Действия с матрицами. Матрицы. Основные определения и виды матриц. Действия над матрицами. Понятие ранга матрицы. Операции над матрицами. Понятие и нахождение обратной матрицы 1 матрицы действия над матрицами обратные матрицы

Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами и их свойства.

Определитель матрицы n-го порядка. N, Z,Q, R,C,

Матрицей порядка m*n называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая m-строк и n - столбцов.

Равенство матриц:

Две матрицы называются равными, если число строк и столбцов одной из них равно соответственно числу строк и столбцов другой и соответст. эл-ты этих матриц равны.

Замечание: Эл-ты имеющие одинаковые индексы являются соответствующими.

Виды матриц:

Квадратная матрица: матрица называется квадратной, если число её строк равно числу столбцов.

Прямоугольная: матрица называется прямоугольной, если число строк не равно числу столбцов.

Матрица строка: матрица порядка 1*n (m=1) имеет вид a11,a12,a13 и называется матрицей строки.

Матрица столбец:………….

Диагональная: диагональ квадратной матрицы, идущая от верхнего левого угла к правому нижнему углу, то есть состоящая из элементов а11,а22……-называется главной диагональю. (опред: квадратная матрица все элементы которой равны нулю, кроме тех, что расположены на главной диагонали, называется диагональной матрицей.

Единичная: диагональная матрица называется единичной, если все элементы расположены на главной диагонали и равны 1.

Верхняя треугольная: А=||aij|| называется верхней треугольной матрицей, если aij=0. При условии i>j.

Нижняя треугольная: aij=0. i

Нулевая: это матрица Эл-ты которой равны 0.

Операции над матрицами.

1.Транспонирование.

2.Умножение матрицы на число.

3.Сложение матриц.

4.Умножение матриц.

Основные св-ва действия над матрицами.

1.A+B=B+A (коммутативность)

2.A+(B+C)=(A+B)+C (ассоциативность)

3.a(A+B)=aA+aB (дистрибутивность)

4.(a+b)A=aA+bA (дистриб.)

5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (асооц.)

6.AB≠BA (отсутствует комму.)

7.A(BC)=(AB)C (ассоц.) –выполняется, если опред. Произведений матриц выполняется.

8.A(B+C)=AB+AC (дистриб.)

(B+C)A=BA+CA (дистриб.)

9.a(AB)=(aA)B=(aB)A

Определитель квадратной матрицы – определение и его свойства. Разложение определителя по строкам и столбцам. Способы вычисления определителей.

Если матрица А имеет порядок m>1, то определитель этой матрицы – число.

Алгебраическим дополнением Aij эл-та aij матрицы А называется минор Mij, умноженный на число

ТЕОРЕМА1: Определитель матрицы А равен сумме произведений всех элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Основные свойства определителей.

1. Определитель матрицы не изменится при её транспонировании.

2. При перестановки двух строк (столбцов) определитель меняет знак, а абсолютная величина его не меняется.

3. Определитель матрицы, имеющий две одинаковые строки (столбцы) равен 0.

4.При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число.

5. Если одна из строк (столбцов) матрицы состоит из 0, то определитель этой матрицы равен 0.

6. Если все элементы i-ой строки (столбца) матрицы представлены в виде суммы двух слагаемых, то её определитель можно представить в виде суммы определителей двух матриц.

7. Определитель не изменится, если к элементам одного столбца (строки) прибавить соответственно эл-ты другого столбца (строки) предварительно умнож. на одно и того же число.

8.Сумма произвольных элементов какого либо столбца (строки) определителя на соответствующее алгебраическое дополнение элементов другого столбца (строки) равна 0.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27">

Способы вычисления определителя:

1. По определению или теореме 1.

2. Приведение к треугольному виду.

Определение и свойства обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы. Матричные уравнения.

Определение: Квадратная матрица порядка n, называется обратной к матрице А того же порядка и обозначается

Для того чтобы для матрицы А существовала обратная матрица необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был отличен от 0.

Свойства обратной матрицы:

1. Единственность: для данной матрицы А её обратная – единственная.

2. определитель матрицы

3. Операция взятия транспонирования и взятие матрицы обратной.

Матричные уравнения:

Пусть А и В две квадратные матрицы того же порядка.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src=">

Понятие линейной зависимости и независимости столбцов матрицы. Свойства линейной зависимости и линейной независимости системы столбцов.

Столбцы А1,А2…Аn называются линейно зависимыми, если существует их не тривиальная линейная комбинация, равная 0-му столбцу.

Столбцы А1,А2…Аn называются линейно независимыми, если существует их не тривиальная линейная комбинация, равная 0-му столбцу.

Линейная комбинация называется тривиальной, если все коэффициенты С(l) равны 0 и не тривиальной в противном случае.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24">

2.для того чтобы столбцы были линейно зависимы необходимо и достаточно, чтобы какой-нибудь столбец являлся линейной комбинацией других столбцов.

Пусть 1 из столбцов https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src=">является линейной комбинацией других столбцов.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> линейно зависимы, то и все столбцы линейно зависимы.

4. Если система столбцов линейно независима, то любая её подсистема так же линейно независима.

(Всё что сказано относительно столбцов, справедливо и для строк).

Миноры матрицы. Базисные миноры. Ранг матрицы. Метод окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы.

Минором порядка к матрицы А называется определитель элементы которого расположены на пересечении к-строк и к-стролбцов матрицы А.

Если все миноры к-го порядка матрицы А =0, то любой минор порядка к+1 тоже равен 0.

Базисный минор.

Рангом матрицы А называется порядок её базисного минора.

Метод окаймляющих миноров: - Выбираем не нулевой элемент матрицы А (Если такого элемента не существует, то ранг А =0)

Окаймляем минор предыдущий 1-го порядка минором 2-го порядка. (Если этот минор не равен 0, то ранг >=2) Если ранг этого минора =0, то окаймляем выбранный минор 1-го порядка другими минорами 2-го порядка. (Если все миноры 2-го порядка =0, то ранг матрицы = 1).

Ранг матрицы. Способы нахождения ранга матрицы.

Рангом матрицы А называется порядок его базисного минора.

Способы вычисления:

1) Метод окаймляющих миноров: -Выбираем ненулевой элемент матрицы А (если такого элемента нет, то ранг =0) – Окаймляем минор предыдущий 1-го порядка минором 2-го порядка..gif" width="40" height="22">r+1 Mr+1=0.

2)Приведение матрицы к ступенчатому виду: этот метод основан на элементарных преобразованиях. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

Элементарными преобразованиями называются следующие преобразования:

Перестановка двух строк (столбцов).

Умножение всех элементов некоторого столбца (строки) на число не =0.

Прибавление ко всем элементам некоторого столбцы (строки) элементов другого столбца (строки), предварительно умноженных на одно и тоже число.

Теорема о базисном миноре. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.

Базисным минором матрицы А называется минор наибольшего к-го порядка отличного от 0.

Теорема о базисном миноре:

Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы А являются линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

Замечания: Строки и столбцы на пересечении которых стоит базисный минор называются соответственно базисными строками и столбцами.

a11 a12… a1r a1j

a21 a22….a2r a2j

a31 a32….a3r a3j

ar1 ar2 ….arr arj

ak1 ak2…..akr akj

Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя:

Для того чтобы определитель n-го порядка =0, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно зависимы.

Системы линейных уравнений, их классификация и формы записи. Правило Крамера.

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="l14image048" width="64" height="38 id=">

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="l14image052" width="93" height="22 id=">

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="l14image056" width="247" height="31 id=">

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="l14image060" width="324" height="42 id=">

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Системы линейных уравнений. Условие совместимости линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

Решением системы алгебраических уравнений называется такая совокупность n чисел C1,C2,C3……Cn, которая при подстановки в исходную систему на место x1,x2,x3…..xn обращает все уравнения системы в тождества.

Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет бесчисленно много решений.

Условия совместности систем линейных алгебраических уравнений.

a11 a12 ……a1n x1 b1

a21 a22 ……a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2…..amn xn bn

ТЕОРЕМА: Для того чтобы система m линейных уравнений с n неизвестными была совместной необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу матрицы А.

Замечание: Эта теорема даёт лишь критерии существования решения, но не указывает способа отыскивания решения.

10 вопрос.

Системы линейных уравнений. Метод базисного минора - общий метод отыскивания всех решений систем линейных уравнений.

A=a21 a22…..a2n

Метод базисного минора:

Пусть система совместна и RgA=RgA’=r. Пусть базисный минор расписан в верхнем левом углу матрицы А.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src=">…...gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="46" height="23 src=">-…..-a

d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)

… = …………..

Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">

Замечания: Если ранг основной матрицы и рассматриваемой равен r=n, то в этом случае dj=bj и система имеет единственное решение.

Однородные системы линейных уравнений.

Система линейных алгебраических уравнений называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю.

AX=0 – однородная система.

АХ =В – неоднородная система.

Однородные системы всегда совместны.

Х1 =х2 =..=хn =0

Теорема 1.

Однородные системы имеют неоднородные решения, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных.

Теорема 2.

Однородная система n-линейных уравнений с n-неизвестными имеет не нулевое решение, когда определитель матрицы А равен нулю. (detA=0)

Свойства решений однородных систем.

Любая линейная комбинация решения однородной системы сама является решением этой системы.

α1C1 +α2C2 ; α1 и α2– некоторые числа.

А(α1C1 +α2C2) = А(α1C1) +А(α2C2) = α1(А C1) + α2(АC2) = 0,т. к. (А C1) = 0; (АC2) = 0

Для неоднородной системы это свойство не имеет места.

Фундаментальная система решений.

Теорема 3.

Если ранг матричной системы уравнения с n-неизвестными равен r, то эта система имеет n-r линейно-независимых решений.

Пусть базисный минор в левом верхнем углу. Если r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1,0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0) <= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)

Система n-r линейно-независимых решений однородной системы линейных уравнений с n-неизвестными ранга r называется фундаментальной системой решений.

Теорема 4.

Любое решение системы линейных уравнений есть линейная комбинация решения фундаментальной системы.

С = α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r

Если r

12 вопрос.

Общее решение неоднородной системы.

Сон (общ. неоднор.) = Соо +Сч (частное)

АХ=В (неоднородная система) ; АХ= 0

(АСоо) +АСч = АСч = В, т. к. (АСоо) = 0

Сон= α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Сч

Метод Гаусса.

Это метод последовательных исключений неизвестных (переменных) – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований, исходная система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних переменных, находят все остальные переменные.

Пусть а≠0 (если это не так, то перестановкой уравнений добиваются этого).

1)исключаем переменную х1 из второго, третьего…n-ого уравнения, умножая первое уравнение на подходящие числа и прибавляя полученные результаты ко 2-ому, 3-ему…n-ому уравнению, тогда получаем:

Получаем систему равносильную исходной.

2)исключаем переменную х2

3) исключаем переменную х3 и т. д.

Продолжая процесс последовательного исключения переменных х4;х5...хr-1 получим для (r-1)-ого шага.

Число ноль последних n-r в уравнениях означают, что их левая часть имеет вид: 0х1 +0х2+..+0хn

Если хотя бы одно из чисел вr+1, вr+2… не равны нулю, то соответственное равенство противоречиво и система (1) не совместна. Таким образом, для всякой совместной системы эта вr+1 … вm равна нулю.

Последнее n-r уравнение в системе (1;r-1) являются тождествами и их можно не принимать во внимание.

Возможны два случая:

а)число уравнений системы (1;r-1) равно числу неизвестных, т. е. r=n (в этом случае система имеет треугольный вид).

б)r

Переход от системы (1) к равносильной ей системе (1;r-1) называется прямым ходом метода Гаусса.

О нахождение переменной из системы (1;r-1) – обратным ходом метода Гаусса.

Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя их не с уравнениями, а с расширенной матрицей их коэффициентов.

13 вопрос.

Подобные матрицы.

Будем рассматривать только квадратные матрицы порядка n/

Матрица А называется подобной матрице В (А~В), если существует такая неособенная матрица S, что А=S-1BS.

Свойства подобных матриц.

1)Матрица А подобна сама себе. (А~А)

Если S=Е, тогда ЕАЕ=Е-1АЕ=А

2)Если А~В, то В~А

Если А=S-1ВS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B

3)Если А~В и одновременно В~С, то А~С

Дано, что А=S1-1BS1, и В=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, где S3 = S2S1

4)Определители подобных матриц равны.

Дано, что А~В, надо доказать, что detA=detB.

A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (сокращаем) = detB.

5)Ранги подобных матриц совпадают.

Собственные векторы и собственные значения матриц.

Число λ называется собственным значением матрицы А, если существует ненулевой вектор Х(матр. столбец) такой, что АХ= λ Х, вектор Х называется собственным вектором матрицы А, а совокупность всех собственных значений называется спектром матрицы А.

Свойства собственных векторов.

1)При умножении собственного вектора на число получим собственный вектор с тем же собственным значением.

АХ= λ Х; Х≠0

α Х => А(α Х) = α (АХ) = α(λ Х) = = λ (αХ)

2) Собственные векторы с попарно-различными собственными значениями линейно независимы λ1, λ2,.. λк.

Пусть система состоит из 1-ого вектора, сделаем индуктивный шаг:

С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn Хn = 0 (1) – умножаем на А.

С1 АХ1 +С2 АХ2 + .. +Сn АХn = 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn = 0

Умножаем на λn+1 и вычтем

С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn Хn+ Сn+1 Хn+1 = 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0

Надо чтобы С1 =С2 =… = Сn = 0

Сn+1 Хn+1 λn+1 =0

Характеристическое уравнение.

А-λЕ называется характеристической матрицей для матрицы А.

Для того, чтобы ненулевой вектор Х был собственным вектором матрицы А, соответствующий собственному значению λ необходимо чтобы он являлся решением однородной системы линейно-алгебраических уравнений (А - λЕ)Х = 0

Нетривиальное решение система имеет тогда, когда det (А - XЕ) = 0 - это характеристическое уравнение.

Утверждение!

Характеристические уравнения подобных матриц совпадают.

det(S-1AS – λЕ) = det(S-1AS – λ S-1ЕS) =det(S-1 (A – λЕ)S) = det S-1 det(A – λЕ) detS= det(A – λЕ)

Характеристический многочлен.

det(A – λЕ)- функция относительно параметра λ

det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA

Этот многочлен и называется характеристическим многочленом матрицы А.

Следствие:

1)Если матрицы А~В, то сумма их диагональных элементов совпадает.

a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn

2)Множество собственных значений подобных матриц совпадают.

Если характеристические уравнения матриц совпадают, то они необязательно подобны.

Для матрицы А

Для матрицы В

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38">

Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0

Для того чтобы матрица А порядка n была диагонализируема, необходимо, чтобы существовали линейно-независимые собственные вектора матрицы А.

Следствие.

Если все собственные значения матрица А различны, то она диагонализируема.

Алгоритм нахождения собственных векторов и собственных значений.

1)составляем характеристическое уравнение

2)находим корни уравнений

3)составляем систему уравнений для определения собственного вектора.

λi (A-λi E)X = 0

4)находим фундаментальную систему решений

x1,x2..xn-r, где r - ранг характеристической матрицы.

r =Rg(A - λi E)

5)собственный вектор, собственные значения λi записываются в виде:

X = С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn-r Хn-r, где С12 +С22 +… С2n ≠0

6)проверяем, может ли матрица быть приведена к диагональному виду.

7)находим Ag

Ag = S-1AS S=

15 вопрос.

Базис прямой, плоскости, пространства.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">│, ││). Модуль вектора равен нулю, тогда, когда этот вектор нулевой (│ō│=0)

4.Орт вектора.

Ортом данного вектора называется вектор, который направлен одинаково с данным вектором и имеет модуль, равный единице.

Равные вектора имеют равные орты.

5.Угол между двумя векторами.

Это меньшая часть площади, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки и направленные одинаково с данными векторами.

Сложение векторов. Умножение вектора на число.

1)Сложение двух векторов

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │

2)Умножение вектора на скаляр.

Произведением вектора и скаляра называют новый вектор, который имеет:

а) = произведения модуля умножаемого вектора на абсолютную величину скаляра.

б) направление одинаковое с умножаемым вектором, если скаляр положителен, и противоположное, если скаляр отрицателен.

λ а(вектор)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │

Свойства линейных операций над векторами.

1.Закон коммунитативности.

2. Закон ассоциативности.

3. Сложение с нулем.

а(вектор)+ō= а(вектор)

4.Сложение с противоположным.

5. (αβ) = α(β) = β(α)

6;7.Закон дистрибутивности.

Выражение вектора через его модуль и орт.

Максимальное число линейно-независимых векторов называются базисом.

Базисом на прямой является любой ненулевой вектор.

Базисом на плоскости являются любые два некаллениарных вектора.

Базисом в пространстве является система любых трех некомпланарных векторов.

Коэффициент разложения вектора по некоторому базису называется компонентами или координатами вектора в данном базисе.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> выполнить действие сложения и умножения на скаляр, то в результате любого числа таких действий получим:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> называются линейно-зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная ō.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> называются линейно-НЕзависимыми, если не существует их нетривиальная линейная комбинация.

Свойства линейно-зависимых и Независимых векторов:

1)система векторов, содержащая нулевой вектор линейно-зависима.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> были линейно-зависимыми, необходимо, чтобы какой-нибудь вектор являлся линейной комбинацией других векторов.

3)если часть векторов из системы а1(вектор), а2(вектор)… ак(вектор) линейно-зависимы, то и все вектора линейно-зависимы.

4)если все вектора https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">)

Линейные операции в координатах.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">.gif" width="65" height="13 src=">

Свойства скалярного произведения:

1. Комутативность

3. (a;b)=0, тогда и только тогда, когда векторы ортоганальны или какой нибудь из векторов равен 0.

4. Дистрибутивность (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c)

5. Выражение скалярного произведения a и b через их координаты

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src=">

При выполнении условия () , h, l=1,2,3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> и называется третий вектор который удовлетворяет следующим уравнениям:

3. – правая

Свойства векторного произведения:

4. Векторное произведение координатных ортов

Ортонормированый базис.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src=">

Часто для обозначения ортов ортонормированного базиса используются 3 символа

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src=">

Если - это ортонормированный базис, то

https://pandia.ru/text/78/365/images/image117_5.gif" width="116" height="15">- уравнение прямой параллельной оси ОХ

2) - уравнение прямой параллельной оси ОУ

2. Взамное расположение 2-х прямых.

Теорема 1 Пусть относительно аффинной системы координат даны уравнения прямых

А) Тогда необходимое и достаточное условие когда они пересекаются имеет вид:

Б) Тогда необходимое и достаточное условие того что прямые паралельны является условие:

B) Тогда необходимым и достаточным условием того что прямые сливаются в одну является условие:

3. Расстояние от точки до прямой.

Теорема. Расстояние от точки до прямой относительно декартовой системы координат:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src=">

4. Угол между двумя прямыми. Условие перпендикулярности.

Пусть 2 прямые заданы относительно декартовой системы координат общими уравнениями.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src=">

Если , то прямые перпендикулярны.

24 вопрос.

Плоскость в пространстве. Условие комплонарности вектора и плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

1. Условие комплонарности вектора и плоскости.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="Безымянный4.jpg" width="111" height="39">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="Безымянный5.jpg" width="88" height="57">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src=">

3. Угол между 2-я плоскостями. Условие перпендикулярности.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src=">

Если , то плоскости перпендикулярны.

25 вопрос.

Прямая линя в пространстве. Различные виды уравнения прямой линии в пространстве.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19">

2. Векторное уравнение прямой в пространстве.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src=">

4. Каноническое уравнение прямое.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="Безымянный3.jpg" width="56" height="51">

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m ×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В .

В общем виде матрицу размером m ×n записывают так

.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы . Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a ij : первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a 23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной , причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной . В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом .

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

.

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Равенство матриц . Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a ij = b ij . Так если и , то A=B , если a 11 = b 11 , a 12 = b 12 , a 21 = b 21 и a 22 = b 22 .

Транспонирование . Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A , а переход от A к B транспонированием .

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A , обычно обозначают A T .

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры . Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B , стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C , которая определяется по правилу, например,

Примеры. Найти сумму матриц:

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B )+C =A +(B+C ).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .

Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

Примеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB , элементы которой составляются следующим образом:

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C ) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c 13 , нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a ij) размера m ×n на матрицу B = (b ij) размера n ×p , то получим матрицу C размера m ×p , элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c ij получается в результате произведения элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

.

Примеры.

Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B ≠ B∙A . Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC .

Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A , причём AE=EA=A .

Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например , если , то

.

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .

Определителем второго порядка , соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a 11 a 22 – a 12 a 21 .

Определитель обозначается символом .

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

Определителем третьего порядка , соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

.

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a 11 , a 12 , a 13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки "+" и "–" у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

Заметим, что элементами матрицы могут быть не только числа. Представим себе, что вы описываете книги, которые стоят на вашей книжной полке. Пусть у вас на полке порядок и все книги стоят на строго определенных местах. Таблица , которая будет содержать описание вашей библиотеки (по полкам и следованию книг на полке), тоже будет матрицей. Но такая матрица будет не числовой. Другой пример. Вместо чисел стоят разные функции, объединенные между собой некоторой зависимостью. Полученная таблица также будет называться матрицей. Иными словами, Матрица , это любая прямоугольная таблица , составленная из однородных элементов. Здесь и далее мы будем говорить о матрицах, составленных из чисел.

Вместо круглых скобок для записи матриц применяют квадратные скобки или прямые двойные вертикальные линии

(2.1*)

Определение 2 . Если в выражении (1) m = n , то говорят о квадратной матрице , а если , то о прямоугольной .

В зависимости от значений m и n различают некоторые специальные виды матриц:

Важнейшей характеристикой квадратной матрицы является ее определитель или детерминант , который составляется из элементов матрицы и обозначается

Очевидно, что D E =1 ; .

Определение 3 . Если , то матрица A называется невырожденной или не особенной .

Определение 4 . Если detA = 0 , то матрица A называется вырожденной или особенной .

Определение 5 . Две матрицы A и B называются равными и пишут A = B , если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны, т.е .

Например, матрицы и равны, т.к. они равны по размеру и каждый элемент одной матрицы равен соответствующему элементу другой матрицы. А вот матрицы и нельзя назвать равными, хотя детерминанты обеих матриц равны, и размеры матриц одинаковые, но не все элементы, стоящие на одних и тех же местах равны. Матрицы и разные, так как имеют разный размер. Первая матрица имеет размер 2х3, а вторая 3х2. Хотя количество элементов одинаковое – 6 и сами элементы одинаковые 1, 2, 3, 4, 5, 6, но они стоят на разных местах в каждой матрице. А вот матрицы и равны, согласно определению 5.

Определение 6 . Если зафиксировать некоторое количество столбцов матрицы A и такое же количество ee строк, тогда элементы, стоящие на пересечении указанных столбцов и строк образуют квадратную матрицу n - го порядка, определитель которой называется минором k – го порядка матрицы A .

Пример . Выписать три минора второго порядка матрицы

Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Матрицы (и соответственно математический раздел - матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.

Матрицей A=A mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов .

Элементы матрицы a ij , у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ .

Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a 11 , a 22 ,..., a nn .

Равенство матриц.

A=B , если порядки матриц A и B одинаковы и a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Действия над матрицами.

1. Сложение матриц - поэлементная операция

2. Вычитание матриц - поэлементная операция

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

A mk *B kn =C mn причем каждый элемент с ij матрицы C mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е.

Покажем операцию умножения матриц на примере

5. Возведение в степень

m>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A T или A"

Строки и столбцы поменялись местами

Пример

Свойства опрераций над матрицами

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Виды матриц

1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа

2. Квадратные: m=n

3. Матрица строка: m=1 . Например, (1 3 5 7) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором

4. Матрица столбец: n=1 . Например

5. Диагональная матрица: m=n и a ij =0 , если i≠j . Например

6. Единичная матрица: m=n и

7. Нулевая матрица: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.

9. Симметрическая матрица: m=n и a ij =a ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A"=A

Например,

10. Кососимметрическая матрица: m=n и a ij =-a ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем a ii =-a ii )

Ясно, A"=-A

11. Эрмитова матрица: m=n и a ii =-ã ii (ã ji - комплексно - сопряженное к a ji , т.е. если A=3+2i , то комплексно - сопряженное Ã=3-2i )