Integrální derivace vzorce s dlouhým logaritmem. Co je logaritmus? Řešení logaritmů. Příklady Vlastnosti logaritmů. Podmínky pro aplikaci řady Taylor

Tabulka s antivirotiky.

Vlastnosti neurčitého integrálu umožňují najít jeho antiderivaci ze známého diferenciálu funkce. Pomocí rovností a z tabulky derivací základních elementárních funkcí je možné sestavit tabulku antiderivativ.

Odvolání derivační tabulka, píšeme to také formou diferenciálů.

Najdeme například neurčitý integrál mocenské funkce.

Pomocí tabulky diferenciálů , tedy vlastnostmi neurčitého integrálu máme. proto nebo v jiném příspěvku

Najdeme množinu antiderivativ mocenské funkce pro p = -1. My máme ... S odkazem na tabulku diferenciálů pro přirozený logaritmus , Tudíž, ... proto .

Doufám, že princip pochopíte.

Tabulka antiderivativ (neurčité integrály).

Vzorce z levého sloupce tabulky se nazývají základní antiderivativa. Vzorce z pravého sloupce nejsou základní, ale velmi často se používají k nalezení neurčitých integrálů. Lze je ověřit diferenciací.

Přímá integrace.

Přímá integrace je založena na využití vlastností neurčitých integrálů ,, integrační pravidla a tabulky pomocných látek.

Integrand bude obvykle nutné nejprve mírně transformovat, aby bylo možné použít tabulku základních integrálů a vlastností integrálů.

Příklad.

Najděte integrál .

Řešení.

Koeficient 3 lze vyjmout z integrálního znaménka na základě vlastnosti:

Transformujeme integrand (podle trigonometrických vzorců):

Protože integrál součtu se rovná součtu integrálů, pak

Je čas obrátit se na tabulku antiderivativ:

Odpovědět:

.

Příklad.

Najděte sadu antiderivativ funkce

Řešení.

S odkazem na tabulku antiderivativ pro exponenciální funkci: ... Tj, .

Pomocí integračního pravidla , pak máme:

Tabulka antiderivativ nám tedy společně s vlastnostmi a pravidlem integrace umožňuje najít mnoho neurčitých integrálů. Není však vždy možné transformovat integrand tak, aby používal tabulku antiderivativ.

Například v tabulce antiderivativ neexistuje žádný integrál logaritmické funkce, arcsinové funkce, arccosine, arktangens a arccotangens, tangens a cotangent. K jejich nalezení se používají speciální metody. Ale více o tom v další části:

Co je logaritmus?

Pozornost!
Existují další
materiály ve speciální sekci 555.
Pro ty, kteří „nejsou příliš ...“
A pro ty, kteří „velmi ...“)

Co je logaritmus? Jak řešíte logaritmy? Tyto otázky matou mnoho absolventů. Téma logaritmů je tradičně považováno za obtížné, nesrozumitelné a děsivé. Zvláště - rovnice s logaritmy.

To absolutně neplatí. Absolutně! Nevěříš mi? Dobrý. Nyní asi za 10 - 20 minut:

1. Rozumět co je logaritmus.

2. Naučte se řešit celou třídu exponenciálních rovnic. I když jste o nich neslyšeli.

3. Naučte se počítat jednoduché logaritmy.

A k tomu budete potřebovat pouze znásobovací tabulku, ale jak se číslo zvýší na moc ...

Cítím, že jsi na pochybách ... No, sleduj čas! Jít!

Začněte tím, že si ve své hlavě vyřešíte následující rovnici:

Pokud se vám tento web líbí ...

Mimochodem, mám pro vás pár dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit příklady řešení a zjistit svoji úroveň. Okamžité ověřovací testování. Učení - se zájmem!)

můžete se seznámit s funkcemi a deriváty.

Tabulka antiderivativ („integrály“). Integrovaná tabulka. Tabulkové neurčité integrály. (Nejjednodušší integrály a integrály s parametrem). Integrační vzorce po částech. Newton-Leibnizův vzorec.

Tabulka antiderivativ („integrály“). Tabulkové neurčité integrály. (Nejjednodušší integrály a integrály s parametrem).
Integrace výkonové funkce.	Integrace výkonové funkce.
Integrál, který se redukuje na integrál výkonové funkce, pokud je x poháněno ve znamení diferenciálu.
	Integrál exponentu, kde a je konstantní číslo.
Integrál komplexní exponenciální funkce.	Integrál exponenciální funkce.
Integrální ekvivalent přirozeného loga.	Integrální: „Dlouhý logaritmus“.
	Integrální: „Dlouhý logaritmus“.
Integrální: „Vysoký logaritmus“.	Integrál, kde x v čitateli je zadáno pod znaménkem diferenciálu (konstanta pod znaménkem může být buď přičtena nebo odečtena), je na konci podobný integrálu rovnajícímu se přirozenému logu.
Integrální: „Vysoký logaritmus“.
Integrál kosinu.	Sinusový integrál.
Integrál se rovná tangens.	Integrál se rovná kotangensu.
Integrál se rovná jak arcsinu, tak arccosinu
Integrální se rovná jak arcsine, tak arcsine.	Integrál se rovná tangens i arc kotangens.
Integrál se rovná kosekans.	Integrál se rovná secantu.
Integrál se rovná arcsecantu.	Integrál se rovná arcsecantu.
Integrál se rovná arcsecantu.	Integrál se rovná arcsecantu.
Integrální roven hyperbolickému sinu.	Integrální roven hyperbolickému kosinu.
Integrální roven hyperbolickému sinu, kde sinhx je v anglické verzi hyperbolický sinus.	Integrální roven hyperbolickému kosinu, kde sinhx je v anglické verzi hyperbolický sinus.
Integrální rovná hyperbolické tangenty.	Integrál se rovná hyperbolickému kotangensu.
Integrální roven hyperbolickému sečnu.	Integrální roven hyperbolickému kosekans.

Integrační vzorce po částech. Integrační pravidla.

Integrační vzorce po částech. Newton-Leibnizův vzorec. Integrační pravidla.
Integrace produktu (funkce) pomocí konstanty:
Integrace součtu funkcí:
neurčité integrály:
Integrace podle vzorce dílů definitivní integrály:
Newton-Leibnizův vzorec definitivní integrály:	Kde F (a), F (b) jsou hodnoty antiderivativ v bodech b a a.

Tabulka derivátů. Tabulkové deriváty. Derivát práce. Derivát kvocientu. Derivace komplexní funkce.

Pokud x je nezávislá proměnná, pak:

Tabulka derivátů. Tabulkové deriváty. „Tabulka odvozená“ - ano, bohužel, takto se hledají na internetu
	Derivace mocenské funkce
	Exponent derivát
Derivát komplexní exponenciální funkce	Derivát exponenciální funkce
Derivace logaritmické funkce	Derivát přirozeného logaritmu
	Derivace přirozeného logaritmu funkce
Sinusový derivát	Derivát kosinu
Kosekansový derivát	Sekvenční derivát
Arcsinový derivát	Derivát arccosinu
Arcsinový derivát	Derivát arccosinu
Derivace tangens	Derivát kotangens
Derivát arktangens	Derivát obloukového kotangensu
Derivát arktangens	Derivát obloukového kotangensu
Derivát arcsecantu	Derivát arcsecantu
Derivát arcsecantu	Derivát arcsecantu
Derivát hyperbolického sinu Derivát hyperbolického sinu v anglické verzi	Derivát hyperbolického kosinu Derivát hyperbolického kosinu v anglické verzi
Derivát hyperbolické tangenty	Derivát hyperbolického kotangensu
Derivát hyperbolického secantu	Derivát hyperbolického kosekans

Diferenciační pravidla. Derivát práce. Derivát kvocientu. Derivace komplexní funkce.
Odvození součinu (funkce) konstantou:
Odvození součtu (funkce):
Derivát produktu (funkce):
Derivace kvocientu (funkce):
Derivát komplexní funkce:

Vlastnosti logaritmů. Základní vzorce pro logaritmy. Desetinné (lg) a přirozené logaritmy (ln).

Základní logaritmická identita
Ukažme si, jak je možné libovolnou funkci formuláře a b exponenciálně. Protože funkci tvaru ex nazýváme exponenciální, pak
Jakákoli funkce tvaru a b může být reprezentována jako mocnina deseti

Přirozený logaritmus ln (základ logaritmu e = 2,718281828459045 ...) ln (e) = 1; ln (1) = 0

Taylorova série. Rozklad funkce v Taylorově řadě.

Ukazuje se, že většina prakticky se vyskytující matematické funkce mohou být reprezentovány s jakoukoli přesností v blízkosti nějakého bodu ve formě mocninných řad obsahujících stupně proměnné ve vzestupném pořadí. Například v blízkosti bodu x = 1:

Při použití řádků s názvem v řadách Taylora, smíšené funkce obsahující, řekněme, algebraické, goniometrické a exponenciální funkce mohou být vyjádřeny jako čistě algebraické funkce. Série lze často použít k rychlé diferenciaci a integraci.

Taylorova řada v blízkosti bodu a má následující formy:

1) , kde f (x) je funkce mající derivace všech řádů pro x = a. R n - zbytek Taylorovy řady je určen výrazem

2)

K-tý koeficient (při x k) řady je určen vzorcem

3) Zvláštním případem řady Taylor je řada Maclaurin (= McLaren) (rozklad nastává kolem bodu a = 0)

pro a = 0

členové řady jsou určeni vzorcem

Podmínky pro aplikaci řady Taylor.

1. Aby byla funkce f (x) rozšířena do Taylorovy řady na intervalu (-R; R), je nutné a dostatečné, aby zbytek ve Taylorově (Maclaurinově (= McLaren)) rovnici pro tuto funkci má tendenci k nule v k → ∞ v uvedeném intervalu (-R; R).

2. Je nutné, aby pro tuto funkci existovaly derivace v bodě, v jehož blízkosti se chystáme sestrojit Taylorovu řadu.

Vlastnosti řady Taylor.

Pokud f je analytická funkce, pak její Taylorova řada v kterémkoli bodě a domény f konverguje k f v nějakém sousedství a.

Existují nekonečně odlišitelné funkce, jejichž Taylorova řada konverguje, ale liší se od funkce v jakémkoli sousedství a. Například:

Taylorovy řady se používají v aproximaci (aproximace je vědecká metoda spočívající v nahrazení některých objektů jinými, v tom či onom smyslu blízkém původním, ale jednodušším) funkcím polynomy. Zejména linearizace ((z linearis - lineární), jedna z metod přibližné reprezentace uzavřených nelineárních systémů, ve které je studium nelineárního systému nahrazeno analýzou lineárního systému, v jistém smyslu ekvivalentním původnímu systému .) Rovnice nastávají rozšířením do Taylorovy řady a odříznutím všech podmínek nad prvním řádem.

Téměř jakoukoli funkci lze tedy reprezentovat jako polynom s danou přesností.

Příklady některých běžných rozšíření mocenských funkcí v řadě Maclaurin (= McLaren, Taylor v okolí bodu 0) a Taylor v okolí bodu 1. První termíny rozšíření hlavních funkcí v Tayloru a McLarenu série.

Příklady některých běžných rozšíření mocenských funkcí v řadě Maclaurin (= McLaren, Taylor v blízkosti bodu 0)

Příklady některých běžných rozšíření řady Taylor v blízkosti bodu 1