Презентация на тему как начертить параболу. Презентация по математике на тему "Парабола. Родственники параболы ближние и дальние". Параболическая орбита и движение спутника по ней

Цель проекта: изучить одну из кривых второго порядка (параболу) и сферы её применения. Задачи проекта: 1. Дать строгое математическое определение параболы. 2. Изучить свойства параболы. 3. Выяснить, почему параболу называют коническим сечением. 4. Выявить области применения параболы.

Парабола (греч. παραβολή приложение) кривая, точки которой одинаково удалены от некоторой точки, называемой фокусом, и от некоторой прямой, называемой директрисой параболы. Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Изображение конического сечения, являющегося параболой. Построение параболы как конического сечения.

Построение параболы Первый способ. Параболу можно построить « по точкам » с помощью циркуля и линейки, не зная уравнения и имея в наличии только фокус и директрису. Вершина является серединой отрезка между фокусом и директрисой. На директрисе задаётся произвольная система отсчёта с нужным единичным отрезком. Каждая последующая точка является пересечением серединного перпендикуляра отрезка между фокусом и точкой директрисы, находящейся на кратном единичному отрезку расстоянии от начала отсчёта, и прямой, проходящей через эту точку и параллельной оси параболы

Построение параболы Второй способ. Для того чтобы нарисовать параболу, потребуются линейка, угольник, нить длиной, равной большему катету угольника, и кнопки. Прикрепим один конец нити к фокусу, а другой - к вершине меньшего угла угольника. Приложим линейку к директрисе и поставим на нее угольник меньшим катетом. Карандашом натянем нить так, чтобы его острие касалось бумаги и прижималось к большему катету. Будем перемещать угольник и прижимать к его катету карандаш так, чтобы нить оставалась натянутой. При этом карандаш будет вычерчивать на бумаге параболу.

Свойства параболы 1. Парабола кривая второго порядка. 2. Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе. 3. Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей. 4. Для параболы фокус находится в точке (0; 0.25). Для параболы фокус находится в точке (0; f). 5. Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб. 6. При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.

Свойства параболы Расстояние от Pn до фокуса F такое же, как и от Pn до Qn. Иллюстрация к доказательству теоремы Паскаля через теорему о 9 точках. Длина линий F-Pn-Qn одинакова. Можно сказать, что, в отличие от эллипса, второй фокус у параболы в бесконечности (см. также Шары Данделена).

Использование параболоидов в технике Параболоид вращения фокусирует пучок лучей, параллельный главной оси, в одну точку. Часто используется свойство параболоида вращения собирать пучок лучей, параллельный главной оси, в одну точку фокус, или, наоборот, формировать параллельный пучок излучения от находящегося в фокусе источника. На этом принципе основаны параболические антенны, телескопы - рефлекторы, прожекторы, автомобильные фары. Антенна радиотелескопа.

Солнечная зажигалка Оригинальный способ использования энергии Солнца. Солнечная зажигалка представляет собой параболическое зеркало из нержавеющей стали, почти такое же, как то, которое используется для зажигания Олимпийского огня в Афинах. Параболическое зеркало дает возможность собрать всю энергию в одной фокусной точке и зажечь огонь. Температура в этой точке может достигать 537- ми градусов по Цельсию. Такое устройство будет незаменимо в походе и в других полевых условиях.

Параболы в физическом пространстве Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды, чёрной дыры или просто планеты) на достаточно большой скорости имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела вследствие своей большой скорости и малой массы не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей.

Применение параболы в баллистике Баллистика (от греч. βάλλειν бросать) наука о движении тел, брошенных в пространстве, основанная на математике и физике. Она занимается, главным образом, исследованием движения снарядов, выпущенных из огнестрельного оружия, ракетных снарядов и баллистических ракет. Различают внутреннюю баллистику, занимающуюся исследованием движения снаряда в канале орудия, в противоположность внешней баллистике, исследующей движение снаряда по выходу из орудия. Под внешней баллистикой понимают, как правило, науку о движении тел в воздушном и безвоздушном пространстве под действием только внешних сил.

Висячий мост Структура конструкции. Основные напряжения в висячем мосте это напряжения растяжения в основных тросах и напряжения сжатия в опорах, напряжения в самом пролёте малы. Почти все силы в опорах направлены вертикально вниз и стабилизируются за счёт тросов, поэтому опоры могут быть очень тонкими. Сравнительно простое распределение нагрузок по разным элементам конструкции упрощает расчёт висячих мостов. Под действием собственного веса и веса мостового пролёта тросы провисают и образуют дугу, близкую к параболе. Ненагруженный трос, подвешенный между двумя опорами, принимает форму т. н. « цепной линии », которая близка к параболе в почти горизонтальном участке. Если весом тросов можно пренебречь, а вес пролёта равномерно распределён по длине моста, тросы принимают форму параболы. Если вес троса сравним с весом дорожного полотна, то его форма будет промежуточной между цепной линией и параболой.

Итоги В ходе работы над данным проектом: 1. Сформулировано строгое математическое определение параболы. 2. Рассмотрен способ построения параболы. 3. Изучены некоторые свойства параболы. 4. Выявлена связь между понятиями « парабола » и « конические сечения ». 5. Определены сферы применения параболы (физика, техника, баллистика, астрономия, архитектура, мостостроение). 6. Подтверждена значимость математики в окружающем мире.

Интернет - ресурсы Парабола Коническое сечение Антенна Рефлектор _(телескоп) Прожектор Фокус _(физика) Висячий мост Эллиптический параболоид

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока: воспроизведение и коррекция необходимых знаний и умений по данной теме;

анализ заданий и способов их выполнения;

развивать логическое мышление;

закрепить умение строить и “читать” графики;

прививать интерес к истории математики.

Тип урока: урок закрепления и проверки знаний, умений, навыков учащихся.

Оборудование:

• презентация PowerPoint;
• чертежные инструменты.

I . Историческая справка. (Слайд 2)

Аполлоний Пергский ( Перге, 262 до н.э. - 190 до н.э.) - древнегреческий математик, один из трёх (наряду с Евклидом и Архимедом) великих геометров античности, живших в III веке до н.э.

Аполлоний прославился в первую очередь монографией “Конические сечения” (8 книг), в которой дал содержательную общую теорию эллипса, параболы и гиперболы. Именно Аполлоний предложил общепринятые названия этих кривых; до него их называли просто “сечениями конуса”. Он ввёл и другие математические термины, латинские аналоги которых навсегда вошли в науку, в частности: асимптота, абсцисса, ордината, аппликата.

“Парабола” означает приложение или притча. Долгое время так называли линию среза конуса, пока не появилась квадратичная функция.

Применение свойств параболы в жизни.

Оказывается, что парабола график квадратичной функции - обладает вот каким интересным свойством: есть такая точка и такая прямая, что каждая точка параболы одинаково удалена от этой точки и от этой прямой (точку называют фокусом параболы, а прямую - ее директрисой). Это свойство параболы было известно уже математикам античной Греции.

Камень, брошенный под углом к горизонту, или снаряд, выпущенный из пушки, летят по траектории, имеющей форму параболы.

Если вращать параболу вокруг ее оси симметрии, то получится поверхность, которую называют параболоидом вращения. Если сильно размешать ложечкой воду в стакане, а потом вынуть ложечку, то поверхность воды примет форму такого параболоида.

А вот еще одно любопытное свойство: если параболоид вращения поворачивать вокруг его оси с подходящей скоростью, то равнодействующая центробежной силы и силы тяжести в каждой точке параболоида будет направлена перпендикулярно его поверхности.

На этом свойстве основан забавный аттракцион: если вращать большой параболоид, то каждому из людей, разместившихся внутри него, кажется, что он сам твердо стоит на полу, а все остальные люди каким-то чудом держатся на стенках.

II. Обобщение знаний о расположении графика параболы. (Слайд 3-5)

Рассматривая параболу …

В этом разделе мы покажем, как можно получить массу информации о коэффициентах квадратного трехчлена у =ах 2 + bх + с, рассматривая его график - параболу.

Сначала напомним хорошо известные факты.

1) Знак коэффициента а (при х 2) показывает направление ветвей параболы:

а > О - ветви вверх;

а < 0 - ветви вниз.

Модуль коэффициента, а отвечает за “крутизну”

параболы: чем больше тем “круче” парабола.

Решить упражнение 1 . (Слайд 6, 7)

Для каждого из квадратных трехчленов:

2) Коэффициент b (вместе с а) определяет абсциссу вершины параболы:

В частности, при а = 1 абсцисса вершины квадратного трехчлена у =х 2 + bх +с равнa .

При b > 0 вершина расположена левее оси Оу, при b < 0 - правее, при b = 0 - на оси Оу .

Решить упражнение 2 . (Слайд 8, 9)

Для каждого их квадратных трехчленов:

найдите на чертеже его график.

3) Сохраняя коэффициенты а и b и изменяя с , мы будем “поднимать” и “опускать” параболу. Как “прочитать” на чертеже значение с ?

Ясно, что с = y (0) -ордината точки пересечения параболы с осью Оу.

Решить упражнение 3 . (Слайд 11, 12)

а) Где какой график?

б) Что больше: с или 1 ?

в) Определите знак b .

Решить упражнение 4 . (Слайд 13, 14)

На чертеже изображены графики функций:

причем ось Оу , идущая, как всегда, “снизу вверх” перпендикулярно оси Ох , стерта.

а) Какая функция имеет график 1, а какая - 2?

б) Определите знаки c и d.

в) Определите знак b.

Решить упражнение 5 . (Слайд 15, 16)

На чертеже изображены графики функций:

у = х 2 + 4х + с,

у = х 2 + bx + d и у = х 2 + 1,

причем ось Ох , идущая, как всегда, “слева направо” перпендикулярно оси Оу , стерта.

а) Какая функция имеет график 1, какая - 2, а какая - 3?

б) Определите знак Ь .

в) Что больше: с или d ?

г) Определите знаки с и d .

Решить упражнение 6 . (Слайд 17–19)

На чертеже изображены графики функций:

у = ах 2 + х + с,

у = –х 2 + bх + 2

причем оси Оу и Ох, расположенные стандартным образом (параллельно краям листа, Ох - горизонтально “слева направо”, Оу - вертикально (“снизу вверх”), стерты.

а) Определите знак b .

б) Определите знак с.

в) Докажите, что:

• решение упражнений основывается на тех фактах, которые мы знаем о коэффициентах квадратного трехчлена;
• сойства параболы чрезвычайно богаты и разнообразны, используя их решите задачу.

Задача (слайд 20, 21).

Известно, что парабола, являющаяся графиком квадратного трехчлена у = ах 2 + 10х + с, не имеет точек в третьей четверти.

Какое из следующих утверждений может быть неверным?

(A) а>0

(B) Вершина параболы лежит во второй четверти.

(C) с > 0

(Е) 1ОО – 4 ас < 0.

Поскольку парабола не имеет точек в III четверти, то не может быть отрицательным. Итак, a > 0, следовательно, абсцисса вершины х 0 < 0. То есть вершина не может лежать ни в I, ни в IV четвертях. В III четверти ее нет по условию, значит, она лежит во II четверти. Итак, парабола обязана иметь такой вид, как показано на рисунке, поэтому условия А, В и С обязательно выполняются. Неравенство в Е означает, что дискриминант неположителен, то есть у квадратного трехчлена не более одного корня, - это условие тоже обязательно выполняется. Условие с > 0,1 ни из чего не следует.

Действительно, оно может быть нарушено, например, для параболы у = х 2 + 10х + 0,01, удовлетворяющей условиям задачи.

Ответ: (D).

У этого термина существуют и другие значения. (Литература)

Парабола – “сравнение, сопоставление, подобие, приближение”.

Небольшой рассказ иносказательного характера, имеющий поучительный смысл и особую форму повествования, которое движется как бы по кривой (параболе): начатый с отвлечённых предметов, рассказ постепенно приближается к главной теме, а затем вновь возвращается.

ПАРАБОЛА.

РОДСТВЕННИКИ ПАРАБОЛЫ -

БЛИЖНИЕ И ДАЛЬНИЕ

Сильченко Ольга, Изотова Анна

ученицы 9 класса МБОУ Страшевичская СОШ

учитель: Самолысова Татьяна Васильевна

Цель проекта:

изучить одну из кривых второго порядка (параболу) и сферы её применения.

Задачи проекта:

1.Дать математическое определение параболы.

2. Изучить свойства параболы.

3. Выяснить, почему параболу называют коническим сечением.

4.Найти сведения о «родственниках» параболы

5. Выявить области применения параболы

Всем нам хорошо знаком квадратный трехчлен, про который казалось бы, мы все знаем: и как корни находить, и как график строить, и как неравенства квадратичные решать... Но это поспешное суждение - у нашего старого знакомого есть немало секретов и сюрпризов!

Пара́бола (греч. παραβολή - приложение) -кривая, точки которой одинаково удалены от некоторой точки, называемой фокусом, и от некоторой прямой, называемой директрисой параболы.

Парабола - это сечение конуса плоскостью, параллельной его образующей.

Еще один способ построения

Оказывается, что парабола – график квадратичной функции – обладает интересным свойством: есть такая точка и такая прямая, что каждая точка параболы одинаково удалена от этой точки и от этой прямой (точку называют фокусом параболы, а прямую – директрисой). Это свойство параболы было известно еще математикам античной Греции. Для графика функции у = х 2 фокусом служит точка с координатами (0;0,25), а директрисой – прямая у = -0,25.

Попробуйте придумать, как можно строить параболу, используя это свойство.

Свойства параболы

1. Парабола - кривая второго порядка.

2. Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.

3.Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.

4. Для параболы фокус находится в точке (0; 0.25).

Для параболы фокус находится в точке (0; f).

5.Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.

Самые близкие родственники параболы – это окружность , гипербола и эллипс.

А роднит все эти кривые обыкновенный конус:

провести плоскость, которая параллельна оси конуса,

то линией пересечения окажется гипербола

• если плоскость перпендикулярна оси, то пересечение – окружность ,

• если плоскость расположить между последними двумя,

то в пересечении получится эллипс.

если плоскость параллельна образующей конуса, то в пересечении получится парабола ,

Поэтому все эти кривые вместе называют коническими сечениями.

Уже в 340 году до нашей эры греческий математик Менехм знал о таком свойстве этих кривых, а во втором веке до нашей эры Аполлоний из Перги написал подобный трактат «Конические сечения».

Циклоида.

Еще одна знаменитая родственница параболы - циклоида. Это траектория точки обода колеса, которое катится без скольжения по прямой. Такое название дал кривой Галилей. Если спускаться на санках с горки построенной в виде циклоиды, то время спуска не зависит от того, с какого места начали катиться санки. Но зато спуск с той же высоты по горке любой другой формы займет больше времени. Из-за этого свойства циклоиду еще называют «брахистохроной» (от греческих слов, означающих «кратчайший» и «время»).

Параболоид вращения.

Если вращать параболу вокруг ее оси вращения то получится поверхность, которую называют параболоидом вращения.

Если сильно размешать ложечкой воду в стакане, а потом вынуть ложечку, то поверхность воды примет форму такого параболоида.

Использование параболоидов в технике

Параболоид вращения фокусирует пучок лучей, параллельный главной оси, в одну точку.

Часто используется свойство параболоида вращения собирать пучок лучей, параллельный главной оси, в одну точку - фокус, или, наоборот, формировать параллельный пучок излучения от находящегося в фокусе источника.

На этом принципе основаны параболические антенны, телескопы-рефлекторы, прожекторы, автомобильные фары.

Использование параболоидов в технике

Телескопы-рефлекторы

Прожектор

Автомобильные фары

Солнечная зажигалка

Оригинальный способ использования энергии Солнца. Солнечная зажигалка представляет собой параболическое зеркало из нержавеющей стали, почти такое же, как то, которое используется для зажигания Олимпийского огня в Афинах.

Параболическое зеркало дает возможность собрать всю энергию в одной фокусной точке и зажечь огонь. Температура в этой точке может достигать 537-ми градусов по Цельсию. Такое устройство будет незаменимо в походе и в других полевых условиях.

Параболы в физическом пространстве

Параболическая орбита и движение спутника по ней

Падение баскетбольного мяча

Параболическая солнечная электростанция в Калифорнии, США.

Парабола в природе

Парабола. Её форма невероятна, как, впрочем, и высота. Некоторые люди

до сих пор не верят в существование этой странной скалы. Так и говорят:

“ Нет ни бога, ни Параболы. А то, что показывают – это фотошоп.”

Парабола в живой природе

Несомненно заблуждается тот, кто считает, что параболу можно встретить только на страницах учебника. Внимательно посмотрите на рисунки и найдите в них параболы.

Сами выполните несколько рисунков листьев, цветов,животных и найдите в них параболы.

Параболы в животном мире

Траектории прыжков животных близки к параболе

Итоги

В ходе работы над данным проектом :

1. Сформулировано строгое математическое определение параболы.

2. Рассмотрен способ построения параболы.

3. Изучены некоторые свойства параболы.

4. Выявлена связь между понятиями «парабола» и «конические сечения», найдены родственники параболы.

5. Определены сферы применения параболы(физика, техника, астрономия, архитектура и др.).

6. Подтверждена значимость математики в окружающем мире.

Список использованных источников:

1. Энциклопедический словарь юного математика. Составитель А.П.Савин, М, Педагогика, 1982 год.

2. Энциклопедия для детей, том 11, "Математика", М, "Аванта+", 1998 год.

3. Математический клуб "Кенгуру", "Вокруг квадратного трехчлена" СПб, 2002 год.

4. Сайт http://www/uvlekat - matem.narod.ru/

5.Сайт www.bigpi.biysk.ru

6.Сайт ru.wikipedia.org › Коническое сечение