Jak zjistit poloměr vepsané kružnice? Poloměr kruhu vepsaného do čtverce. Teorie a řešení

Poloměr je úsečka, která spojuje libovolný bod na kružnici s jejím středem. To je jedna z nejdůležitějších charakteristik tohoto obrázku, protože z něj lze vypočítat všechny ostatní parametry. Pokud víte, jak zjistit poloměr kruhu, můžete vypočítat jeho průměr, délku a plochu. V případě, že je tento obrázek vepsán nebo popsán kolem jiného, ​​lze vyřešit řadu dalších problémů. Dnes budeme analyzovat základní vzorce a vlastnosti jejich aplikace.

Známá množství

Pokud víte, jak zjistit poloměr kružnice, který se obvykle označuje písmenem R, pak jej lze vypočítat z jedné charakteristiky. Tato množství zahrnují:

• obvod (C);
• průměr (D) - segment (nebo spíše tětiva), který prochází centrálním bodem;
• plocha (S) - prostor, který je ohraničen daným obrazcem.

Po obvodu

Pokud je v úloze známá hodnota C, pak R = C / (2 * P). Tento vzorec je odvozený. Pokud víme, jaký je obvod, pak už se to nemusí učit nazpaměť. Předpokládejme, že v úloze C = 20 m. Jak v tomto případě zjistit poloměr kružnice? Jednoduše dosaďte známou hodnotu do výše uvedeného vzorce. Všimněte si, že v takových úlohách je vždy implikována znalost čísla P. Pro usnadnění výpočtů budeme brát jeho hodnotu jako 3,14. Řešení je v tomto případě následující: zapíšeme si, jaké veličiny jsou uvedeny, odvodíme vzorec a provedeme výpočty. V odpovědi píšeme, že poloměr je 20 / (2 * 3,14) = 3,19 m. Je důležité nezapomenout na to, co jsme uvažovali, a uvést název jednotek měření.

Podle průměru

Ihned zdůrazňujeme, že jde o nejjednodušší typ problému, který se ptá, jak najít poloměr kružnice. Pokud vás na kontrole napadl takový příklad, pak můžete být v klidu. Nepotřebujete ani kalkulačku! Jak jsme již řekli, průměr je segment nebo správněji tětiva, která prochází středem. V tomto případě jsou všechny body kružnice stejně vzdálené. Proto se tento akord skládá ze dvou polovin. Každý z nich je poloměr, což vyplývá z jeho definice jako úsečka, která spojuje bod na kružnici a její střed. Pokud je průměr v problému znám, pak pro nalezení poloměru stačí tuto hodnotu vydělit dvěma. Vzorec vypadá takto: R = D / 2. Pokud je například průměr v úloze 10 m, pak je poloměr 5 metrů.

Podle oblasti kruhu

Tento typ úkolu se obvykle nazývá nejobtížnější. Je to dáno především neznalostí vzorce. Pokud víte, jak v tomto případě zjistit poloměr kruhu, pak je zbytek otázkou techniky. V kalkulačce stačí předem najít ikonu odmocniny. Plocha kruhu je součinem pí a poloměru vynásobeného sebou samým. Vzorec vypadá takto: S \u003d P * R 2. Izolací poloměru na jedné ze stran rovnice můžete problém snadno vyřešit. Bude se rovnat druhé odmocnině podílu dělení plochy číslem P. Pokud S \u003d 10 m, pak R \u003d 1,78 metru. Stejně jako v předchozích úkolech je důležité nezapomenout na použité jednotky.

Jak zjistit poloměr kružnice opsané

Předpokládejme, že a, b, c jsou strany trojúhelníku. Pokud znáte jejich velikosti, můžete najít poloměr kruhu popsaného kolem něj. Chcete-li to provést, musíte nejprve najít půlobvod trojúhelníku. Pro snadnější čtení jej označme malým písmenem p. Bude se rovnat polovině součtu stran. Jeho vzorec je: p = (a + b + c) / 2.

Vypočítáme také součin délek stran. Pro usnadnění jej označme písmenem S. Vzorec pro poloměr opsané kružnice bude vypadat takto: R \u003d S / (4 * √ (p * (p - a) * (p - b) * ( p - c)).

Zvažte příklad úkolu. Máme kruh opsaný kolem trojúhelníku. Délky jeho stran jsou 5, 6 a 7 cm.Nejprve spočítáme půlobvod. V našem problému se bude rovnat 9 centimetrům. Nyní vypočítáme součin délek stran - 210. Výsledky mezivýpočtů dosadíme do vzorce a zjistíme výsledek. Poloměr opsané kružnice je 3,57 centimetru. Odpověď zapisujeme, nezapomínáme na měrné jednotky.

Jak zjistit poloměr vepsané kružnice

Předpokládejme, že a, b, c jsou délky stran trojúhelníku. Pokud znáte jejich velikosti, můžete najít poloměr kruhu, který je v něm vepsán. Nejprve musíte najít jeho poloobvod. Pro snadnější pochopení jej označme malým písmenem p. Vzorec pro její výpočet je následující: p = (a + b + c) / 2. Tento typ úlohy je o něco jednodušší než předchozí, takže nejsou potřeba žádné další mezivýpočty.

Poloměr kružnice vepsané se vypočítá pomocí následujícího vzorce: R = √((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Podívejme se na to na konkrétním příkladu. Předpokládejme, že úloha popisuje trojúhelník o stranách 5, 7 a 10 cm, do kterého je vepsána kružnice, jejíž poloměr je třeba najít. Nejprve najděte poloobvod. V naší úloze se bude rovnat 11 cm, nyní ji dosadíme do hlavního vzorce. Poloměr bude roven 1,65 centimetru. Odpověď zapisujeme a nezapomínáme na správné měrné jednotky.

Kruh a jeho vlastnosti

Každý geometrický obrazec má své vlastní charakteristiky. Správnost řešení problémů závisí na jejich pochopení. Existují také kruhy. Často se používají při řešení příkladů s popsanými nebo vepsanými obrázky, protože dávají jasnou představu o takové situaci. Mezi nimi:

• Přímka může mít nula, jeden nebo dva průsečíky s kružnicí. V prvním případě se s ním neprotíná, ve druhém je to tečna, ve třetím - sečna.
• Pokud vezmete tři body, které neleží na jedné přímce, lze jimi nakreslit pouze jednu kružnici.
• Přímka může být tečnou ke dvěma obrazcům najednou. V tomto případě bude procházet bodem, který leží na segmentu spojujícím středy kružnic. Jeho délka se rovná součtu poloměrů těchto obrazců.
• Přes jeden nebo dva body lze nakreslit nekonečné množství kruhů.

Kosočtverec je rovnoběžník se všemi stranami stejnými. Proto zdědí všechny vlastnosti rovnoběžníku. A to:

• Úhlopříčky kosočtverce jsou vzájemně kolmé.
• Úhlopříčky kosočtverce jsou osy jeho vnitřních úhlů.

Kruh může být vepsán do čtyřúhelníku právě tehdy, když se součty protilehlých stran rovnají.
Proto může být kruh vepsán do jakéhokoli kosočtverce. Střed vepsané kružnice se shoduje se středem průsečíku úhlopříček kosočtverce.
Poloměr vepsané kružnice v kosočtverci lze vyjádřit několika způsoby

1 způsob. Poloměr vepsané kružnice v kosočtverci přes výšku

Výška kosočtverce se rovná průměru vepsané kružnice. Vyplývá to z vlastnosti obdélníku, který je tvořen průměrem vepsané kružnice a výškou kosočtverce - protilehlé strany obdélníku jsou si rovny.

Proto vzorec pro poloměr vepsané kružnice v kosočtverci přes výšku:

2 způsobem. Poloměr vepsané kružnice v kosočtverci přes diagonály

Plochu kosočtverce lze vyjádřit poloměrem vepsané kružnice
, kde R je obvod kosočtverce. Když víme, že obvod je součtem všech stran čtyřúhelníku, máme P= 4×ha. Pak
Ale plocha kosočtverce je také poloviční součin jeho úhlopříček
Když vyrovnáme správné části plošných vzorců, máme následující rovnost
V důsledku toho získáme vzorec, který nám umožní vypočítat poloměr vepsané kružnice v kosočtverci přes úhlopříčky

Příklad výpočtu poloměru kružnice vepsané do kosočtverce, pokud jsou známé úhlopříčky
Najděte poloměr kružnice vepsané do kosočtverce, pokud je známo, že délka úhlopříček je 30 cm a 40 cm
Nechat abeceda- tedy kosočtverec AC a BD jeho úhlopříčky. AC= 30 cm , BD= 40 cm
Nechte bod Ó je středem vepsaného do kosočtverce abeceda kružnice, pak to bude také průsečík jejích úhlopříček, které je rozdělí na polovinu.


protože úhlopříčky kosočtverce se protínají v pravém úhlu, pak trojúhelník AOB obdélníkový. Pak podle Pythagorovy věty
, dosadíme dříve získané hodnoty do vzorce

AB= 25 cm
Aplikováním dříve odvozeného vzorce pro poloměr kružnice opsané na kosočtverec získáme

3 způsobem. Poloměr kružnice vepsané v kosočtverci přes segmenty m a n

Tečka F- bod dotyku kruhu se stranou kosočtverce, který jej rozděluje na segmenty AF a bf. Nechat AF=m, BF=n.
Tečka Ó- střed průsečíku úhlopříček kosočtverce a středu do něj vepsané kružnice.
Trojúhelník AOB- obdélníkový, protože úhlopříčky kosočtverce se protínají v pravém úhlu.
, protože je poloměr nakreslený k tečnému bodu kružnice. tudíž Z- výška trojúhelníku AOB do přepony. Pak AF a bf- projekce nohou na přeponu.
Výška v pravoúhlém trojúhelníku klesla na přeponu je průměrná úměrná mezi projekcemi nohou na přeponu.

Vzorec pro poloměr vepsané kružnice v kosočtverci přes segmenty se rovná druhé odmocnině součinu těchto segmentů, na které je strana kosočtverce rozdělena tečným bodem kruhu.

Vaše soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

• Když odešlete žádost na webu, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, e-mailové adresy atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

• Osobní údaje, které shromažďujeme, nám umožňují kontaktovat vás a informovat vás o jedinečných nabídkách, akcích a dalších akcích a nadcházejících událostech.
• Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých upozornění a zpráv.
• Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
• Pokud se zúčastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné pobídky, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.

Zpřístupnění třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

• V případě, že je nutné - v souladu se zákonem, soudním řádem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí státních orgánů na území Ruské federace - zveřejnit Vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné z důvodu bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiného veřejného zájmu.
• V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné třetí straně, nástupci.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i před neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Zachování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům postupy ochrany osobních údajů a zabezpečení a přísně vynucujeme postupy ochrany osobních údajů.

Kruh se považuje za vepsaný do hranic pravidelného mnohoúhelníku, pokud leží uvnitř něj a přitom se dotýká čar, které procházejí všemi stranami. Zvažte, jak najít střed a poloměr kružnice. Střed kružnice bude bodem, kde se protínají osy rohů mnohoúhelníku. Poloměr se vypočítá: R=S/P; S je plocha mnohoúhelníku, P je semiperimetr kruhu.

V trojúhelníku

Pouze jeden kruh je vepsán do pravidelného trojúhelníku, jehož střed se nazývá střed; je stejně vzdálená ze všech stran a je průsečíkem os.

Ve čtyřúhelníku

Často se musíte rozhodnout, jak najít poloměr vepsané kružnice v tomto geometrickém obrazci. Musí být konvexní (pokud neexistují žádné průsečíky). Kružnici do ní lze vepsat pouze v případě, že se součty protilehlých stran rovnají: AB+CD=BC+AD.

V tomto případě se střed vepsané kružnice, středy úhlopříček, nachází na jedné přímce (podle Newtonovy věty). Úsek, jehož konce jsou umístěny tam, kde se protínají protilehlé strany pravidelného čtyřúhelníku, leží na stejné přímce, nazývané Gaussova čára. Střed kružnice bude bod, ve kterém se protínají výšky trojúhelníku s vrcholy, úhlopříčkami (podle Brocardovy věty).

V kosočtverci

Je považován za rovnoběžník se stejnou délkou strany. Poloměr kružnice do ní vepsané lze vypočítat několika způsoby.

1. Chcete-li to provést správně, najděte poloměr vepsaného kruhu kosočtverce, pokud je známa oblast kosočtverce, délka jeho strany. Použije se vzorec r=S/(2Xa). Například, pokud je plocha kosočtverce 200 mm čtverečních, délka strany je 20 mm, pak R = 200 / (2X20), to znamená 5 mm.
2. Je znám ostrý úhel jednoho z vrcholů. Pak je nutné použít vzorec r=v(S*sin(α)/4). Například s plochou 150 mm a známým úhlem 25 stupňů, R= v(150*sin(25°)/4) ≈ v(150*0,423/4) ≈ v15,8625 ≈ 3,983 mm.
3. Všechny úhly v kosočtverci jsou stejné. V této situaci bude poloměr kružnice vepsané do kosočtverce roven polovině délky jedné strany tohoto obrazce. Budeme-li argumentovat podle Euklida, který tvrdí, že součet úhlů kteréhokoli čtyřúhelníku je 360 ​​stupňů, pak se jeden úhel bude rovnat 90 stupňům; těch. získat čtverec.

Tento článek populárně vysvětlil, jak najít poloměr kruhu vepsaného do čtverce. Teoretický materiál vám pomůže pochopit všechny nuance související s tématem. Po přečtení tohoto textu můžete podobné problémy v budoucnu snadno řešit.

Základní teorie

Než přistoupíte přímo k nalezení poloměru kruhu vepsaného do čtverce, stojí za to se seznámit s některými základními pojmy. Možná se vám mohou zdát příliš jednoduché a zřejmé, ale jsou nezbytné k pochopení problematiky.

Čtverec je čtyřúhelník, jehož všechny strany jsou si navzájem rovny a míra stupňů všech úhlů je 90 stupňů.

Kruh je dvourozměrná uzavřená křivka umístěná v určité vzdálenosti od nějakého bodu. Segment, jehož jeden konec leží ve středu kruhu a druhý - na kterémkoli z jeho povrchů, se nazývá poloměr.

Seznámili jsme se s pojmy, zůstala jen hlavní otázka. Musíme najít poloměr kruhu vepsaného do čtverce. Co ale znamená ta poslední věta? Ani zde není nic složitého. Pokud se všechny strany určitého mnohoúhelníku dotýkají zakřivené čáry, považuje se za vepsaný do tohoto mnohoúhelníku.

Poloměr kruhu vepsaného do čtverce

Dokončeno teoretickým materiálem. Nyní musíme vymyslet, jak to uvést do praxe. K tomu použijeme kresbu.

Poloměr je zjevně kolmý k AB. To znamená, že zároveň je paralelní s naším letopočtem a před naším letopočtem. Zhruba řečeno, můžete jej "překrýt" na straně čtverce a dále určit délku. Jak vidíte, segment BK tomu bude odpovídat.

Jeden z jejích konců r leží ve středu kružnice, která je průsečíkem úhlopříček. Ty se podle jedné ze svých vlastností navzájem dělí napůl. Pomocí Pythagorovy věty lze dokázat, že také rozdělují stranu obrazce na dvě stejné části.

Vezmeme-li tyto argumenty, uzavíráme.