Aby se procházely přes tři místa prostoru, může být provedena jediná rovina, je nutné, aby tyto body neleží na jedné přímce.

Zvažte body M 1 (X1, Y 1, Z 1), M 2 (X2, Y2, Z2), M3 (X3, Y3, Z3) v celkovém decartulární souřadnicovém systému.

Aby byl libovolný bod m (x, y, z) v jedné rovině s body m 1, m 2, m3 je nutné, aby vektory jsou přihrádky.

(
) = 0

Takto,

Rovnice roviny procházející tři body:

Rovnice roviny na dvou bodech a vektoru, kolínární rovina.

Nechte body M 1 (X 1, Y 1, Z 1), M 2 (x 2, Y 2, Z2) a vektor
.

Proveďte rovnici roviny procházejícími daty bodů M 1 a M 2 a libovolného bodu M (X, Y, Z) paralelně s vektoru .

Vektory
a vektoru
musí být prostor, tj.

(
) = 0

Rovina roviny:

Rovnice roviny v jednom bodě a dvou vektorech,

collinear rovina.

Nechte dvě verze
a
, kolineární letadla. Pak pro libovolný bod m (x, y, z) patřící do roviny, vektorů
musí být přihrádka.

Rovina roviny:

Rovnice letadla na místě a vektoru normálu .

Teorém. Pokud je prostor nastaven bod m 0 (H. 0 , U. 0 , z. 0 ), pak rovnice roviny procházející bodem m 0 Kolmo k vektoru normálu (A., B., C.) To vypadá:

A.(x. – x. 0 ) + B.(y. – y. 0 ) + C.(z. – z. 0 ) = 0.

Důkaz. Pro libovolný bod m (x, y, z) patřící do roviny, tvoří vektor. Protože vektor - vektor normální, pak je kolmo k rovině, a následně kolmo a vektor
. Pak skalární kus

= 0

Tak, získáme rovnici letadla

Theorem je prokázán.

Rovnice roviny v segmentech.

Pokud v celkové rovnici AH + V / CZ + D \u003d 0 sdílet obě části (-D)

,

nahradit
, Získáme rovnici letadla v segmentech:

Čísla A, B, C jsou body průsečíku roviny, resp. S osami X, Y, Z.

Rovnice roviny ve vektorové formě.

kde

- poloměr - vektor aktuálního bodu m (x, y, z),

Jediný vektor, který má směr, kolmý, spuštěný do roviny od začátku souřadnic.

,  a  - úhly tvořené tímto vektorem s osami x, y, z.

p je délka této kolmé.

V souřadnicích vypadá tato rovnice:

xCOS + YCOS + ZCOS - P \u003d 0.

Vzdálenost od bodu do roviny.

Vzdálenost od libovolného bodu M 0 (x 0, Y 0, Z 0) do roviny AH + W + CZ + D \u003d 0 je:

Příklad. Najděte rovnici roviny, protože věděl, že bod P (4; -3; 12) je základem kolmé, snížené od původu souřadnic v této rovině.

Tedy A \u003d 4/13; B \u003d -3/13; C \u003d 12/13, používáme vzorec:

A (X - X 0 ) + B (y - y 0 ) + C (Z - Z 0 ) = 0.

Příklad. Najít rovnici roviny procházející dvěma body p (2; 0; -1) a

Q (1; -1; 3) kolmá k rovině 3x + 2AU - Z + 5 \u003d 0.

Vektor Normální k rovině 3x + 2y - Z + 5 \u003d 0
parlyten požadovanou rovinu.

Dostaneme:

Příklad. Najděte rovnici roviny procházející body A (2, -1, 4) a

V (3, 2, -1) kolmé k rovině h. + w. + 2z. – 3 = 0.

Požadovaná rovnice roviny je: a x. + B. y. + C. z. + D \u003d 0, vektor normální do této roviny (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) patří do roviny. Letadlo nám dané, kolmé k touze má vektor normálu (1, 1, 2). Protože Body A a B patří do obě roviny, a letadlo je vzájemně kolmé, pak

Tak, vektor normálu (11, -7, -2). Protože Point A patří do požadované roviny, jeho souřadnice musí uspokojit rovnici této roviny, tj. 112 + 71 - 24 + d \u003d 0; d \u003d -21.

Celkem dostaneme rovnici letadla: 11 x. - 7y. – 2z. – 21 = 0.

Příklad. Najděte rovnici roviny, protože věděl, že bod p (4, -3, 12) je základem kolmého, spuštěného z původu souřadnic v této rovině.

Najdeme souřadnice normálního vektoru
\u003d (4, -3, 12). Požadovaná rovnice roviny je: 4 x. – 3y. + 12z. + D \u003d 0. Chcete-li najít koeficient D, nahradíme souřadnicovou rovnici P:

16 + 9 + 144 + d \u003d 0

Celkem získáme požadovanou rovnici: 4 x. – 3y. + 12z. – 169 = 0

Příklad. Souřadnice vrcholů pyramidy A1 (1; 0; 3), a 2 (2; -1; 3), 3 (2; 1; 1),

Najděte délku žebra a 1 a 2.

Najděte úhel mezi žebry A 1 A 2 a 1 A 4.

Najděte úhel mezi hranou A 1 A 4 a čelem A 1 A 2 A 3.

Nejprve najdeme vektor normálu k obličeji 1 A 2 A 3 stejně jako vektorové vektorové vektory
a
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Najděte úhel mezi normálním vektorem a vektorem
.

-4 – 4 = -8.

Požadovaný úhel  mezi vektorem a rovinou bude roven  \u003d 90 0 - .

Najděte oblast obličeje A 1 A 2 A 3.

Najděte objem pyramidy.

Najděte rovnici roviny A 1 A 2 A 3.

Používáme vzorec rovnice roviny procházející tři body.

2x + 2Y + 2Z - 8 \u003d 0

x + Y + Z - 4 \u003d 0;

Při použití verze počítače " Kurz vyšší matematiky"Můžete spustit program, který bude vyřešit příklad výše pro všechny souřadnice pyramidových vrcholů.

Chcete-li program spustit, poklepejte na ikonu:

V okně programu, které se otevře, zadejte souřadnice vrcholů pyramidy a stisknuto. All Položka řešení tak lze získat střídavě.

Poznámka: Chcete-li spustit program, musíte nainstalovat Maple ( Waterloo Maple Maple Inc.) jakékoli verze, počínaje maplevkou uvolněním 4 v počítači.

Tento článek poskytuje představu o tom, jak vypracovat rovnici roviny procházejícího daným bodem trojrozměrného prostoru kolmého na specifikovanou přímku. Budeme analyzovat výše uvedený algoritmus na příkladu řešení typických úkolů.

Nalezení rovnice roviny procházejícího specifikovaným bodem prostoru kolmo k zadanému přímému

Nechte trojrozměrný prostor a obdélníkový souřadný systém o X Y Z v něm. Bod M 1 (X1, Y 1, Z 1) je také dán, rovně A a rovina α, procházející bodem M 1 kolmo k přímému a. Je nutné napsat rovnici roviny α.

Než začnete tento problém vyřešit, dovolteme si vzpomenout na geometrii větu z programu 10 - 11 třídy, které čte:

Definice 1.

Prostřednictvím určitého bodu trojrozměrného prostoru je jediná rovina kolmá na specifikované přímé.

Nyní zvažte, jak najít rovnici této jediné roviny procházející výchozím bodem a kolmo k této lince.

Je možné napsat obecnou rovnici roviny, pokud jsou známy souřadnice bodu patřícího do této roviny, stejně jako souřadnice normálního vektorového rovinného vektoru.

Podmínkou problému je podáván souřadnicm x 1, Y1, Z 1 bod M 1, přes který průchod roviny α. Pokud definujeme souřadnice normálního vektoru roviny α, pak dostaneme možnost zaznamenat požadovanou rovnici.

Normální vektor roviny α, protože je nenulový a leží na rovné a kolmé rovině α, bude nějaký vodicí vektor přímo a. Úkolem nalezení souřadnic normálního vektoru roviny α je tedy převeden do problému určování souřadnic vodicího vektoru přímý a.

Stanovení souřadnic vodicího vektoru Direct A může být prováděno různými metodami: závisí na variantě úkolu přímé a za startovních podmínek. Například, pokud je rovný v podmínce problému je nastaven kanonickými rovnicmi druhy

x - X 1 A X \u003d Y - Y 1 A Y \u003d Z - Z 1 A Z

nebo parametrické rovnice formuláře:

x \u003d x 1 + A x · λ y \u003d y 1 + a y · λ z \u003d z 1 + a z · λ

přímá linie bude souřadnice X a Y a Z. V případě, že je rovný A reprezentován dvěma body M 2 (X2, Y 2, Z2) a m3 (X3, Y3, Z3), souřadnice vodícího vektoru budou definovány jako (X3 - X2, Y3 - Y2, Z3 - Z2).

Definice 2.

Algoritmus pro nalezení rovnice roviny procházející zadaným bodem kolmým na specifikovaném přímém přímém:

Určete souřadnice vodicího vektoru Direct A: a → \u003d (a x a y a z) ;

Definujeme souřadnice normálního vektoru roviny α jako souřadnice vodícího vektoru přímou:

n → \u003d (a, b, c), kde A \u003d A X, B \u003d A Y, C \u003d A Z;

Zaznamenejte rovnici roviny procházející bodem M 1 (x 1, Y 1, Z 1) a má normální vektor N → \u003d (a, b, c) jako A (X - X 1) + B (Y - Y 1) + C (Z - Z 1) \u003d 0. To bude požadovaná rovnice roviny, která prochází stanoveným bodem prostoru a kolmo k této přímému.

Výsledná obecná rovnice roviny: A (X - X 1) + B (Y - Y 1) + C (Z - Z 1) \u003d 0 umožňuje získat rovnici roviny v segmentech nebo normální rovnici roviny.

Rozhodneme se několik příkladů pomocí výše uvedeného algoritmu.

Příklad 1.

Bod M 1 (3, - 4, 5) je uveden, skrze který vstupuje rovina, a tato rovina je kolmá na souřadnici přímo kolem Z.

Rozhodnutí

průvodce vektor souřadnicového přímého O Z bude souřadnicový vektor k ⇀ \u003d (0, 0, 1). V důsledku toho má normální rovina vektor souřadnice (0, 0, 1). Píšeme rovnici roviny procházejícího stanoveným bodem M 1 (3, - 4, 5), z nichž normální vektor má souřadnice (0, 0, 1):

A (X - X 1) + B (Y - Y 1) + C (Z - Z 1) \u003d 0 ⇔ ⇔ 0 · (X - 3) + 0 · (Y - (- 4)) + 1 · (Z - 5) \u003d 0 ⇔ Z - 5 \u003d 0

Odpovědět: Z - 5 \u003d 0.

Zvažte další způsob, jak tento úkol vyřešit:

Příklad 2.

Letadlo, které je kolmé k přímému O Z, podával neúplná celková rovnice roviny formy se Z + D \u003d 0, C ≠ 0. Definujeme hodnoty C a D: ti, pod kterým letadlo prochází stanoveným bodem. Souřadnice tohoto bodu nahrazujeme rovnici s Z + D \u003d 0, dostaneme: 5 + d \u003d 0. Ty. Čísla, C a D jsou spojena s vztahem - D C \u003d 5. Užívání c \u003d 1, dostaneme d \u003d - 5.

Tyto hodnoty nahrazujeme rovnici s Z + D \u003d 0 a získáváme požadovanou rovnici roviny kolmé k přímému O Z a procházející bodem M 1 (3, 4, 5).

Bude vypadat: Z - 5 \u003d 0.

Odpovědět: Z - 5 \u003d 0.

Příklad 3.

Proveďte rovnici roviny procházejícího původem souřadnic a kolmo na přímku X - 3 \u003d Y + 1 - 7 \u003d Z + 5 2

Rozhodnutí

Spoléhají se na podmínky úkolu, lze ji argumentovat, že pro normální vektor n → dané roviny můžete vzít vodicí vektor zadaného přímého režimu. Tímto způsobem: n → \u003d (- 3, - 7, 2). Píšeme rovnici roviny procházejícího bodem O (0, 0, 0) a mající normální vektor n → \u003d (- 3, - 7, 2):

3 · (X - 0) - 7 · (Y - 0) + 2 · (Z - 0) \u003d 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z \u003d 0

Získali jsme požadovanou rovnici roviny procházejícího původem souřadnic kolmo k specifikovanému přímému.

Odpovědět: - 3 x - 7 y + 2 z \u003d 0

Příklad 4.

Obdélníkový souřadný systém O X Y Z je uveden v trojrozměrném prostoru, jedná se o dva body A (2, - 1, - 2) a B (3, - 2, 4). Letadlo α prochází bodem a kolmo k linii A. Je nutné provést rovnici roviny α v segmentech.

Rozhodnutí

Letadlo α je kolmé k rovnému a b, pak vektoru a v → bude normálním vektorem roviny α. Souřadnice tohoto vektoru jsou definovány jako rozdíl mezi odpovídajícími souřadnicemi bodů v (3, - 2, 4) a A (2, - 1, - 2):

A B → \u003d (3 - 2, - 2 - (- 1), 4 - (- 2)) ⇔ A B → \u003d (1, - 1, 6)

Obecná rovnice letadla bude zaznamenána takto:

1 · X - 2 - 1 · Y - (- 1 + 6 · (Z - (- 2)) \u003d 0 ⇔ X - Y + 6 Z + 9 \u003d 0

Nyní provést požadovanou rovinu roviny v segmentech:

x - Y + 6 Z + 9 \u003d 0 ⇔ X - Y + 6 Z \u003d - 9 ⇔ X - 9 + Y 9 + Z - 3 2 \u003d 1

Odpovědět: X - 9 + Y 9 + Z - 3 2 \u003d 1

Je také třeba poznamenat, že jsou nalezeny úkoly, jehož požadavek je napsat rovnici roviny procházejícího stanoveným bodem a kolmo ke dvěma předem určených rovinách. Obecně platí, že řešením tohoto problému je vypracování rovnice roviny procházející specifikovaným bodem kolmým na specifikovanou přímku, protože Dva protínající se roviny nastavují přímku.

Příklad 5.

Obdélníkový souřadný systém O X Y Z je uveden v IT - bod M 1 (2, 0, - 5). Rovnice dvou rovin jsou také podávány 3 x + 2 Y + 1 \u003d 0 a X + 2 Z - 1 \u003d 0, které se protínají v přímém směru A. Je nutné provést rovnici roviny procházející bodem M 1 kolmo k přímému a.

Rozhodnutí

Definujeme souřadnice vodícího vektoru Direct A. Je kolmo k normálnímu vektoru n 1 → (3, 2, 0) roviny n → (1, 0, 2) a normálního vektoru 3 x + 2 y + 1 \u003d 0 rovina x + 2 Z - 1 \u003d 0.

Pak vodicí vektor α → Direct A pořídit vektor produkt vektorů n 1 → a n 2 →:

a → \u003d n 1 → × n 2 → \u003d i → j → K → 3 2 0 1 0 2 \u003d 4 · I → - 6 · J → - 2 · K → ⇒ ⇒ a → \u003d (4, - 6, - 2 )

Tak, vektor n → \u003d (4, - 6, - 2) bude normální rovinný vektor kolmý k přímému a. Píšeme požadovanou rovnici letadla:

4 · (X - 2) - 6 · (Y - 0) - 2 · (Z - (- 5)) \u003d 0 ⇔ 4 x - 6 Y - 2 Z - 18 \u003d 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 Y - Z - 9 \u003d 0

Odpovědět: 2 x - 3 y - Z - 9 \u003d 0

Pokud si v textu všimnete chybu, vyberte jej a stiskněte klávesu CTRL + ENTER

Chcete-li získat obecnou rovinu rovnice, budeme analyzovat rovinu procházející zadaným bodem.

Předpokládejme, že v prostoru existují tři souřadnicové osy, které nám již známy - VŮL., Oy. a Oz.. Super list papíru, takže zůstane plochý. Letadlo bude samotný list a jeho pokračování ve všech směrech.

Nech být P. Libovolné roviny ve vesmíru. Každá osoba kolmá k ní je volána normální vektor Do této roviny. Přirozeně mluvíme o nenulovém vektoru.

Pokud je známa nějaká bodová rovina P. A některé vektorové normální, pak tyto dvě podmínky je rovina ve vesmíru docela určeno (Prostřednictvím stanoveného bodu může být provedena jediná rovina kolmá k tomuto vektoru). Obecná rovnice letadla se bude podívat na:

Tak, podmínky, které stanoví rovnici roviny, je. Dostat self. rovnice rovnicemít daný vzhled, vezměte v letadle P. Libovolný směřovat M. S proměnnými souřadnicemi x., y., z.. Tento bod patří do letadla pouze tehdy, když vektor kolmo k vektoru (Obr. 1). Za tímto účelem je podle stavu kolmosti vektorů nezbytné a dost, takže skalární produkt těchto vektorů je nulový, to znamená

Vektor je dán podle stavu. Souřadnice vektoru najdou vzorec :

.

Nyní, pomocí vzorce skalárního produktu vektorů , Vyjádřete skalární produkt do formuláře souřadnic:

Od Point. M (x; y; z) Vybrané v rovině libovolně, pak druhá rovnice uspokojí souřadnice libovolného bodu ležícího v rovině P.. Pro bod N.neleží na daném letadle, tj. Rovnost (1) je porušena.

Příklad 1. Udělejte rovnici roviny procházející bodem a kolmým vektoru.

Rozhodnutí. Používáme vzorec (1), podívejme se na to znovu:

V tomto čísle vzorců A. , B. a C. Souřadnice vektoru a čísla x.0 , y.0 a z.0 - bodové souřadnice.

Výpočty jsou velmi jednoduché: nahrazujeme tato čísla ve vzorci a získáváme

Vynásobte vše, co potřebujete k násobit a přidat jen čísla (bez písmen). Výsledek:

.

Požadovaná rovnice roviny v tomto příkladu byla vyslovována obecnou rovnicí prvního stupně vzhledem k proměnným souřadnic x, Y, Z libovolná bodová rovina.

Takže, rovnice typu

volala společná rovnice letadla .

Příklad 2.Vybudujte rovinu stanovenou rovnicí v obdélníkovém kartézském souřadném systému .

Rozhodnutí. Pro vybudování roviny je nutné a dost, aby poznal všechny tři body, které neleží na jedné rovině, například bod průsečíku roviny s koordinovanými osami.

Jak najít tyto body? Najít průsečík s osou Oz. Je nutné nahradit nuly v rovnici uvedeném ve stavu problému namísto X a Hry náhradní nuly: x. = y. \u003d 0. Proto dostaneme z. \u003d 6. Zadaná rovina tedy protíná osu Oz. V Point. A.(0; 0; 6) .

Podobně najdeme bod průsečíku letadla s osou Oy. . Pro x. = z. \u003d 0 Příjmu y. \u003d -3, to je bod B.(0; −3; 0) .

A konečně najdeme bod průsečíku našeho letadla s osou VŮL. . Pro y. = z. \u003d 0 get. x. \u003d 2, to je bod C.(2; 0; 0). Podle tří bodů získaných v našem řešení A.(0; 0; 6) , B.(0; -3; 0) a C.(2; 0; 0) stavíme specifikovanou rovinu.

Zvážit nyní soukromé případy obecné rovnice letadla. Tyto případy, kdy jsou tyto nebo jiné koeficienty rovnice (2) aplikovány na nulu.

1. Ply D \u003d.0 rovnice Určuje rovinu procházející původem souřadnic jako souřadnic bodu 0 (0; 0; 0) uspokojit tuto rovnici.

2. Ply A \u003d.0 rovnice Určuje rovinu rovnoběžnou s osou VŮL.Protože vektor normální roviny je kolmý k ose VŮL. (jeho projekce na ose VŮL. rovna nule). Stejně tak pro B \u003d.0 letadlo Paralelní osa Oy., a kdy C \u003d.0 letadlo paralelně s osou Oz..

3. PLY. A \u003d d \u003d 0 rovnice určuje rovinu procházející osou VŮL.Protože je paralelní s osou VŮL. (A \u003d.D \u003d. 0). Podobně letadlo prochází osou Oy.a rovina přes osu Oz..

4. PLY. A \u003d b \u003d0 Rovnice určuje rovinu rovnoběžnou se souřadnicovou rovinou xoy.Protože je paralelní s osami VŮL. (A. \u003d 0) a Oy. (B. \u003d 0). Podobně je rovina paralelní s rovinou yoz.a letadlo - letadlo xoz..

5. PLY. A \u003d b \u003d d \u003d0 rovnice (nebo z \u003d.0) Určuje souřadnicovou rovinu xoy.Protože je paralelní s letadlem xoy. (A \u003d b \u003d 0) a prochází původem souřadnic ( D \u003d.0). Podobně rovnice y \u003d.0 ve vesmíru určuje souřadnicovou rovinu xoz.a rovnice x \u003d.0 - Souřadnicová rovina yoz..

Příklad 3. Dělat rovnici P. procházející osou Oy. a bod.

Rozhodnutí. Takže rovina prochází osou Oy. . Proto v jeho rovnici y. \u003d 0 a tato rovnice je zobrazena. Určení koeficientů A. a C. Využijte skutečnosti, že bod patří do letadla P. .

Mezi jeho souřadnic tedy existují ty, které mohou být nahrazeny rovnicí roviny, které jsme již přinesli (). Znovu se podíváme na souřadnice bodu:

M.0 (2; −4; 3) .

Mezi nimi x. = 2 , z. \u003d 3. Nahrazujeme je do rovnice obecné formy a získáme rovnici pro náš konkrétní případ:

2A. + 3C. = 0 .

Opustit 2. A. V levé části rovnice, přenos 3 C. na pravé straně a dostat se

A. = −1,5C. .

Nahrazení nalezené hodnoty A. V rovnici se dostaneme

nebo.

To je rovnice požadovaná ve stavu příkladu.

Vyřešit problém na rovinných rovinách sami a pak viz rozhodnutí

Příklad 4. Určete rovinu (nebo rovinu, pokud je více než jednu) vzhledem k souřadným osům nebo souřadným rovinám, pokud je rovina (rovina) specifikována rovnicí.

Rozhodnutí typických úkolů, které jsou v testovací práci - v příručce "úkolů v letadle: paralelnost, kolmá, křižovatka tří letadel na jednom místě."

Rovnice roviny procházející tři body

Jak již bylo zmíněno, nezbytné a dostatečné podmínky pro konstrukci roviny, s výjimkou jednoho bodu a vektoru normálu, existují také tři body, které neleží na jedné přímce.

Nechte tři různé body, a neleží na jedné přímce. Vzhledem k tomu, že tyto tři body neleží na jedné rovině, vektorech a nejsou kolineární, a proto jakýkoliv bod roviny leží ve stejné rovině s tečkami a pak a pouze v případě, že vektory a SOMERIENNAS, tj. Pak a jen tehdy, když smíšený produkt těchto vektorů Stejně nula.

Pomocí výrazu smíšeného produktu v souřadnicích získáváme rovnou rovnici

(3)

Po definování determinantu se tato rovnice stává rovnicí formy (2), tj. Společná rovnice letadla.

Příklad 5. Proveďte rovnici roviny, která prochází tři body, která leží na jedné přímce:

a určit zvláštní případ obecné rovnice rovné, pokud se tak stane.

Rozhodnutí. Podle vzorce (3) máme:

Normální rovina roviny. Vzdálenost od bodu do roviny

Normální rovnice roviny se nazývá jeho rovnice zaznamenanou jako

Rovina rovnice. Jak udělat rovnici rovnice?
Vzájemné umístění letadel. Úkoly

Prostorová geometrie není mnohem komplikovanější "plochou" geometrií a naše lety v prostoru začínají tímto článkem. Chcete-li toto téma využít, je nutné dobře porozumět vektoryKromě toho je žádoucí být obeznámen s geometrií letadla - bude spousta podobných, mnoho analogií, takže informace budou stráveny výrazně lepší. V sérii mých lekcí se 2D svět otevírá článek Přímá rovnice v letadle. Ale teď Batman šel s plochou obrazovkou televizoru a začíná od kosmodromu Baikonur.

Začněme s výkresy a označeními. Schematicky může být rovina nakreslena ve formě paralelogramu, který vytváří dojem prostoru:

Letadlo je nekonečné, ale máme možnost zobrazit pouze její kus. V praxi kromě paralelogramu také nakreslím oválný nebo dokonce mrak. Z technických důvodů je vhodné z technických důvodů pro zobrazení letadla právě v této poloze. Skutečná rovina, kterou v praktických příkladech zvážíme, mohou být umístěny, jak se vám líbí - mentálně vezměte výkres ve svých rukou a otočte ji ve vesmíru, dávat letadlo jakýkoliv náklon, jakýkoliv úhel.

Označení: Planes jsou vyrobeny k označení malých řeckých dopisů, zřejmě je nemohou zaměňovat přímo v letadle nebo s. \\ t přímo v prostoru. Použil jsem dopis. Ve výkresu, písmen "Sigma", a ne díra vůbec. Ačkoli, dýchací letadlo, je to určitě velmi vtipné.

V některých případech pro označení rovin je vhodné použít stejná řecká písmena s nižšími indexy substrátu.

Je zřejmé, že letadlo je jedinečně určeno třemi různými body, které neleží na jedné přímce. Třípísmenné označení letadel jsou proto poměrně populární - podle bodů patřících, například atd. Dopisy často uzavřou v závorkách: nemění letadlo jinou geometrickou postavou.

Pro zkušené čtenáři dají rychlý přístup k přístupu:

• Jak udělat rovinu rovnice na bod a dva vektory?
• Jak vytvořit rovnici letadla na místě a vektoru normálu?

a nebudeme neomezit dlouhá očekávání:

Obecná rovnice letadla

Obecná rovnice roviny je vnímána tam, kde jsou koeficienty současně rovny nule.

Řada teoretických výpočtů a praktických úkolů jsou spravedlivé jak pro obvyklé ortonormální základy a pro afinní prostor (pokud je olej - olej, vraťte se do lekce Lineární (ne) vektoru vektoru. Základní vektory). Pro jednoduchost předpokládáme, že všechny události se vyskytují v ortonormálním základě a decartulární obdélníkový souřadný systém.

A teď to trvá trochu prostorovou představivostí. Nic strašného, \u200b\u200bpokud máte to špatně, teď trochu víc. Dokonce i pro hru na nervech je potřeba cvičení.

V nejobecnějším případě, kdy čísla nejsou nulová, rovina překračuje všechny tři souřadnicové osy. Například:

Opět opakuji, že letadlo pokračuje nekonečně ve všech směrech a máme možnost zobrazit pouze svou část.

Zvažte nejjednodušší rovnice letadel:

Jak porozumět této rovnici? Myslím, že: "ZET" je vždy, s jakýmikoli hodnoty "X" a "Igarek" je nula. Jedná se o rovnici "nativní" souřadnicová rovina. Ve skutečnosti, formálně rovnice může být přepsána takto: Tam, kde je jasně vidět, že jsme na bubnu, jaké hodnoty jsou "IX" a "Igrek", je důležité, aby "ZET" je nula.

Podobně:
- rovnice souřadnicové roviny;
- rovnice souřadnicové roviny.

Trochu komplikující úkol, zvažte letadlo (zde a pak v odstavci předpokládáme, že numerické koeficienty nejsou rovny nulu). Rewite rovnici ve formě :. Jak mu porozumět? "X" je vždy, s jakýmikoli hodnoty "Igarek" a "Zeta" se rovná určitému číslu. Tato rovina je rovnoběžná s koordinovanou rovinou. Letadlo je například rovnoběžné s rovinou a prochází bodem.

Podobně:
- rovnice roviny, která je rovnoběžná s koordinovanou rovinou;
- rovnice roviny, která je rovnoběžná s koordinovanou rovinou.

Přidat členy :. Rovnice může být přepsána následovně: to je "Zy" může být jakákoliv. Co to znamená? "X" a "Igrek" jsou spojeni se vztahem, který má určitou linku v letadle (zjistit přímá rovnice v letadle?). Protože "ZET" může být jakýkoliv, pak je toto přímé "replikováno" v libovolné výšce. Rovnice tak stanoví rovinu rovnoběžně s osou souřadnic

Podobně:
- rovnice roviny, která je rovnoběžná s koordinátou osou;
- rovnice roviny, která je rovnoběžná s osou souřadnic.

Pokud jsou volní členové nulové, letadla přímo projdou příslušnými osami. Například klasická "přímá proporcionalita" :. V rovině, v rovině, přímý a mentálně násobitelný nahoru a dolů (od "ZET"). Závěr: Letadlo definované rovnicí prochází osou souřadnic.

Kompletní recenze: rovina rovnice prochází původem souřadnic. No, je zde docela zřejmé, že bod splňuje tuto rovnici.

A konečně případ zobrazený ve výkresu: - letadlo je přátelské se všemi souřadnicovými osami, zatímco vždy "vyřízne" trojúhelník, který může být umístěn v některém z osmi osmičků.

Lineární nerovnosti ve vesmíru

Chcete-li pochopit informace, které potřebujete k prozkoumání dobře lineární nerovnosti v letadleProtože mnoho věcí bude podobné. Odstavec bude mít stručný přehled několika příkladů, protože materiál v praxi je poměrně vzácný.

Pokud rovnice nastaví rovinu, pak nerovnosti
Specifikovat semispenze. Pokud je nerovnost neuvěřitelná (poslední dva), pak rovina sama zahrnuje řešení nerovnosti.

Příklad 5.

Najít jeden normální rovina vektor .

Rozhodnutí: Vektorová jednotka je vektor, jehož délka se rovná. Označte tímto vektorem. Je zcela jasné, že vektory jsou kolineární:

Zpočátku z roviny rovnice je vektor normálu odstraněn :.

Jak najít jeden vektor? Chcete-li najít jeden vektor, potřebujete kAŽDÝ Vektorové souřadnice dělí vektorovou délkou.

Vektor přispíšeme vektoru v podobě a najdeme ji délku:

Podle výše uvedeného:

Odpovědět:

Zkontrolujte, co bylo nutné kontrolovat.

Čtenáři, kteří pečlivě studovali poslední odstavec lekce, si to zřejmě všimli souřadnice jednoho vektoru - to je přesně průvodce vektorové kosinice:

Distrujeme z rozebraného úkolu: když dostanete libovolný nenulový vektora pod podmínkou je nutné najít své vodítko Cosines (viz poslední úkoly lekce Skalární produkt vektory), Pak jste ve skutečnosti najít jeden vektor, daný kolinear. Ve skutečnosti dvě úkoly v jedné láhvi.

Potřeba najít jeden vektor normální vzniká v některých cílech matematické analýzy.

S přežitím normálního vektoru, oni přišli, nyní odpoví na opačnou otázku:

Jak vytvořit rovnici letadla na místě a vektoru normálu?

Tento tuhý design vektoru normálu a bod zná cíl hrát šipky dobře. Prosím, vytáhněte ruku dopředu a mentálně si vyberte libovolný bod prostoru, například malá koťátko ve služebníku. Samozřejmě, přes tento bod můžete provést jednu rovinu kolmé k ruce.

Rovnice roviny procházející bodem kolmým do vektoru je vyjádřena vzorcem: