На този урок ще разгледаме още две операции с вектори: векторни вектори на изкуството и смесени вектори (незабавно връзката, която се нуждае от нея. Нищо ужасно, така че понякога се случва, че за пълно щастие, освен това вектори на скаларния продуктИзисква се също така. Това тук е векторна наркомания. Тя може да търси впечатлението, че се изкачваме в отломките на аналитичната геометрия. Това не е истина. В този раздел на най-високата математика няма достатъчно дърва като цяло, с изключение на Пинокио. Всъщност материалът е много често срещан и просто - едва ли е по-трудно от същото скаларен продуктДори типичните задачи ще бъдат по-малки. Основното нещо в аналитичната геометрия, тъй като мнозина ще бъдат убити или вече са били убедени, не бъркайте с изчисления. Повторете като заклинание и ще бъдете щастливи \u003d)

Ако векторите блестят някъде далеч като светкавица на хоризонта, не са проблеми, започват от урока Вектори за чайнициДа възстановите или да придобиете основни познания за векторите. По-подготвените читатели могат да се запознаят с информацията селективно, аз се опитах да събера най-пълната колекция от примери, които често се срещат в практическа работа.

Какво веднага моля? Когато бях малък, тогава знаех как да жонгвам две и дори три топки. Deftly успя. Сега няма да се налага да жонглираш, както ще обмислим само пространствени вектории плоски вектори с две координати ще останат зад борда. Защо? Тези действия са родени - вектор и смесен продукт от вектори са дефинирани и експлоатирани в триизмерно пространство. Вече по-лесно!

В тази операция по същия начин, както в скаларния продукт, участвайте два вектора. Нека бъде глупост.

Самото действие обозначение по следния начин :. Има и други опции, но аз използвах векторните произведения на вектори точно така в квадратните скоби с кръст.

И незабавно въпрос: Ако в вектори на скаларния продукт Включват се два вектора и тук се умножават две версии тук, тогава каква е разликата? Изрична разлика, преди всичко, в резултат:

Резултатът от скаларен продукт на векторите е номер:

Резултатът от векторните вектори е вектор: Това е, ние умножаваме векторите и отново вземете вектора. Затворен клуб. Всъщност, следователно името на операцията. В различна учебна литература, обозначенията също могат да се различават, ще използвам писмото.

Определение на векторното изкуство

Първо ще има дефиниция с картина, след това коментари.

Дефиниция: Векторна работа неолюндил вектори, в този ред, наречен вектор, дължина което е цифрово равен на квадрата на паралелезариятапостроени върху тези векторни данни; вектор ортогонални вектори И това е насочено, така че основата има правилната ориентация:

Разглобяваме дефиницията на костите, има много интересни неща!

Така че можете да изберете следните основни моменти:

1) източници вектори, маркирани с червени стрелки по дефиниция не колдневно. Случаят на колонеарни вектори ще бъде подходящ за по-късно.

2) Взети вектори в строго определен ред: – "А" се умножава по "да бъде", не "на" а ". Резултата от умножаването на вектори Той е вектор, който е показан в синьо. Ако векторите се умножат в обратен ред, тогава сме равни на дължината и противоположния вектор (малинов цвят). Това означава, че равенството е правилно .

3) Сега нека се запознаем с геометричния смисъл на векторния продукт. Това е много важен момент! Дължината на синия вектор (и следователно малимните вектор) е числено равна на квадрата на паралелеограмата, вградена в векторите. На фигурата, този паралелог се засенчва в черно.

Забележка : Чертежът е схематичен и естествено, номиналната дължина на векторния продукт не е равна на площта на паралелара.

Спомняме си една от геометричните формули: площта на паралелеограмата е равна на продукта на съседните страни на ъгъла между тях. Следователно, въз основа на гореизложеното, формулата за изчисляване на дължината на векторния продукт:

Подчертавам, че във формулата говорим за дължината на вектора, а не за много вектора. Какво е практическото значение? И смисълът е, че в задачите на аналитичната геометрия площта на паралелограмата често се среща чрез концепцията за векторно изкуство:

Ще получим втора важна формула. Диагоналът на паралелограма (червен деттериер) го разделя на два равни триъгълника. Следователно, площта на триъгълника, вградена в векторите (червено люпене), може да бъде намерена по формулата:

4) Не по-малко важен факт е, че векторът е ортогонални вектори, т.е. . Разбира се, противоположният насочен вектор (arepberry arrow) също е ортогонална в оригиналните вектори.

5) векторът е насочен така основа То има дясно Ориентация. В класната стая O. преход към нова основа Заговорих подробно ориентация на самолетаИ сега ще се справим с ориентацията на пространството. Ще обясня на пръстите ви дясна ръка. Психически комбинира показалец С вектор I. среден пръст С вектор. Неназован пръст и малко пръст Натиснете дланта. Като резултат палец - Векторното изкуство ще погледне нагоре. Това е дясната основа (на фигурата, която е той). Сега променете векторите ( индекс и средни пръсти) Места, в резултат на това, палецът се разгръща и векторната работа вече ще гледа надолу. Това е и редовно основание. Може би имате въпрос: каква основа прави лявата ориентация? "Име" същите пръсти лява ръка вектори и получаване на лявата основа и лявата ориентация на пространството (В този случай палецът ще бъде разположен в посока на долния вектор). Образно казано, тези основи "завъртат" или ориентирана пространство в различни посоки. И тази концепция не трябва да се счита за нещо измислена или абстрактна - така например, ориентацията на пространството променя най-обикновеното огледало и ако "дръпнете отразения обект от колелото". Няма да може да го комбинира общ. Между другото, донесете три пръста на огледалото и анализирайте отражението ;-)

... как е добре, че сега знаете закон и левия ориентиран Бази, за ужасните изявления на някои преподаватели за промяната на ориентацията \u003d)

Векторно произведение на колоринирани вектори

Дефиницията разглобява подробно, остава да се разбере какво се случва, когато колинераните вектори. Ако векторите са колинеарни, те могат да бъдат поставени на една права линия и нашата паралелограма също "се сгъва" в едно право. Площта на това, както казва математиката, дегенериран Паралелограмата е нула. От формулата - синус нула или 180 градуса е нула и следователно площта е нула

Така, ако . Строго казано, много векторният продукт е нулев вектор, но на практика често се пренебрегва и пише, че е просто нула.

Частен случай - векторният вектор за себе си:

С помощта на векторния продукт може да се провери колинеатността на триизмерните вектори и ние също ще разгледаме тази задача между другото.

За да се решат практически примери може да изисква тригонометрична масаДа го намерите ценностите на синусите.

Е, запалете огъня:

Пример 1.

а) Намерете дължината на векторните вектори, ако

б) Намерете площада на паралелеограма, вграден във версиите, ако

Решение: Не, това не е печатна грешка, първоначалните данни в условията на клауза, които умишлено са направили същото. Защото вземането на решения ще бъде различно!

а) при условие, от което се нуждаете дължина Вектор (векторно изкуство). Съгласно съответната формула:

Отговор:

Kohl скоро попита за дължина, след това в отговор, посочете размерите - единици.

б) при необходимото условие за намиране ■ площ Паралелатор, вграден във вектори. Площта на този паралелог е числено равна на дължината на векторния продукт:

Отговор:

Моля, обърнете внимание, че в отговор на векторния продукт на речта изобщо не отива, ние бяхме помолени квадрат на фигураСъответно, измерението е квадратни единици.

Ние винаги гледаме какво се изисква от условието и, въз основа на това, ние формулираме ясен отговор. Може да изглежда, но има достатъчно ключови камъни сред учителите и задачата с добри шансове ще се върне към усъвършенстване. Въпреки че това не е особено опъната кастрит - ако отговорът е неправилен, тогава изглежда, че човек не разбира прости неща и / или не по същество на задачата. Този момент винаги трябва да се поддържа под контрол, решаване на всяка задача в по-висшата математика и в други теми.

Къде е голямата Бушка "EN"? По принцип тя може допълнително да се присъедини към решението, но за да се намали записа, не го направих. Надявам се, че всеки разбира, че това е обозначението на същото.

Популярни пример за саморешения:

Пример 2.

Намери триъгълна площ, вградена в вектори, ако

Формулата за намиране на триъгълника през векторното изкуство е дадена в коментарите към определението. Решение и отговор в края на урока.

На практика задачата е наистина много често срещана, триъгълниците обикновено могат да измъчват.

За да разрешите други задачи, ще ни трябва:

Свойства на векторно произведение

Някои свойства на векторната работа вече сме разгледали, но ще ги включа в този списък.

За произволни вектори и произволни числа, следните свойства са справедливи:

1) В други източници на информация, този елемент обикновено не е идентифициран в имотите, но е много важно на практика. Затова нека бъде.

2) - Имотът също е разглобен по-горе, понякога се нарича анти-комунални. С други думи, редът на векторите има значение.

3) - мрачен или асоциативен Закони на векторната работа. Константите са временно извадени от векторната работа. Наистина, какво правят там?

4) - разпределително или дистрибуция Закони на векторната работа. С разкриването на скобите няма проблеми.

Като демонстрация, помислете за кратък пример:

Пример 3.

Намерете IF

Решение: Чрез състояние е необходимо да се намери дължината на векторния продукт отново. Ние носим нашата миниатюрна:

(1) Съгласно асоциативните закони, издържаме на константи за преразпределение на векторната работа.

(2) Издържаме на постоянната външна модула, докато модулът "яде" "минус" знак. Дължината не може да бъде отрицателна.

(3) Освен това е разбираем.

Отговор:

Време е да хвърля дърва в огъня:

Пример 4.

Изчислете площта на триъгълника, вградена в векторите, ако

Решение: Триъгълникът намира формулата . SNAG е, че самите вектори "СЕ" и "de" са представени като суми вектори. Алгоритъм тук е стандартно и нещо прилича на примери номер 3 и 4 урока Вектори на скаларния продукт. Решението за яснота да се прекъсне на три етапа:

1) в първата стъпка изразяваме векторни продукти чрез векторно изкуство, всъщност, експрес вектор чрез вектор. За дължини, нито дума!

(1) Заместваме изразяването на вектори.

(2) Използване на разпределителни закони, разкриват скоби в съответствие с правилото за умножение на полиноми.

(3) Използване на асоциативни закони, ние издържаме всички константи отвъд векторните работи. Под маломалния опит, 2 и 3 могат да бъдат изпълнени едновременно.

(4) Първият и последният термин е нула (нулев вектор) благодарение на приятна собственост. Във втория термин използваме антисъмфорта собственост на векторната работа:

(5) Ние даваме такива компоненти.

В резултат на това векторът се оказа, че се експресира през вектора, който трябваше да бъде постигнат:

2) На втората стъпка ще открием дължината на векторния продукт, от който се нуждаете. Това действие прилича на пример 3:

3) Намерете областта на желания триъгълник:

Етапи 2-3 решения могат да бъдат подредени с един ред.

Отговор:

Разглежданата задача е достатъчно разпространена в тестовете, тук е пример за независимо решение:

Пример 5.

Намерете IF

Кратко решение и отговор в края на урока. Нека да видим колко внимателно сте, когато изучавате предишни примери ;-)

Векторно произведение на вектори в координатите

дефинирани в ортонормалната основа формулата се изразява:

Формула и истинска Sprydskaya: в горната линия на детерминанта, ние записваме координати векторите, във втората и третата линия "поставете" координатите на векторите и годни в строг ред - Първо, координатите на вектора "Ve", след това координатите на вектора "Дът". Ако векторите трябва да се размножават в различен ред, тогава редовете трябва да бъдат разместени на места:

Пример 10.

Проверете дали colinear ще бъдат следните космически вектори:
но)
б)

Решение: Проверката се основава на едно от изявленията на този урок: ако колинераните вектори, тогава векторният им продукт е нула (нулев вектор): .

а) Добре дошли векторно изкуство:

Така векторите не са колинеарни.

б) Намерете векторно изкуство:

Отговор: а) не colinear, б)

Това е може би цялата основна информация за векторния продукт на векторите.

Този раздел няма да бъде много голям, тъй като задачите, при които се използва смесеният продукт на векторите, малко. Всъщност всичко ще бъде ограничено в определение, геометрично значение и няколко работни формули.

Смесените произведения на вектори е работа на три вектори.:

Така те са били подредени с влак и чакат, няма да чакат, когато са изчислени.

Първо, отново дефиниране и картина:

Дефиниция: Смесена работа некомпенсал вектори, в този ред, Наречен обемът на паралелепипеда, изградена върху данните на вектора, оборудван с знака "+", ако основата е правилната, а знакът "-", ако базата е оставена.

Изпълнете снимка. Невидимите линии са очукани от пунктираната линия:

Потопете се в дефиницията:

2) Взети вектори в определен редТова означава, че пренареждането на векторите в работата, както предполагате, не минава без последствия.

3) Преди да коментирате геометричния смисъл, ще отбележа очевидния факт: смесените вектори са число:. В образователната литература дизайнът може да бъде малко по-различен, като подписах смесен продукт и резултат от изчисленията на буквата "PE".

A-Priory. смесената работа е паралелепипедВградени вектори (фигурата се почиства с червени вектори и черни линии). Това означава, че броят е равен на обема на този паралелепипед.

Забележка : Чертежът е схематичен.

4) Да не се преместим отново с концепцията за ориентация на основата и пространството. Значението на крайната част е, че към обема може да се добави знак за минус. Прости думи, смесен продукт може да бъде отрицателен :.

Директно от дефиницията следва формулата за изчисляване на обема на паралелепипед, вградени в вектори.

Площта на паралелеограма, изградена във версиите, е равна на продукта на дължините на тези вектори под ъгъла на ъгъла, който се крие между тях.

Е, когато дължините на тези вектори се дават условия. Въпреки това се случва също, че за прилагане на формула за площ на паралелеограма, вградени във вектори само след изчисления чрез координати.
Ако има късмет и при условията са дадени дължината на векторите, тогава просто трябва да приложите формулата, която преди това сме разглобени в статията. Районът ще бъде равен на продукта на модулите на синусовия ъгъл между тях:

Помислете за пример за изчисляване на площта на паралелеограма, вградени във вектори.

Задача: Помограма, построена във вектори и. Намерете областта, ако и ъгълът между тях е 30 °.
Изразявайте вектора чрез техните ценности:

Може би имате въпрос - откъде идват нула? Струва си да си спомним, че работим с вектори, и за тях . Също така имайте предвид, че ако в резултат на това получаваме израз, тя ще бъде обърнато. Сега провеждаме окончателните изчисления:

Нека да се върнем към проблема, когато дължините на векторите не са определени в условия. Ако вашия паралелограма се намира в декартовата координатна система, ще е необходимо да се направи следното.

Изчисляване на страничните дължини на фигурата, определена от координатите

За да започнем, ние откриваме координатите на векторите и приемаме съответните координати на началото от координатите на края. Да приемем координатите на вектора А (X1; Y1; Z1) и векторът В (x3; Y3; Z3).
Сега откриваме дължината на всеки вектор. За да направите това, всеки координат трябва да бъде повишен на квадрата, след това сгънете получените резултати и от крайния номер за извличане на корена. Според нашите вектори ще има следните изчисления:


Сега ще бъде необходимо да се намери скаларен продукт на нашите вектори. За това съответните им координати се размножават и развиват.

С дължина на векторите и техния скаларен продукт, можем да намерим косинуса на ъгъла, който лежи между тях .
Сега можем да намерим синуса на същия ъгъл:
Сега имаме всички необходими количества и можем лесно да намерим областта на паралелеограма, вградена във версиите на вече известната формула.

■ площ паралелограмапостроен от векториТой се изчислява като продукт на дължините на тези вектори на ъгъла между тях. Ако са известни само координатите на векторите, трябва да се използват координатни методи за изчисляване на координатите, включително за определяне на ъгъла между векторите.

Ще имаш нужда

• - Векторна идея;
• - свойства на векторите;
• - координати на картозвениците;
• - тригонометрични функции.

Инструкция

• В случай, че дължините на векторите и ъгъла между тях са известни, за да се намери районът паралелограмапостроен от вектори, Намерете продукта на техните модули (векторни дължини), върху синуса на ъгъла между тях s \u003d │a │ b │ sin (α).
• Ако векторите са посочени в картозърската координатна система, тогава за да намерите областта паралелограмаПостроени върху тях, направете следното:
• Намерете координатите на векторите, ако не бъдат незабавно дадени от съответните координати на краищата на векторите, координатите от самото начало. Например, ако координатите на началната точка на вектора (1; -3; 2) и крайната (2; -4; -5), тогава координатите на вектора ще бъдат (2-1; -4 + 3; -5-2) \u003d (1; -1; -7). Нека координатите на вектора А (X1; Y1; Z1), вектор В (х2; Y2; Z2).
• Намерете дължините на всеки вектори. Вземете всяка от координатите на векторите на площада, намерете тяхната сума x1² + y1² + z1². От получения резултат извадете квадратния корен. За втория вектор, направете същата процедура. Така се оказва, че и │ b.
• Намерете скаларен продукт на вектори. За да направите това, умножете съответните им координати и сгънете работата │a B│ \u003d X1 X2 + Y1 Y2 + Z1 Z2.
• Определя косинус на ъгъла между тях, за който скаларният продукт на векторите, получен в параграф 3, разделя дължините на векторите, изчислени в параграф 2 (cos (α) \u003d │ab│ (││ │ b│ b│ ).
• Синусът на получения ъгъл ще бъде равен на коренния квадрат от разликата в броя 1, и квадрата на косинуса на същия ъгъл, изчислен в клауза 4 (1-cosqm (α)).
• Изчислете квадрата паралелограмапостроен от вектори След като са намерили продукта от техните дължини, изчислени в параграф 2, а резултатът умножи номера след изчисленията в стр. 5.
• В случай, че координатите на векторите са предварително определени в равнината, при изчисляването на Z координата е просто изхвърлена. Това изчисление е цифров експресия на векторния продукт на два вектора.