Derivata di una funzione. Teoria dettagliata con esempi. Risolvere la derivata per manichini: definizione, come trovarla, esempi di soluzioni Formula per la derivata di una funzione in un punto

Risolvere problemi fisici o esempi in matematica è completamente impossibile senza la conoscenza della derivata e dei metodi per calcolarla. La derivata è uno dei concetti più importanti nell'analisi matematica. Abbiamo deciso di dedicare l’articolo di oggi a questo argomento fondamentale. Cos'è una derivata, qual è il suo significato fisico e geometrico, come si calcola la derivata di una funzione? Tutte queste domande possono essere combinate in una sola: come comprendere la derivata?

Significato geometrico e fisico della derivata

Lascia che ci sia una funzione f(x) , specificato in un certo intervallo (a, b) . I punti x e x0 appartengono a questo intervallo. Quando x cambia, cambia la funzione stessa. Cambiare l'argomento: la differenza nei suoi valori x-x0 . Questa differenza è scritta come delta x ed è chiamato incremento dell'argomento. Una modifica o incremento di una funzione è la differenza tra i valori di una funzione in due punti. Definizione di derivato:

La derivata di una funzione in un punto è il limite del rapporto tra l'incremento della funzione in un dato punto e l'incremento dell'argomento quando quest'ultimo tende a zero.

Altrimenti si può scrivere così:

Che senso ha trovare un limite del genere? Ed ecco di cosa si tratta:

la derivata di una funzione in un punto è uguale alla tangente dell'angolo compreso tra l'asse OX e la tangente al grafico della funzione in un dato punto.

Significato fisico del derivato: la derivata del percorso rispetto al tempo è pari alla velocità del moto rettilineo.

Infatti, fin dai tempi della scuola tutti sanno che la velocità è un percorso particolare x=f(t) E tempo T . Velocità media in un certo periodo di tempo:

Per scoprire la velocità del movimento in un momento nel tempo t0 devi calcolare il limite:

Regola uno: imposta una costante

La costante può essere tolta dal segno della derivata. Inoltre, questo deve essere fatto. Quando risolvi esempi in matematica, prendilo come regola: Se puoi semplificare un'espressione, assicurati di semplificarla .

Esempio. Calcoliamo la derivata:

Seconda regola: derivata della somma di funzioni

La derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate di queste funzioni. Lo stesso vale per la derivata della differenza di funzioni.

Non daremo una dimostrazione di questo teorema, ma considereremo piuttosto un esempio pratico.

Trova la derivata della funzione:

Regola tre: derivata del prodotto di funzioni

La derivata del prodotto di due funzioni differenziabili si calcola con la formula:

Esempio: trova la derivata di una funzione:

Soluzione:

È importante parlare qui del calcolo delle derivate di funzioni complesse. La derivata di una funzione complessa è uguale al prodotto della derivata di questa funzione rispetto all'argomento intermedio e della derivata dell'argomento intermedio rispetto alla variabile indipendente.

Nell'esempio sopra ci imbattiamo nell'espressione:

In questo caso l'argomento intermedio è 8x elevato alla quinta potenza. Per calcolare la derivata di tale espressione, calcoliamo prima la derivata della funzione esterna rispetto all'argomento intermedio, quindi moltiplichiamo per la derivata dell'argomento intermedio stesso rispetto alla variabile indipendente.

Regola quattro: derivata del quoziente di due funzioni

Formula per determinare la derivata del quoziente di due funzioni:

Abbiamo provato a parlare di derivati ​​for dummies partendo da zero. Questo argomento non è così semplice come sembra, quindi attenzione: negli esempi ci sono spesso delle insidie, quindi fai attenzione quando calcoli le derivate.

Per qualsiasi domanda su questo e altri argomenti è possibile contattare il servizio studenti. In breve tempo ti aiuteremo a risolvere i test più difficili e a comprendere i compiti, anche se non hai mai fatto calcoli derivativi prima.

La derivata di una funzione è uno degli argomenti difficili nel curriculum scolastico. Non tutti i laureati risponderanno alla domanda su cosa sia un derivato.

Questo articolo spiega in modo semplice e chiaro cos'è un derivato e perché serve.. Non cercheremo ora il rigore matematico nella presentazione. La cosa più importante è capirne il significato.

Ricordiamo la definizione:

La derivata è la velocità di variazione di una funzione.

La figura mostra i grafici di tre funzioni. Quale pensi che stia crescendo più velocemente?

La risposta è ovvia: la terza. Ha il tasso di variazione più elevato, ovvero il derivato più grande.

Ecco un altro esempio.

Kostya, Grisha e Matvey hanno trovato lavoro allo stesso tempo. Vediamo come è cambiato il loro reddito durante l'anno:

Il grafico mostra tutto in una volta, non è vero? Il reddito di Kostya è più che raddoppiato in sei mesi. E anche il reddito di Grisha è aumentato, ma solo leggermente. E il reddito di Matvey è sceso a zero. Le condizioni iniziali sono le stesse, ma la velocità di variazione della funzione, sì derivato, - diverso. Per quanto riguarda Matvey, il suo derivato del reddito è generalmente negativo.

Intuitivamente stimiamo facilmente il tasso di variazione di una funzione. Ma come lo facciamo?

Ciò che stiamo realmente osservando è la rapidità con cui il grafico di una funzione sale (o scende). In altre parole, quanto velocemente cambia y al variare di x? Ovviamente, la stessa funzione in punti diversi può avere valori di derivata diversi, ovvero può cambiare più velocemente o più lentamente.

La derivata di una funzione è indicata con .

Ti mostreremo come trovarlo utilizzando un grafico.

È stato disegnato un grafico di alcune funzioni. Prendiamo un punto con un'ascissa su di esso. Disegniamo a questo punto una tangente al grafico della funzione. Vogliamo stimare la pendenza con cui sale il grafico di una funzione. Un valore conveniente per questo è tangente dell'angolo tangente.

La derivata di una funzione in un punto è uguale alla tangente dell'angolo tangente disegnato al grafico della funzione in quel punto.

Tieni presente che come angolo di inclinazione della tangente prendiamo l'angolo tra la tangente e la direzione positiva dell'asse.

A volte gli studenti chiedono cos'è una tangente al grafico di una funzione. Questa è una linea retta che ha un unico punto in comune con il grafico in questa sezione, come mostrato nella nostra figura. Sembra una tangente ad un cerchio.

Troviamolo. Ricordiamo che in un triangolo rettangolo la tangente di un angolo acuto è uguale al rapporto tra il lato opposto e quello adiacente. Dal triangolo:

Abbiamo trovato la derivata utilizzando un grafico senza nemmeno conoscere la formula della funzione. Tali problemi si trovano spesso nell'Esame di Stato unificato in matematica sotto il numero.

C'è un'altra relazione importante. Ricordiamo che la retta è data dall'equazione

La quantità in questa equazione si chiama pendenza di una retta. È uguale alla tangente dell'angolo di inclinazione della retta rispetto all'asse.

.

Lo capiamo

Ricordiamo questa formula. Esprime il significato geometrico della derivata.

La derivata di una funzione in un punto è uguale alla pendenza della tangente tracciata sul grafico della funzione in quel punto.

In altre parole, la derivata è uguale alla tangente dell'angolo tangente.

Abbiamo già detto che la stessa funzione può avere derivate diverse in punti diversi. Vediamo come la derivata è legata al comportamento della funzione.

Disegniamo un grafico di qualche funzione. Lasciamo che questa funzione aumenti in alcune aree e diminuisca in altre, e a ritmi diversi. E lascia che questa funzione abbia punti massimi e minimi.

Ad un certo punto la funzione aumenta. Una tangente al grafico tracciato in un punto forma un angolo acuto con la direzione positiva dell'asse. Ciò significa che la derivata in quel punto è positiva.

A questo punto la nostra funzione diminuisce. La tangente in questo punto forma un angolo ottuso con la direzione positiva dell'asse. Poiché la tangente di un angolo ottuso è negativa, la derivata in quel punto è negativa.

Ecco cosa succede:

Se una funzione è crescente la sua derivata è positiva.

Se diminuisce, la sua derivata è negativa.

Cosa accadrà ai punti massimo e minimo? Vediamo che nei punti (punto di massimo) e (punto di minimo) la tangente è orizzontale. Pertanto, la tangente della tangente in questi punti è zero e anche la derivata è zero.

Punto - punto massimo. A questo punto l'aumento della funzione viene sostituito da una diminuzione. Di conseguenza, il segno della derivata cambia nel punto da “più” a “meno”.

Nel punto - il punto minimo - anche la derivata è zero, ma il suo segno cambia da “meno” a “più”.

Conclusione: utilizzando la derivata possiamo scoprire tutto ciò che ci interessa sul comportamento di una funzione.

Se la derivata è positiva la funzione aumenta.

Se la derivata è negativa la funzione diminuisce.

Nel punto massimo la derivata è zero e cambia segno da “più” a “meno”.

Nel punto minimo anche la derivata è zero e cambia segno da “meno” a “più”.

Scriviamo queste conclusioni sotto forma di tabella:

	aumenta	punto massimo	diminuisce	punto minimo	aumenta
+	0	-	0	+

Facciamo due piccole precisazioni. Ne avrai bisogno per risolvere i problemi USE. Un altro - nel primo anno, con uno studio più serio di funzioni e derivate.

È possibile che la derivata di una funzione ad un certo punto sia uguale a zero, ma la funzione in quel punto non ha né massimo né minimo. Questo è il cosiddetto :

In un punto la tangente al grafico è orizzontale e la derivata è zero. Tuttavia, prima del punto la funzione aumentava e dopo il punto continua ad aumentare. Il segno della derivata non cambia: rimane positivo com'era.

Accade anche che nel punto di massimo o di minimo la derivata non esista. Sul grafico ciò corrisponde ad una brusca interruzione, quando è impossibile tracciare una tangente in un dato punto.

Come trovare la derivata se la funzione non è data da un grafico, ma da una formula? In questo caso si applica

Può essere tolto come segno derivato:

(af(x)" =af" (x).

Per esempio:

Derivata di una somma algebrica più funzioni (prese in numero costante) è uguale alla loro somma algebrica derivati:

(f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x))" = f 1 " (x) + f 2 " (x) - f 3 " (x).

Per esempio:

(0,3 x 2 - 2 x + 0,8)" = (0,3 x 2)" - (2 x)" + (0,8)" = 0,6 x - 2 ( derivato scorso termine l'equazione è zero).

Se derivata di una funzione g è diverso da zero, allora lo è anche il rapporto f/g derivata finale. Questa proprietà può essere scritta come:

.

Permettere funzioni y = f(x) e y = g(x) hanno derivate finite nel punto x 0 . Poi funzioni hanno anche f±g e fg derivate finite in Questo punto. Quindi otteniamo:

(f±g)′ = f′±g′,

(f g)′ = f′ g + f g′.

Derivata di una funzione complessa.

Permettere funzione y = f(x) ha derivata finita in un punto x 0 , la funzione z = s(y) ha una derivata finita nel punto y 0 = f(x 0).

Poi funzione complessa Anche z = s (f(x)) ha una derivata finita a questo punto. Quanto sopra può essere scritto nella forma:

.

Derivata della funzione inversa.

Sia la funzione y = f(x). funzione inversa x = g(y) su alcuni intervallo(a, b) e c'è un diverso da zero derivata finale questa funzione nel punto x 0, appartenente a dominio di definizione, cioè. x0 ∈ (a, b).

Poi funzione inversa Esso ha derivato nel punto y 0 = f(x 0):

.

Derivata di una funzione implicita.

Se funzione y = f(x) è dato implicitamente equazione F(x, y(x)) = 0, allora suo derivato si trova dalla condizione:

.

Dicono che funzione y = f(x) è specificato implicitamente, Se lei identicamente soddisfa la relazione:

dove F(x, y) è una funzione di due argomenti.

Derivata di una funzione definita parametricamente.

Se funzione y = f(x) è specificato parametricamente utilizzando il considerato

Molto facile da ricordare.

Ebbene, non andiamo lontano, consideriamo subito la funzione inversa. Quale funzione è l'inverso della funzione esponenziale? Logaritmo:

Nel nostro caso, la base è il numero:

Un logaritmo di questo tipo (cioè un logaritmo con base) si chiama “naturale” e per questo usiamo una notazione speciale: scriviamo invece.

A cosa è uguale? Ovviamente, .

Anche la derivata del logaritmo naturale è molto semplice:

Esempi:

1. Trova la derivata della funzione.
2. Qual è la derivata della funzione?

Risposte: Il logaritmo esponenziale e naturale sono funzioni unicamente semplici dal punto di vista derivato. Le funzioni esponenziali e logaritmiche con qualsiasi altra base avranno una derivata diversa, che analizzeremo più avanti, dopo aver esaminato le regole di differenziazione.

Regole di differenziazione

Regole di cosa? Ancora un nuovo mandato, ancora?!...

Differenziazioneè il processo per trovare la derivata.

È tutto. Cos'altro puoi chiamare questo processo in una parola? Non derivato... I matematici chiamano il differenziale lo stesso incremento di una funzione a. Questo termine deriva dal latino differentia – differenza. Qui.

Nel derivare tutte queste regole, utilizzeremo due funzioni, ad esempio, e. Avremo anche bisogno di formule per i loro incrementi:

Ci sono 5 regole in totale.

La costante viene tolta dal segno della derivata.

Se - un numero costante (costante), allora.

Ovviamente questa regola vale anche per la differenza: .

Dimostriamolo. Lascia che sia, o più semplice.

Esempi.

Trova le derivate delle funzioni:

1. ad un certo punto;
2. ad un certo punto;
3. ad un certo punto;
4. al punto.

Soluzioni:

1. (la derivata è la stessa in tutti i punti, poiché è una funzione lineare, ricordate?);

Derivato del prodotto

Qui è tutto simile: introduciamo una nuova funzione e troviamo il suo incremento:

Derivato:

Esempi:

1. Trova le derivate delle funzioni e;
2. Trova la derivata della funzione in un punto.

Soluzioni:

Derivata di una funzione esponenziale

Ora le tue conoscenze sono sufficienti per imparare a trovare la derivata di qualsiasi funzione esponenziale, e non solo degli esponenti (hai già dimenticato di cosa si tratta?).

Allora, dov'è qualche numero?

Conosciamo già la derivata della funzione, quindi proviamo a ridurre la nostra funzione ad una nuova base:

Per fare ciò utilizzeremo una semplice regola: . Poi:

Bene, ha funzionato. Ora prova a trovare la derivata e non dimenticare che questa funzione è complessa.

Accaduto?

Ecco, controlla tu stesso:

La formula si è rivelata molto simile alla derivata di un esponente: così com'era, rimane la stessa, è apparso solo un fattore, che è solo un numero, ma non una variabile.

Esempi:
Trova le derivate delle funzioni:

Risposte:

Questo è solo un numero che non può essere calcolato senza una calcolatrice, cioè non può essere scritto in una forma più semplice. Pertanto, lo lasciamo in questa forma nella risposta.

Nota che qui è il quoziente di due funzioni, quindi applichiamo la regola di differenziazione corrispondente:

In questo esempio, il prodotto di due funzioni:

Derivata di una funzione logaritmica

Qui è simile: conosci già la derivata del logaritmo naturale:

Pertanto, per trovare un logaritmo arbitrario con una base diversa, ad esempio:

Dobbiamo ridurre questo logaritmo alla base. Come si cambia la base di un logaritmo? Spero che ricordi questa formula:

Solo adesso scriveremo invece:

Il denominatore è semplicemente una costante (un numero costante, senza variabile). La derivata si ottiene molto semplicemente:

I derivati ​​​​delle funzioni esponenziali e logaritmiche non si trovano quasi mai nell'Esame di Stato Unificato, ma non sarà superfluo conoscerli.

Derivata di una funzione complessa.

Cos'è una "funzione complessa"? No, questo non è un logaritmo e nemmeno un arcotangente. Queste funzioni possono essere difficili da capire (anche se trovi difficile il logaritmo, leggi l'argomento “Logaritmi” e starai bene), ma da un punto di vista matematico la parola “complesso” non significa “difficile”.

Immagina un piccolo nastro trasportatore: due persone sono sedute e eseguono alcune azioni con alcuni oggetti. Ad esempio, il primo avvolge una barretta di cioccolato in un involucro e il secondo la lega con un nastro. Il risultato è un oggetto composito: una tavoletta di cioccolato avvolta e legata con un nastro. Per mangiare una barretta di cioccolato, devi eseguire i passaggi inversi in ordine inverso.

Creiamo una procedura matematica simile: prima troveremo il coseno di un numero, quindi eleveremo il numero risultante al quadrato. Quindi, ci viene dato un numero (cioccolato), trovo il suo coseno (involucro), e poi quadra quello che ho ottenuto (legalo con un nastro). Quello che è successo? Funzione. Questo è un esempio di funzione complessa: quando, per trovarne il valore, eseguiamo la prima azione direttamente con la variabile, e poi una seconda azione con ciò che risulta dalla prima.

In altre parole, una funzione complessa è una funzione il cui argomento è un'altra funzione: .

Per il nostro esempio, .

Possiamo facilmente eseguire gli stessi passaggi in ordine inverso: prima lo eleva al quadrato e poi cerco il coseno del numero risultante: . È facile intuire che il risultato sarà quasi sempre diverso. Una caratteristica importante delle funzioni complesse: quando cambia l'ordine delle azioni, cambia la funzione.

Secondo esempio: (stessa cosa). .

Verrà richiamata l'azione eseguita per ultima funzione "esterna". e l'azione viene eseguita per prima, di conseguenza funzione "interna".(questi sono nomi informali, li uso solo per spiegare il materiale in un linguaggio semplice).

Prova a determinare da solo quale funzione è esterna e quale interna:

Risposte: La separazione delle funzioni interne ed esterne è molto simile alla modifica delle variabili: ad esempio, in una funzione

1. Quale azione eseguiremo per prima? Per prima cosa calcoliamo il seno e solo dopo lo cubiamo. Ciò significa che è una funzione interna, ma esterna.
   E la funzione originaria è la loro composizione: .
2. Interno: ; esterno: .
   Visita medica: .
3. Interno: ; esterno: .
   Visita medica: .
4. Interno: ; esterno: .
   Visita medica: .
5. Interno: ; esterno: .
   Visita medica: .

Cambiamo le variabili e otteniamo una funzione.

Bene, ora estraiamo la nostra tavoletta di cioccolato e cerchiamo il derivato. Il procedimento è sempre inverso: prima cerchiamo la derivata della funzione esterna, poi moltiplichiamo il risultato per la derivata della funzione interna. In relazione all'esempio originale, assomiglia a questo:

Un altro esempio:

Quindi, formuliamo finalmente la regola ufficiale:

Algoritmo per trovare la derivata di una funzione complessa:

Sembra semplice, vero?

Verifichiamo con degli esempi:

Soluzioni:

1) Interno: ;

Esterno: ;

2) Interno: ;

(Per ora non provare a tagliarlo! Non esce niente da sotto il coseno, ricordi?)

3) Interno: ;

Esterno: ;

È subito chiaro che si tratta di una funzione complessa a tre livelli: in fondo questa è già di per sé una funzione complessa, e da essa estraiamo anche la radice, cioè eseguiamo la terza azione (mettere il cioccolato in un involucro e con un nastro nella valigetta). Ma non c'è motivo di aver paura: “spaccheremo” comunque questa funzione nello stesso ordine di sempre: dalla fine.

Cioè, prima differenziamo la radice, poi il coseno e solo dopo l'espressione tra parentesi. E poi moltiplichiamo il tutto.

In questi casi è conveniente numerare le azioni. Cioè, immaginiamo quello che sappiamo. In quale ordine eseguiremo le azioni per calcolare il valore di questa espressione? Diamo un'occhiata ad un esempio:

Più tardi viene eseguita l'azione, più “esterna” risulterà la funzione corrispondente. La sequenza delle azioni è la stessa di prima:

Qui la nidificazione è generalmente su 4 livelli. Determiniamo la linea d'azione.

1. Espressione radicale. .

2. Radice. .

3. Seno. .

4. Quadrato. .

5. Mettendo tutto insieme:

DERIVATO. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI

Derivata di una funzione- il rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento per un incremento infinitesimo dell'argomento:

Derivati ​​di base:

Regole di differenziazione:

La costante viene tolta dal segno della derivata:

Derivata della somma:

Derivata del prodotto:

Derivata del quoziente:

Derivata di una funzione complessa:

Algoritmo per trovare la derivata di una funzione complessa:

1. Definiamo la funzione “interna” e troviamo la sua derivata.
2. Definiamo la funzione “esterna” e troviamo la sua derivata.
3. Moltiplichiamo i risultati del primo e del secondo punto.