Jak najít parciální derivace funkce dvou proměnných. Řešení derivací pro figuríny: definice, jak najít, příklady řešení. – Ve skutečnosti nahrazení proměnné

Obecný princip hledání parciálních derivací 2. řádu funkce tří proměnných je podobný principu hledání parciálních derivací 2. řádu funkce dvou proměnných.

Chcete-li najít parciální derivace druhého řádu, musíte nejprve najít parciální derivace prvního řádu nebo v jiném zápisu:

Existuje devět parciálních derivátů druhého řádu.

První skupina jsou druhé deriváty s ohledem na stejné proměnné:

Nebo – druhá derivace vzhledem k „x“;

Nebo – druhá derivace vzhledem k „Y“;

Nebo – druhá derivace s ohledem na „zet“.

Druhá skupina je smíšený Parciální derivace 2. řádu, je jich šest:

nebo - smíšený odvozenina „by x igrek“;

nebo - smíšený derivace „hra x“;

nebo - smíšený derivace „vzhledem k x z“;

nebo - smíšený derivace „by zt x“;

nebo - smíšený odvozenina „s ohledem na igrek z“;

nebo - smíšený derivát "by zt igrek".

Stejně jako v případě funkce dvou proměnných se při řešení problémů můžete zaměřit na následující rovnosti smíšených derivací druhého řádu:

Poznámka: přísně vzato, není tomu tak vždy. Aby se smíšené deriváty rovnaly, musí být splněn požadavek jejich kontinuity.

Pro jistotu uveďme několik příkladů, jak správně nahlas přečíst tuto ostudu:

- „dva rány mají dvakrát hru“;

– „de two y by de z square“;

– „v X a Z jsou dva tahy“;

- "de dva y po de zet po de igrek."

Příklad 10

Najděte všechny parciální derivace prvního a druhého řádu pro funkci tří proměnných:

.

Řešení: Nejprve najdeme parciální derivace prvního řádu:

Vezmeme nalezenou derivaci

a odlište jej „Y“:

Vezmeme nalezenou derivaci

a odlište jej „x“:

Rovnost je splněna. Pokuta.

Pojďme se zabývat druhou dvojicí smíšených derivací.

Vezmeme nalezenou derivaci

a rozlišujte ho „z“:

Vezmeme nalezenou derivaci

a odlište jej „x“:

Rovnost je splněna. Pokuta.

S třetí dvojicí smíšených derivací se zabýváme podobným způsobem:

Rovnost je splněna. Pokuta.

Po odvedené práci můžeme zaručit, že za prvé jsme správně našli všechny parciální derivace 1. řádu a za druhé jsme správně našli i smíšené parciální derivace 2. řádu.

Zbývá najít další tři parciální derivace druhého řádu, zde, abyste se vyhnuli chybám, měli byste soustředit svou pozornost co nejvíce:

Připraveno. Opakuji, úkol není ani tak obtížný, jako spíše objemný. Řešení lze zkrátit a odkazovat na rovnosti smíšených parciálních derivací, ale v tomto případě nedojde k ověření. Proto je lepší věnovat čas a najít Všechno deriváty (navíc to může učitel vyžadovat), nebo jako poslední možnost zkontrolovat návrh.

Příklad 11

Najděte všechny parciální derivace prvního a druhého řádu pro funkci tří proměnných

.

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami.

Řešení a odpovědi:

Příklad 2:Řešení:

Příklad 4:Řešení: Pojďme najít parciální derivace prvního řádu.

Vytvořme úplný diferenciál prvního řádu:

Příklad 6:Řešení: M(1, -1, 0):

Příklad 7:Řešení: Vypočítejme parciální derivace prvního řádu v boděM(1, 1, 1):

Příklad 9:Řešení:

Příklad 11:Řešení: Pojďme najít parciální derivace prvního řádu:

Pojďme najít parciální derivace druhého řádu:

.

Integrály

8.1. Neurčitý integrál. Detailní ukázková řešení

Začněme studovat téma" Neurčitý integrál", a také si podrobně rozebereme příklady řešení nejjednodušších (a ne tak jednoduchých) integrálů. Jako obvykle se omezíme na minimum teorie, které je v mnoha učebnicích, naším úkolem je naučit se řešit integrály.

Co je potřeba umět k úspěšnému zvládnutí látky? Abyste se vyrovnali s integrálním počtem, musíte být schopni najít derivace minimálně na střední úrovni. Nebudete plýtvat zkušenostmi, pokud máte pod sebou několik desítek, nebo ještě lépe stovek samostatně nalezených derivátů. Minimálně byste se neměli nechat zmást úkoly, abyste odlišili ty nejjednodušší a nejběžnější funkce.

Zdálo by se, co s tím mají společného derivace, když je článek o integrálech?! Tady je ta věc. Faktem je, že hledání derivací a hledání neurčitých integrálů (diferenciace a integrace) jsou dvě vzájemně inverzní akce, jako je sčítání/odčítání nebo násobení/dělení. Bez dovednosti a jakýchkoliv zkušeností s hledáním derivátů se tedy bohužel nemůžete posunout vpřed.

V tomto ohledu budeme potřebovat následující učební materiály: Tabulka derivátů A Tabulka integrálů.

Jaká je obtížnost učení neurčitých integrálů? Pokud v derivacích existuje striktně 5 derivačních pravidel, tabulka derivací a celkem jasný algoritmus akcí, tak v integrálech je všechno jinak. Existují desítky integračních metod a technik. A pokud je metoda integrace zpočátku zvolena nesprávně (tj. nevíte, jak ji vyřešit), můžete integrál „píchnout“ doslova celé dny, jako skutečný hlavolam a snažit se odhalit různé techniky a triky. Někomu se to dokonce líbí.

Mimochodem, poměrně často jsme od studentů (bez humanitních oborů) slýchali názor typu: „Nikdy jsem se nezajímal o řešení limity nebo derivace, ale integrály jsou úplně jiná věc, je to fascinující, vždycky se najde nějaká touha „hacknout“ komplexní integrál.“ . Stop. Dost bylo černého humoru, přejděme k těmto velmi neurčitým integrálům.

Vzhledem k tomu, že existuje mnoho způsobů, jak to vyřešit, kde by měla konvice začít studovat neurčité integrály? V integrálním počtu podle nás existují tři pilíře nebo jakási „osa“, kolem které se točí vše ostatní. Nejprve byste měli dobře rozumět nejjednodušším integrálům (tento článek).

Poté musíte lekci podrobně propracovat. TOTO JE NEJDŮLEŽITĚJŠÍ TECHNIKA! Možná dokonce nejdůležitější článek ze všech článků o integrálech. A do třetice byste si určitě měli přečíst integrace metodou dílů, protože integruje širokou třídu funkcí. Pokud zvládnete alespoň tyto tři lekce, pak už nebudete mít dvě. Možná vám bude odpuštěno, že to nevíte integrály goniometrických funkcí, integrály zlomků, integrály zlomkových-racionálních funkcí, integrály iracionálních funkcí (odmocniny), ale pokud se „dostanete do problémů“ s metodou výměny nebo metodou integrace po částech, bude to velmi, velmi špatné.

Začněme tedy jednoduše. Podívejme se na tabulku integrálů. Stejně jako u derivací si všimneme několika integračních pravidel a tabulky integrálů některých elementárních funkcí. Jakýkoli tabulkový integrál (a vlastně jakýkoli neurčitý integrál) má tvar:

Okamžitě porozumíme notacím a termínům:

– integrální ikona.

– funkce integrand (psáno písmenem „s“).

– ikona rozdílu. Na to, co to je, se podíváme velmi brzy. Hlavní je, že při zápisu integrálu a při řešení je důležité tuto ikonu neztratit. Bude tam patrná vada.

– integrandové vyjádření nebo „vyplnění“ integrálu.

– primitivní funkce.

– . Není třeba se moc zatěžovat členy, nejdůležitější zde je, že v libovolném neurčitém integrálu je k odpovědi přidána konstanta.

Řešení neurčitého integrálu znamená nalezenímnoho primitivních funkcí z daného integrandu

Podívejme se znovu na vstup:

Podívejme se na tabulku integrálů.

Co se děje? Máme levé díly změnit se v na další funkce: .

Zjednodušme naši definici:

Řešte neurčitý integrál - to znamená TRANSFORMOVAT jej do nedefinované (až konstantní) funkce pomocí některých pravidel, technik a tabulky.

Vezměme si například tabulkový integrál . Co se stalo? Symbolický zápis se vyvinul do mnoha primitivních funkcí.

Stejně jako v případě derivací, abychom se naučili hledat integrály, není nutné znát, co je integrální nebo primitivní funkce z teoretického hlediska. Stačí jednoduše provést transformace podle nějakých formálních pravidel. Tedy pro případ Není vůbec nutné chápat, proč se integrál mění na . Tento a další vzorce můžete považovat za samozřejmost. Každý používá elektřinu, ale jen málo lidí přemýšlí o tom, jak elektrony cestují dráty.

Protože diferenciace a integrace jsou opačné operace, pro všechny správně nalezené primitivní funkce platí následující:

Jinými slovy, pokud odlišíte správnou odpověď, musíte získat původní funkci integrand.

Vraťme se ke stejnému tabulkovému integrálu .

Ověřme platnost tohoto vzorce. Vezmeme derivaci pravé strany:

je původní integrandová funkce.

Mimochodem, začalo být jasnější, proč je funkci vždy přiřazena konstanta. Při derivaci se konstanta vždy změní na nulu.

Řešte neurčitý integrál- to znamená najít hromada každý primitivních derivátů a ne pouze jedné funkce. V uvažovaném tabulkovém příkladu , , , atd. – všechny tyto funkce jsou řešením integrálu. Řešení je nekonečně mnoho, proto si to stručně zapíšeme:

Jakýkoli neurčitý integrál je tedy docela snadné zkontrolovat. To je určitá kompenzace velkého počtu integrálů různých typů.

Přejděme ke konkrétním příkladům. Začněme, stejně jako při studiu derivace, dvěma pravidly integrace:

– konstantní C může (a mělo by) být vyjmuto z integrálního znaménka.

– integrál součtu (rozdílu) dvou funkcí se rovná součtu (rozdílu) dvou integrálů. Toto pravidlo platí pro libovolný počet termínů.

Jak vidíte, pravidla jsou v podstatě stejná jako u derivátů. Někdy se jim říká vlastnosti linearity integrální.

Příklad 1

Najděte neurčitý integrál.

Proveďte kontrolu.

Řešení: Je pohodlnější převést to jako.

(1) Použijte pravidlo . Zapomněli jsme si zapsat ikonu rozdílu dx pod každým integrálem. Proč pod každým? dx– to je plnohodnotná násobilka. Pokud to popíšeme podrobně, první krok by měl být napsán takto:

.

(2) Podle pravidla posuneme všechny konstanty za znaménka integrálů. Upozorňujeme, že v posledním termínu tg 5 je konstanta, také ji vyjmeme.

Kromě toho v tomto kroku připravujeme kořeny a pravomoci pro integraci. Stejně jako u diferenciace musí být ve tvaru zastoupeny kořeny . Posuňte kořeny a mocniny, které se nacházejí ve jmenovateli, nahoru.

Poznámka: Na rozdíl od derivací by kořeny v integrálech neměly být vždy redukovány do tvaru a posuňte stupně nahoru.

Například, - jedná se o hotový tabulkový integrál, který již byl spočítán před vámi a nejrůznější čínské triky jako zcela zbytečné. Rovněž: – to je také tabulkový integrál, nemá smysl uvádět zlomek ve tvaru . Pozorně si prostudujte tabulku!

(3) Všechny naše integrály jsou tabulkové. Transformaci provedeme pomocí tabulky pomocí vzorců: , A

pro funkci napájení - .

Je třeba poznamenat, že tabulkový integrál je speciálním případem vzorce pro mocninnou funkci: .

Konstantní C stačí přidat jednou na konec výrazu

(spíše než je dávat po každém integrálu).

(4) Získaný výsledek zapíšeme v kompaktnější podobě, kdy všechny mocniny jsou ve tvaru

opět je znázorňujeme ve formě odmocnin a mocniny se záporným exponentem přenastavíme zpět do jmenovatele.

Zkouška. Abyste mohli provést kontrolu, musíte rozlišit přijatou odpověď:

Obdržel originál integrand, tj. integrál byl nalezen správně. Z čeho tančili, k tomu se vrátili. Je dobře, když příběh s integrálem končí tímto způsobem.

Čas od času existuje trochu jiný přístup ke kontrole neurčitého integrálu, kdy se z odpovědi přebírá nikoli derivace, ale diferenciál:

.

V důsledku toho nedostaneme integrandovou funkci, ale integrandový výraz.

Nebojte se konceptu diferenciálu.

Diferenciál je derivace násobená dx.

Pro nás však nejsou důležité teoretické jemnosti, ale to, co s tímto diferenciálem dále dělat. Rozdíl je zobrazen následovně: ikona d odstraníme, dáme prvočíslo vpravo nad závorku, přidáme faktor na konec výrazu dx :

Přijat originál integrand, tedy integrál byl nalezen správně.

Jak vidíte, diferenciál spočívá v nalezení derivace. Druhý způsob kontroly se mi líbí méně, protože musím dodatečně kreslit velké závorky a přetahovat ikonu rozdílu dx až do konce kontroly. I když je to správnější, „slušnější“ nebo tak něco.

O druhém způsobu ověřování se vlastně dalo mlčet. Pointa není v metodě, ale v tom, že jsme se naučili otevírat diferenciál. Znovu.

Rozdíl je odhalen následovně:

1) ikona d odstranit;

2) vpravo nad závorku dáme tah (označení derivace);

3) na konec výrazu přiřadíme faktor dx .

Například:

Pamatujte si to. Tuto techniku ​​budeme velmi brzy potřebovat.

Příklad 2

.

Když najdeme neurčitý integrál, VŽDY se pokusíme zkontrolovat Navíc je k tomu skvělá příležitost. Ne všechny typy úloh ve vyšší matematice jsou z tohoto pohledu darem. Nezáleží na tom, že v testovacích úkolech často nejsou vyžadovány kontroly; nikdo a nic vám nebrání to udělat na konceptu. Výjimku lze učinit pouze při nedostatku času (například při testu nebo zkoušce). Osobně vždy kontroluji integrály a nedostatek kontroly považuji za hacking a špatně splněný úkol.

Příklad 3

Najděte neurčitý integrál:

. Proveďte kontrolu.

Řešení: Při analýze integrálu vidíme, že pod integrálem máme součin dvou funkcí a dokonce i umocnění celého výrazu. Bohužel na poli integrální bitvy Ne dobré a pohodlné vzorce pro integraci součinu a kvocientu tak jako: nebo .

Proto, když je dán součin nebo kvocient, má vždy smysl zjistit, zda je možné převést integrand na součet? Uvažovaný příklad je případ, kdy je to možné.

Nejprve představíme kompletní řešení, komentáře budou níže.

(1) Pro libovolná reálná čísla použijeme starý dobrý vzorec druhé mocniny součtu, čímž se zbavíme stupně nad společnou závorkou. mimo závorky a použití zkráceného vzorce pro násobení v opačném směru: .

Příklad 4

Najděte neurčitý integrál

Proveďte kontrolu.

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Odpověď a kompletní řešení jsou na konci lekce.

Příklad 5

Najděte neurčitý integrál

. Proveďte kontrolu.

V tomto příkladu je integrand zlomkem. Když vidíme zlomek v integrandu, první myšlenkou by měla být otázka: "Je možné se tohoto zlomku nějak zbavit, nebo ho alespoň zjednodušit?"

Všimli jsme si, že jmenovatel obsahuje jeden kořen „X“. Jeden v poli není válečník, což znamená, že můžeme rozdělit čitatele podle jmenovatele výraz podle výrazu:

Nekomentujeme akce se zlomkovými mocninami, protože byly mnohokrát diskutovány v článcích o derivaci funkce.

Pokud jste stále zmateni takovým příkladem, jako je

a v žádném případě nevyjde správná odpověď,

Všimněte si také, že v řešení chybí jeden krok, a to uplatnění pravidel , . Obvykle, s určitými zkušenostmi s řešením integrálů, jsou tato pravidla považována za zřejmý fakt a nejsou podrobně popsána.

Příklad 6

Najděte neurčitý integrál. Proveďte kontrolu.

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Odpověď a kompletní řešení jsou na konci lekce.

V obecném případě se zlomky v integrálech není vše tak jednoduché, další materiál o integraci zlomků některých typů naleznete v článku: Integrace některých zlomků. Než však přejdete k výše uvedenému článku, musíte se seznámit s lekcí: Substituční metoda v neurčitém integrálu. Jde o to, že zahrnutí funkce pod diferenciální nebo proměnnou nahrazovací metodu ano klíčový bod při studiu tématu, protože se vyskytuje nejen „v čistých úlohách náhradní metody“, ale také v mnoha dalších typech integrálů.

Řešení a odpovědi:

Příklad 2: Řešení:

Příklad 4: Řešení:

V tomto příkladu jsme použili zkrácený násobící vzorec

Příklad 6: Řešení:

Metoda změny proměnné v neurčitém integrálu. Příklady řešení

V této lekci se seznámíme s jednou z nejdůležitějších a nejběžnějších technik, která se používá při řešení neurčitých integrálů – metodou změny proměnné. Úspěšné zvládnutí látky vyžaduje počáteční znalosti a integrační dovednosti. Pokud máte v integrálním počtu pocit prázdné, plné konvice, měli byste se nejprve seznámit s materiálem Neurčitý integrál. Příklady řešení, kde je přístupnou formou vysvětleno, co je to integrál a podrobně jsou rozebrány základní příklady pro začátečníky.

Technicky je metoda změny proměnné v neurčitém integrálu implementována dvěma způsoby:

– Přičtení funkce pod diferenciální znaménko.

– Skutečná změna proměnné.

V podstatě se jedná o totéž, ale design řešení vypadá jinak. Začněme jednodušším případem.

Funkce dvou proměnných, parciální derivace, diferenciály a gradient

Téma 5.Funkce dvou proměnných.

částečné derivace

Definice funkce dvou proměnných, způsoby nastavení.

Částečné derivace.

Gradient funkce jedné proměnné

Hledání největší a nejmenší hodnoty funkce dvou proměnných v uzavřeném ohraničeném oboru

1. Definice funkce více proměnných, způsoby nastavení

Pro funkce dvou proměnných
doména definice je nějaký množina bodů na rovině
a rozsah hodnot je interval na ose
.

Pro vizuální reprezentaci funkce dvou změn nyh jsou aplikovány úrovňové čáry.

Příklad . Pro funkci
vytvořit graf a vyrovnat čáry. Zapište rovnici přímky hladiny procházející bodem
.

Graf lineární funkce je letadlo ve vesmíru.

Pro funkci je grafem rovina procházející body
,
,
.

Linky funkční úrovně jsou rovnoběžné přímky, jejichž rovnice je
.

Pro lineární funkce dvou proměnných
úrovňové čáry jsou dány rovnicí
a reprezentovat rodina rovnoběžných čar v rovině.

4

Graf funkce 0 1 2 X

Linky funkční úrovně

Soukromé projektyodvozené funkce dvou proměnných

Zvažte funkci
. Dejme proměnnou na místě
libovolný přírůstek
, odchod proměnná hodnota beze změny. Odpovídající přírůstek funkce

volal soukromý přírůstek funkce podle proměnné na místě
.

Definováno podobně částečný přírůstek funkcepodle proměnné: .

Označeníparciální derivace vzhledem k: , ,
,
.

Parciální derivace funkce vzhledem k proměnné nazývaný konečný limit :

Označení: , ,
,
.

Najít parciální derivaci
proměnnou se používají pravidla pro derivování funkce jedné proměnné, za předpokladu, že proměnná je konstantní..

Podobně najít parciální derivaci vzhledem k proměnné proměnná je považována za konstantní .

Příklad . Pro funkci
najít parciální derivace
,
a vypočítat jejich hodnoty v bodě
.

Parciální derivace funkce
podle proměnné je za předpokladu, že je konstantní:

Najdeme parciální derivaci funkce vzhledem k , za předpokladu konstanty:

Vypočítejme hodnoty parciálních derivací at
,
:

;
.

Parciální derivace druhého řádu funkce více proměnných se nazývají parciální derivace parciálních derivací prvního řádu.

Zapišme parciální derivace 2. řádu pro funkci:

;
;

;
.

;
atd.

Jsou-li smíšené parciální derivace funkcí více proměnných v určitém bodě spojité
, potom oni sobě rovné v tomto bodě. To znamená, že pro funkci dvou proměnných nezávisí hodnoty smíšených parciálních derivací na pořadí derivace:

.

Příklad. Pro funkci najděte parciální derivace druhého řádu
A
.

Řešení

Smíšená parciální derivace se najde postupným derivováním nejprve funkce tím, že (za předpokladu konstantní), pak derivace derivace
podle (s ohledem na konstantní).

Derivace se nalézá tak, že se nejprve derivuje funkce s ohledem na , potom derivace s ohledem na .

Smíšené parciální derivace jsou si navzájem rovny:
.

3. Gradient funkce dvou proměnných

Vlastnosti gradientu

Příklad . Daná funkce
. Najděte přechod
na místě
a postavit ji.

Řešení

Najdeme souřadnice gradientu – parciální derivace.

Na místě
spád rovná . Začátek vektoru
v bodě a na konci v bodě .

5

4. Hledání největší a nejmenší hodnoty funkce dvou proměnných v uzavřené omezené oblasti

Formulace problému. Nechť je na rovině uzavřená ohraničená oblast
je dán soustavou nerovností tvaru
. Je potřeba najít body v oblasti, ve které funkce nabývá největší a nejmenší hodnoty.

Důležité je problém najít extrém, jehož matematický model obsahuje lineární omezení (rovnice, nerovnosti) a lineární funkce
.

Formulace problému. Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce
(2.1)

pod omezeními

(2.2)

. (2.3)

Protože neexistují žádné kritické body pro lineární funkci mnoha proměnných uvnitř kraj
, pak je dosaženo pouze optimálního řešení, které přináší extrém k cílové funkci na hranici kraje. Pro oblast definovanou lineárními vazbami jsou body možného extrému rohové body. To nám umožňuje zvážit řešení problému grafická metoda.

Grafické řešení soustavy lineárních nerovnic

Chcete-li tento problém vyřešit graficky, musíte být schopni graficky vyřešit systémy lineárních nerovnic se dvěma proměnnými.

Postup:

Všimněte si, že nerovnost
definuje pravá souřadnicová polorovina(od os
), a nerovnost
- horní souřadnicová polorovina(od os
).

Příklad. Nerovnici vyřešte graficky
.

Zapišme rovnici hraniční čáry
a postavit jej na základě dvou bodů, např.
A
. Přímka rozděluje rovinu na dvě poloroviny.

Souřadnice bodu
uspokojit nerovnost (
– true), což znamená, že souřadnice všech bodů poloroviny obsahující bod splňují nerovnici. Řešením nerovnice budou souřadnice bodů poloroviny umístěných vpravo od hraniční čáry, včetně bodů na hranici. Požadovaná polorovina je na obrázku zvýrazněna.

Řešení
se nazývá systém nerovností přijatelný, pokud jsou jeho souřadnice nezáporné, . Soubor proveditelných řešení soustavy nerovností tvoří oblast, která se nachází v první čtvrtině souřadnicové roviny.

Příklad. Sestrojte doménu řešení soustavy nerovnic

Řešení nerovností jsou:

1)
- polorovina umístěná vlevo a níže vzhledem k přímce ( )
;

2)
– polorovina umístěná v pravé dolní polorovině vzhledem k přímce ( )
;

3)
- polorovina umístěná vpravo od přímky ( )
;

4) - polorovina nad osou x, tedy přímka ( )
.

0

Rozsah možných řešení daného systému lineárních nerovnic je množina bodů umístěných uvnitř a na hranici čtyřúhelníku
, který je průsečíkčtyři poloroviny.

Geometrická reprezentace lineární funkce

(úrovňové čáry a gradient)

Opravme hodnotu
, dostaneme rovnici
, který geometricky definuje přímku. V každém bodě čáry funkce nabývá hodnoty a je nivelační čára. Dávání různé významy, např

, ... , dostáváme spoustu linií úrovně - sada paralel Přímo.

Pojďme stavět spád- vektor
, jehož souřadnice se rovnají hodnotám koeficientů proměnných ve funkci
. Tento vektor: 1) je kolmý na každou přímku (úrovňovou čáru)
; 2) ukazuje směr nárůstu účelové funkce.

Příklad . Vykreslování čar a gradientních funkcí
.

Čáry úrovně v , , jsou rovné

,
,

, vzájemně paralelní. Přechod je vektor kolmý ke každé linii úrovně.

Grafické vyhledání největších a nejmenších hodnot lineární funkce v oblasti

Geometrická formulace problému. Najděte v oboru řešení soustavy lineárních nerovnic bod, kterým prochází přímka úrovně, odpovídající největší (nejmenší) hodnotě lineární funkce se dvěma proměnnými.

Sekvenční řazení:

4. Najděte souřadnice bodu A řešením soustavy rovnic přímek protínajících se v bodě A a vypočítejte nejmenší hodnotu funkce
. Podobně - pro bod B a největší hodnotu funkce
. postavené na bodech.proměnných Soukroméderivátyfunkcí několik proměnné a diferenciační technika. Extrémní funkcídvaproměnné a je to nutné...

V této lekci se seznámíme s pojmem funkce dvou proměnných a také podrobně zvážíme nejčastější úkol - hledání částečné derivace prvního a druhého řádu, úplný diferenciál funkce.

Chcete-li efektivně studovat níže uvedený materiál, vy nutné být schopen více či méně s jistotou najít „obyčejné“ derivace funkcí jedné proměnné. Jak správně zacházet s derivacemi se můžete naučit v lekcích Jak najít derivát? a Derivace komplexní funkce. Dále budeme potřebovat tabulku derivací elementárních funkcí a derivačních pravidel, nejvýhodnější je, když je po ruce v tištěné podobě.

Začněme samotným pojmem funkce dvou proměnných, pokusíme se omezit na minimum teorie, protože stránka má praktické zaměření. Funkce dvou proměnných se obvykle zapisuje jako , přičemž proměnné jsou volány nezávislé proměnné nebo argumenty.

Příklad: - funkce dvou proměnných.

Někdy se používá zápis. Existují i ​​úkoly, kde se místo písmene používá písmeno.

Je užitečné znát geometrický význam funkcí. Funkce jedné proměnné odpovídá určité přímce v rovině, například známé školní parabole. Libovolná funkce dvou proměnných z geometrického hlediska představuje plochu v trojrozměrném prostoru (roviny, válce, koule, paraboloidy atd.). Ale ve skutečnosti je to již analytická geometrie a matematická analýza je na našem programu.

Přejděme k otázce hledání parciálních derivací prvního a druhého řádu. Mám dobrou zprávu pro ty, kteří si dali pár šálků kávy a ladí se na neuvěřitelně obtížný materiál: parciální derivace jsou téměř stejné jako „obyčejné“ derivace funkce jedné proměnné.

Pro parciální derivace platí všechna pravidla derivace a tabulka derivací elementárních funkcí. Existuje jen několik malých rozdílů, ke kterým se dostaneme za chvíli.

Příklad 1

Najděte parciální derivaci prvního a druhého řádu funkce

Nejprve najdeme parciální derivace prvního řádu. Jsou dva.

Označení:

Nebo – částečná derivace vzhledem k „x“

Nebo – částečná derivace vzhledem k „y“

Začněme s .

Důležité! Když najdeme parciální derivaci vzhledem k „x“, pak proměnnou se považuje za konstantu (konstantní číslo).

Pojďme se rozhodnout. V této lekci okamžitě poskytneme kompletní řešení a níže uvedeme komentáře.

Komentáře k provedeným akcím:

(1) První věc, kterou uděláme při hledání parciální derivace, je uzavřít Všechno funkce v závorkách pod prvočíslem s dolním indexem.

Pozor, důležité! Během procesu řešení NEZTRATÍME dolní indexy. V tomto případě, když někde nakreslíte „tah“ bez , může ho učitel minimálně přiložit k úkolu (pro nepozornost okamžitě ukousnout část bodu).

(2) Používáme pravidla diferenciace ; . Pro jednoduchý příklad, jako je tento, lze obě pravidla snadno použít v jednom kroku. Pozor na první termín: od je považován za konstantu a libovolnou konstantu lze vyjmout z derivačního znaménka, pak jej vyjmeme ze závorek. To znamená, že v této situaci není o nic lepší než obyčejné číslo. Nyní se podívejme na třetí termín: zde naopak není co vyndavat. Protože je to konstanta, je to také konstanta a v tomto smyslu není o nic lepší než poslední termín - „sedm“.

(2) Použijeme tabulku derivací elementárních funkcí. Pojďme v duchu změnit všechna „X“ v tabulce na „já“. To znamená, že tato tabulka platí stejně pro (a obecně pro jakýkoli dopis). V tomto případě používáme vzorce: a .

Takže byly nalezeny parciální derivace prvního řádu

Parciální derivace se používají v problémech zahrnujících funkce více proměnných. Pravidla pro hledání jsou úplně stejná jako pro funkce jedné proměnné, jen s tím rozdílem, že jedna z proměnných musí být v době derivace považována za konstantu (konstantní číslo).

Vzorec

Parciální derivace pro funkci dvou proměnných $ z(x,y) $ se zapisují v následujícím tvaru $ z"_x, z"_y $ a najdeme je pomocí vzorců:

Parciální derivace prvního řádu

$$ z"_x = \frac(\částečné z)(\částečné x) $$

$$ z"_y = \frac(\částečné z)(\částečné y) $$

Parciální derivace druhého řádu

$$ z""_(xx) = \frac(\částečné^2 z)(\částečné x \částečné x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\částečné^2 z)(\částečné y \částečné y) $$

Smíšený derivát

$$ z""_(xy) = \frac(\částečné^2 z)(\částečné x \částečné y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\částečné^2 z)(\částečné y \částečné x) $$

Parciální derivace komplexní funkce

a) Nechť $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, pak derivace komplexní funkce je určena vzorcem:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\částečné z)(\částečné x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\částečné z)(\částečné y) \cdot \frac (dy) (dt) $$

b) Nechť $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, pak parciální derivace funkce najdeme podle vzorce:

$$ \frac(\částečné z)(\částečné u) = \frac(\částečné z)(\částečné x) \cdot \frac(\částečné x)(\částečné u) + \frac(\částečné z)( \částečné y) \cdot \frac(\částečné y)(\částečné u) $$

$$ \frac(\částečné z)(\částečné v) = \frac(\částečné z)(\částečné x) \cdot \frac(\částečné x)(\částečné v) + \frac(\částečné z)( \částečné y) \cdot \frac(\částečné y)(\částečné v) $$

Parciální derivace implicitní funkce

a) Nechť $ F(x,y(x)) = 0 $, pak $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Nechť $ F(x,y,z)=0 $, pak $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Příklady řešení

Příklad 1

Najděte parciální derivace prvního řádu $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $

Řešení

Abychom našli parciální derivaci vzhledem k $ x $, budeme považovat $ y $ za konstantní hodnotu (číslo): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Abychom našli parciální derivaci funkce vzhledem k $y$, definujeme $y$ konstantou: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Pokud nemůžete svůj problém vyřešit, pošlete nám jej. Poskytneme podrobné řešení. Budete moci sledovat průběh výpočtu a získávat informace. To vám pomůže získat známku od učitele včas!

Odpovědět

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

Příklad 2

Najděte parciální derivace funkce druhého řádu $ z = e^(xy) $

Řešení

Nejprve musíte najít první derivace, a když je budete znát, můžete najít derivace druhého řádu. Nechť $y$ je konstanta: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ano^(xy) $$ Nyní nastavíme $ x $ na konstantní hodnotu: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Když známe první derivace, najdeme podobně i druhou. Nastavit $y$ na konstantu: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Nastavíme $ x $ na konstantu: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Nyní zbývá jen najít smíšený derivát. Můžete rozlišit $ z"_x $ $ y $ a $ z"_y $ můžete odlišit $ x $, protože podle věty $ z""_(xy) = z""_(yx) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

Odpovědět

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

Příklad 4

Nechť $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ definuje implicitní funkci $ F(x,y,z) = 0 $. Najděte parciální derivace prvního řádu.

Řešení

Funkci zapíšeme ve formátu: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ a najdeme derivace: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Odpovědět

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Pokračujeme všemi oblíbeným tématem matematické analýzy – derivacemi. V tomto článku se naučíme, jak najít parciální derivace funkce tří proměnných: první derivace a druhé derivace. Co musíte umět a umět, abyste látku zvládli? Věřte nebo ne, za prvé musíte být schopni najít „obyčejné“ derivace funkce jedné proměnné – na vysoké nebo alespoň průměrné úrovni. Pokud je to s nimi opravdu těžké, začněte lekcí Jak najít derivát? Za druhé, je velmi důležité přečíst si článek a pochopit a vyřešit, pokud ne všechny, tak většinu příkladů. Pokud se to již stalo, kráčejte se mnou sebevědomou chůzí, bude to zajímavé, dokonce si to užijete!

Metody a principy hledání parciální derivace funkce tří proměnných jsou vlastně velmi podobné parciálním derivacím funkcí dvou proměnných. Připomínám, že funkce dvou proměnných má tvar , kde „x“ a „y“ jsou nezávislé proměnné. Geometricky představuje funkce dvou proměnných určitý povrch v našem trojrozměrném prostoru.

Funkce tří proměnných má tvar a proměnné se nazývají nezávislýproměnné nebo argumenty, proměnná se nazývá závislá proměnná nebo funkce. Například: – funkce tří proměnných

A teď něco málo o sci-fi filmech a mimozemšťanech. Často můžete slyšet o čtyřrozměrném, pětirozměrném, desetirozměrném atd. prostory. Nesmysl nebo ne?
Z funkce tří proměnných totiž vyplývá fakt, že všechny věci se odehrávají ve čtyřrozměrném prostoru (ve skutečnosti existují čtyři proměnné). Grafem funkce tří proměnných je tzv hyperpovrch. Není možné si to představit, protože žijeme v trojrozměrném prostoru (délka/šířka/výška). Abyste se se mnou nenudili, nabízím kvíz. Položím pár otázek a každý, kdo má zájem, může zkusit odpovědět:

– Existuje na světě čtvrtý, pátý atd.? měření ve smyslu filištínského chápání prostoru (délka/šířka/výška)?

– Je možné postavit čtyřrozměrný, pětirozměrný atd. prostor v širokém slova smyslu? Tedy uvést příklad takového prostoru v našem životě.

– Je možné cestovat do minulosti?

– Je možné cestovat do budoucnosti?

– Existují mimozemšťané?

U jakékoli otázky si můžete vybrat jednu ze čtyř odpovědí:
Ano / Ne (věda to zakazuje) / Věda to nezakazuje / Nevím

Kdo správně odpoví na všechny otázky, s největší pravděpodobností bude mít nějaký předmět ;-)

V průběhu lekce budu postupně rozdávat odpovědi na otázky, nenechte si ujít příklady!

Vlastně letěli. A hned dobrá zpráva: pro funkci tří proměnných platí pravidla diferenciace a tabulka derivací. Proto musíte být dobří v jednání s „obyčejnými“ derivace funkcí jedna proměnná. Rozdílů je velmi málo!

Příklad 1

Řešení: Není těžké uhodnout - pro funkci tří proměnných existují tři parciální derivace prvního řádu, které se označují takto:

Nebo – částečná derivace vzhledem k „x“;
nebo – částečná derivace vzhledem k „y“;
nebo – částečná derivace vzhledem k „zet“.

Symbol s prvočíslem je běžnější, ale kompilátoři sbírek a školicích příruček opravdu rádi používají těžkopádné symboly pro problémy - tak se neztraťte! Možná ne každý ví, jak správně číst tyto „obávané zlomky“ nahlas. Příklad: měl by být znít takto: „de u po de x.“

Začněme s derivací vzhledem k "x": . Když najdeme parciální derivaci vzhledem k , pak proměnné A jsou považovány za konstanty (konstantní čísla). A derivace jakékoli konstanty, ó, milosti, se rovná nule:

Okamžitě věnujte pozornost dolnímu indexu - nikdo vám nezakazuje označit, že jsou konstanty. Je to ještě pohodlnější; začátečníkům doporučuji používat právě takový záznam, je menší riziko zmatení.

(1) Využíváme vlastnosti linearity derivace, zejména posuneme všechny konstanty za znaménko derivace. Vezměte prosím na vědomí, že ve druhém členu není potřeba konstantu odstraňovat: protože „Y“ je konstanta, je to také konstanta. V termínu jsou „obyčejná“ konstanta 8 a konstanta „zet“ vyjmuty z derivačního znaménka.

(2) Najdeme nejjednodušší derivace, přičemž nezapomeneme, že jsou to konstanty. Dále pročešeme odpověď.

Parciální derivace. Když najdeme parciální derivaci vzhledem k „y“, pak proměnné A jsou považovány za konstanty:

(1) Využíváme vlastnosti linearity. A znovu si všimněte, že členy , jsou konstanty, což znamená, že z odvozeného znaménka není třeba nic vyjímat.

(2) Najděte derivace a nezapomínejte, že jsou to konstanty. Dále odpověď zjednodušíme.

A nakonec parciální derivace. Když najdeme parciální derivaci vzhledem k „zet“, pak proměnné A jsou považovány za konstanty:

Obecné pravidlo zřejmé a nenáročné: Když najdeme parciální derivaciz jakéhokoli důvodu tedy nezávislá proměnnádva další nezávislé proměnné jsou považovány za konstanty.

Při plnění těchto úkolů byste měli být velmi opatrní, zejména Nemůžete ztratit předplatné(které udávají, která proměnná se používá k diferenciaci). Ztráta indexu by byla HRUBOU NESPRÁVOU. Hmmm…. Je legrační, když je po takovém zastrašování nechám někde projít)

Příklad 2

Najděte parciální derivace prvního řádu funkce tří proměnných

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Dva uvažované příklady jsou poměrně jednoduché a po vyřešení několika podobných problémů si je zvykne řešit ústně i čajník.

Abychom se zbavili stresu, vraťme se k první otázce kvízu: Existuje na světě čtvrtá, pátá atd.? měření ve smyslu filištínského chápání prostoru (délka/šířka/výška)?

Správná odpověď: Věda to nezakazuje. Všechny základní matematické axiomatiky, věty, matematický aparát jsou krásné a konzistentní pracovat v prostoru jakékoli dimenze. Je možné, že někde ve Vesmíru existují hyperplochy mimo kontrolu naší mysli, například čtyřrozměrná hyperplocha, která je definována funkcí tří proměnných. Nebo jsou možná hyperplochy vedle nás nebo dokonce my jsme přímo v nich, jde jen o to, že naše vize, ostatní smysly a vědomí jsou schopny vnímat a chápat pouze tři dimenze.

Vraťme se k příkladům. Ano, pokud je někdo hodně nabitý kvízem, je lepší si přečíst odpovědi na následující otázky poté, co se naučíte najít parciální derivace funkce tří proměnných, jinak vám to v průběhu článku vyfouknu =)

Kromě nejjednodušších příkladů 1 a 2 jsou v praxi úkoly, které lze nazvat malým hlavolamem. Takové příklady mi k mému zklamání zmizely z dohledu, když jsem lekci vytvořil Parciální derivace funkce dvou proměnných. Pojďme to dohnat:

Příklad 3

Řešení: Zdá se, že „všechno je jednoduché“, ale první dojem klame. Při hledání parciálních odvozenin budou mnozí hádat čajové lístky a dělat chyby.

Podívejme se na příklad důsledně, jasně a srozumitelně.

Začněme parciální derivací vzhledem k "x". Když najdeme parciální derivaci vzhledem k „x“, proměnné jsou považovány za konstanty. Exponent naší funkce je tedy také konstanta. Pro figuríny doporučuji následující řešení: v konceptu změňte konstantu na konkrétní kladné celé číslo, například „pět“. Výsledkem je funkce jedné proměnné:
nebo to můžete napsat i takto:

Tento Napájení funkce s komplexní bází (sinus). Autor:

Nyní si to připomínáme takto:

V konečné fázi by samozřejmě mělo být řešení napsáno takto:

Najdeme parciální derivaci vzhledem k „y“, považujeme je za konstanty. Pokud je „x“ konstanta, pak je také konstanta. Na konceptu uděláme stejný trik: nahradit například 3, „Z“ - nahradit stejným „pět“. Výsledkem je opět funkce jedné proměnné:

Tento orientační funkce s komplexním exponentem. Podle pravidlo diferenciace komplexních funkcí:

Nyní si připomeňme naši náhradu:

Tím pádem:

Na poslední stránce by samozřejmě měl design vypadat hezky:

A zrcadlový případ s parciální derivací vzhledem k „zet“ ( – konstanty):

S určitými zkušenostmi lze analýzu provést mentálně.

Dokončíme druhou část úkolu – sestavte diferenciál prvního řádu. Je to velmi jednoduché, analogicky s funkcí dvou proměnných je diferenciál prvního řádu zapsán pomocí vzorce:

V tomto případě:

A to je podnikání. Všiml jsem si, že v praktických úlohách se vyžaduje, aby se úplný diferenciál 1. řádu pro funkci tří proměnných konstruoval mnohem méně často než pro funkci dvou proměnných.

Vtipný příklad, jak to vyřešit sami:

Příklad 4

Najděte parciální derivace prvního řádu funkce tří proměnných a sestrojte úplný diferenciál prvního řádu

Úplné řešení a odpověď na konci lekce. Pokud narazíte na nějaké potíže, použijte diskutovaný algoritmus „Chaynikovsky“, zaručeně pomůže. A další užitečný tip - nespěchej. Ani já nedokážu takové příklady rychle vyřešit.

Odbočme a podívejme se na druhou otázku: Je možné postavit čtyřrozměrný, pětirozměrný atd. prostor v širokém slova smyslu? Tedy uvést příklad takového prostoru v našem životě.

Správná odpověď: Ano. Navíc je to velmi snadné. Například k délce/šířce/výšce přidáme čtvrtý rozměr – čas. Populární čtyřrozměrný časoprostor a známá teorie relativity, úhledně ukradená Einsteinem Lobačevskému, Poincarému, Lorentzovi a Minkowskému. Ne každý to také ví. Proč Einstein získal Nobelovu cenu? Ve vědeckém světě došlo k hroznému skandálu a Nobelova komise formulovala zásluhy plagiátora přibližně takto: „Za jeho celkový přínos k rozvoji fyziky. Tak to je vše. Značka studenta C Einsteina je čistá propagace a PR.

K uvažovanému čtyřrozměrnému prostoru je snadné přidat pátou dimenzi, například: atmosférický tlak. A tak dále, tak dále, tak dále, tolik rozměrů, kolik určíte ve svém modelu – tolik jich bude. V nejširším slova smyslu žijeme ve vícerozměrném prostoru.

Podívejme se na několik typických úkolů:

Příklad 5

Najděte parciální derivace prvního řádu v bodě

Řešení:Úkol v této formulaci se v praxi často vyskytuje a zahrnuje následující dvě akce:
– potřebujete najít parciální derivace prvního řádu;
– potřebujete vypočítat hodnoty parciálních derivací 1. řádu v bodě.

rozhodujeme se:

(1) Před námi je komplexní funkce a v prvním kroku bychom měli vzít derivaci arkustangenu. V tomto případě ve skutečnosti klidně použijeme tabulkový vzorec pro derivaci arkustangens. Podle pravidlo diferenciace komplexních funkcí výsledek je třeba vynásobit derivací vnitřní funkce (vložení): .

(2) Využíváme vlastnosti linearity.

(3) A vezmeme zbývající derivace, přičemž nezapomeneme, že jsou to konstanty.

Podle podmínek zadání je nutné v bodě najít hodnotu nalezené parciální derivace. Dosadíme souřadnice bodu do nalezené derivace:

Výhodou této úlohy je skutečnost, že další parciální derivace jsou nalezeny podle velmi podobného schématu:

Jak vidíte, šablona řešení je téměř stejná.

Vypočítejme hodnotu nalezené parciální derivace v bodě:

A nakonec derivace s ohledem na „zet“:

Připraveno. Řešení mohlo být formulováno jiným způsobem: nejprve najděte všechny tři parciální derivace a poté vypočítejte jejich hodnoty v bodě. Zdá se mi však, že výše uvedená metoda je pohodlnější - stačí najít parciální derivaci a okamžitě, aniž byste opustili pokladnu, vypočítat její hodnotu v bodě.

Je zajímavé poznamenat, že geometricky je bod velmi reálným bodem v našem trojrozměrném prostoru. Hodnoty funkce a derivace jsou již čtvrtým rozměrem a nikdo neví, kde je geometricky umístěn. Jak se říká, nikdo nelezl po Vesmíru s metrem a nekontroloval.

Protože je filozofické téma opět na vzestupu, zamysleme se nad třetí otázkou: Je možné cestovat do minulosti?

Správná odpověď: Ne. Cestování do minulosti je v rozporu s druhým termodynamickým zákonem o nevratnosti fyzikálních procesů (entropie). Nepotápějte se tedy prosím do bazénu bez vody, událost lze přehrát pouze na videu =) Ne nadarmo lidová moudrost přišla s opačným každodenním zákonem: „Dvakrát měř, jednou řež.“ I když ve skutečnosti je smutné, že čas je jednosměrný a nevratný, nikdo z nás zítra mladší nebude. A různé sci-fi filmy jako „Terminátor“ jsou z vědeckého hlediska úplný nesmysl. Je také absurdní z filozofického hlediska, když Efekt, vracející se do minulosti, může zničit svou vlastní Příčinu. .

S derivátem „zet“ je to zajímavější, i když je to stále téměř stejné:

(1) Vyjmeme konstanty ze znaménka derivace.

(2) Zde je opět součin dvou funkcí, z nichž každá závisí z „živé“ proměnné „zet“. V zásadě můžete použít vzorec pro derivaci kvocientu, ale je jednodušší jít jinou cestou - najít derivaci produktu.

(3) Derivát je tabulkový derivát. Druhý člen obsahuje již známou derivaci komplexní funkce.

Příklad 9

Najděte parciální derivace prvního řádu funkce tří proměnných

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Přemýšlejte o tom, jak racionálněji najít tu či onu parciální derivaci. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Než přejdeme k závěrečným příkladům lekce a podíváme se na ně parciální derivace druhého řádu funkce tří proměnných, všechny opět rozveselím čtvrtou otázkou:

Je možné cestovat do budoucnosti?

Správná odpověď: Věda to nezakazuje. Paradoxně neexistuje žádný matematický, fyzikální, chemický či jiný přírodovědný zákon, který by zakazoval cestování do budoucnosti! Zdá se to jako nesmysl? Ale téměř každý v životě měl předtuchu (a nepodloženou žádnými logickými argumenty), že se ta či ona událost stane. A stalo se! Kde se informace vzaly? Z budoucnosti? Sci-fi filmy o cestování do budoucnosti a mimochodem ani předpovědi všelijakých věštců a jasnovidců nelze nazvat takovým nesmyslem. Alespoň to věda nevyvrátila. Všechno je možné! Takže když jsem byl ve škole, CD a ploché monitory z filmů mi připadaly neuvěřitelné.

Slavná komedie „Ivan Vasiljevič mění povolání“ je napůl fikcí (maximálně). Žádný vědecký zákon nezakazoval Ivanu Hroznému být v budoucnosti, ale je nemožné, aby dvě papriky skončily v minulosti a vykonávaly povinnosti krále.