Fysikk formel for oscillerende bevegelse. Mekaniske vibrasjoner. Energiomdannelse i oscillerende systemer

4.2. Konsepter og definisjoner av avsnittet "svingninger og bølger"

Ligningen harmoniske vibrasjoner og hans løsning:

, x=Acos(ω 0 t+α ) ,

EN– oscillasjonsamplitude;

α er startfasen av svingninger.

Oscillasjonsperiode materiell poeng, som svinger under påvirkning av en elastisk kraft:

hvor m er massen til et materiell punkt;

k er stivhetsfaktoren.

Oscillasjonsperiode for en matematisk pendel:

hvor l er lengden på pendelen;

g\u003d 9,8 m / s 2 - akselerasjon av fritt fall.

Amplituden til oscillasjoner oppnådd ved å legge til to like rettede harmoniske oscillasjoner:

hvor EN 1 og MEN 2 - amplituder av oscillasjonsledd;

φ 1 og φ 2 er startfasene til oscillasjonsleddene.

Den innledende fasen av oscillasjoner oppnådd ved å legge til to identisk rettede harmoniske oscillasjoner:

.

Ligningen dempet svingninger og hans løsning:

, ,

er frekvensen til dempede oscillasjoner,

her er ω 0 den naturlige oscillasjonsfrekvensen.

Logaritmisk dempingsreduksjon:

hvor β er dempningskoeffisienten;

er perioden med dempede svingninger.

Kvalitetsfaktor for det oscillerende systemet:

hvor θ er den logaritmiske dempningsfaktoren

Ligningen for tvangssvingninger og dens steady-state løsning:

, x=A cos (ω t-φ ),

hvor F 0 er amplitudeverdien til kraften;

er amplituden til dempede oscillasjonene;

φ= - innledende fase.

resonansfrekvens svingninger:

,

hvor ω 0 er den naturlige sykliske oscillasjonsfrekvensen;

β er dempningskoeffisienten.

Dempede elektromagnetiske oscillasjoner i en krets som består av en kapasitansC, induktansLog motstandR:

,

hvor q- ladning på kondensatoren;

q m er amplitudeverdien til ladningen på kondensatoren;

β = R/2L er dempningskoeffisienten,

her R- sløyfemotstand;

L er induktansen til spolen;

– syklisk oscillasjonsfrekvens;

her er ω 0 den naturlige oscillasjonsfrekvensen;

α er startfasen av svingninger.

Periode med elektromagnetiske oscillasjoner:

,

hvor FRA er kapasitansen til kondensatoren;

L er induktansen til spolen;

R- sløyfemotstand.

Hvis sløyfemotstanden er liten, så ( R/2L) 2 <<1/LC, deretter oscillasjonsperioden:

Bølgelengde:

hvor v- bølge forplantningshastighet;

T er svingningsperioden.

Planbølgeligning:

ξ = A cos (ω t-kx),

hvor EN- amplitude;

ω er den sykliske frekvensen;

er bølgetallet.

Sfærisk bølgeligning:

,

hvor EN- amplitude;

ω er den sykliske frekvensen;

k er bølgetallet;

r er avstanden fra bølgesenteret til det betraktede punktet på mediet.

? Frie harmoniske svingninger i kretsen

En ideell krets er en elektrisk krets som består av en seriekoblet kondensator med en kapasitet på FRA og induktorer L. I følge den harmoniske loven vil spenningen på kondensatorplatene og strømmen i induktoren endres.

? Harmonisk oscillator. Fjær, fysiske og matematiske pendler, deres svingeperioder

En harmonisk oscillator er ethvert fysisk system som svinger. Klassiske oscillatorer - fjær, fysiske og matematiske pendler. Fjærpendel - massebelastning m suspendert på en perfekt elastisk fjær og utfører harmoniske svingninger under påvirkning av en elastisk kraft. T= . En fysisk pendel er et stivt legeme med vilkårlig form som svinger under påvirkning av tyngdekraften rundt en horisontal akse som ikke går gjennom tyngdepunktet. T= . En matematisk pendel er et isolert system som består av et materialpunkt med masse m hengt opp på en uutvidelig vektløs tråd av lengde L, og oscillerende under påvirkning av tyngdekraften. T= .

? Frie udempede mekaniske oscillasjoner (ligning, hastighet, akselerasjon, energi). Grafisk fremstilling av harmoniske svingninger.

Oscillasjoner kalles frie hvis de utføres på grunn av den opprinnelig tilførte energien med påfølgende fravær av ytre påvirkninger på oscillerende systemet. Verdien endres i henhold til loven om sinus eller cosinus. , S- forskyvning fra likevektsposisjonen, MEN-amplitude, w 0 - syklisk frekvens, -startfase av svingninger. Hastighet, akselerasjon. Energi full - E= . Grafisk - ved hjelp av en sinusbølge eller en cosinusbølge.

? Konseptet med oscillerende prosesser. Harmoniske oscillasjoner og deres egenskaper. Periode, amplitude, frekvens og fase av svingninger. Grafisk fremstilling av harmoniske svingninger.

Periodiske prosesser som gjentar seg over tid kalles oscillerende. Periodiske svingninger, der kroppens koordinater endres med tiden i henhold til sinus- eller cosinusloven, kalles harmoniske. Periode er tiden for én svingning. Amplitude - den maksimale forskyvningen av et punkt fra likevektsposisjonen. Frekvens - antall komplette svingninger per tidsenhet. Fase - en verdi som er under tegnet for sinus eller cosinus. Ligningen: , her S- mengde som karakteriserer tilstanden til det oscillerende systemet, - syklisk frekvens. Grafisk - ved hjelp av en sinusbølge eller en cosinusbølge.

? dempet vibrasjoner. Differensialligningen til disse svingningene. Logaritmisk demping, reduksjonstid, kvalitetsfaktor.

Oscillasjoner hvis amplitude avtar med tiden, for eksempel på grunn av friksjonskraften. Ligningen: , her S- mengde som karakteriserer tilstanden til det oscillerende systemet, - syklisk frekvens, - dempningskoeffisient. Logaritmisk demping dekrement , hvor N er antall svingninger gjort i løpet av tiden for amplitudenedgang i N en gang. Avspenningstid t- hvor amplituden avtar med en faktor på e. Kvalitetsfaktor Q=.

? Udempede tvangssvingninger. Differensialligningen til disse svingningene. Hva kalles resonans? Amplitude og fase av tvungne oscillasjoner.

Hvis energitapene til svingninger, som fører til demping av dem, kompenseres fullt ut, etableres udempede svingninger. Ligningen: . Her er den høyre siden den ytre påvirkningen som endres i henhold til den harmoniske loven. Hvis den naturlige oscillasjonsfrekvensen til systemet faller sammen med den eksterne, skjer resonans - en kraftig økning i amplituden til systemet. Amplitude , .

? Beskriv tillegget av vibrasjoner i samme retning og samme frekvens, gjensidig vinkelrette vibrasjoner. Hva er beats?

Amplituden til den resulterende oscillasjonen som er et resultat av tillegg av to harmoniske oscillasjoner i samme retning og samme frekvens, her MEN er amplitudene, j er startfasene. Den innledende fasen av den resulterende oscillasjonen . Gjensidig vinkelrette oscillasjoner - Banelikning , her MEN Og I amplituder av de tilførte oscillasjonene, j-faseforskjell.

? Karakteriser avspenningssvingningene; selvsvingninger.

Avslapning - selvsvingninger, som skiller seg sterkt i form fra harmoniske, på grunn av den betydelige spredningen av energi i selvsvingende systemer (friksjon i mekaniske systemer). Selvsvingninger er udempede svingninger støttet av eksterne energikilder i fravær av en ekstern variabel kraft. Forskjellen fra tvangssvingninger er at frekvensen og amplituden til selvsvingninger bestemmes av egenskapene til selve oscillasjonssystemet. Forskjellen fra frie oscillasjoner - de skiller seg i uavhengigheten av amplituden fra tid og fra den første kortsiktige påvirkningen som begeistrer prosessen med oscillasjoner. Et eksempel på et selvoscillerende system er en klokke.

? Bølger (grunnleggende begreper). Langsgående og tverrgående bølger. stående bølge. Bølgelengde, dens forhold til periode og frekvens.

Prosessen med forplantning av oscillasjoner i rommet kalles en bølge. Retningen for overføring av vibrasjonsenergi av bølgen er retningen for bølgebevegelse. Longitudinell - oscillasjon av partiklene i mediet skjer i retning av bølgeutbredelse. Tverrgående - fluktuasjoner av partiklene i mediet forekommer vinkelrett på retningen for bølgeutbredelse. En stående bølge dannes når to vandrebølger forplanter seg mot hverandre med samme frekvenser og amplituder, og når det gjelder tverrbølger, med samme polarisering. Bølgelengde er avstanden en bølge tilbakelegger i løpet av en periode. (bølgelengde, v- bølgehastighet, T- oscillasjonsperiode)

? Prinsippet om superposisjon (superposisjon) av bølger. Gruppehastighet og dens forhold til fasehastighet.

Prinsippet om superposisjon - når flere bølger forplanter seg i et lineært medium, forplanter hver seg som om det ikke var andre bølger, og den resulterende forskyvningen av en partikkel av mediet til enhver tid er lik den geometriske summen av forskyvningene som partiklene motta, deltar i hver av komponentene i bølgeprosessene. Gruppehastighet - bevegelseshastigheten til en gruppe bølger som danner en lokalisert bølgepakke i hvert øyeblikk av tiden i rommet. Hastigheten til bølgefasen er fasehastigheten. I et ikke-spredt medium faller de sammen.

? Elektromagnetisk bølge og dens egenskaper. Energi av elektromagnetiske bølger.

Elektromagnetisk bølge - elektromagnetiske oscillasjoner som forplanter seg i rommet. Eksperimentelt oppnådd av Hertz i 1880. Egenskaper - kan forplante seg i media og vakuum, lik c i vakuum, mindre i media, tverrgående, E Og B gjensidig vinkelrett og vinkelrett på forplantningsretningen. Intensiteten øker med en økning i akselerasjonen til en utstrålende ladet partikkel, under visse forhold vises typiske bølgeegenskaper - diffraksjon osv. Volumetrisk energitetthet .

Optikk

Grunnleggende formler for optikk

Lysets hastighet i mediet:

hvor c er lysets hastighet i vakuum;

n er brytningsindeksen til mediet.

Optisk veilengde for lysbølgen:

L = ns,

hvor s– geometrisk veilengde til en lysbølge i et medium med brytningsindeks n.

Optisk veiforskjell for to lysbølger:

∆ = L 1 – L 2 .

Avhengigheten av faseforskjellen på den optiske veiforskjellen til lysbølger:

hvor λ er lysets bølgelengde.

Betingelsen for maksimal forsterkning av lys under interferens:

∆ = kλ ( = 0, 1, 2, …) .

Forutsetning for maksimal lysdemping:

Den optiske veiforskjellen til lysbølger som oppstår når monokromatisk lys reflekteres fra en tynn film:

∆ = 2d ,

hvor d er filmtykkelsen;

n er brytningsindeksen til filmen;

jeg i er lysbrytningsvinkelen i filmen.

Lysradius Newtons ringer i reflektert lys:

rk = , (k = 1, 2, 3, …),

hvor k- ringenummer;

R er krumningsradiusen.

Radius av Newtons mørke ringer i reflektert lys:

rk = .

Avbøyningsvinkelen φ til strålene som tilsvarer maksimum (lysbånd) under diffraksjon med en spalte bestemmes fra betingelsen

en sinφ = (k = 0, 1, 2, 3, …),

hvor en– sporbredde;

k er ordenstallet til maksimum.

Injeksjonφ av stråleavbøyningen som tilsvarer maksimum (lysbånd) under lysdiffraksjon på et diffraksjonsgitter bestemmes ut fra betingelsen

d sinφ = (k = 0, 1, 2, 3, …),

hvor d er perioden for diffraksjonsgitteret.

Oppløsning av diffraksjonsgitteret:

R= = kN,

hvor ∆λ er den minste bølgelengdeforskjellen mellom to nabospektrallinjer (λ og λ+∆λ) hvor disse linjene kan sees separat i spekteret oppnådd ved hjelp av et gitt gitter;

N er det totale antallet gitterspor.

Wulf-Braggs formel:

2d sinθ = κ λ,

hvor θ er blikkvinkelen (vinkelen mellom retningen til den parallelle røntgenstrålen som faller inn på krystallen og atomplanet i krystallen);

d er avstanden mellom krystallens atomplan.

Brewsters lov:

tg ε B=n 21 ,

hvor ε B er innfallsvinkelen ved hvilken strålen som reflekteres fra dielektrikumet er fullstendig polarisert;

n 21 er den relative brytningsindeksen til det andre mediet i forhold til det første.

Malus lov:

jeg = jeg 0 cos 2 α ,

hvor Jeg 0 er intensiteten av planpolarisert lys som faller inn på analysatoren;

Jeg er intensiteten til dette lyset etter analysatoren;

α er vinkelen mellom vibrasjonsretningen til den elektriske vektoren av lys som faller inn på analysatoren og transmisjonsplanet til analysatoren (hvis vibrasjonene til den elektriske vektoren til det innfallende lyset faller sammen med dette planet, sender analysatoren dette lyset uten demping).

Rotasjonsvinkelen til polariseringsplanet til monokromatisk lys når den passerer gjennom et optisk aktivt stoff:

a) φ = αd(i faste stoffer),

hvor α er rotasjonskonstanten;

d er lengden på banen som lyset har reist i en optisk aktiv substans;

b) φ = [α]pd(i løsninger),

hvor [α] – spesifikk rotasjon;

s er massekonsentrasjonen av det optisk aktive stoffet i løsningen.

Lett trykk ved normal innfall på en overflate:

,

hvor Henne- energibelysning (bestråling);

ω er volumtettheten til strålingsenergi;

ρ er refleksjonskoeffisienten.

4.2. Konsepter og definisjoner av seksjonen "optikk"

? Bølgeinterferens. Sammenheng. Maksimal og minimum tilstand.

Interferens - gjensidig forsterkning eller demping av koherente bølger når de er overlagret (koherent - har samme lengde og konstant faseforskjell på punktet for deres superposisjon).

Maksimum ;

minimum .

Her er D den optiske veiforskjellen, l er bølgelengden.

? Huygens-Fresnel-prinsippet. Fenomenet diffraksjon. Spaltediffraksjon, diffraksjonsrist.

Huygens-Fresnel-prinsippet - hvert punkt i rommet som en forplantende bølge har nådd på et gitt tidspunkt blir en kilde til elementære koherente bølger. Diffraksjon er bøying av hindringer av bølger, hvis størrelsen på hindringen er sammenlignbar med bølgelengden, lysets avvik fra rettlinjet forplantning. Spaltediffraksjon er i parallelle stråler. En plan bølge faller på en hindring, diffraksjonsmønsteret observeres på en skjerm plassert i fokalplanet til en konvergerende linse installert i lysbanen som passerer gjennom hindringen. Et "diffraksjonsbilde" av en fjern lyskilde oppnås på skjermen. Et diffraksjonsgitter er et system av parallelle spalter med lik bredde, som ligger i samme plan, atskilt med ugjennomsiktige gap med lik bredde. Brukes til å dekomponere lys til et spektrum og måle bølgelengder.

? Lysspredning (normal og unormal). Boogers lov. Betydningen av absorpsjonskoeffisienten.

Lysspredning - avhengighet av den absolutte brytningsindeksen til et stoff n på frekvensen ν (eller bølgelengden λ) til lyset som faller inn på stoffet (). Lyshastigheten i vakuum avhenger ikke av frekvens, så det er ingen spredning i vakuum. Normal spredning av lys - hvis brytningsindeksen øker monotont med økende frekvens (minker med økende bølgelengde). Anomal spredning - hvis brytningsindeksen monotont avtar med økende frekvens (øker med økende bølgelengde). En konsekvens av spredning er nedbrytning av hvitt lys til et spektrum når det brytes i et stoff. Absorpsjonen av lys i materie er beskrevet av Bouguers lov

Jeg 0 og Jeg er intensiteten til en plan monokromatisk lysbølge ved inngangen og utgangen til et lag med absorberende materiale med en tykkelse X, a - absorpsjonskoeffisient, avhenger av bølgelengden, forskjellig for forskjellige stoffer.

? Hva er bølgepolarisering? Oppnå polariserte bølger. Malus lov.

Polarisering består i å tilegne seg en overveiende orientering av retningen til svingninger i tverrgående bølger. Ordning i orienteringen av intensitetsvektorene til elektriske og magnetiske felt til en elektromagnetisk bølge i et plan vinkelrett på forplantningsretningen til en lysstråle. E , B - vinkelrett. Naturlig lys kan konverteres til polarisert lys ved hjelp av polarisatorer. Malus' lov ( Jeg 0 - passert gjennom analysatoren, Jeg passert gjennom en polarisator).

? Corpuscular-wave dualisme. De Broglies hypotese.

Historisk sett har to teorier om lys blitt fremsatt: korpuskulær - lysende legemer sender ut partikler - korpuskler (bevis - svart kroppsstråling, fotoelektrisk effekt) og bølge - et lysende legeme forårsaker elastiske vibrasjoner i miljøet som forplanter seg som lydbølger i luft (bevis) - fenomener med interferens, diffraksjon, lyspolarisering). Broglies hypotese - korpuskulære bølgeegenskaper er iboende ikke bare for fotoner, men også for partikler som har en hvilemasse - elektroner, protoner, nøytroner, atomer, molekyler. ? Fotoelektrisk effekt. Einsteins ligning.

Den fotoelektriske effekten er fenomenet lysets interaksjon med materie, som et resultat av at energien til fotoner overføres til materiens elektroner. Ligningen: (energien til et foton brukes på arbeidsfunksjonen til elektronet og kommunikasjonen av kinetisk energi til elektronet)

Eventuelle svingninger representerer bevegelse med variabel akselerasjon. Avbøyning, hastighet og akselerasjon er i dette tilfellet funksjoner av tid. Periodisitet er typisk for eventuelle fluktuasjoner, dvs. bevegelsen gjentas etter at tiden har gått T, kalt varigheten eller perioden for oscillasjonen. Oscillasjoner oppstår når energi overføres til et system som er i stand til å oscillere.
Det er nødvendig å skille:

Kontinuerlige svingninger

Kontinuerlige svingninger, forekommer med konstant amplitude Ym. Det antas at den inngående energien i dette tilfellet er bevart. Omtrent foregår slike forhold ved lave energitap og kort observasjonstid. For å oppnå virkelig udempede svingninger, er det nødvendig å regelmessig etterfylle den tapte energien.

dempet vibrasjoner

Dempede oscillasjoner reduserer gradvis amplituden deres Ym. Uten påfyll av energi dør eventuelle vibrasjoner ut.

Viktige oscillasjonsegenskaper

Harmoniske svingninger oppstår i henhold til loven:

x = EN cos(ω t + φ 0),

hvor x er forskyvningen av partikkelen fra likevektsposisjonen, MEN- oscillasjonsamplitude, ω - sirkulær frekvens, φ 0 - startfase, t- tid.

Oscillasjonsperiode T = .

Hastigheten til den oscillerende partikkelen:

υ = = – ENω sin (ω t + φ 0),

akselerasjon en = = –ENω 2 cos (ω t + φ 0).

Kinetisk energi til en partikkel som gjør en oscillerende bevegelse: E k = =
sin 2 (ω t+ φ 0).

Potensiell energi:

E n=
cos 2 (ω t + φ 0).

Perioder med oscillasjon av pendler

- våren T =
,

hvor m- vekt av last k- koeffisient for fjærstivhet,

- matematisk T = ,

hvor l- opphengslengde, g- tyngdeakselerasjon,

– fysisk T =
,

hvor Jeg er treghetsmomentet til pendelen rundt aksen som går gjennom opphengspunktet, m er massen til pendelen, l er avstanden fra opphengspunktet til massesenteret.

Den reduserte lengden på den fysiske pendelen er funnet fra tilstanden: l np= ,

betegnelsene er de samme som for den fysiske pendelen.

Når du legger til to harmoniske oscillasjoner med samme frekvens og en retning, oppnås en harmonisk oscillasjon med samme frekvens med en amplitude:

EN = EN 1 2 + EN 2 2 + 2EN 1 EN 2 cos(φ 2 – φ 1)

og startfase: φ = arctg
.

hvor MEN 1 , EN 2 - amplituder, φ 1, φ 2 - innledende faser av de tilførte oscillasjonene.

Banen til den resulterende bevegelsen når man legger til gjensidig vinkelrette svingninger med samme frekvens:

+ – cos (φ 2 - φ 1) = sin 2 (φ 2 - φ 1).

Dempede oscillasjoner oppstår i henhold til loven:

x = EN 0 e - β t cos(ω t + φ 0),

der β er dempningskoeffisienten, er betydningen av de gjenværende parameterne den samme som for harmoniske svingninger, MEN 0 er startamplituden. På tidspunktet t oscillasjonsamplitude:

EN = EN 0 e - β t .

Den logaritmiske dempingsreduksjonen kalles:

λ = log
= β T,

hvor T– oscillasjonsperiode: T = .

Kvalitetsfaktoren til et oscillerende system kalles:

Den flyreisende bølgeligningen har formen:

y = y 0 cos ω( t ± ),

hvor på er forskyvningen av den oscillerende størrelsen fra likevektsposisjonen, på 0 – amplitude, ω – sirkulær frekvens, t- tid, X er koordinaten som bølgen forplanter seg langs, υ er hastigheten på bølgeutbredelsen.

"+"-tegnet tilsvarer en bølge som forplanter seg mot aksen X, tilsvarer "–"-tegnet en bølge som forplanter seg langs aksen X.

Bølgelengden kalles dens romlige periode:

λ = υ T,

hvor υ er bølgeutbredelseshastigheten, T er perioden med forplantende svingninger.

Bølgeligningen kan skrives:

y = y 0 cos 2π (+).

En stående bølge er beskrevet av ligningen:

y = (2y 0 cos ) cos ω t.

Amplituden til den stående bølgen er satt i parentes. Punkter med maksimal amplitude kalles antinoder,

x n = n ,

punkter med null amplitude - noder,

x y = ( n + ) .

Eksempler på problemløsning

Oppgave 20

Amplituden til de harmoniske oscillasjonene er 50 mm, perioden er 4 s, og startfasen . a) Skriv ned ligningen for denne oscillasjonen; b) finn forskyvningen av svingepunktet fra likevektsposisjonen ved t=0 og kl t= 1,5 s; c) tegne en graf av denne bevegelsen.

Løsning

Oscillasjonsligningen skrives som x = en cos( t+  0).

Etter tilstand er svingningsperioden kjent. Gjennom den kan du uttrykke den sirkulære frekvensen  = . Andre parametere er kjent:

men) x= 0,05 cos( t + ).

b) Offset x på t= 0.

x 1 = 0,05 cos = 0,05 = 0,0355 m.

På t= 1,5 s

x 2 = 0,05 cos( 1,5 + )= 0,05 cos  = - 0,05 m.

i ) funksjonsgraf x=0,05cos ( t + ) følgende:

La oss bestemme plasseringen av flere punkter. kjent X 1 (0) og X 2 (1,5), samt oscillasjonsperioden. Så gjennom  t= 4 s verdi X gjentar, og gjennom  t = 2 c skifter fortegn. Mellom maksimum og minimum i midten - 0.

Oppgave 21

Poenget lager en harmonisk svingning. Oscillasjonsperioden er 2 s, amplituden er 50 mm, startfasen er null. Finn hastigheten til punktet på det tidspunktet dets forskyvning fra likevektsposisjonen er 25 mm.

Løsning

1 vei. Vi skriver ligningen for punktoscillasjon:

x= 0,05 cos t, fordi  = =.

Finne fart til tida t:

υ = = – 0,05 fordi  t.

Finn øyeblikket når forskyvningen er 0,025 m:

0,025 = 0,05 cos t 1 ,

derav cos  t 1 = ,  t 1 = . Vi erstatter denne verdien i uttrykket for hastighet:

υ = - 0,05  synd = – 0,05 = 0,136 m/s.

2-veis. Total energi av oscillerende bevegelse:

E =
,

hvor men– amplitude,  – sirkulær frekvens, m – partikkelmasse.

I hvert øyeblikk er det summen av punktets potensielle og kinetiske energi

E k = , E n = , men k = m 2, altså E n =
.

Vi skriver loven om bevaring av energi:

= +
,

herfra får vi: en 2  2 = υ 2 +  2 x 2 ,

υ = 
= 
= 0,136 m/s.

Oppgave 22

Amplitude av harmoniske oscillasjoner til et materialpunkt MEN= 2 cm, total energi E= 3∙10 -7 J. Ved hvilken forskyvning fra likevektsposisjonen virker kraften på svingepunktet F = 2,25∙10 -5 N?

Løsning

Den totale energien til et punkt som lager harmoniske svingninger er lik: E =
. (13)

Elastisk kraftmodulen uttrykkes gjennom forskyvning av punkter fra likevektsposisjonen x på følgende måte:

F = k x (14)

Formel (13) inkluderer massen m og sirkulær frekvens , og i (14) - stivhetskoeffisient k. Men den sirkulære frekvensen er relatert til m Og k:

 2 = ,

herfra k = m 2 og F = m 2 x. Uttrykke m 2 fra relasjon (13) får vi: m 2 = , F = x.

Hvorfra får vi uttrykket for forskyvningen x: x = .

Substitusjon av numeriske verdier gir:

x =
= 1,5∙10 -2 m = 1,5 cm.

Oppgave 23

Punktet deltar i to svingninger med samme perioder og innledende faser. Oscillasjonsamplituder MEN 1 \u003d 3 cm og A 2 \u003d 4 cm. Finn amplituden til den resulterende oscillasjonen hvis: 1) svingningene skjer i én retning; 2) vibrasjoner er gjensidig vinkelrett.

Løsning

Hvis oscillasjoner oppstår i én retning, bestemmes amplituden til den resulterende oscillasjonen som:

hvor MEN 1 og MEN 2 – amplituder av ekstra oscillasjoner,  1 og  2 – startfaser. Etter betingelse er startfasene de samme, som betyr  2 -  1 = 0, og cos 0 = 1.

Følgelig:

EN =
=
= MEN 1 +MEN 2 = 7 cm.

Hvis oscillasjonene er gjensidig vinkelrett, vil ligningen for den resulterende bevegelsen være:

cos( 2 -  1) = sin 2 ( 2 -  1).

Siden i henhold til betingelsen  2 -  1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0, vil ligningen bli skrevet som:
=0,

eller
=0,

eller
.

Det resulterende forholdet mellom x Og på kan vises på en graf. Det kan sees av grafen at resultatet vil være fluktuasjonen av et punkt på en rett linje MN. Amplituden til denne oscillasjonen er definert som: EN =
= 5 cm.

Oppgave 24

Periode med dempede svingninger T\u003d 4 s, den logaritmiske dempingsreduksjonen  \u003d 1,6, startfasen er null. Punktforskyvning kl t = lik 4,5 cm 1) Skriv ligningen for denne oscillasjonen; 2) Bygg en graf over denne bevegelsen i to perioder.

Løsning

Ligningen for dempede svingninger med null startfase har formen:

x = EN 0 e -  t cos2 .

For å erstatte numeriske verdier er det ikke nok verdier for den opprinnelige amplituden MEN 0 og dempningsfaktor .

Dempningskoeffisienten kan bestemmes fra forholdet for den logaritmiske dempingsreduksjonen:

 = T.

Dermed  = = = 0,4 s-1.

Startamplituden kan bestemmes ved å erstatte den andre betingelsen:

4,5 cm = EN 0
cos 2 = A 0
cos = EN 0
.

Herfra finner vi:

EN 0 = 4,5∙

(cm) = 7,75 cm.

Den endelige bevegelsesligningen er:

x = 0,0775
koste.

Oppgave 25

Hva er den logaritmiske dempingsreduksjonen til en matematisk pendel, hvis t = 1 min reduserte amplituden til oscillasjonene med det halve? pendellengde l = 1 m.

Løsning

Den logaritmiske dempingsreduksjonen kan finnes fra relasjonen: =  T,

hvor  er dempningskoeffisienten, T er svingningsperioden. Naturlig sirkulær frekvens av den matematiske pendelen:

 0 =
\u003d 3,13 s -1.

Oskan bestemmes fra tilstanden: EN 0 = EN 0 e -  t ,

t= ln2 = 0,693,

 =
= 0,0116c-1.

Fordi <<  0 , то в формуле  =
kan neglisjeres  sammenlignet med  0 og oscillasjonsperioden kan bestemmes av formelen: T = = 2c.

Erstatter  og T inn i uttrykket for den logaritmiske dempingsreduksjonen og vi får:

 = T\u003d 0,0116 s -1 ∙ 2 s \u003d 0,0232.

Oppgave 26

Ligningen for udempede svingninger er gitt i formen x= 4 sin600 t cm.

Finn forskyvningen fra likevektsposisjonen til et punkt som befinner seg på avstand l= 75 cm fra vibrasjonskilden, gjennom t= 0,01 s etter starten av svingningene. Bølgeutbredelseshastighet υ = 300 m/s.

Løsning

La oss skrive ligningen til en bølge som forplanter seg fra en gitt kilde: x= 0,04 sin 600 ( t– ).

Finn fasen til bølgen på et gitt tidspunkt på et gitt sted:

t– = 0,01 –= 0,0075 ,

600 ∙ 0,0075 \u003d 4,5,

sin 4.5 \u003d sin \u003d 1.

Derfor poengskiftet x= 0,04 m, dvs. på avstand l =75 cm fra kilden til gangen t= 0,01 s punktforskyvning maksimum.

Bibliografi

Volkenstein V.S.. Samling av oppgaver for det generelle kurset i fysikk. - St. Petersburg: SpecLit, 2001.

Saveliev I.V.. Samling av spørsmål og problemer i generell fysikk. – M.: Nauka, 1998.

Harmoniske oscillasjoner - svingninger utført i henhold til lovene om sinus og cosinus. Følgende figur viser en graf over endringen i koordinaten til et punkt over tid i henhold til cosinusloven.

bilde

Oscillasjonsamplitude

Amplituden til en harmonisk oscillasjon er den største verdien av forskyvningen av kroppen fra likevektsposisjonen. Amplituden kan ha forskjellige verdier. Det vil avhenge av hvor mye vi forskyver kroppen i det første øyeblikket fra likevektsposisjonen.

Amplituden bestemmes av startforholdene, det vil si energien som tildeles kroppen i det første øyeblikket. Siden sinus og cosinus kan ta verdier i området fra -1 til 1, må ligningen inneholde faktoren Xm, som uttrykker amplituden til svingningene. Bevegelsesligning for harmoniske vibrasjoner:

x = Xm*cos(ω0*t).

Oscillasjonsperiode

Svingningsperioden er tiden det tar for en fullstendig svingning. Svingningsperioden er betegnet med bokstaven T. Enhetene i perioden tilsvarer tidsenhetene. Det vil si at i SI er det sekunder.

Oscillasjonsfrekvens - antall svingninger per tidsenhet. Oscillasjonsfrekvensen er angitt med bokstaven ν. Svingningsfrekvensen kan uttrykkes i form av oscillasjonsperioden.

v = 1/T.

Frekvensenheter i SI 1/sek. Denne måleenheten kalles Hertz. Antall oscillasjoner i en tid på 2 * pi sekunder vil være lik:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

Oscillasjonsfrekvens

Denne verdien kalles den sykliske oscillasjonsfrekvensen. I noe litteratur finnes navnet sirkulær frekvens. Den naturlige frekvensen til et oscillerende system er frekvensen av frie oscillasjoner.

Frekvensen av naturlige oscillasjoner beregnes ved hjelp av formelen:

Hyppigheten av naturlige svingninger avhenger av materialets egenskaper og belastningens masse. Jo større fjærens stivhet er, desto større er frekvensen av naturlige svingninger. Jo større massen på lasten er, desto lavere er frekvensen av naturlige svingninger.

Disse to konklusjonene er åpenbare. Jo stivere fjæren er, desto større akselerasjon vil den gi kroppen når systemet er ubalansert. Jo større massen til kroppen er, desto langsommere vil denne hastigheten til denne kroppen endres.

Periode med frie svingninger:

T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)

Det er bemerkelsesverdig at ved små avbøyningsvinkler vil perioden med oscillasjon av kroppen på fjæren og perioden med oscillasjon av pendelen ikke avhenge av amplituden til oscillasjonene.

La oss skrive ned formlene for perioden og frekvensen av frie oscillasjoner for en matematisk pendel.

da blir perioden

T = 2*pi*√(l/g).

Denne formelen vil bare være gyldig for små avbøyningsvinkler. Fra formelen ser vi at svingeperioden øker med lengden på pendeltråden. Jo lengre lengde, jo langsommere vil kroppen svinge.

Svingningsperioden avhenger ikke av lastens masse. Men det avhenger av akselerasjonen for fritt fall. Når g avtar, vil oscillasjonsperioden øke. Denne egenskapen er mye brukt i praksis. For eksempel for å måle den nøyaktige verdien av fri akselerasjon.