Rovnice periody harmonických kmitů. Rovnice harmonických kmitů. Jaká je perioda oscilace

kolísání nazývané pohyby nebo procesy, které se vyznačují určitým opakováním v čase. Oscilační procesy jsou v přírodě a technice rozšířené, např. houpání hodinového kyvadla, střídavý elektrický proud atd. Při kmitání kyvadla se mění souřadnice jeho těžiště, v případě střídavého proudu napětí a proud. v okruhu kolísat. Fyzikální podstata kmitů může být různá, proto se rozlišují kmity mechanické, elektromagnetické atd. Různé oscilační procesy jsou však popsány stejnými charakteristikami a stejnými rovnicemi. Z toho vyplývá proveditelnost jednotný přístup ke studiu vibrací odlišnou fyzickou povahu.

Výkyvy se nazývají volný, uvolnit, pokud jsou vyrobeny pouze za působení vnitřních sil působících mezi prvky soustavy, poté, co je soustava vyvedena z rovnováhy vnějšími silami a ponechána sama sobě. Volné vibrace vždy tlumené oscilace protože energetické ztráty jsou v reálných systémech nevyhnutelné. V idealizovaném případě systému bez ztráty energie se nazývají volné oscilace (trvající tak dlouho, jak je požadováno). vlastní.

Nejjednodušším typem volných netlumených oscilací jsou harmonické oscilace - kolísání, při kterém se kolísající hodnota mění s časem podle sinusového (kosinového) zákona. Oscilace, se kterými se setkáváme v přírodě a technologii, mají často charakter blízký harmonickému.

Harmonické vibrace jsou popsány rovnicí nazývanou rovnice harmonických vibrací:

kde ALE- amplituda kolísání, maximální hodnota kolísavé hodnoty X; - kruhová (cyklická) frekvence vlastních kmitů; - počáteční fáze kmitání v časovém okamžiku t= 0; - fáze kmitání v okamžiku času t. Fáze kmitání určuje hodnotu kmitající veličiny v daném čase. Protože se kosinus mění od +1 do -1 X může nabývat hodnot od + A před - ALE.

Čas T, pro který systém dokončí jeden úplný kmit, se nazývá perioda oscilace. V průběhu T fáze oscilace se zvýší o 2 π , tj.

kde . (14.2)

Převrácená hodnota periody oscilace

tj. počet úplných oscilací za jednotku času se nazývá frekvence oscilací. Porovnáním (14.2) a (14.3) získáme

Jednotkou frekvence je hertz (Hz): 1 Hz je frekvence, při které proběhne jedna úplná oscilace za 1 s.

Systémy, ve kterých se mohou vyskytovat volné vibrace, se nazývají oscilátory . Jaké vlastnosti musí mít soustava, aby v ní docházelo k volnému kmitání? Mechanický systém musí mít pozici stabilní rovnováhy, po opuštění se objeví obnovení síly směrem k rovnováze. Tato poloha odpovídá, jak známo, minimu potenciální energie systému. Uvažujme několik oscilačních systémů, které splňují uvedené vlastnosti.

Změny v čase podle sinusového zákona:

kde X- hodnota kolísající veličiny v okamžiku času t, ALE- amplituda, ω - kruhová frekvence, φ je počáteční fáze oscilací, ( φt + φ ) je celková fáze kmitů . Přitom hodnoty ALE, ω A φ - trvalé.

Pro mechanické vibrace s oscilační hodnotou X jsou zejména posuv a rychlost, u elektrických kmitů - síla napětí a proudu.

Harmonické vibrace zaujímají zvláštní místo mezi všemi druhy vibrací, protože se jedná o jediný typ vibrací, jejichž tvar se při průchodu jakýmkoliv homogenním prostředím nezkresluje, tedy harmonické budou i vlny šířící se ze zdroje harmonických vibrací. Libovolnou neharmonickou vibraci lze reprezentovat jako součet (integrál) různých harmonických vibrací (ve formě spektra harmonických vibrací).

Přeměny energie při harmonických vibracích.

V procesu kmitání dochází k přechodu potenciální energie Wp do kinetiky Wk a naopak. V poloze maximální odchylky od rovnovážné polohy je potenciální energie maximální, kinetická energie nulová. Při návratu do rovnovážné polohy se zvyšuje rychlost kmitajícího tělesa a s ní roste i kinetická energie, která v rovnovážné poloze dosahuje maxima. Potenciální energie pak klesne na nulu. Další pohyb krku nastává s poklesem rychlosti, která klesne na nulu, když výchylka dosáhne svého druhého maxima. Potenciální energie se zde zvyšuje na svou počáteční (maximální) hodnotu (při absenci tření). Kmity kinetické a potenciální energie se tedy vyskytují s dvojnásobnou (oproti kmitům samotného kyvadla) frekvencí a jsou v protifázi (tj. mezi nimi je fázový posun rovný π ). Celková vibrační energie W zůstává nezměněno. Pro těleso kmitající působením pružné síly se rovná:

kde v m- maximální rychlost tělesa (v rovnovážné poloze), x m = ALE- amplituda.

V důsledku přítomnosti tření a odporu média se volné kmity utlumí: jejich energie a amplituda se s časem snižují. Proto se v praxi častěji používají nikoli volné, ale nucené kmity.

Zvažovali jsme několik fyzikálně zcela odlišných systémů a ujistili jsme se, že pohybové rovnice jsou zredukovány do stejného tvaru

Rozdíly mezi fyzikálními systémy se projevují pouze v různých definicích veličiny a v jiném fyzikálním smyslu proměnné X: může to být souřadnice, úhel, náboj, proud atd. Všimněte si, že v tomto případě, jak vyplývá ze samotné struktury rovnice (1.18), má veličina vždy rozměr inverzního času.

Rovnice (1.18) popisuje tzv harmonické vibrace.

Rovnice harmonických kmitů (1.18) je lineární diferenciální rovnice druhého řádu (protože obsahuje druhou derivaci proměnné X). Linearita rovnice to znamená

pokud nějaká funkce x(t) je řešení této rovnice, pak funkce Cx(t) bude také jeho řešením ( C je libovolná konstanta);

pokud funkce x 1 (t) A x 2 (t) jsou řešení této rovnice, pak jejich součet x 1 (t) + x 2 (t) bude také řešením stejné rovnice.

Je dokázána i matematická věta, podle níž má rovnice druhého řádu dvě nezávislá řešení. Všechna ostatní řešení podle vlastností linearity lze získat jako jejich lineární kombinace. Je snadné ověřit přímou derivací, že nezávislé fungují a splňují rovnici (1.18). Takže obecné řešení této rovnice je:

kde C1,C2 jsou libovolné konstanty. Toto řešení lze prezentovat i v jiné podobě. Představujeme množství

a definujte úhel jako:

Potom se obecné řešení (1.19) zapíše jako

Podle trigonometrických vzorců je výraz v závorkách

Konečně dorážíme na obecné řešení rovnice harmonických kmitů tak jako:

Nezáporná hodnota A volala amplituda oscilace, - počáteční fáze oscilace. Nazývá se celý kosinusový argument – ​​kombinace fáze oscilace.

Výrazy (1.19) a (1.23) jsou dokonale ekvivalentní, takže pro zjednodušení můžeme použít kterýkoli z nich. Obě řešení jsou periodickými funkcemi času. Ve skutečnosti jsou sinus a kosinus periodické s tečkou . Proto se různé stavy systému, který provádí harmonické kmity, po určité době opakují t*, pro kterou fáze kmitání dostává přírůstek, který je násobkem :

Z toho tedy plyne

Nejméně z těchto časů

volala perioda oscilace (obr. 1.8), a - jeho kruhový (cyklický) frekvence.

Rýže. 1.8.

Také používají frekvence váhání

V souladu s tím je kruhová frekvence rovna počtu kmitů na sekundy.

Pokud tedy systém v čase t charakterizované hodnotou proměnné x(t), pak stejnou hodnotu bude mít proměnná po určité době (obr. 1.9), tzn

Stejná hodnota se samozřejmě po chvíli zopakuje. 2T, ZT atd.

Rýže. 1.9. Doba oscilace

Obecné řešení obsahuje dvě libovolné konstanty ( C1, C2 nebo A, A), jehož hodnoty by měly být určeny dvěma počáteční podmínky. Obvykle (i když ne nutně) jejich roli hrají počáteční hodnoty proměnné x(0) a jeho derivát.

Vezměme si příklad. Nechť řešení (1.19) rovnice harmonických kmitů popisuje pohyb pružinového kyvadla. Hodnoty libovolných konstant závisí na způsobu, jakým jsme vyvedli kyvadlo z rovnováhy. Například jsme pružinu vytáhli do dálky a vypustil míč bez počáteční rychlosti. V tomto případě

Střídání t = 0 v (1.19) najdeme hodnotu konstanty Od 2

Řešení tedy vypadá takto:

Rychlost zatížení se zjistí diferenciací s ohledem na čas

Střídání zde t = 0, najděte konstantu Od 1:

Konečně

Při porovnání s (1.23) zjistíme, že je amplituda kmitání a jeho počáteční fáze je rovna nule: .

Nyní vyvedeme kyvadlo z rovnováhy jiným způsobem. Narazíme na náklad tak, aby nabral počáteční rychlost, ale při nárazu se prakticky nepohnul. Pak máme další počáteční podmínky:

naše řešení vypadá

Rychlost zatížení se bude měnit podle zákona:

Dáme to sem:

Nejjednodušším typem vibrací jsou harmonické vibrace- kolísání, při kterém se posunutí kmitajícího bodu z rovnovážné polohy v čase mění podle sinusového nebo kosinového zákona.

Takže při rovnoměrném otáčení koule po obvodu její promítání (stín v rovnoběžných paprscích světla) vykonává harmonický kmitavý pohyb na svislé cloně (obr. 1).

Posun z rovnovážné polohy při harmonických vibracích je popsán rovnicí (říká se jí kinematický zákon harmonického pohybu) tvaru:

kde x - posunutí - hodnota charakterizující polohu kmitajícího bodu v čase t vzhledem k rovnovážné poloze a měřená vzdáleností od rovnovážné polohy k poloze bodu v daném čase; A - amplituda kmitání - maximální posunutí tělesa z rovnovážné polohy; T - doba kmitu - doba jednoho úplného kmitu; ty. nejmenší časový úsek, po kterém se opakují hodnoty fyzikálních veličin charakterizujících oscilaci; - úvodní fáze;

Fáze kmitání v čase t. Fáze kmitání je argument periodické funkce, která pro danou amplitudu kmitání určuje stav oscilačního systému (pohyb, rychlost, zrychlení) tělesa v libovolném okamžiku.

Jestliže se v počátečním okamžiku kmitající bod maximálně vychýlí z rovnovážné polohy, pak se změní posunutí bodu z rovnovážné polohy podle zákona

Je-li kmitající bod v poloze stabilní rovnováhy, pak se posunutí bodu z rovnovážné polohy mění podle zákona

Hodnota V, převrácená hodnota periody a rovna počtu úplných oscilací provedených za 1 s, se nazývá frekvence oscilací:

Jestliže v čase t těleso provede N úplných kmitů, pak

hodnota , ukazující, kolik kmitů tělo udělá za s, se nazývá cyklická (kruhová) frekvence.

Kinematický zákon harmonického pohybu lze zapsat jako:

Graficky je závislost posunutí kmitajícího bodu na čase znázorněna kosinusem (nebo sinusoidou).

Obrázek 2, a ukazuje časovou závislost posunutí oscilačního bodu z rovnovážné polohy pro případ.

Pojďme zjistit, jak se mění rychlost oscilačního bodu s časem. K tomu najdeme časovou derivaci tohoto výrazu:

kde je amplituda průmětu rychlosti na ose x.

Tento vzorec ukazuje, že během harmonických kmitů se také mění projekce rychlosti tělesa na ose x podle harmonického zákona se stejnou frekvencí, s jinou amplitudou a je před fází směšování o (obr. 2, b) .

Abychom zjistili závislost zrychlení, najdeme časovou derivaci projekce rychlosti:

kde je amplituda průmětu zrychlení na ose x.

Pro harmonické kmity vede projekce zrychlení fázový posun o k (obr. 2, c).

Harmonické kmitání je jev periodické změny nějaké veličiny, při kterém má závislost na argumentu charakter funkce sinus nebo kosinus. Například veličina, která se v čase mění takto harmonicky kolísá:

kde x je hodnota měnící se veličiny, t je čas, zbývající parametry jsou konstantní: A je amplituda kmitů, ω je cyklická frekvence kmitů, je úplná fáze kmitů, je počáteční fáze kmitů. oscilace.

Zobecněné harmonické kmitání v diferenciálním tvaru

(Jakékoli netriviální řešení této diferenciální rovnice je harmonické kmitání s cyklickou frekvencí)

Druhy vibrací

Volné vibrace vznikají působením vnitřních sil systému poté, co byl systém vyveden z rovnováhy. Aby volné kmitání bylo harmonické, je nutné, aby byl oscilační systém lineární (popsaný lineárními pohybovými rovnicemi) a nemělo by v něm docházet k rozptylu energie (druhé by způsobovalo tlumení).

Vynucené kmity se provádějí pod vlivem vnější periodické síly. K tomu, aby byly harmonické, stačí, aby byl oscilační systém lineární (popsaný lineárními pohybovými rovnicemi) a samotná vnější síla se v čase mění jako harmonická oscilace (to znamená, že časová závislost této síly je sinusová) .

Rovnice harmonických kmitů

rovnice (1)

udává závislost kolísavé hodnoty S na čase t; toto je rovnice volných harmonických oscilací v explicitní formě. Rovnice kmitů je však obvykle chápána jako jiný záznam této rovnice, v diferenciálním tvaru. Pro definitivnost vezmeme rovnici (1) ve tvaru

Rozlišujte to dvakrát s ohledem na čas:

Je vidět, že platí následující vztah:

která se nazývá rovnice volných harmonických kmitů (v diferenciálním tvaru). Rovnice (1) je řešením diferenciální rovnice (2). Protože rovnice (2) je diferenciální rovnicí druhého řádu, jsou pro získání úplného řešení nutné dvě počáteční podmínky (tj. pro určení konstant A a   obsažených v rovnici (1); například poloha a rychlost oscilačního systému při t = 0.

Matematické kyvadlo je oscilátor, což je mechanický systém sestávající z hmotného bodu umístěného na beztížném neroztažitelném závitu nebo na beztížné tyči v rovnoměrném poli gravitačních sil. Perioda malých vlastních kmitů matematického kyvadla délky l, nehybně zavěšeného v rovnoměrném gravitačním poli se zrychlením volného pádu g, je rovna

a nezávisí na amplitudě a hmotnosti kyvadla.

Fyzikální kyvadlo je oscilátor, což je tuhé těleso, které kmitá v poli jakýchkoli sil kolem bodu, který není těžištěm tohoto tělesa, nebo pevné osy kolmé na směr sil a neprocházejícího těžiště tohoto tělesa.