Как найти частные производные функции двух переменных. Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений. – Собственно замена переменной

Общий принцип нахождения частных производных порядка второго порядка функции трёх переменных аналогичен принципу нахождения частных производных 2-го порядка функции двух переменных.

Для того чтобы найти частные производные второго порядка, необходимо сначала найти частные производные первого порядка или, в другой записи:

Частных производных второго порядка девять штук.

Первая группа – это вторые производные по тем же переменным:

Или – вторая производная по «икс»;

Или – вторая производная по «игрек»;

Или – вторая производная по «зет».

Вторая группа – это смешанные частные производные 2-го порядка, их шесть:

Или – смешанная производная «по икс игрек»;

Или – смешанная производная «по игрек икс»;

Или – смешанная производная «по икс зет»;

Или – смешанная производная «по зет икс»;

Или – смешанная производная «по игрек зет»;

Или – смешанная производная «по зет игрек».

Как и для случая функции двух переменных, при решении задач можно ориентироваться на следующие равенства смешанных производных второго порядка:

Примечание: строго говоря, это не всегда так. Для равенства смешанных производных необходимо выполнение требования их непрерывности.

На всякий случай несколько примеров, как правильно читать сиё безобразие вслух:

– «у два штриха дважды по игрек»;

– «дэ два у по дэ зет квадрат»;

– «у два штриха по икс по зет»;

– «дэ два у по дэ зет по дэ игрек».

Пример 10

Найти все частные производные первого и второго порядка для функции трёх переменных:

.

Решение: Сначала найдем частные производные первого порядка:

Берём найденную производную

и дифференцируем её по «игрек»:

Берём найденную производную

и дифференцируем её по «икс»:

Равенство выполнено. Хорошо.

Разбираемся со второй парой смешанных производных.

Берём найденную производную

и дифференцируем её по «зет»:

Берём найденную производную

и дифференцируем её по «икс»:

Равенство выполнено. Хорошо.

Аналогично разбираемся с третьей парой смешанных производных:

Равенство выполнено. Хорошо.

После проделанных трудов гарантированно можно утверждать, что, во-первых, мы правильно нашли все частные производные 1-го порядка, во-вторых, правильно нашли и смешанные частные производные 2-го порядка.

Осталось найти ещё три частные производные второго порядка, вот здесь уже во избежание ошибок следует максимально сконцентрировать внимание:

Готово. Повторюсь, задание не столько сложное, сколько объемное. Решение можно сократить и сослаться на равенства смешанных частных производных, но в этом случае не будет проверки. Поэтому лучше потратить время и найти все производные (к тому же это может потребовать преподаватель), или, в крайнем случае, выполнить проверку на черновике.

Пример 11

Найти все частные производные первого и второго порядка для функции трёх переменных

.

Это пример для самостоятельного решения.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

Пример 4: Решение: Найдем частные производные первого порядка.

Составим полный дифференциал первого порядка:

Пример 6: Решение: M (1, -1, 0):

Пример 7: Решение: Вычислим частные производные первого порядка в точке M (1, 1, 1):

Пример 9: Решение:

Пример 11: Решение: Найдем частные производные первого порядка:

Найдем частные производные второго порядка:

.

Интегралы

8.1. Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений

Начнем изучение темы «Неопределенный интеграл» , а также подробно разберем примеры решений простейших (и не совсем) интегралов. Как обычно, мы ограничимся минимумом теории, которая есть в многочисленных учебниках, наша задача – научиться решать интегралы.

Что нужно знать для успешного освоения материала? Для того, чтобы справиться с интегральным исчислением, Вам необходимо уметь находить производные, минимум, на среднем уровне. Не лишним опытом будет, если у Вас за плечами несколько десятков, а лучше – сотня самостоятельно найденных производных. По крайне мере, Вас не должны ставить в тупик задания на дифференцирование простейших и наиболее распространенных функций.

Казалось бы, причем здесь вообще производные, если речь в статье пойдет об интегралах?! А дело вот в чем. Дело в том, что нахождение производных и нахождение неопределенных интегралов (дифференцирование и интегрирование) – это два взаимно обратных действия , как, например, сложение/вычитание или умножение/деление. Таким образом, без навыка и какого-никакого опыта нахождения производных, к сожалению, дальше не продвинуться.

В этой связи нам потребуются следующие методические материалы: Таблица производных и Таблица интегралов .

В чем сложность изучения неопределенных интегралов? Если в производных имеют место строго 5 правил дифференцирования, таблица производных и довольно четкий алгоритм действий, то в интегралах всё иначе. Существуют десятки способов и приемов интегрирования. И, если способ интегрирования изначально подобран неверно (т.е. Вы не знаете, как решать), то интеграл можно «колоть» буквально сутками, как самый настоящий ребус, пытаясь приметить различные приемы и ухищрения. Некоторым даже нравится.

Между прочим, нам довольно часто приходилось слышать от студентов (не гуманитарных специальностей) мнение вроде: «У меня никогда не было интереса решить предел или производную, но вот интегралы – совсем другое дело, это увлекательно, всегда есть желание «взломать» сложный интеграл». Стоп. Хватит чёрного юмора, переходим к этим самым неопределенным интегралам.

Коль скоро способов решения существует много, то с чего же начать изучение неопределенных интегралов чайнику? В интегральном исчислении существуют, на наш взгляд, три столпа или своеобразная «ось», вокруг которой вращается всё остальное. В первую очередь следует хорошо разобраться в простейших интегралах (эта статья).

Потом нужно детально проработать урок . ЭТО ВАЖНЕЙШИЙ ПРИЁМ! Может быть, даже самая важная статья из всех статей, посвященных интегралам. И, в-третьих, обязательно следует ознакомиться с методом интегрирования по частям , поскольку с помощью него интегрируется обширный класс функций. Если Вы освоите хотя бы эти три урока, то уже «не два». Вам могут «простить» незнание интегралов от тригонометрических функций , интегралов от дробей , интегралов от дробно-рациональных функций , интегралов от иррациональных функций (корней) , но вот если «сесть в лужу» на методе замены или методе интегрирования по частям – то это будет очень и очень скверно.

Итак, начинаем с простого. Посмотрим на таблицу интегралов. Как и в производных, мы замечаем несколько правил интегрирования и таблицу интегралов от некоторых элементарных функций. Любой табличный интеграл (да и вообще любой неопределенный интеграл) имеет вид:

Сразу разбираемся в обозначениях и терминах:

– значок интеграла.

– подынтегральная функция (пишется с буквой «ы»).

– значок дифференциала. Что это такое, мы рассмотрим совсем скоро. Главное, что при записи интеграла и в ходе решения важно не терять данный значок. Заметный недочет будет.

– подынтегральное выражение или «начинка» интеграла.

– первообразная функция.

– . Не нужно сильно загружаться терминами, здесь самое важное, что в любом неопределенном интеграле к ответу приплюсовывается константа .

Решить неопределенный интеграл – это значит найти множество первообразных функций от данной подынтегральной функции

Еще раз посмотрим на запись:

Посмотрим в таблицу интегралов.

Что происходит? Левые части у нас превращаются в другие функции: .

Упростим наше определение:

Решить неопределенный интеграл– это значит ПРЕВРАТИТЬ его в неопределенную (с точностью до константы) функцию , пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.

Возьмем, например, табличный интеграл . Что произошло? Символическая запись превратилась в множество первообразных функций .

Как и в случае с производными, для того, чтобы научиться находить интегралы, не обязательно быть в курсе, что такое интеграл, или первообразная функция с теоретической точки зрения. Достаточно просто осуществлять превращения по некоторым формальным правилам. Так, в случае совсем не обязательно понимать, почему интеграл превращается именно в . Можно принять эту и другие формулы как данность. Все пользуются электричеством, но мало кто задумывается, как там по проводам бегают электроны.

Так как дифференцирование и интегрирование – противоположные операции, то для любой первообразной, которая найденаправильно, справедливо следующее:

Иными словами, если продифференцировать правильный ответ, то обязательно должна получиться исходная подынтегральная функция.

Вернемся к тому же табличному интегралу .

Убедимся в справедливости данной формулы. Берем производную от правой части:

– это исходная подынтегральная функция.

Вот, кстати, стало понятнее, почему к функции всегда приписывается константа . При дифференцировании константа всегда превращается в ноль.

Решить неопределенный интеграл – это значит найти множество всех первообразных, а не какую-то одну функцию. В рассматриваемом табличном примере , , , и т. д. – все эти функции являются решением интеграла . Решений бесконечно много, поэтому записывают коротко:

Таким образом, любой неопределенный интеграл достаточно легко проверить. Это некоторая компенсация за большое количество интегралов разных видов.

Переходим к рассмотрению конкретных примеров. Начнем, как и при изучении производной, с двух правил интегрирования:

– константу C можно (и нужно) вынести за знак интеграла.

– интеграл суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) двух интегралов. Данное правило справедливо для любого количества слагаемых.

Как видите, правила, в принципе, такие же, как и для производных. Иногда их называют свойствами линейности интеграла.

Пример 1

Найти неопределенный интеграл.

Выполнить проверку.

Решение: Удобнее преобразовать его, как.

(1) Применяем правило . На забываем записать значок дифференциала dx под каждым интегралом. Почему под каждым? dx – это полноценный множитель. Если расписывать детально, то первый шаг следует записать так:

.

(2) Согласно правилу выносим все константы за знаки интегралов. Обратите внимание, что в последнем слагаемом tg 5 – это константа, её также выносим.

Кроме того, на данном шаге готовим корни и степени для интегрирования. Точно так же, как и при дифференцировании, корни надо представить в виде. Корни и степени, которые располагаются в знаменателе – перенести вверх.

Примечание: в отличие от производных, корни в интегралах далеко не всегда следует приводить к виду , а степени переносить вверх.

Например, – это готовый табличный интеграл, который уже посчитали до Вас, и всякие китайские хитрости вроде совершенно не нужны. Аналогично: – это тоже табличный интеграл, нет никакого смысла представлять дробь в виде . Внимательно изучите таблицу!

(3) Все интегралы у нас табличные. Осуществляем превращение с помощью таблицы, используя формулы: , и

для степенной функции - .

Следует отметить, что табличный интеграл – это частный случай формулы для степенной функции: .

Константу C достаточно приплюсовать один раз в конце выражения

(а не ставить их после каждого интеграла ).

(4)Записываем полученный результат в более компактном виде, когда все степени вида

снова представляем в виде корней, а степени с отрицательным показателем сбрасываем обратно в знаменатель.

Проверка. Для того чтобы выполнить проверку нужно продифференцировать полученный ответ:

Получена исходная подынтегральная функция , т. е. интеграл найден правильно. От чего плясали, к тому и вернулись. Хорошо, когда история с интегралом заканчивается именно так.

Время от времени встречается немного другой подход к проверке неопределенного интеграла, когда от ответа берется не производная, а дифференциал:

.

В итоге получаем не подынтегральную функцию, а подынтегральное выражение.

Не стоит пугаться понятия дифференциал.

Дифференциал – это производная, умноженная на dx .

Однако нам важны не теоретические тонкости, а то, что с этим дифференциалом дальше делать. Дифференциал раскрывается следующим образом: значок d убираем, справа над скобкой ставим штрих, в конце выражения приписываем множитель dx :

Получено исходное подынтегральное выражение , то есть интеграл найден правильно.

Как видите, дифференциал сводится к нахождению производной. Второй способ проверки мне нравится меньше, так как приходиться дополнительно рисовать большие скобки и тащить значок дифференциала dx до конца проверки. Хотя он корректнее, или «солиднее», что ли.

На самом деле можно было умолчать о втором способе проверки. Дело не в способе, а в том, что мы научились раскрывать дифференциал. Еще раз.

Дифференциал раскрывается следующим образом:

1) значок d убираем;

2) справа над скобкой ставим штрих (обозначение производной);

3) в конце выражения приписываем множитель dx .

Например:

Запомните это. Рассмотренный приём потребуется нам очень скоро.

Пример 2

.

Когда мы находим неопределенный интеграл, то ВСЕГДА стараемся сделать проверку , тем более, для этого есть прекрасная возможность. Далеко не все типы задач в высшей математике являются подарком с этой точки зрения. Неважно, что часто в контрольных заданиях проверки не требуется, её никто, и ничто не мешает провести на черновике. Исключение можно сделать лишь тогда, когда не хватает времени (например, на зачете, экзамене). Лично я всегда проверяю интегралы, а отсутствие проверки считаю халтурой и некачественно выполненным заданием.

Пример 3

Найти неопределенный интеграл:

. Выполнить проверку.

Решение: Анализируя интеграл, мы видим, что у нас под интегралом произведение двух функций, да еще и возведение в степень целого выражения. К сожалению, на поприще интегральной битвы нет хороших и удобных формул для интегрирования произведения и частного в виде: или .

Поэтому, когда дано произведение или частное, всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли преобразовать подынтегральную функцию в сумму? Рассматриваемый пример – тот случай, когда можно.

Сначала приведём полное решение, комментарии будут ниже.

(1) Используем старую добрую формулу квадрата суммы для любых действительных чисел , избавляясь от степени над общей скобкой. за скобки и применяя формулу сокращенного умножения в обратном направлении: .

Пример 4

Найти неопределенный интеграл

Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельно решения. Ответ и полное решение в конце урока.

Пример 5

Найти неопределенный интеграл

. Выполнить проверку.

В данном примере подынтегральная функция представляет собой дробь. Когда мы видим в подынтегральном выражении дробь, то первой мыслью должен быть вопрос: «А нельзя ли как-нибудь от этой дроби избавиться, или хотя бы её упростить?».

Замечаем, что в знаменателе находится одинокий корень из «икс». Один в поле – не воин, значит, можно почленно разделить числитель на знаменатель:

Действия с дробными степенями мы не комментируем, так как о них неоднократно шла речь в статьях о производной функции.

Если Вас все-таки ставит в тупик такой пример, как

и ни в какую не получается правильный ответ ,

Также обратите внимание, что в решении пропущен один шаг, а именно, применение правил , . Обычно при определенном опыте решения интегралов данные правила считают очевидным фактом и не расписывают подробно.

Пример 6

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельно решения. Ответ и полное решение в конце урока.

В общем случае с дробями в интегралах не всё так просто, дополнительный материал по интегрированию дробей некоторых видов можно найти в статье: Интегрирование некоторых дробей . Но, прежде чем перейти к вышеуказанной статье, необходимо ознакомиться с уроком: Метод замены в неопределенном интеграле . Дело в том, что подведение функции под дифференциал или метод замены переменной является ключевым моментом в изучении темы, поскольку встречается не только «в чистых заданиях на метод замены», но и во многих других разновидностях интегралов.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

Пример 4: Решение:

В данном примере мы использовали формулу сокращенного умножения

Пример 6: Решение:

Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Примеры решений

На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной. Для успешного освоения материала требуются начальные знания и навыки интегрирования. Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом Неопределенный интеграл. Примеры решений , где объяснено в доступной форме, что такое интеграл и подробно разобраны базовые примеры для начинающих.

Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:

– Подведение функции под знак дифференциала.

– Собственно замена переменной.

По сути дела, это одно и то же, но оформление решения выглядит по-разному. Начнем с более простого случая.

Функции двух переменных, частные производные, дифференциалы и градиент

Тема 5. Функции двух переменных.

частные производные

Определение функции двух переменных, способы задания.

Частные производные.

Градиент функции одной переменной

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области

1. Определение функции нескольких переменных, способы задания

Для функции двух переменных
областью определения является некоторое множество точек на плоскости
, а областью значений - промежуток на оси
.

Для наглядного представления функции двух перемен ных применяются линии уровня .

Пример . Для функции
построить график и линии уровня. Записать уравнение линии уровня, проходящей через точку
.

Графиком линейной функции является плоскость в пространстве.

Для функции график представляет собой плоскость, проходящую через точки
,
,
.

Линиями уровня функции являются параллельные прямые, уравнение которых
.

Для линейной функции двух переменных
линии уровня задаются уравнением
и представляют собой семейство параллельных прямых на плоскости.

4

График функции 0 1 2 Х

Линии уровня функции

Частные прои зводные функции двух переменных

Рассмотрим функцию
. Придадим переменной в точке
произвольное приращение
, оставляя значение переменной неизменным . Соответствующее приращение функции

называется частным приращением функции по переменной в точке
.

Аналогично определяется частное приращение функции по переменной : .

Обозначение частной производной по : , ,
,
.

Частной производной функции по переменной называется конечный предел:

Обозначения: , ,
,
.

Для нахождения частной производной
по переменной используются правила дифференцирования функции одной переменной, считая переменную постоянной..

Аналогично, для нахождения частной производной по переменной постоянной считается переменная .

Пример . Для функции
найти частные производные
,
и вычислить их значения в точке
.

Частная производная функции
по переменной находится в предположении, что постоянна:

Найдем частную производную функции по , считая постоянной :

Вычислим значения частных производных при
,
:

;
.

Частными производными второго порядка функции нескольких переменных называются частные производные от частных производных первого порядка.

Запишем для функции частные производные 2-го порядка:

;
;

;
.

;
и т.д.

Если смешанные частные производные функции нескольких переменных непрерывны в некоторой точке
, то они равны между собой в этой точке. Значит, для функции двух переменных значения смешанных частных производных не зависят от порядка дифференцирования:

.

Пример. Для функции найти частные производные второго порядка
и
.

Решение

Смешанная частная производная находится последовательным дифференцированием сначала функции по (считая постоянным), затем дифференцированием производной
по (считая постоянным).

Производная находится дифференцированием сначала функции по , затем производной по .

Смешанные частные производные равны между собой:
.

3. Градиент функции двух переменных

Свойства градиента

Пример . Дана функция
. Найти градиент
в точке
и построить его.

Решение

Найдем координаты градиента – частные производные.

В точке
градиент равен . Начало вектора
в точке , а конец - в точке .

5

4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области

Постановка задачи. Пусть на плоскости замкнутая ограниченная область
задается системой неравенств вида
. Требуется найти в области точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения.

Важной является задача нахождения экстремума , математическая модель которой содержит линейные ограничения (уравнения, неравенства) и линейную функцию
.

Постановка задачи. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
(2.1)

при ограничениях

(2.2)

. (2.3)

Поскольку для линейной функции многих переменных нет критических точек внутри области
, то оптимальное решение, доставляющее целевой функции экстремум, достигается только на границе области . Для области, заданной линейными ограничениями, точками возможного экстремума являются угловые точки . Это позволяет рассматривать решение задачи графическим методом .

Графическое решение системы линейных неравенств

Для графического решения данной задачи необходимо уметь решать графически системы линейных неравенств с двумя переменными.

Порядок действий:

Отметим, что неравенство
определяет правую координатную полуплоскость (от оси
), а неравенство
- верхнюю координатную полуплоскость (от оси
).

Пример. Решить графически неравенство
.

Запишем уравнение граничной прямой
и построим ее по двум точкам, например,
и
. Прямая делит плоскость на две полуплоскости.

Координаты точки
удовлетворяют неравенству (
– верно), значит, и координаты всех точек полуплоскости, содержащей точку , удовлетворяют неравенству. Решением неравенства будут координаты точек полуплоскости, расположенной справа от граничной прямой , включая точки на границе. Искомая полуплоскость на рисунке выделена.

Решение
системы неравенств называется допустимым , если его координаты неотрицательны , . Множество допустимых решений системы неравенств образует область, которая расположенав первой четверти координатной плоскости.

Пример. Построить область решений системы неравенств

Решениями неравенств является:

1)
- полуплоскость, расположенная левее и ниже относительно прямой ()
;

2)
– полуплоскость, расположенная в правой-нижней полуплоскости относительно прямой ()
;

3)
- полуплоскость, расположенная правее прямой ()
;

4) - полуплоскость выше оси абсцисс, то есть прямой ()
.

0

Область допустимых решений данной системы линейных неравенств – это множество точек, расположенных внутри и на границе четырехугольника
, являющегося пересечением четырех полуплоскостей.

Геометрическое изображение линейной функции

(линии уровня и градиент)

Зафиксируем значение
, получим уравнение
, которое геометрически задает прямую. В каждой точке прямой функция принимает значение и является линией уровня. Придавая различные значения, например,

, ... , получим множество линий уровня - совокупность параллельных прямых .

Построим градиент - вектор
, координаты которого равны значениям коэффициентов при переменных в функции
. Данный вектор: 1) перпендикулярен каждой прямой (линии уровня)
; 2) показывает направление возрастания целевой функции.

Пример . Построить линии уровня и градиент функции
.

Линии уровня при , , - это прямые

,
,

, параллельные друг другу . Градиент – это вектор , перпендикулярный каждой линии уровня.

Графическое нахождение наибольшего и наименьшего значений линейной функции в области

Геометрическая постановка задачи. Найти в области решений системы линейных неравенств точку, через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему (наименьшему) значению линейной функции с двумя переменными.

Последовательность действий:

4. Найти координаты точки А, решая систему уравнений прямых, пересекающихся в точке А, и вычислить наименьшее значение функции
. Аналогично - для точки В и наибольшего значения функции
. построена по точкам.переменных Частные производные функции нескольких переменных и техника дифференцирования. Экстремум функции двух переменных и его необходимое...

На данном уроке мы познакомимся с понятием функции двух переменных, а также подробно рассмотрим наиболее распространенное задание – нахождение частных производных первого и второго порядка, полного дифференциала функции.

Для эффективного изучения нижеизложенного материала Вам необходимо уметь более или менее уверенно находить «обычные» производные функции одной переменной. Научиться правильно обращаться с производными можно на уроках Как найти производную? и Производная сложной функции . Также нам потребуется таблица производных элементарных функций и правил дифференцирования, удобнее всего, если она будет под рукой в распечатанном виде.

Начнем с самого понятия функции двух переменных, постараемся ограничиться минимумом теории, так как сайт имеет практическую направленность. Функция двух переменных обычно записывается как , при этом переменные , называются независимыми переменными или аргументами .

Пример: - функция двух переменных.

Иногда используют запись . Также встречаются задания, где вместо буквы используется буква .

Полезно знать геометрический смысл функций. Функции одной переменной соответствует определенная линия на плоскости, например, – всем знакомая школьная парабола. Любая функция двух переменных с геометрической точки зрения представляет собой поверхность в трехмерном пространстве (плоскости, цилиндры, шары, параболоиды и т.д.). Но, собственно, это уже аналитическая геометрия, а у нас на повестке дня математический анализ.

Переходим к вопросу нахождения частных производных первого и второго порядков. Должен сообщить хорошую новость для тех, кто выпил несколько чашек кофе и настроился на невообразимо трудный материал: частные производные – это почти то же самое, что и «обычные» производные функции одной переменной.

Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Есть только пара небольших отличий, с которыми мы познакомимся прямо сейчас.

Пример 1

Найти частные производные первого и второго порядка функции

Сначала найдем частные производные первого порядка. Их две.

Обозначения:

Или – частная производная по «икс»

Или – частная производная по «игрек»

Начнем с .

Важно! Когда мы находим частную производную по «икс», то переменнаясчитается константой (постоянным числом).

Решаем. На данном уроке будем сразу приводить полное решение, а комментарии давать ниже.

Комментарии к выполненным действиям:

(1) Первое, что мы делаем при нахождении частной производной – заключаем всю функцию в скобки под штрих с подстрочным индексом .

Внимание, важно! Подстрочные индексы НЕ ТЕРЯЕМ по ходу решения. В данном случае, если Вы где-нибудь нарисуете «штрих» без , то преподаватель, как минимум, может поставить рядом с заданием (сразу откусить часть балла за невнимательность).

(2) Используем правила дифференцирования ; . Для простого примера, как этот, оба правила вполне можно применить на одном шаге. Обратите внимание на первое слагаемое: так как считается константой, а любую константу можно вынести за знак производной , то мы выносим за скобки. То есть в данной ситуации ничем не лучше обычного числа. Теперь посмотрим на третье слагаемое : здесь, наоборот, выносить нечего. Так как константа, то – тоже константа, и в этом смысле она ничем не лучше последнего слагаемого – «семерки».

(2) Используем таблицу производных элементарных функций. Мысленно поменяем в таблице все «иксы» на «игреки». То есть данная таблица рАвно справедлива для(и вообще для любой буквы). В данном случае, используемые нами формулы имеют вид: и .

Итак, частные производные первого порядка найдены

Частные производные применяются в заданиях с функциями нескольких переменных. Правила нахождения точно такие же как и для функций одной переменной, с разницей лишь в том, что одну из переменных нужно считать в момент дифференцирования константой (постоянным числом).

Формула

Частные производные для функции двух переменных $ z(x,y) $ записываются в следующем виде $ z"_x, z"_y $ и находятся по формулам:

Частные производные первого порядка

$$ z"_x = \frac{\partial z}{\partial x} $$

$$ z"_y = \frac{\partial z}{\partial y} $$

Частные производные второго порядка

$$ z""_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial x} $$

$$ z""_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial y} $$

Смешанная производная

$$ z""_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} $$

$$ z""_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} $$

Частная производная сложной функции

а) Пусть $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, тогда производная сложной функции определяется по формуле:

$$ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} $$

б) Пусть $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, тогда частные производные функции находится по формуле:

$$ \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial u} $$

$$ \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial v} $$

Частные производные неявно заданной функции

а) Пусть $ F(x,y(x)) = 0 $, тогда $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{f"_x}{f"_y} $$

б) Пусть $ F(x,y,z)=0 $, тогда $$ z"_x = - \frac{F"_x}{F"_z}; z"_y = - \frac{F"_y}{F"_z} $$

Примеры решений

Пример 1

Найти частные производные первого порядка $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $

Решение

Для нахождения частной производной по $ x $ будем считать $ y $ постоянной величиной (числом): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Для нахождения частной производной функции по $ y $ определим $ y $ константой: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

Пример 2

Найти частные производные функции второго порядка $ z = e^{xy} $

Решение

Сперва нужно найти первый производные, а затем зная их можно найти производные второго порядка. Полагаем $ y $ константой: $$ z"_x = (e^{xy})"_x = e^{xy} \cdot (xy)"_x = ye^{xy} $$ Положим теперь $ x $ постоянной величиной: $$ z"_y = (e^{xy})"_y = e^{xy} \cdot (xy)"_y = xe^{xy} $$ Зная первые производные аналогично находим вторые. Устанавливаем $ y $ постоянной: $$ z""_{xx} = (z"_x)"_x = (ye^{xy})"_x = (y)"_x e^{xy} + y(e^{xy})"_x = 0 + ye^{xy}\cdot (xy)"_x = y^2e^{xy} $$ Задаем $ x $ постоянной: $$ z""_{yy} = (z"_y)"_y = (xe^{xy})"_y = (x)"_y e^{xy} + x(e^{xy})"_y = 0 + x^2e^{xy} = x^2e^{xy} $$ Теперь осталось найти смешанную производную. Можно продифференцировать $ z"_x $ по $ y $, а можно $ z"_y $ по $ x $, так как по теореме $ z""_{xy} = z""_{yx} $ $$ z""_{xy} = (z"_x)"_y = (ye^{xy})"_y = (y)"_y e^{xy} + y (e^{xy})"_y = ye^{xy}\cdot (xy)"_y = yxe^{xy} $$

Ответ

$$ z"_x = ye^{xy}; z"_y = xe^{xy}; z""_{xy} = yxe^{xy} $$

Пример 4

Пусть $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ задаёт неявную функцию $ F(x,y,z) = 0 $. Найти частные производные первого порядка.

Решение

Записываем функцию в формате: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ и находим производные: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Ответ

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Продолжаем всеми любимую тему математического анализа – производные. В данной статье мы научимся находить частные производные функции трёх переменных : первые производные и вторые производные. Что необходимо знать и уметь для освоения материала? Не поверите, но, во-первых, нужно уметь находить «обычные» производные функции одной переменной – на высоком или хотя бы среднем уровне. Если с ними совсем туго, то начните с урока Как найти производную? Во-вторых, очень важно прочитать статью и осмыслить-прорешать если не все, то бОльшую часть примеров. Если это уже сделано, то уверенной походкой идём со мной, будет интересно, даже удовольствие получите!

Методы и принципы нахождения частных производных функции трёх переменных на самом деле очень похожи на частные производные функции двух переменных. Функция двух переменных, напоминаю, имеет вид , где «икс» и «игрек» – независимые переменные. Геометрически функция двух переменных представляет собой некоторую поверхность в нашем трёхмерном пространстве.

Функция трёх переменных имеет вид , при этом переменные называютсянезависимыми переменными или аргументами , переменная называется зависимой переменной или функцией . Например: – функция трёх переменных

А теперь немного о фантастических фильмах и инопланетянах. Часто можно услышать о четырехмерном, пятимерном, десятимерном и т.д. пространствах. Чушь или нет?
Ведь функция трёх переменных подразумевает тот факт, что все дела происходят в четырехмерном пространстве (действительно, переменных же четыре). График функции трёх переменных представляет собой так называемую гиперповерхность . Представить её невозможно, поскольку мы живём в трехмерном пространстве (длина/ширина/высота). Чтобы вам со мной не было скучно, предлагаю викторину. Я задам несколько вопросов, а желающие могут попробовать на них ответить:

– Существует ли в мире четвертое, пятое и т.д. измерения в смысле обывательского понимания пространства (длина/ширина/высота)?

– Можно ли построить четырехмерное, пятимерное и т.д. пространство в широком понимании этого слова? То есть, привести пример такого пространства в нашей жизни.

– Возможно ли путешествие в прошлое?

– Возможно ли путешествие в будущее?

– Существуют ли инопланетяне?

На любой вопрос можно выбрать один из четырёх ответов:
Да / Нет (наукой это запрещено) / Наукой это не запрещено / Не знаю

Кто правильно ответит на все вопросы, тот, скорее всего, обладает некоторой вещью;-)

Ответы на вопросы я постепенно буду выдавать по ходу урока, не пропускайте примеры!

Собственно, полетели. И сразу хорошая новость: для функции трёх переменных справедливы правила дифференцирования и таблица производных . Именно поэтому вам необходимо хорошо управляться с «обычными» производными функций одной переменной. Отличий совсем немного!

Пример 1

Решение: Нетрудно догадаться –для функции трёх переменных существуют три частных производных первого порядка, которые обозначаются следующим образом:

Или – частная производная по «икс»;
или – частная производная по «игрек»;
или – частная производная по «зет».

В ходу больше обозначение со штрихом, но составители сборников, методичек в условиях задач очень любят использовать как раз громоздкие обозначения – так что не теряйтесь! Возможно, не все знают, как правильно читать вслух эти «страшные дроби». Пример: следует читать следующим образом: «дэ у по дэ икс».

Начнём с производной по «икс»: . Когда мы находим частную производную по , то переменныеи считаются константами (постоянными числами). А производная любой константы, о, благодать, равна нулю:

Сразу обратите внимание на подстрочный индекс – никто вам не запрещает помечать, что являются константами. Так даже удобнее, начинающим рекомендую использовать именно такую запись, меньше риск запутаться.

(1) Используем свойства линейности производной, в частности, выносим все константы за знак производной. Обратите внимание, что во втором слагаемом константу выносить не нужно: так как «игрек» является константой, то – тоже константа. В слагаемом за знак производной вынесена «обычная» константа 8 и константа «зет».

(2) Находим простейшие производные, не забывая при этом, что – константы. Далее причесываем ответ.

Частная производная . Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменныеи считаются константами:

(1) Используем свойства линейности. И снова заметьте, что слагаемые , являются константами, а значит, за знак производной выносить ничего не нужно.

(2) Находим производные, не забывая, что константы. Далее упрощаем ответ.

И, наконец, частная производная . Когда мы находим частную производную по «зет», то переменныеи считаются константами:

Общее правило очевидно и незатейливо: Когда мы находим частную производную по какой-либо независимой переменной, то две другие независимые переменные считаются константами.

При оформлении данных задач следует быть предельно внимательным, в частности, нельзя терять подстрочные индексы (которые указывают, по какой переменной проводится дифференцирование). Потеря индекса будет ГРУБЫМ НЕДОЧЁТОМ. Хммм…. забавно, если после такого устрашения я их сам где-нибудь их пропущу)

Пример 2

Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Рассмотренные два примера достаточно просты и, решив несколько подобных задачек, даже чайник приноровится расправляться с ними устно.

Для разгрузки вернемся к первому вопросу викторины: Существует ли в мире четвертое, пятое и т.д. измерения в смысле обывательского понимания пространства (длина/ширина/высота)?

Верный ответ: Наукой это не запрещено . Вся фундаментальная математическая аксиоматика, теоремы, математический аппарат прекрасно и непротиворечиво работают в пространстве любой размерности. Не исключено, что где-нибудь во Вселенной существуют неподвластные нашему разуму гиперповерхности, например, четырёхмерная гиперповерхность, которая задается функцией трех переменных . А может быть гиперповерхности рядом с нами или даже мы находимся прямо в них, просто наше зрение, другие органы чувств, сознание способны на восприятие и осмысление только трёх измерений.

Вернемся к примерам. Да, если кто сильно загрузился викториной, ответы на следующие вопросы лучше прочитать после того, как научитесь находить частные производные функции трёх переменных, а то я вам по ходу статьи вынесу весь мозг =)

Помимо простейших Примеров 1,2 на практике встречаются задания, которые можно назвать небольшой головоломкой. Такие примеры, к моей досаде, выпали из поля зрения, когда я создавал урок Частные производные функции двух переменных . Навёрстываем упущенное:

Пример 3

Решение: вроде бы тут «всё просто», но первое впечатление обманчиво. При нахождении частных производных многие будут гадать на кофейной гуще и ошибаться.

Разберём пример последовательно, чётко и понятно.

Начнём с частной производной по «икс». Когда мы находим частную производную по «икс», то переменные считаются константами. Следовательно, показатель нашей функции – тоже константа. Для чайников рекомендую следующий приём решения: на черновике поменяйте константу на конкретное положительное целое число, например, на «пятерку». В результате получится функция одной переменной:
или ещё можно записать так:

Это степенная функция со сложным основанием (синусом). По :

Теперь вспоминаем, что , таким образом:

На чистовике, конечно, решение следует оформить так:

Находим частную производную по «игрек», считаются константами. Если «икс» константа, то – тоже константа. На черновике проделываем тот же трюк: заменим, например, на 3, «зет» – заменим той же «пятёркой». В результате снова получается функция одной переменной:

Это показательная функция со сложным показателем. По правилу дифференцирования сложной функции :

Теперь вспоминаем нашу замену:

Таким образом:

На чистовике, понятно, оформление должно выглядеть, благообразно:

И зеркальный случай с частной производной по «зет» ( – константы):

При определенном опыте проведенный анализ можно проводить мысленно.

Выполняем вторую часть задания – составим дифференциал первого порядка. Это очень просто, по аналогии с функцией двух переменных, дифференциал первого порядка записывается по формуле:

В данном случае:

И делов то. Отмечу, что в практических задачах полный дифференциал 1-го порядка функции трёх переменных требуют составить значительно реже, чем для функции двух переменных.

Забавный пример для самостоятельного решения:

Пример 4

Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных и составить полный дифференциал первого порядка

Полное решение и ответ в конце урока. Если возникнут затруднения, используйте рассмотренный «чайниковский» алгоритм, он гарантированно должен помочь. И ещё полезный совет – не спешите . Такие примеры быстро не решаю даже я.

Отвлекаемся и разбираем второй вопрос: Можно ли построить четырехмерное, пятимерное и т.д. пространство в широком понимании этого слова? То есть, привести пример такого пространства в нашей жизни.

Верный ответ: Да . Причём, очень легко. Например, добавляем к длине/ширине/высоте четвёртое измерение – время. Популярное четырехмерное пространство-время и всем известная теория относительности, аккуратно украденная Эйнштейном у Лобачевского, Пуанкаре, Лоренца и Минковского. Тоже не все знают. За что у Эйнштейна Нобелевская премия? В научном мире был страшный скандал, и Нобелевский комитет сформулировал заслугу плагиатора примерно следующим образом: «За общий вклад в развитие физики». Так то оно. Бренд троечника Эйнштейна – чистая раскрутка и пиар.

К рассмотренному четырехмерному пространству легко добавить пятое измерение, например: атмосферное давление. И так далее, так далее, так далее, сколько зададите измерений в своей модели – столько и будет. В широком смысле слова мы живём в многомерном пространстве.

Разберём еще пару типовых задач:

Пример 5

Найти частные производные первого порядка в точке

Решение: Задание в такой формулировке часто встречается на практике и предполагает выполнение следующих двух действий:
– нужно найти частные производные первого порядка;
– нужно вычислить значения частных производных 1-го порядка в точке .

Решаем:

(1) Перед нами сложная функция, и на первом шаге следует взять производную от арктангенса. При этом мы, по сути, невозмутимо используем табличную формулу производной арктангенса . По правилу дифференцирования сложной функции результат необходимо домножить на производную внутренней функции (вложения): .

(2) Используем свойства линейности.

(3) И берём оставшиеся производные, не забывая, что – константы.

По условию задания необходимо найти значение найденной частной производной в точке . Подставим координаты точки в найденную производную:

Преимуществом данного задания является тот факт, что другие частные производные находятся по очень похожей схеме:

Как видите, шаблон решения практически такой же.

Вычислим значение найденной частной производной в точке :

И, наконец, производная по «зет»:

Готово. Решение можно было оформить и по другому: сначала найти все три частные производные, а потом вычислить их значения в точке . Но, мне кажется, приведенный способ удобнее – только нашли частную производную, и сразу, не отходя от кассы, вычислили её значение в точке.

Интересно отметить, что геометрически точка – вполне реальная точка нашего трехмерного пространства. Значения же функции , производных – уже четвертое измерение, и где оно геометрически находится, никто не знает. Как говорится, по Вселенной никто с рулеткой не ползал, не проверял.

Коль скоро снова философская тема пошла, рассмотрим третий вопрос: Возможно ли путешествие в прошлое?

Верный ответ: Нет . Путешествие в прошлое противоречит второму закону термодинамики о необратимости физических процессов (энтропии). Так что не ныряйте, пожалуйста, в бассейн без воды, событие можно открутить назад только в видеозаписи =) Народная мудрость не зря придумала противоположный житейский закон: «Семь раз отмерь, один раз отрежь». Хотя, на самом деле грустная штука, время однонаправлено и необратимо, никто из нас завтра не помолодеет. А различные фантастические фильмы вроде «Терминатора» с научной точки зрения – полная чушь. Абсурд и с точки зрения философии – когда Следствие, вернувшись в прошлое, может уничтожить собственную же Причину. .

Интереснее с производной по «зет», хотя, всё равно почти то же самое:

(1) Выносим константы за знак производной.

(2) Здесь опять произведение двух функций, каждая из которых зависит от «живой» переменной «зет». В принципе, можно использовать формулу производной частного, но проще таки пойти другим путём – найти производную от произведения.

(3) Производная – это табличная производная. Во втором слагаемом – уже знакомая производная сложной функции.

Пример 9

Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных

Это пример для самостоятельного решения. Подумайте, как рациональнее находить ту или иную частную производную. Полное решение и ответ в конце урока.

Перед тем как перейти к заключительным примерам урока и рассмотреть частные производные второго порядка функции трёх переменных, всех еще раз взбодрю четвертым вопросом:

Возможно ли путешествие в будущее?

Верный ответ: Наукой это не запрещено . Парадоксально, но не существует математического, физического, химического или другого естественнонаучного закона, который бы запрещал путешествие в будущее! Кажется чушью? Но практически у каждого в жизни бывало предчувствие (причём, не подкрепленное никакими логическими доводами), что произойдет то или иное событие. И оно происходило! Откуда пришла информация? Из будущего? Таким образом, фантастические фильмы о путешествии в будущее, да и, к слову, предсказания всевозможных гадалок, экстрасенсов нельзя назвать таким уж бредом. По крайне мере, наука этого не опровергла. Всё возможно! Так, когда я учился в школе, то компакт диски и плоские мониторы из фильмов казались мне невероятной фантастикой.

Известная комедия «Иван Васильевич меняет профессию» – выдумка наполовину (как максимум). Никакой научный закон не запрещал Ивану Грозному оказаться в будущем, но невозможно, чтобы два перца оказались в прошлом и исполняли обязанности царя.