Нулевая и альтернативная гипотезы. Статистические гипотезы и критерии

Полученные в исследованиях выборочные данные всегда ог­раничены и носят в значительной мере случайный характер. Именно поэтому для анализа таких данных и используется мате­матическая статистика, позволяющая обобщать закономерности, полученные на выборке, и распространять их на всю генераль­ную совокупность.

Подчеркнем еще раз, что полученные в результате эксперимента на какой-либо выборке данные служат основанием для суждения о генеральной совокупности. Однако в силу действия случайных вероятностных причин оценка параметров генеральной совокупности, сделанная на основании экспериментальных (выборочных) данных, всегда будет сопровождаться погрешностью, и поэтому подобного рода оценки должны рассматриваться как предположительные, а не как окончательные утверждения.

Как указывает Г.В. Суходольский: «Под статистической гипотезой обычно понимают формальное предположение о том, что сходство (или различие) некоторых параметрических или функциональных характеристик случайно или, наоборот, неслучайно». Подобные предположения о свойствах и параметрах генеральной совокупности, различии выборок или зависимости между признаками получили названиестатистических гипотез.

Сущность проверки статистической гипотезы заключается в том, чтобы установить, согласуются ли экспериментальные данные и выдвинутая гипотеза, допустимо ли отнести расхождение между гипотезой и результатом статистического анализа экспериментальных данных за счет случайных причин? Таким образом, статистическая гипотеза - это научная гипотеза, допускающая статистическую проверку, а математическая статистика - это научная дисциплина, задачей которой и является научно обоснованная проверка статистических гипотез.

При проверке статистических гипотез используются два по­нятия: так называемая нулевая (обозначение Н 0 ) и альтернативная гипотеза (обозначение Н 1 ).

При сравнении распределений принято считать, что нулевая гипотеза Н 0 - это гипотеза о сходстве, а альтернативная Н 1 - гипотеза о различии. Таким об­разом, принятие нулевой гипотезы Н 0 свидетельствует об отсут­ствии различий, а гипотезы Н 1 - о наличии различий.

Например, две выборки извлечены из нормально рас­пределенных генеральных совокупностей и перед нами стоит задача сравнить эти выборки. Одна выборка имеет параметры и σ 1 , а другая параметры и σ 2 . Нуле­вая гипотеза Н 0 исходит из предположения о том, что = иσ 1 = σ 2 , то есть разность двух средних – =0 и разность двух стандартных отклонений σ 1 – σ 2 ,=0 (отсюда и название гипотезы - нулевая).

Принятие альтернативной гипотезы Н 1 свидетельствует о наличии различий и исходит из предположения, что – ≠0 и σ 1 – σ 2 ,≠0.

Очень часто альтернативная гипотеза носит название экспериментальной гипотезы , если в исследовании ставится задача доказать существование различий между выборками. Если же исследователь хочет доказать именно отсутствие различий, то экспериментальной гипотезой является нулевая гипотеза.

При сравнении выборок альтернативные статистические гипотезы могут быть направленными и ненаправленными.

Если мы заметили, что в одной выборке индивидуальные значения испытуемых по какому-либо признаку, выше, а в другой - ниже, то для проверки различий между выборками формулируется направленная гипотеза . Если мы ходим доказать, что в одной группе под влиянием каких-то экспериментальных воздействий произошли более выраженные изменения, необходимо также сформулировать направленную гипотезу. Формально она записывается так Н 1: х 1 превышает х 2 . Нулевая гипотеза при этом выглядит следующим образомН 0: х 1 не превышает х 2 .

Если мы хотим доказать, что различаются формы распределения, то формулируются ненаправленные гипотезы . Формально они записывается так Н 1: х 1 отличается от х 2 . Нулевая гипотеза Н 0: х 1 не отличается от х 2 .

Вообще говоря, при принятии или отвержении гипотез воз­можны различные варианты.

При проверке гипотезы экспериментальные данные могут противоречить гипотезе Н 0 , тогда эта гипотеза отклоняется. В противном случае, т.е. если экспериментальные данные согласу­ются с гипотезой Н 0 , она не отклоняется. Часто в таких случаях говорят, что гипотеза Н 0 принимается (хотя такая формулировка не совсем точна, однако она широко распространена). Отсюда видно, что статисти­ческая проверка гипотез, основанная на экспериментальных, выборочных данных, неизбежно связана с риском (вероятностью) принять ложное решение. При этом возможны ошибки двух родов. Ошибка первого рода произойдет, когда будет принято решение отклонить гипотезу Н 0 , хотя в действительности она оказывается верной. Ошибка второго рода произойдет когда бу­дет принято решение не отклонять гипотезу Н 0 , хотя в действительности она будет неверна. Очевидно, что и правильные выводы могут быть приняты также в двух случаях. Вышесказанное можно представить в виде таблицы 25.

5. Основные проблемы прикладной статистики - описание данных, оценивание и проверка гипотез

Основные понятия, используемые при проверке гипотез

Статистическая гипотеза – любое предположение, касающееся неизвестного распределения случайных величин (элементов). Приведем формулировки нескольких статистических гипотез:

1. Результаты наблюдений имеют нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием.
2. Результаты наблюдений имеют функцию распределения N (0,1).
3. Результаты наблюдений имеют нормальное распределение.
4. Результаты наблюдений в двух независимых выборках имеют одно и то же нормальное распределение.
5. Результаты наблюдений в двух независимых выборках имеют одно и то же распределение.

Различают нулевую и альтернативную гипотезы. Нулевая гипотеза – гипотеза, подлежащая проверке. Альтернативная гипотеза – каждая допустимая гипотеза, отличная от нулевой. Нулевую гипотезу обозначают Н 0 , альтернативную – Н 1 (от Hypothesis – «гипотеза» (англ.)).

Выбор тех или иных нулевых или альтернативных гипотез определяется стоящими перед менеджером, экономистом, инженером, исследователем прикладными задачами. Рассмотрим примеры.

Пример 11. Пусть нулевая гипотеза – гипотеза 2 из приведенного выше списка, а альтернативная – гипотеза 1. Сказанное означает, то реальная ситуация описывается вероятностной моделью, согласно которой результаты наблюдений рассматриваются как реализации независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения N (0,σ), где параметр σ неизвестен статистику. В рамках этой модели нулевую гипотезу записывают так:

Н 0: σ = 1,

а альтернативную так:

Н 1: σ ≠ 1.

Пример 12. Пусть нулевая гипотеза – по-прежнему гипотеза 2 из приведенного выше списка, а альтернативная – гипотеза 3 из того же списка. Тогда в вероятностной модели управленческой, экономической или производственной ситуации предполагается, что результаты наблюдений образуют выборку из нормального распределения N (m , σ) при некоторых значениях m и σ. Гипотезы записываются так:

Н 0: m = 0, σ = 1

(оба параметра принимают фиксированные значения);

Н 1: m ≠ 0 и/или σ ≠ 1

(т.е. либо m ≠ 0, либо σ ≠ 1, либо и m ≠ 0, и σ ≠ 1).

Пример 13. Пусть Н 0 – гипотеза 1 из приведенного выше списка, а Н 1 – гипотеза 3 из того же списка. Тогда вероятностная модель – та же, что в примере 12,

Н 0: m = 0, σ произвольно;

Н 1: m ≠ 0, σ произвольно.

Пример 14. Пусть Н 0 – гипотеза 2 из приведенного выше списка, а согласно Н 1 результаты наблюдений имеют функцию распределения F (x ), не совпадающую с функцией стандартного нормального распределения Ф(х). Тогда

Н 0: F (х) = Ф(х) при всех х (записывается как F (х) ≡ Ф(х) );

Н 1: F (х 0) ≠ Ф(х 0) при некотором х 0 (т.е. неверно, что F (х) ≡ Ф(х) ).

Примечание. Здесь ≡ - знак тождественного совпадения функций (т.е. совпадения при всех возможных значениях аргумента х ).

Пример 15. Пусть Н 0 – гипотеза 3 из приведенного выше списка, а согласно Н 1 результаты наблюдений имеют функцию распределения F (x ), не являющуюся нормальной. Тогда

При некоторых m , σ;

Н 1: для любых m , σ найдется х 0 = х 0 (m , σ) такое, что .

Пример 16. Пусть Н 0 – гипотеза 4 из приведенного выше списка, согласно вероятностной модели две выборки извлечены из совокупностей с функциями распределения F (x ) и G (x ), являющихся нормальными с параметрами m 1 , σ 1 и m 2 , σ 2 соответственно, а Н 1 – отрицание Н 0 . Тогда

Н 0: m 1 = m 2 , σ 1 = σ 2 , причем m 1 и σ 1 произвольны;

Н 1: m 1 ≠ m 2 и/или σ 1 ≠ σ 2 .

Пример 17. Пусть в условиях примера 16 дополнительно известно, что σ 1 = σ 2 . Тогда

Н 0: m 1 = m 2 , σ > 0, причем m 1 и σ произвольны;

Н 1: m 1 ≠ m 2 , σ > 0.

Пример 18. Пусть Н 0 – гипотеза 5 из приведенного выше списка, согласно вероятностной модели две выборки извлечены из совокупностей с функциями распределения F (x ) и G (x ) соответственно, а Н 1 – отрицание Н 0 . Тогда

Н 0: F (x ) ≡ G (x ) , где F (x )

Н 1: F (x ) и G (x ) - произвольные функции распределения, причем

F (x ) ≠ G (x ) при некоторых х .

Пример 19. Пусть в условиях примера 17 дополнительно предполагается, что функции распределения F (x ) и G (x ) отличаются только сдвигом, т.е. G (x ) = F (x - а) при некотором а . Тогда

Н 0: F (x ) ≡ G (x ) ,

где F (x ) – произвольная функция распределения;

Н 1: G (x ) = F (x - а), а ≠ 0,

где F (x ) – произвольная функция распределения.

Пример 20. Пусть в условиях примера 14 дополнительно известно, что согласно вероятностной модели ситуации F (x ) - функция нормального распределения с единичной дисперсией, т.е. имеет вид N (m , 1). Тогда

Н 0: m = 0 (т.е. F (х) = Ф(х)

при всех х );(записывается как F (х) ≡ Ф(х) );

Н 1: m ≠ 0

(т.е. неверно, что F (х) ≡ Ф(х) ).

Пример 21. При статистическом регулировании технологических, экономических, управленческих или иных процессов рассматривают выборку, извлеченную из совокупности с нормальным распределением и известной дисперсией, и гипотезы

Н 0: m = m 0 ,

Н 1: m = m 1 ,

где значение параметра m = m 0 соответствует налаженному ходу процесса, а переход к m = m 1 свидетельствует о разладке.

Пример 22. При статистическом приемочном контроле число дефектных единиц продукции в выборке подчиняется гипергеометрическому распределению, неизвестным параметром является p = D / N – уровень дефектности, где N – объем партии продукции, D – общее число дефектных единиц продукции в партии. Используемые в нормативно-технической и коммерческой документации (стандартах, договорах на поставку и др.) планы контроля часто нацелены на проверку гипотезы

Н 0: p < AQL

Н 1: p > LQ ,

где AQL – приемочный уровень дефектности, LQ – браковочный уровень дефектности (очевидно, что AQL < LQ ).

Пример 23. В качестве показателей стабильности технологического, экономического, управленческого или иного процесса используют ряд характеристик распределений контролируемых показателей, в частности, коэффициент вариации v = σ/M (X ). Требуется проверить нулевую гипотезу

Н 0: v < v 0

при альтернативной гипотезе

Н 1: v > v 0 ,

где v 0 – некоторое заранее заданное граничное значение.

Пример 24. Пусть вероятностная модель двух выборок – та же, что в примере 18, математические ожидания результатов наблюдений в первой и второй выборках обозначим М (Х ) и М (У ) соответственно. В ряде ситуаций проверяют нулевую гипотезу

Н 0: М(Х) = М(У)

против альтернативной гипотезы

Н 1: М(Х) ≠ М(У).

Пример 25 . Выше отмечалось большое значение в математической статистике функций распределения, симметричных относительно 0, При проверке симметричности

Н 0: F (- x ) = 1 – F (x ) при всех x , в остальном F произвольна;

Н 1: F (- x 0 ) ≠ 1 – F (x 0 ) при некотором x 0 , в остальном F произвольна.

В вероятностно-статистических методах принятия решений используются и многие другие постановки задач проверки статистических гипотез. Некоторые из них рассматриваются ниже.

Конкретная задача проверки статистической гипотезы полностью описана, если заданы нулевая и альтернативная гипотезы. Выбор метода проверки статистической гипотезы, свойства и характеристики методов определяются как нулевой, так и альтернативной гипотезами. Для проверки одной и той же нулевой гипотезы при различных альтернативных гипотезах следует использовать, вообще говоря, различные методы. Так, в примерах 14 и 20 нулевая гипотеза одна и та же, а альтернативные – различны. Поэтому в условиях примера 14 следует применять методы, основанные на критериях согласия с параметрическим семейством (типа Колмогорова или типа омега-квадрат), а в условиях примера 20 – методы на основе критерия Стьюдента или критерия Крамера-Уэлча . Если в условиях примера 14 использовать критерий Стьюдента, то он не будет решать поставленных задач. Если в условиях примера 20 использовать критерий согласия типа Колмогорова, то он, напротив, будет решать поставленные задачи, хотя, возможно, и хуже, чем специально приспособленный для этого случая критерий Стьюдента.

При обработке реальных данных большое значение имеет правильный выбор гипотез Н 0 и Н 1 . Принимаемые предположения, например, нормальность распределения, должны быть тщательно обоснованы, в частности, статистическими методами. Отметим, что в подавляющем большинстве конкретных прикладных постановок распределение результатов наблюдений отлично от нормального .

Часто возникает ситуация, когда вид нулевой гипотезы вытекает из постановки прикладной задачи, а вид альтернативной гипотезы не ясен. В таких случаях следует рассматривать альтернативную гипотезу наиболее общего вида и использовать методы, решающие поставленную задачу при всех возможных Н 1 . В частности при проверке гипотезы 2 (из приведенного выше списка) как нулевой следует в качестве альтернативной гипотезы использовать Н 1 из примера 14, а не из примера 20, если нет специальных обоснований нормальности распределения результатов наблюдений при альтернативной гипотезе.

Предыдущая

Познакомимся с терминологией, применяемой при проверке гипотез.

· Но – нулевая гипотеза (гипотеза скептика) это гипотеза об отсутствии различий между сравниваемыми выборками. Скептик считает, что различия между выборочными оценками, полученными по результатам исследований – случайны

· Н 1 – альтернативная гипотеза (гипотеза оптимиста) это гипотеза о наличии различий между сравниваемыми выборками. Оптимист считает, что различия между выборочными оценками вызваны объективными причинами и соответствуют различиям генеральных совокупностей

Проверка статистических гипотез осуществима только тогда, когда из элементов сравниваемых выборок можно составить некоторую величину (критерий), закон распределения которой в случае справедливости Н 0 известен. Тогда для этой величины можно указать доверительный интервал , в который с заданной вероятностью Р д попадает ее значение. Этот интервал называют критической областью . Если значение критерия попадает в критическую область, то принимается гипотеза Н 0 . В противном случае принимается гипотеза Н 1 .

В медицинских исследованиях используют Р д = 0,95 или Р д = 0,99. Этим значениям соответствуют уровни значимости a = 0,05 или a = 0,01.

При проверке статистических гипотез уровнем значимости (a) называется вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда она верна.

Обратите внимание на то, что по своей сути процедура проверки гипотез направлена на обнаружение различий , а не на подтверждение их отсутствия. При выходе значения критерия за пределы критической области мы можем с чистым сердцем сказать «скептику» – ну что Вы еще хотите?! Если бы различия отсутствовали, то с вероятностью 95% (или 99%) расчетное значение было бы в указанных пределах. Так ведь нет!...

Ну а если значение критерия попадает в критическую область, то нет никаких оснований считать что гипотеза Н 0 .верна. Это, скорее всего, указывает на одну из двух возможных причин.

а) Объемы выборок недостаточно велики, чтобы обнаружить имеющиеся различия. Вполне вероятно, что продолжение экспериментов принесет успех.

б) Различия есть. Но они настолько малы, что не имеют практического значения. В этом случае продолжение экспериментов не имеет смысла.

Перейдем к рассмотрению некоторых статистических гипотез, используемых в медицинских исследованиях.

§ 3.6. Проверка гипотез о равенстве дисперсий,
F – критерий Фишера

В некоторых клинических исследованиях о положительном эффекте свидетельствует не столько величина исследуемого параметра, сколько его стабилизация , уменьшение его колебаний. В этом случае возникает вопрос о сравнении двух генеральных дисперсий по результатам выборочного обследования. Эта задача может быть решена с помощью критерия Фишера .

Постановка задачи

нормальным законом распределения. Объемы выборок n 1 и n 2 , а выборочные дисперсии равны соответственно. Требуется сравнить между собой генеральные дисперсии .

Проверяемые гипотезы:

Н 0 – генеральные дисперсии одинаковы;

Н 1 – генеральные дисперсии различны .

Показано, если выборки извлечены из генеральных совокупностей с нормальным законом распределения, то при справедливости гипотезыН 0 отношение выборочных дисперсий подчиняется распределению Фишера. Поэтому в качестве критерия для проверки справедливости Н 0 берется величина F , вычисляемая по формуле

где - выборочные дисперсии.

Это отношение подчиняется распределению Фишера с числом степеней свободы числителя n 1 = n 1 -1, ичислом степеней свободы знаменателя n 2 = n 2 -1. Границы критической области находятся по таблицам распределения Фишера или с помощью компьютерной функции FРАСПОБР.

Для примера, представленного в табл. 3.4, получим: n 1 = n 2 = 20 – 1 = 19; F = 2,16/4,05 = 0,53. При a = 0,05 границы критической области равны соответственно: F лев = 0.40, F прав = 2.53.

Значение критерия попало в критическую область, поэтому принимается гипотеза Н 0: генеральные дисперсии выборок одинаковы .

§ 3.7. Проверка гипотез относительно равенства средних,
t- Критерий Стьюдента

Задача сравнения средних двух генеральных совокупностей возникает, когда практическое значение имеет именно величина исследуемого признака. Например, когда сравниваются сроки лечения двумя различными методами, или количества осложнений, возникающих при их применении. В этом случае можно использовать t-критерий Стьюдента.

Постановка задачи.

Получены две выборки {Х 1 } и {X 2 }, извлеченные из генеральных совокупностей с нормальным законом распределения и одинаковыми дисперсиями . Объемы выборок n 1 и n 2 , выборочные средние равны , а выборочные дисперсии – , соответственно. Требуется сравнить между собой генеральные средние .

Проверяемые гипотезы:

Н 0 – генеральные средние одинаковы;

Н 1 – генеральные средние различны .

Показано, что в случае справедливости гипотезы Н 0 величина t , вычисляемая по формуле

, (3.10)

распределена по закону Стьюдента с числом степеней свободы n = n 1 + n 2 – 2.

Здесь где n 1 = n 1 - 1 – число степеней свободы для первой выборки; n 2 = n 2 – 1 – число степеней свободы для второй выборки.

Границы критической области находят по таблицам t -распределения или с помощью компьютерной функции СТЬЮДРАСПОБР. Распределение Стьдента симметрично относительно нуля, поэтому левая и правая границы критической области одинаковы по модулю и противоположны по знаку: -t гр и t гр.

Для примера, представленного в табл. 3.4, получим: n 1 = n 2 = 20 – 1 = 19; t = –2.51, n= 38. При a = 0,05 t гр = 2.02.

Значения критерия выходит за левую границу критической области поэтому принимаем гипотезу Н 1: генеральные средние различны . При этом среднее генеральной совокупности первой выборки меньше.

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ

Полученные в экспериментах выборочные данные всегда ограничены и носят в значительной мере случайный характер. Именно поэтому для анализа таких данных и используется мате­матическая статистика, позволяющая обобщать закономерности, полученные на выборке, и распространять их на всю генераль­ную совокупность.

Полученные в результате экспери­мента на какой-либо выборке данные служат основанием для суждения о генеральной совокупности. Однако в силу действия случайных вероятностных причин оценка параметров генераль­ной совокупности, сделанная на основании экспериментальных (выборочных) данных, всегда будет сопровождаться погрешнос­тью, и поэтому подобного рода оценки должны рассматриваться как предположительные, а не как окончательные утверждения. Подобные предположения о свойствах и параметрах генеральной совокупности получили название статистических гипотез . Как указывает Г.В. Суходольский: «Под статистической гипотезой обычно понимают формальное предположение о том, что сход­ство (или различие) некоторых параметрических или функцио­нальных характеристик случайно или, наоборот, неслучайно» .

Сущность проверки статистической гипотезы заключается в том, чтобы установить, согласуются ли экспериментальные дан­ные и выдвинутая гипотеза, допустимо ли отнести расхождение между гипотезой и результатом статистического анализа экспериментальных данных за счет случайных причин. Таким образом, статистическая гипотеза – это научная гипотеза, допускающая статистическую проверку, а математическая статистика – это научная дисциплина, задачей которой является научно обосно­ванная проверка статистических гипотез.

Статистические гипотезы подразделяются на нулевые и альтернативные, направленные и ненаправленные.

Нулевая гипотеза (H 0 ) – это гипотеза об отсутствии различий. Если мы хотим доказать значимость различий, то нулевую гипотезу требуется опровергнуть , иначе требуется подтвердить .

Альтернатив­ная гипотеза (Н 1 ) – гипотеза о значимости различий. Это то, что мы хотим до­казать, поэтому иногда ее называют экспериментальной гипотезой.

Бывают задачи, когда мы хотим доказать как раз незначимость различий, то есть подтвердить нулевую гипотезу. Например, если нам нужно убедиться, что разные испытуемые получают хотя и различные, но уравновешенные по трудности заданияили что экспериментальная и контрольная выборки не различаются между собой по каким-то значи­мым характеристикам. Однако чаще нам все-таки требуется доказать значимость различий, ибо они более информативны для нас в поиске нового.

Нулевая и альтернативная гипотезы могут быть направленными и ненаправленными.

Направленные гипотезы – если предполагается в одной группе значения признака выше, а в другой ниже:

Н 0: Х 1 не превышает Х 2 ,

Н 1: Х 1 превышает Х 2 .

Ненаправленные гипотезы – если предполагается что различаются формы распределения признака в группах:

Н 0: Х 1 не отличается от Х 2 ,

Н 1: Х 1 отличается Х 2 .

Если мы заметили, что в одной из групп индивидуальные значения испытуемых по какому-либо признаку, например по социальной активности, выше, а в другой ниже, то для проверки значимости этих различий нам необходимо сформулировать направленные гипотезы.

Если мы хотим доказать, что в группе А под влиянием каких-то экспериментальных воздействий произошли более выраженные изменения, чем в группе Б , то нам тоже необходимо сформулировать направленные гипотезы.

Если же мы хотим доказать, что различаются формы распределения признака в группах А и Б , то формулируются ненаправленные гипотезы.

Проверка гипотез осуществляется с помощью критериев статистической оценки различий.

Принимаемый вывод носит название статистического решения. Подчеркнем, что такое решение всегда вероятностно. При проверке гипотезы экспериментальные данные могут противоречить гипотезе Н 0 , тогда эта гипотеза отклоняется. В противном случае, т.е. если экспериментальные данные согласуются с гипотезой Н 0 , она не отклоняется. Часто в таких случаях говорят, что гипотеза Н 0 принимается. Отсюда видно, что статистическая проверка гипотез, основанная на экспериментальных выборочных данных, неизбежно связана с риском (вероятностью) принять ложное решение. При этом возможны ошибки двух родов. Ошибка первого рода произойдет, когда будет принято решение отклонить гипотезу Н 0 , хотя в действительности она оказывается верной. Ошибка второго рода произойдет, когда будет принято решение не отклонять гипотезу Н 0 , хотя в действительности она будет неверна. Очевидно, что и правильные выводы могут быть приняты также в двух случаях. В таблице 7.1 обобщено вышесказанное.

Таблица 7.1

Не исключено, что психолог может ошибиться в своем статистическом решении; как видим из таблицы 7.1, эти ошибки могут быть только двух родов. Поскольку исключить ошибки при принятии статистических гипотез невозможно, то необходимо минимизировать возможные последствия, т.е. принятие неверной статистической гипотезы. В большинстве случаев единственный путь минимизации ошибок заключается в увеличении объема выборки.

СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ

Статистический критерий – это решающее правило, обеспечиваю­щее надежное поведение, то есть принятие истинной и отклонение ложной гипотезы с высокой вероятностью .

Статистические критерии обозначают также метод расчета опре­деленного числа и само это число.

Когда мы говорим, что достоверность различий определялась по критерию j * (критерий – угловое преобразование Фишера), то имеем в виду, что использовали метод j * для расчета определенного числа.

По соотношению эмпирического и критического значений крите­рия мы можем судить о том, подтверждается ли или опровергается нулевая гипотеза.

В большинстве случаев для того, чтобы мы признали различия значимыми, необходимо, чтобы эмпирическое значение критерия пре­вышало критическое, хотя есть критерии (например, критерий Манна-Уитни или критерий знаков), в которых мы должны придерживаться противоположного правила.

В некоторых случаях расчетная формула критерия включает в се­бя количество наблюдений в исследуемой выборке, обозначаемое как n . В этом случае эмпирическое значение критерия одновременно является тестом для проверки статистических гипотез. По специальной таблице мы определяем, какому уровню статистической значимости различий соответствует данная эмпирическая величина. Примером такого крите­рия является критерий j * , вычисляемый на основе углового преобразо­вания Фишера.

В большинстве случаев, однако, одно и то же эмпирическое зна­чение критерия может оказаться значимым или незначимым в зависи­мости от количества наблюдений в исследуемой выборке (n ) или от так называемого количества степеней свободы, которое обозначается как v или как df.

Число степеней свободы v равно числу классов вариационного ряда минус число условий, при которых он был сформирован. К числу таких условий относятся объем выборки (n ), средние и дисперсии.

Допустим, группу из 50 человек разделили на три класса по принципу:

Умеет работать на компьютере;

Умеет выполнять лишь определенные опера­ции;

Не умеет работать на компьютере.

В первую и вторую группы попало по 20 человек, в третью – 10.

Мы ограничены одним условием – объемом выборки. Поэтому, даже если мы потеряли данные о том, сколько человек не умеют рабо­тать на компьютере, мы можем определить это, зная, что в первом и втором классах – по 20 испытуемых. Мы не свободны в определении количества испытуемых в третьем разряде, «свобода» простирается только на первые две ячейки классификации: