Derivazione integrale del logaritmo lungo della formula. Che cos'è un logaritmo? Soluzione dei logaritmi. Esempi. Proprietà dei logaritmi. Condizioni per l'applicazione della serie di Taylor

Tabella degli antiderivati.

Le proprietà dell'integrale indefinito permettono di trovare la sua antiderivata dal differenziale noto di una funzione. Quindi, usando uguaglianze e è possibile comporre una tabella delle derivate dalla tabella delle derivate delle funzioni elementari di base.

Richiamare tabella dei derivati, lo scriviamo anche sotto forma di differenziali.

Ad esempio, troviamo l'integrale indefinito della funzione potenza.

Usando la tabella dei differenziali , quindi, per le proprietà dell'integrale indefinito, si ha. Ecco perchè o in un altro post

Troviamo l'insieme delle derivate della funzione potenza per p = -1. Abbiamo ... Facendo riferimento alla tabella dei differenziali per il logaritmo naturale , quindi, ... Ecco perchè .

Spero che tu afferri il principio.

Tavola delle antiderivate (integrali indefiniti).

Le formule della colonna di sinistra della tabella sono chiamate antiderivate di base. Le formule della colonna di destra non sono di base, ma sono molto spesso utilizzate per trovare integrali indefiniti. Possono essere verificati per differenziazione.

Integrazione diretta.

L'integrazione diretta si basa sull'uso delle proprietà degli integrali indefiniti ,, regole di integrazione e tabelle delle derivate.

Tipicamente, l'integrando deve prima essere leggermente trasformato per utilizzare la tabella degli integrali di base e le proprietà degli integrali.

Esempio.

Trova l'integrale .

Soluzione.

Il coefficiente 3 può essere tolto dal segno integrale in base alla proprietà:

Trasformiamo l'integrando (secondo le formule trigonometriche):

Poiché l'integrale della somma è uguale alla somma degli integrali, allora

È tempo di passare alla tabella degli antiderivati:

Risposta:

.

Esempio.

Trova l'insieme delle derivate di una funzione

Soluzione.

Facendo riferimento alla tabella delle derivate per la funzione esponenziale: ... Questo è, .

Utilizzando la regola di integrazione , Poi abbiamo:

Quindi, la tabella delle derivate, insieme alle proprietà e alla regola di integrazione, ci permette di trovare molti integrali indefiniti. Tuttavia, non è sempre possibile trasformare l'integrando per utilizzare la tabella delle antiderivate.

Ad esempio, nella tabella delle antiderivate, non esiste un integrale della funzione logaritmo, funzione arcoseno, arcoseno, arcotangente e arcocotangente, funzione tangente e cotangente. Per trovarli, vengono utilizzati metodi speciali. Ma di più su questo nella prossima sezione:

Che cos'è un logaritmo?

Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiali nella Parte Speciale 555.
Per chi "non è molto..."
E per chi è "molto uniforme..."

Che cos'è un logaritmo? Come risolvere i logaritmi? Queste domande confondono molti laureati. Tradizionalmente, l'argomento dei logaritmi è considerato difficile, incomprensibile e spaventoso. Soprattutto - equazioni con logaritmi.

Questo non è assolutamente il caso. Assolutamente! Non mi credi? Bene. Ora, in circa 10 - 20 minuti, tu:

1. Capire cos'è il logaritmo?.

2. Impara a risolvere un'intera classe di equazioni esponenziali. Anche se non ne hai sentito parlare.

3. Impara a calcolare semplici logaritmi.

E per questo avrai solo bisogno di conoscere la tabellina, ma come un numero viene elevato a una potenza ...

Sento che sei in dubbio ... Bene, guarda l'ora! Andare!

Inizia risolvendo la seguente equazione nella tua testa:

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Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test di convalida istantaneo. Imparare - con interesse!)

puoi familiarizzare con funzioni e derivati.

Tavola delle derivate ("integrali"). Tavolo integrale. Integrali tabulari indefiniti. (Gli integrali più semplici e gli integrali con un parametro). Formule di integrazione per parti. Formula di Newton-Leibniz.

Tavola delle derivate ("integrali"). Integrali tabulari indefiniti. (Gli integrali più semplici e gli integrali con un parametro).
Integrale di una funzione di potenza.	Integrale di una funzione di potenza.
Un integrale che si riduce a un integrale di una funzione di potenza se x è guidato sotto il segno del differenziale.
	L'integrale dell'esponente, dove a è un numero costante.
Integrale di una funzione esponenziale complessa.	Integrale di una funzione esponenziale.
Integrale uguale al logo naturale.	Integrale: "Logaritmo lungo".
	Integrale: "Logaritmo lungo".
Integrale: "Logaritmo alto".	L'integrale, dove x al numeratore è inserito sotto il segno del differenziale (la costante sotto il segno può essere aggiunta o sottratta), alla fine è simile a un integrale uguale al logo naturale.
Integrale: "Logaritmo alto".
Integrale del coseno.	seno integrale.
Integrale uguale alla tangente.	Integrale uguale alla cotangente.
Integrale uguale sia all'arcoseno che all'arcoseno
Integrale uguale ad arcoseno e arcoseno.	Integrale uguale sia all'arcotangente che all'arco cotangente.
Integrale uguale a cosecante.	Integrale uguale a secante.
Integrale uguale all'arcosecante.	Integrale uguale all'arcosecante.
Integrale uguale all'arcosecante.	Integrale uguale all'arcosecante.
Integrale uguale al seno iperbolico.	Integrale uguale al coseno iperbolico.
Integrale uguale al seno iperbolico, dove sinhx è il seno iperbolico nella versione inglese.	Integrale uguale al coseno iperbolico, dove sinhx è il seno iperbolico nella versione inglese.
Integrale uguale alla tangente iperbolica.	Integrale uguale alla cotangente iperbolica.
Integrale uguale alla secante iperbolica.	Integrale uguale alla cosecante iperbolica.

Formule di integrazione per parti. Regole di integrazione.

Formule di integrazione per parti. Formula di Newton-Leibniz Regole di integrazione.
Integrazione del prodotto (funzione) con una costante:
Integrazione della somma delle funzioni:
integrali indefiniti:
Integrazione per formula delle parti integrali definiti:
Formula di Newton-Leibniz integrali definiti:	Dove F (a), F (b) sono i valori delle derivate nei punti b e a, rispettivamente.

Tavola dei derivati. Derivate tabulari. Derivato dell'opera. Derivata del quoziente. Derivata di una funzione complessa.

Se x è una variabile indipendente, allora:

Tavola dei derivati. Derivati ​​di tabella "Derivati ​​di tabella" - sì, sfortunatamente, è così che vengono cercati su Internet
	Derivata di una funzione di potenza
	Derivato esponenziale
Derivata di una funzione esponenziale complessa	Derivata di una funzione esponenziale
Derivata di una funzione logaritmica	Derivata del logaritmo naturale
	Derivata del logaritmo naturale della funzione
seno derivato	Derivata del coseno
La derivata cosecante	Secante derivata
Derivata dell'arcoseno	Derivata dell'arcocoseno
Derivata dell'arcoseno	Derivata dell'arcocoseno
Derivata della tangente	Derivato della cotangente
Derivata dell'arcotangente	Derivata dell'arco cotangente
Derivata dell'arcotangente	Derivata dell'arco cotangente
Derivata dell'arcosecante	Derivata dell'arcosecante
Derivata dell'arcosecante	Derivata dell'arcosecante
Derivata del seno iperbolico Derivato del seno iperbolico nella versione inglese	Derivata del coseno iperbolico Derivata del coseno iperbolico nella versione inglese
Derivata della tangente iperbolica	Derivata della cotangente iperbolica
Derivato della secante iperbolica	Derivata della cosecante iperbolica

Regole di differenziazione. Derivato dell'opera. Derivata del quoziente. Derivata di una funzione complessa.
Derivata del prodotto (funzione) per una costante:
Derivata della somma (funzioni):
Derivato del prodotto (funzioni):
Derivata del quoziente (funzioni):
Derivata di una funzione complessa:

Proprietà dei logaritmi. Formule di base per i logaritmi. Decimali (lg) e logaritmi naturali (ln).

Identità logaritmica di base
Mostriamo come sia possibile rendere esponenziale qualsiasi funzione della forma b. Poiché una funzione della forma ex è detta esponenziale, allora
Qualsiasi funzione della forma a b può essere rappresentata come una potenza di dieci

Logaritmo naturale ln (logaritmo in base e = 2,718281828459045 ...) ln (e) = 1; ln (1) = 0

serie di Taylor. Scomposizione di una funzione in una serie di Taylor.

Si scopre che la maggior parte praticamente avvenendo le funzioni matematiche possono essere rappresentate con qualsiasi precisione in prossimità di un punto sotto forma di serie di potenze contenenti i gradi della variabile in ordine crescente. Ad esempio, in prossimità del punto x = 1:

Quando si utilizzano le righe chiamate dai ranghi di Taylor, le funzioni miste contenenti, ad esempio, funzioni algebriche, trigonometriche ed esponenziali possono essere espresse come funzioni puramente algebriche. Le serie possono essere spesso utilizzate per differenziare e integrare rapidamente.

La serie di Taylor in prossimità del punto a ha le seguenti forme:

1) , dove f (x) è una funzione che ha derivate di tutti gli ordini per x = a. R n - il resto della serie di Taylor è determinato dall'espressione

2)

Il coefficiente k-esimo (a x k) della serie è determinato dalla formula

3) Un caso speciale della serie di Taylor è la serie di Maclaurin (= McLaren) (l'espansione avviene attorno al punto a = 0)

per a = 0

i membri della serie sono determinati dalla formula

Condizioni per l'applicazione della serie di Taylor.

1. Affinché la funzione f (x) sia espansa in una serie di Taylor sull'intervallo (-R; R), è necessario e sufficiente che il resto nella formula di Taylor (Maclaurin (= McLaren)) per questa funzione tende a zero in k → ∞ sull'intervallo indicato (-R; R).

2. E' necessario che ci siano derivate per la data funzione nel punto in prossimità del quale andremo a costruire la serie di Taylor.

Proprietà della serie di Taylor.

Se f è una funzione analitica, allora la sua serie di Taylor in ogni punto a del dominio di f converge a f in qualche intorno di a.

Esistono funzioni infinitamente differenziabili la cui serie di Taylor converge ma differisce da una funzione in qualsiasi intorno di a. Per esempio:

Le serie di Taylor sono utilizzate nelle funzioni di approssimazione (l'approssimazione è un metodo scientifico che consiste nel sostituire alcuni oggetti con altri, in un senso o nell'altro vicino all'originale, ma più semplice) mediante polinomi. In particolare, la linearizzazione ((da linearis - lineare), uno dei metodi di rappresentazione approssimata di sistemi non lineari chiusi, in cui lo studio di un sistema non lineare è sostituito da un'analisi di un sistema lineare, in un senso equivalente a quello originale .) Le equazioni si verificano espandendosi in una serie di Taylor e tagliando fuori tutti i termini sopra il primo ordine.

Pertanto, quasi ogni funzione può essere rappresentata come un polinomio con una data accuratezza.

Esempi di alcuni comuni espansioni di funzioni di potenza nella serie di Maclaurin (= McLaren, Taylor in prossimità del punto 0) e Taylor in prossimità del punto 1. Primi termini degli sviluppi delle funzioni principali nelle serie di Taylor e McLaren .

Esempi di alcune espansioni comuni di funzioni di potenza in serie di Maclaurin (= McLaren, Taylor in prossimità del punto 0)

Esempi di alcuni comuni sviluppi in serie di Taylor in prossimità del punto 1