано по друг начин: първо да се намерят и трите частични производни и след това да се изчислят техните стойности в точката. Но ми се струва, че горният метод е по-удобен - просто намерете частичната производна и веднага, без да излизате от касата, изчислете стойността й в точката.

Интересно е да се отбележи, че геометрично една точка е много реална точка в нашето триизмерно пространство. Стойностите на функцията и производните вече са четвъртото измерение и никой не знае къде се намира геометрично. Както се казва, никой не пълзи из Вселената с рулетка или проверява.

Тъй като философската тема отново е във възход, нека разгледаме третия въпрос: Възможно ли е да пътуваме в миналото?

Верен отговор: Не. Пътуването в миналото противоречи на втория закон на термодинамиката за необратимостта на физическите процеси (ентропия). Така че, моля, не се гмуркайте в басейн без вода, събитието може да се възпроизведе само във видео =) Не напразно народната мъдрост измисли обратния ежедневен закон: „Два пъти мери, веднъж режи“. Въпреки че всъщност тъжното е, че времето е еднопосочно и необратимо, никой от нас няма да е по-млад утре. А разни научнофантастични филми като „Терминаторът” са пълни глупости от научна гледна точка. Абсурдно е и от философска гледна точка, когато Следствието, връщайки се в миналото, може да унищожи собствената си Причина. .

По-интересно е с производното „zet“, въпреки че все още е почти същото:

(1) Изваждаме константите от знака на производната.

(2) Тук отново е произведението на две функции, всяка от които зависиот променливата „на живо“ „zet“. По принцип можете да използвате формулата за производна на частно, но е по-лесно да отидете по друг начин - да намерите производната на продукта.

(3) Производната е таблична производна. Вторият член съдържа вече познатата производна на сложна функция.

Пример 9

Намерете частични производни от първи ред на функция на три променливи

Това е пример, който можете да решите сами. Помислете как по-рационално да намерите тази или онази частична производна. Пълно решение и отговор в края на урока.

Преди да преминете към последните примери от урока и да разгледате частични производни от втори редфункции на три променливи, отново ще развеселя всички с четвъртия въпрос:

Възможно ли е да се пътува в бъдещето?

Верен отговор: Науката не забранява това. Парадоксално, но няма математически, физични, химични или други природонаучни закони, които да забраняват пътуването в бъдещето! Изглежда като глупост? Но почти всеки в живота е имал предчувствие (и неподкрепено с никакви логични аргументи), че това или онова събитие ще се случи. И се случи! Откъде идва информацията? От бъдещето? По този начин научнофантастичните филми за пътуване в бъдещето и, между другото, предсказанията на всички видове гадатели и екстрасенси не могат да бъдат наречени такива глупости. Поне науката не е опровергала това. Всичко е възможно! И така, когато бях в училище, компактдискове и монитори с плосък екран от филми ми се струваха невероятни.

Известната комедия „Иван Василиевич променя професията си“ е наполовина фантастика (най-много). Никой научен закон не е забранявал на Иван Грозни да бъде в бъдещето, но е невъзможно две чушки да се окажат в миналото и да изпълняват задълженията на цар.