Függvény származéka. Részletes elmélet példákkal. A derivált megoldása bábukra: definíció, keresés, megoldási példák Képlet egy függvény deriváltjához egy pontban

A matematikai fizikai feladatok vagy példák megoldása teljesen lehetetlen a derivált és a számítási módszerek ismerete nélkül. A derivált a matematikai elemzés egyik legfontosabb fogalma. Úgy döntöttünk, hogy a mai cikket ennek az alapvető témának szenteljük. Mi a derivált, mi a fizikai és geometriai jelentése, hogyan kell kiszámítani egy függvény deriváltját? Mindezek a kérdések összevonhatók egybe: hogyan lehet megérteni a származékot?

A származék geometriai és fizikai jelentése

Legyen függvény f(x) , meghatározott intervallumban (a, b) . Az x és x0 pont ehhez az intervallumhoz tartozik. Ha x változik, maga a függvény is megváltozik. Az érv megváltoztatása - az értékek különbsége x-x0 . Ez a különbség így van írva delta x és argumentumnövekménynek nevezzük. Egy függvény változása vagy növekménye a függvény értékeinek különbsége két ponton. A származék definíciója:

Egy függvény deriváltja egy pontban a függvény adott pontban való növekménye és az argumentum növekménye arányának határa, amikor az utóbbi nullára hajlik.

Különben így írható:

Mi értelme ilyen határt találni? És íme, mi ez:

egy függvény deriváltja egy pontban egyenlő az OX tengely és a függvény grafikonjának érintője közötti szög érintőjével egy adott pontban.

A származék fizikai jelentése: az út időbeli deriváltja egyenlő az egyenes vonalú mozgás sebességével.

Valójában az iskolai idők óta mindenki tudja, hogy a sebesség egy adott út x=f(t) és az idő t . Átlagsebesség egy bizonyos időszak alatt:

Megtudni a mozgás sebességét egy adott pillanatban t0 ki kell számolni a határértéket:

Első szabály: állítson be egy állandót

A konstans kivehető a derivált előjelből. Ráadásul ezt meg is kell tenni. A matematikai példák megoldása során vegye ezt szabálynak - Ha le tud egyszerűsíteni egy kifejezést, mindenképpen egyszerűsítse .

Példa. Számítsuk ki a deriváltot:

Második szabály: a függvények összegének deriváltja

Két függvény összegének deriváltja egyenlő ezen függvények deriváltjainak összegével. Ugyanez igaz a függvények különbségének deriváltjára is.

Nem bizonyítjuk ezt a tételt, inkább egy gyakorlati példát veszünk figyelembe.

Keresse meg a függvény deriváltját:

Harmadik szabály: a függvények szorzatának deriváltja

Két differenciálható függvény szorzatának deriváltja a következő képlettel számítható ki:

Példa: keresse meg egy függvény deriváltját:

Megoldás:

Itt fontos szót ejteni az összetett függvények deriváltjainak kiszámításáról. Egy komplex függvény deriváltja egyenlő ennek a függvénynek a deriváltjának a szorzatával a köztes argumentumhoz és a köztes argumentum deriváltjának a független változóhoz képest.

A fenti példában a következő kifejezéssel találkozunk:

Ebben az esetben a köztes argumentum az ötödik hatvány nyolcszorosa. Egy ilyen kifejezés deriváltjának kiszámításához először kiszámítjuk a külső függvény deriváltját a köztes argumentumhoz képest, majd megszorozzuk magának a köztes argumentumnak a független változóhoz viszonyított deriváltjával.

Negyedik szabály: két függvény hányadosának deriváltja

Képlet két függvény hányadosának deriváltjának meghatározására:

Megpróbáltunk a nulláról beszélni a próbababák származékairól. Ez a téma nem olyan egyszerű, mint amilyennek látszik, ezért figyelem: a példákban gyakran vannak buktatók, ezért legyen óvatos a származékok kiszámításakor.

Ezzel és más témával kapcsolatos kérdéseivel fordulhat a diákszolgálathoz. Rövid időn belül segítünk megoldani a legnehezebb tesztet és megérteni a feladatokat, még akkor is, ha még soha nem végzett derivált számításokat.

A függvény deriváltja az egyik nehéz téma az iskolai tantervben. Nem minden diplomás fog válaszolni arra a kérdésre, hogy mi a származék.

Ez a cikk egyszerűen és világosan elmagyarázza, mi az a származékos termék, és miért van rá szükség.. Az előadásban most nem törekszünk matematikai szigorra. A legfontosabb, hogy megértsük a jelentését.

Emlékezzünk a definícióra:

A derivált egy függvény változási sebessége.

Az ábrán három függvény grafikonja látható. Szerinted melyik nő gyorsabban?

A válasz nyilvánvaló - a harmadik. Ennek a legnagyobb a változási rátája, vagyis a legnagyobb származéka.

Íme egy másik példa.

Kostya, Grisha és Matvey egyszerre kapott munkát. Nézzük meg, hogyan változott a bevételük az év során:

A grafikon mindent egyszerre mutat, nem? Kostya bevétele hat hónap alatt több mint kétszeresére nőtt. És Grisha bevétele is nőtt, de csak egy kicsit. És Matvey jövedelme nullára csökkent. A kiindulási feltételek ugyanazok, de a függvény változási sebessége, azaz derivált, - különböző. Ami Matveyt illeti, a származtatott jövedelme általában negatív.

Intuitív módon könnyen megbecsülhetjük egy függvény változási sebességét. De hogyan tegyük ezt?

Valójában azt nézzük, hogy egy függvény grafikonja milyen meredeken megy felfelé (vagy lefelé). Más szóval, milyen gyorsan változik y, amikor x változik? Nyilvánvaló, hogy ugyanaz a függvény különböző pontokon eltérő derivált értékekkel rendelkezhet - vagyis gyorsabban vagy lassabban változhat.

Egy függvény deriváltját jelöljük.

Megmutatjuk, hogyan találhatja meg grafikon segítségével.

Valamelyik függvény grafikonja készült. Vegyünk egy pontot, amelyen abszcissza van. Rajzoljunk egy érintőt a függvény grafikonjára ezen a ponton. Meg akarjuk becsülni, milyen meredeken emelkedik a függvénygrafikon. Ennek kényelmes értéke az az érintőszög érintője.

Egy függvény deriváltja egy pontban egyenlő a függvény grafikonjára ebben a pontban húzott érintőszög érintőjével.

Vegye figyelembe, hogy az érintő dőlésszögeként az érintő és a tengely pozitív iránya közötti szöget vesszük.

Néha a tanulók megkérdezik, hogy mi az érintője egy függvény grafikonjának. Ez egy egyenes, amelynek egyetlen közös pontja van az ebben a szakaszban lévő grafikonnal, és ahogy az ábrán is látható. Úgy néz ki, mint egy kör érintője.

Találjuk meg. Emlékezzünk arra, hogy egy derékszögű háromszög hegyesszögének érintője egyenlő az ellenkező oldal és a szomszédos oldal arányával. A háromszögből:

A deriváltot egy gráf segítségével találtuk meg anélkül, hogy a függvény képletét is ismertük volna. Ilyen problémák gyakran találhatók a matematika egységes államvizsgáján a szám alatt.

Van még egy fontos kapcsolat. Emlékezzünk vissza, hogy az egyenest az egyenlet adja meg

Az ebben az egyenletben szereplő mennyiséget ún egy egyenes lejtése. Ez egyenlő az egyenes tengelyhez viszonyított dőlésszögének érintőjével.

.

Ezt értjük

Emlékezzünk erre a képletre. A származék geometriai jelentését fejezi ki.

Egy függvény deriváltja egy pontban egyenlő a függvény grafikonjára az adott pontban húzott érintő meredekségével.

Más szóval, a derivált egyenlő az érintőszög érintőjével.

Már említettük, hogy ugyanannak a függvénynek különböző pontokon különböző deriváltjai lehetnek. Nézzük meg, hogyan kapcsolódik a derivált a függvény viselkedéséhez.

Rajzoljuk meg valamelyik függvény grafikonját. Hagyja, hogy ez a függvény egyes területeken növekedjen, másokon csökkenjen, és eltérő ütemben. És legyen ennek a függvénynek maximum és minimum pontja.

Egy ponton a függvény növekszik. A pontban megrajzolt grafikon érintője hegyesszöget zár be a tengely pozitív irányával. Ez azt jelenti, hogy a pont deriváltja pozitív.

Ezen a ponton a funkciónk csökken. Az érintő ezen a ponton tompaszöget zár be a tengely pozitív irányával. Mivel a tompaszög érintője negatív, a pont deriváltja negatív.

Íme, mi történik:

Ha egy függvény növekszik, a deriváltja pozitív.

Ha csökken, a deriváltja negatív.

Mi fog történni a maximális és minimális pontoknál? Látjuk, hogy a pontokban (maximum pont) és (minimális pont) az érintő vízszintes. Ezért ezekben a pontokban az érintő érintője nulla, és a deriváltja is nulla.

Pont – maximális pont. Ezen a ponton a függvény növekedését csökkenés váltja fel. Következésképpen a derivált előjele a ponton „plusz”-ról „mínuszra” változik.

A ponton - a minimum ponton - a derivált is nulla, de előjele „mínuszról” „pluszra” változik.

Következtetés: a derivált segítségével mindent megtudhatunk egy függvény viselkedéséről, ami érdekel.

Ha a derivált pozitív, akkor a függvény növekszik.

Ha a derivált negatív, akkor a függvény csökken.

A maximális ponton a derivált nulla, és az előjelet „plusz”-ról „mínuszra” változtatja.

A minimum ponton a derivált is nulla, és az előjelet „mínusz”-ról „pluszra” változtatja.

Írjuk le ezeket a következtetéseket táblázat formájában:

	növeli	maximális pont	csökken	minimum pont	növeli
+	0	-	0	+

Tegyünk két apró pontosítást. Az egyikre szüksége lesz a USE problémák megoldásához. Egy másik - az első évben, a függvények és származékok komolyabb vizsgálatával.

Lehetséges, hogy egy függvény deriváltja egy ponton nulla, de a függvénynek ezen a ponton nincs sem maximuma, sem minimuma. Ez az ún :

Egy ponton a gráf érintője vízszintes, a derivált pedig nulla. A pont előtt azonban a függvény nőtt - a pont után pedig tovább növekszik. A származék előjele nem változik - pozitív marad, ahogy volt.

Az is előfordul, hogy a maximum vagy minimum pontján a derivált nem létezik. A grafikonon ez egy éles törésnek felel meg, amikor egy adott pontban nem lehet érintőt rajzolni.

Hogyan találjuk meg a deriváltot, ha a függvényt nem gráf, hanem képlet adja meg? Ebben az esetben érvényes

Jelként kivehető derivált:

(af(x)" =af " (x).

Például:

Algebrai összeg származéka több függvény (konstans számokban véve) egyenlő ezek algebrai összegével származékai:

(f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x))" = f 1 " (x) + f 2 " (x) - f 3 " (x).

Például:

(0,3 x 2 - 2 x + 0,8)" = (0,3 x 2)" - (2 x)" + (0,8)" = 0,6 x - 2 ( derivált utolsó kifejezést egyenlet nulla).

Ha függvény deriváltja g értéke nem nulla, akkor az f/g arány is megvan végső származéka. Ez a tulajdonság a következőképpen írható fel:

.

Hadd funkciókat y = f(x) és y = g(x) van véges származékok x 0 pontban. Akkor funkciókat f ± g és f g is rendelkezik véges származékok in ez pont. Akkor kapjuk:

(f ± g) ′ = f ′ ± g ′,

(f g) ′ = f ′ g + f g ′.

Komplex függvény származéka.

Hadd funkció y = f(x) rendelkezik véges derivált egy pontban x 0, a z = s(y) függvénynek véges deriváltja van az y 0 = f(x 0) pontban.

Akkor összetett funkció z = s (f(x))-nek is véges deriváltja van ezen a ponton. A fentiek a következő formában írhatók fel:

.

Az inverz függvény deriváltja.

Legyen az y = f(x) függvény inverz függvény x = g(y) egyeseken intervallum(a, b) és van egy nem nulla végső származéka ez a függvény az x 0 pontban, amelyhez tartozik definíciós tartomány, azaz x 0 ∈ (a, b).

Akkor inverz függvény Megvan derivált az y 0 pontban = f(x 0):

.

Implicit függvény származéka.

Ha funkció y = f(x) implicit módon adott egyenlet F(x, y(x)) = 0, akkor annak derivált a következő feltételből található:

.

Azt mondják funkció y = f(x) implicit módon van megadva, Ha ő azonosan kielégíti a kapcsolatot:

ahol F(x, y) két argumentum valamilyen függvénye.

Paraméteresen definiált függvény deriváltja.

Ha funkció y = f(x) paraméteresen van megadva a figyelembe vett

Nagyon könnyű megjegyezni.

Nos, ne menjünk messzire, azonnal vegyük figyelembe az inverz függvényt. Melyik függvény az exponenciális függvény inverze? Logaritmus:

Esetünkben az alap a szám:

Egy ilyen logaritmust (vagyis egy bázissal rendelkező logaritmust) „természetesnek” nevezünk, és erre egy speciális jelölést használunk: írunk helyette.

Mivel egyenlő? Természetesen, .

A természetes logaritmus deriváltja is nagyon egyszerű:

Példák:

1. Keresse meg a függvény deriváltját!
2. Mi a függvény deriváltja?

Válaszok: Az exponenciális és a naturális logaritmus derivált szempontból egyedülállóan egyszerű függvények. Az exponenciális és logaritmikus függvények bármely más bázissal eltérő deriválttal fognak rendelkezni, amit később, a differenciálás szabályainak áttekintése után elemezünk.

A megkülönböztetés szabályai

Mi szabályai? Megint egy új kifejezés, megint?!...

Különbségtétel a származék megtalálásának folyamata.

Ez minden. Mi másnak nevezhetjük ezt a folyamatot egy szóval? Nem derivált... A matematikusok a differenciált a függvény azonos növekményének nevezik. Ez a kifejezés a latin differentia - differencia szóból származik. Itt.

Mindezen szabályok származtatása során két függvényt fogunk használni, például, és. Szükségünk lesz képletekre is a növekedésükhöz:

Összesen 5 szabály van.

Az állandót kivesszük a derivált előjelből.

Ha - valamilyen állandó szám (konstans), akkor.

Nyilvánvalóan a különbségre is érvényes ez a szabály: .

Bizonyítsuk be. Legyen, vagy egyszerűbben.

Példák.

Keresse meg a függvények származékait:

1. egy ponton;
2. egy ponton;
3. egy ponton;
4. azon a ponton.

Megoldások:

1. (a derivált minden pontban ugyanaz, mivel lineáris függvény, emlékszel?);

A termék származéka

Itt minden hasonló: vezessünk be egy új függvényt, és keressük meg a növekményét:

Derivált:

Példák:

1. Keresse meg az és függvények deriváltjait;
2. Keresse meg a függvény deriváltját egy pontban.

Megoldások:

Exponenciális függvény deriváltja

Most már elegendő tudása ahhoz, hogy megtanulja, hogyan kell megtalálni bármely exponenciális függvény deriváltját, és nem csak a kitevőket (elfelejtette már, mi az?).

Szóval, hol van néhány szám.

A függvény deriváltját már ismerjük, ezért próbáljuk meg a függvényünket egy új bázisra redukálni:

Ehhez egy egyszerű szabályt fogunk használni: . Akkor:

Nos, sikerült. Most próbálja meg megtalálni a származékot, és ne felejtse el, hogy ez a függvény összetett.

Megtörtént?

Itt ellenőrizd magad:

A képlet nagyon hasonlított egy kitevő deriváltjához: úgy ahogy volt, ugyanaz marad, csak egy tényező jelent meg, ami csak egy szám, de nem változó.

Példák:
Keresse meg a függvények származékait:

Válaszok:

Ez csak egy szám, amit számológép nélkül nem lehet kiszámolni, vagyis nem lehet egyszerűbb formában leírni. Ezért ebben a formában hagyjuk a válaszban.

Vegye figyelembe, hogy itt két függvény hányadosa van, ezért alkalmazzuk a megfelelő differenciálási szabályt:

Ebben a példában két függvény szorzata:

Logaritmikus függvény deriváltja

Itt is hasonló a helyzet: már ismeri a természetes logaritmus deriváltját:

Ezért egy tetszőleges logaritmus más bázisú kereséséhez, például:

Ezt a logaritmust az alapra kell redukálnunk. Hogyan lehet megváltoztatni a logaritmus alapját? Remélem emlékszel erre a képletre:

Csak most írjuk helyette:

A nevező egyszerűen egy állandó (állandó szám, változó nélkül). A származékot nagyon egyszerűen kapjuk meg:

Az exponenciális és logaritmikus függvények származékai szinte soha nem találhatók meg az Egységes Államvizsgában, de ezek ismerete nem lesz felesleges.

Komplex függvény származéka.

Mi az a "komplex függvény"? Nem, ez nem logaritmus és nem arctangens. Ezeket a függvényeket nehéz lehet megérteni (bár ha nehéznek találja a logaritmust, olvassa el a „Logaritmusok” témakört, és minden rendben lesz), de matematikai szempontból a „komplex” szó nem azt jelenti, hogy „nehéz”.

Képzeljen el egy kis futószalagot: két ember ül, és valamilyen tárggyal valamilyen műveletet végez. Például az első egy csokoládét csomagol egy csomagolóanyagba, a második pedig egy szalaggal köti össze. Az eredmény egy összetett tárgy: egy szalaggal becsomagolt és átkötött csokoládé. Egy csokoládé szelet elfogyasztásához fordított sorrendben kell végrehajtania a fordított lépéseket.

Készítsünk egy hasonló matematikai csővezetéket: először megkeressük egy szám koszinuszát, majd négyzetre emeljük a kapott számot. Tehát kapunk egy számot (csokoládé), megkeresem a koszinuszát (csomagolóanyag), majd négyzetre teszed, amit kaptam (szalaggal megkötöd). Mi történt? Funkció. Ez egy példa egy összetett függvényre: amikor az érték meghatározásához az első műveletet közvetlenül a változóval hajtjuk végre, majd egy második műveletet az elsőből eredővel.

Más szavakkal, a komplex függvény olyan függvény, amelynek argumentuma egy másik függvény: .

Példánkra .

Könnyen megtehetjük ugyanezeket a lépéseket fordított sorrendben: először négyzetre tesszük, majd megkeresem a kapott szám koszinuszát: . Könnyű kitalálni, hogy az eredmény szinte mindig más lesz. Az összetett függvények fontos jellemzője: ha megváltozik a műveletek sorrendje, akkor a funkció megváltozik.

Második példa: (ugyanaz). .

Az a művelet, amelyet utoljára hajtunk végre, el lesz nevezve "külső" funkció, és az elsőként végrehajtott művelet - ennek megfelelően "belső" funkció(ezek informális elnevezések, csak az anyag egyszerű nyelvezetű magyarázatára használom).

Próbáld meg eldönteni, hogy melyik funkció külső és melyik belső:

Válaszok: A belső és külső függvények szétválasztása nagyon hasonló a változók megváltoztatásához: például egy függvényben

1. Milyen műveletet hajtunk végre először? Először számoljuk ki a szinust, és csak azután kockázzuk fel. Ez azt jelenti, hogy ez egy belső funkció, de külső.
   Az eredeti funkció pedig az összetételük: .
2. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
3. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
4. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
5. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .

Változókat változtatunk és függvényt kapunk.

Nos, most kibontjuk a csokoládét, és megkeressük a származékát. Az eljárás mindig fordított: először megkeressük a külső függvény deriváltját, majd az eredményt megszorozzuk a belső függvény deriváltjával. Az eredeti példához képest így néz ki:

Egy másik példa:

Tehát végül fogalmazzuk meg a hivatalos szabályt:

Algoritmus egy komplex függvény deriváltjának megtalálására:

Egyszerűnek tűnik, igaz?

Nézzük példákkal:

Megoldások:

1) Belső: ;

Külső: ;

2) Belső: ;

(Csak most ne próbáld megvágni! Semmi sem jön ki a koszinusz alól, emlékszel?)

3) Belső: ;

Külső: ;

Azonnal világos, hogy ez egy háromszintű komplex függvény: elvégre ez már önmagában is komplex funkció, és a gyökeret is kivonjuk belőle, vagyis végrehajtjuk a harmadik műveletet (csomagolóba tesszük a csokoládét és szalaggal az aktatáskában). De nincs okunk félni: ezt a funkciót továbbra is a megszokott sorrendben „pakoljuk ki”: a végétől.

Vagyis először megkülönböztetjük a gyökér, majd a koszinusz, és csak azután a zárójelben lévő kifejezést. És akkor az egészet megszorozzuk.

Ilyen esetekben célszerű a műveleteket számozni. Vagyis képzeljük el, mit tudunk. Milyen sorrendben hajtjuk végre a műveleteket a kifejezés értékének kiszámításához? Nézzünk egy példát:

Minél később hajtják végre a műveletet, annál „külsőbb” lesz a megfelelő funkció. A műveletek sorrendje ugyanaz, mint korábban:

Itt a fészekrakás általában 4 szintű. Határozzuk meg a cselekvés menetét.

1. Radikális kifejezés. .

2. Gyökér. .

3. Szinusz. .

4. Négyzet. .

5. Az egészet összerakva:

DERIVÁLT. RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL

Függvény származéka- a függvény növekményének és az argumentum növekményének aránya az argumentum végtelenül kicsiny növekedéséhez:

Alapvető származékok:

A megkülönböztetés szabályai:

Az állandót kivesszük a derivált előjelből:

Az összeg származéka:

A termék származéka:

A hányados származéka:

Egy összetett függvény származéka:

Algoritmus egy komplex függvény deriváltjának megtalálására:

1. Meghatározzuk a „belső” függvényt, és megkeressük a származékát.
2. Meghatározzuk a „külső” függvényt, és megkeressük a származékát.
3. Az első és a második pont eredményét megszorozzuk.