Bu derste, vektörlerle iki operasyonu düşüneceğiz: vektör sanat vektörel çizimler ve karışık vektörler (derhal bağlayın, kime ihtiyacı var?. Korkunç bir şey yok, bu yüzden bazen tam bir mutluluk için, ek olarak skaler ürün vektörleri, ayrıca gereklidir. Böylece burada bir vektör uyuşturucu bağımlılığı. Analitik geometrinin enkazına tırmandığımız izlenimini arayabilir. Bu doğru değil. En yüksek matematiğin bu bölümünde, Pinokyo hariç, genel olarak yeterince yakacak odun yoktur. Aslında, malzeme çok yaygın ve basittir - aynıdan çok daha zor skaler ürünTipik görevler bile daha küçük olacaktır. Analitik geometrideki asıl şey, çoğu kişi öldürülecek veya daha önce ikna edileceğini, hesaplamalarla karıştırılmayacak. Büyü olarak tekrarlayın ve mutlu olursunuz \u003d)

Vektörler ufukta yıldırım olarak bir yere parıldıyorsa, sorun değil, dersten başlayın Çaydanlıklar için VektörlerVektörler hakkında temel bilgileri geri yüklemek veya yeniden kazanmak. Daha hazırlanmış okuyucular, seçici olarak bilgilerle tanışabilir, pratik işlerde sıklıkla bulunan en eksiksiz örnek koleksiyonunu toplamaya çalıştım.

Hemen ne lütfen? Küçükken, iki ve hatta üç topun nasıl okunacağını biliyordum. Deftly başarılı oldu. Şimdi düşüneceğimiz gibi, hiç henkâtürmek zorunda kalmayacaksınız. sadece Mekansal Vektörlerve iki koordinatlı düz vektörler denize düşecektir. Neden? Bu eylemler doğdu - vektörlerin bir vektörü ve karma ürünü üç boyutlu alanda tanımlanır ve çalıştırılır. Zaten daha kolay!

Bu işlemde, skaler ürünündeki olduğu gibi, katılın İki vektör. Saçmalık olalım.

Aksiyonun kendisi ifade etmek Aşağıdaki şekilde: . Başka seçenekler de var, ancak tıpkı kare parantez içinde olduğu gibi vektörlerin vektör sanatını belirtirdi.

Ve derhal soru: Eğer içeride skaler ürün vektörleri İki vektör dahil ve burada iki versiyon burada çarpılıyor, sonra fark ne? Sonuç olarak, her şeyden önce açık farklılık:

Vektörlerin bir skaler ürününün sonucu bir sayıdır:

Vektör sanat vektörlerinin sonucu vektör:, Yani, vektörleri çarptık ve tekrar vektörü alıyoruz. Kapalı kulüp. Aslında, dolayısıyla operasyonun adı. Çeşitli öğrenme literatüründe, atamalar da değişebilir, mektubu kullanacağım.

Vektör sanatın tanımı

İlk önce bir resimle bir tanım olacak, sonra yorumlar.

Tanım: Vektör çalışması nonallyline Vektörler, bu sırada alınan, vektör denir, uzunluk hangi sayısal paralelogramın karesine eşitbu vektör veriler üzerine inşa edilmiştir; vektör ortogonal vektörler Ve temel oryantasyona sahip olacak şekilde yönlendirilir:

Kemiklerin tanımını söküyoruz, çok ilginç şeyler var!

Böylece, aşağıdaki temel anları seçebilirsiniz:

1) Kaynak vektörleri tanım gereği kırmızı oklarla işaretlenmiş collinear değil. Collinear vektörleri vakası biraz daha sonra göz önünde bulundurmak için uygun olacaktır.

2) Alınan Vektörler kesin olarak tanımlanmış sırayla: – "A" "BE" ile çarpılır, "A" üzerinde "olmayın". Çarpma vektörlerinin sonucu Mavi olarak gösterilen bir vektör. Vektörler ters sırada çarpılırsa, o zaman uzunluğa ve zıt vektöre (ahududu rengi) eşit oluruz. Yani eşitlik doğru .

3) Şimdi vektör ürünün geometrik anlamı ile tanışalım. Bu çok önemli bir konu! Mavi vektörün uzunluğu (ve bu nedenle ahududu vektörü), vektörlerde yerleşik paralelogram karesine sayısal olarak eşittir. Şekilde, bu paralelkenar siyah renktedir.

Not : Çizim şematik ve doğal olarak, vektör ürünün nominal uzunluğu paralelogramın alanına eşit değildir.

Geometrik formüllerden birini hatırlıyoruz: paralelkenarın alanı, aralarındaki köşedeki bitişik tarafların ürününe eşittir.. Bu nedenle, yukarıdakilere dayanarak, vektörün uzunluğunu hesaplamak için formül:

Formula'da vektörün uzunluğu hakkında konuştuğumuzu vurguluyorum ve çok vektör hakkında değil. Pratik anlam nedir? Ve anlam, analitik geometrinin görevlerinde, paralelkenar alanının genellikle vektör sanat kavramıyla bulunur:

İkinci bir önemli formülü alacağız. Paralelogramın köşegeni (kırmızı dottedier) onu iki eşit üçgene böler. Sonuç olarak, vektörlerde yerleşik olan üçgenin alanı (kırmızı tarama), formül tarafından bulunabilir:

4) Daha az önemli bir gerçek değil, vektörün ortogonal vektörler olmasıdır. . Tabii ki, rakip olarak yönlendirilmiş vektör (Ahududu oku) orijinal vektörlerde de ortogonaldır.

5) Vektör yönlendirilir esas Var sağ Oryantasyon. Sınıfta O. yeni bir temele geçiş Detaylı olarak konuştum uçağın oryantasyonuVe şimdi uzayın oryantasyonu ile ilgileneceğiz. Parmaklarına açıklayacağım sağ el. Zihinsel olarak birleştirmek işaret parmağı I ile I. orta parmak Vektör ile. Adsız parmak ve küçük bir parmak Avuç'a basın. Sonuç olarak başparmak - Vektör sanat arayacak. Bu, doğru geçtiği temeldir (bu şekilde o). Şimdi vektörleri değiştirin ( endeks ve orta parmaklar) Yerler, sonuç olarak, başparmak ortaya çıkıyor ve vektör çalışması zaten aşağı bakacak. Bu aynı zamanda düzenli baz olarak. Belki de bir sorunuz var: Sol oryantasyonun hangi temelinde? "İsim" aynı parmaklar sol el Vektörler ve sola ve boşluğun sol yönünü olsun (Bu durumda, başparmak alt vektör yönünde bulunur). Mecazi olarak konuşursak, bunlar bu bazlar "döndürme" veya farklı yönlerde yer açın. Ve bu konsept, bir şey olarak kabul edilmemeli veya özet olarak kabul edilmemelidir - bu nedenle, alanın oryantasyonu en sıradan aynayı değiştirir ve "yansıyan nesneyi Castorcal'dan çekerseniz" birleştiremez. genel. Bu arada, aynaya üç parmak getirin ve yansımayı analiz edin ;-)

... şimdi bildiğiniz nasıl iyi hukuk ve sola yönelik Bazlar, bazı öğretim görevlilerinin oryantasyon değişikliği ile ilgili korkunç ifadeleri için \u003d)

Kolliniar vektör çizimleri vektör

Tanım, ayrıntılı olarak söküldüğü, kolliniar vektörleri olduğunda neler olup bittiğini öğrenmek için kalır. Vektörler kollinearsa, bir düz çizgi üzerine yerleştirilebilirler ve paralelkenarimiz de bir düz olarak "kıvrımlar" da yerleştirilebilirler. Bunun alanı, matematik olarak, dejenere Paralelkenar sıfırdır. Formül - sinüs sıfır veya 180 derece sıfırdır ve bu nedenle alan sıfırdır

Böylece, eğer . Kesinlikle konuşan, çok vektör ürünü sıfır vektördür, ancak pratikte genellikle ihmal edilir ve yazılıdır.

Özel Kılıf - Vektör Üzerinde Vektör Üzerinde:

Bir vektör ürünü yardımıyla, üç boyutlu vektörlerin colline'sı kontrol edilebilir ve bu göreve diğerleri arasında da bakacağız.

Pratik örnekler çözmek için gerekebilir trigonometrik masaBunu sinüs değerlerini bulmak için.

Peki, ateşi ateşleyin:

Örnek 1.

a) Vektör sanat vektörlerinin uzunluğunu bulun

b) Versiyonlarda yerleşik paralelogramın karesini bulun

Karar: Hayır, bu bir yazım hatası değil, fıkra koşullarındaki ilk veriler kasıtlı olarak aynı yaptım. Çünkü karar vermek farklı olacak!

a) Bulmanız gereken şartlar altında uzunluk Vektör (vektör sanat). İlgili formüle göre:

Cevap:

Kohl kısa sürede uzunluk, sonra yanıt olarak sordu, boyutlarını belirtin.

b) bulmak için gereken şartlar altında alan Vektörlerde inşa edilmiş bir paralelkenar. Bu paralelogramın alanı, vektörün uzunluğuna göre sayısal olarak eşittir:

Cevap:

Lütfen konuşmanın vektör ürünü hakkında yanıt olarak, sorulduğundan haberdar olduklarını unutmayın. figür karesiBuna göre, boyut kare birimdir.

Her zaman durumun gerekli olanlara bakarız ve buna dayanarak, formüle ediyoruz. açık Cevap. Kuşkusuz görünebilir, ancak öğretmenler arasında yeterli anahtar taşlar var ve iyi şanslar olan görevin iyileştirilmesine geri döneceği. Bu, özellikle gerilmiş bir ocağ olmasa da - Cevap yanlışsa, bir kişinin görevin özünde basit şeyleri ve / veya olmadığını anlamadığı görülmektedir. Bu an her zaman kontrolde tutulmalı, daha yüksek matematikte ve diğer konularda da herhangi bir görevi çözer.

Big Bucchka "en" nerede yaptı? Prensip olarak, ayrıca çözüme katılabilir, ancak kaydı azaltmak için yapmadım. Umarım herkes bunun aynı şey olduğunu anlar.

Öz Çözümler için Popüler Örnek:

Örnek 2.

Vektörlerde inşa edilmiş bir üçgen alanı bulun

Vektör sanatın içindeki üçgen alanını bulmak için formül, tanımın için yorumlarda verilir. Dersin sonunda çözüm ve cevap.

Uygulamada, görev gerçekten çok yaygındır, üçgenler genellikle işkence yapabilir.

Diğer görevleri çözmek için, ihtiyacımız olacak:

Vektör sanat eserlerinin özellikleri

Ancak zaten düşündüğümüz vektör çalışmalarının bazı özellikleri, ancak onları bu listeye dahil edeceğim.

Keyfi vektörler ve keyfi sayılar için, aşağıdaki özellikler adildir:

1) Diğer bilgi kaynaklarında, bu madde genellikle özelliklerde tanımlanmaz, ancak pratik anlamda çok önemlidir. Bu nedenle, olsun.

2) - Mülkiyet ayrıca yukarıda demonte edilir, bazen denir commutative Anti-Commutative. Başka bir deyişle, vektörlerin sırası önemlidir.

3) - kasvetli veya İlişkisel Vektör iş kanunları. Sabitler geçici olarak vektör işinden çıkarılır. Nitekim, orada ne yapıyorlar?

4) - Dağıtım veya dağıtım Vektör iş kanunları. Parantezlerin açıklanması ile sorun yoktur.

Bir gösteri olarak kısa bir örnek düşünün:

Örnek 3.

Bul

Karar: Durumla, vektör ürününün uzunluğunu tekrar bulmak gerekir. Minyatürümüzü getiriyoruz:

(1) İlişkilendirici yasalara göre, vektör çalışmalarının yeniden dağıtılması için sabitlere dayanırız.

(2) Modül dışındaki sabiti dayanırken, "eksi" işareti "yiyor" modülü. Uzunluk negatif olamaz.

(3) ayrıca anlaşılabilir.

Cevap:

Yakacak odun atmanın zamanı geldi:

Örnek 4.

Vektörlerde yerleşik üçgen alanını hesaplayın.

Karar: Üçgen kare formülü bul . Snag, "CE" ve "de" vektörlerinin kendileri vektörün toplamı olarak temsil edildiğidir. Buradaki algoritma standarttır ve bir şey, 3 ve 4 ders numune benzer Skaler ürün vektörleri. Netliğin üç aşamaya girmesi için çözüm:

1) İlk adımda, bir vektör ürünü bir vektör sanatla ifade ediyoruz, aslında, vektör ile vektör ekspres. Uzunluklar hakkında bir kelime değil!

(1) Biz vektörlerin ifadesini değiştiriyoruz.

(2) Dağıtım yasalarını kullanarak, polinomların çarpımı kuralına göre braketleri ortaya çıkarır.

(3) İlişkilendirici yasaları kullanarak, tüm sabitlere vektörün ötesindeki dayanaklar. Malomal deneyim altında, 2 ve 3 aynı anda yapılabilir.

(4) Keyifli bir özellik sayesinde ilk ve son dönem sıfırdır (sıfır vektör). İkinci dönemde, vektör çalışmanın anti-tomrukative özelliğini kullanıyoruz:

(5) Bu tür bileşenleri veriyoruz.

Sonuç olarak, vektör elde edilmesi gereken vektör boyunca ifade edildiği ortaya çıktı:

2) İkinci adımda, ihtiyacınız olan vektör ürünün uzunluğunu bulacağız. Bu işlem örneğe benzer 3:

3) İstediğiniz üçgenin alanını bulun:

Aşama 2-3 Çözümler bir satır ile düzenlenebilir.

Cevap:

Düşünülen görev, testlerde yeterince yayılır, burada bağımsız bir karar için bir örnek:

Örnek 5.

Bul

Dersin sonunda kısa bir çözüm ve cevap. Önceki örnekler okurken ne kadar özenli olduğunuzu görelim ;-)

Koordinatlarda vektör çizim vektör sanat

ortonormal bazda tanımlanır formül eksprese edilir:

Formül ve Gerçek Sprydskaya: Determinant'ın üst çizgisinde, koordinat vektörlerini, ikinci ve üçüncü satırlarda "vektörün koordinatlarını" koyar ve formda yazıyoruz. kesinlikle - İlk olarak, "ve" vektörün koordinatları, sonra vektörün koordinatları "DUBL-WIS". Vektörlerin farklı bir sırayla çarpması gerekirse, satırlar yerlerde değiştirilmelidir:

Örnek 10.

Collinear'ın aşağıdaki alan vektörleri olup olmadığını kontrol edin:
fakat)
b)

Karar: Kontrol, bu dersin ifadelerinden birine dayanır: eğer kolliniar vektörleri, sonra vektör ürünü sıfırdır (sıfır vektör): .

a) Bir vektör sanat hoş geldiniz:

Böylece, vektörler kollinear değildir.

b) bir vektör sanat bul:

Cevap: a) Collinear değil, B)

Bu belki vektörlerin vektör ürünü ile ilgili tüm temel bilgilerdir.

Bu bölüm çok büyük olmayacak, çünkü vektörlerin karışık ürününün kullanıldığı görevler biraz. Aslında, her şey tanım, geometrik anlam ve birkaç çalışma formüliyle sınırlandırılacaktır.

Karışık sanat eserleri üç vektörün bir eseridir.:

Bu böyle bir trenle sıralandılar ve beklediklerinde, hesaplandığında beklemeyeceğiz.

İlk olarak, tekrar tanım ve resim:

Tanım: Karışık iş nonsplenar Vektörler, bu sırada alınan, aranan paralelepipeda'nın hacmi, vektörün verilerini oluşturdu, "+" işareti ile donatılmış, temeli doğru ise ve "-" işareti, temeli kalırsa, "-" işareti.

Bir resim yap. Görünmez çizgiler noktalı çizgi ile dövülür:

Kendinizi tanımla daldırın:

2) Alınan Vektörler belirli bir sıradaYani, işte vektörlerin yeniden düzenlenmesi, tahmin ederken, sonuçsuz geçmez.

3) Geometrik anlamı yorumlamadan önce, bariz gerçeği not edeceğim: karışık vektörler bir sayıdır:. Eğitim literatüründe, tasarım biraz farklı olabilir, karma bir ürün imzaladım ve "PE" harfinin hesaplamalarının sonucu.

A-priory karışık iş paralel bir hacimdirDahili vektörler (şekil kırmızı vektörler ve siyah çizgilerle temizlenir). Yani, sayı bu paralelefedin hacmine eşittir.

Not : Çizim şematiktir.

4) Temel ve mekanın oryantasyonu kavramıyla yeniden bulamaz. Son kısmın anlamı, bir eksi işaretinin ses seviyesine eklenebilmesidir. Basit kelimeler, karışık bir ürün olumsuz olabilir :.

Doğrudan tanımdan, vektörlerde yerleşik olan paralelpiped hacmini hesaplamak için formülü takip eder.

Versiyonlarda inşa edilen paralelogramın alanı, bu vektörlerin uzunluklarının ürününe eşittir, bu da aralarında uzanan açıyla.

Peki, bu vektörlerin uzunlukları koşullar tarafından verildiğinde. Bununla birlikte, paralelkenar alan formülünü uygulamak, yalnızca vektörler halinde oluşturulan Koordinatlar tarafından yapılmıştır.
Eğer şanslıysa ve koşullar altında vektörlerin uzunluğu verilirse, daha önce makalede daha önce demonte ettiğimiz formülü uygulamanız gerekir. Alan arasında sinüs köşesindeki modüllerin ürününe eşit olacaktır:

Vektörler halinde inşa edilen paralelogramın alanını hesaplamanın bir örneğini düşünün.

Bir görev: Vektörlerde inşa edilmiş pollogram ve. Alanı, eğer ve aralarındaki açı 30 ° olup olmadığını bulun.
Vektörleri değerleriyle ifade eder:

Belki de bir sorunuz var - sıfır nereden geldi? Vektörler ile ve onlar için çalıştığımızı hatırlamaya değer. . Ayrıca, sonuç olarak ifade aldığımızda, dönüştürülecektir. Şimdi son hesaplamaları yapıyoruz:

Vektörlerin uzunlukları koşullarda belirtilmediğinde soruna geri dönelim. Paralelogramınız Kartezyen koordinat sisteminde yatıyorsa, aşağıdakileri yapmak gerekli olacaktır.

Koordinatlar tarafından tanımlanan şeklin yan uzunluklarının hesaplanması

Başlamak için, vektörlerin koordinatlarını buluruz ve başlangıcın başlangıcından sonraki koordinatları alıyoruz. Vektörin A (X1; Y1; Z1) koordinatlarını ve Vector B (X3; Y3; Z3) olduğunu varsayalım.
Şimdi her vektörün uzunluğunu buluyoruz. Bunu yapmak için, her koordinat kareye yükseltilmelidir, ardından elde edilen sonuçları ve kökünü çıkarmak için son numaradan katlayın. Vektörlerimize göre aşağıdaki hesaplamalar olacaktır:


Şimdi vektörlerimizin bir skaler ürünü bulmak gerekli olacak. Bunun için kendi koordinatları çoğalır ve gelişir.

Vektörlerin ve skaler ürünlerinin uzunluğuna sahip olmak, aralarında yatan açının kosinüsünü bulabiliriz. .
Şimdi aynı açının sinüsünü bulabiliriz:
Şimdi tüm gerekli miktarlara sahibiz ve zaten bilinen formülün sürümlerinde yerleşik paralelogram alanını kolayca bulabiliriz.

Alan paralelkenartarafından inşa edildi vektörlerKöşe sinüsündeki bu vektörlerin uzunluklarının bir ürünü olarak hesaplanır. Keşke vektörlerin koordinatları biliniyorsa, vektörler arasındaki açıyı belirlemek de dahil olmak üzere, koordinat yöntemlerini hesaplamak için koordinat yöntemleri kullanılmalıdır.

İhtiyacın olacak

• - Vektör kavramı;
• - Vektörlerin özellikleri;
• - Kartezyen koordinatları;
• - trigonometrik fonksiyonlar.

Talimat

• Vektörlerin uzunluklarının ve aralarındaki açıların bölgeyi bulmak için bilinmesi durumunda paralelkenartarafından inşa edildi vektörler, Modüllerinin (vektör uzunlukları), aralarındaki açının sinüslerinde, S \u003d │A │ │ B │ günah (α) arasındaki ürününü bulun.
• Vektörler kartezyen koordinat sisteminde belirtilirse, alanı bulmak için paralelkenarÜzerine inşa, aşağıdakileri yapın:
• Vektörlerin uçlarının uçlarının karşılık gelen koordinatları tarafından hemen verilmezlerse, vektörlerin koordinatlarını, başından itibaren koordinatları bulun. Örneğin, vektörün başlangıç \u200b\u200bnoktasının koordinatları (1; -3; 2) ve nihai (2; -4; -5), daha sonra vektörün koordinatları olacaktır (2-1; -4) + 3; -5-2) \u003d (1; -1; -7). Vector B (X1; Y1; Z1) vektörünün koordinatlarının (X2; Y2; Z2).
• Vektörlerin her birinin uzunluklarını bulun. Meydandaki vektörlerin koordinatlarının her birini alın, toplamlarını X1² + Y1² + Z1²'dir. Elde edilen sonuçtan itibaren karekökü çıkarın. İkinci vektör için aynı prosedürü yapın. Böylece, │A│ ve │ b'yi ortaya çıkarır.
• Vektörlerin bir skaler ürünü bulun. Bunu yapmak için, kendi koordinatlarını çoğaltmak ve işleri katlayın │A B│ \u003d x1 x2 + Y1 Y2 + Z1 Z2.
• 3. paragrafta elde edilen vektörlerin skaler ürününün, parametrelerde hesaplanan vektörlerin uzunluklarını bölün (COS (α) \u003d │AB│ (│A│ │ B│) arasındaki vektörlerin uzunluklarını bölün. )).
• Elde edilen açının sinüsü, 1 numaralı farkından kaynaklanan kök karesine eşit olacak ve aynı açının kosininin karesi 4 (1-cosqm (α)) hesaplanır.
• Kareyi hesaplamak paralelkenartarafından inşa edildi vektörler FAGAGRAPH 2'de hesaplanan uzunluklarının ürününü bulmuş ve sonuç, hesaplamalardan sonraki sayıları P.5 ile çarpın.
• Vektörlerin koordinatlarının düzlemde önceden belirlenmesi durumunda, z koordinatını hesaplarken, basitçe atılır. Bu hesaplama, iki vektörün bir vektör ürününün sayısal bir ifadesidir.