Decimali. Conversione di un decimale in una frazione comune e viceversa: una regola, esempi Conversione di infinite frazioni decimali periodiche in frazioni comuni

L'algebra e la matematica sono scienze complesse che non si danno facilmente nemmeno a chi vi dedica molto tempo. Possono sorgere problemi con qualsiasi attività. Ad esempio, non tutti sanno come convertire una frazione decimale in una frazione comune.

Caratteristiche della frazione

Per tradurre facilmente un tipo di frazione in un altro, è meglio capire di cosa si tratta. Possono essere chiamati non interi. È costituito da una o più parti dell'unità.

Innanzitutto si distinguono le frazioni ordinarie o cosiddette semplici. Per qualsiasi specie, la regola è quella denominatore non può essere zero. In tal caso, significa che il valore è un numero intero, ovvero non può essere una frazione.

Esistono diversi modi per scrivere un numero del genere. Viene utilizzata una linea orizzontale o una barra, con la seconda opzione che appare in stampa in tre modi diversi. Nei quaderni scolastici, di norma, le frazioni ordinarie sono scritte con una classica linea orizzontale.

Oltre alle frazioni semplici, esistono frazioni miste e composte. I primi differiscono in quanto hanno anche un numero intero scritto all'inizio. Anche il numeratore e il denominatore composti sembrano essere un'altra frazione.

Come si converte un decimale in una frazione comune?

Non è così difficile convertire una frazione decimale in una frazione ordinaria, poiché, nonostante i cambiamenti esterni, l'essenza del numero rimarrà la stessa. La differenza fondamentale è quella i decimali sono scritti usando le virgole, non trattini. Naturalmente, questo non significa che la frazione ½ sarà uguale a 1,2.

La frazione decimale è formata da due componenti. Il primo si trova prima del segno e denota un numero intero. Il secondo, quello dopo, sono i decimi, i centesimi e altri numeri. Il loro nome dipende da quanto sono lontani dalla virgola.

A volte è molto facile trasformare una frazione in un'altra, soprattutto se la parte non intera è decimi, non centesimi o millesimi. L'esempio classico è -0,5. Prima di tutto, dovrebbe essere letto correttamente, quindi risulterà punto zero, cinque decimi. Zero numeri interi non possono essere scritti in alcun modo, ma cinque decimi si trasformano facilmente in 5/10. Non resta che ridurre dividendo per cinque. Il risultato è ½.

Frazione con numero intero

È necessario considerare altri esempi, con maggiore complessità. Vale la pena prendere 2,25. Come prima, per cominciare, è meglio indicare correttamente il nome della frazione. Questa volta sono due interi, venticinque centesimi. A causa del fatto che ci sono due cifre dopo il segno, sono centesimi.

Come convertire un decimale in una frazione comune:

• La parte non intera viene scritta come 25/100.
• Resta da aggiungere due numeri interi. Vengono posti all'inizio, ottenendo così una frazione mista.
• 25/100 possono essere tagliati. Per semplicità, è realistico iniziare dividendo per 5, ma è una buona idea utilizzare subito il numero 25. Il risultato della riduzione è ¼.
• Resta solo da firmare due interi a ¼. Il risultato è 2 ¼.

Infine, vale la pena considerare il processo di lavoro con i millesimi. Prendiamo 4.112 per l'analisi. Anche in questo caso, il lavoro deve iniziare con una lettura corretta. Risulterà quattro interi, centododici millesimi. Senza difficoltà sarà possibile selezionare la prima cifra, 4, e poi sostituirla con centododici millesimi. Sembrano così: 112/100.

Resta solo da tagliare per dare un aspetto migliore. In questo particolare esempio, il comun divisore è sei. Il risultato è una frazione semplice 4 14/125.

Conversione di frazioni in percentuali

Quasi tutte le frazioni possono essere facilmente convertite in percentuali senza troppe difficoltà. Per fare questo, devi capirlo una percentuale è un centesimo. In altre parole, l'1% in una volta può essere facilmente scritto in forma frazionaria: 1/100 o 0,01.

Nel caso di altre opzioni, dovrai passare alle frazioni decimali, cioè quelle scritte con una virgola. Con loro, il compito è risolto in modo molto semplice. Basta moltiplicare la frazione decimale per 100 e otterrai la percentuale desiderata.

• 0,27 * 100% = 27%

Se è necessario tradurre una frazione ordinaria, prima dovrà essere convertita in un decimale.

• Ad esempio, 2/5 equivale a 0,4.
• 0,4 * 100% = 40%.

Se il processo di conversione in percentuali continua a causare difficoltà, se lo desideri, puoi utilizzare vari servizi automatici, che sono piuttosto numerosi su Internet. Inserendo numeratore e denominatore negli appositi campi, sarà facile scoprire quale percentuale risulterà da questa.

In generale, la conversione delle frazioni in percentuali è sempre legata alla moltiplicazione per 100. Per affrontare facilmente questo problema, devi capire come convertire una frazione ordinaria in un decimale, ma, prima, dovresti capire il processo inverso.

Istruzioni video

Abbiamo già detto che le frazioni lo sono ordinario e decimale. Al momento, abbiamo studiato un po' le frazioni ordinarie. Abbiamo imparato che ci sono frazioni regolari e frazioni improprie. Abbiamo anche imparato che le frazioni ordinarie possono essere ridotte, aggiunte, sottratte, moltiplicate e divise. E abbiamo anche appreso che esistono i cosiddetti numeri misti, che consistono in un intero e una parte frazionaria.

Non abbiamo ancora studiato a fondo le frazioni ordinarie. Ci sono molte sottigliezze e dettagli che dovrebbero essere discussi, ma oggi inizieremo a studiare decimale frazioni, poiché molto spesso le frazioni ordinarie e decimali devono essere combinate. Cioè, quando risolvi i problemi, devi lavorare con entrambi i tipi di frazioni.

Questa lezione può sembrare complicata e incomprensibile. È abbastanza normale. Questo tipo di lezioni richiede che siano studiate e non scremate.

Contenuto della lezione

Esprimere quantità in forma frazionaria

A volte è conveniente mostrare qualcosa in forma frazionaria. Ad esempio, un decimo di decimetro si scrive così:

Questa espressione significa che un decimetro è stato diviso in dieci parti uguali e una parte è stata presa da queste dieci parti. E una parte su dieci in questo caso è uguale a un centimetro:

Considera il seguente esempio. Lascia che sia richiesto di mostrare 6 cm e altri 3 mm in centimetri in forma frazionata.

Quindi, abbiamo già 6 centimetri interi:

Ma mancano ancora 3 millimetri. Come mostrare questi 3 millimetri, mentre in centimetri? Le frazioni vengono in soccorso. Un centimetro è dieci millimetri. Tre millimetri sono tre parti su dieci. E tre parti su dieci si scrivono come cm

L'espressione cm significa che un centimetro è stato diviso in dieci parti uguali e tre parti sono state prese da queste dieci parti.

Di conseguenza, abbiamo sei centimetri interi e tre decimi di centimetro:

Il numero 6 mostra il numero di centimetri interi e la frazione mostra il numero di quelli frazionari. Questa frazione viene letta come "sei virgola e tre decimi di centimetro" .

Le frazioni, al denominatore di cui ci sono i numeri 10, 100, 1000, possono essere scritte senza denominatore. Scrivi prima la parte intera e poi il numeratore della parte frazionaria. La parte intera è separata dal numeratore della parte frazionaria da una virgola.

Ad esempio, scriviamo senza denominatore. Per prima cosa scrivi l'intera parte. L'intera parte è 6

L'intera parte è registrata. Immediatamente dopo aver scritto l'intera parte, metti una virgola:

E ora scriviamo il numeratore della parte frazionaria. In un numero misto, il numeratore della parte frazionaria è il numero 3. Scriviamo i tre dopo la virgola:

Viene chiamato qualsiasi numero rappresentato in questo modulo decimale.

Pertanto, puoi mostrare 6 cm e altri 3 mm in centimetri usando una frazione decimale:

6,3 cm

Sembrerà così:

In effetti, i decimali sono le stesse frazioni comuni e numeri misti. La particolarità di tali frazioni è che il denominatore della loro parte frazionaria contiene i numeri 10, 100, 1000 o 10000.

Come un numero misto, un decimale ha una parte intera e una parte frazionaria. Ad esempio, in un numero misto, la parte intera è 6 e la parte frazionaria è .

Nella frazione decimale 6.3, la parte intera è il numero 6 e la parte frazionaria è il numeratore della frazione, cioè il numero 3.

Succede anche che le frazioni ordinarie al denominatore di cui i numeri 10, 100, 1000 siano date senza una parte intera. Ad esempio, viene data una frazione senza una parte intera. Per scrivere una tale frazione come decimale, scrivi prima 0, quindi metti una virgola e annota il numeratore della parte frazionaria. Una frazione senza denominatore si scriverebbe così:

Si legge come "zero virgola cinque decimi".

Converti numeri misti in decimali

Quando scriviamo numeri misti senza denominatore, li convertiamo in decimali. Quando si convertono frazioni ordinarie in frazioni decimali, ci sono alcune cose che devi sapere, di cui parleremo ora.

Dopo aver scritto la parte intera, è imperativo contare il numero di zeri al denominatore della parte frazionaria, poiché il numero di zeri nella parte frazionaria e il numero di cifre dopo il punto decimale nella frazione decimale devono essere gli stessi . Cosa significa? Considera il seguente esempio:

Per prima cosa scriviamo l'intera parte e mettiamo una virgola:

E potresti scrivere subito il numeratore della parte frazionaria e la frazione decimale è pronta, ma devi assolutamente contare quanti zeri sono contenuti nel denominatore della parte frazionaria.

Quindi, contiamo il numero di zeri nella parte frazionaria del numero misto. Vediamo che c'è uno zero al denominatore della parte frazionaria. Quindi nella frazione decimale dopo la virgola ci sarà una cifra e questa cifra sarà il numeratore della parte frazionaria del numero misto, cioè il numero 2

Pertanto, il numero misto, quando tradotto in una frazione decimale, diventa 3,2. Questo decimale si legge in questo modo:

"Tre due decimi interi"

"Dieci" perché la parte frazionaria del numero misto contiene il numero 10.

Esempio 2 Converti il ​​numero misto in decimale.

Scriviamo l'intera parte e mettiamo una virgola:

E potresti scrivere subito il numeratore della parte frazionaria e ottenere la frazione decimale 5.3, ma la regola dice che dopo la virgola ci dovrebbero essere tante cifre quanti sono gli zeri nel denominatore della parte frazionaria del numero misto. E vediamo che ci sono due zeri nel denominatore della parte frazionaria. Quindi nella nostra frazione decimale dopo il punto decimale dovrebbero esserci due cifre, non una.

In questi casi occorre modificare leggermente il numeratore della parte frazionaria: aggiungere uno zero prima del numeratore, cioè prima del numero 3

Ora possiamo finire il lavoro. Scriviamo il numeratore della parte frazionaria dopo la virgola:

5,03

La frazione decimale 5.03 si legge così:

"Cinque virgola tre centesimi"

"centesimi" perché il denominatore della parte frazionaria del numero misto contiene il numero 100.

Esempio 3 Converti il ​​numero misto in decimale.

Dagli esempi precedenti, abbiamo appreso che per convertire correttamente un numero misto in decimale, il numero di cifre nel numeratore della parte frazionaria e il numero di zeri nel denominatore della parte frazionaria devono essere gli stessi.

Prima di convertire un numero misto in una frazione decimale, la sua parte frazionaria deve essere leggermente modificata, ovvero assicurarsi che il numero di cifre nel numeratore della parte frazionaria e il numero di zeri nel denominatore della parte frazionaria siano il stesso.

Prima di tutto, osserviamo il numero di zeri al denominatore della parte frazionaria. Vediamo che ci sono tre zeri:

Il nostro compito è organizzare tre cifre nel numeratore della parte frazionaria. Abbiamo già una cifra: questo è il numero 2. Resta da aggiungere altre due cifre. Saranno due zeri. Sommiamoli prima del numero 2. Di conseguenza, il numero di zeri al denominatore e il numero di cifre al numeratore diventeranno lo stesso:

Ora possiamo trasformare questo numero misto in un decimale. Scriviamo prima l'intera parte e mettiamo una virgola:

e scrivi subito il numeratore della parte frazionaria

3,002

Vediamo che il numero di cifre dopo il punto decimale e il numero di zeri al denominatore della parte frazionaria del numero misto sono gli stessi.

Il decimale 3.002 si legge così:

"Tre interi, due millesimi"

"Migliaia" perché il denominatore della parte frazionaria del numero misto contiene il numero 1000.

Conversione di frazioni comuni in decimali

Le frazioni ordinarie, in cui il denominatore è 10, 100, 1000 o 10000, possono anche essere convertite in frazioni decimali. Poiché una frazione ordinaria non ha una parte intera, scrivi prima 0, poi metti una virgola e scrivi il numeratore della parte frazionaria.

Anche qui il numero di zeri al denominatore e il numero di cifre al numeratore devono essere gli stessi. Pertanto, dovresti stare attento.

Esempio 1

Manca la parte intera, quindi prima scriviamo 0 e mettiamo una virgola:

Ora guarda il numero di zeri al denominatore. Vediamo che c'è uno zero. E il numeratore ha una cifra. Quindi puoi tranquillamente continuare la frazione decimale scrivendo il numero 5 dopo il punto decimale

Nella frazione decimale risultante 0,5, il numero di cifre dopo la virgola decimale e il numero di zeri nel denominatore della frazione sono gli stessi. Quindi la frazione è corretta.

La frazione decimale 0,5 si legge così:

"Punto zero, cinque decimi"

Esempio 2 Converti la frazione comune in decimale.

Manca tutta la parte. Scriviamo prima 0 e mettiamo una virgola:

Ora guarda il numero di zeri al denominatore. Vediamo che ci sono due zeri. E il numeratore ha solo una cifra. Per rendere uguali il numero di cifre e il numero di zeri, aggiungi uno zero al numeratore prima del numero 2. Quindi la frazione assumerà la forma. Ora il numero di zeri al denominatore e il numero di cifre al numeratore sono gli stessi. Quindi puoi continuare il decimale:

0,02

Nella frazione decimale risultante 0,02, il numero di cifre dopo la virgola decimale e il numero di zeri nel denominatore della frazione sono gli stessi. Quindi la frazione è corretta.

La frazione decimale 0,02 si legge così:

"Punto zero, due centesimi."

Esempio 3 Converti la frazione comune in decimale.

Scriviamo 0 e mettiamo una virgola:

Ora contiamo il numero di zeri al denominatore della frazione. Vediamo che ci sono cinque zeri e c'è solo una cifra nel numeratore. Per rendere uguale il numero di zeri al denominatore e il numero di cifre al numeratore, devi aggiungere quattro zeri al numeratore prima del numero 5:

Ora puoi continuare il decimale. Scriviamo il numeratore della frazione dopo il punto decimale

0,00005

Nella frazione decimale risultante 0,00005, il numero di cifre dopo la virgola decimale e il numero di zeri nel denominatore della frazione sono gli stessi. Quindi la frazione è corretta.

La frazione decimale 0.00005 si legge così:

"Punto zero, cinquecentomillesimi."

Converti le frazioni improprie in decimali

Una frazione impropria è una frazione il cui numeratore è maggiore del denominatore.

Esistono frazioni improprie in cui il denominatore contiene i numeri 10, 100, 1000 o 10000. Tali frazioni possono essere convertite in decimali. Ma prima di convertire in una frazione decimale, tali frazioni devono avere una parte intera.

Esempio 1 Converti la frazione impropria in decimale.

La frazione non è corretta. Per convertire tale frazione in decimale, devi prima selezionare la sua parte intera. Ricordiamo come selezionare l'intera parte delle frazioni improprie. Se te ne sei dimenticato, ti consigliamo di tornarci e studiarlo a fondo.

Quindi, selezioniamo la parte intera nella frazione impropria. Ricordiamo che una frazione significa divisione - in questo caso, dividendo il numero 112 per il numero 10. La divisione deve essere eseguita con un resto:

Diamo un'occhiata a questa immagine e assemblare un nuovo numero misto, come un set di costruzioni per bambini. Il quoziente 11 sarà la parte intera, il resto 2 sarà il numeratore della parte frazionaria, il divisore 10 sarà il denominatore della parte frazionaria:

Abbiamo un numero misto. Convertiamolo in un decimale. E sappiamo già come tradurre tali numeri in frazioni decimali. Per prima cosa scriviamo l'intera parte e mettiamo una virgola:

Ora contiamo il numero di zeri al denominatore della parte frazionaria. Vediamo che c'è uno zero. E il numeratore della parte frazionaria ha una cifra. Ciò significa che il numero di zeri al denominatore della parte frazionaria e il numero di cifre al numeratore della parte frazionaria sono gli stessi. Questo ci dà l'opportunità di annotare immediatamente il numeratore della parte frazionaria dopo il punto decimale:

Ciò significa che una frazione impropria, quando convertita in decimale, diventa 11.2

Il decimale 11.2 recita così:

"Undici interi, due decimi."

Esempio 2 Converti la frazione impropria in decimale.

Questa è una frazione impropria perché il numeratore è maggiore del denominatore. Ma può essere convertito in una frazione decimale, poiché il denominatore contiene il numero 100.

Per prima cosa selezioniamo la parte intera di questa frazione. Per fare ciò, dividi l'angolo 450 per 100:

Raccogliamo un nuovo numero misto - otteniamo . Ora convertiamolo in un decimale. Scriviamo l'intera parte e mettiamo una virgola:

Contiamo ora il numero di zeri al denominatore della parte frazionaria e il numero di cifre al numeratore della parte frazionaria. Vediamo che il numero di zeri al denominatore e il numero di cifre al numeratore sono gli stessi. Questo ci dà l'opportunità di scrivere immediatamente il numeratore della parte frazionaria dopo il punto decimale:

4,50

Quindi una frazione impropria, quando convertita in decimale, diventa 4,50

Quando si risolvono i problemi, se ci sono zeri alla fine della frazione decimale, possono essere scartati. Lasciamo cadere lo zero nella nostra risposta. Quindi otteniamo 4,5

Questa è una delle caratteristiche interessanti dei decimali. Sta nel fatto che gli zeri che stanno alla fine della frazione non danno peso a questa frazione. In altre parole, i decimali 4.50 e 4.5 sono uguali e puoi mettere un segno di uguale tra di loro:

4,50 = 4,5

La domanda sorge « perché sta succedendo?» Dopotutto, 4,50 e 4,5 sembrano frazioni diverse. L'intero segreto sta nella proprietà di base della frazione, che abbiamo studiato in precedenza. Cercheremo di dimostrare perché le frazioni decimali 4.50 e 4.5 sono uguali, ma dopo aver studiato l'argomento successivo, che si chiama "convertire una frazione decimale in un numero misto".

Conversione da decimale a numero misto

Qualsiasi frazione decimale può essere riconvertita in un numero misto. Per fare ciò, è sufficiente essere in grado di leggere le frazioni decimali.

Ad esempio, convertiamo 6,3 in un numero misto. 6.3 è sei punti interi e tre decimi. Scriviamo prima sei numeri interi:

e i prossimi tre decimi:

Esempio 2 Converti il ​​decimale 3.002 in un numero misto

3.002 è tre numeri interi e due millesimi. Scrivi prima tre numeri interi.

Numeri decimali come 0,2; 1.05; 3.017 ecc. come sono ascoltati, così sono scritti. Zero virgola due, otteniamo una frazione. Cinque centesimi interi, otteniamo una frazione. Tre interi diciassette millesimi, otteniamo una frazione. Le cifre prima del punto decimale in un numero decimale sono la parte intera della frazione. Il numero dopo la virgola decimale è il numeratore della futura frazione. Se c'è un numero a una cifra dopo il punto decimale, il denominatore sarà 10, se a due cifre - 100, a tre cifre - 1000, ecc. Alcune delle frazioni risultanti possono essere ridotte. Nei nostri esempi

Conversione di una frazione in un numero decimale

Questo è il contrario della precedente trasformazione. Che cos'è una frazione decimale? Il suo denominatore è sempre 10, o 100, o 1000, o 10.000, e così via. Se la tua solita frazione ha un tale denominatore, non c'è problema. Ad esempio, o

Se una frazione, per esempio . In questo caso, devi usare la proprietà di base della frazione e convertire il denominatore in 10 o 100, o 1000 ... Nel nostro esempio, se moltiplichiamo numeratore e denominatore per 4, otteniamo una frazione che può essere scritta come numero decimale 0.12.

Alcune frazioni sono più facili da dividere che convertire il denominatore. Per esempio,

Alcune frazioni non possono essere convertite in numeri decimali!
Per esempio,

Conversione di una frazione mista in un improprio

Una frazione mista, come , viene facilmente convertita in una frazione impropria. Per fare ciò, devi moltiplicare la parte intera per il denominatore (in basso) e aggiungerla al numeratore (in alto), lasciando invariato il denominatore (in basso). Questo è

Quando si converte una frazione mista in una impropria, è possibile ricordare che è possibile utilizzare l'aggiunta di frazioni

Conversione di una frazione impropria in una mista (evidenziando l'intera parte)

Una frazione impropria può essere convertita in frazione mista evidenziando l'intera parte. Considera un esempio, . Determina quanti numeri interi per "3" rientrano in "23". Oppure dividiamo 23 per 3 sulla calcolatrice, il numero intero fino alla virgola decimale è quello desiderato. Questo è "7". Successivamente, determiniamo il numeratore della frazione futura: moltiplichiamo il "7" risultante per il denominatore "3" e sottraiamo il risultato dal numeratore "23". Come troveremmo l'eccesso che rimane dal numeratore "23", se togliamo il numero massimo di "3". Il denominatore rimane invariato. Tutto è fatto, scrivi il risultato

Un gran numero di studenti, e non solo, si stanno chiedendo come convertire una frazione in un numero. Per fare ciò, ci sono diversi modi abbastanza semplici e comprensibili. La scelta di un metodo particolare dipende dalle preferenze del decisore.

Prima di tutto, devi sapere come si scrivono le frazioni. E si scrivono così:

1. Ordinario. Si scrive con numeratore e denominatore attraverso un obliquo o una colonna (1/2).
2. Decimale. È scritto separato da virgole (1.0, 2.5 e così via).

Prima di procedere con la soluzione, è necessario sapere cos'è una frazione impropria, perché si verifica abbastanza spesso. Ha un numeratore maggiore del denominatore, ad esempio 15/6. Una frazione impropria può essere risolta anche in questi modi, senza alcuno sforzo e tempo.

Un numero misto è quando il risultato è un numero intero e una parte frazionaria, ad esempio 52/3.

Qualsiasi numero naturale può essere scritto come una frazione con denominatori naturali completamente diversi, ad esempio: 1= 2/2=3/3 = ecc.

Puoi anche tradurre usando una calcolatrice, ma non tutti hanno tale funzione. Esiste uno speciale calcolatore di ingegneria in cui esiste una tale funzione, ma non è sempre possibile utilizzarla, soprattutto a scuola. Pertanto, è meglio capire questo argomento.

Il primo passo è prestare attenzione a quale tipo di frazione. Se può essere facilmente moltiplicato fino a 10 per gli stessi valori del numeratore, puoi utilizzare il primo metodo. Ad esempio: un normale ½ viene moltiplicato al numeratore e al denominatore per 5 e ottieni 5/10, che può essere scritto come 0,5.

Questa regola si basa sul fatto che il decimale ha sempre un valore arrotondato al denominatore, ad esempio 10.100.1000 e così via.

Ne consegue che se moltiplichi numeratore e denominatore, devi ottenere esattamente questo valore al denominatore come risultato della moltiplicazione, indipendentemente da ciò che risulta nel numeratore.

Vale la pena ricordare che alcune frazioni non sono traducibili, per questo è necessario verificarlo prima di iniziare la soluzione.

Ad esempio: 1.3333, dove il numero 3 viene ripetuto all'infinito e nemmeno la calcolatrice se ne libererà. La soluzione a un tale problema può essere solo l'arrotondamento in modo da ottenere un numero intero, se possibile. Se ciò non è possibile, è necessario tornare all'inizio dell'esempio e verificare la correttezza della soluzione al problema, forse è stato commesso un errore.

Figura 1-3. Traduzione di frazioni per moltiplicazione.

Per consolidare le informazioni descritte, considerare il seguente esempio di traduzione:

1. Ad esempio, devi convertire 6/20 in decimale. Prima di tutto, dovrebbe essere verificato, come mostrato in Figura 1.
2. Solo dopo esserti convinto di poter scomporre, come in questo caso in 2 e 5, devi procedere alla traduzione stessa.
3. L'opzione più semplice sarebbe moltiplicare il denominatore, ottenendo il risultato 100 è 5, poiché 20x5=100.
4. Seguendo l'esempio in figura 2, il risultato è 0,3.

Puoi correggere il risultato e guardare di nuovo tutto secondo la Figura 3. Per comprendere appieno l'argomento e non ricorrere più allo studio di questo materiale. Questa conoscenza aiuterà non solo il bambino, ma anche l'adulto.

Traduzione per divisione

La seconda opzione per tradurre le frazioni è un po' più complicata, ma più popolare. Questo metodo è utilizzato principalmente nelle scuole dagli insegnanti per la spiegazione. In generale, è molto più facile spiegare e capire più velocemente.

Vale la pena ricordare che per la corretta conversione di una frazione semplice è necessario dividere il suo numeratore per il denominatore. Dopotutto, se ci pensi, allora la decisione è il processo di divisione.

Per comprendere questa semplice regola, considera la seguente soluzione di esempio:

1. Prendiamo 78/200, che deve essere convertito in decimale. Per fare ciò, dividi 78 per 200, cioè il numeratore per il denominatore.
2. Ma prima di iniziare, vale la pena controllare, come mostrato nella Figura 4.
3. Dopo esserti convinto che può essere risolto, dovresti iniziare il processo. Per fare ciò, vale la pena dividere il numeratore per il denominatore in una colonna o in un angolo, come mostrato nella Figura 5. Nella scuola elementare viene insegnata tale divisione e non dovrebbero esserci difficoltà con questo.

La figura 6 mostra esempi degli esempi più comuni, possono essere semplicemente ricordati per non perdere tempo con una soluzione se necessario. Dopotutto, a scuola, per ogni controllo o lavoro indipendente, viene concesso poco tempo per risolvere, quindi non dovresti spenderlo in qualcosa che puoi imparare e semplicemente ricordare.

Trasferimento di interessi

Anche convertire le percentuali in decimali è abbastanza semplice. Questo viene insegnato in 5a elementare e in alcune scuole anche prima. Ma se tuo figlio non ha capito questo argomento in una lezione di matematica, puoi spiegarglielo di nuovo chiaramente. Per prima cosa devi imparare la definizione di cosa sia una percentuale.

Una percentuale è un centesimo di un numero, in altre parole, assolutamente arbitraria. Ad esempio, da 100 sarà 1 e così via.

La figura 7 mostra un esempio illustrativo di trasferimento di interessi.

Per convertire una percentuale, devi solo rimuovere il segno% e quindi dividerlo per 100.

Un altro esempio è mostrato nella Figura 8.

Se devi eseguire la "conversione" inversa, devi fare tutto esattamente il contrario. In altre parole, il numero deve essere moltiplicato per cento e quindi assegnato un segno di percentuale.

E per convertire il solito in percentuali, puoi anche usare questo esempio. Solo inizialmente la frazione dovrebbe essere convertita in un numero e solo successivamente in una percentuale.

Sulla base di quanto sopra, puoi facilmente comprendere il principio della traduzione. Usando questi metodi, puoi spiegare l'argomento al bambino se non lo capiva o non era presente alla lezione al momento del suo passaggio.

E non ci sarà mai bisogno di assumere un tutor per spiegare al bambino come convertire una frazione in un numero o percentuale.

Succede che per comodità di calcolo è necessario convertire una frazione ordinaria in un decimale e viceversa. Parleremo di come farlo in questo articolo. Analizzeremo le regole per convertire le frazioni ordinarie in decimali e viceversa e forniremo anche esempi.

Considereremo la conversione delle frazioni ordinarie in decimali, aderendo a una certa sequenza. Innanzitutto, considera come le frazioni ordinarie con un denominatore multiplo di 10 vengono convertite in decimali: 10, 100, 1000, ecc. Le frazioni con tali denominatori, infatti, sono una notazione più ingombrante delle frazioni decimali.

Successivamente, vedremo come convertire le frazioni ordinarie in frazioni decimali con qualsiasi, non solo un multiplo di 10, denominatore. Si noti che quando si convertono le frazioni ordinarie in frazioni decimali, si ottengono non solo le frazioni decimali finali, ma anche le frazioni decimali periodiche infinite.

Iniziamo!

Traduzione di frazioni ordinarie con denominatori 10, 100, 1000, ecc. ai decimali

Prima di tutto, diciamo che alcune frazioni necessitano di una preparazione prima di essere convertite in forma decimale. Che cos'è? Prima del numero al numeratore, è necessario sommare tanti zeri in modo che il numero di cifre al numeratore diventi uguale al numero di zeri al denominatore. Ad esempio, per la frazione 3100, il numero 0 deve essere aggiunto una volta a sinistra di 3 nel numeratore. La frazione 610, secondo la regola di cui sopra, non ha bisogno di essere migliorata.

Consideriamo un altro esempio, dopo di che formuliamo una regola che è particolarmente comoda da usare all'inizio, mentre non c'è molta esperienza nella gestione delle frazioni. Quindi, la frazione 1610000 dopo aver aggiunto gli zeri nel numeratore apparirà come 001510000.

Come tradurre una frazione ordinaria con denominatore 10, 100, 1000, ecc. al decimale?

La regola per convertire le frazioni proprie ordinarie in decimali

1. Scrivi 0 e metti una virgola dopo di esso.
2. Annotiamo il numero dal numeratore, che risulta dopo aver aggiunto zeri.

Passiamo ora agli esempi.

Esempio 1. Conversione di frazioni ordinarie in decimali

Converti la frazione comune 39100 in decimale.

Innanzitutto, osserviamo la frazione e vediamo che non sono necessarie azioni preparatorie: il numero di cifre nel numeratore corrisponde al numero di zeri nel denominatore.

Seguendo la regola, annota 0 , metti un punto decimale dopo di esso e annota il numero dal numeratore. Otteniamo la frazione decimale 0, 39.

Analizziamo la soluzione di un altro esempio su questo argomento.

Esempio 2. Conversione di frazioni ordinarie in decimali

Scriviamo la frazione 105 10000000 come frazione decimale.

Il numero di zeri al denominatore è 7 e il numeratore ha solo tre cifre. Aggiungiamo altri 4 zeri davanti al numero nel numeratore:

0000105 10000000

Ora scriviamo 0 , mettiamo un punto decimale dopo di esso e scriviamo il numero dal numeratore. Otteniamo la frazione decimale 0, 0000105.

Le frazioni considerate in tutti gli esempi sono frazioni proprie ordinarie. Ma come convertire una frazione comune impropria in un decimale? Diciamo subito che non c'è bisogno di preparazione con l'aggiunta di zeri per tali frazioni. Formuliamo una regola.

La regola per convertire le frazioni improprie ordinarie in decimali

1. Scriviamo il numero che è nel numeratore.
2. Con un punto decimale, separiamo tante cifre a destra quanti sono gli zeri nel denominatore della frazione ordinaria originale.

Di seguito è riportato un esempio di utilizzo di questa regola.

Esempio 3. Conversione di frazioni ordinarie in decimali

Convertiamo la frazione 56888038009 100000 da un normale irregolare a un decimale.

Per prima cosa, scrivi il numero dal numeratore:

Ora, a destra, separiamo cinque cifre con un punto decimale (il numero di zeri al denominatore è cinque). Noi abbiamo:

La prossima domanda che sorge spontanea è come convertire un numero misto in una frazione decimale se il denominatore della sua parte frazionaria è il numero 10, 100, 1000, ecc. Per convertire in una frazione decimale di tale numero, puoi utilizzare la seguente regola.

Regola per convertire i numeri misti in decimali

1. Se necessario, prepariamo la parte frazionaria del numero.
2. Annotiamo la parte intera del numero originale e mettiamo una virgola dopo di essa.
3. Scriviamo il numero dal numeratore della parte frazionaria insieme agli zeri aggiunti.

Diamo un'occhiata a un esempio.

Esempio 4. Conversione di numeri misti in decimali

Converti il ​​numero misto 23 17 10000 in decimale.

Nella parte frazionaria abbiamo l'espressione 17 10000. Prepariamolo e aggiungiamo altri due zeri a sinistra del numeratore. Otteniamo: 0017 10000 .

Ora scriviamo la parte intera del numero e mettiamo una virgola dopo di essa: 23,. .

Dopo la virgola, scriviamo il numero dal numeratore insieme agli zeri. Otteniamo il risultato:

23 17 10000 = 23 , 0017

Conversione di frazioni ordinarie in frazioni periodiche finite e infinite

Ovviamente puoi convertire in frazioni decimali e frazioni ordinarie con denominatore diverso da 10, 100, 1000, ecc.

Spesso una frazione può essere facilmente ridotta a un nuovo denominatore, e quindi utilizzare la regola delineata nel primo paragrafo di questo articolo. Ad esempio, basta moltiplicare numeratore e denominatore della frazione 25 per 2 e si ottiene la frazione 410, che si riduce facilmente alla forma decimale 0,4.

Tuttavia, questo metodo di conversione di una frazione ordinaria in un decimale non può essere sempre utilizzato. Di seguito considereremo cosa fare se è impossibile applicare il metodo considerato.

Un modo fondamentalmente nuovo di convertire una frazione ordinaria in un decimale è dividere il numeratore per il denominatore per una colonna. Questa operazione è molto simile alla divisione dei numeri naturali per una colonna, ma ha le sue caratteristiche.

Durante la divisione, il numeratore viene rappresentato come una frazione decimale: una virgola viene posizionata a destra dell'ultima cifra del numeratore e vengono aggiunti degli zeri. Nel quoziente risultante, il punto decimale viene posizionato al termine della divisione della parte intera del numeratore. Come funziona esattamente questo metodo diventerà chiaro dopo aver considerato gli esempi.

Esempio 5. Conversione di frazioni ordinarie in decimali

Traduciamo la frazione ordinaria 621 4 in forma decimale.

Rappresentiamo il numero 621 dal numeratore come frazione decimale, aggiungendo alcuni zeri dopo il punto decimale. 621 = 621 00

Ora divideremo la colonna 621, 00 per 4. I primi tre passaggi di divisione saranno gli stessi della divisione dei numeri naturali e otteniamo.

Quando siamo arrivati ​​al punto decimale nel dividendo e il resto è diverso da zero, inseriamo il punto decimale nel quoziente e continuiamo a dividere, senza più prestare attenzione alla virgola nel dividendo.

Di conseguenza, otteniamo la frazione decimale 155 , 25 , che è il risultato dell'inversione della frazione ordinaria 621 4

621 4 = 155 , 25

Considera di risolvere un altro esempio per riparare il materiale.

Esempio 6. Conversione di frazioni ordinarie in decimali

Invertiamo la frazione ordinaria 21 800 .

Per fare ciò, dividi la frazione 21.000 per 800 in una colonna. La divisione della parte intera finirà al primo passaggio, quindi subito dopo mettiamo un punto decimale nel quoziente e continuiamo la divisione, ignorando la virgola nel dividendo fino ad ottenere il resto uguale a zero.

Di conseguenza, abbiamo ottenuto: 21 800 = 0 . 02625 .

Ma cosa succede se, durante la divisione, non otteniamo mai un resto di 0. In questi casi, la divisione può essere continuata indefinitamente. Tuttavia, a partire da un certo passaggio, i residui si ripeteranno periodicamente. Di conseguenza, verranno ripetuti anche i numeri nel quoziente. Ciò significa che una frazione ordinaria viene tradotta in una frazione periodica infinita decimale. Illustriamo quanto detto con un esempio.

Esempio 7. Conversione di frazioni ordinarie in decimali

Trasformiamo la frazione ordinaria 1944 in un decimale. Per fare ciò, eseguiamo la divisione per una colonna.

Vediamo che quando si divide, i resti 8 e 36 si ripetono. Allo stesso tempo, i numeri 1 e 8 vengono ripetuti nel quoziente. Questo è il punto decimale. Durante la scrittura, questi numeri vengono presi tra parentesi.

Pertanto, la frazione ordinaria originale viene tradotta in una frazione decimale periodica infinita.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Prendiamo una frazione ordinaria irriducibile. Che forma assumerà? Quali frazioni ordinarie vengono convertite in decimali finiti e quali in infiniti periodici?

Per prima cosa, diciamo che se una frazione può essere ridotta a uno dei denominatori 10, 100, 1000 .., allora sembrerà una frazione decimale finale. Affinché una frazione possa essere ridotta a uno di questi denominatori, il suo denominatore deve essere un divisore di almeno uno dei numeri 10, 100, 1000, ecc. Dalle regole per la scomposizione dei numeri in fattori primi, segue che il divisore dei numeri 10, 100, 1000, ecc. dovrebbe, quando scomposto in fattori primi, contenere solo i numeri 2 e 5.

Riassumiamo quanto detto:

1. Una frazione ordinaria può essere ridotta alla forma di una frazione decimale finale se il suo denominatore può essere scomposto in fattori primi di 2 e 5.
2. Se, oltre ai numeri 2 e 5, ci sono altri numeri primi nell'espansione del denominatore, la frazione si riduce alla forma di una frazione decimale periodica infinita.

Facciamo un esempio.

Esempio 8. Conversione di frazioni ordinarie in decimali

Quale delle frazioni date 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 viene convertita in una frazione decimale finale e quale - solo in una frazione periodica. Daremo una risposta a questa domanda senza convertire direttamente una frazione ordinaria in un decimale.

La frazione 47 20 , come si può facilmente vedere, moltiplicando numeratore e denominatore per 5 si riduce ad un nuovo denominatore 100 .

4720 = 235100. Da ciò concludiamo che questa frazione viene tradotta in una frazione decimale finale.

Scomponendo il denominatore della frazione 7 12 si ottiene 12 = 2 2 3 . Poiché il fattore semplice 3 è diverso da 2 e da 5, questa frazione non può essere rappresentata come frazione decimale finita, ma avrà la forma di una frazione periodica infinita.

Frazione 21 56, in primo luogo, è necessario ridurre. Dopo la riduzione di 7, otteniamo una frazione irriducibile 3 8 , la cui espansione del denominatore in fattori dà 8 = 2 · 2 · 2 . Pertanto, è un decimale finale.

Nel caso della frazione 31 17, la fattorizzazione del denominatore è il numero primo 17 stesso. Di conseguenza, questa frazione può essere convertita in una frazione decimale periodica infinita.

Una frazione ordinaria non può essere convertita in una frazione decimale infinita e non ripetuta

Sopra, abbiamo parlato solo di frazioni periodiche finite e infinite. Ma una qualsiasi frazione ordinaria può essere convertita in una frazione infinita non periodica?

Rispondiamo: no!

Importante!

Quando si converte una frazione infinita in decimale, si ottiene una frazione decimale finita o una frazione decimale periodica infinita.

Il resto di una divisione è sempre inferiore al divisore. In altre parole, secondo il teorema di divisibilità, se dividiamo un numero naturale per il numero q, allora il resto della divisione non può comunque essere maggiore di q-1. Dopo la fine della divisione, è possibile una delle seguenti situazioni:

1. Otteniamo un resto di 0, ed è qui che finisce la divisione.
2. Otteniamo un resto, che si ripete durante la divisione successiva, di conseguenza abbiamo una frazione periodica infinita.

Non ci possono essere altre opzioni quando si converte una frazione ordinaria in un decimale. Diciamo anche che la lunghezza del periodo (il numero di cifre) in una frazione periodica infinita è sempre minore del numero di cifre al denominatore della frazione ordinaria corrispondente.

Converti i decimali in frazioni comuni

Ora è il momento di considerare il processo inverso di convertire una frazione decimale in una normale. Formuliamo una regola di traduzione che comprenda tre fasi. Come convertire un decimale in una frazione comune?

Regola per convertire le frazioni decimali in frazioni comuni

1. Nel numeratore scriviamo il numero dalla frazione decimale originale, scartando la virgola e tutti gli zeri a sinistra, se presenti.
2. Al denominatore scriviamo uno e dopo di esso tanti zeri quante sono le cifre nella frazione decimale originale dopo il punto decimale.
3. Se necessario, ridurre la frazione ordinaria risultante.

Considera l'applicazione di questa regola con esempi.

Esempio 8. Conversione di decimali in ordinari

Rappresentiamo il numero 3, 025 come una frazione ordinaria.

1. Nel numeratore scriviamo la frazione decimale stessa, scartando la virgola: 3025.
2. Nel denominatore scriviamo uno e dopo di esso tre zeri, ovvero quante cifre sono contenute nella frazione originale dopo la virgola: 3025 1000.
3. La frazione risultante 3025 1000 può essere ridotta di 25 , di conseguenza otteniamo: 3025 1000 = 121 40 .

Esempio 9. Conversione di decimali in ordinari

Convertiamo la frazione 0, 0017 da decimale a ordinaria.

1. Nel numeratore scriviamo la frazione 0, 0017, scartando la virgola e gli zeri a sinistra. Ottieni 17.
2. Scriviamo uno al denominatore e dopo di esso scriviamo quattro zeri: 17 10000. Questa frazione è irriducibile.

Se c'è una parte intera in una frazione decimale, allora tale frazione può essere immediatamente convertita in un numero misto. Come farlo?

Formuliamo un'altra regola.

La regola per convertire le frazioni decimali in numeri misti.

1. Il numero fino alla virgola decimale viene scritto come parte intera del numero misto.
2. Nel numeratore scriviamo il numero che si trova nella frazione dopo il punto decimale, scartando gli zeri a sinistra, se presenti.
3. Al denominatore della parte frazionaria aggiungiamo uno e tanti zeri quante sono le cifre della parte frazionaria dopo il punto decimale.

Diamo un'occhiata a un esempio

Esempio 10: Conversione di un decimale in un numero misto

Rappresentiamo la frazione 155, 06005 come un numero misto.

1. Scriviamo il numero 155 come parte intera.
2. Nel numeratore scriviamo i numeri dopo la virgola, scartando lo zero.
3. Al denominatore scriviamo uno e cinque zeri

Insegnare un numero misto: 155 6005 100000

La parte frazionaria può essere ridotta di 5 . Riduciamo e otteniamo il risultato finale:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Conversione di decimali ricorrenti infiniti in frazioni comuni

Diamo un'occhiata ad esempi su come tradurre le frazioni decimali periodiche in frazioni ordinarie. Prima di iniziare, chiariamo: qualsiasi frazione decimale periodica può essere convertita in una normale.

Il caso più semplice è che il periodo della frazione sia zero. Una frazione periodica con un periodo pari a zero viene sostituita da una frazione decimale finita e il processo di inversione di tale frazione viene ridotto all'inversione di una frazione decimale finale.

Esempio 11. Conversione di un decimale periodico in una frazione comune

Invertiamo la frazione periodica 3, 75 (0) .

Lasciando cadere gli zeri a destra, otteniamo la frazione decimale finale 3, 75.

Trasformando questa frazione in una frazione ordinaria secondo l'algoritmo discusso nei paragrafi precedenti, otteniamo:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

E se il periodo di una frazione è diverso da zero? La parte periodica va considerata come la somma delle membra di una progressione geometrica decrescente. Spieghiamolo con un esempio:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Esiste una formula per la somma dei termini di una progressione geometrica decrescente infinita. Se il primo termine della progressione è b e il denominatore di q è tale che 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi utilizzando questa formula.

Esempio 12. Conversione di un decimale periodico in una frazione comune

Supponiamo di avere una frazione periodica 0, (8) e di aver bisogno di convertirla in una frazione ordinaria.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Qui abbiamo una progressione geometrica decrescente infinita con il primo termine 0, 8 e il denominatore 0, 1.

Applichiamo la formula:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Questa è la frazione ordinaria desiderata.

Per consolidare il materiale, considera un altro esempio.

Esempio 13. Conversione di un decimale periodico in un ordinario

Invertire la frazione 0 , 43 (18) .

Innanzitutto, scriviamo la frazione come somma infinita:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Considera i termini tra parentesi. Questa progressione geometrica può essere rappresentata come segue:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Aggiungiamo la frazione risultante alla frazione finale 0, 43 \u003d 43 100 e otteniamo il risultato:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Dopo aver aggiunto queste frazioni e riducendo, otteniamo la risposta finale:

0 , 43 (18) = 19 44

Alla fine di questo articolo, diremo che le frazioni decimali infinite non periodiche non possono essere convertite in frazioni ordinarie.

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