Derivace funkce. Podrobná teorie s příklady. Řešení derivace pro figuríny: definice, jak najít, příklady řešení Vzorec pro derivaci funkce v bodě

Řešení fyzikálních úloh nebo příkladů v matematice je zcela nemožné bez znalosti derivace a metod jejího výpočtu. Derivace je jedním z nejdůležitějších pojmů v matematické analýze. Tomuto zásadnímu tématu jsme se rozhodli věnovat dnešní článek. Co je to derivace, jaký má fyzikální a geometrický význam, jak vypočítat derivaci funkce? Všechny tyto otázky lze spojit do jedné: jak porozumět derivaci?

Geometrický a fyzikální význam derivace

Nechť existuje funkce f(x) , specifikované v určitém intervalu (a, b) . Do tohoto intervalu patří body x a x0. Když se změní x, změní se i samotná funkce. Změna argumentu - rozdíl v jeho hodnotách x-x0 . Tento rozdíl je zapsán jako delta x a nazývá se přírůstek argumentu. Změna nebo přírůstek funkce je rozdíl mezi hodnotami funkce ve dvou bodech. Definice derivátu:

Derivace funkce v bodě je limitem poměru přírůstku funkce v daném bodě k přírůstku argumentu, když ten má tendenci k nule.

Jinak to lze napsat takto:

Jaký má smysl najít takový limit? A tady je to, co to je:

derivace funkce v bodě je rovna tečně úhlu mezi osou OX a tečně ke grafu funkce v daném bodě.

Fyzikální význam derivátu: derivace dráhy s ohledem na čas je rovna rychlosti přímočarého pohybu.

Opravdu, od školních dob každý ví, že rychlost je zvláštní cesta x=f(t) a čas t . Průměrná rychlost za určité časové období:

Chcete-li zjistit rychlost pohybu v určitém okamžiku t0 musíte vypočítat limit:

Pravidlo jedna: nastavte konstantu

Konstantu lze vyjmout z derivačního znaménka. Navíc to musí být provedeno. Při řešení příkladů v matematice to berte jako pravidlo - Pokud můžete nějaký výraz zjednodušit, určitě ho zjednodušte .

Příklad. Pojďme vypočítat derivaci:

Pravidlo druhé: derivace součtu funkcí

Derivace součtu dvou funkcí je rovna součtu derivací těchto funkcí. Totéž platí pro derivaci rozdílu funkcí.

Tuto větu nebudeme dokazovat, ale uvažujme spíše o praktickém příkladu.

Najděte derivaci funkce:

Pravidlo třetí: derivace součinu funkcí

Derivace součinu dvou diferencovatelných funkcí se vypočítá podle vzorce:

Příklad: najděte derivaci funkce:

Řešení:

Zde je důležité mluvit o počítání derivací komplexních funkcí. Derivace komplexní funkce je rovna součinu derivace této funkce s ohledem na prostřední argument a derivace prostředního argumentu vzhledem k nezávislé proměnné.

Ve výše uvedeném příkladu narazíme na výraz:

V tomto případě je střední argument 8x až pátá mocnina. Abychom mohli vypočítat derivaci takového výrazu, nejprve vypočítáme derivaci externí funkce vzhledem k mezilehlému argumentu a poté vynásobíme derivací samotného mezilehlého argumentu vzhledem k nezávislé proměnné.

Pravidlo čtyři: derivace podílu dvou funkcí

Vzorec pro určení derivace podílu dvou funkcí:

Pokusili jsme se mluvit o derivátech pro figuríny od nuly. Toto téma není tak jednoduché, jak se zdá, takže buďte varováni: v příkladech jsou často úskalí, takže buďte opatrní při výpočtu derivací.

S jakýmikoli dotazy k tomuto a dalším tématům se můžete obrátit na studentský servis. Během krátké doby vám pomůžeme vyřešit nejtěžší test a porozumět úlohám, i když jste derivátové výpočty ještě nikdy nedělali.

Derivace funkce je jedním z obtížných témat školního kurikula. Ne každý absolvent odpoví na otázku, co je to derivát.

Tento článek jednoduchým a jasným způsobem vysvětluje, co je derivát a proč je potřeba.. Nebudeme nyní v prezentaci usilovat o matematickou přísnost. Nejdůležitější je pochopit význam.

Připomeňme si definici:

Derivace je rychlost změny funkce.

Obrázek ukazuje grafy tří funkcí. Který podle vás roste rychleji?

Odpověď je zřejmá – třetí. Má nejvyšší rychlost změny, tedy největší derivaci.

Zde je další příklad.

Kostya, Grisha a Matvey dostali práci ve stejnou dobu. Podívejme se, jak se jejich příjmy během roku změnily:

Graf ukazuje všechno najednou, že? Kostyův příjem se za šest měsíců více než zdvojnásobil. A Grishův příjem se také zvýšil, ale jen trochu. A Matveyho příjem klesl na nulu. Výchozí podmínky jsou stejné, ale rychlost změny funkce, tzn derivát, - odlišný. Pokud jde o Matveyho, jeho příjmový derivát je obecně negativní.

Intuitivně snadno odhadneme rychlost změny funkce. Ale jak to uděláme?

Ve skutečnosti se díváme na to, jak strmě stoupá graf funkce nahoru (nebo dolů). Jinými slovy, jak rychle se změní y se změnou x? Je zřejmé, že stejná funkce v různých bodech může mít různé derivační hodnoty - to znamená, že se může měnit rychleji nebo pomaleji.

Derivace funkce je označena .

Ukážeme vám, jak to najít pomocí grafu.

Byl nakreslen graf nějaké funkce. Vezměme bod s úsečkou. V tomto bodě nakreslete tečnu ke grafu funkce. Chceme odhadnout, jak strmě stoupá graf funkce. Výhodná hodnota pro to je tangens úhlu tečny.

Derivace funkce v bodě je rovna tečně úhlu tečny nakresleného ke grafu funkce v tomto bodě.

Vezměte prosím na vědomí, že jako úhel sklonu tečny bereme úhel mezi tečnou a kladným směrem osy.

Někdy se studenti ptají, co je tečna ke grafu funkce. Toto je přímka, která má jeden společný bod s grafem v této části a jak je znázorněno na našem obrázku. Vypadá jako tečna ke kružnici.

Pojďme to najít. Pamatujeme si, že tečna ostrého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je rovna poměru protilehlé strany k sousední straně. Z trojúhelníku:

Našli jsme derivaci pomocí grafu, aniž bychom znali vzorec funkce. Takové problémy se často nacházejí v Jednotné státní zkoušce z matematiky pod číslem.

Je tu ještě jeden důležitý vztah. Připomeňme, že přímka je dána rovnicí

Veličina v této rovnici se nazývá sklon přímky. Je rovna tečně úhlu sklonu přímky k ose.

.

Chápeme to

Zapamatujme si tento vzorec. Vyjadřuje geometrický význam derivace.

Derivace funkce v bodě se rovná sklonu tečny nakreslené ke grafu funkce v tomto bodě.

Jinými slovy, derivace je rovna tečně úhlu tečny.

Již jsme řekli, že stejná funkce může mít různé derivace v různých bodech. Podívejme se, jak derivace souvisí s chováním funkce.

Nakreslíme graf nějaké funkce. Nechte tuto funkci v některých oblastech zvýšit a v jiných snížit a v různé míře. A nechť má tato funkce maximum a minimum bodů.

V určitém okamžiku se funkce zvýší. Tečna ke grafu nakreslenému v bodě svírá ostrý úhel s kladným směrem osy. To znamená, že derivace v bodě je kladná.

V tomto bodě naše funkce klesá. Tečna v tomto bodě svírá s kladným směrem osy tupý úhel. Protože tečna tupého úhlu je záporná, derivace v bodě je záporná.

Co se stane:

Je-li funkce rostoucí, její derivace je kladná.

Pokud klesá, jeho derivace je záporná.

Co se stane s maximálním a minimálním počtem bodů? Vidíme, že v bodech (maximální bod) a (minimální bod) je tečna vodorovná. Proto je tečna tečny v těchto bodech nulová a derivace je také nulová.

Bod - maximální bod. V tomto okamžiku je nárůst funkce nahrazen poklesem. V důsledku toho se znaménko derivace změní v bodě „plus“ na „mínus“.

V bodě - minimálním bodě - je derivace také nulová, ale její znaménko se mění z "minus" na "plus".

Závěr: pomocí derivace můžeme zjistit vše, co nás na chování funkce zajímá.

Pokud je derivace kladná, funkce roste.

Pokud je derivace záporná, funkce klesá.

V maximálním bodě je derivace nulová a mění znaménko z „plus“ na „mínus“.

V minimálním bodě je derivace také nulová a mění znaménko z „minus“ na „plus“.

Zapišme si tyto závěry ve formě tabulky:

	zvyšuje	maximální bod	klesá	minimální bod	zvyšuje
+	0	-	0	+

Udělejme dvě malá upřesnění. Jeden z nich budete potřebovat při řešení problémů USE. Další - v prvním ročníku se serióznějším studiem funkcí a derivací.

Je možné, že derivace funkce v určitém bodě je rovna nule, ale funkce v tomto bodě nemá ani maximum, ani minimum. Jedná se o tzv :

V bodě je tečna ke grafu vodorovná a derivace je nulová. Před bodem se však funkce zvýšila - a po bodu se dále zvyšuje. Znaménko derivace se nemění - zůstává kladné tak, jak bylo.

Stává se také, že v bodě maxima nebo minima derivace neexistuje. Na grafu to odpovídá prudkému zlomu, kdy v daném bodě nelze nakreslit tečnu.

Jak najít derivaci, pokud funkce není dána grafem, ale vzorcem? V tomto případě platí

Lze vyjmout jako znamení derivát:

(af(x)" =af" (x).

Například:

Derivace algebraického součtu několik funkcí (v konstantních číslech) se rovná jejich algebraickému součtu deriváty:

(f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x))" = f 1" (x) + f 2" (x) - f 3" (x).

Například:

(0,3 x 2 - 2 x + 0,8)" = (0,3 x 2)" - (2 x)" + (0,8)" = 0,6 x - 2 ( derivát poslední období rovnice je nulová).

Li derivace funkce g je nenulové, pak má poměr f/g také finální derivát. Tato vlastnost může být zapsána jako:

.

Nechat funkcí y = f(x) a y = g(x) mají konečné deriváty v bodě x 0. Pak funkcí f ± g a f g také mají konečné deriváty v tento směřovat. Pak dostaneme:

(f ± g) ′ = f ′ ± g ′,

(f g) ′ = f ′ g + f g ′.

Derivace komplexní funkce.

Nechat funkce y = f(x) má konečná derivace v bodě x 0 , funkce z = s(y) má konečnou derivaci v bodě y 0 = f(x 0).

Pak komplexní funkce z = s (f(x)) má v tomto bodě také konečnou derivaci. Výše uvedené lze zapsat ve tvaru:

.

Derivace inverzní funkce.

Nechť má funkce y = f(x). inverzní funkce x = g(y) na některých interval(a, b) a existuje nenula finální derivát tato funkce v bodě x 0, který náleží doména definice, tj. x 0 ∈ (a, b).

Pak inverzní funkce Má to derivát v bodě y 0 = f(x 0):

.

Derivace implicitní funkce.

Li funkce y = f(x) je dáno implicitně rovnice F(x, y(x)) = 0, pak jeho derivát se zjistí z podmínky:

.

Říká se, že funkce y = f(x) je specifikováno implicitně, Pokud ona identický vyhovuje vztahu:

kde F(x, y) je nějaká funkce dvou argumentů.

Derivace funkce definované parametricky.

Li funkce y = f(x) je specifikováno parametricky pomocí uvažovaného

Velmi snadno zapamatovatelné.

No, nechoďme daleko, pojďme okamžitě uvažovat o inverzní funkci. Která funkce je inverzní k exponenciální funkci? Logaritmus:

V našem případě je základem číslo:

Takový logaritmus (tedy logaritmus se základem) se nazývá „přirozený“ a používáme pro něj speciální zápis: místo toho píšeme.

čemu se to rovná? Samozřejmě, .

Derivace přirozeného logaritmu je také velmi jednoduchá:

Příklady:

1. Najděte derivaci funkce.
2. Jaká je derivace funkce?

Odpovědi: Exponenciální a přirozený logaritmus jsou z derivační perspektivy jedinečně jednoduché funkce. Exponenciální a logaritmické funkce s jakoukoli jinou bází budou mít jinou derivaci, kterou budeme analyzovat později, až si projdeme pravidla derivování.

Pravidla diferenciace

Pravidla čeho? Zase nový termín, zase?!...

Diferenciace je proces hledání derivátu.

To je vše. Jak jinak lze tento proces nazvat jedním slovem? Ne derivace... Matematici nazývají diferenciál stejným přírůstkem funkce at. Tento výraz pochází z latinského differentia – rozdíl. Tady.

Při odvozování všech těchto pravidel použijeme dvě funkce, například a. Budeme také potřebovat vzorce pro jejich přírůstky:

Existuje celkem 5 pravidel.

Konstanta je vyjmuta z derivačního znaménka.

Pokud - nějaké konstantní číslo (konstanta), pak.

Toto pravidlo samozřejmě funguje i pro rozdíl: .

Pojďme to dokázat. Nech to být, nebo jednodušší.

Příklady.

Najděte derivace funkcí:

1. v bodě;
2. v bodě;
3. v bodě;
4. na místě.

Řešení:

1. (derivace je ve všech bodech stejná, protože jde o lineární funkci, pamatujete?);

Derivát produktu

Zde je vše podobné: zavedeme novou funkci a najdeme její přírůstek:

Derivát:

Příklady:

1. Najděte derivace funkcí a;
2. Najděte derivaci funkce v bodě.

Řešení:

Derivace exponenciální funkce

Nyní vaše znalosti stačí na to, abyste se naučili najít derivaci jakékoli exponenciální funkce, a nejen exponentů (zapomněli jste, co to je?).

Tak kde je nějaké číslo.

Derivaci funkce již známe, zkusme tedy naši funkci zredukovat na nový základ:

K tomu použijeme jednoduché pravidlo: . Pak:

No, povedlo se. Nyní zkuste najít derivaci a nezapomeňte, že tato funkce je složitá.

Stalo?

Zde se přesvědčte:

Ukázalo se, že vzorec je velmi podobný derivaci exponentu: jak byl, zůstává stejný, objevil se pouze faktor, což je jen číslo, ale ne proměnná.

Příklady:
Najděte derivace funkcí:

Odpovědi:

To je jen číslo, které se bez kalkulačky nedá spočítat, to znamená, že se nedá zapsat v jednodušší podobě. Proto jej v odpovědi ponecháme v této podobě.

Všimněte si, že zde je podíl dvou funkcí, takže použijeme odpovídající pravidlo diferenciace:

V tomto příkladu součin dvou funkcí:

Derivace logaritmické funkce

Tady je to podobné: derivaci přirozeného logaritmu už znáte:

Chcete-li tedy najít libovolný logaritmus s jiným základem, například:

Musíme tento logaritmus zmenšit na základnu. Jak změníte základ logaritmu? Doufám, že si pamatujete tento vzorec:

Teprve teď místo toho napíšeme:

Jmenovatel je jednoduše konstanta (konstantní číslo, bez proměnné). Derivát se získá velmi jednoduše:

Derivace exponenciálních a logaritmických funkcí se v jednotné státní zkoušce téměř nikdy nenacházejí, ale nebude zbytečné je znát.

Derivace komplexní funkce.

Co je to "komplexní funkce"? Ne, toto není logaritmus ani arkustangens. Těmto funkcím může být obtížné porozumět (ačkoli pokud se vám zdá logaritmus obtížný, přečtěte si téma „Logaritmy“ a budete v pořádku), ale z matematického hlediska slovo „složitý“ neznamená „obtížný“.

Představte si malý dopravníkový pás: dva lidé sedí a provádějí nějaké akce s nějakými předměty. První například zabalí čokoládovou tyčinku do obalu a druhý ji převáže stuhou. Výsledkem je složený objekt: čokoládová tyčinka zabalená a převázaná stuhou. Chcete-li sníst čokoládovou tyčinku, musíte provést opačné kroky v opačném pořadí.

Vytvořme podobnou matematickou pipeline: nejprve najdeme kosinus čísla a poté odmocnime výsledné číslo. Takže dostaneme číslo (čokoláda), já najdu jeho kosinus (obal) a pak urovnáte, co jsem dostal (svažte to stuhou). Co se stalo? Funkce. Toto je příklad komplexní funkce: když, abychom zjistili její hodnotu, provedeme první akci přímo s proměnnou a poté druhou akci s tím, co vyplynulo z první.

Jinými slovy, komplexní funkce je funkce, jejímž argumentem je jiná funkce: .

Pro náš příklad, .

Stejné kroky můžeme snadno provést v opačném pořadí: nejprve to odmocníte a já pak hledám kosinus výsledného čísla: . Je snadné odhadnout, že výsledek bude téměř vždy jiný. Důležitá vlastnost komplexních funkcí: když se změní pořadí akcí, změní se funkce.

Druhý příklad: (totéž). .

Akce, kterou uděláme jako poslední, bude vyvolána „externí“ funkce, a akce provedená jako první – podle toho „vnitřní“ funkce(jedná se o neformální názvy, používám je pouze k vysvětlení látky jednoduchým jazykem).

Zkuste sami určit, která funkce je vnější a která vnitřní:

Odpovědi: Oddělení vnitřních a vnějších funkcí je velmi podobné změně proměnných: například ve funkci

1. Jakou akci provedeme jako první? Nejprve vypočítejme sinus a teprve potom jej počítejme. To znamená, že jde o vnitřní funkci, ale o vnější.
   A původní funkcí je jejich složení: .
2. Interní: ; externí: .
   Vyšetření: .
3. Interní: ; externí: .
   Vyšetření: .
4. Interní: ; externí: .
   Vyšetření: .
5. Interní: ; externí: .
   Vyšetření: .

Změníme proměnné a dostaneme funkci.

Nyní vytáhneme naši čokoládovou tyčinku a budeme hledat derivát. Postup je vždy obrácený: nejprve hledáme derivaci vnější funkce, poté výsledek vynásobíme derivací vnitřní funkce. Ve vztahu k původnímu příkladu to vypadá takto:

Další příklad:

Pojďme tedy konečně formulovat oficiální pravidlo:

Algoritmus pro nalezení derivace komplexní funkce:

Vypadá to jednoduše, že?

Podívejme se na příklady:

Řešení:

1) Interní: ;

Externí: ;

2) Interní: ;

(Jen to teď nezkoušejte odříznout! Z pod kosinusu nic nevychází, pamatujete?)

3) Interní: ;

Externí: ;

Okamžitě je jasné, že se jedná o tříúrovňovou komplexní funkci: vždyť to je již sama o sobě komplexní funkce a navíc z ní extrahujeme kořen, to znamená, že provedeme třetí akci (dáme čokoládu do obalu a se stuhou v kufříku). Není ale důvod se bát: i tak tuto funkci „rozbalíme“ ve stejném pořadí jako obvykle: od konce.

To znamená, že nejprve rozlišujeme kořen, potom kosinus a teprve potom výraz v závorkách. A pak to všechno znásobíme.

V takových případech je vhodné akce očíslovat. To znamená, že si představme, co víme. V jakém pořadí provedeme akce pro výpočet hodnoty tohoto výrazu? Podívejme se na příklad:

Čím později je akce provedena, tím „externější“ bude odpovídající funkce. Pořadí akcí je stejné jako dříve:

Zde je hnízdění obecně 4úrovňové. Pojďme určit postup.

1. Radikální vyjádření. .

2. Kořen. .

3. Sinus. .

4. Čtverec. .

5. Dejte to všechno dohromady:

DERIVÁT. KRÁTCE O HLAVNÍCH VĚCÍCH

Derivace funkce- poměr přírůstku funkce k přírůstku argumentu pro nekonečně malý přírůstek argumentu:

Základní deriváty:

Pravidla rozlišování:

Konstanta je vyjmuta z derivačního znaménka:

Derivát součtu:

Derivát produktu:

Derivát kvocientu:

Derivace komplexní funkce:

Algoritmus pro nalezení derivace komplexní funkce:

1. Definujeme „vnitřní“ funkci a najdeme její derivaci.
2. Definujeme „externí“ funkci a najdeme její derivaci.
3. Výsledky prvního a druhého bodu vynásobíme.