Множество действительных чисел. Операции над множествами. Геометрическое изображение действительных чисел Запись числовых множеств

Комплексные числа

Основные понятия

Первоначальные данные о числе относятся к эпохе каменного века – палеомелита. Это «один», «мало» и «много». Записывались они в виде зарубок, узелков и т.д. Развитие трудовых процессов и появление собственности заставили человека изобрести числа и их названия. Первыми появились натуральные числа N , получаемые при счете предметов. Затем, наряду с необходимостью счета, у людей появилась потребность измерять длины, площади, объемы, время и другие величины, где приходилось учитывать и части употребляемой меры. Так возникли дроби. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного числа было осуществлено в 19 веке. Множество целых чисел Z – это натуральные числа, натуральные со знаком минус и нуль. Целые и дробные числа образовали совокупность рациональных чисел Q, но и она оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Бытие снова показало несовершенство математики: невозможность решить уравнение вида х 2 = 3, в связи с чем появились иррациональные числа I. Объединение множества рациональных чисел Q и иррациональных чисел I – множество действительных (или вещественных) чисел R . В итоге числовая прямая заполнилась: каждому действительному числу соответствовала на ней точка. Но на множестве R нет возможности решить уравнение вида х 2 = – а 2 . Следовательно, снова возникла необходимость расширения понятия числа. Так в 1545 году появились комплексные числа. Их создатель Дж. Кардано называл их «чисто отрицательными». Название «мнимые» ввел в 1637 году француз Р. Декарт, в 1777 году Эйлер предложил использовать первую букву французского числа i для обозначения мнимой единицы. Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу.

В течение 17 – 18 веков продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, их геометрического истолкования. Датчанин Г. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число точкой на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой, а вектором, идущим в эту точку из начала координат.

Лишь к концу 18 – началу 19 века комплексные числа заняли достойное место в математическом анализе. Первое их использование – в теории дифференциальных уравнений и в теории гидродинамики.

Определение 1. Комплексным числом называется выражение вида , где x и y – действительные числа, а i – мнимая единица, .

Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда , .

Если , то число называют чисто мнимым ; если , то число является действительным числом, это означает, что множество R С , где С – множество комплексных чисел.

Сопряженным к комплексному числу называется комплексное число .

Геометрическое изображение комплексных чисел.

Любое комплексное число можно изобразить точкой М (x , y ) плоскости Oxy. Парой действительных чисел обозначаются и координаты радиус-вектора , т.е. между множеством векторов на плоскости и множеством комплексных чисел можно установить взаимно-однозначное соответствие: .

Определение 2. Действительной частью х .

Обозначение:x = Rez (от латинского Realis).

Определение 3. Мнимой частью комплексного числа называется действительное число y .

Обозначение: y = Imz (от латинского Imaginarius).

Rez откладывается на оси (Ох) , Imz откладывается на оси (Оy ), тогда вектор , соответствующий комплексному числу – это радиус-вектор точки М (x , y ), (или М (Rez , Imz )) (рис. 1).

Определение 4. Плоскость, точкам которой поставлено в соответствие множество комплексных чисел, называется комплексной плоскостью . Ось абсцисс называется действительной осью , так как на ней лежат действительные числа . Ось ординат называется мнимой осью , на ней лежат чисто мнимые комплексные числа . Множество комплексных чисел обозначается С .

Определение 5. Модулем комплексного числа z = (x , y ) называется длина вектора : , т.е. .

Определение 6. Аргументом комплексного числа называется угол между положительным направлением оси (Ох ) и вектором : .

Выразительное геометрическое представление системы рациональных чисел может быть получено следующим образом.

Рис. 8. Числовая ось

На некоторой прямой линии, «числовой оси», отметим отрезок от 0 до 1 (рис. 8). Тем самым устанавливается длина единичного отрезка, которая, вообще говоря, может быть выбрана произвольно. Положительные и отрицательные целые числа тогда изображаются совокупностью равноотстоящих точек на числовой оси, именно, положительные числа отмечаются вправо, а отрицательные - влево от точки 0. Чтобы изобразить числа со знаменателем разделим каждый из полученных отрезков единичной длины на равных частей; точки деления будут изображать дроби со знаменателем Если сделаем так для значений соответствующих всем натуральным числам, то каждое рациональное число будет изображено некоторой точкой числовой оси. Эти точки мы условимся называть «рациональными»; вообще термины «рациональное число» и «рациональная точка» будем употреблять как синонимы.

В главе I, § 1 было определено соотношение неравенства для натуральных чисел. На числовой оси это соотношение отражено следующим образом: если натуральное число А меньше, чем натуральное число В, то точка А лежит левее точки В. Так как указанное геометрическое соотношение устанавливается для любой пары рациональных точек, то естественно пытаться обобщить арифметическое отношение неравенства таким образом, чтобы сохранить этот геометрический порядок для рассматриваемых точек. Это удается, если принять следующее определение: говорят, что рациональное число А меньше, чем Рациональное число или что число В больше, чем число если разность положительна. Отсюда следует (при ), что точки (числа) между это те, которые

одновременно Каждая такая пара точек вместе со всеми точками между ними, называется сегментом (или отрезком) и обозначается (а множество одних только промежуточных точек - интервалом (или промежутком), обозначаемым

Расстояние произвольной точки А от начала 0, рассматриваемое как положительное число, называется абсолютным значением А и обозначается символом

Понятие «абсолютное значение» определяется следующим образом: если , то если то Ясно, что если числа имеют один и тот же знак, то справедливо равенство если же имеют разные знаки, то . Соединяя эти два результата вместе, мы приходим к общему неравенству

которое справедливо независимо от знаков

Факт фундаментальной важности выражается следующим предложением: рациональные точки расположены на числовой прямой всюду плотно. Смысл этого утверждения тот, что внутри всякого интервала, как бы он ни был мал, содержатся рациональные точки. Чтобы убедиться в справедливости высказанного утверждения, достаточно взять число настолько большое, что интервал ( будет меньше, чем данный интервал ; тогда по меньшей мере одна из точек вида окажется внутри данного интервала. Итак, не существует такого интервала на числовой оси (даже самого маленького, какой только можно вообразить), внутри которого не было бы рациональных точек. Отсюда вытекает дальнейшее следствие: во всяком интервале содержится бесконечное множество рациональных точек. Действительно, если бы в некотором интервале содержалось лишь конечное число рациональных точек, то внутри интервала, образованного двумя соседними такими точками, рациональных точек уже не было бы, а это противоречит тому, что только что было доказано.

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА II

§ 37 Геометрическое изображение рациональных чисел

Пусть Δ есть отрезок, принятый за единицу длины, а l - произвольная прямая (рис. 51). Возьмем на ней какую-нибудь точку и обозначим ее буквой О.

Каждому положительному рациональному числу m / n поставим в соответствие точку прямой l , лежащую справа от С на расстоянии в m / n единиц длины.

Например, числу 2 будет соответствовать точка А, лежащая справа от О на расстоянии в 2 единицы длины, а числу 5 / 4 точка В, лежащая справа от О на расстоянии в 5 / 4 единиц длины. Каждому отрицательному рациональному числу k / l поставим в соответствие точку прямой, лежащую слева от О на расстоянии в | k / l | единиц длины. Так, числу - 3 будет соответствовать точка С, лежащая слева от О на расстоянии в 3 единицы длины, а числу - 3 / 2 точка D, лежащая слева от О на расстоянии в 3 / 2 единиц длины. Наконец, рациональному числу «нуль» поставим в соответствие точку О.

Очевидно, что при выбранном соответствии равным рациональным числам (например, 1 / 2 и 2 / 4) будет отвечать одна и та же точка, а не равным между собой числам различные точки прямой. Предположим, что числу m / n соответствует точка P , а числу k / l точка Q. Тогда, если m / n > k / l , то точка Р будет лежать правее точки Q (рис. 52, а); если же m / n < k / l , то точка Р будет находиться левее точки Q (рис. 52, б).

Итак, любое рациональное число можно геометрически изобразить в виде некоторой, вполне определенной точки прямой. А верно ли обратное утверждение? Всякую ли точку прямой можно рассматривать как геометрический образ некоторого рационального числа? Решение этого вопроса мы отложим до § 44.

Упражнения

296. Изобразить точками прямой следующие рациональные числа:

3; - 7 / 2 ; 0 ; 2,6.

297. Известно, что точка А (риc. 53) служит геометрическим изображением рационального числа 1 / 3 . Какие числа изображают точки В, С и D?

298. На прямой заданы две точки, которые служат геометрическим изображением рациональных чисел а и b а + b и а - b .

299. На прямой заданы две точки, которые служат геометрическим изображением рациональных чисел а + b и а - b . Найти на этой прямой точки, изображающие числа а и b .

БИЛЕТ 1

Рациональные числа – числа, записываемые в виде p/q, где q – натурал. число, а p- целое.

Два числа a=p1/q1 и b=p2/q2 назыв равными если p1q2=p2q1, аp2q1 и а>b если p1q2Опр - два действ положит числа α=а0, а1, а2…, β=b0,b1,b2… говорят что число α<β если a0β. Модулем числа α назыв |α|=|+-а0, а1, а2…an|= а0, а1, а2…an. Говорят что отриц число α=-а0, а1, а2 < отриц числа β=-b0,b1,b2 если |α|>|β|. Если β и α действ числа причём α<β то сущ-ет рац число R такое что αГеметр интерпритация действ чисел. Действ ось – числова ось. Начало корд- 0. Вся ось (-∞;+∞), интервал – xЄR. Отрезок __,M1__,0__,__,M2__,__; M1<0 x=a0,a1, M2>0 x=-a0,a1.

БИЛЕТ 2

Комплексные числа. Комплексные числа

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида: P n (x ) = 0, где P n (x ) - многочлен n - ой степени. Пару вещественных чисел x и у назовём упорядоченной, если указано, какое из них считается первым, а какое - вторым. Обозначение упорядоченной пары: (x , y ). Комплексным числом назовём произвольную упорядоченную пару вещественных чисел. z = (x , y )-комплексное число.

x -вещественная часть z , y -мнимая часть z . Если x = 0 и y = 0, то z = 0. Рассмотрим z 1 = (x 1 , y 1) и z 2 = (x 2 , y 2).

Определение 1. z 1 = z 2 , если x 1 =x 2 и y 1 = y 2 .

Понятия > и < для комплексных чисел не вводятся.

Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексных чисел.

M(x , y ) « z = x + iy .

½ OM½ = r =½ z ½ = .(рисунок)

r называется модулем комплексного числа z .

j называется аргументом комплексного числа z . Он определён с точностью до ± 2pn .

х = rcosj , y = rsinj.

z = x + iy = r(cosj + i sinj) - тригонометрическая форма комплексных чисел.

Утверждение 3.

= (cos + i sin ),

= (cos + i sin ), то

= (cos( + ) + i sin( + )),

= (cos( - )+ i sin( - )) при ¹0.

Утверждение 4.

Если z =r (cosj + i sinj), то " натурального n :

= (cos nj + i sin nj ),

БИЛЕТ 3

Пусть X -числовое множество, содержащее хотя бы одно число (непустое множество).

x Î X - x содержится в Х . ; x Ï X - x не принадлежит Х .

Определение : Множество Х называется ограниченным сверху (снизу), если существует число М (m ) такое, что для любого x Î X выполняется неравенство x £ M (x ³ m ), при этом число М называется верхней(нижней) гранью множества Х . Множество Х называется ограниченным сверху, если $ M , " x Î Х : x £ M . Определение неограниченного сверху множества. Множество X называется неограниченным сверху, если " M $ x Î Х : x > M. Определение множество X называется огранич., если оно ограничено сверху и снизу, то есть $ М , m такие, что " x Î Х : m £ x £ M. Эквивалентное определение огр мн-ва: Множество X называется ограниченным, если $ A > 0, " x Î X : ½x ½£ A . Определение: Наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множества Х называется его точной верхней гранью, и обозначается SupХ

(супремум). =SupХ . Аналогично можно определить точную

нижнюю грань. Эквивалентное определение точной верхней грани:

Число называется точной верхней гранью множества Х , если: 1) " x Î X : х £ (это условие показывает, что - одна из верхних граней). 2) " < $ x Î X : х > (это условие показывает, что -

наименьшая из верхних граней).

Sup X = :

1. " x Î X : x £ .

2. " < $ x ÎX : x > .

inf X (инфимум)-это точная нижняя грань. Поставим вопрос: всякое ли ограниченное множество имеет точные грани?

Пример: Х = {x : x >0} не имеет наименьшего числа.

Теорема о сущ-нии точной верх (ниж) грани . Всякое непустое огранич сверху (снизу) мн-во xÎR имеет точ верх(ниж) грань.

Теорема об отделимости числовых мн-в: ▀▀▄

БИЛЕТ 4

Если каждому натуре числу n (n=1,2,3..) поставлено в соотв-е нек число Xn, то говорят что опред-на и задана последовательность x1, x2 …, пишут {Xn}, (Xn).Пример: Xn=(-1)^n: -1,1,-1,1,…После-ть назыв огранич. сверху (снизу) если мн-во точек x=x1,x2,…xn лежащ на числовой оси огранич сверху (снизу), т.е. $С:Xn£C" Предел посл-ти: число а назыв пределом посл-ти, если для люб-го ε>0 $ : N (N=N/(ε)). "n>N выполн-ся неравенство |Xn-a|<ε. Т.е. – ε а–εА называется пределом числовой последовательности {a n }, если

при n > N .

Единственность предела ограниченной и сходящейся последовательности

Свойство1: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство: от противного пусть а и b пределы сходящейся последовательности {x n }, причем a не равно b. рассмотрим бесконечно малые последовательности {α n }={x n -a}и {β n }={x n -b}. Т.к. все элементы б.м. последовательности {α n -β n } имеют одно и тоже значение b-a, то по свойству б.м. последовательности b-a=0 т.е. b=a и мы пришли к противоречию.

Свойство2: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: Пусть а – предел сходящейся последовательности {x n }, тогда α n =x n -a есть элемент б.м. последовательности. Возьмем какое-либо ε>0 и по нему найдем N ε: / x n -a/< ε при n> N ε . Обозначим через b наибольшее из чисел ε+/а/, /х1/, /х2/,…,/х N ε-1 /,х N ε . Очевидно, что / х n /

Замечание: ограниченная последовательность может и не быть сходящаяся.

БИЛЕТ 6

Последовательность а n называется бесконечно малой, это означает, что предел этой последовательности после равен 0.

a n – бесконечно малая Û lim(n ® + ¥)a n =0 то есть для любого ε>0 существует N, такое что для любого n>N выполняется |a n |<ε

Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое.

a n b n ®бесконечно малое Þ a n +b n – бесконечно малое.

Доказательство.

a n - бесконечно малое Û "ε>0 $ N 1:" n >N 1 Þ |a n |<ε

b n - бесконечно малое Û "ε>0 $ N 2:" n >N 2 Þ |b n |<ε

Положим N=max{N 1 ,N 2 }, тогда для любого n>N Þ одновременно выполняется оба неравенства:

|a n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>N

Зададим "ε 1 >0, положим ε=ε 1 /2. Тогда для любого ε 1 >0 $N=maxN 1 N 2: " n>N Þ |a n +b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то

есть a n +b n – бесконечно малое.

Теорема Произведение бесконечно малого есть бесконечно малое.

a n ,b n – бесконечно малое Þ a n b n – бесконечно малое.

Докозательство:

Зададим "ε 1 >0, положим ε=Öε 1 , так как a n и b n – бесконечно малое для этого ε>0, то найдётся N 1: " n>N Þ |a n |<ε

$N 2: " n>N 2 Þ |b n |<ε

Возьмем N=max {N 1 ;N 2 }, тогда "n>N = |a n |<ε

|a n b n |=|a n ||b n |<ε 2 =ε 1

" ε 1 >0 $N:"n>N |a n b n |<ε 2 =ε 1

lim a n b n =0 Û a n b n – бесконечно малое, что и требовалось доказать.

Теорема Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность

а n – ограниченная последовательность

a n –бесконечно малая последовательность Þ a n a n – бесконечно малая последовательность.

Доказательство: Так как а n – ограниченная Û $С>0: "nÎN Þ |a n |£C

Зададим "ε 1 >0; положим ε=ε 1 /C; так как a n – бесконечно малая, то ε>0 $N:"n>NÞ |a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n |

"ε 1 >0 $N: "n>N Þ |a n a n |=Cε=ε 1 Þ lim(n ® ¥) a n a n =0Û a n a n – бесконечно малое

Последовательность называется ББП (последовательностью) если Пишут . Очевидно, ББП не ограничена. Обратное же утверждение вообще говоря неверно (пример ). Если для больших n члены , то пишут это значит, что как только .

Аналогично определяется смысл записи

Бесконечно большие последовательност a n =2 n ; b n =(-1) n 2 n ;c n =-2 n

Определение (бесконечно большие последовательности)

1) lim(n ® ¥)a n =+¥, если "ε>0$N:"n>N Þ a n >ε где ε- сколь угодно малое.

2) lim(n ® ¥)a n =-¥, если "ε>0 $N:"n>N Þ a n <-ε

3) lim(n ® ¥)a n =¥ Û "ε>0 $N:"n>N Þ |a n |>ε

БИЛЕТ 7

Теорема “О сходимости монотон. посл-ти”

Всякая монотонная посл-ть явл-ся сходящейся, т.е. имеет пределы.Док-во Пусть посл-ть {xn} монотонно возр. и ограничена сверху. X – все мн-во чисел которое принимает эл-т этой посл-ти согласно усл. Теоремы это мн-во огранич., поэтому по соотв. Теореме оно имеет конечную точную верх. грань supX xn®supX (обозначим supX через х*). Т.к. х* точная верх. грань, то xn£x* " n. " e >0 вып-ся нер-во $ xm(пусть m- это n с крышкой):xm>x*-e при " n>m => из указанных 2-х неравенств получаем второе неравенство x*-e£xn£x*+e при n>m эквивалентно ½xn-x*½m. Это означает, что x* явл. пределом посл-ти.

БИЛЕТ 8

Экспонента или число е

Р-рим числ. посл-ть с общим членом xn=(1+1/n)^n (в степени n)(1) . Оказывается, что посл-ть (1) монотонно возр-ет, ограничена сверху и сл-но явл-ся сходящейся, предел этой пос-ти наз-ся экспонентой и обозначается символом е»2,7128… Число е

БИЛЕТ 9

Принцип вложенных отрезков

Пусть на числовой прямой задана посл-ть отрезков ,,…,,…

Причем эти отрезки удовл-ют сл. усл.:

1) каждый посл-щий вложен в предыдущий, т.е. Ì, "n=1,2,…;

2) Длины отрезков ®0 с ростом n, т.е. lim(n®¥)(bn-an)=0. Посл-ть с указанными св-вами наз-ют вложенными.

Теорема Любая посл-ть вложенных отрезков содержит единную т-ку с принадлежащую всем отрезкам посл-ти одновременно, с общая точка всех отрезков к которой они стягиваются.

Док-во {an}-посл-ть левых концов отрезков явл. монотонно не убывающей и ограниченной сверху числом b1.

{bn}-посл-ть правых концов монотонно не возрастающей, поэтому эти посл-ти явл. сходящимися, т.е. сущ-ют числа с1=lim(n®¥)an и с2=lim(n®¥)bn => c1=c2 => c - их общее значение. Действительно имеет предел lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)(bn)- lim(n®¥)(an) в силу условия 2) o= lim(n®¥)(bn-an)=с2-с1=> с1=с2=с

Ясно что т. с общая для всех отрезков, поскольку "n an£c£bn. Теперь докажем что она одна.

Допустим что $ другая с‘ к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые не пересекающиеся отрезки с и с‘, то с одной стороны весь “хвост” посл-тей {an},{bn} должен нах-ся в окрестностях т-ки с‘‘(т.к. an и bn сходятся к с и с‘ одновременно). Противоречие док-ет т-му.

БИЛЕТ 10

Теорема Больцано-Вейерштрасса Из любой огран. посл-ти можно выбрать сход. подпосл-ть.

1. Поскольку посл-ть ограничена, то $ m и M, такое что " m£xn£M, " n.

D1= – отрезок, в котором лежат все т-ки посл-ти. Разделим его пополам. По крайней мере в одной из половинок будет нах-ся бесконечное число т-к посл-ти.

D2 – та половина, где лежит бесконечное число т-к посл-ти. Делим его пополам. По краней мере в одной из половинок отр. D2 нах-ся бесконечное число т-к посл-ти. Эта половина - D3. Делим отрезок D3 … и т.д. получаем посл-ть вложенных отрезков, длинны которых стремятся к 0. Согластно о т-ме о вложенных отрезках, $ единств. т-ка С, кот. принадл. всем отрезкам D1, какую-либо т-ку Dn1. В отрезке D2 выбираю т-ку xn2, так чтобы n2>n1. В отрезке D3 … и т.д. В итоге пол-ем посл-ть xnkÎDk.

БИЛЕТ 11

БИЛЕТ 12

фундаментальной

В заключении рассмотрим вопрос критерия сходимости числовой последовательности.

Пусть т.е.: на ряду с натуральным числом можно подставить в последнее неравенство другое натуральное число ,тогда

Мы получили следующее утверждение:

Если последовательность сходится, выполняется условие Коши :

Числовая последовательность удовлетворяет условию Коши называется фундаментальной . Можно доказать, что и справедлива и обратное утверждение. Таким образом мы имеем критерий (необходимое и достаточное условие) сходимости последовательности.

Критерий Коши.

Для того, чтобы последовательность имела предел необходимо и достаточно, что бы она была фундаментальной.

Второй смысл критерия Коши. Члены последовательности и где n и m – любые неограниченно сближающиеся при .

БИЛЕТ 13

Односторонние пределы.

Определение 13.11. Число А называется пределом функции у = f(x ) при х , стремящемся к х 0 слева (справа), если такое, что |f(x)-A |<ε при x 0 – х < δ (х - х 0 < δ ).

Обозначения:

Теорема 13.1(второе определение предела). Функция y=f(x) имеет при х, стремящемся к х 0 , предел, равный А , в том и только в том случае, если оба ее односторонних предела в этой точке существуют и равны А .

Доказательство.

1) Если , то и для x 0 – х < δ, и для х - х 0 < δ |f(x) - A |<ε, то есть

1) Если , то существует δ 1: |f(x) - A | < ε при x 0 – x < δ 1 и δ 2: |f(x) - A | < ε при х - х 0 < δ 2 . Выбрав из чисел δ 1 и δ 2 меньшее и приняв его за δ, получим, что при |x - x 0 | < δ |f(x) - A | < ε, то есть . Теорема доказана.

Замечание. Поскольку доказана эквивалентность требований, содержащихся в определении предела 13.7 и условия существования и равенства односторонних пределов, это условие можно считать вторым определением предела.

Определение 4 (по Гейне)

Число А называется пределом функции при если любой ББП значений аргумента последовательность соответствующих значений функции сходится к А.

Определение 4 (по Коши).

Число А называется если . Доказывается, что эти определения равносильны.

БИЛЕТ 14 и 15

Свойства предела ф-ции в точке

1) Если предел в т-ке сущ-ет, то он единственный

2) Если в тке х0 предел ф-ции f(x) lim(x®x0)f(x)=A

lim(x®x0)g(x)£B=> то тогда в этой т-ке $ предел суммы, разности, произведения и частного. Отделение этих 2-х ф-ций.

а) lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B

б) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B

в) lim(x®x0)(f(x):g(x))=A/B

г) lim(x®x0)C=C

д) lim(x®x0)C*f(x)=C*A

Теорема 3.

Если (resp A) то $ окрестность в которой выполняется неравенство >B (resp Пусть A>B положим тогда При выбранном левая из этих неравенств имеет вид >B resp доказывается 2 часть теоремы только в этом случае берем Следствие (сохранение функции знаки своего предела).

Полагая в теореме 3 B=0 , получаем: если (resp ), то $ , во всех точках, которой будет >0 (resp <0), т.е. функция сохраняет знак своего предела.

Теорема 4 (о предельном переходе в неравенстве).

Если в некоторой окрестности точки (кроме быть может самой этой точки) выполняется условие и данные функции имеют в точке пределы, то . На языке и . Введем функцию . Ясно, что в окрестности т. . Тогда по теореме о сохранении функции значении своего предела имеем , но

Теорема 5. (о пределе промежуточной функции).

(1) Если и в некоторой окрестности т. (кроме быть может самой т. ) выполняется условие (2) , то функция имеет в т. предел и этот предел равен А. по условию (1) $ для (здесь - наименьшая окрестность точки ). Но тогда в силу условия (2) для значения так же будет находится в - окрестности точки А, т.е. .

БИЛЕТ 16

Определение 14.1. Функция у=α(х ) называется бесконечно малой при х→х 0 , если

Свойства бесконечно малых.

1. Сумма двух бесконечно малых есть бесконечно малая.

Доказательство. Если α(х ) и β(х ) – бесконечно малые при х→х 0 , то существуют δ 1 и δ 2 такие, что |α(x )|<ε/2 и |β(x )|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α(x)+β(x)|≤|α(x)|+|β(x )|<ε, то есть |(α(x)+β(x ))-0|<ε. Следовательно, , то есть α(х)+β(х ) – бесконечно малая.

Замечание. Отсюда следует, что сумма любого конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая.

2. Если α(х ) – бесконечно малая при х→х 0 , а f(x ) – функция, ограниченная в некоторой окрестности х 0 , то α(х)f(x ) – бесконечно малая при х→х 0 .

Доказательство. Выберем число М такое, что |f(x)| при |x-x 0 |< δ 1 , и найдем такое δ 2 , что |α(x)|<ε/M при |x-x 0 |<δ 2 . Тогда, если выбрать в качестве δ меньшее из чисел δ 1 и δ 2 , |α(x)·f(x)|, то есть α(х)·f(x) – бесконечно малая.

Следствие 1. Произведение бесконечно малой на конечное число есть бесконечно малая.

Следствие 2. Произведение двух или нескольких бесконечно малых есть бесконечно малая.

Следствие 3. Линейная комбинация бесконечно малых есть бесконечно малая.

3. (Третье определение предела ). Если , то необходимым и достаточным условием этого является то, что функцию f(x ) можно представить в виде f(x)=A+α(x ), где α(х ) – бесконечно малая при х→х 0 .

Доказательство.

1) Пусть Тогда |f(x)-A |<ε при х→х 0 , то есть α(х)=f(x)-A – бесконечно малая при х→х 0 . Следовательно, f(x)=A+α(x).

2) Пусть f(x)=A+α(x ). Тогда значит, |f(x)-A |<ε при |x - x 0 | < δ(ε). Cледовательно, .

Замечание. Тем самым получено еще одно определение предела, эквивалентное двум предыдущим.

Бесконечно большие функции.

Определение 15.1. Функция f(x) называется бесконечно большой при х х 0 , если

Для бесконечно больших можно ввести такую же систему классификации, как и для бесконечно малых, а именно:

1. Бесконечно большие f(x) и g(x) считаются величинами одного порядка, если

2. Если , то f(x) считается бесконечно большой более высокого порядка, чем g(x).

3. Бесконечно большая f(x) называется величиной k-го порядка относительно бесконечно большой g(x), если .

Замечание. Отметим, что а х – бесконечно большая (при а>1 и х ) более высокого порядка, чем x k для любого k, а log a x – бесконечно большая низшего порядка, чем любая степень х k .

Теорема 15.1. Если α(х) – бесконечно малая при х→х 0 , то 1/α(х) – бесконечно большая при х→х 0 .

Доказательство. Докажем, что при |x - x 0 | < δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно,

|1/α(x)|>M. Значит, , то есть 1/α(х) – бесконечно большая при х→х 0 .

БИЛЕТ 17

Теорема 14.7 (первый замечательный предел). .

Доказательство. Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в начале координат и будем считать, что угол АОВ равен х (радиан). Сравним площади треугольника АОВ, сектора АОВ и треугольника АОС, где прямая ОС – касательная к окружности, проходящая через точку (1;0). Очевидно, что .

Используя соответствующие геометрические формулы для площадей фигур, получим отсюдa, что , или sinx0), запишем неравенство в виде: . Тогда , и по теореме 14.4 .