Площадь равнобедренного треугольника со стороной а. Как находить площадь треугольника (формулы)

В зависимости от вида треугольника выделяют сразу несколько вариантов нахождения его площади. К примеру, для вычисления площади прямоугольного треугольника используется формула S= a * b / 2, где а и b - это его катеты. Если же требуется узнать площадь равнобедренного треугольника, то необходимо делить на два произведение его основания и высоты. То есть, S= b*h / 2, где b – это основание треугольника, а h – его высота.

Далее, может понадобиться расчет площади равнобедренного прямоугольного треугольника. Здесь приходит на помощь следующая формула: S= a* а / 2, где катеты «а» и «а» – обязательно должны быть с одинаковыми значениями.

Также, нам часто приходится вычислять площадь равностороннего треугольника. Она находится по формуле: S= a * h/ 2, где a – сторона треугольника, и h – его высота. Или по этой формуле: S= √3/ 4 *a^2, где a - сторона.

Как находить площадь прямоугольного треугольника

Вам нужно найти площадь прямоугольного треугольника, но при этом в условии задачи не указаны размеры сразу двух его катетов? Тогда этой формулой (S= a * b / 2) мы не сможем воспользоваться напрямую.

Рассмотрим несколько возможных вариантов решения:

• Если Вам неизвестна длина одного катета, но даны размеры гипотенузы и второго катета, то обращаемся к великому Пифагору и по его теореме (a^2+b^2=c^2) высчитываем длину неизвестного катета, затем используем ее для расчета площади треугольника.
• Если дана длина одного катета и градусный наклон угла противолежащего ему: находим длину второго катета по формуле - a=b*ctg(C).
• Дано: длина одного катета и градусный наклон угла прилежащего к нему: для нахождения длины второго катета применяем формулу - a=b*tg(C).
• И последнее, дано: угол и длина гипотенузы: вычисляем длину обеих его катетов, по таким формулам - b=c*sin(C) и a=c*cos(C).

Как находить площадь равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника можно очень легко и быстро найти по формуле S= b*h / 2, но, при отсутствии одного из показателей, задача значительно усложняется. Ведь необходимо выполнять дополнительные действия.

Возможные варианты задач:

• Дано: длина одной из боковых сторон и длина основания. Находим через теорему Пифагора высоту, то есть длину второго катеты. При условии, что длина основания, разделенная на два, является катетом, а изначально известная боковая сторона – гипотенузой.
• Дано: основание и угол между боковой стороной и основанием. Вычисляем по формуле h=c*ctg(B)/2 высоту (не забываем сторону «c» разделить на два).
• Дано: высота и угол, который был образован основанием и боковой стороной: применяем формулу c=h*tg(B)*2 для нахождения высоты, и полученный результат умножаем на два. Далее вычисляем площадь.
• Известна: длина боковой стороны и угол, который образовался между ним и высотой. Решение: используем формулы - c=a*sin(C)*2 и h=a*cos(C) для нахождения основания и высоты, после чего считаем площадь.

Как найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника

Если все данные известны, то по стандартной формуле S= a* a / 2 вычисляем площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, если же в задаче не указаны некоторые показатели, то выполняются дополнительные действия.

Например: нам не известны длины обеих сторон (мы помним, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике они равны), но дана длинна гипотенузы. Применим теорему Пифагора для нахождения одинаковых сторон «a» и «a». Формула Пифагора: a^2+b^2=c^2. В случае с равнобедренным прямоугольным треугольником она преобразовывается в такую: 2a^2 = c^2. Получается, чтобы найти катет «а», нужно длину гипотенузы поделить на корень из 2. Результат решения и будет длинной обеих катетов равнобедренного прямоугольного треугольника. Далее находим площадь.

Как найти площадь равностороннего треугольника

С помощью формулы S= √3/ 4*a^2 можно легко высчитать площадь равностороннего треугольника. Если известен радиус описанной окружности треугольника, то площадь можно найти по формуле: S= 3√3/ 4*R^2, где R - радиус окружности.

Математика — это удивительная наука. Однако такая мысль приходит только тогда, когда ее понимаешь. Чтобы этого достичь, нужно решать задачи и примеры, чертить схемы и рисунки, доказывать теоремы.

Путь к пониманию геометрии лежит через решение задач. Отличным примером могут служить задания, в которых нужно найти площадь равнобедренного треугольника.

Что такое равнобедренный треугольник, и в чем его отличие от других?

Чтобы не пугаться терминов «высота», «площадь», «основания», «равнобедренного треугольника» и прочих, потребуется начать с теоретических основ.

Сначала о треугольнике. Это плоская фигура, которая образована из трех точек — вершин, в свою очередь, соединенных отрезками. Если два из них оказываются равны друг другу, то треугольник становится равнобедренным. Эти стороны получили название боковых, а оставшаяся стала основанием.

Существует частный случай равнобедренного треугольника — равносторонний, когда и третья сторона равна двум боковым.

Свойства фигуры

Они оказываются верными помощниками в решении задач, которые требуют найти площадь равнобедренного треугольника. Поэтому знать и помнить о них необходимо.

• Первое из них: углы равнобедренного треугольника, одна сторона которых — основание, всегда равны друг другу.
• Важным является и свойство о дополнительных построениях. Проведенные к непарной стороне высота, медиана и биссектриса совпадают.
• Эти же отрезки, проведенные из углов при основании треугольника, попарно равны. Это тоже часто облегчает поиск решения.
• Два равных угла в нем всегда имеют значение меньше чем 90º.
• И последнее: вписанная и описанная окружности строятся так, что их центры лежат на высоте к основанию треугольника, а значит медиане и биссектрисе.

Как в задаче распознать равнобедренный треугольник?

Если при решении задания встает вопрос о том, как найти площадь равнобедренного треугольника, то сначала нужно понять, что он относится к этой группе. А в этом помогут определенные признаки.

• Равны два угла или две стороны треугольника.
• Биссектриса является еще и медианой.
• Высота треугольника оказывается медианой или биссектрисой.
• Равны две высоты, медианы или биссектрисы фигуры.

Обозначения величин, принятые в рассматриваемых формулах

Для упрощения того, как находить площадь равнобедренного треугольника по формулам, введена замена его элементов на буквы.

Внимание! Важно не путать «а» с «А» и «в» с «В». Это разные величины.

Формулы, которыми можно воспользоваться в разных задачах

Известны длины сторон, и требуется найти площадь равнобедренного треугольника.

В этом случае нужно возвести в квадрат оба значения. То число, которое получилось от изменения боковой стороны, умножить на 4 и вычесть из него второе. Из полученной разности извлечь квадратный корень. Длину основания разделить на 4. Два числа перемножить. Если записать эти действия буквами, то получится такая формула:

Пусть она будет записана под №1.

Найти по значениям сторон площадь равнобедренного треугольника. Формула, которая кому-то может показаться проще, чем первая.

Первым действием нужно найти половину основания. Потом найти сумму и разность этого числа с боковой стороной. Два последних значения перемножить и извлечь квадратный корень. Последним действием умножить все на половину основания. Буквенное равенство будет выглядеть так:

Это формула №2.

Способ найти площадь равнобедренного треугольника, если известны основание и высота к нему.

Одна из самых коротких формул. В ней нужно перемножить обе данные величины и разделить их на 2. Вот как она будет записана:

Номер этой формулы - 3.

В задании известны стороны треугольника и значение угла, лежащего между основанием и боковой стороной.

Здесь, для того чтобы узнать, чему будет равна площадь равнобедренного треугольника, формула будет состоять из нескольких множителей. Первый из них — это значение синуса угла. Второй равен произведению боковой стороны на основание. Третий — дробь ½. Общая математическая запись:

Порядковый номер формулы — 4.

В задаче даны: боковая сторона равнобедренного треугольника и угол, лежащий между его боковыми сторонами.

Как и в предыдущем случае, площадь находится по трем множителям. Первый равен значению синуса угла, указанного в условии. Второй — это квадрат стороны. И последний также равен половине единицы. В итоге формула запишется так:

Ее номер - 5.

Формула, которая позволяет найти площадь равнобедренного треугольника, если известны его основание и угол, лежащий напротив него.

Сначала нужно вычислить тангенс половины известного угла. Полученное число умножить на 4. Возвести в квадрат длину боковой стороны, которое потом разделить на предыдущее значение. Таким образом, получится такая формула:

Номер последней формулы - 6.

Примеры задач

Первая задача: известно, что основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а его высота - 5 см. Нужно определить его площадь.

Для ее решения логично выбрать формулу под номером 3. В ней все известно. Подставить числа и сосчитать. Получится, что площадь равна 10 * 5 / 2. То есть 25 см 2 .

Вторая задача: в равнобедренном треугольнике даны боковая сторона и основание, которые равны соответственно 5 и 8 см. Найти его площадь.

Первый способ. По формуле №1. При возведении в квадрат основания получается число 64, а учетверенный квадрат боковой стороны — 100. После вычитания из второго первого получится 36. Из него прекрасно извлекается корень, который равен 6. Основание, поделенное на 4, равно 2. Итоговое значение определится как произведение 2 и 6, то есть 12. Это ответ: искомая площадь равна 12 см 2 .

Второй способ. По формуле №2. Половина основания равна 4. Сумма боковой стороны и найденного числа дает 9, их же разность — 1. После умножения получается 9. Извлечение квадратного корня дает 3. И последнее действие, умножение 3 на 4, что дает те же 12 см 2 .

Решая задачи по геометрии и определяя, как найти площадь равнобедренного треугольника, можно получить неоценимый опыт. Чем больше различных вариантов заданий выполнено, тем проще найти ответ в новой ситуации. Поэтому регулярное и самостоятельное выполнение всех заданий — это путь к успешному усвоению материала.

Встаёт не только перед школьниками или студентами, но и в реальной, практической жизни. Например, во время строительства возникает необходимость отделки фасадной части, находящейся под крышей. Как вычислить количество нужного материала?

Часто с подобными задачами сталкиваются мастера, которые работают с тканью или кожей. Ведь многие детали, которые предстоит выкроить мастеру, имеют как раз форму равнобедренного треугольника.

Итак, существует несколько способов, помогающих найти площадь равнобедренного треугольника. Первый - вычисление её по основанию и высоте.

Для решения нам необходимо построить для наглядности треугольник MNP с основанием MN и высотой PO. Теперь кое-что достроим в чертеже: из точки P провести линию, параллельную основанию, а из точки M - линию, параллельную высоте. Точку пересечения назовём Q. Чтобы узнать, как найти площадь равнобедренного треугольника, нужно рассмотреть полученный четырёхугольник MOPQ, в котором боковая сторона данного нам треугольника MP является уже его диагональю.

Докажем сначала, что это прямоугольник. Так как мы строили его сами, то знаем, что стороны MO и OQ параллельны. И стороны QM и OP тоже параллельны. Угол POM прямой, значит и угол OPQ тоже прямой. Следовательно, получившийся чётырёхугольник является прямоугольником. Найти его площадь не составит труда, она равна произведению PO на OM. OM - это половина основания данного треугольника MPN. Отсюда вытекает, что площадь построенного нами прямоугольника равна полупроизведению высоты прямоугольного треугольника на его основание.

Вторым этапом поставленной перед нами задачи, как определить площадь треугольника, является доказательство того факта, что полученный нами прямоугольник по площади соответствует данному равнобедренному треугольнику, то есть, что площадь треугольника также равна полупроизведению основания и высоты.

Сравним для начала треугольник PON и PMQ. Они оба прямоугольны, так как прямой угол в одном из них образован высотой, а прямой угол в другом является углом прямоугольника. Гипотенузы в них являются сторонами равнобедренного треугольника, следовательно, также равны. Катеты PO и QM также равны как параллельные стороны прямоугольника. Значит, и площадь треугольника PON , и треугольника PMQ равны между собой.

Площадь прямоугольника QPOM равна площадям треугольников PQM и MOP в сумме. Заменив надстроенный треугольник QPM треугольником PON, получаем в сумме данный нам для вывода теоремы треугольник. Теперь мы знаем, как найти площадь равнобедренного треугольника по основанию и высоте - вычислить их полупроизведение.

Но можно узнать, как найти площадь равнобедренного треугольника по основанию и боковой стороне. Здесь также существует два варианта: теорема Герона и Пифагора. Рассмотрим решение с применением теоремы Пифагора. Для примера возьмём тот же PMN с высотой PO.

В прямоугольном треугольнике POM MP - гипотенуза. Её квадрат равен сумме квадратов PO и OM. А так как OM - половина основания, которое нам известно, то мы легко может найти OM и возвести число в квадрат. Произведя вычитание из квадрата гипотенузы полученное число, узнаем, чему равен квадрат другого катета, который в равнобедренном треугольнике является высотой. Найдя из разности и узнав высоту прямоугольного треугольника, можно дать ответ на поставленное перед нами задание.

Нужно просто перемножить высоту на основание и полученный результат разделить напополам. Почему именно так следует поступать, мы объяснили в первом варианте доказательства.

Бывает, что нужно произвести вычисления по боковой стороне и углу. Тогда находим высоту и основание, используя формулу с синусами и косинусами, и, опять же, перемножаем их и делим результат пополам.

Буквенные обозначения сторон и углов на приведенном рисунке соответствуют обозначениям, которые указаны в формулах. Таким образом, это поможет Вам сопоставить их с элементами равнобедренного треугольника. Из условия задачи определите, какие элементы известны, найдите на чертеже их обозначения и подберите подходящую формулу.

Формула площади равнобедренного треугольника

Далее приведены формулы нахождения площади равнобедренного треугольника : через стороны, боковую сторону и угол между ними, через боковую сторону, основание и угол при вершине, через сторону основания и угол при основании и т.д. Просто найдите наиболее подходящую на рисунке слева. Для самых любопытных в тексте справа поясняется, почему формула явяляется правильной и как именно с ее помощью находится площадь.

1. можно найти, зная его сторону и основание . Данное выражение было получено путем упрощения более общей, универсальной формулы. Если за основу взять формулу Герона, а затем принять во внимание, что две стороны треугольника равны меду собой, то выражение упрощается до формулы, представленной на картинке.
   Пример использования такой формулы приведен на примере решения задачи ниже.
2. Вторая формула позволяет найти его площадь через боковые стороны и угол между ними - это половина квадрата боковой стороны, умноженная на синус угла между боковыми сторонами
   Если мысленно опустить высоту на боковую сторону равнобедренного треугольника, заметим, что ее длина будет равна a * sin β. Поскольку длина боковой стороны нам известна, высота, опущенная на нее теперь известна, половина их произведения и будет равна площади данного равнобедренного треугольника (Пояснение: полное произведение дает площадь прямоугольника, что очевидно. Высота делит этот прямоугольник на два малых прямоугольника, при этом стороны треугольника являются их диагоналями, которые делят их ровно пополам. Таким образом, площадь равнобедренного треугольника и будет равна половине произведения боковой стороны на высоту). См. также Формулу 5
3. Третья формула показывает нахождение площади через боковую сторону, основание и угол при вершине .
   Строго говоря, зная один из углов равнобедренного треугольника, можно найти и остальные, поэтому применение данной или предыдущей формулы - вопрос вкуса (кстати, поэтому можно запомнить только одну из них).
   У третьей формулы также есть еще одна интересная особенность - произведение a sin α даст нам длину высоты, опущенной на основание. В результате мы получим простую и очевидную формулу 5.
4. Площадь равнобедренного треугольника можно также найти через сторону основания и угол при основании (углы при основании равны) как квадрат основания, деленный на четыре тангенса половины угла, образованного его боковыми сторонами. Если присмотреться внимательнее, то станет очевидно, что половина основания (b/2) умноженная на tg(β/2) даст нам высоту треугольника. Поскольку высота в равнобедренном треугольнике является, одновременно, биссектрисой и медианой, то tg(β/2) - это отношение половины основания (b/2) к высоте - tg(β/2) = (b/2)/h. Откуда h = b / (2 tg(β/2)). В итоге формула снова будет сведена к более простой Формуле 5, которая вполне очевидна.
5. Разумеется, площадь равнобедренного треугольника можно найти, опустив высоту из вершины на основание, в результате чего получится два прямоугольных треугольника. Далее - все очевидно. Половина произведения высоты на основание и есть искомая площадь. Пример использования данной формуле см. в задаче ниже (2-й способ решения)
6. Эта формула получается, если попытаться найти площадь равнобедренного треугольника с помощью теоремы Пифагора . Для этого выразим высоту из предыдущей формулы, которая одновременно, является катетом прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, половиной его основания и высотой, через теорему Пифагора. Боковая сторона является гипотенузой, поэтому из квадрата боковой стороны (а) вычтем квадрат второго катета. Поскольку он равен половине основания (b/2) то его квадрат будет равен b 2 /4. Извлечение корня из данного выражения и даст нам высоту. Что и видно в Формуле 6. Если числитель и знаменатель умножить на два, а потом двойку числителя внести под знак корня, получим второй вариант той же самой формулы, который написан через знак "равно".
   Кстати, самые сообразительные могут увидеть, что если в Формуле 1 раскрыть скобки, то она превратиться в Формулу 6. Или наоборот, разность квадратов двух чисел, разложенная на множители, даст нам исходную, первую.

Обозначения , которые были применены в формулах на рисунке:

a - длина одной из двух равных сторон треугольника

b - длина основания

α - величина одного из двух равных углов при основании

β - величина угла между равными сторонами треугольника и противолежащего его основанию

h - длина высоты, опущенная из вершины равнобедренного треугольника на основание

Важно . Обратите внимание на обозначения переменных! Не перепутайте α и β, а также a и b !

Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел площадь равнобедренного треугольника). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение .

Задача

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13 см, а основание равно 10 см. Найдите площадь равнобедренного треугольника.

Решение .

1-й способ . Применим формулу Герона. Поскольку треугольник равнобедренный, то она примет более простой вид (см. формулу 1 в списке формул выше):

где а - длина боковых сторон, а b - длина основания.
Подставив значения длин сторон треугольника из условия задачи, получим:
S = 1/2 * 10 * √ ((13 + 5)(13 - 5)) = 5 √ (18 * 8) = 60 см 2

2-й способ . Применим теорему Пифагора
Предположим, что мы не помним формулу, использованную в первом способе решения. Поэтому опустим из вершины B на основание AC высоту BK.
Поскольку высота равнобедренного треугольника делит его основание пополам, то длина половины основания будет равна
AK = AC / 2 = 10 / 2 = 5 см.

Высота с половиной основания и стороной равнобедренного треугольника образует прямоугольный треугольник ABK. В этом треугольнике нам известна гипотенуза AB и катет AK. Выразим длину второго катета через теорему Пифагора.