Векторная сумма сил действующих на тело. Главный вектор – векторная сумма всех сил, приложенных к телу. Что известно о разности векторов

В соответствии с первым законом Ньютона в инерциальных системах отсчета тело может изменять свою скорость только, если на него действуют другие тела. Количественно взаимное действие тел друг на друга выражают с помощью такой физической величины, как сила (). Сила может изменять скорость тела, как по модулю, так и по направлению. Сила является векторной величиной, у нее есть модуль (величина) и направление. Направление равнодействующей силы определяет направление вектора ускорения тела, на которое действует рассматриваемая сила.

Основной закон, при помощи которого определяют направление и величину равнодействующей силы - это второй закон Ньютона:

где m - масса тела, на которое действует сила ; - ускорение, которое сила сообщает рассматриваемому телу. Сущность второго закона Ньютона состоит в том, что силы, которые действуют на тело, определяют изменение скорости тела, а не просто его скорость. Необходимо помнить, что второй закон Ньютона работает для инерциальных систем отсчета.

В том случае, если на тело действует несколько сил, то их совместное действие характеризуют при помощи равнодействующей силы. Допустим, что на тело действует одновременно несколько сил, при этом тело перемещается с ускорением, равным векторной сумме ускорений, которые появились бы при воздействии каждой из сил в отдельности. Силы, действующие на тело, и приложенные к одной его точке необходимо складывать по правилу сложения векторов. Векторная сумма всех сил, действующих на тело в один момент времени, называется равнодействующей силой ():

При действии на тело нескольких сил, второй закон Ньютона записывают как:

Равнодействующая всех сил, действующих на тело, может быть равна нулю, в том случае, если происходит взаимная компенсация сил, приложенных к телу. В таком случае тело движется с постоянной скоростью или находится в покое.

При изображении сил, действующих на тело, на чертеже, в случае равноускоренного перемещения тела, равнодействующую силу, направленную по ускорению следует изображать длиннее, чем противоположно ей направленную силу (сумму сил). В случае равномерного движения (или покоя) дина векторов сил, направленных в противоположные стороны одинакова.

Для нахождения равнодействующей силы, следует изобразить на чертеже все силы, которые необходимо учитывать в задаче, действующие на тело. Складывать силы следует по правилам сложения векторов.

Примеры решения задач по теме «Равнодействующая сила»

ПРИМЕР 1

Задание	Небольшой шарик висит на нити, он находится в покое. Какие силы действуют на данный шарик, изобразите их на чертеже. Чему равна равнодействующая сила, приложенная к телу?
Решение	Сделаем рисунок. Рассмотрим систему отсчета связанную с Землей. В нашем случае эту систему отсчета можно считать инерциальной. На шарик, подвешенный на нити действуют две силы: сила тяжести, направленная вертикально вниз () и сила реакции нити (сила натяжения нити): . Так как шарик находится в состоянии покоя, то сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити: Выражение (1.1) соответствует первому закону Ньютона: равнодействующая сила, приложенная к телу, находящемуся в покое в инерциальной системе отсчета равна нулю.
Ответ	Равнодействующая сила, приложенная к шарику равна нулю.

ПРИМЕР 2

Задание	На тело действуют две силы и и , где - постоянные величины. . Чему равна равнодействующая сила, приложенная к телу?
Решение	Сделаем рисунок. Так как векторы силы и перпендикулярные по отношению друг к другу, следовательно, длину равнодействующей найдем как:

Раздел 1. «СТАТИКА»

Ньютоны

Плече силы-это кратчайшее расстояние от точки, до линии действия силы

Произведение силы на плече равно моменту силы.

8. Сформулируйте «правило правой руки» для определения направления момента силы.

9. Как определяется главный момент системы сил относительно точки?

Главный момент относительно центра –векторная сумма моментов всех сил, приложенных к телу относительно того же центра.

10. Что называется парой сил? Чему равен момент пары сил? Зависит ли он от выбора точки? Как направлен и чему равен по величине момент пары сил?

Парой сил называется система сил в которой силы равны, параллельны и противоположно направлены друг другу. Момент равен произведению одной из сил на плече, не зависит от выбора точки, направлен перпендикулярно плоскости в которой лежит пара.

11. Сформулируйте теорему Пуансо.

Любую систему сил,действующих на абсолютно твердое тело, можно заменить одной силой иодной парой сил. При этом сила будет главным вектором, а момент пары –главным моментом данной системы сил.

12. Сформулируйте необходимые и достаточные условия равновесия системы сил.

Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на две координатные оси и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно произвольной точки равнялись нулю. Второй формой уравнения равновесия является равенство нулю алгебраических сумм моментов всех сил относительно любых трех точек, не лежащих на одной прямой

14. Какие системы сил называются эквивалентными?

Если, не нарушая состояния тела, одну систему сил (F 1 , F 2 , ..., F n) можно заменить другой си­стемой (Р 1 , P 2 , ... , P n) и наоборот, то такие системы сил называются эквивалентными

15. Какая сила называется равнодействующей данной системы сил?

Когда система сил (F 1 , F 2 , ... , F n) эквивалентна одной силе R, то R назыв. равнодействующей. Равнодействующая сила может заменить действие всех данных сил. Но не всякая си­стема сил имеет равнодействующую.

16. Известно, что сумма проекций всех сил, приложенных к телу, на данную ось равна нулю. Как направлена равнодействующая такой системы?

17. Сформулируйте аксиому инерции (принцип инерции Галилея).

Под действием взаимно уравновешивающихся сил материальная точка (тело) находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно

28. Сформулируйте аксиому равновесия двух сил.

Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, будут уравновешены тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны

19. Можно ли переносить силу вдоль ее линии действия, не изменяя кинематического состояния абсолютно твердого тела?

Не изменяя кинематического состояния абсолютно твердого тела, силу можно переносить вдоль линии ее действия, сохраняя неизменными ее модуль и направление.

20. Сформулируйте аксиому параллелограмма сил.

Не меняя cостояния тела, две силы, приложенные к одной его точке, можно за­менить одной равнодействующей силой, приложен­ной в той же точке и равной их геометрической сумме

21. Как формулируется третий закон Ньютона?

Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие

22. Какое твердое тело называется несвободным?

Силы, действующие между телами системы называются внутренними.

Шарнирно-подвижная опора. Этот вид связи конструктивно выполняется в виде цилиндрического шарнира, который может свободно перемещаться вдоль поверхности. Реакция шарнирно-подвижной опоры всегда направлена перпендикулярно опорной поверхности

Шарнирно-неподвижная опора. Реакция шарнирно-неподвижной опоры представляется в виде неизвестных составляющих и , линии действия которых параллельны или совпадают с осями координат

29. Какая опора называется жесткой заделкой (защемлением)?

Это необычный вид связи, так как кроме препятствия перемещению в плоскости , жесткая заделка препятствует повороту стержня (балки) относительно точки . Поэтому реакция связи сводится не только к реакции ( , ), но и к реактивному моменту

30. Какая опора называется подпятником?

Подпятник и сферический шарнир Такой вид связи можно представить в виде стержня, имеющего на конце сферическую поверхность, которая крепится в опоре, представляющей собой часть сферической полости. Сферический шарнир препятствует перемещению по любому направлению в пространстве, поэтому реакция его представляется в виде трех составляющих , , , параллельных соответствующим координатным осям

31. Какая опора называется сферическим шарниром?

32. Какая система сил называется сходящейся? Как формулируются условия равновесия системы сходящихся сил?

Если (абсолютно твердое) тело находится в равновесии под действием плоской системы трех непараллельных сил (т.е. сил, из которых хотя бы две непараллельные), то линии их действия пересекаются в одной точке.

34. Чему равна сумма двух параллельных сил, направленных в одну сторону? В разные стороны?

равнодейст-ющая двух парал-ых сил F 1 и F 2 одного направления имеет такое же направление, ее модуль равен сумме модулей слагаемых сил, а точка приложения делит отрезок между точками приложения сил на части обратно пропорциональные модулям сил: R=F 1 + F 2 ; АС/ВС=F 2 /F 1 . Равнодействующая двух противоположно направленных паралл-ных сил имеет направление силы большей по модулю и модуль, равный разности модулей сил.

37. Как формулируется теорема Вариньона?

Если рассматриваемая плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно какой-либо точки равен алгебраической сумме моментов всех сил данной системы относительно той оке самой точки.

40. Как определяется центр параллельных сил?

По теореме Вариньона

41. Как определяется центр тяжести твердого тела?

45. Где находится центр тяжести треугольника?

Точка пересечения медиан

46. Где находится центр тяжести пирамиды и конуса?

Раздел 2. «КИНЕМАТИКА»

1. Что называется траекторией точки? Какое движение точки называется прямолинейным? Криволинейным?

Линию, вдоль которой движется материальная точка , называют траекторией .

Если траектория - прямая линия, то движение точки называют прямолинейным; если траектория - кривая линия, то движение называют криволинейным

2. Как определяется декартова прямоугольная система координат?

3. Как определяется абсолютная скорость точки в неподвижной (инерциальной) системе координат? Как направлен вектор скорости по отношению к ее траектории? Чему равны проекции скорости точки на оси декартовых координат?

Для точки эти зависимости являются следующими: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей, то есть:

.

3. Как определяется абсолютное ускорение точки в неподвижной (инерциальной) системе координат? Чему равны проекции ускорения точки на оси декартовых координат?

5. Как определяется вектор угловой скорости твердого тела, при его вращении вокруг неподвижной оси? Как направлен вектор угловой скорости?

Углова́я ско́рость - векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:

а направлен по оси вращения согласно правилу буравчика, то есть, в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик с правой резьбой, если бы вращался в ту же сторону.

6. Как определяется вектор углового ускорения твердого тела, при его вращении вокруг неподвижной оси? Как направлен вектор углового ускорения?

При вращении тела вокруг неподвижной оси, угловое ускорение по модулю равно :

Вектор углового ускорения α направлен вдоль оси вращения (в сторону при ускоренном вращении и противоположно - при замедленном).

При вращении вокруг неподвижной точки вектор углового ускорения определяется как первая производная от вектора угловой скорости ω по времени , то есть

8. Чему равны абсолютная, переносная и относительная скорости точки при ее сложном движении?

9. Как определяются переносное и относительное ускорения при сложном движении точки?

10. Как определяется кориолисово ускорение при сложном движении точки?

11. Сформулируйте теорему Кориолиса.

Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса) : , где – ускорение Кориолиса (кориолисово ускорение) – в случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение = геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений.

12. При каких движениях точки равны нулю:

а) касательное ускорение?

б) нормальное ускорение?

14. Какое движение тела называется поступательным? Чему равны скорости и ускорения точек тела при таком движении?

16. Какое движение тела называется вращательным? Чему равны скорости и ускорения точек тела при таком движении?

17. Как выражаются касательное и центростремительное ускорения точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси?

18. Каково геометрическое место точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, скорости которых в данный момент имеют одинаковую величину и одинаковое направление?

19. Какое движение тела называется плоскопараллельным? Чему равны скорости и ускорения точек тела при таком движении?

20. Как определяется мгновенный центр скоростей плоской фигуры, движущейся в своей плоскости?

21. Как можно графически найти положение мгновенного центра скоростей, если известны скорости двух точек плоской фигуры?

22. Каковы будут скорости точек плоской фигуры в случае, когда мгновенный центр вращения этой фигуры бесконечно удален?

23. Как связаны между собой проекции скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки?

24. Даны две точки (А и В ) движущейся плоской фигуры, причем известно, что скорость точки А перпендикулярна к АВ . Как направлена скорость точки В ?

Раздел 1. «СТАТИКА»

1. Какими факторами определяется сила, действующая на твердое

2. В каких единицах измеряется сила в системе «СИ»?

Ньютоны

3. Чему равен главный вектор системы сил? Как построить силовой многоугольник для заданной системы сил?

Главный вектор – векторная сумма всех сил, приложенных к телу

5. Что называется моментом силы относительно данной точки? Как направлен момент силы относительно вектора силы и радиус-вектора точки приложения силы?
Моментом силы относительно точки (центра) на­зывается вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо, т. е. на кратчайшее расстояние от указанной точки до линии дей­ствия силы. Он направлен перпендикулярно плоскости распространения силы и р.в. точки.

6. В каком случае момент силы относительно точки равен нулю?
Когда плече равно 0(Центр моментов расположен на линии действия силы)

7. Как определяется плечо силы относительно точки? Чему равно произведение силы на плечо?

Это векторная сумма всех сил, действующих на тело.

Велосипедист наклоняется в сторону поворота. Сила тяжести и сила реакции опоры со стороны земли дают равнодействующую силу, сообщающую центростремительное ускорение, необходимое для движения по окружности

Взаимосвязь со вторым законом Ньютона

Вспомним закон Ньютона:

Равнодействующая сила может быть равна нулю в том случае, когда одна сила компенсируется другой, такой же силой, но противоположной по направлению. В этом случае тело находится в покое или движется равномерно.

Если равнодействующая сила НЕ равна нулю, то тело движется равноускоренно . Собственно именно эта сила является причиной неравномерного движения. Направление равнодействующей силы всегда совпадает по направлению с вектором ускорения.

Когда требуется изобразить силы, действующие на тело, при этом тело движется равноускоренно, значит в направлении ускорения действующая сила длиннее противоположной. Если тело движется равномерно или покоится длина векторов сил одинаковая.

Нахождение равнодействующей силы

Для того, чтобы найти равнодействующую силу, необходимо: во-первых, верно обозначить все силы , действующие на тело; затем изобразить координатные оси , выбрать их направления; на третьем шаге необходимо определить проекции векторов на оси; записать уравнения. Кратко: 1) обозначить силы; 2) выбрать оси, их направления; 3) найти проекции сил на оси; 4) записать уравнения.

Как записать уравнения? Если в некотором направлении тело двигается равномерно или покоится, то алгебраическая сумма (с учетом знаков) проекций сил равна нулю. Если в некотором направлении тело движется равноускоренно, то алгебраическая сумма проекций сил равна произведению массы на ускорение, согласно второму закону Ньютона.

Примеры

На движущееся равномерно по горизонтальной поверхности тело, действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила трения и сила, под действием которой тело движется.

Обозначим силы, выберем координатные оси

Найдем проекции

Записываем уравнения

Тело, которое прижимают к вертикальной стенке, равноускоренно движется вниз. На тело действуют сила тяжести, сила трения, реакция опоры и сила, с которой прижимают тело. Вектор ускорения направлен вертикально вниз. Равнодействующая сила направлена вертикально вниз.

Тело равноускоренно движется по клину, наклон которого альфа. На тело действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила трения.

Главное запомнить

1) Если тело покоится или движется равномерно, то равнодействующая сила равна нулю и ускорение равно нулю;
2) Если тело движется равноускоренно, значит равнодействующая сила не нулевая;
3) Направление вектора равнодействующей силы всегда совпадает с направлением ускорения;
4) Уметь записывать уравнения проекций действующих на тело сил

Блок - механическое устройство, колесо, вращающееся вокруг своей оси. Блоки могут быть подвижными и неподвижными.

Неподвижный блок используется лишь для изменения направления силы.

Тела, связанные нерастяжимой нитью, имеют одинаковые по величине ускорения.

Подвижный блок предназначен для изменения величины прилагаемых усилий. Если концы веревки, обхватывающей блок, составляют с горизонтом равные между собой углы, то для подъёма груза потребуется сила вдвое меньше, чем вес груза. Действующая на груз сила относится к его весу, как радиус блока к хорде дуги, обхваченной канатом.

Ускорение тела А в два раза меньше ускорения тела В.

Фактически, любой блок представляет собой рычаг , в случае неподвижного блока - равноплечий, в случае подвижного - с соотношением плеч 1 к 2. Как и для всякого другого рычага, для блока справедливо правило: во сколько раз выигрываем в усилии, во столько же раз проигрываем в расстоянии

Также используется система, состоящая из комбинации нескольких подвижных и неподвижных блоков. Такая система называется полиспаст.

При одновременном действии на одно тело нескольких сил тело движется с ускорением, являющимся вектор ной суммой ускорений, которые бы возникли под действием каждой силы в отдельности. Действующие на тело силы, приложенные к одной точке, складываются по правилу сложения векторов.

Векторная сумма всех сил, одновременно действующих на тело, называется равнодействующей силой и определяется правилом векторного сложения сил: $\overrightarrow{R}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2+{\overrightarrow{F}}_3+\dots +{\overrightarrow{F}}_n=\sum^n_{i=1}{{\overrightarrow{F}}_i}$.

Равнодействующая сила оказывает на тело такое же действие, как сумма всех приложенных к нему сил.

Для сложения двух сил используется правило параллелограмма (рис.1):

Рисунок 1. Сложение двух сил по правилу параллелограмма

При этом модуль суммы двух сил находим по теореме косинусов:

\[\left|\overrightarrow{R}\right|=\sqrt{{\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|}^2+{\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|}^2+2{\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|}^2{\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|}^2{cos \alpha \ }}\]

Если нужно сложить более двух сил, приложенных в одной точке, то пользуются правилом многоугольника:~ из конца первой силы проводят вектор, равный и параллельный второй силе; из конца второй силы -- вектор, равный и параллельный третьей силе и так далее.

Рисунок 2. Сложение сил по правилу многоугольника

Замыкающий вектор, проведённый из точки приложения сил к концу последней силы, по величине и направлению равен равнодействующей. На рис.2 это правило проиллюстрировано на примере нахождения равнодействующей~~четырёх сил ${\overrightarrow{F}}_1,\ {\overrightarrow{F}}_2,{\overrightarrow{F}}_3,{\overrightarrow{F}}_4$. Заметим, что при этом складываемые векторы не обязательно должны принадлежать одной плоскости.

Результат действия силы на материальную точку зависит только от ее модуля и направления. Твердое же тело имеет определенные размеры. Поэтому одинаковые по модулю и направлению силы вызывают различные движения твердого тела в зависимости от точки приложения. Прямая, проходящая через вектор силы, называется линией действия силы.

Рисунок 3. Сложение сил, приложенных к разным точкам тела

Если силы приложены к разным точкам тела и действуют не параллельно друг другу, то равнодействующая приложена к точке пересечения линий действия сил (рис.3).

Точка находится в равновесии, если векторная сумма всех сил, действующих на нее, равна нулю: $\sum^n_{i=1}{{\overrightarrow{F}}_i}=\overrightarrow{0}$. В этом случае равна нулю и сумма проекций этих сил на любую ось координат.

Замену одной силы двумя, приложенными в той же точке и производящими на тело такое же действие, как и эта одна сила, называют разложением сил. Разложение сил производят, как и их сложение, по правилу параллелограмма.

Задача разложения одной силы (модуль и направление которой известны) на две, приложенные в одной точке и действующие под углом друг к другу, имеет однозначное решение в следующих случаях, если известны:

1. направления обеих составляющих сил;
2. модуль и направление одной из составляющих сил;
3. модули обеих составляющих сил.

Пусть, например, мы хотим разложить силу $F$ на две составляющие, лежащие в одной плоскости с F и направленные вдоль прямых а и b (рис.4). Для этого достаточно из конца вектора, изображающего F, провести две прямые, параллельные a и b. Отрезки $F_A$ и $F_B$ изобразят искомые силы.

Рисунок 4. Разложение вектора силы по направлениям

Другой вариант этой задачи - нахождение одной из проекций вектора силы по заданным векторам силы и второй проекции. (рис.5 а).

Рисунок 5. Нахождение проекции вектора силы по заданным векторам

Задача сводится к построению параллелограмма по диагонали и одной из сторон, известному из планиметрии. На рис.5б построен такой параллелограмм и указана искомая составляющая ${\overrightarrow{F}}_2$ силы ${\overrightarrow{F}}$.

Второй способ решения: прибавить к силе силу, равную - ${\overrightarrow{F}}_1$ (рис.5в).В результате получим искомую силу ${\overrightarrow{F}}_2$.

Три силы~${\overrightarrow{F}}_1=1\ Н;;\ {\overrightarrow{F}}_2=2\ Н;;\ {\overrightarrow{F}}_3=3\ Н$ приложены к одной точке, лежат в одной плоскости (рис.6 а) и составляют углы~ с~ горизонталью $\alpha =0{}^\circ ;;\beta =60{}^\circ ;;\gamma =30{}^\circ $соответственно. Найдите равнодействующую этих сил.

Проведём две взаимно перпендикулярные оси ОХ и OY так, чтобы ось ОХ совпадала с горизонталью, вдоль которой направлена сила ${\overrightarrow{F}}_1$. Спроецируем данные силы на оси координат (рис.6 б). Проекции $F_{2y}$ и $F_{2x}$ отрицательны. Сумма проекций сил на ось ОХ равна проекции на эту ось равнодействующей: $F_1+F_2{cos \beta \ }-F_3{cos \gamma \ }=F_x=\frac{4-3\sqrt{3}}{2}\approx -0.6\ H$. Аналогично, для проекций на ось OY: $-F_2{sin \beta \ }+F_3{sin \gamma =F_y=\ }\frac{3-2\sqrt{3}}{2}\approx -0.2\ H$. Модуль равнодействующей определяется по теореме Пифагора: $F=\sqrt{F^2_x+F^2_y}=\sqrt{0.36+0.04}\approx 0,64\ Н$. Направление равнодействующей определим с помощью угла между равнодействующей и осью (рис.6 в): $tg\varphi =\frac{F_y}{F_x}=\ \frac{3-2\sqrt{3}}{4-3\sqrt{3}}\approx 0.4$

Сила $F = 1kH$ приложена в точке В кронштейна и направлена вертикально вниз (рис.7а). Найдите составляющие этой силы по направлениям стержней кронштейна. Необходимые данные указаны на рисунке.

F = 1 кН = 1000Н

${\mathbf \beta }$ = $30^{\circ}$

${\overrightarrow{F}}_1,\ {\overrightarrow{F}}_2$ - ?

Пусть стержни прикреплены к стене в точках A и C. Разложение силы ${\overrightarrow{F}}$ на составляющие вдоль направлений АВ и ВС представлено на рис.7б. Откуда видно, что $\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|=Ftg\beta \approx 577\ H;\ \ $

\[\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|=F{cos \beta \ }\approx 1155\ H. \]

Ответ: $\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|$=577 Н; $\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|=1155\ Н$