Уравнение на периода на хармоничните трептения. Уравнението на хармоничните трептения. Какъв е периодът на трептене

флуктуациинаричат ​​движения или процеси, които се характеризират с определено повторение във времето. Осцилаторните процеси са широко разпространени в природата и техниката, например люлеенето на махалото на часовника, променливия електрически ток и др. Когато махалото осцилира, се променя координатата на неговия център на масата, в случай на променлив ток напрежението и токът във веригата се колебаят. Физическата природа на трептенията може да бъде различна, поради което се разграничават механични, електромагнитни и др., но различните колебателни процеси се описват с едни и същи характеристики и същите уравнения. От това идва осъществимостта единен подходза изследване на вибрациите различно физическо естество.

Флуктуациите се наричат Безплатно, ако се осъществяват само под въздействието на вътрешни сили, действащи между елементите на системата, след като системата е изведена от равновесие от външни сили и оставена сама на себе си. Безплатни вибрации винаги затихващи трептения защото загубите на енергия са неизбежни в реалните системи. В идеализирания случай на система без загуба на енергия свободните трептения (които продължават произволно дълго време) се наричат собствен.

Най-простият тип свободни незатихващи трептения са хармонични трептения -флуктуации, при които флуктуиращата стойност се променя с времето според синус (косинус) закон. Срещаните в природата и техниката колебания често имат характер, близък до хармоничния.

Хармоничните вибрации се описват с уравнение, наречено уравнение на хармоничните вибрации:

където НО- амплитуда на колебанията, максималната стойност на колебанията х; - кръгова (циклична) честота на собствените трептения; - началната фаза на трептенето в даден момент от време T= 0; - фазата на трептенето в момента на времето T.Фазата на трептенето определя стойността на осцилиращото количество в даден момент. Тъй като косинусът варира от +1 до -1, тогава хможе да приема стойности от + Апреди - НО.

време T, за което системата извършва едно пълно трептене, се нарича период на трептене. По време на Tфазата на трептене се увеличава с 2 π , т.е.

Където . (14.2)

Реципрочната стойност на периода на трептене

т.е. броят на пълните трептения за единица време се нарича честота на трептене. Сравнявайки (14.2) и (14.3) получаваме

Единицата за честота е херц (Hz): 1 Hz е честотата, при която се извършва едно пълно трептене за 1 s.

Наричат ​​се системи, в които могат да възникнат свободни вибрации осцилатори . Какви свойства трябва да притежава една система, за да възникнат свободни трептения в нея? Механичната система трябва да има положение на стабилно равновесие, при излизане от която се появява възстановяване на силата към равновесие. Това положение съответства, както е известно, на минимума на потенциалната енергия на системата. Нека разгледаме няколко осцилационни системи, които отговарят на изброените свойства.

Промени във времето по синусоидален закон:

където х- стойността на променливото количество в момента T, НО- амплитуда , ω - кръгова честота, φ е началната фаза на трептенията, ( φt + φ ) е общата фаза на трептенията. В същото време ценностите НО, ω и φ - постоянен.

За механични вибрации с осцилираща стойност хса по-специално преместване и скорост, за електрически трептения - напрежение и сила на тока.

Хармоничните вибрации заемат специално място сред всички видове вибрации, тъй като това е единственият вид вибрации, чиято форма не се изкривява при преминаване през хомогенна среда, т.е. вълните, разпространяващи се от източник на хармонични вибрации, също ще бъдат хармонични. Всяка нехармонична вибрация може да бъде представена като сума (интеграл) от различни хармонични вибрации (под формата на спектър от хармонични вибрации).

Енергийни трансформации при хармонични вибрации.

В процеса на трептене има преход на потенциална енергия Wpв кинетичен W kи обратно. В положение на максимално отклонение от равновесното положение потенциалната енергия е максимална, кинетичната енергия е нула. Когато се върнем в равновесно положение, скоростта на трептящото тяло се увеличава, а с това се увеличава и кинетичната енергия, достигайки максимум в равновесното положение. Тогава потенциалната енергия пада до нула. По-нататъшното движение на врата става с намаляване на скоростта, която пада до нула, когато деформацията достигне своя втори максимум. Потенциалната енергия тук нараства до първоначалната си (максимална) стойност (при липса на триене). Така трептенията на кинетичната и потенциалната енергия протичат с двойна (в сравнение с трептенията на самото махало) честота и са в противофаза (т.е. има фазово изместване между тях, равно на π ). Обща вибрационна енергия Уостава непроменена. За тяло, трептящо под действието на еластична сила, то е равно на:

където v m- максималната скорост на тялото (в равновесно положение), x m = НО- амплитуда.

Поради наличието на триене и съпротивление на средата, свободните трептения затихват: тяхната енергия и амплитуда намаляват с времето. Следователно на практика по-често се използват не свободни, а принудени трептения.

Разгледахме няколко физически напълно различни системи и се уверихме, че уравненията на движението са приведени до една и съща форма

Разликите между физическите системи се проявяват само в различните определения на количеството и в различен физически смисъл на променливата х: това може да бъде координата, ъгъл, заряд, ток и т.н. Забележете, че в този случай, както следва от самата структура на уравнение (1.18), количеството винаги има размерността на обратното време.

Уравнение (1.18) описва т.нар хармонични вибрации.

Уравнението на хармоничните трептения (1.18) е линейно диференциално уравнение от втори ред (тъй като съдържа втората производна на променливата х). Линейността на уравнението означава, че

ако има някаква функция x(t)е решение на това уравнение, тогава функцията Cx(t)също ще бъде неговото решение ( ° Се произволна константа);

ако функции x 1 (t)и x 2 (t)са решения на това уравнение, тогава тяхната сума x 1 (t) + x 2 (t)също ще бъде решение на същото уравнение.

Доказана е и математическа теорема, според която уравнението от втори ред има две независими решения. Всички други решения, според свойствата на линейността, могат да бъдат получени като техни линейни комбинации. Лесно е да се провери чрез директно диференциране, че независимите функции и удовлетворяват уравнение (1.18). Така че общото решение на това уравнение е:

където C1,C2са произволни константи. Това решение може да бъде представено и в друга форма. Представяме количеството

и дефинирайте ъгъла като:

Тогава общото решение (1.19) се записва като

Според тригонометричните формули изразът в скоби е

Най-накрая стигаме до общо решение на уравнението на хармоничните трептениякато:

Неотрицателна стойност АНаречен амплитуда на трептене, - началната фаза на трептенето. Извиква се целият косинус аргумент - комбинацията фаза на трептене.

Изразите (1.19) и (1.23) са напълно еквивалентни, така че можем да използваме всеки от тях от съображения за простота. И двете решения са периодични функции на времето. Наистина, синусът и косинусът са периодични с период . Следователно различни състояния на система, която извършва хармонични трептения, се повтарят след определен период от време T*, за която фазата на трептене получава увеличение, което е кратно на :

Оттук следва, че

Най-малкото от тези времена

Наречен период на трептене (Фиг. 1.8), a - неговият кръгов (цикличен) честота.

Ориз. 1.8.

Те също използват честота колебание

Съответно, кръговата честота е равна на броя трептения на секунди.

Така че, ако системата по време Tсе характеризира със стойността на променливата x(t),тогава същата стойност променливата ще има след период от време (фиг. 1.9), т.е.

Същата стойност, разбира се, ще се повтори след известно време. 2T, ZTи т.н.

Ориз. 1.9. Период на трептене

Общото решение включва две произволни константи ( C 1 , C 2или А, а), стойностите на които трябва да се определят от две начални условия. Обикновено (макар и не задължително) тяхната роля се играе от началните стойности на променливата x(0)и негово производно.

Да вземем пример. Нека решението (1.19) на уравнението на хармоничните трептения описва движението на пружинно махало. Стойностите на произволни константи зависят от начина, по който сме извели махалото от равновесие. Например, изтеглихме пружината на разстояние и пусна топката без начална скорост. В такъв случай

Заместване t = 0в (1.19) намираме стойността на константата От 2

Така решението изглежда така:

Скоростта на товара се намира чрез диференциране по време

Заместване тук T = 0, намерете константата от 1:

Накрая

Сравнявайки с (1.23), намираме това е амплитудата на трептене, а началната му фаза е равна на нула: .

Сега изваждаме махалото от равновесие по друг начин. Нека ударим товара, така че да придобие начална скорост, но практически да не се движи по време на удара. Тогава имаме други начални условия:

нашето решение изглежда така

Скоростта на товара ще се промени според закона:

Нека го поставим тук:

Най-простият вид вибрации са хармонични вибрации- флуктуации, при които изместването на осцилиращата точка от равновесното положение се променя във времето по синус или косинус.

И така, при равномерно въртене на топката около обиколката, нейната проекция (сянка в успоредни лъчи светлина) извършва хармонично осцилаторно движение върху вертикален екран (фиг. 1).

Изместването от равновесното положение по време на хармонични вибрации се описва с уравнение (то се нарича кинематичен закон на хармоничното движение) от формата:

където x - изместване - стойност, характеризираща положението на осцилиращата точка в момента t спрямо равновесното положение и измерена чрез разстоянието от равновесното положение до положението на точката в даден момент; А - амплитуда на трептене - максималното изместване на тялото от равновесното положение; Т - период на трептене - времето на едно пълно трептене; тези. най-малкият период от време, след който се повтарят стойностите на физическите величини, характеризиращи трептенето; - начална фаза;

Фазата на трептенето в момент t. Фазата на трептене е аргумент на периодична функция, която за дадена амплитуда на трептене определя състоянието на трептящата система (преместване, скорост, ускорение) на тялото във всеки момент.

Ако в началния момент осцилиращата точка е максимално изместена от равновесното положение, тогава , а изместването на точката от равновесното положение се променя по закона

Ако осцилиращата точка при е в положение на стабилно равновесие, тогава изместването на точката от равновесното положение се променя според закона

Стойността V, реципрочна на периода и равна на броя на пълните трептения, извършени за 1 s, се нарича честота на трептене:

Ако за време t тялото извърши N пълни трептения, то

стойността , показващ колко трептения прави тялото за s, се нарича циклична (кръгова) честота.

Кинематичният закон на хармоничното движение може да се запише като:

Графично зависимостта на преместването на осцилираща точка от времето се представя чрез косинус (или синусоида).

Фигура 2, а показва зависимостта от времето на изместването на осцилиращата точка от равновесното положение за случая .

Нека разберем как скоростта на осцилираща точка се променя с времето. За да направим това, намираме производната по време на този израз:

където е амплитудата на проекцията на скоростта върху оста x.

Тази формула показва, че по време на хармонични трептения проекцията на скоростта на тялото върху оста x също се променя според хармоничния закон със същата честота, с различна амплитуда и изпреварва фазата на смесване с (фиг. 2, b) .

За да разберем зависимостта на ускорението, намираме производната по време на проекцията на скоростта:

където е амплитудата на проекцията на ускорението върху оста x.

За хармонични трептения проекцията на ускорението води фазовото изместване с k (фиг. 2, c).

Хармоничното трептене е явление на периодична промяна на някаква величина, при което зависимостта от аргумента има характер на синусова или косинусова функция. Например, количество, което варира във времето, както следва, хармонично се колебае:

където x е стойността на променящото се количество, t е времето, останалите параметри са постоянни: A е амплитудата на трептенията, ω е цикличната честота на трептенията, е пълната фаза на трептенията, е началната фаза на трептенията трептенията.

Обобщено хармонично трептене в диференциална форма

(Всяко нетривиално решение на това диференциално уравнение е хармонично трептене с циклична честота)

Видове вибрации

Свободните трептения се извършват под действието на вътрешните сили на системата след извеждане на системата от равновесно състояние. За да бъдат свободните трептения хармонични, е необходимо трептителната система да е линейна (описана с линейни уравнения на движение) и в нея да няма разсейване на енергия (последното би предизвикало затихване).

Принудените трептения се извършват под въздействието на външна периодична сила. За да бъдат хармонични е достатъчно осцилаторната система да е линейна (описана с линейни уравнения на движение), а самата външна сила да се променя във времето като хармонично трептене (т.е. зависимостта от времето на тази сила да е синусоидална) .

Уравнение на хармоничните вибрации

Уравнение (1)

дава зависимостта на флуктуиращата стойност S от времето t; това е уравнението на свободните хармонични трептения в ясна форма. Въпреки това, уравнението на трептенията обикновено се разбира като различен запис на това уравнение в диференциална форма. За категоричност приемаме уравнение (1) във вида

Разграничете го два пъти по отношение на времето:

Вижда се, че е валидна следната връзка:

което се нарича уравнение на свободните хармонични трептения (в диференциална форма). Уравнение (1) е решение на диференциално уравнение (2). Тъй като уравнение (2) е диференциално уравнение от втори ред, две начални условия са необходими за получаване на пълно решение (тоест, за определяне на константите A и  , включени в уравнение (1); например позицията и скоростта на осцилаторна система при t = 0.

Математическото махало е осцилатор, който е механична система, състояща се от материална точка, разположена върху безтегловна неразтеглива нишка или върху безтегловен прът в еднородно поле на гравитационни сили. Периодът на малките собствени трептения на математическо махало с дължина l, неподвижно окачено в еднородно гравитационно поле с ускорение на свободно падане g, е равен на

и не зависи от амплитудата и масата на махалото.

Физическото махало е осцилатор, което е твърдо тяло, което осцилира в полето на всякакви сили около точка, която не е центърът на масата на това тяло, или фиксирана ос, перпендикулярна на посоката на силите и не минаваща през центъра на масата на това тяло.