Производна на функция. Подробна теория с примери. Решаване на производната за манекени: дефиниция, как да се намери, примери за решения Формула за производна на функция в точка
Решаването на физически задачи или примери по математика е напълно невъзможно без познаване на производната и методите за нейното изчисляване. Производната е едно от най-важните понятия в математическия анализ. Решихме да посветим днешната статия на тази основна тема. Какво е производна, какво е нейното физично и геометрично значение, как се изчислява производната на функция? Всички тези въпроси могат да бъдат комбинирани в един: как да разберем производната?
Геометрично и физическо значение на производната
Нека има функция f(x) , посочени в определен интервал (а, б) . Точките x и x0 принадлежат на този интервал. Когато x се промени, самата функция се променя. Промяна на аргумента - разликата в стойностите му х-х0 . Тази разлика се записва като делта х и се нарича увеличение на аргумента. Промяна или увеличение на функция е разликата между стойностите на функция в две точки. Дефиниция на производна:
Производната на функция в точка е границата на отношението на нарастването на функцията в дадена точка към нарастването на аргумента, когато последният клони към нула.
Иначе може да се напише така:
Какъв е смисълът да се намери такава граница? И ето какво е:
производната на функция в точка е равна на тангенса на ъгъла между оста OX и допирателната към графиката на функцията в дадена точка.
Физическо значение на производната: производната на пътя по време е равна на скоростта на праволинейно движение.
Всъщност още от ученическите дни всеки знае, че скоростта е особен път x=f(t) и време T . Средна скорост за определен период от време:
За да разберете скоростта на движение в даден момент t0 трябва да изчислите лимита:
Правило едно: задайте константа
Константата може да бъде извадена от знака за производна. Освен това това трябва да се направи. Когато решавате примери по математика, вземете го за правило - Ако можете да опростите израз, не забравяйте да го опростите .
Пример. Нека изчислим производната:
Второ правило: производна на сумата от функции
Производната на сумата от две функции е равна на сумата от производните на тези функции. Същото важи и за производната на разликата на функциите.
Няма да даваме доказателство на тази теорема, а по-скоро ще разгледаме практически пример.
Намерете производната на функцията:
Трето правило: производна на произведението на функциите
Производната на произведението на две диференцируеми функции се изчислява по формулата:
Пример: намерете производната на функция:
Решение:
Тук е важно да говорим за изчисляване на производни на сложни функции. Производната на сложна функция е равна на произведението на производната на тази функция по отношение на междинния аргумент и производната на междинния аргумент по отношение на независимата променлива.
В горния пример срещаме израза:
В този случай междинният аргумент е 8x на пета степен. За да изчислим производната на такъв израз, първо изчисляваме производната на външната функция по отношение на междинния аргумент и след това умножаваме по производната на самия междинен аргумент по отношение на независимата променлива.
Четвърто правило: производна на частното на две функции
Формула за определяне на производната на частното на две функции:
Опитахме се да говорим за производни за манекени от нулата. Тази тема не е толкова проста, колкото изглежда, така че бъдете предупредени: в примерите често има клопки, така че бъдете внимателни, когато изчислявате производни.
С всякакви въпроси по тази и други теми можете да се свържете със студентската служба. За кратко време ще ви помогнем да решите най-трудния тест и да разберете задачите, дори ако никога преди не сте правили производни изчисления.
Производната на функция е една от трудните теми в училищната програма. Не всеки завършил ще отговори на въпроса какво е производно.
Тази статия обяснява по прост и ясен начин какво е дериват и защо е необходим.. Сега няма да се стремим към математическа строгост в презентацията. Най-важното е да разберете смисъла.
Нека си припомним определението:
Производната е скоростта на промяна на функция.
Фигурата показва графики на три функции. Според вас кой расте по-бързо?
Отговорът е очевиден - третият. Той има най-високата скорост на промяна, тоест най-голямата производна.
Ето още един пример.
Костя, Гриша и Матвей получиха работа едновременно. Нека видим как са се променили доходите им през годината:
Графиката показва всичко наведнъж, нали? Доходите на Костя се удвоиха за шест месеца. И доходите на Гриша също се увеличиха, но съвсем малко. И доходите на Матвей намаляха до нула. Началните условия са същите, но скоростта на промяна на функцията, т.е производна, - различен. Що се отнася до Матвей, неговата производна на доходите като цяло е отрицателна.
Интуитивно, ние лесно оценяваме скоростта на промяна на функция. Но как да направим това?
Това, което наистина гледаме, е колко стръмно се издига (или надолу) графиката на дадена функция. С други думи, колко бързо се променя y при промяна на x? Очевидно една и съща функция в различни точки може да има различни производни стойности - тоест може да се променя по-бързо или по-бавно.
Производната на функция се обозначава.
Ще ви покажем как да го намерите с помощта на графика.
Начертана е графика на някаква функция. Нека вземем точка с абциса върху нея. Нека начертаем допирателна към графиката на функцията в тази точка. Искаме да преценим колко стръмно се изкачва графиката на дадена функция. Удобна стойност за това е тангенс на допирателния ъгъл.
Производната на функция в точка е равна на тангенса на допирателния ъгъл, начертан към графиката на функцията в тази точка.
Моля, обърнете внимание, че като ъгъл на наклон на допирателната приемаме ъгъла между допирателната и положителната посока на оста.
Понякога учениците питат какво е допирателна към графиката на функция. Това е права линия, която има една обща точка с графиката в този раздел и както е показано на нашата фигура. Изглежда като допирателна към окръжност.
Нека го намерим. Спомняме си, че тангенсът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е равен на съотношението на срещуположната страна към съседната страна. От триъгълника:
Намерихме производната с помощта на графика, без дори да знаем формулата на функцията. Такива проблеми често се срещат в Единния държавен изпит по математика под номера.
Има и друга важна връзка. Спомнете си, че правата линия е дадена от уравнението
Величината в това уравнение се нарича наклон на права линия. Тя е равна на тангенса на ъгъла на наклона на правата спрямо оста.
.
Разбираме това
Нека запомним тази формула. Той изразява геометричния смисъл на производната.
Производната на функция в точка е равна на наклона на допирателната, начертана към графиката на функцията в тази точка.
С други думи, производната е равна на тангенса на допирателния ъгъл.
Вече казахме, че една и съща функция може да има различни производни в различни точки. Нека видим как производната е свързана с поведението на функцията.
Нека начертаем графика на някаква функция. Нека тази функция нараства в някои области и намалява в други, и то с различна скорост. И нека тази функция има максимални и минимални точки.
В даден момент функцията се увеличава. Допирателната към графиката, начертана в точка, образува остър ъгъл с положителната посока на оста. Това означава, че производната в точката е положителна.
В момента нашата функция намалява. Допирателната в тази точка образува тъп ъгъл с положителната посока на оста. Тъй като тангенсът на тъп ъгъл е отрицателен, производната в точката е отрицателна.
Ето какво се случва:
Ако една функция нараства, нейната производна е положителна.
Ако намалява, производната му е отрицателна.
Какво ще се случи при максималните и минималните точки? Виждаме, че в точките (максимална точка) и (минимална точка) допирателната е хоризонтална. Следователно тангенсът на допирателната в тези точки е нула и производната също е нула.
Точка - максимална точка. В този момент нарастването на функцията се заменя с намаление. Следователно знакът на производната се променя в точката от „плюс“ на „минус“.
В точката - минималната точка - производната също е нула, но нейният знак се променя от "минус" на "плюс".
Извод: с помощта на производната можем да разберем всичко, което ни интересува за поведението на дадена функция.
Ако производната е положителна, тогава функцията нараства.
Ако производната е отрицателна, тогава функцията намалява.
В максималната точка производната е нула и променя знака от "плюс" на "минус".
В минималната точка производната също е нула и променя знака от „минус“ на „плюс“.
Нека напишем тези изводи под формата на таблица:
се увеличава | максимална точка | намалява | минимална точка | се увеличава | |
+ | 0 | - | 0 | + |
Нека направим две малки уточнения. Един от тях ще ви трябва, когато решавате USE задачи. Друг – през първата година, с по-сериозно изучаване на функции и производни.
Възможно е производната на функция в дадена точка да е равна на нула, но функцията да няма нито максимум, нито минимум в тази точка. Това е т.нар :
В дадена точка допирателната към графиката е хоризонтална и производната е нула. Въпреки това, преди точката функцията нараства - и след точката тя продължава да нараства. Знакът на производната не се променя - тя остава положителна, както е била.
Също така се случва в точката на максимум или минимум производната да не съществува. На графиката това съответства на рязко прекъсване, когато е невъзможно да се начертае допирателна в дадена точка.
Как да намерим производната, ако функцията е дадена не с графика, а с формула? В този случай се прилага
Може да се извади като знак производна:
(af(x)" =af " (x).
Например:
Производна на алгебрична суманяколко функции (взети в постоянни числа) е равна на алгебричната им сума производни:
(f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x))" = f 1 " (x) + f 2 " (x) - f 3 " (x).
Например:
(0,3 x 2 - 2 x + 0,8)" = (0,3 x 2)" - (2 x)" + (0,8)" = 0,6 x - 2 ( производнапоследно срокуравнението е нула).
Ако производна на функция g е различно от нула, тогава отношението f/g също има крайна производна. Това свойство може да се запише като:
.
Позволявам функции y = f(x) и y = g(x) имат крайни производнив точка x 0 . Тогава функции f ± g и f g също имат крайни производни втова точка. Тогава получаваме:
(f ± g) ′ = f ′ ± g ′,
(f g) ′ = f ′ g + f g ′.
Производна на сложна функция.
Позволявам функция y = f(x) има крайна производна в точка x 0 , функцията z = s(y) има крайна производна в точката y 0 = f(x 0).
Тогава сложна функция z = s (f(x)) също има крайна производна в тази точка. Горното може да се запише във формата:
.
Производна на обратната функция.
Нека функцията y = f(x) има обратна функция x = g(y) на някои интервал(a, b) и има различно от нула крайна производнатази функция в точката x 0, принадлежаща на област на дефиниция, т.е. x 0 ∈ (a, b).
Тогава обратна функцияТо има производнав точка y 0 = f(x 0):
.
Производна на неявна функция.
Ако функция y = f(x) е дадено имплицитно уравнение F(x, y(x)) = 0, тогава неговата производнасе намира от условието:
.
Казват, че функция y = f(x) се посочва имплицитно, Ако тя идентичноудовлетворява отношението:
където F(x, y) е някаква функция от два аргумента.
Производна на функция, дефинирана параметрично.
Ако функция y = f(x) се задава параметрично с помощта на разглеждания
Много лесен за запомняне.
Е, нека не отиваме далеч, нека веднага разгледаме обратната функция. Коя функция е обратна на експоненциалната функция? Логаритъм:
В нашия случай основата е числото:
Такъв логаритъм (т.е. логаритъм с основа) се нарича „естествен“ и ние използваме специална нотация за него: пишем вместо това.
На какво е равно? Разбира се, .
Производната на естествения логаритъм също е много проста:
Примери:
- Намерете производната на функцията.
- Каква е производната на функцията?
Отговори: Експоненциалният и естественият логаритъм са уникално прости функции от производна гледна точка. Експоненциалните и логаритмичните функции с всяка друга основа ще имат различна производна, която ще анализираме по-късно, след като преминем през правилата за диференциране.
Правила за диференциране
Правила на какво? Пак нов мандат, пак?!...
Диференциацияе процесът на намиране на производната.
Това е всичко. Как иначе можете да наречете този процес с една дума? Не производна... Математиците наричат диференциала същото нарастване на функция при. Този термин идва от латинския differentia - разлика. Тук.
Когато извличаме всички тези правила, ще използваме две функции, например и. Ще ни трябват и формули за техните увеличения:
Има общо 5 правила.
Константата се изважда от знака за производна.
Ако - някакво постоянно число (константа), тогава.
Очевидно това правило работи и за разликата: .
Нека го докажем. Нека бъде или по-просто.
Примери.
Намерете производните на функциите:
- в точка;
- в точка;
- в точка;
- в точката.
Решения:
- (производната е една и съща във всички точки, тъй като е линейна функция, помните ли?);
Производно на продукта
Тук всичко е подобно: нека въведем нова функция и да намерим нейното увеличение:
Производна:
Примери:
- Намерете производните на функциите и;
- Намерете производната на функцията в точка.
Решения:
Производна на експоненциална функция
Сега знанията ви са достатъчни, за да научите как да намирате производната на всяка експоненциална функция, а не само на експоненти (забравили ли сте вече какво е това?).
И така, къде е някакво число.
Вече знаем производната на функцията, така че нека се опитаме да намалим нашата функция до нова основа:
За целта ще използваме едно просто правило: . Тогава:
Е, проработи. Сега опитайте да намерите производната и не забравяйте, че тази функция е сложна.
Се случи?
Ето, проверете сами:
Формулата се оказа много подобна на производната на експонента: както беше, остава същата, само се появи фактор, който е просто число, но не и променлива.
Примери:
Намерете производните на функциите:
Отговори:
Това е просто число, което не може да се изчисли без калкулатор, тоест не може да се запише в по-прост вид. Затова го оставяме в този вид в отговора.
Имайте предвид, че тук е частното на две функции, така че прилагаме съответното правило за диференциране:
В този пример продуктът на две функции:
Производна на логаритмична функция
Тук е подобно: вече знаете производната на естествения логаритъм:
Следователно, за да намерите произволен логаритъм с различна основа, например:
Трябва да намалим този логаритъм до основата. Как се променя основата на логаритъм? Надявам се, че помните тази формула:
Само сега вместо това ще напишем:
Знаменателят е просто константа (постоянно число, без променлива). Производната се получава много просто:
Производни на експоненциални и логаритмични функции почти никога не се срещат в Единния държавен изпит, но няма да е излишно да ги знаете.
Производна на сложна функция.
Какво е "сложна функция"? Не, това не е логаритъм и не е арктангенс. Тези функции могат да бъдат трудни за разбиране (въпреки че ако намирате логаритъма за труден, прочетете темата „Логаритми“ и ще се оправите), но от математическа гледна точка думата „комплексен“ не означава „труден“.
Представете си малка конвейерна лента: двама души седят и извършват някакви действия с някакви предмети. Например, първият увива шоколадово блокче в обвивка, а вторият го завързва с панделка. Резултатът е съставен обект: шоколадово блокче, увито и завързано с панделка. За да изядете блокче шоколад, трябва да направите обратните стъпки в обратен ред.
Нека създадем подобен математически конвейер: първо ще намерим косинуса на число и след това ще повдигнем на квадрат полученото число. И така, получаваме число (шоколад), аз намирам неговия косинус (обвивка), а след това вие повдигате на квадрат полученото (завързвате го с панделка). Какво стана? функция. Това е пример за сложна функция: когато, за да намерим нейната стойност, извършваме първото действие директно с променливата и след това второ действие с това, което е резултат от първото.
С други думи, сложна функция е функция, чийто аргумент е друга функция: .
За нашия пример,.
Можем лесно да направим същите стъпки в обратен ред: първо го повдигате на квадрат, а аз след това търся косинуса на полученото число: . Лесно е да се досетите, че резултатът почти винаги ще бъде различен. Важна характеристика на сложните функции: когато редът на действията се промени, функцията се променя.
Втори пример: (същото нещо). .
Действието, което извършваме последно, ще бъде извикано "външна" функция, а първо извършеното действие - съотв "вътрешна" функция(това са неофициални имена, използвам ги само за да обясня материала на прост език).
Опитайте се да определите сами коя функция е външна и коя вътрешна:
Отговори:Разделянето на вътрешни и външни функции е много подобно на промяната на променливи: например във функция
- Какво действие ще извършим първо? Първо, нека изчислим синуса и едва след това го кубираме. Това означава, че това е вътрешна функция, но външна.
И първоначалната функция е тяхната композиция: . - Вътрешен: ; външен: .
Преглед: . - Вътрешен: ; външен: .
Преглед: . - Вътрешен: ; външен: .
Преглед: . - Вътрешен: ; външен: .
Преглед: .
Променяме променливи и получаваме функция.
Е, сега ще извлечем нашето шоколадово блокче и ще потърсим производната. Процедурата винаги е обратна: първо търсим производната на външната функция, след това умножаваме резултата по производната на вътрешната функция. Във връзка с оригиналния пример изглежда така:
Друг пример:
И така, нека най-накрая формулираме официалното правило:
Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:
Изглежда просто, нали?
Нека проверим с примери:
Решения:
1) Вътрешен: ;
Външен: ;
2) Вътрешен: ;
(Само не се опитвайте да го отрежете досега! Нищо не излиза изпод косинуса, помните ли?)
3) Вътрешен: ;
Външен: ;
Веднага става ясно, че това е сложна функция на три нива: в крайна сметка това вече е сложна функция сама по себе си и ние също извличаме корена от нея, тоест извършваме третото действие (поставете шоколада в обвивка и с панделка в куфарчето). Но няма причина да се страхувате: ние все пак ще „разопаковаме“ тази функция в същия ред, както обикновено: от края.
Тоест, първо диференцираме корена, след това косинуса и едва след това израза в скоби. И след това умножаваме всичко.
В такива случаи е удобно действията да се номерират. Тоест нека си представим това, което знаем. В какъв ред ще извършим действия за изчисляване на стойността на този израз? Да разгледаме един пример:
Колкото по-късно се извърши действието, толкова по-„външна“ ще бъде съответната функция. Последователността на действията е същата като преди:
Тук гнезденето обикновено е 4-степенно. Да определим хода на действие.
1. Радикален израз. .
2. Корен. .
3. Синус. .
4. Квадрат. .
5. Събираме всичко заедно:
ПРОИЗВОДНО. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО
Производна на функция- отношението на нарастването на функцията към увеличението на аргумента за безкрайно малко увеличение на аргумента:
Основни производни:
Правила за диференциация:
Константата се изважда от знака за производна:
Производна на сумата:
Производно на продукта:
Производна на коефициента:
Производна на сложна функция:
Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:
- Дефинираме „вътрешната“ функция и намираме нейната производна.
- Дефинираме „външната“ функция и намираме нейната производна.
- Умножаваме резултатите от първа и втора точка.
Подобни статии
-
Какво се промени в Уделная след трагедията с „Алегро Пристигане на Алегро
Можете да закупите билети за влак Allegro и да проверите разписанието ДЕНОНОЩНО на телефон 007 или (812)331-92-91. Можете също да поръчате обратно обаждане на нашия уебсайт и нашият касиер ще ви се обади възможно най-скоро. Ако ти...
-
Задачи за развитие на речта
Изображенията на растенията дават богат материал за развитието на речта. Една от най-интересните и популярни разновидности на тази голяма тема сред учителите е разделът, посветен на цветовете. Ярките рисунки привличат вниманието...
-
Моменти от историята във снимки (53 снимки)
„Една снимка струва повече от хиляда думи“ е мотото на един фоторепортер. Това е тяхната цел – да снимат истински и смели изображения, които разказват своята история без думи. Според Марк Хенкок професионалният фотожурналист „е визуален...
-
Изучаване на английски език по метода на Николай Замяткин Матрици за изучаване на английски език
Преди около година попаднах на книгата на Николай Замяткин „Невъзможно е да те науча на чужд език“. Намерих книгата доста интересна, но докато я четях, имах няколко коментара относно предложения метод...
-
Най-необяснимите мистични истории Убийството на "Черната Далия"
Двадесети век е богат на различни мистериозни събития и тъмни петна от историята, много от които все още не са разкрити или напълно изяснени. Ето някои от тях: 1996 г. Странно полумъртво същество е открито в гробище в селото...
-
Значението на думата налагане в речника на Дал
Думата, която ще разгледаме днес, е тази, която чуваме все по-рядко всяка година. Все пак го има и си струва да го обсъдим. Прилагателното „внушителен” е това, на което ще отделим време. В крайна сметка не бива да пропускате възможност да научите нещо ново, особено когато...