Derivat i një funksioni. Teori e detajuar me shembuj. Zgjidhja e derivatit për dummies: përkufizimi, si të gjendet, shembuj zgjidhjesh Formula për derivatin e një funksioni në një pikë

Zgjidhja e problemeve fizike ose shembujve në matematikë është plotësisht e pamundur pa njohuri për derivatin dhe metodat e llogaritjes së tij. Derivati ​​është një nga konceptet më të rëndësishme në analizën matematikore. Ne vendosëm t'i kushtojmë artikullin e sotëm kësaj teme themelore. Çfarë është derivati, cili është kuptimi fizik dhe gjeometrik i tij, si të llogaritet derivati ​​i një funksioni? Të gjitha këto pyetje mund të kombinohen në një: si ta kuptojmë derivatin?

Kuptimi gjeometrik dhe fizik i derivatit

Le të ketë një funksion f(x) , të specifikuara në një interval të caktuar (a, b) . Pikat x dhe x0 i përkasin këtij intervali. Kur x ndryshon, vetë funksioni ndryshon. Ndryshimi i argumentit - ndryshimi në vlerat e tij x-x0 . Ky ndryshim shkruhet si delta x dhe quhet rritje e argumentit. Një ndryshim ose rritje e një funksioni është diferenca midis vlerave të një funksioni në dy pika. Përkufizimi i derivatit:

Derivati ​​i një funksioni në një pikë është kufiri i raportit të rritjes së funksionit në një pikë të caktuar me rritjen e argumentit kur ky i fundit tenton në zero.

Përndryshe mund të shkruhet kështu:

Çfarë kuptimi ka të gjesh një kufi të tillë? Dhe ja çfarë është:

derivati ​​i një funksioni në një pikë është i barabartë me tangjenten e këndit ndërmjet boshtit OX dhe tangjentes me grafikun e funksionit në një pikë të caktuar.

Kuptimi fizik i derivatit: derivati ​​i shtegut në lidhje me kohën është i barabartë me shpejtësinë e lëvizjes drejtvizore.

Në të vërtetë, që nga ditët e shkollës të gjithë e dinë se shpejtësia është një rrugë e veçantë x=f(t) dhe koha t . Shpejtësia mesatare për një periudhë të caktuar kohore:

Për të gjetur shpejtësinë e lëvizjes në një moment në kohë t0 ju duhet të llogarisni kufirin:

Rregulli i parë: vendosni një konstante

Konstanta mund të hiqet nga shenja derivatore. Për më tepër, kjo duhet bërë. Kur zgjidhni shembuj në matematikë, merrni atë si rregull - Nëse mund të thjeshtoni një shprehje, sigurohuni që ta thjeshtoni atë .

Shembull. Le të llogarisim derivatin:

Rregulli i dytë: derivat i shumës së funksioneve

Derivati ​​i shumës së dy funksioneve është i barabartë me shumën e derivateve të këtyre funksioneve. E njëjta gjë vlen edhe për derivatin e diferencës së funksioneve.

Ne nuk do të japim një provë të kësaj teoreme, por do të shqyrtojmë një shembull praktik.

Gjeni derivatin e funksionit:

Rregulli i tretë: derivati ​​i produktit të funksioneve

Derivati ​​i produktit të dy funksioneve të diferencueshëm llogaritet me formulën:

Shembull: gjeni derivatin e një funksioni:

Zgjidhja:

Është e rëndësishme të flasim këtu për llogaritjen e derivateve të funksioneve komplekse. Derivati ​​i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të këtij funksioni në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe derivatin e argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur.

Në shembullin e mësipërm hasim shprehjen:

Në këtë rast, argumenti i ndërmjetëm është 8x me fuqinë e pestë. Për të llogaritur derivatin e një shprehjeje të tillë, së pari llogarisim derivatin e funksionit të jashtëm në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe më pas shumëzojmë me derivatin e vetë argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur.

Rregulli i katërt: derivat i herësit të dy funksioneve

Formula për përcaktimin e derivatit të herësit të dy funksioneve:

Ne u përpoqëm të flisnim për derivatet për dummies nga e para. Kjo temë nuk është aq e thjeshtë sa duket, prandaj kini kujdes: shpesh ka gracka në shembuj, ndaj bëni kujdes kur llogaritni derivatet.

Për çdo pyetje mbi këtë dhe tema të tjera, mund të kontaktoni shërbimin e studentëve. Në një kohë të shkurtër, ne do t'ju ndihmojmë të zgjidhni testin më të vështirë dhe të kuptoni detyrat, edhe nëse nuk keni bërë kurrë më parë llogaritjet e derivateve.

Derivati ​​i një funksioni është një nga temat e vështira në kurrikulën shkollore. Jo çdo i diplomuar do t'i përgjigjet pyetjes se çfarë është një derivat.

Ky artikull shpjegon në mënyrë të thjeshtë dhe të qartë se çfarë është një derivat dhe pse është i nevojshëm.. Tani nuk do të përpiqemi për rigorozitet matematikor në prezantim. Gjëja më e rëndësishme është të kuptoni kuptimin.

Le të kujtojmë përkufizimin:

Derivati ​​është shpejtësia e ndryshimit të një funksioni.

Figura tregon grafikët e tre funksioneve. Cili mendoni se po rritet më shpejt?

Përgjigja është e qartë - e treta. Ka shkallën më të lartë të ndryshimit, domethënë derivatin më të madh.

Ja një shembull tjetër.

Kostya, Grisha dhe Matvey morën punë në të njëjtën kohë. Le të shohim se si ndryshuan të ardhurat e tyre gjatë vitit:

Grafiku tregon gjithçka menjëherë, apo jo? Të ardhurat e Kostya u dyfishuan në gjashtë muaj. Dhe të ardhurat e Grishës gjithashtu u rritën, por vetëm pak. Dhe të ardhurat e Matvey u ulën në zero. Kushtet e fillimit janë të njëjta, por shkalla e ndryshimit të funksionit, d.m.th derivatore, - të ndryshme. Sa i përket Matvey-t, derivati ​​i tij i të ardhurave është përgjithësisht negativ.

Në mënyrë intuitive, ne vlerësojmë lehtësisht shkallën e ndryshimit të një funksioni. Por si ta bëjmë këtë?

Ajo që ne po shohim në të vërtetë është se sa pjerrësi rritet (ose poshtë) grafiku i një funksioni. Me fjalë të tjera, sa shpejt ndryshon y ndërsa x ndryshon? Natyrisht, i njëjti funksion në pika të ndryshme mund të ketë vlera të ndryshme derivative - domethënë mund të ndryshojë më shpejt ose më ngadalë.

Derivati ​​i një funksioni shënohet .

Ne do t'ju tregojmë se si ta gjeni atë duke përdorur një grafik.

Është vizatuar një grafik i disa funksioneve. Le të marrim një pikë me një abscisë mbi të. Le të vizatojmë një tangjente me grafikun e funksionit në këtë pikë. Ne duam të vlerësojmë se sa pjerrësi rritet grafiku i një funksioni. Një vlerë e përshtatshme për këtë është tangjente e këndit tangjent.

Derivati ​​i një funksioni në një pikë është i barabartë me tangjenten e këndit tangjentë të tërhequr në grafikun e funksionit në këtë pikë.

Ju lutemi vini re se si kënd i prirjes së tangjentës marrim këndin midis tangjentës dhe drejtimit pozitiv të boshtit.

Ndonjëherë studentët pyesin se çfarë është një tangjente me grafikun e një funksioni. Kjo është një vijë e drejtë që ka një pikë të vetme të përbashkët me grafikun në këtë seksion, dhe siç tregohet në figurën tonë. Duket si një tangjente me një rreth.

Le ta gjejmë. Kujtojmë se tangjentja e një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë është e barabartë me raportin e anës së kundërt me anën fqinje. Nga trekëndëshi:

Derivatin e gjetëm duke përdorur një grafik pa e ditur as formulën e funksionit. Probleme të tilla shpesh gjenden në Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë nën numrin.

Ekziston një marrëdhënie tjetër e rëndësishme. Kujtojmë se drejtëza jepet nga ekuacioni

Sasia në këtë ekuacion quhet pjerrësia e një vije të drejtë. Është e barabartë me tangjenten e këndit të prirjes së drejtëzës ndaj boshtit.

.

Ne e kuptojmë atë

Le të kujtojmë këtë formulë. Ai shpreh kuptimin gjeometrik të derivatit.

Derivati ​​i një funksioni në një pikë është i barabartë me pjerrësinë e tangjentes së tërhequr në grafikun e funksionit në atë pikë.

Me fjalë të tjera, derivati ​​është i barabartë me tangjenten e këndit tangjent.

Ne kemi thënë tashmë se i njëjti funksion mund të ketë derivate të ndryshëm në pika të ndryshme. Le të shohim se si derivati ​​lidhet me sjelljen e funksionit.

Le të vizatojmë një grafik të disa funksioneve. Lëreni këtë funksion të rritet në disa zona dhe të ulet në të tjera, dhe me ritme të ndryshme. Dhe le që ky funksion të ketë pikë maksimale dhe minimale.

Në një moment funksioni rritet. Një tangjente me grafikun e vizatuar në pikë formon një kënd të mprehtë me drejtimin pozitiv të boshtit. Kjo do të thotë që derivati ​​në pikë është pozitiv.

Në atë pikë funksioni ynë zvogëlohet. Tangjentja në këtë pikë formon një kënd të mpirë me drejtimin pozitiv të boshtit. Meqenëse tangjentja e një këndi të mpirë është negative, derivati ​​në pikë është negativ.

Ja çfarë ndodh:

Nëse një funksion është në rritje, derivati ​​i tij është pozitiv.

Nëse zvogëlohet, derivati ​​i tij është negativ.

Çfarë do të ndodhë në pikët maksimale dhe minimale? Shohim që në pikat (pika maksimale) dhe (pika minimale) tangjentja është horizontale. Prandaj, tangjentja e tangjentes në këto pika është zero, dhe derivati ​​është gjithashtu zero.

Pika - pikë maksimale. Në këtë pikë, rritja e funksionit zëvendësohet me një ulje. Rrjedhimisht, shenja e derivatit ndryshon në pikën nga "plus" në "minus".

Në pikën - pika minimale - derivati ​​është gjithashtu zero, por shenja e tij ndryshon nga "minus" në "plus".

Përfundim: duke përdorur derivatin mund të zbulojmë gjithçka që na intereson për sjelljen e një funksioni.

Nëse derivati ​​është pozitiv, atëherë funksioni rritet.

Nëse derivati ​​është negativ, atëherë funksioni zvogëlohet.

Në pikën maksimale, derivati ​​është zero dhe ndryshon shenjën nga "plus" në "minus".

Në pikën minimale, derivati ​​është gjithashtu zero dhe ndryshon shenjën nga "minus" në "plus".

Le t'i shkruajmë këto përfundime në formën e një tabele:

	rritet	pikë maksimale	zvogëlohet	pikë minimale	rritet
+	0	-	0	+

Le të bëjmë dy sqarime të vogla. Do t'ju duhet një prej tyre kur zgjidhni problemet e PËRDORIMIT. Një tjetër - në vitin e parë, me një studim më serioz të funksioneve dhe derivateve.

Është e mundur që derivati ​​i një funksioni në një moment të jetë i barabartë me zero, por funksioni nuk ka as një maksimum dhe as një minimum në këtë pikë. Ky është i ashtuquajturi :

Në një pikë, tangjentja me grafikun është horizontale dhe derivati ​​është zero. Sidoqoftë, para pikës funksioni u rrit - dhe pas pikës ai vazhdon të rritet. Shenja e derivatit nuk ndryshon - ajo mbetet pozitive siç ishte.

Ndodh gjithashtu që në pikën maksimale ose minimale derivati ​​të mos ekzistojë. Në grafik, kjo korrespondon me një thyerje të mprehtë, kur është e pamundur të vizatoni një tangjente në një pikë të caktuar.

Si të gjeni derivatin nëse funksioni nuk jepet nga një grafik, por nga një formulë? Në këtë rast zbatohet

Mund të nxirret si shenjë derivatore:

(af(x)" =af " (x).

Për shembull:

Derivat i një shume algjebrike disa funksione (të marra në numra konstante) është e barabartë me shumën algjebrike të tyre derivatet:

(f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x))" = f 1 " (x) + f 2 " (x) - f 3 " (x).

Për shembull:

(0,3 x 2 - 2 x + 0,8)" = (0,3 x 2)" - (2 x)" + (0,8)" = 0,6 x - 2 ( derivatore e fundit afati ekuacioni është zero).

Nëse derivat i një funksioni g është jozero, atëherë ka edhe raporti f/g derivati ​​përfundimtar. Kjo pronë mund të shkruhet si:

.

Le funksione y = f(x) dhe y = g(x) kanë derivatet e fundme në pikën x 0 . Pastaj funksione f ± g dhe f g gjithashtu kanë derivatet e fundme në kjo pikë. Pastaj marrim:

(f ± g) ′ = f ′ ± g ′,

(f g) ′ = f ′ g + f g ′.

Derivat i një funksioni kompleks.

Le funksionin y = f(x) ka derivat i fundëm në një pikë x 0 , funksioni z = s(y) ka një derivat të fundëm në pikën y 0 = f(x 0).

Pastaj funksion kompleks z = s (f(x)) gjithashtu ka një derivat të fundëm në këtë pikë. Sa më sipër mund të shkruhet në formën:

.

Derivat i funksionit të anasjelltë.

Le të ketë funksioni y = f(x). funksioni i anasjelltë x = g(y) në disa intervali(a, b) dhe ka një jozero derivati ​​përfundimtar ky funksion në pikën x 0, që i përket fusha e përkufizimit, d.m.th. x 0 ∈ (a, b).

Pastaj funksioni i anasjelltë Ajo ka derivatore në pikën y 0 = f(x 0):

.

Derivat i një funksioni të nënkuptuar.

Nëse funksionin y = f(x) jepet në mënyrë implicite ekuacioni F(x, y(x)) = 0, pastaj është derivatore gjendet nga gjendja:

.

Ata thonë se funksionin y = f(x) specifikohet në mënyrë implicite, Nese ajo në mënyrë identike plotëson relacionin:

ku F(x, y) është një funksion i dy argumenteve.

Derivat i një funksioni të përcaktuar parametrikisht.

Nëse funksionin y = f(x) është specifikuar në mënyrë parametrike duke përdorur konsideruar

Shumë e lehtë për t'u mbajtur mend.

Epo, le të mos shkojmë larg, le të shqyrtojmë menjëherë funksionin e anasjelltë. Cili funksion është inversi i funksionit eksponencial? Logaritmi:

Në rastin tonë, baza është numri:

Një logaritëm i tillë (d.m.th., një logaritëm me bazë) quhet "natyror" dhe ne përdorim një shënim të veçantë për të: ne shkruajmë në vend të tij.

Me çfarë është e barabartë? Sigurisht, .

Derivati ​​i logaritmit natyror është gjithashtu shumë i thjeshtë:

Shembuj:

1. Gjeni derivatin e funksionit.
2. Cili është derivati ​​i funksionit?

Përgjigjet: Logaritmi eksponencial dhe natyror janë funksione unike të thjeshta nga një këndvështrim derivat. Funksionet eksponenciale dhe logaritmike me çdo bazë tjetër do të kenë një derivat të ndryshëm, të cilin do ta analizojmë më vonë, pasi të kalojmë rregullat e diferencimit.

Rregullat e diferencimit

Rregullat e çfarë? Sërish një mandat i ri, sërish?!...

Diferencimiështë procesi i gjetjes së derivatit.

Kjo eshte e gjitha. Çfarë tjetër mund ta quani këtë proces me një fjalë? Jo derivat... Matematikanët e quajnë diferencialin të njëjtën rritje të një funksioni në. Ky term vjen nga latinishtja diferencia - dallim. Këtu.

Kur nxjerrim të gjitha këto rregulla, ne do të përdorim dy funksione, për shembull, dhe. Do të na duhen gjithashtu formula për shtimet e tyre:

Gjithsej janë 5 rregulla.

Konstanta hiqet nga shenja derivatore.

Nëse - ndonjë numër konstant (konstant), atëherë.

Natyrisht, ky rregull funksionon edhe për ndryshimin: .

Le ta vërtetojmë. Le të jetë, ose më e thjeshtë.

Shembuj.

Gjeni derivatet e funksioneve:

1. në një pikë;
2. në një pikë;
3. në një pikë;
4. në pikën.

Zgjidhjet:

1. (derivati ​​është i njëjtë në të gjitha pikat, pasi është funksion linear, mbani mend?);

Derivat i produktit

Gjithçka është e ngjashme këtu: le të prezantojmë një funksion të ri dhe të gjejmë rritjen e tij:

Derivat:

Shembuj:

1. Gjeni derivatet e funksioneve dhe;
2. Gjeni derivatin e funksionit në një pikë.

Zgjidhjet:

Derivat i një funksioni eksponencial

Tani njohuritë tuaja janë të mjaftueshme për të mësuar se si të gjeni derivatin e çdo funksioni eksponencial, dhe jo vetëm eksponentë (e keni harruar akoma se çfarë është?).

Pra, ku është një numër.

Ne tashmë e dimë derivatin e funksionit, kështu që le të përpiqemi ta reduktojmë funksionin tonë në një bazë të re:

Për ta bërë këtë, ne do të përdorim një rregull të thjeshtë: . Pastaj:

Epo, funksionoi. Tani përpiquni të gjeni derivatin dhe mos harroni se ky funksion është kompleks.

Ka ndodhur?

Këtu, kontrolloni veten:

Formula doli të ishte shumë e ngjashme me derivatin e një eksponenti: siç ishte, ajo mbetet e njëjtë, u shfaq vetëm një faktor, i cili është vetëm një numër, por jo një ndryshore.

Shembuj:
Gjeni derivatet e funksioneve:

Përgjigjet:

Ky është vetëm një numër që nuk mund të llogaritet pa një kalkulator, domethënë nuk mund të shkruhet në një formë më të thjeshtë. Prandaj, e lëmë në këtë formë në përgjigje.

Vini re se këtu është herësi i dy funksioneve, kështu që ne zbatojmë rregullin përkatës të diferencimit:

Në këtë shembull, produkti i dy funksioneve:

Derivat i një funksioni logaritmik

Është e ngjashme këtu: ju tashmë e dini derivatin e logaritmit natyror:

Prandaj, për të gjetur një logaritëm arbitrar me një bazë të ndryshme, për shembull:

Duhet ta zvogëlojmë këtë logaritëm në bazë. Si të ndryshoni bazën e një logaritmi? Shpresoj ta mbani mend këtë formulë:

Vetëm tani do të shkruajmë në vend të kësaj:

Emëruesi është thjesht një konstante (një numër konstant, pa një ndryshore). Derivati ​​merret shumë thjesht:

Derivatet e funksioneve eksponenciale dhe logaritmike nuk gjenden pothuajse kurrë në Provimin e Unifikuar të Shtetit, por nuk do të jetë e tepërt t'i njihni ato.

Derivat i një funksioni kompleks.

Çfarë është një "funksion kompleks"? Jo, ky nuk është një logaritëm dhe as një arktangjent. Këto funksione mund të jenë të vështira për t'u kuptuar (edhe pse nëse logaritmi ju duket i vështirë, lexoni temën "Logaritmet" dhe do të jeni mirë), por nga pikëpamja matematikore, fjala "kompleks" nuk do të thotë "e vështirë".

Imagjinoni një rrip të vogël transportues: dy persona janë ulur dhe bëjnë disa veprime me disa objekte. Për shembull, i pari mbështjell një çokollatë me një mbështjellës dhe i dyti e lidh me një fjongo. Rezultati është një objekt i përbërë: një çokollatë e mbështjellë dhe e lidhur me një fjongo. Për të ngrënë një çokollatë, duhet të bëni hapat e kundërt në rend të kundërt.

Le të krijojmë një tubacion të ngjashëm matematikor: së pari do të gjejmë kosinusin e një numri, dhe më pas do të vendosim në katror numrin që rezulton. Pra, na jepet një numër (çokollatë), unë gjej kosinusin e saj (mbështjellësin) dhe pastaj ju katrore atë që kam marrë (lidheni me një fjongo). Cfare ndodhi? Funksioni. Ky është një shembull i një funksioni kompleks: kur, për të gjetur vlerën e tij, ne kryejmë veprimin e parë drejtpërdrejt me variablin, dhe më pas një veprim të dytë me atë që rezultoi nga i pari.

Me fjale te tjera, një funksion kompleks është një funksion, argumenti i të cilit është një funksion tjetër: .

Për shembullin tonë,.

Ne mund t'i bëjmë lehtësisht të njëjtat hapa në rend të kundërt: fillimisht ju e vendosni në katror dhe unë më pas kërkoj kosinusin e numrit që rezulton: . Është e lehtë të merret me mend se rezultati pothuajse gjithmonë do të jetë i ndryshëm. Një tipar i rëndësishëm i funksioneve komplekse: kur ndryshon rendi i veprimeve, funksioni ndryshon.

Shembulli i dytë: (e njëjta gjë). .

Veprimi që bëjmë i fundit do të quhet funksioni "i jashtëm"., dhe veprimi i kryer së pari - në përputhje me rrethanat funksioni "i brendshëm".(këto janë emra joformalë, i përdor vetëm për të shpjeguar materialin në gjuhë të thjeshtë).

Mundohuni të përcaktoni vetë se cili funksion është i jashtëm dhe cili i brendshëm:

Përgjigjet: Ndarja e funksioneve të brendshme dhe të jashtme është shumë e ngjashme me ndryshimin e variablave: për shembull, në një funksion

1. Çfarë veprimi do të kryejmë së pari? Së pari, le të llogarisim sinusin, dhe vetëm pastaj ta kubikeojmë atë. Kjo do të thotë se është një funksion i brendshëm, por i jashtëm.
   Dhe funksioni origjinal është përbërja e tyre: .
2. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
3. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
4. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
5. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .

Ne ndryshojmë variablat dhe marrim një funksion.

Epo, tani do të nxjerrim shiritin tonë të çokollatës dhe do të kërkojmë derivatin. Procedura është gjithmonë e kundërt: fillimisht kërkojmë derivatin e funksionit të jashtëm, pastaj shumëzojmë rezultatin me derivatin e funksionit të brendshëm. Në lidhje me shembullin origjinal, duket kështu:

Një shembull tjetër:

Pra, le të formulojmë më në fund rregullin zyrtar:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

Duket e thjeshtë, apo jo?

Le të kontrollojmë me shembuj:

Zgjidhjet:

1) E brendshme: ;

E jashtme: ;

2) E brendshme: ;

(Vetëm mos u përpiqni ta shkurtoni deri tani! Asgjë nuk del nga kosinusi, mbani mend?)

3) E brendshme: ;

E jashtme: ;

Është menjëherë e qartë se ky është një funksion kompleks me tre nivele: në fund të fundit, ky është tashmë një funksion kompleks në vetvete, dhe ne gjithashtu nxjerrim rrënjën prej tij, domethënë kryejmë veprimin e tretë (e vendosim çokollatën në një mbështjellës dhe me një fjongo në çantë). Por nuk ka asnjë arsye për t'u frikësuar: ne ende do ta "zhpaketojmë" këtë funksion në të njëjtin rend si zakonisht: nga fundi.

Domethënë, së pari dallojmë rrënjën, pastaj kosinusin dhe vetëm më pas shprehjen në kllapa. Dhe pastaj ne i shumëzojmë të gjitha.

Në raste të tilla, është e përshtatshme të numërohen veprimet. Kjo do të thotë, le të imagjinojmë atë që dimë. Me çfarë radhe do të kryejmë veprimet për të llogaritur vlerën e kësaj shprehjeje? Le të shohim një shembull:

Sa më vonë të kryhet veprimi, aq më "i jashtëm" do të jetë funksioni përkatës. Sekuenca e veprimeve është e njëjtë si më parë:

Këtu foleja është përgjithësisht me 4 nivele. Le të përcaktojmë rrjedhën e veprimit.

1. Shprehje radikale. .

2. Rrënja. .

3. Sinus. .

4. Sheshi. .

5. Duke i bashkuar të gjitha:

DERIVATIV. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Derivat i një funksioni- raporti i rritjes së funksionit ndaj rritjes së argumentit për një rritje infinite të vogël të argumentit:

Derivatet bazë:

Rregullat e diferencimit:

Konstanta hiqet nga shenja derivatore:

Derivati ​​i shumës:

Derivati ​​i produktit:

Derivati ​​i herësit:

Derivati ​​i një funksioni kompleks:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

1. Përcaktojmë funksionin "të brendshëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
2. Përcaktojmë funksionin "të jashtëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
3. Ne shumëzojmë rezultatet e pikës së parë dhe të dytë.