Hogyan találjuk meg két változó függvényének parciális deriváltjait. Derivatívák megoldása bábukra: definíció, megtalálás módja, példák a megoldásokra. – Valójában a változó cseréje

A három változó függvényének másodrendű parciális deriváltjainak megtalálásának általános elve hasonló ahhoz az elvhez, amely két változó függvényének másodrendű parciális deriváltjait keresi.

Másodrendű parciális származékok kereséséhez először meg kell találnia az elsőrendű parciális származékokat, vagy más jelöléssel:

Kilenc másodrendű parciális származéka van.

Az első csoport a második derivált ugyanazokra a változókra vonatkozóan:

Vagy – a második derivált az „x” vonatkozásában;

Vagy – a második származék az „Y” vonatkozásában;

Vagy – a második származék a „zet” vonatkozásában.

A második csoport az vegyes Másodrendű parciális származékok, hat van belőlük:

vagy - vegyes„x igrek” származéka;

vagy - vegyes származéka „játék x”;

vagy - vegyes derivált „x z tekintetében”;

vagy - vegyes származéka „zt x-szel”;

vagy - vegyes származéka „igrek z tekintetében”;

vagy - vegyes származéka "by zt igrek".

A két változó függvényéhez hasonlóan a feladatok megoldása során a másodrendű vegyes deriváltok alábbi egyenlőségeire lehet koncentrálni:

Megjegyzés: szigorúan véve ez nem mindig van így. Ahhoz, hogy a vegyes származékok egyenlőek legyenek, a folytonosságuk követelményének teljesülnie kell.

Minden esetre itt van néhány példa arra, hogyan kell helyesen felolvasni ezt a szégyent:

- „két ütés kétszer egy játék”;

– „de two y by de z square”;

– „X-ben és Z-ben két vonás van”;

- „de two y po de zet po de igrek.”

10. példa

Keresse meg az összes első és másodrendű parciális deriváltot három változó függvényében:

.

Megoldás: Először keressük meg az elsőrendű parciális származékokat:

A talált származékot vesszük

és különböztesse meg "Y"-vel:

A talált származékot vesszük

és különböztesse meg "x"-el:

Az egyenlőség teljesül. Bírság.

Foglalkozzunk a vegyes származékok második párjával.

A talált származékot vesszük

és különböztesse meg „z”-vel:

A talált származékot vesszük

és különböztesse meg "x"-el:

Az egyenlőség teljesül. Bírság.

Hasonló módon foglalkozunk a vegyes származékok harmadik párjával:

Az egyenlőség teljesül. Bírság.

Az elvégzett munka után garantálni tudjuk, hogy egyrészt helyesen találtuk meg az összes 1. rendű parciális deriváltot, másrészt helyesen találtuk meg a vegyes 2. rendű parciális származékokat is.

Még három másodrendű részleges származékot kell találnia, itt a hibák elkerülése érdekében a lehető legnagyobb mértékben koncentrálnia kell:

Kész. Ismétlem, a feladat nem annyira nehéz, mint inkább terjedelmes. A megoldás lerövidíthető, és vegyes parciális deriváltak egyenlőségére hivatkozhat, de ebben az esetben nem lesz ellenőrzés. Ezért jobb időt tölteni és megtalálni Minden származékait (ráadásul a tanár is megkövetelheti), vagy végső esetben ellenőrizze a piszkozatot.

11. példa

Keresse meg három változó függvényének összes első és másodrendű parciális deriváltját

.

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania.

Megoldások és válaszok:

2. példa:Megoldás:

4. példa:Megoldás: Keressük az elsőrendű parciális deriváltokat.

Hozzon létre egy elsőrendű teljes differenciált:

6. példa:Megoldás: M(1, -1, 0):

7. példa:Megoldás: Számítsuk ki a pont elsőrendű parciális deriváltjaitM(1, 1, 1):

9. példa:Megoldás:

11. példa:Megoldás: Keressük az elsőrendű parciális deriváltokat:

Keressük a másodrendű parciális deriváltokat:

.

Integrálok

8.1. Határozatlan integrál. Részletes mintamegoldások

Kezdjük el tanulmányozni a témát" határozatlan integrál", és részletesen elemezzük a legegyszerűbb (és nem is olyan egyszerű) integrálok megoldási példáit. Szokás szerint az elméleti minimumra szorítkozunk, ami számos tankönyvben megtalálható, a feladatunk az integrálok megoldásának megtanulása.

Mit kell tudni az anyag sikeres elsajátításához? Ahhoz, hogy megbirkózzunk az integrálszámítással, minimum, középszintű származékokat kell tudni találni. Nem lesz tapasztalatpazarlás, ha több tucat, vagy ami még jobb, több száz, egymástól függetlenül talált származék van az öve alatt. Legalább nem szabad megzavarni a legegyszerűbb és leggyakoribb funkciók megkülönböztetésére szolgáló feladatokban.

Úgy tűnik, mi köze a származékoknak, ha a szócikk integrálokról szól?! Itt van a dolog. Az a tény, hogy a származékok keresése és a határozatlan integrálok keresése (differenciálás és integrálás) két egymással ellentétes művelet, mint például az összeadás/kivonás vagy a szorzás/osztás. Így a származékok keresésében szerzett jártasság és tapasztalat nélkül sajnos nem léphet előre.

Ehhez a következő tananyagokra lesz szükségünk: Származékos táblázatÉs Integrálok táblázata.

Milyen nehézséget jelent a határozatlan integrálok tanulása? Ha a deriváltokban szigorúan 5 differenciálási szabály van, egy derivált táblázat és egy meglehetősen világos műveleti algoritmus, akkor az integrálokban minden más. Több tucat integrációs módszer és technika létezik. És ha az integrációs módszert kezdetben rosszul választják meg (azaz nem tudod, hogyan kell megoldani), akkor napokig "szurkálhatod" az integrált, mint egy igazi rejtvényt, különféle technikákat és trükköket próbálva kiszúrni. Néhány embernek még tetszik is.

Egyébként elég gyakran hallhattunk (nem bölcsész szakos) hallgatóktól olyan véleményt, mint: „Soha nem érdekelt egy határérték vagy derivált megoldása, de az integrál teljesen más kérdés, lenyűgöző, mindig van egy egy összetett integrál „feltörésének” vágya.” . Állj meg. Elég a fekete humorból, térjünk át ezekre a nagyon határozatlan integrálokra.

Mivel sokféle megoldás létezik, akkor hol kezdje el egy teáskanna a határozatlan integrálok tanulmányozását? Az integrálszámításban véleményünk szerint három pillér vagy egyfajta „tengely” van, amely körül minden más forog. Először is jól kell ismernie a legegyszerűbb integrálokat (ez a cikk).

Ezután részletesen át kell dolgoznia a leckét. EZ A LEGFONTOSABB TECHNIKA! Talán még a legfontosabb cikk is az integrálokról szóló cikkek közül. Harmadszor pedig mindenképpen el kell olvasnod integráció alkatrész módszerrel, mivel funkciók széles körét integrálja. Ha elsajátítod legalább ezt a három leckét, akkor már nem lesz kettő. Lehet, hogy megbocsátják neked, hogy nem tudod trigonometrikus függvények integráljai, törtek integráljai, tört-racionális függvények integráljai, irracionális függvények integráljai (gyökök), de ha „bajba kerülsz” a cseremóddal, vagy az alkatrészenkénti integráció módszerével, akkor az nagyon-nagyon rossz lesz.

Tehát kezdjük egyszerűen. Nézzük meg az integrálok táblázatát. A deriváltokhoz hasonlóan számos integrációs szabályt és néhány elemi függvény integráljának táblázatát figyeljük meg. Bármely táblázatintegrál (és valójában minden határozatlan integrál) alakja a következő:

Azonnal értsük a jelöléseket és kifejezéseket:

– integrált ikon.

– integrand függvény ("s" betűvel írva).

– differenciál ikon. Hamarosan megnézzük, mi ez. A lényeg az, hogy az integrál írásakor és a megoldás során fontos, hogy ne veszítse el ezt az ikont. Egy észrevehető hiba lesz.

– az integrál kifejezése vagy „kitöltése”.

– antiderivatív funkció.

– . Nem kell túlterhelni a kifejezéseket, a legfontosabb itt az, hogy minden határozatlan integrálban konstans kerüljön a válaszhoz.

Egy határozatlan integrál megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuksok primitív függvény az adott integrandusból

Nézzük még egyszer a bejegyzést:

Nézzük meg az integrálok táblázatát.

Mi történik? Megvannak a bal oldali részeink válik más funkciókhoz: .

Egyszerűsítsük a definíciónkat:

Határozatlan integrál megoldása - ez azt jelenti, hogy ÁTALAKÍTSA egy nem definiált (akár állandó) függvénnyel , néhány szabály, technikák és táblázat segítségével.

Vegyük például a táblázatintegrált . Mi történt? A szimbolikus jelölés számos primitív funkcióvá fejlődött.

Akárcsak a deriváltak esetében, az integrálok megtalálásának megtanulásához nem szükséges tisztában lennünk azzal, hogy elméleti szempontból mi az integrál vagy antiderivatív függvény. Elég, ha néhány formális szabály szerint egyszerűen végrehajtjuk az átalakításokat. Szóval abban az esetben Egyáltalán nem szükséges megérteni, hogy az integrál miért alakul át . Ezt és más képleteket természetesnek veheti. Mindenki használ elektromosságot, de kevesen gondolnak arra, hogy az elektronok hogyan közlekednek a vezetékeken.

Mivel a differenciálás és az integráció ellentétes műveletek, minden helyesen talált antideriváltra a következő igaz:

Más szóval, ha megkülönbözteti a helyes választ, akkor meg kell kapnia az eredeti integrandus függvényt.

Térjünk vissza ugyanahhoz a táblaintegrálhoz .

Ellenőrizzük ennek a képletnek az érvényességét. A jobb oldal deriváltját vesszük:

az eredeti integrand függvény.

Egyébként világosabbá vált, hogy miért van mindig konstans hozzárendelve egy függvényhez. Differenciáláskor az állandó mindig nullára változik.

Határozatlan integrál megoldása- azt jelenti, hogy megtaláljuk Egy csomó mindenki antiderivatívek, és nem csak egy funkció. A vizsgált táblázatpéldában , , , stb. – mindezek a függvények az integrál megoldásai. Végtelenül sok megoldás létezik, ezért röviden leírjuk:

Így minden határozatlan integrált meglehetősen könnyű ellenőrizni. Ez némi kompenzáció a nagyszámú különböző típusú integrálért.

Térjünk át konkrét példákra. Kezdjük, mint a derivált tanulmányozásánál, az integráció két szabályával:

– állandó C ki lehet (és kell) kivenni az integráljelből.

– két függvény összegének (különbségének) integrálja egyenlő két integrál összegével (különbségével). Ez a szabály tetszőleges számú kifejezésre érvényes.

Mint látható, a szabályok alapvetően ugyanazok, mint a származékos termékekre. Néha úgy hívják linearitási tulajdonságok integrál.

1. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Végezzen ellenőrzést.

Megoldás: Kényelmesebb így konvertálni.

(1) Alkalmazza a szabályt . Elfelejtjük leírni a differenciál ikont dx minden integrál alatt. Miért mindegyik alatt? dx– ez egy teljes értékű szorzó. Ha részletesen leírjuk, akkor az első lépést így kell írni:

.

(2) A szabály szerint az összes állandót az integrálok előjelein túlra mozgatjuk. Felhívjuk figyelmét, hogy az elmúlt időszakban tg 5 egy állandó, azt is kivesszük.

Ezen túlmenően ebben a lépésben felkészítjük az integrációhoz szükséges gyökereket és képességeket. Ugyanúgy, mint a differenciálásnál, a gyököket az alakban kell ábrázolni . Mozgassa felfelé a nevezőben található gyököket és hatványokat.

Jegyzet: A származékokkal ellentétben a gyököket az integrálokban nem kell mindig formára redukálni , és mozgassa felfelé a fokokat.

Például, - ez egy kész táblázatintegrál, ami már ki lett számolva előtted, és mindenféle kínai trükk, mint pl. teljesen felesleges. Hasonlóképpen: – ez is egy táblázatintegrál, nincs értelme a tört alakban ábrázolni . Gondosan tanulmányozza a táblázatot!

(3) Minden integrálunk táblázatos. A transzformációt táblázat segítségével hajtjuk végre a képletekkel: , És

teljesítmény funkcióhoz - .

Meg kell jegyezni, hogy a táblázatintegrál egy speciális esete a hatványfüggvény képletének: .

Állandó C elég egyszer hozzátenni a kifejezés végéhez

(ahelyett, hogy minden integrál után tennénk őket).

(4) A kapott eredményt tömörebb formában írjuk fel, ha minden hatvány alakja

ismét gyök formájában ábrázoljuk őket, és a negatív kitevővel rendelkező hatványokat visszaállítjuk a nevezőbe.

Vizsgálat. Az ellenőrzés végrehajtásához meg kell különböztetni a kapott választ:

Megkapta az eredetit integrand, azaz az integrált helyesen találtuk meg. Amitől táncoltak, ahhoz visszatértek. Jó, ha az integrált tartalmazó történet így ér véget.

Időről időre van egy kicsit más megközelítés egy határozatlan integrál ellenőrzésére, amikor nem a deriváltot, hanem a differenciált veszik a válaszból:

.

Ennek eredményeként nem integrandusfüggvényt, hanem integrand kifejezést kapunk.

Ne féljen a különbség fogalmától.

A differenciál a derivált szorozva dx.

Számunkra azonban nem az elméleti finomságok a fontosak, hanem az, hogy mihez kezdjünk ezzel a differenciálművel. A differenciálmű a következőképpen jelenik meg: ikon d eltávolítjuk, jobbra teszünk egy prímet a zárójel fölé, a kifejezés végére adunk egy tényezőt dx :

Eredeti érkezett integrand, vagyis az integrált helyesen találtuk meg.

Amint látja, a differenciál a derivált megtalálásán múlik. A második ellenőrzési módszert kevésbé szeretem, mivel még nagy zárójeleket kell rajzolnom, és húznom kell a differenciál ikont dx az ellenőrzés végéig. Bár ez helyesebb, vagy „tiszteletreméltóbb”, vagy ilyesmi.

Valójában hallgatni lehetett a második igazolási módról. A lényeg nem a módszerben van, hanem abban, hogy megtanultuk kinyitni a differenciálművet. Újra.

A különbség a következőképpen jelenik meg:

1) ikonra d távolítsa el;

2) a jobb oldalon a zárójel fölé teszünk egy körvonalat (a származék jelölése);

3) a kifejezés végére faktort rendelünk dx .

Például:

Emlékezz erre. Erre a technikára hamarosan szükségünk lesz.

2. példa

.

Ha határozatlan integrált találunk, MINDIG megpróbáljuk ellenőrizni Sőt, erre remek lehetőség is van. Ebből a nézőpontból nem minden típusú feladat ajándék a felsőbb matematikában. Nem számít, hogy az ellenőrzési feladatoknál gyakran nincs szükség ellenőrzésre, senki és semmi nem akadályozza meg, hogy ezt a tervezeten megtegye. Kivételt csak akkor lehet tenni, ha nincs elég idő (például teszt vagy vizsga közben). Én személy szerint mindig ellenőrzöm az integrálokat, az ellenőrzés hiányát pedig hack munkának és rosszul teljesített feladatnak tartom.

3. példa

Keresse meg a határozatlan integrált:

. Végezzen ellenőrzést.

Megoldás: Az integrált elemezve azt látjuk, hogy az integrál alatt van két függvény szorzata, sőt egy teljes kifejezés hatványozása is. Sajnos az integrálharc terén Nem jó és kényelmes képletek a szorzat és a hányados integrálására mint: vagy .

Ezért ha egy szorzatot vagy hányadost adunk, mindig van értelme megvizsgálni, hogy lehetséges-e az integrandus összeggé alakítani? A vizsgált példa az az eset, amikor ez lehetséges.

Először a teljes megoldást mutatjuk be, a megjegyzések alább találhatók.

(1) Bármilyen valós számra az összeg négyzetének jó öreg képletét használjuk, megszabadulva a közös zárójel feletti foktól. zárójelen kívül és a rövidített szorzási képlet ellentétes irányú alkalmazása: .

4. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Végezzen ellenőrzést.

Ez egy példa, hogy megoldd magad. A válasz és a teljes megoldás a lecke végén található.

5. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

. Végezzen ellenőrzést.

Ebben a példában az integrandus egy tört. Amikor törtet látunk az integrandusban, az első gondolat a következő kérdés legyen: „Lehetséges-e valahogy megszabadulni ettől a törttől, vagy legalább leegyszerűsíteni?”

Észrevesszük, hogy a nevező egyetlen „X” gyöket tartalmaz. Az egyik a mezőn nem harcos, ami azt jelenti, hogy a számlálót a nevezővel oszthatjuk taggal:

A törthatékonyságú műveleteket nem kommentáljuk, mivel ezeket sokszor tárgyaltuk a függvény deriváltjairól szóló cikkekben.

Ha még mindig zavarba jön egy ilyen példa, mint

és semmi esetre sem jön ki a helyes válasz,

Azt is vegye figyelembe, hogy a megoldásból hiányzik egy lépés, nevezetesen a szabályok alkalmazása , . Általában, némi tapasztalattal az integrálok megoldásában, ezeket a szabályokat nyilvánvaló ténynek tekintik, és nincsenek részletesen leírva.

6. példa

Keresse meg a határozatlan integrált. Végezzen ellenőrzést.

Ez egy példa, hogy megoldd magad. A válasz és a teljes megoldás a lecke végén található.

Általános esetben az integrálokban lévő törtekkel nem minden olyan egyszerű, bizonyos típusú törtek integrálásával kapcsolatban további anyagok találhatók a cikkben: Néhány tört integrálása. Mielőtt azonban továbblépne a fenti cikkre, meg kell ismerkednie a leckével: Behelyettesítési módszer határozatlan integrálban. A lényeg az, hogy egy függvényt differenciális vagy változó helyettesítési módszer alá vonunk kulcsfontosságú pont a téma tanulmányozásában, hiszen nemcsak „a helyettesítési módszer tiszta feladatában”, hanem sok más típusú integrálban is megtalálható.

Megoldások és válaszok:

2. példa: Megoldás:

4. példa: Megoldás:

Ebben a példában a rövidített szorzási képletet használtuk

6. példa: Megoldás:

Változó megváltoztatásának módszere határozatlan integrálban. Példák megoldásokra

Ebben a leckében megismerkedünk az egyik legfontosabb és legelterjedtebb technikával, amelyet határozatlan integrálok megoldásánál alkalmaznak - a változóváltás módszerével. Az anyag sikeres elsajátításához kezdeti ismeretek és integrációs készségek szükségesek. Ha az integrálszámításban üres, tele vízforraló érzése van, akkor először meg kell ismerkednie az anyaggal Határozatlan integrál. Példák megoldásokra, ahol hozzáférhető formában elmagyarázzák, hogy mi az integrál, és részletesen elemzik a kezdőknek szóló alapvető példákat.

Technikailag a változó megváltoztatásának módszere egy határozatlan integrálban kétféleképpen valósul meg:

– A függvényt a differenciáljel alá foglalva.

– Valójában a változó megváltoztatása.

Lényegében ugyanazok, de a megoldás kialakítása másképp néz ki. Kezdjük egy egyszerűbb esettel.

Két változó függvényei, parciális deriváltak, differenciálok és gradiensek

5. téma.Két változó függvényei.

részleges származékok

Két változó függvényének meghatározása, beállítási módszerek.

Részleges származékok.

Egy változó függvényének gradiense

Két változó függvényének legnagyobb és legkisebb értékének megkeresése egy zárt korlátos tartományban

1. Több változó függvényének meghatározása, beállítási módok

Mert két változó függvényei
definíciós tartomány van néhány pontok halmaza egy síkon
, és az értéktartomány a tengelyen lévő intervallum
.

Vizuális ábrázoláshoz két változás függvényei nyh alkalmazzák szintvonalak.

Példa . A funkcióért
grafikont és szintvonalakat készíteni. Írja fel a ponton átmenő szintegyenletet!
.

Lineáris függvény grafikonja van repülőgépűrben.

Egy függvény esetében a gráf a pontokon áthaladó sík
,
,
.

Funkciószintű vonalak olyan párhuzamos egyenesek, amelyek egyenlete:
.

Mert két változó lineáris függvénye
szintvonalakat az egyenlet adja meg
és képviseli párhuzamos egyenesek családja egy síkon.

4

Egy függvény grafikonja 0 1 2 X

Funkciószintű vonalak

Privát projektekkét változó származtatott függvényei

Vegye figyelembe a funkciót
. Adjuk meg a változót azon a ponton
tetszőleges növekmény
, távozik változó érték változatlan. Megfelelő függvénynövekmény

hívott függvény privát növekménye változóval azon a ponton
.

Hasonlóan definiálva részleges funkciónövekedésváltozó szerint: .

Kijelölésrészleges származéka tekintetében: , ,
,
.

Egy függvény parciális deriváltja egy változóhoz képest végső határnak nevezik :

Megnevezések: , ,
,
.

A parciális derivált megtalálása
változó szerint az egyik változó függvényének megkülönböztetésére vonatkozó szabályokat használják, feltételezve, hogy a változó állandó.

Hasonlóképpen a parciális derivált meghatározásához egy változóhoz képest egy változót állandónak tekintünk .

Példa . A funkció miatt
részleges származékokat találni
,
és számítsa ki értékeiket a ponton
.

Egy függvény parciális deriváltja
változó szerint az a feltételezés, hogy állandó:

Állandót feltételezve keressük meg a függvény parciális deriváltját -re vonatkozóan:

Számítsuk ki a parciális deriváltak értékeit
,
:

;
.

Másodrendű parciális származékok több változó függvényeit elsőrendű parciális deriváltjainak nevezzük.

Írjuk fel a függvény másodrendű parciális deriváltjait:

;
;

;
.

;
stb.

Ha több változó függvényének vegyes parciális deriváltjai egy ponton folytonosak
, aztán ők egyenlők egymással ezen a ponton. Ez azt jelenti, hogy két változó függvényében a vegyes parciális deriváltak értékei nem függnek a differenciálás sorrendjétől:

.

Példa. A függvényhez keresse meg a másodrendű parciális deriváltokat
És
.

Megoldás

A vegyes parciális deriváltot úgy találjuk meg, hogy először a függvényt egymás után differenciáljuk (állandót feltételezve), majd a derivált differenciálásával
által (állandót figyelembe véve).

A származékot úgy találjuk meg, hogy először a függvényt differenciáljuk, majd a deriváltot a függvényhez képest.

A vegyes parciális származékok egyenlőek egymással:
.

3. Két változós függvény gradiense

Gradiens tulajdonságai

Példa . Adott egy függvény
. Keresse meg a színátmenetet
azon a ponton
és építsd fel.

Megoldás

Keressük meg a gradiens koordinátáit – parciális deriváltak.

Azon a ponton
gradiens egyenlő . A vektor kezdete
pontban, a vége pedig pontban.

5

4. Két változó függvényének legnagyobb és legkisebb értékének megkeresése zárt korlátozott területen

A probléma megfogalmazása. Legyen a síkon egy zárt korlátos tartomány
formai egyenlőtlenségek rendszere adja meg
. Meg kell találni a pontokat abban a régióban, ahol a függvény a legnagyobb és a legkisebb értéket veszi fel.

Fontos az az extrémum megtalálásának problémája, amelynek matematikai modellje tartalmazza lineáris korlátozások (egyenletek, egyenlőtlenségek) és lineáris funkció
.

A probléma megfogalmazása. Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét
(2.1)

korlátozások alatt

(2.2)

. (2.3)

Mivel sok változó lineáris függvényének nincsenek kritikus pontjai belül vidék
, akkor csak az optimális megoldás érhető el, amely a célfüggvény szélsőértékét adja a régió határán. Egy lineáris kényszerekkel meghatározott régió esetén a lehetséges szélsőpontok a következők sarokpontok. Ez lehetővé teszi számunkra, hogy mérlegeljük a probléma megoldását grafikus módszer.

Lineáris egyenlőtlenségek rendszerének grafikus megoldása

A probléma grafikus megoldásához képesnek kell lennie két változós lineáris egyenlőtlenségrendszerek grafikus megoldására.

Eljárás:

Vegye figyelembe, hogy az egyenlőtlenség
meghatározza jobb koordináta félsík(tengelyről
), és az egyenlőtlenség
- felső koordináta félsík(tengelyről
).

Példa. Oldja meg grafikusan az egyenlőtlenséget!
.

Írjuk fel a határvonal egyenletét
és építsd fel két pont alapján, pl.
És
. Egy egyenes egy síkot két félsíkra oszt.

Pont koordinátái
kielégíteni az egyenlőtlenséget (
– igaz), ami azt jelenti, hogy a pontot tartalmazó félsík összes pontjának koordinátái kielégítik az egyenlőtlenséget. Az egyenlőtlenség megoldása a határvonaltól jobbra található félsík pontjainak koordinátái, beleértve a határon lévő pontokat is. A kívánt félsík kiemelve van az ábrán.

Megoldás
egyenlőtlenségek rendszerét nevezzük elfogadható, ha a koordinátái nem negatívak, . Az egyenlőtlenségrendszer megvalósítható megoldásainak halmaza egy régiót alkot, amely a koordinátasík első negyedében helyezkedik el.

Példa. Szerkessze meg az egyenlőtlenségek rendszerének megoldási tartományát!

Az egyenlőtlenségek megoldásai a következők:

1)
- az egyeneshez képest balra és alul elhelyezkedő félsík ( )
;

2)
– az egyeneshez képest jobb alsó félsíkban elhelyezkedő félsík ( )
;

3)
- az egyenestől jobbra elhelyezkedő félsík ( )
;

4) - félsík az x tengely felett, azaz egyenes ( )
.

0

Megvalósítható megoldások sora egy adott lineáris egyenlőtlenségrendszernek a négyszög belsejében és határán elhelyezkedő pontok halmaza
, ami útkereszteződés négy félrepülőgép.

Lineáris függvény geometriai ábrázolása

(szintvonalak és gradiens)

Rögzítsük az értéket
, megkapjuk az egyenletet
, amely geometriailag egy egyenest határoz meg. A függvény a vonal minden pontjában felveszi az értéket és van szintvonal. Adni különböző jelentések például

, ... , sok szintvonalat kapunk - párhuzamos halmaza közvetlen.

Építsünk gradiens- vektor
, amelynek koordinátái megegyeznek a függvény változóinak együtthatóival
. Ez a vektor: 1) merőleges minden egyenesre (szintvonalra)
; 2) a célfüggvény növekedési irányát mutatja.

Példa . Szintvonalak és színátmeneti függvények ábrázolása
.

A , , szintvonalak egyenesek

,
,

, egymással párhuzamosan. A gradiens minden szintvonalra merőleges vektor.

Egy lineáris függvény legnagyobb és legkisebb értékének grafikus keresése egy területen

A feladat geometriai megfogalmazása. Keresse meg a lineáris egyenlőtlenségek rendszerének megoldási tartományában azt a pontot, amelyen a szintvonal áthalad, és amely megfelel egy kétváltozós lineáris függvény legnagyobb (legkisebb) értékének!

Sorrend:

4. Határozza meg az A pont koordinátáit az A pontban metsző egyenesek egyenletrendszerének megoldásával, és számítsa ki a függvény legkisebb értékét
. Hasonlóképpen - a B ponthoz és a függvény legnagyobb értékéhez
. pontokra épül.változók Magánszármazékaifunkciókat számos változókés a differenciálási technika. Extrémum funkciókatkettőváltozókés szükséges...

Ebben a leckében megismerkedünk a két változó függvényének fogalmával, és részletesen megvizsgáljuk a leggyakoribb feladatot - a keresést. részleges származékok első és másodrendű, egy függvény teljes differenciálja.

Az alábbi anyag hatékony tanulmányozása érdekében Ön szükséges képes legyen többé-kevésbé magabiztosan megtalálni egy változó függvényeinek „hétköznapi” származékait. A leckéken megtanulhatja, hogyan kell helyesen kezelni a származékokat Hogyan lehet megtalálni a származékot? és egy komplex függvény deriváltja. Szükségünk lesz az elemi függvények és a differenciálási szabályok deriváltjainak táblázatára is, a legkényelmesebb, ha nyomtatott formában kéznél van.

Kezdjük a két változó függvényének fogalmával, megpróbálunk az elmélet minimumára szorítkozni, mivel az oldal gyakorlati beállítottságú. Egy két változóból álló függvényt általában úgy írnak le, hogy a változókat hívják független változók vagy érvek.

Példa: - két változó függvénye.

Néha a jelölést használják. Vannak olyan feladatok is, ahol a betű helyett a betűt használják.

Hasznos tudni a függvények geometriai jelentését. Egy változó függvénye egy síkon egy bizonyos egyenesnek felel meg, például az ismerős iskolaparabola. Két változó bármely függvénye geometriai szempontból egy felületet ábrázol háromdimenziós térben (síkok, hengerek, golyók, paraboloidok stb.). De valójában ez már analitikus geometria, és a matematikai elemzés napirenden van.

Térjünk át az első és másodrendű parciális származékok megtalálásának kérdésére. Van egy jó hírem azoknak, akik ittak néhány csésze kávét, és valami hihetetlenül nehéz anyagra hangolódnak: parciális deriváltjai szinte megegyeznek egy változó függvényének „közönséges” deriváltjaival.

A parciális deriváltokra minden differenciálási szabály és az elemi függvények deriváltjainak táblázata érvényes. Csak néhány apró eltérés van, amelyekre egy pillanat alatt rátérünk.

1. példa

Keresse meg a függvény első és másodrendű parciális deriváltját!

Először keressük meg az elsőrendű parciális deriváltokat. Ketten vannak.

Megnevezések:

Vagy – részleges derivált az „x”-hez képest

Vagy – részleges derivált az „y”-hoz képest

Kezdjük azzal.

Fontos! Amikor megtaláljuk a parciális deriváltot „x”-hez, akkor a változót állandónak (konstans számnak) tekintjük.

Döntsük el. Ebben a leckében azonnal megadjuk a teljes megoldást, és az alábbiakban megjegyzéseket fűzünk hozzá.

Megjegyzések az elvégzett műveletekhez:

(1) Az első dolog, amit a parciális derivált megtalálásakor tegyünk, az a következtetés minden függvény zárójelben a prím alatt alsó indexszel.

Figyelem, fontos! NEM VESZTÜNK EL az alsó indexeket a megoldási folyamat során. Ebben az esetben, ha valahol húzás nélkül rajzol egy „vonást”, akkor a tanár legalább a feladat mellé teheti (figyelmetlenségért azonnal leharapja a pont egy részét).

(2) A differenciálás szabályait alkalmazzuk ; . Egy ehhez hasonló egyszerű példánál mindkét szabály könnyen alkalmazható egy lépésben. Figyeljünk az első kifejezésre: mivel konstansnak tekintjük, és bármely állandó kivehető a származékjelből, majd zárójelből kirakjuk. Vagyis ebben a helyzetben semmivel sem jobb, mint egy közönséges szám. Most nézzük a harmadik kifejezést: itt éppen ellenkezőleg, nincs mit kivenni. Mivel ez egy állandó, egyben állandó is, és ebben az értelemben semmivel sem jobb, mint az utolsó kifejezés - „hét”.

(2) Az elemi függvények deriváltjainak táblázatát használjuk. Változtassuk meg gondolatban a táblázat összes „X”-jét „én”-re. Vagyis ez a táblázat ugyanúgy érvényes (és általában minden betűnél). Ebben az esetben a következő képleteket használjuk: és .

Tehát az elsőrendű parciális deriváltokat találjuk

A parciális deriváltokat több változó függvényeit érintő feladatokban használják. A keresés szabályai pontosan ugyanazok, mint egy változó függvényeinél, azzal a különbséggel, hogy az egyik változót a differenciálás időpontjában állandónak (konstans számnak) kell tekinteni.

Képlet

A $ z(x,y) $ két változó függvényének parciális deriváltjait a következő $ z"_x, z"_y $ formában írjuk le, és a képletekkel találjuk meg:

Elsőrendű parciális származékok

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

Másodrendű parciális származékok

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

Vegyes származék

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Komplex függvény parciális deriváltja

a) Legyen $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, akkor egy komplex függvény deriváltját a következő képlet határozza meg:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt)$$

b) Legyen $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, akkor a függvény parciális deriváltjait a következő képlettel találjuk meg:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Egy implicit függvény parciális deriváltjai

a) Legyen $ F(x,y(x)) = 0 $, majd $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Legyen $ F(x,y,z)=0 $, majd $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Példák megoldásokra

1. példa

Keresse meg a $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $ elsőrendű parciális deriváltokat

Megoldás

Ahhoz, hogy megtaláljuk a részleges deriváltot $ x $ vonatkozásában, a $ y $-t állandó értéknek (számnak) tekintjük: $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Egy függvény $y$-hoz viszonyított részleges deriváltjának megkereséséhez a $y$-t egy konstanssal definiáljuk: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Ha nem tudja megoldani a problémát, küldje el nekünk. Részletes megoldást adunk. Megnézheti a számítás folyamatát, és információkat szerezhet. Ez segít abban, hogy az osztályzatot időben megkapja tanárától!

Válasz

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

2. példa

Határozzuk meg a $ z = e^(xy) $ másodrendű függvény parciális deriváltjait!

Megoldás

Először meg kell találni az első származékokat, majd ezek ismeretében megtalálhatja a másodrendű származékokat. Legyen $y$ állandó: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Most állítsuk be a $ x $-t állandó értéknek: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Az első származékok ismeretében hasonlóképpen megtaláljuk a másodikat is. Állítsa be a $y$-t konstansra: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Beállítjuk a $ x $ konstanst: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Most már csak a vegyes származékot kell megtalálni. Megkülönböztetheti a $ z"_x $-t $ y $-val, a $ z"_y $-t pedig a $ x $-val, mivel a $ z""_(xy) = z""_(yx) $ tétel alapján $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

Válasz

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

4. példa

Legyen $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ a $ F(x,y,z) = 0 $ implicit függvény meghatározása. Keresse meg az elsőrendű parciális deriváltokat.

Megoldás

A függvényt a következő formátumba írjuk: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $, és megkeressük a származékokat: $$ z"_x (y,z - állandó) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - állandó) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Válasz

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Folytatjuk mindenki kedvenc matematikai elemzési témájával – a származékokkal. Ebben a cikkben megtudjuk, hogyan kell megtalálni három változó függvényének parciális deriváltjai: első származékok és második származékok. Mit kell tudni és tudni kell az anyag elsajátításához? Akár hiszi, akár nem, először is meg kell tudnia találni egy változó függvényének „közönséges” deriváltjait – magas vagy legalábbis átlagos szinten. Ha nagyon nehéz velük, akkor kezdje egy leckével Hogyan lehet megtalálni a származékot? Másodszor, nagyon fontos elolvasni a cikket, és megérteni és megoldani, ha nem az összes példát, akkor a legtöbb példát. Ha ez már megtörtént, akkor járj velem magabiztos járással, érdekes lesz, még élvezni is fogod!

A megtalálás módszerei és elvei három változó függvényének parciális deriváltjai valójában nagyon hasonlóak két változó függvényének parciális deriváltjaihoz. Hadd emlékeztessem önöket, egy két változóból álló függvény alakja , ahol „x” és „y” független változók. Geometriailag két változó függvénye egy bizonyos felületet reprezentál háromdimenziós terünkben.

A három változóból álló függvény alakja , és a változókat hívjuk függetlenváltozók vagy érvek, a változót hívják függő változó vagy funkció. Például: – három változó függvénye

És most egy kicsit a sci-fi filmekről és az idegenekről. Gyakran lehet hallani négydimenziós, ötdimenziós, tízdimenziós stb. terek. Hülyeség vagy nem?
Végül is a három változó függvénye magában foglalja azt a tényt, hogy minden négydimenziós térben zajlik (sőt, négy változó van). A három változóból álló függvény grafikonja az ún hiperfelület. Elképzelhetetlen, hiszen háromdimenziós térben élünk (hossz/szélesség/magasság). Hogy ne unatkozzon velem, felajánlok egy kvízt. Felteszek néhány kérdést, és akit érdekel, az válaszolhat rájuk:

– Van a világon negyedik, ötödik stb.? mérések a filiszteus térfelfogás értelmében (hossz/szélesség/magasság)?

– Lehet-e építeni négydimenziós, ötdimenziós stb. tér a szó tág értelmében? Azaz mondjunk példát egy ilyen térre az életünkben.

– Lehet-e utazni a múltba?

– El lehet utazni a jövőbe?

- Léteznek idegenek?

Bármely kérdésre négy válasz közül választhat:
Igen / Nem (a tudomány ezt tiltja) / A tudomány ezt nem tiltja / nem tudom

Aki minden kérdésre helyesen válaszol, annak nagy valószínűséggel lesz valami tárgya ;-)

Az óra előrehaladtával fokozatosan adok választ a kérdésekre, ne hagyja ki a példákat!

Valójában repültek. És rögtön a jó hír: három változós függvényre érvényesek a differenciálás szabályai és a derivált táblázat. Ezért kell jól bánni a "hétköznapi" dolgokkal függvények származékai egy változó. Nagyon kevés különbség van!

1. példa

Megoldás: Nem nehéz kitalálni – három változóból álló függvény létezik három elsőrendű részleges származékok, amelyek jelölése a következő:

Vagy – részleges derivált az „x” vonatkozásában;
vagy – részleges származékos „y” vonatkozásában;
vagy – részleges derivált a „zet” vonatkozásában.

Gyakoribb a prímszámmal ellátott szimbólum, de a gyűjtemények és a képzési kézikönyvek összeállítói nagyon szeretnek nehézkes szimbólumokat használni a problémákra – ne tévedj el! Talán nem mindenki tudja, hogyan kell helyesen felolvasni ezeket a „féltékeny törteket”. Példa: a következőképpen kell értelmezni: „de u po de x.”

Kezdjük az "x"-re vonatkozó deriválttal: . Amikor megtaláljuk a parciális deriváltot , majd a változókat És konstansnak (konstans számnak) tekintjük.És bármely állandó deriváltja, ó, kegyelem, egyenlő nullával:

Azonnal figyeljen az alsó indexre - senki sem tiltja, hogy megjelölje, hogy állandók. Még kényelmesebb, kezdőknek ajánlom, hogy csak ilyen lemezt használjanak, így kisebb az összetéveszthetőség veszélye.

(1) A derivált linearitási tulajdonságait használjuk, különösen az összes állandót a derivált előjelén túlra mozgatjuk. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a második tagban nem kell eltávolítani az állandót: mivel „Y” konstans, akkor ez is konstans. A kifejezésben a „közönséges” 8 állandó és a „zet” állandó kikerül a származékjelből.

(2) Megtaláljuk a legegyszerűbb deriváltokat, nem felejtve el, hogy állandók. Ezután megfésüljük a választ.

Részleges derivált. Amikor megtaláljuk a parciális deriváltot „y”-ra vonatkozóan, akkor a változókat És konstansnak számítanak:

(1) A linearitás tulajdonságait használjuk. És még egyszer vegye figyelembe, hogy a , kifejezések állandók, ami azt jelenti, hogy semmit sem kell kivenni a származékjelből.

(2) Keresse meg a deriváltokat, ne felejtse el, hogy állandók. Ezután leegyszerűsítjük a választ.

És végül a parciális derivált. Amikor megtaláljuk a parciális deriváltot a „zet”-re vonatkozóan, akkor a változókat És konstansnak számítanak:

Általános szabály nyilvánvaló és szerény: Amikor megtaláljuk a parciális deriváltotbármilyen okból független változó tehátkét másik a független változókat konstansnak tekintjük.

E feladatok elvégzésekor rendkívül óvatosnak kell lennie, különösen Nem veszítheti el az előfizetéseket(amelyek jelzik, hogy melyik változót használják a megkülönböztetésre). Az index elvesztése SZÚRÓ HELYTELENSÉG lenne. Hmmm…. Vicces, ha ilyen megfélemlítés után elengedem őket valahol)

2. példa

Keresse meg három változó függvényének elsőrendű parciális deriváltjait

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

A két vizsgált példa meglehetősen egyszerű, és több hasonló probléma megoldása után még egy teáskanna is hozzászokik a szóbeli kezeléshez.

A stressz enyhítésére térjünk vissza a kvíz első kérdéséhez: Van-e a világon negyedik, ötödik stb.? mérések a filiszteus térfelfogás értelmében (hossz/szélesség/magasság)?

Helyes válasz: A tudomány ezt nem tiltja. Minden alapvető matematikai axiomatika, tétel, matematikai apparátus szép és következetes bármilyen méretű térben dolgozni. Lehetséges, hogy valahol az Univerzumban léteznek elménk irányításán kívül eső hiperfelületek, például egy négydimenziós hiperfelület, amelyet három változó függvénye határoz meg. Vagy lehet, hogy a hiperfelületek mellettünk vannak, vagy éppen mi vagyunk bennük, csak a látásunk, a többi érzékszervünk és a tudatunk csak három dimenziót képes felfogni és megérteni.

Térjünk vissza a példákhoz. Igen, ha valakit nagyon leterhelt a kvíz, jobb, ha elolvassa a következő kérdésekre adott válaszokat, miután megtanulta, hogyan találja meg három változó függvényének parciális deriváltjait, különben el fogom csapni a fejét a cikk alatt =)

A legegyszerűbb 1. és 2. példák mellett a gyakorlatban vannak olyan feladatok, amelyeket kis rejtvénynek is nevezhetünk. Az ilyen példák bánatomra kikerültek a szemem elől, amikor megalkottam a leckét Két változó függvényének parciális deriváltjai. Vegyük utol:

3. példa

Megoldás:Úgy tűnik, itt „minden egyszerű”, de az első benyomás megtévesztő. Amikor részleges származékokat találnak, sokan kitalálják a tealeveleket, és tévednek.

Nézzük a példát következetesen, világosan és érthetően.

Kezdjük az "x"-re vonatkozó parciális deriválttal. Amikor megtaláljuk a parciális deriváltot „x”-hez képest, a változókat konstansnak tekintjük. Ezért a függvényünk kitevője is állandó. Bábuknál a következő megoldást javaslom: a piszkozatban változtassa meg az állandót egy adott pozitív egész számra, például „öt”. Az eredmény egy változó függvénye:
vagy így is írhatod:

Ez erő függvény összetett bázissal (szinusz). Szerző:

Most így emlékezünk rá:

A végső szakaszban természetesen a megoldást így kell írni:

A parciális deriváltot az „y”-hez viszonyítva találjuk meg, ezeket konstansoknak tekintjük. Ha „x” konstans, akkor az is konstans. A piszkozaton ugyanazt a trükköt tesszük: cserélje ki például 3-mal, „Z” - cserélje ki ugyanazzal az „öttel”. Az eredmény ismét egy változó függvénye:

Ez jelzésértékű függvény komplex kitevőjével. Által összetett függvények differenciálási szabálya:

Most pedig emlékezzünk a pótlásunkra:

És így:

Az utolsó oldalon természetesen szépen kell kinéznie a dizájnnak:

És a tüköreset a parciális deriválttal a „zet” ( – konstansok) vonatkozásában:

Némi tapasztalat birtokában az elemzés mentálisan is elvégezhető.

Végezzük el a feladat második részét – állítsunk össze egy elsőrendű differenciálművet. Nagyon egyszerű, a két változó függvényével analóg módon egy elsőrendű differenciálművet a következő képlettel írunk fel:

Ebben az esetben:

És ez üzlet. Megjegyzem, hogy gyakorlati feladatokban egy három változós függvényre sokkal ritkábban szükséges egy teljes I. rendű differenciálművet megszerkeszteni, mint két változós függvényre.

Egy vicces példa arra, hogyan oldja meg saját maga:

4. példa

Keresse meg három változó függvényének elsőrendű parciális deriváltjait, és alkosson egy elsőrendű teljes differenciált

Teljes megoldás és válasz a lecke végén. Ha bármilyen nehézségbe ütközik, használja a tárgyalt „Chaynikovsky” algoritmust, ez garantáltan segít. És még egy hasznos tipp - ne siess. Ilyen példákat még én sem tudok gyorsan megoldani.

Térjünk ki és nézzük meg a második kérdést: Lehet-e építeni négydimenziós, ötdimenziós stb. tér a szó tág értelmében? Azaz mondjunk példát egy ilyen térre az életünkben.

Helyes válasz: Igen. Ráadásul nagyon könnyű. Például hozzáadunk egy negyedik dimenziót a hosszúság/szélesség/magasság - időhöz. A népszerű négydimenziós téridő és a jól ismert relativitáselmélet, amelyet Einstein szépen ellopott Lobacsevszkijtől, Poincarétól, Lorentztől és Minkowskitól. Azt sem tudja mindenki. Miért kapta Einstein a Nobel-díjat? Szörnyű botrány tört ki a tudományos világban, és a Nobel-bizottság hozzávetőlegesen a következőképpen fogalmazta meg a plágiumíró érdemét: "A fizika fejlődéséhez való általános hozzájárulásáért." Szóval ennyi. A C diák Einstein márkája tiszta promóció és PR.

Könnyen hozzáadható egy ötödik dimenzió a vizsgált négydimenziós térhez, például: légköri nyomás. És így tovább, így tovább, így tovább, ahány méretet megad a modellben – ennyi lesz. A szó legtágabb értelmében többdimenziós térben élünk.

Nézzünk még néhány tipikus feladatot:

5. példa

Keresse meg az elsőrendű parciális deriváltokat egy pontban

Megoldás: Az ebben a megfogalmazásban szereplő feladat gyakran megtalálható a gyakorlatban, és a következő két tevékenységből áll:
– elsőrendű parciális származékokat kell találnia;
– a ponton ki kell számítani az elsőrendű parciális deriváltak értékét.

Mi döntünk:

(1) Előttünk egy összetett függvény, és első lépésben vegyük az arctangens deriváltját. Ebben az esetben tulajdonképpen nyugodtan használjuk a táblázatos formulát az arctangens származékára. Által összetett függvények differenciálási szabálya az eredményt meg kell szorozni a belső függvény deriváltjával (beágyazás): .

(2) A linearitás tulajdonságait használjuk.

(3) És vesszük a fennmaradó deriváltokat, nem felejtve el, hogy állandók.

A hozzárendelési feltételek szerint meg kell találni a pontban talált parciális derivált értékét. Helyettesítsük be a pont koordinátáit a talált deriváltba:

Ennek a feladatnak az az előnye, hogy más parciális származékokat is nagyon hasonló séma szerint találunk:

Mint látható, a megoldássablon szinte ugyanaz.

Számítsuk ki a talált parciális derivált értékét a pontban:

És végül a „zet” származéka:

Kész. A megoldást másképp is meg lehetett volna fogalmazni: először keresse meg mindhárom parciális deriváltot, majd számítsa ki az értéküket a ponton. De számomra úgy tűnik, hogy a fenti módszer kényelmesebb - csak keresse meg a részleges származékot, és azonnal, a pénztárgép elhagyása nélkül számítsa ki az értékét a ponton.

Érdekes megjegyezni, hogy geometriailag egy pont egy nagyon valós pont a háromdimenziós terünkben. A függvény és a származékok értékei már a negyedik dimenzió, és senki sem tudja, hol helyezkedik el geometriailag. Ahogy mondani szokták, senki nem mászkált az Univerzumban mérőszalaggal és nem ellenőrizte.

Mivel a filozófiai téma ismét felfutóban van, nézzük meg a harmadik kérdést: Lehet-e utazni a múltba?

Helyes válasz: Nem. A múltba utazás ellentmond a termodinamika második főtételének a fizikai folyamatok visszafordíthatatlanságáról (entrópia). Szóval kérlek, ne merülj medencébe víz nélkül, az eseményt csak videóban lehet visszajátszani =) Nem hiába találta ki a népi bölcsesség ezzel ellentétes hétköznapi törvényt: „Kétszer mérj, egyszer vágj.” Bár valójában az a szomorú, hogy az idő egyirányú és visszafordíthatatlan, holnap egyikünk sem lesz fiatalabb. És a különféle tudományos-fantasztikus filmek, mint a „The Terminator” tudományos szempontból teljes nonszensz. Filozófiai szempontból is abszurd, amikor a Hatás a múltba visszatérve elpusztíthatja saját Okát. .

Érdekesebb a „zet” származék, bár még mindig majdnem ugyanaz:

(1) Kivesszük az állandókat a derivált előjeléből.

(2) Itt ismét két függvény szorzata, amelyek mindegyike attól függ az „élő” „zet” változóból. Elvileg használhatja a hányados származékának képletét, de könnyebb a másik irányba menni - keresse meg a szorzat származékát.

(3) A derivált táblázatos derivált. A második tag egy komplex függvény már ismert deriváltját tartalmazza.

9. példa

Keresse meg három változó függvényének elsőrendű parciális deriváltjait

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Gondolja át, hogyan találhatja meg racionálisabban ezt vagy azt a részleges származékot. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Mielőtt rátérnénk a lecke utolsó példáira, és megnéznénk másodrendű parciális származékok három változó függvényei, ismét felvidítok mindenkit a negyedik kérdéssel:

Lehetséges a jövőbe utazni?

Helyes válasz: A tudomány ezt nem tiltja. Paradox módon nincs olyan matematikai, fizikai, kémiai vagy egyéb természettudományi törvény, amely tiltaná az utazást a jövőbe! Hülyeségnek tűnik? De az életben szinte mindenkinek volt (és semmilyen logikus érvvel nem alátámasztott) előérzete, hogy ez vagy az az esemény megtörténik. És megtörtént! Honnan származott az információ? A jövőből? Így aztán a jövőbe utazásról szóló tudományos-fantasztikus filmek, mellesleg mindenféle jósok és médiumok jóslatai nem nevezhetők ekkora hülyeségnek. A tudomány legalábbis ezt nem cáfolta. Minden lehetséges! Szóval iskolás koromban hihetetlennek tűntek számomra a filmekből készült CD-k és lapos monitorok.

Az „Ivan Vasziljevics megváltoztatja a hivatását” című híres vígjáték félig fikció (legfeljebb). Egyetlen tudományos törvény sem tiltotta, hogy Rettegett Iván a jövőben legyen, de lehetetlen, hogy két paprika a múltba kerüljön, és királyi feladatokat látjon el.