Как решать умножение комплексных чисел. Комплексные числа. Сложение, вычитание, умножение, деление комплексных чисел. Тригонометрическая форма представления, формула Муавра и корень n-ной степени из комплексного числа. Вопрос. Комплексная плоскость. Модул
Произведение двух комплексных чисел аналогично произведению двух вещественных чисел, а именно: произведение рассматривается как число, составленное из множимого, как множитель составлен из единицы. Вектор, соответствующий комплексному числу с модулем r и аргументом j, может быть получен из единичного вектора, длина которого равна единице и направление которого совпадает с положительным направлением оси OX, путем удлинения его в r раз и поворота в положительном направлении на угол j. Произведением некоторого вектора a 1 на вектор a 2 назовём вектор, который получится, если к вектору a 1 применить удлинение и поворот, при помощи которых вектор a 2 получается из единичного вектора, причем последнему соответствует, очевидно, вещественная единица. Если (r 1 , ? 1), (r 2 , ? 2) суть модули и аргументы комплексных чисел, соответствующих векторам a 1 и a 2 , то произведению этих векторов будет, очевидно, соответствовать комплексное число с модулем r 1 r 2 и аргументом (j 1 + j 2). Таким образом, произведением двух комплексных чисел называется такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей и аргумент - сумме аргументов сомножителей.
В том случае, когда комплексные числа написаны в тригонометрической форме, будем иметь
r 1 (cos? 1 + i sin? 1) * r 2 (cos? 2 + i sin? 2) = r 1 r 2 .
В случае (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = x + yi, пользуясь обозначением модулей и аргументов сомножителей, можем написать:
a 1 = r 1 cos? 1 ; b 1 = r 1 sin? 1 ; a 2 = r 2 cos? 2 ; b 2 = r 2 sin? 2 ;
согласно определению умножения:
x = r 1 r 2 cos(? 1 + ? 2); y = r 1 r 2 sin(? 1 + ? 2),
x = r 1 r 2 (cos? 1 cos? 2 - sin? 1 sin? 2) = = r 1 cos? 1 r 2 cos? 2 - r 1 sin? 1 r 2 sin? 2 = a 1 a 2 - b 1 b 2
y = r 1 r 2 (sin? 1 cos? 2 + cos? 1 sin? 2) = = r 1 sin? 1 r 2 cos? 2 + r 1 cos? 1 r 2 sin? 2 = b 1 a 2 + a 1 b 2 ,
и окончательно получим:
(a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)i.
В случае b 1 = b 2 = 0 сомножители являются вещественными числами a 1 и a 2 и произведение приводится к произведению a 1 a 2 этих чисел. В случае
a 1 = a 2 = 0 и b 1 = b 2 = 1,
равенство (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)I даёт: i???i = i 2 = -1, т.е. квадрат мнимой единицы равен -1. Вычисляя последовательно целые положительные степени i, получим:
i 2 = -1; i 3 = -i; i 4 = 1; i 5 = i; i 6 = -1; ...
и, вообще, при всяком положительном k:
i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+2 = -1; i 4k+3 = -i
Правило умножения, выражаемое равенством (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)I можно формулировать так: комплексные числа надо перемножать, как буквенные многочлены, считая i 2 = -1.
Из вышеприведённых формул непосредственно следует, что сложение и умножение комплексных чисел подчиняются переместительному закону, т.е. сумма не зависит от порядка слагаемых, а произведение - от порядка сомножителей. Нетрудно проверить и справедливость сочетательного и распределительного законов, выражающихся следующими тождествами:
(? 1 + ? 2) + ? 3 = ? 1 + (? 2 + ? 3); (? 1 ? 2)? 3 = ? 1 (? 2 ? 3); (? 1 + ? 2)? = ? 1 ? + ? 2 ? .
Произведение нескольких сомножителей будет иметь модуль, равный произведению модулей сомножителей, и аргумент, равный сумме аргументов сомножителей. Таким образом, произведение комплексных чисел будет равно нулю тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из сомножителей равен нулю.
Пример: даны комплексные числа z 1 = 2 + 3i, z 2 = 5 - 7i. Найти:
а) z 1 + z 2 ; б) z 1 - z 2 ; в) z 1 z 2 .
а) z 1 + z 2 = (2 + 3i) + (5 - 7i) = 2 + 3i + 5 - 7i = (2 + 5) + (3i - 7i) = 7 - 4i; б) z 1 - z 2 = (2 + 3i) - (5 - 7i) = 2 + 3i - 5 + 7i = (2 - 5) + (3i + 7i) = - 3 + 10i; в) z 1 z 2 = (2 + 3i)(5 - 7i) = 10 - 17i + 15i - 21i 2 = 10 - 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (- 14i + 15i) = 31 + i (здесь учтено, что i 2 = - 1).
Пример: выполнить действия:
а) (2 + 3i) 2 ; б) (3 - 5i) 2 ; в) (5 + 3i) 3 .
а) (2 + 3i) 2 = 4 + 2Ч2Ч3i + 9i 2 = 4 + 12i - 9 = - 5 + 12i; б) (3 - 5i) 2 = 9 - 2Ч3Ч5i + 25i 2 = 9 - 30i - 25 = - 16 - 30i; в) (5 + 3i) 3 = 125 + 3Ч25Ч3i + 3Ч5Ч9i 2 + 27i 3 ; так как i 2 = - 1, а i 3 = - i, то получим (5 + 3i) 3 = 125 + 225i - 135 - - 27i = - 10 + 198i.
Пример: выполнить действия
а) (5 + 3i)(5 - 3i); б) (2 + 5i)(2 - 5i); в) (1 + i)(1 - i).
а) (5 + 3i)(5 - 3i) = 5 2 - (3i) 2 = 25 - 9i 2 = 25 + 9 = 34; б) (2 + 5i)(2 - 5i) = 2 2 - (5i) 2 = 4 + 25 = 29; в) (1 + i)(1 - i) = 1 2 - i 2 = 1 + 1 = 2.
В то время как сложение и вычитание комплексных чисел удобнее делать в алгебраической форме, умножение и деление проще выполнять, используя тригонометрическую форму комплексных чисел.
Возьмем два произвольных комплексных числа, заданных в тригонометрической форме:
Перемножая эти числа, получим:
Но по формулам тригонометрии
Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы
складываются. Так как при этом модули преобразуются отдельно, а аргументы - отдельно, то выполнение умножения в тригонометрической форме проще, чем в алгебраической.
Из равенства (1) вытекают соотношения:
Поскольку деление - действие, обратное умножению, то при получаем, что
Иными словами, модуль частного равен отношению модулей делимого и делителя, а аргумент частного - разности аргументов делимого и делителя.
Остановимся теперь на геометрическом смысле умножения комплексных чисел. Формулы (1) - (3) показывают, что для нахождения произведения надо сначала увеличить модуль числа раз, не изменяя его аргумента, а затем увеличить аргумент полученного числа на не изменяя его модуля. Первая из этих операций геометрически означает гомотетию относительно точки О с коэффициентом , а вторая - поворот относительно точки О на угол, равный Считая здесь один множитель постоянным , а другой - переменным можем сформулировать результат так: формула
Комплексные числа - это минимальное расширение множества привычных нам действительных чисел. Их принципиальное отличие в том, что появляется элемент, который в квадрате дает -1, т.е. i, или .
Любое комплексное число состоит из двух частей: вещественной и мнимой :
Таким образом видно, что множество действительных чисел совпадает с множеством комплексных чисел с нулевой мнимой частью.
Самая популярная модель множества комплексных чисел - это обычная плоскость. Первая координата каждой точки будет её вещественной частью, а вторая -мнимой. Тогда в роли самих комплексных чисел бдут выступать вектора с началом в точке (0,0).
Операции над комплексными числами.
На самом деле, если брать в расчет модель множества комплексных чисел, интуитивно понятно, что сложение (вычитание) и умножение двух комплексных числе производятся так же как соответственные операции над векторами. Причем имеется в виду векторное произведение векторов, потому что результатом этой операции является опять же вектор.
1.1 Сложение.
(Как видно, данная операции в точности соответствует )
1.2 Вычитание , аналогично, производится по следующему правилу:
2. Умножение.
3. Деление.
Определяется просто как обратная операция к умножению.
Модулем комплексного числа z называется следующая величина:
,
очевидно, что это, опять же, просто модуль (длина) вектора {a,b}.
Чаще всего модуль комплексного числа обозначается как ρ.
Оказывается, что
z = ρ(cosφ+isinφ) .
Непосредственно из тригонометрической формы записи комплексного числа вытекают следующие формулы :
Последнюю формулу называют Формулой Муавра . Непосредственно из нее выводится формула корня n-ной степени из комплексного числа :
таким образом, существует n корней n-ной степени из комплексного числа z.
В то время как сложение и вычитание комплексных чисел удобнее делать в алгебраической форме, умножение и деление проще выполнять, используя тригонометрическую форму комплексных чисел.
Возьмем два произвольных комплексных числа, заданных в тригонометрической форме:
Перемножая эти числа, получим:
Но по формулам тригонометрии
Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы
складываются. Так как при этом модули преобразуются отдельно, а аргументы - отдельно, то выполнение умножения в тригонометрической форме проще, чем в алгебраической.
Из равенства (1) вытекают соотношения:
Поскольку деление - действие, обратное умножению, то при получаем, что
Иными словами, модуль частного равен отношению модулей делимого и делителя, а аргумент частного - разности аргументов делимого и делителя.
Остановимся теперь на геометрическом смысле умножения комплексных чисел. Формулы (1) - (3) показывают, что для нахождения произведения надо сначала увеличить модуль числа раз, не изменяя его аргумента, а затем увеличить аргумент полученного числа на не изменяя его модуля. Первая из этих операций геометрически означает гомотетию относительно точки О с коэффициентом , а вторая - поворот относительно точки О на угол, равный Считая здесь один множитель постоянным , а другой - переменным можем сформулировать результат так: формула
Комплексным числом называется число вида , где и – действительные числа, – так называемая мнимая единица . Число называется действительной частью () комплексного числа , число называется мнимой частью () комплексного числа .
Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости :
Как упоминалось выше, буквой принято обозначать множество действительных чисел.Множество жекомплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой. Поэтому на чертеже следует поставить букву , обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.
Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел
Сложение комплексных чисел
Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:
z 1 + z 2 = (a 1 + a 2) + i*(b 1 + b 2).
Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 – от перестановки слагаемых сумма не меняется.
Вычитание комплексных чисел
Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:
z 1 + z 2 = (a 1 – a 2) + i*(b 1 – b 2)
Умножение комплексных чисел
Основное равенство комплексных чисел:
Произведение комплексных чисел:
z 1 * z 2 = (a 1 + i*b 1)*(a 2 + i*b 2) = a 1 *a 2 + a 1 *i*b 2 + a 2 *i*b 1 + i 2 *b 1 *b 2 = a 1 *a 2 - b 1 *b 2 +i*(a 1 *b 2 +a 2 *b 1).
Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .
Деление комплексных чисел
Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение .
2 Вопрос. Комплексная плоскость. Модуль и аргументы комплексных чисел
Каждому комплексному числу z = a + i*b можно сопоставить точку с координатами (a;b) , и наоборот, каждой точке с координатами (c;d) можно сопоставить комплексное число w = c + i*d . Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплексные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью .
Однако чаще комплексные числа изображают в виде вектора с началом в точке О, а именно, комплексное число z = a + i*b изображается радиус-вектором точки с координатами (a;b) . В этом случае изображение комплексных чисел из предыдущего примера будет таким:
Изображением суммы двух комплексных чисел , является вектор, равный сумме векторов, изображающих числа и . Иными словами, при сложении комплексных чисел складываются и векторы, их изображающие.
Пусть комплексное число z = a + i*b изображается радиус-вектором. Тогда длина этого вектора называется модулем числа z и обозначается |z| .
Угол, образованный радиус-вектором числа с осью, называетсяаргументом числа и обозначаетсяarg z . Аргумент числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного . Однако, обычно аргумент указывают в диапазоне от 0 доили в диапазоне от -до. Кроме того у числааргумент не определен.
С помощью этого соотношения можно находить аргумент комплексного числа:
причем первая формула действует, если изображение числа находится в первой или четвертой четверти, а вторая, если -- во второй или третьей. Если , то комплексное число изображается вектором на оси Oy и его аргумент равен /2или 3*/2.
Получим еще одну полезную формулу. Пусть z = a + i*b . Тогда ,
Похожие статьи
-
Умножение способом «маленький замок
второй способ умножения: НА Руси крестьяне не применяли таблицы умножения, но прекрасно считали произведение многозначных чисел. На Руси, начиная с глубокой древности и почти до восемнадцатого века, ру
-
Кубики Зайцева — достоинства и недостатки методики обучения
Выбирая раннюю методику развития малыша, родители особое внимание уделяют системам, которые позволяют без проблем обучить деток чтению. По отзывам, на сегодняшний день наиболее востребованной считается программа Зайцева.Метод Зайцева...
-
Сочинение на тему "природа моего края"
Написать сочинение-рассуждение «О природе родного края» могут задать в любом классе. Поэтому учащиеся должны быть готовы к такой работе. Нет ничего сложного, главное - включить воображение, вспомнить прекрасные пейзажи и все мысли...
-
Детство, опалённое войной Люся герасименко биография
Планета №6 «Героическая» Дорогой друг, 8 февраля по всей Беларуси в пионерских дружинах проходят торжественные сборы, линейки, посвящённый Дню памяти юного героя-антифашиста. Поэтому шестую планету мы посвящаем ПИОНЕРАМ-ГЕРОЯМ, юным...
-
Разговорные фразы на китайском, которые позволят вам расслабиться и наслаждаться общением Доброе утро по китайский на русском
Китай одна из самых посещаемых туристами стран в мире. Привлекает она по большей мере своим разнообразием ландшафта, девственными деревушками со своими традициями и завораживающими легендами и огромными мегаполисами, в которых бурлит...
-
» (2–11 класс) и «Millie-New
Эффективные средства достижения планируемых результатов обучения в курсах «Enjoy English» (2–11 класс), «Happy English-ru.» (2–11 класс) и «Millie-New Millennium English» (1–11 класс) А. В. Конобеев, к. пед. н., заместитель главного...