Теоретично надійності найбільшого поширення набули такі закони розподілу випадкових величин f(t):

Для дискретних випадкових величин – біномінальний закон; закон Пуассона;

Для безперервних випадкових величин – експоненційний закон; нормальний закон; гамма-розподіл; закон Вейбулла; х 2 – розподіл; логарифмічно-нормальний розподіл.

Біномінальний законрозподілу числа n появи події Aв mнезалежних дослідах (випробуваннях). Якщо ймовірність появи події Aв одному випробуванні дорівнює p, ймовірність непояви події Aдорівнює q= 1– p; число незалежних випробувань дорівнює m, то ймовірність появи n подій у випробуваннях буде:

де: - Число поєднань з mпо n.

1) кількість подій n- ціле позитивне число;

2) математичне очікування числа подій одно mp;

3) середньоквадратичне відхилення числа подій:

При збільшенні кількості випробувань біномінальний розподіл наближається

до нормального із середнім значенням n/mта дисперсією p(1– p) / m.

Закон Пуассона- розподіл чисел випадкової події n i за час τ . Ймовірність виникнення випадкової події nраз за час τ :

де: - інтенсивність випадкової події.

Властивості розподілу такі:

1) математичне очікування кількості подій за час τ одно λτ;

2) середньоквадратичне відхилення числа подій:

Характерна ознака розподілу Пуассона – рівність математичного очікування та дисперсії. Ця властивість використовується для перевірки відповідності досліджуваного (досвідченого) розподілу з розподілом Пуассона.

Розподіл Пуассона виходить із біномінального розподілу, якщо кількість випробувань m необмежено зростає, а математичне очікування кількості подій a= λτ залишається постійним.

Тоді ймовірність біномінального розподілу при кожному n, Рівному 0, 1, 2, ..., прагне до межі:

Закон Пуассона використовується тоді, коли необхідно визначити ймовірність того, що у виробі за заданий час відбудеться одна, дві, три тощо відмов.

Експонентний (показовий) законрозподілу випадкової величини X(рис. 4.3.3, а) записується у випадку так:

P(x) = exp(–λ x),

де: P(x) - ймовірність того, що випадкова величина Xмає значення більше x; значення е-хдаються у додатку 1.

В окремому випадку, коли за випадкову величину приймається час роботи об'єкта t, ймовірність того, що виріб протягом часу tперебуватиме у працездатному стані, що дорівнює еxp(–λ t):

P(t) = exp(–λ t), (4.3.4)

де: λ- інтенсивність відмов об'єкта для експоненційного розподілу

(Вона постійна), тобто λ = const.

Вираз (4.3.4) можна отримати безпосередньо з (4.3.3), якщо кількість відмов nприйняти рівним 0.

Імовірність відмови за час tз (4.3.4):

Q(t) = 1– P(t) = 1-exp(-λ t). (4.3.5)

Середній час роботи до виникнення відмови:

Дисперсія часу роботи до виникнення відмови:

Середньоквадратичний час роботи:

σ( t) =T 1 . (4.3.9)

Рівність середньоквадратичного відхилення середнього часу роботи - характерна ознака експоненційного розподілу.

Статистичні матеріали про відмови елементів свідчать про те, що в основному час їхньої роботи підпорядковується експоненційному закону розподілу. Умовою виникнення експоненційного закону розподілу часу повністю служить сталість інтенсивності відмов, що притаманно раптових відмов на інтервалі часу, коли період приробітку об'єкта закінчився, а період зносу і старіння ще почався, т. е. для нормальних умов експлуатації. Постійною стає інтенсивність відмов складних об'єктів, якщо вони викликаються відмовами великої кількості комплектуючих елементів.

Час виникнення первинних відмов може бути розташований на осі часу так, що сумарний потік відмов складного виробу стає близьким до найпростішого, тобто з постійною інтенсивністю відмов.

Цими обставинами, а також тим, що припущення про експоненційний розподіл суттєво спрощує розрахунки надійності, пояснюється широке застосування експоненційного закону в інженерній практиці.

Гамма-розподілвипадкової величини (рис. 4.3.3 б). Якщо відмова пристрою виникає тоді, коли станеться не менше kвідмов його елементів, а відмови елементів підпорядковані експоненційному закону з параметрами 0, щільність ймовірності відмови пристрою:

де: 0 - вихідна інтенсивність відмов елементів пристрою, відмова якого викликається відмовою kелементів.

Цьому розподілу підпорядковується час роботи резервованих пристроїв. Рівність (4.3.9) виходить із (4.3.3).

Ймовірність kі більше відмов, тобто ймовірність відмови даного пристрою:

Щільність ймовірності відмови пристрою за час t:

Середній час роботи пристрою повністю:

Інтенсивність відмов пристрою:

Можливість безвідмовного стану пристрою:

При k= 1 γ-розподіл збігається з експоненційним розподілом. При збільшенні k γ-розподіл буде наближатися до симетричного розподілу, а інтенсивність відмов буде мати все більш виражений характер зростаючої функції часу.

Розподіл Вейбулла. Для випадку, коли потік відмов не стаціонарний, тобто щільність потоку змінюється з часом, функція розподілу часу повністю набуває вигляду, показаного на рис. 4.3.3, ст.

Щільність ймовірності відмов цього розподілу:

t:

Інтенсивність відмов:

(4.3.15)-(4.3.17) α і λ 0 - параметри закону розподілу. Параметр 0 визначає масштаб, при його зміні крива розподілу стискається або розтягується. При α = 1 функція розподілу Вейбулла збігається з експонентним розподілом; при α< 1 интенсивность отказов будет монотонно убывающей функцией; при α >1- монотонно зростаючою. Ця обставина дає можливість підбирати для досвідчених даних найбільш підходящі параметри α і 0 , з тим щоб рівняння функції розподілу найкраще збігалося з досвідченими даними. Розподіл Вейбулла має місце для відмов, що виникають через втому тіла деталі або поверхневих шарів (підшипники, зубчасті передачі). Цей випадок пов'язаний з розвитком тріщини втоми в зоні місцевої концентрації напруг, технологічного дефекту або початкового пошкодження. Період часу до зародження мікротріщини характеризується ознаками раптової відмови, а процес руйнування – ознаками зношування.

Цей закон застосовується для відмови пристрою, що складається з послідовно з'єднаних дубльованих елементів та інших подібних випадків.

Цей розподіл іноді використовується для опису надійності підшипників кочення (α = 1,4-1,7).

Середнє напрацювання до першої відмови визначиться з наступного виразу:

Значення Γ (гамма-функції) табульовані (додаток 2).

Нормальний розподіл(Рис. 4.3.3, г) випадкової величини Xвиникає щоразу, коли Xзалежить від великої кількості однорідних за своїм впливом випадкових чинників, причому вплив кожного з цих чинників проти сукупністю решти незначно. Ця умова характерна для виникнення відмови, викликаного старінням, тобто. цей закон використовується для оцінки надійності виробів за наявності поступових (зносових) відмов.

Щільність ймовірності відмов:

де: T- середнє напрацювання до відмови;

σ - Середнє квадратичне (стандартне) відхилення часу безвідмовної роботи.

Можливість відмови час t:

Значення функції розподілу визначається формулою:

F(t) = 0,5 + Φ( u) =Q(t); u= (t−T)/σ. (4.3.21)

Імовірність відсутності відмови за час t:

P(t) = 1 −Q(t) = 1 − = 0,5 −Ф(u). (4.3.22)

Значення F(t) табульовані (додаток 3).

Графік λ( t) показаний на рис. 4.3.3, р. Інтенсивність відмов монотонно зростає і після Tпочинає наближатися до асимптоту:

y= (t−T)/σ. (4.3.23)

Монотонне зростання інтенсивності відмов з часом - характерна ознака нормального розподілу. Нормальний розподіл суттєво відрізняється від експоненціального. Початком відліку часу tв (4.3.20) служить початок експлуатації об'єкта, тобто момент, коли починається процес зносу та старіння, а початком відліку в (4.3.4) - момент часу, коли встановлено, що виріб справний (цей момент може бути розташований у будь-якій точці на осі часу).

Усічений нормальний розподіл(Рис. 4.3.3, д). Оскільки при нормальному розподілі випадкова величина може набувати будь-яких значень від −∞ до +∞, а час безвідмовної роботи може бути лише позитивним, слід розглядати усічений нормальний розподіл із щільністю ймовірності відмов:

Нормуючий множник cвизначається з виразу:

c= 1 / F(T 1 / σ) = 1 / , (4.3.26)

табульована (додаток 4) інтегральна функція нормального розподілу;

нормована функція Лапласа.

Тоді (4.3.24) запишеться так:

Середнє напрацювання до відмови у усіченому розподілі та параметр T 1 невсіченого нормального розподілу пов'язані залежністю:

При T/ σ ≥ 2, що має місце в абсолютній більшості випадків при оцінці надійності пристроїв з нормально розподіленими відмовими, коефіцієнт cмало відрізняється від одиниці та усічений нормальний розподіл досить точно апроксимується звичайним нормальним законом.

Імовірність безвідмовної роботи визначається з виразу:

Розподіл Релея(рис. 4.3.3, е) - безперервний розподіл ймовірностей із щільністю:

залежить від масштабного параметраσ > 0. Розподіл має позитивну асиметрію, його єдина мода перебуває у точці x= σ. Усі моменти розподілу Релея є кінцевими.

Також як і розподіл Вейбулла або γ-розподіл, розподіл Релея придатний для опису поведінки зношуються або старіючих виробів.

Частота відмов (функція щільності розподілу ймовірності відмов) визначається:

Імовірність безвідмовної роботи обчислюється з виразу:

Інтенсивність відмов з:

λ( t) = t/ σ 2 . (4.3.35)

Середній наробіток до першої відмови становитиме:

3.4. Про вибір закону розподілу відмов під час розрахунку надійності Визначення закону розподілу відмов має велике значення при дослідженнях та оцінках надійності. Визначення P(t) за однією і тією ж вихідною інформацією про T, але при різних припущеннях про закон розподілу може призвести до суттєвих результатів.

Закон розподілу відмов можна визначити за експериментальними даними, але для цього необхідно проведення великої кількості дослідів в ідентичних умовах. Фактично ці умови, зазвичай, важко забезпечити. Крім того, таке рішення містить риси пасивної реєстрації подій.

Разом з тим у багатьох випадках за час експлуатації встигає відмовити лише незначна частка об'єктів, що спочатку були. Отриманим статистичним даним відповідає початкова (ліва) частина експериментального розподілу.

Більш раціонально - вивчення умов, фізичних процесів у яких виникає той чи інший розподіл. При цьому складаються моделі виникнення відмов та відповідні їм закони розподілу часу до появи відмови, що дає змогу робити обґрунтовані припущення про закон розподілу.

Досвідчені дані мають бути засобом перевірки обґрунтованості прогнозу, а чи не єдиним джерелом даних про закон розподілу. Такий підхід необхідний оцінки надійності нових виробів, котрим статистичний матеріал дуже обмежений.

Питання 16. Закон розподілу Вейбулла

Закон розподілу Вейбулла - один із найпоширеніших у теорії надійності. Цьому закону слідують втомна довговічність виробів, напрацювання до відмови невідновлюваних виробів. За допомогою розподілу Вейбулла можна описувати різноманітні причини відмов: втомні, раптові, поступові. Закону розподілу Вейбулла підпорядковуються відмови коробок швидкостей, бурових лебідок, вибійних двигунів, тракторів.

Частота відмов виробу або щільність ймовірності часу безвідмовної роботи виробу

Інтенсивність відмов

Середній час безвідмовної роботи

де a, k – параметри закону розподілу Вейбулла;

Г(x) - гамма-функція, значення якої наведено у таблицях.

При k = 1 розподіл Вейбулла перетворюється на експоненціальний;

При k =2,5-3,5 – розподіл Вейбулла близький до нормального.

Питання 17. Експонентний (показовий) закон розподілу

Експонентний закон розподілу є окремим випадком закону розподілу Вейбулла (k=1). Застосуємо до виробів, що пройшли попередній приробіток. Цей розподіл також використовується при аналізі раптових відмов бурових насосів, гірських машин.

Можливість безвідмовної роботи виробу на інтервалі часу від 0 до t

Можливість відмови виробу на інтервалі часу від 0 до t

Диференціальна функція або щільність ймовірності експонентного розподілу

Інтенсивність відмов

Математичне очікування при експонентному розподілі

Цей розподіл найчастіше використовується для дослідження інтенсивності відмов для періодів опрацювання та старіння.

Надійність найпоширеніших елементів електричних мереж, таких як силові трансформатори, КЛ, значною мірою визначається надійністю роботи ізоляції, «міцність» якої змінюється протягом експлуатації. Міцність ізоляції в залежності від умов експлуатації та виду виробу визначається механічною міцністю, еластичністю, що виключає можливості утворення залишкових деформацій, тріщин, розшарування під впливом механічних навантажень, тобто неоднорідностей.

Однорідність та монолітність структури ізоляції та її висока теплопровідність виключають виникнення підвищених місцевих нагрівань, що неминуче призводять до збільшення ступеня неоднорідності електричної міцності. Руйнування ізоляції при функціонуванні елемента відбувається в основному внаслідок нагрівання струмами навантажень та температурних впливів зовнішнього середовища. Механічні навантаження (вібрації, деформації, удари та ін) також призводять до руйнування ізоляції.

Серед перерахованих факторів, що визначають термін служби ізоляції зазначених елементів електричних мереж, одним з основних факторів є теплове старіння.На підставі експериментальних досліджень було отримано відоме «восьмиградусне» правило, згідно з яким підвищення температури ізоляції, виконаної на органічній основі, на кожні вісім градусів у середньому вдвічі скорочується термін служби ізоляції. В даний час в залежності від класу застосовуваної ізоляції використовуються шести-, восьми-, десяти-і дванадцятиградусне правила.

Термін служби ізоляції в залежності від температури нагрівання:

Tі = Ае-γς, (5.43)

де А -термін служби ізоляції при ς = 0 - деяка умовна величина;

γ- коефіцієнт, що характеризує рівень старіння ізоляції залежно від класу;

ς – температура перегріву ізоляції.

Іншим важливим фактором, що викликає інтенсивне старіння ізоляції, є обумовлена ​​електричними процесами при різких змінах струму, наприклад, при різко змінному навантаженні силового трансформатора, накидах і скиданнях навантаження, наскрізних струмах КЗ. Механічні властивості міцності ізоляції також залежать від температури. Межа механічної міцності ізоляції швидко знижується в міру її нагрівання, але водночас вона стає більш еластичною.

При дії змінних несприятливих умов неоднорідності матеріалу збільшуються, наприклад, мікротріщина поширюється в глиб ізоляції і при випадковому підвищенні напруги може викликати пробій ізоляції. Причиною відмови може бути навіть невелика неоднорідність матеріалу.

Число несприятливих впливів (теплових або електромеханічних), що викликають пробою ізоляції, є функція, що зменшується в залежності від розмірів неоднорідності. Це число мінімальне найбільшої за розмірами неоднорідності (тріщини, розшарування та інших.). Т.ч., число несприятливих впливів, або термін служби ізоляції, має підпорядковуватися закону розподілу мінімального числа з числа незалежних СВ – чисел несприятливих впливів, що відповідають різним за розмірами неоднорідностям, тобто якщо Ти – час безвідмовної роботи всієї ізоляції, а Тіi - час безвідмовної роботи i-ї ділянки (i = 1, 2,..., n), то:

Tі = min ( Tі1, Tі 2,…, Tіn). (5.44)

Отже, визначення закону розподілу часу безвідмовної роботи такого об'єкта, як ізоляція елемента електричної мережі, необхідно знайти можливість розподілу мінімальних часів безвідмовної роботи сукупності всіх ділянок. Причому найбільший інтерес представляє випадок, коли закони розподілу часу безвідмовної роботи окремих ділянок мають довільний характер, але вид законів розподілу однаковий, тобто різко виражених ділянок, що відрізняються, немає.

У сенсі надійності ділянки такої системи відповідають послідовному з'єднанню. Тому функція розподілу часу безвідмовної роботи такої системи:

q c(t) = 1 – n. (5.45)

Далі математичними перетвореннями виводиться формула, коли основним параметром є «поріг чутливості», т. е. елемент гарантовано не відмовить у інтервалі часу (0, t0) (у разі t0 = 0). Якщо розподіл немає порога чутливості t0 , то закон розподілу називається розподілом Вейбулла:

де з > 0 – деякий постійний коефіцієнт;

α – параметр розподілу.

Цей закон розподілу часто використовується при апроксимації розподілу часу безвідмовної роботи систем з кінцевим числом послідовно (у сенсі надійності) з'єднаних елементів (довгі КЛ зі значною кількістю муфт та інших.).

Щільність розподілу:

(5.47)

При α = 1 щільність розподілу перетворюється на звичайну показову функцію (див. рис. 5.12).

Рисунок 5.12 – Диференціальна функція розподілу часу безвідмовної роботи ізоляції згідно із законом

Вейбулла

Рисунок 5.13 - Інтенсивність відмов при

розподіл за законом Вейбулла

Інтенсивність відмов при розподілі густини за законом Вейбулла (див. малюнок 5.13):

λ(t) = αctα-1. (5.48)

Інтенсивність відмов цього закону залежно від параметра розподілу може зростати, залишатися постійної (показовий закон) і зменшуватися.

Як видно з малюнків 5.12 та 5.13 експоненційний закон розподілу є окремим випадком закону Вейбулла при α = 1 (λ = const). При α = 2 функція розподілу часу безвідмовної роботи збігається із законом Релея, при α »1 досить добре апроксимується нормальним законом розподілу на околиці середнього часу безвідмовної роботи.

При відповідному підборі параметра α можна за допомогою закону Вейбулла описувати надійність і старіючих елементів (період старіння та зносу), у яких λ(t) зростає, та надійність елементів, що мають приховані дефекти (період приробітку), у яких λ(t) зменшується з часом.

Математичне очікування (середній час) безвідмовної роботи та дисперсія при розподілі за законом Вейбулла:

Tі.ср = Г(1+1/α) c-1/α, (5.49)

Д(Tі) = c-2/α [Г(1+2/α) – Г2(1+1/α)]. (5.50)

де Г( х) - Гамма-функція.

Розподіл Вейбулла (модель слабкої ланки)

Практична необхідність урахування мінливості інтенсивності відмов дозволяє зробити висновок, що умови, що призводять до основних розподілів теорії надійності (експоненційного, нормального, логарифмічно-нормального тощо), вказують на необґрунтованість їх використання для аналізу надійності потужних генераторних ламп, клістронів, магнетронів, ламп біжучої хвилі та інших елементів систем управління, які в загальному випадку характеризуються старінням з непостійною швидкістю зносу, неоднорідні за початковою якістю.

У 1939 р. шведський математик і інженер В. Вейбулл (1887-1979), аналізуючи відмови, зумовлені зносом шарикопідшипників, запропонував функцію розподілу, зручну для опису довговічності матеріалів, зазначивши: «Уявляється, що єдиним практичним шляхом досягнення успіху є вибір емпірична її перевірка і потім її остаточний вибір, якщо нічого кращого».

Не зупиняючись на оцінці справедливості цих слів в даний час, зауважимо, що як проста функція Вейбулл вибрав двопараметричну функцію розподілу ймовірностей:

де Т, s- відповідно параметри масштабу та форми.

З середини 1950-х років. інтерес до розподілу Вейбулла зростає, оскільки він виявляється гарною моделлю для опису надійності складних пристроїв. Цей закон є найбільш придатним для аналізу тривалості безвідмовної роботи потужних електровакуумних приладів НВЧ.

Б.В. Гнеденко встановив, що розподіл Вейбулла є асимптотичним розподілом третього типу для мінімальних значень послідовності незалежних величин. Доведено характеристичну властивість вейбулівського закону: якщо т| = min (X v Х 2, Х п)підпорядковується вейбулівському розподілу, а випадкові величини Х ( , Х 2 ,..., Хп незалежні та однаково розподілені, то вони також підкоряються цьому закону. Багато пристроїв містять значну кількість однорідних елементів, що знаходяться в однакових умовах експлуатації. Якщо елементи, що повторюються, є визначальними по відношенню до часу безвідмовної роботи приладу, то утворюється схема, що призводить до розподілу Вейбулла. Відмова приладу сприймається як вихід будь-якого з параметрів межі встановленого допуску. Можна вважати, зміни цих параметрів є слабко пов'язані випадкові процеси. Тоді, якщо т. - Довговічність по /-му параметру, то ресурс в цілому визначається як т = min (т р т 2, ..., т л).

Функція надійності при розподілі Вейбулла в загальному випадку визначається трьома параметрами та має вигляд:

де - , / 0 - параметри масштабу, форми, зсуву (параметр зсуву

називається ще «порогом чутливості») }