Si të gjeni derivatet e pjesshëm të një funksioni të dy ndryshoreve. Zgjidhja e derivateve për dummies: përkufizimi, mënyra për të gjetur, shembuj zgjidhjesh. – Në fakt duke zëvendësuar variablin

Parimi i përgjithshëm i gjetjes së derivateve të pjesshëm të rendit të dytë të një funksioni prej tre ndryshoresh është i ngjashëm me parimin e gjetjes së derivateve të pjesshëm të rendit të dytë të një funksioni të dy ndryshoreve.

Për të gjetur derivate të pjesshme të rendit të dytë, së pari duhet të gjeni derivate të pjesshme të rendit të parë ose, në një shënim tjetër:

Ekzistojnë nëntë derivate të pjesshme të rendit të dytë.

Grupi i parë është derivati ​​i dytë në lidhje me të njëjtat variabla:

Ose – derivati ​​i dytë në lidhje me “x”;

Ose – derivati ​​i dytë në lidhje me “Y”;

Ose - derivati ​​i dytë në lidhje me "zet".

Grupi i dytë është të përziera Derivate të pjesshme të rendit të dytë, janë gjashtë prej tyre:

ose - të përziera derivati ​​“nga x igrek”;

ose - të përziera derivati ​​“nga loja x”;

ose - të përziera derivati ​​“në lidhje me x z”;

ose - të përziera derivati ​​“nga zt x”;

ose - të përziera derivat “në lidhje me igrek z”;

ose - të përziera derivat "nga zt igrek".

Ashtu si në rastin e një funksioni të dy ndryshoreve, kur zgjidhni probleme, mund të përqendroheni në barazitë e mëposhtme të derivateve të përziera të rendit të dytë:

Shënim: në mënyrë rigoroze, nuk është gjithmonë kështu. Që derivatet e përzier të jenë të barabartë, duhet të plotësohet kërkesa e vazhdimësisë së tyre.

Për çdo rast, këtu janë disa shembuj se si ta lexoni saktë këtë turp me zë të lartë:

- “dy goditje kanë dy herë lojë”;

– “de dy y nga de z katror”;

– “Ka dy goditje në X dhe Z”;

- “de dy y po de zet po de igrek.”

Shembulli 10

Gjeni të gjitha derivatet e pjesshme të rendit të parë dhe të dytë për një funksion të tre variablave:

.

Zgjidhja: Së pari, le të gjejmë derivatet e pjesshme të rendit të parë:

Marrim derivatin e gjetur

dhe diferencojeni me "Y":

Marrim derivatin e gjetur

dhe diferencojeni atë me "x":

Barazia është përmbushur. Mirë.

Le të merremi me çiftin e dytë të derivateve të përzier.

Marrim derivatin e gjetur

dhe diferencojeni me “z”:

Marrim derivatin e gjetur

dhe diferencojeni atë me "x":

Barazia është përmbushur. Mirë.

Ne trajtojmë çiftin e tretë të derivateve të përzier në një mënyrë të ngjashme:

Barazia është përmbushur. Mirë.

Pas punës së kryer, mund të garantojmë që, së pari, kemi gjetur saktë të gjitha derivatet e pjesshme të rendit të parë dhe së dyti, kemi gjetur saktë edhe derivatet e përziera të pjesshme të rendit të dytë.

Mbetet për të gjetur tre derivate të pjesshëm të rendit të dytë; këtu, për të shmangur gabimet, duhet të përqendroni vëmendjen tuaj sa më shumë që të jetë e mundur:

Gati. E përsëris, detyra nuk është aq e vështirë sa është voluminoze. Zgjidhja mund të shkurtohet dhe t'i referohet barazive të derivateve të pjesshme të përziera, por në këtë rast nuk do të ketë verifikim. Prandaj, është më mirë të kaloni kohë dhe të gjeni Të gjitha derivatet (përveç kësaj, mësuesi mund ta kërkojë këtë), ose, si mjet i fundit, kontrolloni draftin.

Shembulli 11

Gjeni të gjitha derivatet e pjesshme të rendit të parë dhe të dytë për një funksion të tre ndryshoreve

.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë.

Zgjidhje dhe përgjigje:

Shembulli 2:Zgjidhja:

Shembulli 4:Zgjidhja: Le të gjejmë derivatet e pjesshme të rendit të parë.

Le të krijojmë një diferencial të plotë të rendit të parë:

Shembulli 6:Zgjidhja: M(1, -1, 0):

Shembulli 7:Zgjidhja: Le të llogarisim derivatet e pjesshme të rendit të parë në pikëM(1, 1, 1):

Shembulli 9:Zgjidhja:

Shembulli 11:Zgjidhja: Le të gjejmë derivatet e pjesshme të rendit të parë:

Le të gjejmë derivatet e pjesshme të rendit të dytë:

.

Integrale

8.1. Integrali i pacaktuar. Zgjidhje të detajuara të mostrave

Le të fillojmë të studiojmë temën " integral i pacaktuar", dhe gjithashtu do të analizojmë në detaje shembuj të zgjidhjeve për integralet më të thjeshta (dhe jo aq të thjeshta). Si zakonisht, ne do të kufizohemi në minimumin e teorisë, i cili është në shumë libra shkollorë; detyra jonë është të mësojmë se si të zgjidhim integrale.

Çfarë duhet të dini për të zotëruar me sukses materialin? Për të përballuar llogaritjet integrale, duhet të jeni në gjendje të gjeni derivate në një minimum, në një nivel të ndërmjetëm. Nuk do të jetë humbje e përvojës nëse keni disa dhjetëra, ose më mirë akoma, qindra derivate të gjetur në mënyrë të pavarur nën brezin tuaj. Së paku, nuk duhet të ngatërroheni nga detyrat për të dalluar funksionet më të thjeshta dhe më të zakonshme.

Duket, çfarë lidhje kanë derivatet nëse artikulli ka të bëjë me integrale?! Këtu është gjëja. Fakti është se gjetja e derivateve dhe gjetja e integraleve të pacaktuar (diferencimi dhe integrimi) janë dy veprime reciproke të anasjellta, si mbledhja/zbritja ose shumëzimi/pjestimi. Kështu, pa aftësi dhe asnjë përvojë në gjetjen e derivateve, për fat të keq, nuk mund të ecësh përpara.

Në këtë drejtim, do të na duhen materialet e mëposhtme mësimore: Tabela e derivateve Dhe Tabela e integraleve.

Cila është vështirësia në të mësuarit e integraleve të pacaktuara? Nëse në derivate ka rreptësisht 5 rregulla diferencimi, një tabelë derivatesh dhe një algoritëm mjaft të qartë veprimesh, atëherë në integrale gjithçka është e ndryshme. Ka dhjetëra metoda dhe teknika integrimi. Dhe, nëse metoda e integrimit fillimisht është zgjedhur gabimisht (d.m.th. nuk dini si ta zgjidhni), atëherë mund ta "godhni" integralin fjalë për fjalë për ditë të tëra, si një enigmë e vërtetë, duke u përpjekur të dalloni teknika dhe truke të ndryshme. Disa njerëz madje e pëlqejnë atë.

Meqë ra fjala, shpesh kemi dëgjuar nga studentët (jo të diplomuar në shkencat humane) një mendim si: “Nuk kam pasur kurrë ndonjë interes për të zgjidhur një kufi apo derivat, por integralet janë një çështje krejtësisht tjetër, është magjepsëse, ka gjithmonë një dëshira për të "hakuar" një integral kompleks." . Ndalo. Mjaft me humorin e zi, le të kalojmë tek këto integrale shumë të papërcaktuara.

Meqenëse ka shumë mënyra për ta zgjidhur atë, atëherë ku duhet të fillojë një çajnik të studiojë integrale të pacaktuara? Në llogaritjen integrale, sipas mendimit tonë, ekzistojnë tre shtylla ose një lloj "boshti" rreth të cilit rrotullohet gjithçka tjetër. Para së gjithash, duhet të keni një kuptim të mirë të integraleve më të thjeshta (ky artikull).

Pastaj ju duhet të punoni me mësim në detaje. KJO ESHTE TEKNIKA MË E RËNDËSISHME! Ndoshta edhe artikulli më i rëndësishëm nga të gjithë artikujt mbi integralet. Dhe së treti, duhet të lexoni patjetër Metoda e integrimit me pjesë, pasi integron një klasë të gjerë funksionesh. Nëse zotëroni të paktën këto tre mësime, atëherë nuk do të keni më dy. Ju mund të faleni që nuk e dini integrale të funksioneve trigonometrike, integrale të thyesave, integrale të funksioneve thyesore-racionale, integrale të funksioneve irracionale (rrënjët), por nëse "hyni në telashe" me metodën e zëvendësimit ose metodën e integrimit me pjesë, atëherë do të jetë shumë, shumë keq.

Pra, le të fillojmë thjesht. Le të shohim tabelën e integraleve. Ashtu si me derivatet, vërejmë disa rregulla integrimi dhe një tabelë integralesh të disa funksioneve elementare. Çdo integral i tabelës (dhe në të vërtetë çdo integral i pacaktuar) ka formën:

Le të kuptojmë menjëherë shënimet dhe termat:

- ikona integrale.

– funksioni integrand (i shkruar me shkronjën “s”).

- ikona diferenciale. Ne do të shohim se çfarë është kjo shumë shpejt. Gjëja kryesore është që kur shkruani integralin dhe gjatë zgjidhjes, është e rëndësishme të mos e humbni këtë ikonë. Do të ketë një defekt të dukshëm.

– shprehje integrale ose “mbushje” e integralit.

– antiderivativ funksionin.

– . Nuk ka nevojë të ngarkohemi shumë me terma; gjëja më e rëndësishme këtu është se në çdo integral të pacaktuar përgjigjes i shtohet një konstante.

Zgjidhja e një integrali të pacaktuar do të thotë të gjeshshumë funksione primitive nga integrani i dhënë

Le të shohim përsëri hyrjen:

Le të shohim tabelën e integraleve.

Cfare po ndodh? Kemi pjesët e majta të kthehet në te funksionet e tjera: .

Le të thjeshtojmë përkufizimin tonë:

Zgjidh një integral të pacaktuar - kjo do të thotë TRANSFORMOjeni atë në një funksion të papërcaktuar (deri në një konstante). , duke përdorur disa rregulla, teknika dhe një tabelë.

Merrni, për shembull, integralin e tabelës . Cfare ndodhi? Shënimi simbolik ka evoluar në shumë funksione primitive.

Ashtu si në rastin e derivateve, për të mësuar se si të gjeni integrale, nuk është e nevojshme të jeni të vetëdijshëm se çfarë është një funksion integral ose antiderivativ nga pikëpamja teorike. Mjafton thjesht të kryhen transformime sipas disa rregullave formale. Pra, në rast Nuk është aspak e nevojshme të kuptohet pse integrali kthehet në . Ju mund ta merrni këtë dhe formula të tjera si të mirëqena. Të gjithë përdorin energji elektrike, por pak njerëz mendojnë se si elektronet udhëtojnë nëpër tela.

Meqenëse diferencimi dhe integrimi janë operacione të kundërta, për çdo antiderivativ që gjendet saktë, sa vijon është e vërtetë:

Me fjalë të tjera, nëse dalloni përgjigjen e saktë, atëherë duhet të merrni funksionin origjinal të integrandit.

Le të kthehemi te i njëjti integral i tabelës .

Le të verifikojmë vlefshmërinë e kësaj formule. Marrim derivatin e anës së djathtë:

është funksioni origjinal i integrandit.

Nga rruga, është bërë më e qartë pse një konstante i caktohet gjithmonë një funksioni. Kur diferencohet, konstanta kthehet gjithmonë në zero.

Zgjidh një integral të pacaktuar- do të thotë të gjesh një tufë me të gjithë antiderivativë, dhe jo vetëm një funksion. Në shembullin e tabelës në shqyrtim, , , , etj. – të gjitha këto funksione janë zgjidhje për integralin. Ka pafundësisht shumë zgjidhje, kështu që ne i shkruajmë shkurtimisht:

Kështu, çdo integral i pacaktuar është mjaft i lehtë për t'u kontrolluar. Ky është një kompensim për një numër të madh integralesh të llojeve të ndryshme.

Le të vazhdojmë të shqyrtojmë shembuj specifikë. Le të fillojmë, si në studimin e derivatit, me dy rregulla integrimi:

– konstante C mund (dhe duhet) të hiqet nga shenja integrale.

– integrali i shumës (diferencës) së dy funksioneve është i barabartë me shumën (diferencën) e dy integraleve. Ky rregull është i vlefshëm për çdo numër termash.

Siç mund ta shihni, rregullat janë në thelb të njëjta si për derivatet. Ndonjëherë ato quhen vetitë e linearitetit integrale.

Shembulli 1

Gjeni integralin e pacaktuar.

Kryeni kontrollin.

Zgjidhja:Është më i përshtatshëm për ta kthyer atë si.

(1) Zbatoni rregullin . Ne harrojmë të shkruajmë ikonën diferenciale dx nën çdo integral. Pse nën secilin? dx- ky është një shumëzues i plotë. Nëse e përshkruajmë në detaje, hapi i parë duhet të shkruhet kështu:

.

(2) Sipas rregullit i lëvizim të gjitha konstantet përtej shenjave të integraleve. Ju lutemi vini re se në mandatin e fundit tg 5 është një konstante, ne gjithashtu e nxjerrim atë.

Përveç kësaj, në këtë hap ne përgatisim rrënjët dhe fuqitë për integrim. Në të njëjtën mënyrë si me diferencimin, rrënjët duhet të përfaqësohen në formë . Lëvizni rrënjët dhe fuqitë që ndodhen në emërues lart.

Shënim: Ndryshe nga derivatet, rrënjët në integrale nuk duhet të reduktohen gjithmonë në formë , dhe lëvizni shkallët lart.

Për shembull, - ky është një integral tabele i gatshëm, i cili tashmë është llogaritur para jush, dhe të gjitha llojet e trukeve kineze si p.sh. krejtësisht të panevojshme. Po kështu: – edhe ky është një integral tabele, nuk ka kuptim të paraqesim thyesën në formë . Studioni me kujdes tabelën!

(3) Të gjitha integralet tona janë tabelare. Ne e kryejmë transformimin duke përdorur një tabelë duke përdorur formulat: , Dhe

për një funksion të energjisë - .

Duhet të theksohet se integrali i tabelës është një rast i veçantë i formulës për një funksion fuqie: .

Konstante C mjafton të shtohet një herë në fund të shprehjes

(në vend që t'i vendosim pas çdo integrali).

(4) Rezultatin e marrë e shkruajmë në një formë më kompakte, kur të gjitha fuqitë janë të formës

përsëri i përfaqësojmë në formën e rrënjëve dhe i rivendosim fuqitë me një eksponent negativ në emërues.

Ekzaminimi. Për të kryer kontrollin, duhet të dalloni përgjigjen e marrë:

Mori origjinalin integrand, pra integrali u gjet saktë. Ajo nga e cila kërcyen është ajo në të cilën ata u kthyen. Është mirë kur historia me integralin përfundon në këtë mënyrë.

Herë pas here, ekziston një qasje paksa e ndryshme për të kontrolluar një integral të pacaktuar, kur jo derivati, por diferenciali merret nga përgjigja:

.

Si rezultat, ne nuk marrim një funksion integrand, por një shprehje integrand.

Mos kini frikë nga koncepti i diferencialit.

Diferenciali është derivati ​​i shumëzuar me dx.

Megjithatë, ajo që është e rëndësishme për ne nuk janë hollësitë teorike, por çfarë të bëjmë më pas me këtë diferencial. Diferenciali shfaqet si më poshtë: ikona d e heqim, vendosim një kryetar në të djathtë mbi kllapa, shtojmë një faktor në fund të shprehjes dx :

U mor origjinali integrand, pra integrali u gjet saktë.

Siç mund ta shihni, diferenciali zbret në gjetjen e derivatit. Më pëlqen metoda e dytë e kontrollit më pak, pasi më duhet të vizatoj gjithashtu kllapa të mëdha dhe të tërhiq ikonën diferenciale dx deri në fund të kontrollit. Edhe pse është më e saktë, ose "më e respektueshme" ose diçka tjetër.

Në fakt, ishte e mundur të heshtej për metodën e dytë të verifikimit. Çështja nuk është në metodë, por në faktin se ne kemi mësuar të hapim diferencialin. Përsëri.

Diferenca zbulohet si më poshtë:

1) ikona d hiqni;

2) në të djathtë mbi kllapa vendosim një goditje (shënjimi i derivatit);

3) në fund të shprehjes caktojmë një faktor dx .

Për shembull:

Mbaje mend këte. Kjo teknikë do të na duhet shumë shpejt.

Shembulli 2

.

Kur gjejmë një integral të pacaktuar, GJITHMONË përpiqemi të kontrollojmë Për më tepër, ekziston një mundësi e madhe për këtë. Jo të gjitha llojet e problemeve në matematikën e lartë janë dhuratë nga ky këndvështrim. Nuk ka rëndësi që kontrolli shpesh nuk kërkohet në detyrat e kontrollit; askush dhe asgjë nuk ju pengon ta bëni atë në draft. Një përjashtim mund të bëhet vetëm kur nuk ka kohë të mjaftueshme (për shembull, gjatë një testi ose provimi). Personalisht, kontrolloj gjithmonë integralet, dhe mungesën e kontrollit e konsideroj si një punë hakerimi dhe një detyrë të përfunduar keq.

Shembulli 3

Gjeni integralin e pacaktuar:

. Kryeni kontrollin.

Zgjidhje: Duke analizuar integralin, shohim se nën integral kemi produktin e dy funksioneve, madje edhe fuqizimin e një shprehjeje të tërë. Fatkeqësisht, në fushën e betejës integrale Nr e mirë dhe e rehatshme formulat për integrimin e produktit dhe koeficientit si: ose .

Prandaj, kur jepet një produkt ose koeficient, gjithmonë ka kuptim të shihet nëse është e mundur të shndërrohet integrani në një shumë? Shembulli në shqyrtim është rasti kur është e mundur.

Së pari, ne do të paraqesim zgjidhjen e plotë, komentet do të jenë më poshtë.

(1) Ne përdorim formulën e mirë të vjetër të katrorit të shumës për çdo numër real, duke hequr qafe shkallën mbi kllapa të përbashkët. jashtë kllapave dhe duke zbatuar formulën e shkurtuar të shumëzimit në drejtim të kundërt: .

Shembulli 4

Gjeni integralin e pacaktuar

Kryeni kontrollin.

Ky është një shembull për ju që ta zgjidhni vetë. Përgjigja dhe zgjidhja e plotë janë në fund të orës së mësimit.

Shembulli 5

Gjeni integralin e pacaktuar

. Kryeni kontrollin.

Në këtë shembull, integrandi është një thyesë. Kur shohim një thyesë në integrand, mendimi i parë duhet të jetë pyetja: "A është e mundur që disi të heqim qafe këtë thyesë, ose të paktën ta thjeshtojmë atë?"

Vëmë re se emëruesi përmban një rrënjë të vetme të "X". Njëri në fushë nuk është luftëtar, që do të thotë se ne mund ta ndajmë numëruesin me emëruesin termi për termin:

Veprimet me fuqi thyesore nuk i komentojmë, pasi ato janë diskutuar shumë herë në artikuj mbi derivatin e një funksioni.

Nëse jeni akoma të hutuar nga një shembull i tillë si

dhe në asnjë rast nuk del përgjigja e saktë,

Gjithashtu vini re se zgjidhjes i mungon një hap, përkatësisht zbatimi i rregullave , . Zakonisht, me një përvojë në zgjidhjen e integraleve, këto rregulla konsiderohen një fakt i dukshëm dhe nuk përshkruhen në detaje.

Shembulli 6

Gjeni integralin e pacaktuar. Kryeni kontrollin.

Ky është një shembull për ju që ta zgjidhni vetë. Përgjigja dhe zgjidhja e plotë janë në fund të orës së mësimit.

Në rastin e përgjithshëm, me fraksione në integrale, jo gjithçka është aq e thjeshtë; materiali shtesë për integrimin e fraksioneve të disa llojeve mund të gjendet në artikull: Integrimi i disa thyesave. Por, para se të kaloni në artikullin e mësipërm, duhet të njiheni me mësimin: Metoda e zëvendësimit në integral të pacaktuar. Çështja është se nënshtrimi i një funksioni nën një metodë zëvendësimi diferencial ose variabël është pika kyçe në studimin e temës, pasi ajo gjendet jo vetëm "në detyra të pastra mbi metodën e zëvendësimit", por edhe në shumë lloje të tjera integralesh.

Zgjidhje dhe përgjigje:

Shembulli 2: Zgjidhja:

Shembulli 4: Zgjidhja:

Në këtë shembull kemi përdorur formulën e shkurtuar të shumëzimit

Shembulli 6: Zgjidhja:

Metoda e ndryshimit të një ndryshoreje në një integral të pacaktuar. Shembuj zgjidhjesh

Në këtë mësim do të njihemi me një nga teknikat më të rëndësishme dhe më të zakonshme që përdoret gjatë zgjidhjes së integraleve të pacaktuar - metodën e ndryshimit të ndryshoreve. Përvetësimi i suksesshëm i materialit kërkon njohuri fillestare dhe aftësi integruese. Nëse keni një ndjenjë të një kazan të zbrazët dhe plot në llogaritjen integrale, atëherë së pari duhet të njiheni me materialin Integrali i pacaktuar. Shembuj zgjidhjesh, ku shpjegohet në një formë të arritshme se çfarë është integrali dhe analizohen në detaje shembujt bazë për fillestarët.

Teknikisht, metoda e ndryshimit të një ndryshoreje në një integral të pacaktuar zbatohet në dy mënyra:

– Përfshirja e funksionit nën shenjën diferenciale.

– Në fakt duke ndryshuar variablin.

Në thelb, këto janë e njëjta gjë, por dizajni i zgjidhjes duket i ndryshëm. Le të fillojmë me një rast më të thjeshtë.

Funksionet e dy variablave, derivateve të pjesshme, diferencialeve dhe gradientit

Tema 5.Funksionet e dy ndryshoreve.

derivatet e pjesshme

Përkufizimi i një funksioni të dy variablave, metodat e vendosjes.

Derivatet e pjesshme.

Gradienti i një funksioni të një ndryshoreje

Gjetja e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni të dy ndryshoreve në një domen të kufizuar të mbyllur

1. Përkufizimi i një funksioni të disa variablave, metodat e vendosjes

Për funksionet e dy variablave
fusha e përkufizimit është disa grup pikash në një aeroplan
, dhe diapazoni i vlerave është intervali në bosht
.

Për paraqitje vizuale funksionet e dy ndryshimeve nyh aplikohen linjat e nivelit.

Shembull . Për funksionin
ndërtoni një grafik dhe linja niveli. Shkruani ekuacionin e vijës së nivelit që kalon nëpër pikë
.

Grafiku i një funksioni linearështë aeroplan në hapësirë.

Për një funksion, grafiku është një plan që kalon nëpër pika
,
,
.

Linjat e nivelit të funksionit janë drejtëza paralele ekuacioni i të cilave është
.

Për funksion linear i dy ndryshoreve
vijat e nivelit jepen nga ekuacioni
dhe përfaqësojnë një familje drejtëzash paralele në një rrafsh.

4

Grafiku i një funksioni 0 1 2 X

Linjat e nivelit të funksionit

Projektet privatefunksionet e prejardhura të dy ndryshoreve

Merrni parasysh funksionin
. Le të japim variablin në pikën
rritje arbitrare
, duke u larguar vlerë e ndryshueshme e pandryshuar. Rritja e funksionit përkatës

thirrur shtimi privat i një funksioni sipas ndryshoreve në pikën
.

Përcaktuar në mënyrë të ngjashme rritje e pjesshme e funksionitsipas ndryshores: .

Emërtimiderivat i pjesshëm në lidhje me: , ,
,
.

Derivat i pjesshëm i një funksioni në lidhje me një ndryshore quhet kufiri përfundimtar :

Emërtimet: , ,
,
.

Për të gjetur derivatin e pjesshëm
sipas ndryshores, përdoren rregullat për diferencimin e një funksioni të një ndryshoreje, duke supozuar se ndryshorja është konstante..

Në mënyrë të ngjashme, për të gjetur derivatin e pjesshëm në lidhje me një ndryshore një variabël konsiderohet konstante .

Shembull . Për funksionin
gjeni derivatet e pjesshme
,
dhe llogaritni vlerat e tyre në pikë
.

Derivat i pjesshëm i një funksioni
nga variabla është nën supozimin se është konstante:

Le të gjejmë derivatin e pjesshëm të funksionit në lidhje me , duke supozuar konstante:

Le të llogarisim vlerat e derivateve të pjesshme në
,
:

;
.

Derivatet e pjesshme të rendit të dytë funksionet e disa ndryshoreve quhen derivate të pjesshme të derivateve të pjesshme të rendit të parë.

Le të shkruajmë derivatet e pjesshëm të rendit të dytë për funksionin:

;
;

;
.

;
etj.

Nëse derivatet e përzier të pjesshëm të funksioneve të disa ndryshoreve janë të vazhdueshme në një moment
, më pas ata të barabartë me njëri-tjetrin në këtë pikë. Kjo do të thotë që për një funksion të dy variablave, vlerat e derivateve të përziera të pjesshme nuk varen nga rendi i diferencimit:

.

Shembull. Për funksionin, gjeni derivatet e pjesshme të rendit të dytë
Dhe
.

Zgjidhje

Derivati ​​i pjesshëm i përzier gjendet duke diferencuar në mënyrë të njëpasnjëshme fillimisht funksionin duke (duke supozuar konstante), pastaj duke diferencuar derivatin
nga (duke konsideruar konstante).

Derivati ​​gjendet duke diferencuar fillimisht funksionin në lidhje me , pastaj derivatin në lidhje me .

Derivatet e pjesshëm të përzier janë të barabartë me njëri-tjetrin:
.

3. Gradienti i një funksioni të dy ndryshoreve

Vetitë e gradientit

Shembull . Jepet një funksion
. Gjeni gradientin
në pikën
dhe ndërtoje atë.

Zgjidhje

Le të gjejmë koordinatat e gradientit - derivatet e pjesshme.

Në pikën
gradient e barabartë me . Fillimi i vektorit
në pikë , dhe fundi në pikë .

5

4. Gjetja e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni të dy ndryshoreve në një zonë të kufizuar të mbyllur

Formulimi i problemit. Le të ketë një rajon të kufizuar të mbyllur në aeroplan
jepet nga një sistem pabarazish të formës
. Kërkohet gjetja e pikave në rajonin në të cilin funksioni merr vlerat më të mëdha dhe më të vogla.

E rëndësishme është problemi i gjetjes së një ekstremi, modeli matematik i të cilit përmban lineare kufizimet (ekuacionet, pabarazitë) dhe lineare funksionin
.

Formulimi i problemit. Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni
(2.1)

nën kufizime

(2.2)

. (2.3)

Meqenëse nuk ka pika kritike për një funksion linear të shumë ndryshoreve brenda Rajon
, atëherë arrihet vetëm zgjidhja optimale, e cila i jep një ekstrem funksionit objektiv në kufirin e rajonit. Për një rajon të përcaktuar nga kufizime lineare, pikat e ekstremit të mundshëm janë pika qoshe. Kjo na lejon të shqyrtojmë zgjidhjen e problemit metodë grafike.

Zgjidhja grafike e një sistemi pabarazish lineare

Për të zgjidhur këtë problem grafikisht, duhet të jeni në gjendje të zgjidhni grafikisht sistemet e pabarazive lineare me dy ndryshore.

Procedura:

Vini re se pabarazia
përcakton gjysmërrafshi i koordinatës së djathtë(nga boshti
), dhe pabarazia
- gjysmërrafshi i koordinatave të sipërme(nga boshti
).

Shembull. Zgjidh grafikisht pabarazinë
.

Le të shkruajmë ekuacionin e vijës kufitare
dhe ndërtoje atë bazuar në dy pika, për shembull,
Dhe
. Një vijë e drejtë ndan një rrafsh në dy gjysmë-rrafshe.

Koordinatat e pikave
kënaq pabarazinë (
– e vërtetë), që do të thotë se koordinatat e të gjitha pikave të gjysmëplanit që përmban pikën plotësojnë pabarazinë. Zgjidhja e pabarazisë do të jenë koordinatat e pikave të gjysmëplanit të vendosur në të djathtë të vijës kufitare, duke përfshirë pikat në kufi. Gjysma e rrafshit të dëshiruar është theksuar në figurë.

Zgjidhje
quhet sistemi i pabarazive e pranueshme, nëse koordinatat e tij janë jo negative, . Grupi i zgjidhjeve të realizueshme për sistemin e pabarazive formon një rajon që ndodhet në tremujorin e parë të planit koordinativ.

Shembull. Ndërtoni fushën e zgjidhjes së sistemit të pabarazive

Zgjidhjet e pabarazive janë:

1)
- gjysmë rrafshi i vendosur majtas dhe poshtë në lidhje me vijën e drejtë ( )
;

2)
– gjysmë rrafshi i vendosur në gjysmë rrafshin djathtas poshtë në raport me vijën e drejtë ( )
;

3)
- gjysmë rrafshi i vendosur në të djathtë të vijës së drejtë ( )
;

4) - gjysmë plani mbi boshtin x, domethënë vijë e drejtë ( )
.

0

Gama e zgjidhjeve të realizueshme i një sistemi të caktuar pabarazish lineare është një grup pikash të vendosura brenda dhe në kufirin e katërkëndëshit
, që është kryqëzim katër gjysmë avionë.

Paraqitja gjeometrike e një funksioni linear

(linjat e nivelit dhe gradienti)

Le të rregullojmë vlerën
, marrim ekuacionin
, i cili gjeometrikisht përcakton një vijë të drejtë. Në çdo pikë të vijës, funksioni merr vlerën dhe eshte linjë niveli. Dhënia kuptime të ndryshme, për shembull

, ... , ne marrim shumë linja niveli - grup paralelesh e drejtpërdrejtë.

Le të ndërtojmë gradient- vektor
, koordinatat e të cilave janë të barabarta me vlerat e koeficientëve të variablave në funksion
. Ky vektor: 1) është pingul me çdo drejtëz (vijë niveli)
; 2) tregon drejtimin e rritjes së funksionit objektiv.

Shembull . Vijat e nivelit të vizatimit dhe funksionet e gradientit
.

Linjat e nivelit në , , janë të drejta

,
,

, paralel me njëri-tjetrin. Gradienti është një vektor pingul me çdo vijë të nivelit.

Gjetja grafike e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni linear në një zonë

Formulimi gjeometrik i problemit. Gjeni në domenin e zgjidhjes së sistemit të pabarazive lineare pikën nëpër të cilën kalon vija e nivelit, që i përgjigjet vlerës më të madhe (më të vogël) të një funksioni linear me dy ndryshore.

Renditja:

4. Gjeni koordinatat e pikës A duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve të drejtëzave që priten në pikën A dhe njehsoni vlerën më të vogël të funksionit.
. Në mënyrë të ngjashme - për pikën B dhe vlerën më të madhe të funksionit
. e ndërtuar mbi pika.ndryshore Privatderivatetfunksione disa variablave dhe teknikën e diferencimit. Ekstrem funksionedyvariablave dhe e nevojshme...

Në këtë mësim do të njihemi me konceptin e një funksioni të dy ndryshoreve, dhe gjithashtu do të shqyrtojmë në detaje detyrën më të zakonshme - gjetjen derivatet e pjesshme Rendi i parë dhe i dytë, diferencial i plotë i një funksioni.

Për të studiuar në mënyrë efektive materialin e mëposhtëm, ju e nevojshme të jetë në gjendje të gjejë pak a shumë me siguri derivate "të zakonshëm" të funksioneve të një ndryshoreje. Ju mund të mësoni se si t'i trajtoni saktë derivatet në mësime Si të gjeni derivatin? dhe Derivat i një funksioni kompleks. Do të na duhet gjithashtu një tabelë e derivateve të funksioneve elementare dhe rregullave të diferencimit; është më e përshtatshme nëse është në dispozicion në formë të shtypur.

Le të fillojmë me vetë konceptin e një funksioni të dy variablave, do të përpiqemi të kufizohemi në minimumin e teorisë, pasi faqja ka një orientim praktik. Një funksion i dy variablave zakonisht shkruhet si , me variablat që thirren variablat e pavarur ose argumentet.

Shembull: - funksioni i dy ndryshoreve.

Ndonjëherë përdoret shënimi. Ka edhe detyra ku përdoret shkronja në vend të shkronjës.

Është e dobishme të dihet kuptimi gjeometrik i funksioneve. Një funksion i një ndryshoreje korrespondon me një vijë të caktuar në një plan, për shembull, parabolën e njohur të shkollës. Çdo funksion i dy variablave nga pikëpamja gjeometrike paraqet një sipërfaqe në hapësirën tredimensionale (aeroplanë, cilindra, topa, paraboloidë etj.). Por, në fakt, kjo tashmë është gjeometri analitike dhe analiza matematikore është në axhendën tonë.

Le të kalojmë në çështjen e gjetjes së derivateve të pjesshme të rendit të parë dhe të dytë. Kam disa lajme të mira për ata që kanë pirë disa filxhanë kafe dhe po akordohen me një material tepër të vështirë: derivatet e pjesshme janë pothuajse të njëjta me derivatet "të zakonshëm" të një funksioni të një ndryshoreje.

Për derivatet e pjesshme, të gjitha rregullat e diferencimit dhe tabela e derivateve të funksioneve elementare janë të vlefshme. Ka vetëm disa dallime të vogla, të cilat do t'i arrijmë në një moment.

Shembulli 1

Gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë dhe të dytë të funksionit

Së pari, le të gjejmë derivatet e pjesshme të rendit të parë. Janë dy prej tyre.

Emërtimet:

Ose - derivat i pjesshëm në lidhje me "x"

Ose - derivat i pjesshëm në lidhje me "y"

Le të fillojmë me.

E rëndësishme! Kur gjejmë derivatin e pjesshëm në lidhje me "x", atëherë ndryshoren konsiderohet konstante (numër konstant).

Le të vendosim. Në këtë mësim ne do të ofrojmë menjëherë zgjidhjen e plotë dhe do të japim komente më poshtë.

Komentet për veprimet e kryera:

(1) Gjëja e parë që bëjmë kur gjejmë derivatin e pjesshëm është të konkludojmë të gjitha funksioni në kllapa nën prizë me parashkrim.

Kujdes, e rëndësishme! NE NUK HUMBËM abonimet gjatë procesit të zgjidhjes. Në këtë rast, nëse vizatoni një "goditje" diku pa , atëherë mësuesi, të paktën, mund ta vendosë atë pranë detyrës (menjëherë kafshojë një pjesë të pikës për pavëmendje).

(2) Ne përdorim rregullat e diferencimit ; . Për një shembull të thjeshtë si ky, të dyja rregullat mund të zbatohen lehtësisht në një hap. Kushtojini vëmendje termit të parë: pasi konsiderohet konstante dhe çdo konstante mund të hiqet nga shenja derivatore, më pas e vendosim jashtë kllapave. Kjo do të thotë, në këtë situatë nuk është më mirë se një numër i zakonshëm. Tani le të shohim termin e tretë: këtu, përkundrazi, nuk ka asgjë për të hequr. Meqenëse është një konstante, është gjithashtu një konstante, dhe në këtë kuptim nuk është më i mirë se termi i fundit - "shtatë".

(2) Ne përdorim tabelën e derivateve të funksioneve elementare. Le t'i ndryshojmë mendërisht të gjitha "X-të" në tabelë në "Unë". Kjo do të thotë, kjo tabelë është po aq e vlefshme për (dhe për çdo shkronjë në përgjithësi). Në këtë rast, formulat që përdorim janë: dhe .

Pra, gjenden derivatet e pjesshme të rendit të parë

Derivatet e pjesshme përdoren në problemet që përfshijnë funksione të disa variablave. Rregullat për gjetjen janë saktësisht të njëjta si për funksionet e një ndryshoreje, me ndryshimin e vetëm që një nga variablat duhet të konsiderohet konstante (numër konstant) në momentin e diferencimit.

Formula

Derivatet e pjesshme për një funksion të dy variablave $ z(x,y) $ shkruhen në formën e mëposhtme $ z"_x, z"_y $ dhe gjenden duke përdorur formulat:

Derivatet e pjesshme të rendit të parë

$$ z"_x = \frac(\z i pjesshëm)(\x i pjesshëm) $$

$$ z"_y = \frac(\z i pjesshëm)(\i pjesshëm) $$

Derivatet e pjesshme të rendit të dytë

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \pjesshëm x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \pjesshëm y) $$

Derivat i përzier

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \pjesshëm y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \pjesshëm x) $$

Derivat i pjesshëm i një funksioni kompleks

a) Le të jetë $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, atëherë derivati ​​i një funksioni kompleks përcaktohet nga formula:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\ z) (\ pjesore x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\ z)(\ pjesshme y) \cdot \frac (dy)(dt)$$

b) Le të jetë $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, atëherë derivatet e pjesshme të funksionit gjenden me formulën:

$$ \frac(\z i pjesshëm)(\ u pjesshëm) = \frac(\z i pjesshëm)(\ i pjesshëm x) \cdot \frac(\ x)(\ i pjesshëm) + \frac(\z i pjesshëm)( \pjesshëm y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\ z) (\ pjesshme v) = \frac(\ z) (\ pjesore x) \cdot \frac (\ x) (\ pjesore v) + \frac (\ z)( \pjesshme y) \cdot \frac(\pjesshme y)(\pjesshme v) $$

Derivatet e pjesshme të një funksioni të nënkuptuar

a) Le të jetë $ F(x,y(x)) = 0 $, pastaj $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Le të $ F(x,y,z)=0 $, pastaj $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Shembuj zgjidhjesh

Shembulli 1

Gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $

Zgjidhje

Për të gjetur derivatin e pjesshëm në lidhje me $ x $, ne do të konsiderojmë $ y $ si një vlerë konstante (numër): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Për të gjetur derivatin e pjesshëm të një funksioni në lidhje me $y$, ne përcaktojmë $y$ me një konstante: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Nëse nuk mund ta zgjidhni problemin tuaj, atëherë na dërgoni atë. Ne do të ofrojmë zgjidhje të detajuar. Ju do të jeni në gjendje të shikoni ecurinë e llogaritjes dhe të merrni informacion. Kjo do t'ju ndihmojë të merrni notën tuaj nga mësuesi juaj në kohën e duhur!

Përgjigju

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

Shembulli 2

Gjeni derivatet e pjesshme të funksionit të rendit të dytë $ z = e^(xy) $

Zgjidhje

Së pari ju duhet të gjeni derivatet e parë, dhe më pas duke i njohur ato mund të gjeni derivatet e rendit të dytë. Le të jetë $y$ një konstante: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Le të vendosim tani $ x $ të jetë një vlerë konstante: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Duke ditur derivatet e para, ne në mënyrë të ngjashme gjejmë të dytin. Cakto $y$ në një konstante: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Ne vendosëm $ x $ në një konstante: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Tani mbetet vetëm gjetja e derivatit të përzier. Ju mund të dalloni $ z"_x $ me $ y $, dhe mund të dalloni $ z"_y $ me $ x $, pasi nga teorema $ z""_(xy) = z""_(yx) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

Përgjigju

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

Shembulli 4

Le të përcaktojë $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ funksionin e nënkuptuar $ F(x,y,z) = 0 $. Gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë.

Zgjidhje

Shkruajmë funksionin në formatin: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ dhe gjejmë derivatet: $$ z"_x (y,z - konst) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - konst) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Përgjigju

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Ne vazhdojmë me temën e preferuar të të gjithëve të analizës matematikore - derivatet. Në këtë artikull do të mësojmë se si të gjejmë derivatet e pjesshme të një funksioni me tre ndryshore: derivatet e para dhe derivatet e dyta. Çfarë duhet të dini dhe të jeni në gjendje të bëni për të zotëruar materialin? Besoni apo jo, së pari, duhet të jeni në gjendje të gjeni derivate "të zakonshëm" të një funksioni të një ndryshoreje - në një nivel të lartë ose të paktën mesatar. Nëse është vërtet e vështirë me ta, atëherë filloni me një mësim Si të gjeni derivatin? Së dyti, është shumë e rëndësishme të lexoni artikullin dhe të kuptoni dhe zgjidhni, nëse jo të gjithë, atëherë shumicën e shembujve. Nëse kjo tashmë është bërë, atëherë ecni me mua me një ecje të sigurt, do të jetë interesante, madje do ta shijoni!

Metodat dhe parimet e gjetjes derivatet e pjesshme të një funksioni me tre ndryshore në fakt janë shumë të ngjashme me derivatet e pjesshëm të funksioneve të dy ndryshoreve. Një funksion i dy variablave, më lejoni t'ju kujtoj, ka formën , ku "x" dhe "y" janë variabla të pavarur. Gjeometrikisht, një funksion i dy ndryshoreve përfaqëson një sipërfaqe të caktuar në hapësirën tonë tredimensionale.

Një funksion prej tre variablash ka formën , dhe ndryshoret thirren të pavarurvariablave ose argumentet, ndryshorja quhet ndryshore e varur ose funksionin. Për shembull: – funksioni i tre variablave

Dhe tani pak për filmat fantashkencë dhe alienët. Shpesh mund të dëgjoni për katër-dimensionale, pesë-dimensionale, dhjetë-dimensionale, etj. hapësirat. Marrëzi apo jo?
Në fund të fundit, funksioni i tre variablave nënkupton faktin se të gjitha gjërat ndodhin në hapësirën katër-dimensionale (në të vërtetë, ka katër ndryshore). Grafiku i një funksioni të tre variablave është i ashtuquajturi hipersiperfaqe. Është e pamundur të imagjinohet, pasi jetojmë në hapësirë ​​tredimensionale (gjatësi/gjerësi/lartësi). Që të mos mërziteni me mua, ju ofroj një kuiz. Unë do të bëj disa pyetje dhe kushdo i interesuar mund të përpiqet t'u përgjigjet atyre:

– A ka një të katërt, të pestë etj në botë? matje në kuptimin e kuptimit filistin të hapësirës (gjatësi/gjerësi/lartësi)?

– A është e mundur të ndërtohet një katër-dimensionale, pesë-dimensionale, etj. hapësirë ​​në kuptimin e gjerë të fjalës? Kjo do të thotë, jepni një shembull të një hapësire të tillë në jetën tonë.

– A është e mundur të udhëtosh në të kaluarën?

– A është e mundur të udhëtosh në të ardhmen?

– A ekzistojnë alienët?

Për çdo pyetje mund të zgjidhni një nga katër përgjigjet:
Po / Jo (shkenca e ndalon këtë) / Shkenca nuk e ndalon këtë / Nuk e di

Kushdo që u përgjigjet saktë të gjitha pyetjeve ka shumë të ngjarë të ketë ndonjë artikull ;-)

Unë gradualisht do t'u jap përgjigje pyetjeve ndërsa mësimi përparon, mos i humbisni shembujt!

Në fakt, ata fluturuan. Dhe menjëherë lajmi i mirë: për një funksion të tre variablave vlejnë rregullat e diferencimit dhe tabela e derivateve. Kjo është arsyeja pse ju duhet të jeni të mirë në trajtimin e "të zakonshëm" derivatet e funksioneve një variabël. Ka shumë pak dallime!

Shembulli 1

Zgjidhja: Nuk është e vështirë të merret me mend - për një funksion prej tre variablash ekzistojnë tre derivatet e pjesshme të rendit të parë, të cilat shënohen si më poshtë:

Ose – derivat i pjesshëm në lidhje me “x”;
ose – derivat i pjesshëm në lidhje me “y”;
ose – derivat i pjesshëm në lidhje me “zet”.

Simboli me një kryetar është më i zakonshëm, por përpiluesit e koleksioneve dhe manualeve të trajnimit pëlqejnë shumë të përdorin simbole të rënda për problemet - prandaj mos u humbni! Ndoshta jo të gjithë e dinë se si t'i lexojnë saktë këto "fraksione të frikshme" me zë të lartë. Shembull: duhet të lexohet si më poshtë: "de u po de x".

Le të fillojmë me derivatin në lidhje me "x": . Kur gjejmë derivatin e pjesshëm në lidhje me , pastaj variablat Dhe konsiderohen konstante (numra konstante). Dhe derivati ​​i çdo konstante, oh, hiri, është i barabartë me zero:

Kushtojini vëmendje nënshkrimit menjëherë - askush nuk ju ndalon të shënoni se ato janë konstante. Është edhe më i përshtatshëm; unë rekomandoj që fillestarët të përdorin vetëm një regjistrim të tillë, ka më pak rrezik për t'u hutuar.

(1) Ne përdorim vetitë e linearitetit të derivatit, në veçanti, ne i lëvizim të gjitha konstantet përtej shenjës së derivatit. Ju lutemi vini re se në termin e dytë nuk ka nevojë të hiqni konstantën: meqenëse "Y" është një konstante, atëherë është gjithashtu një konstante. Në term, konstanta "e zakonshme" 8 dhe konstanta "zet" hiqen nga shenja derivatore.

(2) Gjejmë derivatet më të thjeshta, duke mos harruar se janë konstante. Më pas ne krehim përgjigjen.

Derivat i pjesshëm. Kur gjejmë derivatin e pjesshëm në lidhje me "y", atëherë ndryshoret Dhe konsiderohen konstante:

(1) Ne përdorim vetitë e linearitetit. Dhe përsëri, vini re se termat , janë konstante, që do të thotë se asgjë nuk duhet të hiqet nga shenja e derivatit.

(2) Gjeni derivatet, duke mos harruar se ato janë konstante. Më pas ne thjeshtojmë përgjigjen.

Dhe së fundi, derivati ​​i pjesshëm. Kur gjejmë derivatin e pjesshëm në lidhje me "zet", atëherë ndryshoret Dhe konsiderohen konstante:

Rregulli i përgjithshëm e dukshme dhe jo modeste: Kur gjejmë derivatin e pjesshëmpër çfarëdo arsye ndryshore e pavarur, prady të tjerë variablat e pavarur konsiderohen konstante.

Kur kryeni këto detyra, duhet të jeni jashtëzakonisht të kujdesshëm, në veçanti, Ju nuk mund të humbni abonimet(që tregojnë se cila variabël përdoret për të diferencuar). Humbja e indeksit do të ishte një KEQËSHTIM I RADHË. Hmmm…. Është qesharake nëse pas një kërcënimi të tillë i lë të kalojnë diku)

Shembulli 2

Gjeni derivatet e pjesshëm të rendit të parë të një funksioni me tre ndryshore

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Dy shembujt e konsideruar janë mjaft të thjeshtë dhe, pas zgjidhjes së disa problemeve të ngjashme, edhe një çajnik do të mësohet t'i trajtojë me gojë.

Për të larguar stresin, le të kthehemi te pyetja e parë e kuizit: A ka në botë një të katërt, të pestë etj. matje në kuptimin e kuptimit filistin të hapësirës (gjatësi/gjerësi/lartësi)?

Përgjigje e saktë: Shkenca nuk e ndalon këtë. Të gjitha aksiomatikat themelore matematikore, teoremat, aparatet matematikore janë të bukura dhe konsistente punë në hapësirë ​​të çdo dimensioni. Është e mundur që diku në Univers të ekzistojnë hipersipërfaqe përtej kontrollit të mendjes sonë, për shembull, një hipersipërfaqe katërdimensionale, e cila përcaktohet nga një funksion i tre variablave. Ose mbase hipersipërfaqet janë pranë nesh ose edhe ne kemi të drejtë në to, thjesht vizioni ynë, shqisat e tjera dhe vetëdija janë të afta të perceptojnë dhe kuptojnë vetëm tre dimensione.

Le të kthehemi te shembujt. Po, nëse dikush është shumë i ngarkuar me kuizin, është më mirë të lexoni përgjigjet e pyetjeve të mëposhtme pasi të mësoni se si të gjeni derivatet e pjesshme të një funksioni të tre variablave, përndryshe do t'ju marr mendjen gjatë rrjedhës së artikullit. =)

Përveç Shembujve 1 dhe 2 më të thjeshtë, në praktikë ka detyra që mund të quhen një enigmë e vogël. Shembuj të tillë, për keqardhjen time, u larguan nga sytë kur krijova mësimin Derivatet e pjesshme të një funksioni të dy ndryshoreve. Le të kapim:

Shembulli 3

Zgjidhja: Duket sikur "gjithçka është e thjeshtë" këtu, por përshtypja e parë është mashtruese. Kur gjejnë derivate të pjesshme, shumë do të marrin me mend gjethet e çajit dhe do të bëjnë gabime.

Le ta shohim shembullin në mënyrë të vazhdueshme, të qartë dhe të kuptueshme.

Le të fillojmë me derivatin e pjesshëm në lidhje me "x". Kur gjejmë derivatin e pjesshëm në lidhje me "x", variablat konsiderohen konstante. Prandaj, eksponenti i funksionit tonë është gjithashtu një konstante. Për dummies, unë rekomandoj zgjidhjen e mëposhtme: në draft, ndryshoni konstanten në një numër të plotë pozitiv specifik, për shembull, "pesë". Rezultati është një funksion i një ndryshoreje:
ose mund ta shkruani edhe keshtu:

Kjo pushtet funksion me bazë komplekse (sinus). Nga:

Tani kujtojmë se, kështu:

Në fazën përfundimtare, natyrisht, zgjidhja duhet të shkruhet kështu:

Gjejmë derivatin e pjesshëm në lidhje me "y", ato konsiderohen konstante. Nëse "x" është një konstante, atëherë është gjithashtu një konstante. Në draft bëjmë të njëjtin mashtrim: zëvendësoni, për shembull, me 3, "Z" - zëvendësoni me të njëjtën "pesë". Rezultati është përsëri një funksion i një ndryshoreje:

Kjo tregues funksion me një eksponent kompleks. Nga rregulli i diferencimit të funksioneve komplekse:

Tani le të kujtojmë zëvendësimin tonë:

Kështu:

Në faqen e fundit, natyrisht, dizajni duhet të duket i bukur:

Dhe rasti i pasqyrës me derivatin e pjesshëm në lidhje me "zet" ( - konstante):

Me një përvojë, analiza mund të kryhet mendërisht.

Le të përfundojmë pjesën e dytë të detyrës - të hartojmë një diferencial të rendit të parë. Është shumë e thjeshtë, për analogji me një funksion të dy variablave, një diferencial i rendit të parë shkruhet duke përdorur formulën:

Në këtë rast:

Dhe kjo është biznes. Vërej se në problemet praktike, një diferencial i plotë i rendit të parë për një funksion prej tre variablash kërkohet të ndërtohet shumë më rrallë sesa për një funksion të dy ndryshoreve.

Një shembull qesharak për ta zgjidhur vetë:

Shembulli 4

Gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë të një funksioni me tre ndryshore dhe ndërtoni një diferencial të plotë të rendit të parë

Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit. Nëse hasni ndonjë vështirësi, përdorni algoritmin e diskutuar "Chaynikovsky", është e garantuar se do t'ju ndihmojë. Dhe një këshillë tjetër e dobishme - mos u ngut. Edhe unë nuk mund t'i zgjidh shpejt shembuj të tillë.

Le të dalim dhe të shohim pyetjen e dytë: A është e mundur të ndërtohet një katër-dimensionale, pesë-dimensionale, etj. hapësirë ​​në kuptimin e gjerë të fjalës? Kjo do të thotë, jepni një shembull të një hapësire të tillë në jetën tonë.

Përgjigje e saktë: po. Për më tepër, është shumë e lehtë. Për shembull, ne shtojmë një dimension të katërt në gjatësi / gjerësi / lartësi - kohë. Hapësira-koha popullore katërdimensionale dhe teoria e njohur e relativitetit, e vjedhur mjeshtërisht nga Ajnshtajni nga Lobachevsky, Poincaré, Lorentz dhe Minkowski. As të gjithë nuk e dinë. Pse Ajnshtajni fitoi çmimin Nobel? Kishte një skandal të tmerrshëm në botën shkencore dhe Komiteti i Nobelit e formuloi meritën e plagjiaturës afërsisht si më poshtë: "Për kontributin e tij të përgjithshëm në zhvillimin e fizikës". Pra, kjo është ajo. Marka e studentit C Einstein është promovim i pastër dhe PR.

Është e lehtë të shtosh një dimension të pestë në hapësirën e konsideruar katër-dimensionale, për shembull: presioni atmosferik. Dhe kështu me radhë, kështu me radhë, kështu me radhë, aq dimensione sa specifikoni në modelin tuaj - aq do të ketë. Në kuptimin më të gjerë të fjalës, ne jetojmë në një hapësirë ​​shumëdimensionale.

Le të shohim disa detyra më tipike:

Shembulli 5

Gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë në një pikë

Zgjidhja: Një detyrë në këtë formulim shpesh gjendet në praktikë dhe përfshin dy veprimet e mëposhtme:
– duhet të gjeni derivate të pjesshme të rendit të parë;
- duhet të llogaritni vlerat e derivateve të pjesshme të rendit të parë në pikë.

Ne vendosim:

(1) Para nesh është një funksion kompleks, dhe në hapin e parë duhet të marrim derivatin e arktangjentit. Në këtë rast, ne, në fakt, përdorim me qetësi formulën tabelare për derivatin e arktangjentit. Nga rregulli i diferencimit të funksioneve komplekse rezultati duhet të shumëzohet me derivatin e funksionit të brendshëm (embedding): .

(2) Ne përdorim vetitë e linearitetit.

(3) Dhe marrim derivatet e mbetura, duke mos harruar se ato janë konstante.

Sipas kushteve të caktimit, është e nevojshme të gjendet vlera e derivatit të pjesshëm të gjetur në pikë. Le të zëvendësojmë koordinatat e pikës në derivatin e gjetur:

Avantazhi i kësaj detyre është fakti se derivatet e tjerë të pjesshëm gjenden sipas një skeme shumë të ngjashme:

Siç mund ta shihni, modeli i zgjidhjes është pothuajse i njëjtë.

Le të llogarisim vlerën e derivatit të pjesshëm të gjetur në pikën:

Dhe së fundi, derivati ​​në lidhje me "zet":

Gati. Zgjidhja mund të ishte formuluar në një mënyrë tjetër: së pari gjeni të tre derivatet e pjesshëm dhe më pas llogaritni vlerat e tyre në pikë. Por, më duket, metoda e mësipërme është më e përshtatshme - thjesht gjeni derivatin e pjesshëm dhe menjëherë, pa lënë arkën, llogaritni vlerën e tij në pikën.

Është interesante të theksohet se gjeometrikisht, një pikë është një pikë shumë reale në hapësirën tonë tredimensionale. Vlerat e funksionit dhe të derivateve janë tashmë dimensioni i katërt, dhe askush nuk e di se ku ndodhet gjeometrikisht. Siç thonë ata, askush nuk u zvarrit rreth Universit me një masë shirit ose kontrolluar.

Meqenëse tema filozofike është përsëri në rritje, le të shqyrtojmë pyetjen e tretë: A është e mundur të udhëtosh në të kaluarën?

Përgjigje e saktë: Nr. Udhëtimi në të kaluarën bie ndesh me ligjin e dytë të termodinamikës mbi pakthyeshmërinë e proceseve fizike (entropia). Pra, ju lutemi mos u zhytni në një pishinë pa ujë, ngjarja mund të riprodhohet vetëm në një video =) Nuk është më kot që mençuria popullore doli me ligjin e kundërt të përditshëm: "Masni dy herë, prisni një herë". Edhe pse, në fakt, e trishtueshme është se koha është e njëanshme dhe e pakthyeshme, askush nga ne nuk do të jetë më i ri nesër. Dhe filma të ndryshëm fantastiko-shkencor si "The Terminator" janë absurde të plota nga pikëpamja shkencore. Është gjithashtu absurde nga pikëpamja filozofike kur Efekti, duke u kthyer në të kaluarën, mund të shkatërrojë Kauzën e vet. .

Është më interesante me derivatin "zet", megjithëse është ende pothuajse i njëjtë:

(1) Konstantet i nxjerrim nga shenja e derivatit.

(2) Këtu përsëri është produkti i dy funksioneve, secila prej të cilave varet nga ndryshorja “live” “zet”. Në parim, mund të përdorni formulën për derivatin e një koeficienti, por është më e lehtë të shkoni në anën tjetër - gjeni derivatin e produktit.

(3) Derivati ​​është një derivat tabelor. Termi i dytë përmban derivatin tashmë të njohur të një funksioni kompleks.

Shembulli 9

Gjeni derivatet e pjesshëm të rendit të parë të një funksioni me tre ndryshore

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Mendoni se si ta gjeni më racionalisht këtë apo atë derivat të pjesshëm. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Përpara se të kaloni te shembujt përfundimtarë të mësimit dhe të shikoni derivatet e pjesshme të rendit të dytë funksionet e tre variablave, do t'i gëzoj përsëri të gjithë me pyetjen e katërt:

A është e mundur të udhëtosh në të ardhmen?

Përgjigje e saktë: Shkenca nuk e ndalon këtë. Në mënyrë paradoksale, nuk ka asnjë ligj matematikor, fizik, kimik apo tjetër të shkencës natyrore që do të ndalonte udhëtimin në të ardhmen! Duket si marrëzi? Por pothuajse të gjithë në jetë kanë pasur një parandjenjë (dhe jo të mbështetur nga asnjë argument logjik) se kjo apo ajo ngjarje do të ndodhë. Dhe ndodhi! Nga erdhi informacioni? Nga e ardhmja? Kështu, filmat fantastiko-shkencor për udhëtimet në të ardhmen, dhe, meqë ra fjala, parashikimet e të gjitha llojeve të fallxhorëve dhe psikikës nuk mund të quhen të tilla marrëzi. Të paktën shkenca nuk e ka hedhur poshtë këtë. Çdo gjë është e mundur! Kështu, kur isha në shkollë, CD-të dhe monitorët me panel të sheshtë nga filmat më dukeshin të pabesueshëm.

Komedia e famshme "Ivan Vasilyevich ndryshon profesionin e tij" është gjysmë trillim (më së shumti). Asnjë ligj shkencor nuk e ndalonte Ivanin e Tmerrshëm që të ishte në të ardhmen, por është e pamundur që dy speca të përfundojnë në të kaluarën dhe të kryejnë detyrat e një mbreti.