Равномерно ускорено движение: формули, примери. Равномерно ускорено движение: формули, примери

3.2.1. Как правилно да разберем условията на проблема?

Скоростта на тялото се е увеличила нведнъж:

Скоростта е намаляла в нведнъж:

Скоростта се увеличава с 2 m/s:

С колко се е увеличила скоростта?

С колко е намаляла скоростта?

Как се е променила скоростта?

Колко се е увеличила скоростта?

Колко е намаляла скоростта?

Тялото е достигнало най-голямата си височина:

Тялото е изминало половината от разстоянието:

Тялото се хвърля от земята: (последното условие често се пренебрегва - ако скоростта на тялото е нула, например дръжката, лежаща на масата, може ли да лети нагоре?), Началната скорост е насочена нагоре.

Тялото се хвърля надолу: началната скорост е насочена надолу.

Тялото се хвърля нагоре: началната скорост е насочена нагоре.

В момента на падане на земята:

Тялото пада от балона (балон): началната скорост е равна на скоростта на балона (балон) и е насочена в същата посока.

3.2.2. Как да определим ускорението от графика на скоростта?

Законът за промяна на скоростта има формата:

Графиката на това уравнение е права линия. Тъй като - коефициент преди т, тогава е наклонът на правата линия.

За диаграма 1:

Фактът, че графика 1 се „издига нагоре“ означава, че проекцията на ускорението е положителна, т.е. векторът е насочен в положителна посока на оста вол

За диаграма 2:

Фактът, че графика 2 „слиза надолу“ означава, че проекцията на ускорението е отрицателна, т.е. векторът е насочен в отрицателна посока на оста вол. Пресечната точка на графиката с оста - промяна в посоката на движение към противоположната.

За да определим и, ние избираме такива точки на графиката, в които е възможно точно да се определят стойностите, като правило това са точки, разположени във върховете на клетките.

3.2.3. Как да определим изминатото разстояние и преместването от графиката на скоростта?

Както е посочено в параграф 3.1.6, пътят е възможен като площ под графиката на скоростта спрямо ускорението. Прост случай е показан в раздел 3.1.6. Нека разгледаме по-сложен вариант, когато графиката на скоростта пресича оста на времето.

Припомнете си, че пътят може само да се увеличава, така че пътят, който тялото е изминало в примера на фигура 9 е:

където и са площите на фигурите, защриховани на фигурата.

За да се определи изместването, трябва да се отбележи, че в точките и тялото променя посоката на движение. Докато минава по пътя, тялото се движи в положителна посока на оста вол, тъй като графиката лежи над оста на времето. Пътуване по начина, по който тялото се движи в обратна посока, в отрицателна посока на оста волтъй като графиката лежи под оста на времето. Преминавайки по пътя, тялото се движи в положителна посока на оста вол, тъй като графиката лежи над оста на времето. Значи преместването е:

Нека отново обърнем внимание:

1) пресичане с оста на времето означава завъртане в обратна посока;

2) площта на графиката, лежаща под оста на времето, е положителна и е включена със знака "+" в определението за изминато разстояние, но със знака "-" в определението за преместване.

3.2.4. Как да определим зависимостта на скоростта от времето и координатите от времето от графиката на ускорението спрямо времето?

За да се определят необходимите зависимости, са необходими начални условия - стойностите на скоростта и координатите в момента без начални условия е невъзможно да се реши този проблем еднозначно, следователно, като правило, те са дадени в състояние на проблема.

В този пример ще се опитаме да дадем всички разсъждения с букви, така че конкретен пример (при заместване на числа) да не загуби същността на действията.

Нека в момента скоростта на тялото е равна на нула и началната координата

Началните стойности на скоростта и координатите се определят от началните условия, а ускорението от графиката:

следователно, движението е равномерно ускорено и законът за промяна на скоростта има формата:

До края на този интервал от време (), скоростта () и координатата () ще бъдат равни (вместо време във формулите и трябва да замените ):

Началната стойност на скоростта на този интервал трябва да бъде равна на крайната стойност на предишния интервал, началната стойност на координатата е равна на крайната стойност на координатата на предишния интервал, а ускорението се определя от графиката:

следователно, движението е равномерно ускорено и законът за промяна на скоростта има формата:

До края на този интервал от време (), скоростта () и координатата () ще бъдат равни (вместо време във формулите и трябва да замените ):

За по-добро разбиране изобразяваме получените резултати на графика (вижте фиг.)

На скоростната диаграма:

1) От 0 до права линия, „издигаща се“ (защото);

2) От до хоризонтална права линия (защото );

3) От до: права линия, "падаща надолу" (защото).

Координати на графиката:

1) От 0 до : парабола, чиито клони са насочени нагоре (защото );

2) От до: права линия, издигаща се нагоре (тъй като);

3) От до: парабола, чиито клони са насочени надолу (тъй като).

3.2.5. Как да запишем аналитичната формула на закона за движение от графиката на закона за движение?

Нека е дадена графиката на равномерното движение.

В тази формула има три неизвестни: и

За да определим, достатъчно е да погледнем стойността на функцията в. За да определим другите две неизвестни, избираме две точки на графиката, чиито стойности можем точно да определим - върховете на клетките. Получаваме системата:

Предполагаме, че вече знаем. Умножете 1-вото уравнение на системата по и 2-рото уравнение по:

Изваждаме 2-рото уравнение от 1-вото уравнение, след което получаваме:

Заместваме получената от този израз стойност в някое от уравненията на системата (3.67) и решаваме полученото уравнение по отношение на:

3.2.6. Как да определим закона за промяна на скоростта според известния закон за движение?

Законът за равномерното движение има формата:

Това е стандартният му вид за този тип движение и не може да изглежда по друг начин, така че си струва да запомните.

В този закон коефициентът преди те стойността на началната скорост, коефициентът pre е ускорението, разделено наполовина.

Например, предвид закона:

И уравнението на скоростта е:

По този начин, за да се решат такива задачи, е необходимо да се запомни точно формата на закона за равномерното движение и значението на коефициентите, включени в това уравнение.

Можете обаче да отидете по друг път. Нека си спомним формулата:

В нашия пример:

3.2.7. Как да определим мястото и часа на срещата?

Нека бъдат дадени законите за движение на две тела:

В момента на срещата телата са в една и съща координата, тоест е необходимо да се реши уравнението:

Нека го пренапишем във формата:

Това е квадратно уравнение, чието общо решение няма да бъде дадено поради неговата тромавост. Квадратното уравнение или няма решения, което означава, че телата не са се срещали; всеки има едно решение - една единствена среща; или има две решения - две заседания на органи.

Получените решения трябва да бъдат проверени за физическа осъществимост. Най-важното условие: а това е, времето на срещата трябва да е положително.

3.2.8. Как да определим пътя за -та секунда?

Нека тялото започне да се движи от състояние на покой и да премине пътя за -та секунда.Трябва да се намери по кой път изминава тялото нта секунда.

За да се реши този проблем, е необходимо да се използва формула (3.25):

Означете Тогава

Разделяме уравнението на и получаваме:

3.2.9. Как се движи тяло, изхвърлено от височина? з?

Тяло, изхвърлено от високо зсъс скорост

Координатно уравнение г

Времето за изкачване до най-високата точка на полета се определя от условието:

Хнеобходимо е в е необходимо да се замени :

Скорост на падане:

3.2.10. Как се движи тяло, хвърлено от височина? з?

Тяло, изхвърлено от високо зсъс скорост

Координатно уравнение гв произволен момент от време:

уравнението:

Времето на целия полет се определя от уравнението:

Това е квадратно уравнение, което има две решения, но в тази задача тялото може да се появи в координатата само веднъж. Следователно сред получените решения едно трябва да бъде „отстранено“. Основният критерий за отпадане е, че времето на полета не може да бъде отрицателно:

Скорост на падане:

3.2.11. Как се движи тяло, изхвърлено от повърхността на земята?

Тяло се хвърля нагоре от земната повърхност със скорост

Координатно уравнение гв произволен момент от време:

Уравнение за проекция на скоростта в произволен момент от време:

Времето за изкачване до най-високата точка на полета се определя от условието

За да намерите максималната височина Хе необходимо в (3.89) е необходимо да се замести

Времето на целия полет се определя от условието Получаваме уравнението:

Скорост на падане:

Имайте предвид, че това означава, че времето за издигане е равно на времето за падане на същата височина.

Също така получи: тоест - с каква скорост са хвърлили, със същата скорост падна тялото. Знакът "-" във формулата показва, че скоростта в момента на падане е насочена надолу, тоест срещу оста ой.

3.2.12. Тялото е било на една и съща височина два пъти...

При хвърляне на тяло то може да бъде два пъти на една и съща височина – първия път при движение нагоре, вторият – при падане надолу.

1) Когато тялото е отгоре з?

За тяло, изхвърлено от повърхността на земята, е валиден законът за движение:

Когато тялото е нагоре зкоординатата му ще бъде равна на Получаваме уравнението:

чието решение изглежда така:

2) Времената са известни и кога тялото е било най-добре з. Кога тялото ще достигне максималната си височина?

Време на полет от височина зобратно на височина зравно Както вече беше показано, времето на изкачване е равно на времето на падане на същата височина, така че времето на полет от височина здо максималната височина е равна на:

След това времето за полет от началото на движението до максималната височина:

3) Времената са известни и кога тялото е било най-добре з. Какво е времето за полет на тялото?

Общото време на полета е:

4) Времената са известни и кога тялото е било най-добре з. Каква е максималната височина на повдигане?

3.2.13. Как се движи тяло, хвърлено хоризонтално от височина? з?

Тяло, хвърлено хоризонтално от височина зсъс скорост

Прогнози за ускорение:

Проекции на скоростта в произволен момент от време т:

т:

т:

Времето на полета се определя от условието

За да се определи обхватът на полета, е необходимо в уравнението за координатата хвместо тзаместител

За да се определи скоростта на тялото в момента на падане, е необходимо да се постави в уравнението вместо тзаместител

Ъгълът, под който тялото пада на земята:

3.2.14. Как тялото, хвърлено под ъгъл α спрямо хоризонта, се движи от височина з?

Тяло, хвърлено под ъгъл α спрямо хоризонта от височина зсъс скорост

Проекции на началната скорост по оста:

Прогнози за ускорение:

Проекции на скоростта в произволен момент от време т:

Модул на скоростта в произволен момент от време т:

Координати на тялото в произволен момент от време т:

Максимална височина Х

Това е квадратно уравнение, което има две решения, но в тази задача тялото може да се появи в координатата само веднъж. Следователно сред получените решения едно трябва да бъде „отстранено“. Основният критерий за отпадане е, че времето на полета не може да бъде отрицателно:

х Л:

Скорост по време на падане

Ъгъл на падане:

3.2.15. Как се движи тяло, хвърлено под ъгъл α спрямо земния хоризонт?

Тяло, хвърлено под ъгъл α спрямо хоризонта от земната повърхност със скорост

Проекции на началната скорост по оста:

Прогнози за ускорение:

Проекции на скоростта в произволен момент от време т:

Модул на скоростта в произволен момент от време т:

Координати на тялото в произволен момент от време т:

Времето за полет до най-високата точка се определя от условието

Скорост в най-високата точка на полета

Максимална височина Хсе определя чрез заместване в закона за промяна на координатата y на времето

Цялото време на полет се намира от условието получаваме уравнението:

Получаваме

Отново получихме това, тоест показахме още веднъж, че времето на нарастване е равно на времето на падане.

Ако заместим в закона за промяната на координатите хвреме, когато получим обхвата на полета Л:

Скорост по време на падане

Ъгълът, който векторът на скоростта образува с хоризонтала в произволен момент от време:

Ъгъл на падане:

3.2.16. Какво представляват плоски и монтирани траектории?

Нека решим следния проблем: под какъв ъгъл трябва да бъде хвърлено тяло от повърхността на земята, така че тялото да падне на разстояние Лот точката на падане?

Обхватът на полета се определя по формулата:

От физически съображения е ясно, че ъгълът α не може да бъде по-голям от 90°, следователно два корена са подходящи от серия от решения на уравнението:

Траектория на движение, за която се нарича плоска траектория. Траекторията на движение, за която се нарича шарнирна траектория.

3.2.17. Как да използваме триъгълника на скоростите?

Както беше казано в 3.6.1, триъгълникът на скоростта във всяка задача ще има своя собствена форма. Нека разгледаме конкретен пример.

Тяло се хвърля от върха на кула със скорост, при която обхватът на полета е максимален. Докато удари земята, скоростта на тялото е Колко дълго продължи полетът?

Нека построим триъгълник от скорости (виж фиг.). В него начертаваме височина, която очевидно е равна на Тогава площта на триъгълника на скоростите е равна на:

Тук сме използвали формула (3.121).

Намерете площта на същия триъгълник, като използвате различна формула:

Тъй като това са площите на един и същ триъгълник, ние приравняваме формулите и:

къде ще стигнем

Както се вижда от формулите за крайната скорост, получени в предишните параграфи, крайната скорост не зависи от ъгъла, под който е хвърлено тялото, а зависят само стойностите на началната скорост и началната височина. Следователно обхватът на полета по формулата зависи само от ъгъла между началната и крайната скорост β. След това обхватът на полета Лще бъде максимално, ако приеме максималната възможна стойност, т.е.

По този начин, ако обхватът на полета е максимален, тогава триъгълникът на скоростта ще бъде правоъгълен, следователно, Питагоровата теорема е изпълнена:

къде ще стигнем

Свойството на триъгълника на скоростта, което току-що беше доказано, може да се използва при решаване на други задачи: триъгълникът на скоростта е правоъгълен в задачата за максимален диапазон.

3.2.18. Как да използваме триъгълника на изместване?

Както бе споменато в 3.6.2, триъгълникът на преместване във всяка задача ще има своя собствена форма. Нека разгледаме конкретен пример.

Тяло се хвърля под ъгъл β към повърхността на планина с ъгъл на наклон α. С каква скорост трябва да се хвърли тялото, за да падне точно на разстояние Лот точката на падане?

Нека построим триъгълник на изместване - това е триъгълник ABC(виж фиг. 19). Нека начертаем височина в него BD. Очевидно ъгълът DBCе равно на α.

Нека изразим страната BDот триъгълник BCD:

Нека изразим страната BDот триъгълник ABD:

Приравнете и :

Къде намираме времето на полета:

експресно АДот триъгълник ABD:

Нека изразим страната DCот триъгълник BCD:

Но получаваме

Заменете в това уравнение полученият израз за времето на полета:

Най-накрая получаваме

3.2.19. Как да решаваме задачи, използвайки закона за движение? (хоризонтално)

По правило в училище при решаване на задачи за равномерно променливо движение се използват формули

Този подход към решението обаче е трудно приложим за решаване на много проблеми. Нека разгледаме конкретен пример.

Закъснялият пътник се приближи до последния вагон на влака в момента, в който влакът започна да се движи, като започна да се движи с постоянно ускорение Единствената отворена врата в един от вагоните се оказа на разстояние от пътника Каква е най-малката постоянна скорост той трябва да се развива, за да има време да се качи на влака?

Нека представим оста вол, насочена по протежение на движението на човек и влак. За нулева позиция приемаме първоначалната позиция на лицето („2“). След това първоначалната координата на отворената врата ("1") Л:

Вратата („1“), подобно на целия влак, има начална скорост, равна на нула. Човекът („2“) започва да се движи със скорост

Вратата („1“), както и целият влак, се движи с ускорение a. Човекът („2“) се движи с постоянна скорост:

Законът за движение както на вратата, така и на лицето има формата:

Заместваме условията и в уравнението за всяко от движещите се тела:

Съставихме уравнение на движение за всяко от телата. Сега нека използваме вече познатия алгоритъм, за да намерим мястото и времето на срещата на две тела - трябва да приравним и :

Откъде получаваме квадратното уравнение за определяне на времето за среща:

Това е квадратно уравнение. И двете му решения имат физическо значение - най-малкият корен, това е първата среща на човек и врата (човек може да бяга бързо от място, но влакът няма веднага да набере висока скорост, така че човек може да изпревари вратата), вторият корен е втората среща (когато влакът вече е ускорил и настигна човека). Но наличието на двата корена означава, че човек може да тича по-бавно. Скоростта ще бъде минимална, когато уравнението има един единствен корен, т.е

Къде да намерим минималната скорост:

При такива задачи е важно да се анализира в условията на задачата: какви са началната координата, началната скорост и ускорението. След това съставяме уравнението на движението и мислим как да решим проблема по-нататък.

3.2.20. Как да решаваме задачи, използвайки закона за движение? (вертикално)

Помислете за пример.

Свободно падащо тяло измина последните 10 m за 0,5 s. Намерете времето на падане и височината, от която е паднало тялото. Игнорирайте съпротивлението на въздуха.

За свободното падане на тялото е валиден законът за движение:

в нашия случай:

начална координата:

начална скорост:

Заменете условията в закона за движение:

Замествайки необходимите стойности на времето в уравнението на движението, ще получим координатите на тялото в тези моменти.

В момента на падането, координатата на тялото

От преди момента на падане, тоест в координатата на тялото

Уравнения и представляват система от уравнения, в която неизвестните Хи решавайки тази система, получаваме:

И така, познавайки формата на закона за движение (3.30) и използвайки условията на задачата, за да намерим и получим закона за движение за този специфичен проблем. След това, замествайки необходимите времеви стойности, получаваме съответните координатни стойности. И ние решаваме проблема!

Равноускореното движение е движение, при което векторът на ускорението не се променя по големина и посока. Примери за такова движение: велосипед, който се търкаля по хълм; камък, хвърлен под ъгъл спрямо хоризонта. Равномерното движение е специален случай на равномерно ускорено движение с ускорение, равно на нула.

Нека разгледаме случая на свободно падане (тяло е хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта) по-подробно. Такова движение може да се представи като сума от движения около вертикалната и хоризонталната ос.

Във всяка точка от траекторията върху тялото действа ускорението на свободното падане g →, което не се променя по големина и винаги е насочено в една посока.

По оста X движението е равномерно и праволинейно, а по оста Y е равномерно ускорено и праволинейно. Ще разгледаме проекциите на векторите на скоростта и ускорението върху оста.

Формула за скорост с равномерно ускорено движение:

Тук v 0 е началната скорост на тялото, a = c o n s t е ускорението.

Нека покажем на графиката, че при равномерно ускорено движение зависимостта v (t) има формата на права линия.

​​​​​​​

Ускорението може да се определи от наклона на графиката на скоростта. На фигурата по-горе модулът на ускорение е равен на съотношението на страните на триъгълника ABC.

a = v - v 0 t = B C A C

Колкото по-голям е ъгълът β, толкова по-голям е наклонът (стръмността) на графиката спрямо оста на времето. Съответно, колкото по-голямо е ускорението на тялото.

За първата графика: v 0 = - 2 m s; a = 0, 5 m s 2.

За втората графика: v 0 = 3 m s; a = - 1 3 m s 2 .

От тази графика можете също да изчислите движението на тялото във времето t. Как да го направя?

Нека отделим малък интервал от време ∆ t на графиката. Ще приемем, че е толкова малък, че движението за времето ∆ t може да се счита за равномерно движение със скорост равна на скоростта на тялото в средата на интервала ∆ t . Тогава изместването ∆ s за времето ∆ t ще бъде равно на ∆ s = v ∆ t .

Нека разделим цялото време t на безкрайно малки интервали ∆ t . Преместването s във времето t е равно на площта на трапеца O D E F.

s = O D + E F 2 O F = v 0 + v 2 t = 2 v 0 + (v - v 0) 2 t .

Знаем, че v - v 0 = a t , така че крайната формула за преместване на тялото ще бъде:

s = v 0 t + a t 2 2

За да намерите координатата на тялото в даден момент, трябва да добавите изместване към първоначалната координата на тялото. Промяната в координатите в зависимост от времето изразява закона за равномерно ускореното движение.

Закон за равномерно ускореното движение

Закон за равномерно ускореното движение

y = y 0 + v 0 t + a t 2 2 .

Друга обща задача на кинематиката, която възниква при анализа на равномерно ускорено движение, е намирането на координати за дадени стойности на началната и крайната скорост и ускорение.

Елиминирайки t от горните уравнения и решавайки ги, получаваме:

s \u003d v 2 - v 0 2 2 a.

От известните начална скорост, ускорение и изместване можете да намерите крайната скорост на тялото:

v = v 0 2 + 2 a s .

За v 0 = 0 s = v 2 2 a и v = 2 a s

Важно!

Стойностите v , v 0 , a , y 0 , s, включени в изразите, са алгебрични величини. В зависимост от естеството на движението и посоката на координатните оси в конкретна задача, те могат да приемат както положителни, така и отрицателни стойности.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Помислете за движението на тяло, хвърлено хоризонтално и движещо се само под действието на гравитацията (пренебрегвайки съпротивлението на въздуха). Например, представете си, че топката, лежаща на маса, получава тласък и тя се търкаля до ръба на масата и започва да пада свободно, като има начална скорост, насочена хоризонтално (фиг. 174).

Нека проектираме движението на топката по вертикалната ос и по хоризонталната ос. Движението на проекцията на топката върху оста е движение без ускорение със скорост ; движението на проекцията на топката върху оста е свободно падане с ускорение извън началната скорост под действието на гравитацията. Ние знаем законите и на двете движения. Компонентът на скоростта остава постоянен и равен на . Компонентът нараства пропорционално на времето: . Получената скорост се намира лесно с помощта на правилото на паралелограма, както е показано на фиг. 175. Ще се наклони надолу и наклонът му ще се увеличава с времето.

Ориз. 174. Движение на топка, търкаляща се от маса

Ориз. 175. Топка, хвърлена хоризонтално със скорост, има скорост в момента

Намерете траекторията на тялото, хвърлено хоризонтално. Координатите на тялото в момента имат значение

За да намерим уравнението на траекторията, изразяваме от (112.1) времето през и заместваме този израз в (112.2). В резултат получаваме

Графиката на тази функция е показана на фиг. 176. Ординатите на точките на траекторията се оказват пропорционални на квадратите на абсцисите. Знаем, че такива криви се наричат ​​параболи. Парабола изобразява графика на пътя на равномерно ускореното движение (§ 22). По този начин свободно падащо тяло, чиято начална скорост е хоризонтална, се движи по парабола.

Пътят, изминат във вертикална посока, не зависи от началната скорост. Но пътят, изминат в хоризонтална посока, е пропорционален на първоначалната скорост. Следователно при голяма хоризонтална начална скорост параболата, по която пада тялото, е по-издължена в хоризонтална посока. Ако струя вода бъде изстреляна от хоризонтално разположена тръба (фиг. 177), то отделни частици вода, подобно на топката, ще се движат по парабола. Колкото по-отворен е кранът, през който водата влиза в тръбата, толкова по-голяма е началната скорост на водата и толкова по-далеч от крана струята стига до дъното на кюветата. Чрез поставяне на екран с предварително начертани параболи върху него зад струята, може да се провери дали водната струя наистина има формата на парабола.

В този урок ще разгледаме важна характеристика на неравномерното движение - ускорението. Освен това ще разгледаме неравномерното движение с постоянно ускорение. Това движение се нарича също равномерно ускорено или равномерно забавено. Накрая ще говорим как да изобразим графично скоростта на тялото като функция от времето при равномерно ускорено движение.

Домашна работа

Решавайки задачите за този урок, ще можете да се подготвите за въпроси 1 от GIA и въпроси A1, A2 от Единния държавен изпит.

1. Задачи 48, 50, 52, 54 сб. задачи на A.P. Римкевич, изд. 10.

2. Запишете зависимостите на скоростта от времето и начертайте графики на зависимостта на скоростта на тялото от времето за случаите, показани на фиг. 1, случаи б) и г). Маркирайте повратните точки на графиките, ако има такива.

3. Обмислете следните въпроси и техните отговори:

Въпрос.Гравитационното ускорение е ускорение, както е определено по-горе?

Отговор.Разбира се, че е. Ускорението при свободно падане е ускорението на тяло, което пада свободно от определена височина (съпротивлението на въздуха трябва да се пренебрегне).

Въпрос.Какво се случва, ако ускорението на тялото е насочено перпендикулярно на скоростта на тялото?

Отговор.Тялото ще се движи равномерно в кръг.

Въпрос.Възможно ли е да се изчисли тангенса на ъгъла на наклон с помощта на транспортир и калкулатор?

Отговор.Не! Тъй като ускорението, получено по този начин, ще бъде безразмерно, а размерът на ускорението, както показахме по-рано, трябва да има размерност m/s 2 .

Въпрос.Какво може да се каже за движението, ако графиката на скоростта спрямо времето не е права линия?

Отговор.Можем да кажем, че ускорението на това тяло се променя с времето. Такова движение няма да бъде равномерно ускорено.