Физика колебательные движения формулы. Механические колебания. Превращение энергии в колебательных сиcтемах

4.2. Понятия и определения раздела «колебания и волны»

Уравнение гармонических колебаний и его решение:

, x=Acos(ω 0 t+ α) ,

A – амплитуда колебаний;

α – начальная фаза колебаний.

Период колебаний материальной точки, совершающей колебаний под действием силы упругости:

где m – масса материальной точки;

k – коэффициент жесткости.

Период колебаний математического маятника:

где l – длина маятника;

g = 9,8 м/с 2 – ускорение свободного падения.

Амплитуда колебаний, получаемых при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний:

где A 1 и А 2 – амплитуды слагаемых колебаний;

φ 1 и φ 2 – начальные фазы слагаемых колебаний.

Начальная фаза колебаний, получаемых при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний:

.

Уравнение затухающих колебаний и его решение:

, ,

– частота затухающих колебаний,

здесь ω 0 – собственная частота колебаний.

Логарифмический декремент затухания:

где β – коэффициент затухания;

– период затухающих колебаний.

Добротность колебательной системы:

где θ – логарифмический декремент затухания

Уравнение вынужденных колебаний и его установившееся решение:

, x=A cos(ωt- φ),

где F 0 – амплитудное значение силы;

– амплитуда затухающих колебаний;

φ= – начальная фаза.

Резонансная частота колебаний:

,

где ω 0 – собственная циклическая частота колебаний;

β – коэффициент затухания.

Затухающие электромагнитные колебания в контуре, состоящем из емкости C , индуктивности L и сопротивления R :

,

где q – заряд на конденсаторе;

q m – амплитудное значение заряда на конденсаторе;

β =R /2L – коэффициент затухания,

здесь R – сопротивление контура;

L – индуктивность катушки;

– циклическая частота колебаний;

здесь ω 0 – собственная частота колебаний;

α – начальная фаза колебаний.

Период электромагнитных колебаний:

,

где С – емкость конденсатора;

L – индуктивность катушки;

R – сопротивление контура.

Если сопротивление контура мало, что (R /2L ) 2 <<1/LC , то период колебаний:

Длина волны:

где v – скорость распространения волны;

T – период колебаний.

Уравнение плоской волны:

ξ = A cos (ωt-kx),

где A – амплитуда;

ω – циклическая частота;

– волновое число.

Уравнение сферической волны:

,

где A – амплитуда;

ω – циклическая частота;

k – волновое число;

r – расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды.

? Свободные гармонические колебания в контуре

Идеальный контур – электрическая цепь, состоящая из последовательно соединенного конденсатора емкостью С и катушки индуктивности L. По гармоническому закону будут меняться напряжение на обкладках конденсатора и ток в катушке индуктивности.

? Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники, их периоды колебаний

Гармонический осциллятор- любая физическая система, совершающая колебания. Классические осцилляторы - пружинный, физический и математический маятники. Пружинный маятник - груз массой m , подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы. Т = . Физический маятник - твердое тело произвольной формы, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести. Т = . Математический маятник – изолированная система, состоящая из материальной точки массой m , подвешенной на нерастяжимой невесомой нити длиной L , и колеблющейся под действием силы тяжести. Т = .

? Свободные незатухающие механические колебания (уравнение, скорость, ускорение, энергия). Графическое изображение гармонических колебаний.

Колебания называются свободными, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Величина меняется по закону синуса или косинуса. , S - смещение от положения равновесия, А –амплитуда, w 0 - циклическая частота, –начальная фаза колебаний. Скорость , ускорение . Энергия полная – Е = . Графически – с помощью синусоиды или косинусоиды.

? Понятие о колебательных процессах. Гармонические колебания и их характеристики. Период, амплитуда, частота и фаза колебаний. Графическое изображение гармонических колебаний.

Периодические процессы, повторяющиеся со временем, называют колебательными. Периодические колебания, при которых координата тела меняется со временем по закону синуса или косинуса, называются гармоническими. Период - время одного колебания. Амплитуда – максимальное смещение точки от положения равновесия. Частота – число полных колебаний в единицу времени. Фаза - величина, стоящая под знаком синуса или косинуса. Уравнение: , здесь S - величина, характеризующая состояние колеблющейся системы, - циклическая частота. Графически – с помощью синусоиды или косинусоиды.

? Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение этих колебаний. Логарифмический декремент затухания, время релаксации, добротность.

Колебания, амплитуда которых со временем уменьшается, например, за счет силы трения. Уравнение: , здесь S - величина, характеризующая состояние колеблющейся системы, - циклическая частота, -коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания , где N – число колебаний, совершенных за время уменьшения амплитуды в N раз. Время релаксации t- в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Добротность Q= .

? Незатухающие вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение этих колебаний. Что называют резонансом? Амплитуда и фаза вынужденных колебаний.

Если потери энергии колебаний, приводящие к их затуханию, полностью компенсировать, устанавливаются незатухающие колебания. Уравнение: . Здесь правая часть – меняющееся по гармоническому закону внешнее воздействие. Если собственная частота колебаний системы совпадает с внешней, имеет место резонанс - резкое возрастание амплитуды системы. Амплитуда , .

? Опишите сложение колебаний одинакового направления и одинаковой частоты, взаимоперпендикулярных колебаний. Что такое биения?

Амплитуда результирующего колебания, получающегося при сложении двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты , здесь А – амплитуды, j - начальные фазы. Начальная фаза результирующего колебания . Взаимоперпендикулярные колебания – уравнение траектории , здесь А и В амплитуды складываемых колебаний, j-разность фаз.

? Охарактеризуйте релаксационные колебания; автоколебания.

Релаксационные – автоколебания, резко отличающиеся по форме от гармонических, благодаря значительному рассеянию энергии в автоколебательных системах (трение в механических системах). Автоколебания – незатухающие колебания, поддерживаемые внешними источниками энергии при отсутствии внешней переменной силы. Отличие от вынужденных – частота и амплитуда автоколебаний определяются свойствами самой колебательной системы. Отличие от свободных колебаний – отличаются независимостью амплитуды от времени и от начального кратковременного воздействия, возбуждающего процесс колебаний. Пример автоколебательной системы –часы.

? Волны (основные понятия). Продольные и поперечные волны. Стоячая волна. Длина волны, связь ее с периодом и частотой.

Процесс распространения колебаний в пространстве называют волной. Направление переноса волной энергии колебаний – это направление движения волны. Продольная – колебание частиц среды происходит в направлении распространения волны. Поперечная - колебания частиц среды происходит перпендикулярно направлению распространения волны. Стоячая волна - образуется при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами, а в случае поперечных волн и одинаковой поляризацией. Длина волны - расстояние, на которое волна распространяется за один период. ( длина волны, v - скорость волны, Т - период колебаний)

? Принцип суперпозиции (наложения) волн. Групповая скорость и ее связь с фазовой скоростью.

Принцип суперпозиции – при распространении в линейной среде нескольких волн каждая распространяется так, будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов. Групповая скорость – скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени в пространстве локализованный волновой пакет. Скорость перемещения фазы волны – фазовая скорость. В недиспергированной среде они совпадают.

? Электромагнитная волна и ее свойства. Энергия электромагнитных волн.

Электромагнитная волна – электромагнитные колебания, распространяющиеся в пространстве. Экспериментально получены Герцем в 1880 г. Свойства- могут распространяться в средах и вакууме, в вакууме равна с, в средах меньше, поперечны, E и B взаимноперпендикулярны и перпендикулярны направлению распространения. Интенсивность увеличивается с ростом ускорения излучающей заряженной частицы, в определенных условиях проявляются типичные волновые свойства – дифракции и пр. Объемная плотность энергии .

Оптика

Основные формулы оптики

Скорость света в среде:

где c – скорость света в вакууме;

n – показатель преломления среды.

Оптическая длина пути световой волны:

L = ns ,

где s – геометрическая длина пути световой волны в среде с показателем преломления n.

Оптическая разность хода двух световых волн:

∆ = L 1 – L 2 .

Зависимость разности фаз от оптической разности хода световых волн:

где λ – длина световой волны.

Условие максимального усиления света при интерференции:

∆ = k λ ( = 0, 1, 2, …) .

Условие максимального ослабления света:

Оптическая разность хода световых волн, возникающая при отражении монохроматического света от тонкой пленки:

∆ = 2d ,

где d – толщина пленки;

n – показатель преломления пленки;

I i – угол преломления света в пленке.

Радиус светлых колец Ньютона в отраженном свете:

r k = , (k = 1, 2, 3, …),

где k – номер кольца;

R – радиус кривизны.

Радиус темных колец Ньютона в отраженном свете:

r k = .

Угол φ отклонения лучей, соответствующий максимуму (светлая полоса) при дифракции на одной щели, определяется из условия

a sinφ = (k = 0, 1, 2, 3, … ),

где a – ширина щели;

k – порядковый номер максимума.

Угол φотклонения лучей, соответствующий максимуму (светлая полоса) при дифракции света на дифракционной решетке, определяется из условия

d sinφ = (k = 0, 1, 2, 3, …),

где d – период дифракционной решетки.

Разрешающая способность дифракционной решетки:

R = = kN ,

где ∆λ – наименьшая разность длин волн двух соседних спектральных линий (λ и λ+∆λ), при которой эти линии могут быть видны раздельно в спектре, полученном посредством данной решетки;

N – полное число щелей решетки.

Формула Вульфа – Брэггов:

2d sin θ = κ λ,

где θ – угол скольжения (угол между направлением параллельного пучка рентгеновского излучения, падающего на кристалл, и атомной плоскостью в кристалле);

d – расстояние между атомными плоскостями кристалла.

Закон Брюстера:

tg ε B = n 21 ,

где ε B – угол падения, при котором отразившийся от диэлектрика луч полностью поляризован;

n 21 – относительный показатель преломления второй среды относительно первой.

Закон Малюса:

I = I 0 cos 2 α,

где I 0 – интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор;

I – интенсивность этого света после анализатора;

α – угол между направлением колебаний электрического вектора света, падающего на анализатор, и плоскостью пропускания анализатора (если колебания электрического вектора падающего света совпадают с этой плоскостью, то анализатор пропускает данный свет без ослабления).

Угол поворота плоскости поляризации монохроматического света при прохождении через оптически активное вещество:

а) φ = αd (в твердых телах),

где α – постоянная вращения;

d – длина пути, пройденного светом в оптически активном веществе;

б) φ = [α]pd (в растворах),

где [α] – удельное вращение;

p – массовая концентрация оптически активного вещества в растворе.

Давление света при нормальном падении на поверхность:

,

где Е е – энергетическая освещенность (облученность);

ω – объемная плотность энергии излучения;

ρ– коэффициент отражения.

4.2. Понятия и определения раздела «оптика»

? Интерференции волн. Когерентность. Условие максимума и минимума.

Интерференция – взаимное усиление или ослабление когерентных волн при их наложении (когерентные – имеющие одинаковую длину и постоянную разность фаз в точке их наложения).

Максимум ;

минимум .

Здесь D-оптическая разность хода, l-длина волны.

? Принцип Гюйгенса-Френеля. Явление дифракции. Дифракция на щели, дифракционная решетка.

Принцип Гюйгенса-Френеля –каждая точка пространства, которой достигла в данный момент времени распространяющаяся волна, становится источником элементарных когерентных волн. Дифракция – огибание волнами препятствий, если размер препятствия сравним с длиной волны, отклонения света от прямолинейного распространения. Дифракция на щели – в параллельных лучах. На препятствие падает плоская волна, дифракционная картина наблюдается на экране, который находится в фокальной плоскости собирающей линзы, установленной на пути прошедшего через препятствие света. На экране получается «дифракционное изображение» удаленного источника света. Дифракционная решетка – система параллельных щелей равной ширины, лежащих в одной плоскости, разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками. Используется для разложения света в спектр и измерения длин волн.

? Дисперсия света (нормальная и аномальная). Закон Бугера. Смысл коэффициента поглощения.

Дисперсия света – зависимость абсолютного показателя преломления вещества n от частоты ν (или длины волны λ) падающего на вещество света (). Скорость света в вакууме не зависит от частоты, поэтому в вакууме дисперсии нет. Нормальная дисперсия света - если показатель преломления монотонно возрастает с увеличением частоты (убывает с увеличением длины волны). Аномальная дисперсия – если показатель преломления монотонно убывает с увеличением частоты (возрастает с увеличением длины волны). Следствие дисперсии – разложение белого света в спектр при его преломлении в веществе. Поглощение света в веществе описывается законом Бугера

I 0 и I – интенсивности плоской монохроматической световой волны на входе и выходе слоя поглощающегося вещества толщиной х , a - коэффициент поглощения, зависит от длины волны, для разных веществ различен.

? Что называют поляризацией волн? Получение поляризованных волн. Закон Малюса.

Поляризация заключается в приобретении преимущественной ориентации направления колебаний в поперечных волнах. Упорядоченность в ориентации векторов напряженностей электрических и магнитных полей электромагнитной волны в плоскости, перпендикулярной направлению распространения светового луча. E , B -перпендикулярны. Естественный свет можно преобразовать в поляризованный с помощью поляризаторов. Закон Малюса (I 0 – прошедший через анализатор, I – прошедший через поляризатор).

? Корпускулярно – волновой дуализм. Гипотеза де Бройля.

Исторически были выдвинуты две теории света: корпускулярная – светящиеся тела испускают частицы-корпускулы (доказательство – излучение черного тела, фотоэффект) и волновая – светящееся тело вызывает в окружающей среде упругие колебания, распространяющиеся подобно звуковым волнам в воздухе (доказательство – явления интерференции, дифракции, поляризации света). Гипотеза Бройля – корпускулярно-волновые свойства присущи не только фотонам, но и частицам, имеющим массу покоя – электронам, протонам, нейтронам, атомам, молекулам. ? Фотоэффект. Уравнение Эйнштейна.

Фотоэффект- явление взаимодействия света с веществом, в результате которого энергия фотонов передается электронам вещества. Уравнение: (энергия фотона расходуется на работу выхода электрона и сообщение электрону кинетической энергии)

Любые колебания представляют собой движение с переменным ускорением. Отклонение, скорость и ускорение в этом случае являются функциями времени. Для любых колебаний характерна периодичность, т.е. движение повторяется по истечении времени T , называемого длительностью или периодом колебания. Колебания возникают в тех случаях, когда системе способной совершать колебания, сообщается энергия.
Необходимо различать:

Незатухающие колебания

Незатухающие колебания, происходят с постоянной амплитудой Y m . Предполагается, что в данном случае подводимая энергия сохраняется. Приближенно такие условия имеют место при малых потерях энергии и малом времени наблюдения. Для получения действительно незатухающих колебаний необходимо регулярно восполнять теряемую энергию.

Затухающие колебания

Затухающие колебания, постепенно уменьшают свою амплитуду Y m . Без пополнения энергии любые колебания затухают.

Важные характеристики колебаний

Гармонические колебания происходят по закону:

x = A cos(ωt + φ 0),

где x – смещение частицы от положения равновесия, А – амплитуда колебаний, ω – круговая частота, φ 0 – начальная фаза, t – время.

Период колебаний T = .

Скорость колеблющейся частицы:

υ = = – A ω sin (ωt + φ 0),

ускорение a = = – A ω 2 cos (ωt + φ 0).

Кинетическая энергия частицы, совершающей колебательное движение: E k = =
sin 2 (ωt + φ 0).

Потенциальная энергия:

E n =
cos 2 (ωt + φ 0).

Периоды колебаний маятников

– пружинного T =
,

где m – масса груза, k – коэффициент жесткости пружины,

– математического T = ,

где l – длина подвеса, g – ускорение свободного падения,

– физического T =
,

где I – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, m – масса маятника, l – расстояние от точки подвеса до центра масс.

Приведенная длина физического маятника находится из условия: l np = ,

обозначения те же, что для физического маятника.

При сложении двух гармонических колебаний одной частоты и одного направления получается гармоническое колебание той же частоты с амплитудой:

A = A 1 2 + A 2 2 + 2A 1 A 2 cos(φ 2 – φ 1)

и начальной фазой: φ = arctg
.

где А 1 , A 2 – амплитуды, φ 1 , φ 2 – начальные фазы складываемых колебаний.

Траектория результирующего движения при сложении взаимноперпендикулярных колебаний одной частоты:

+ – cos (φ 2 – φ 1) = sin 2 (φ 2 – φ 1).

Затухающие колебания происходят по закону:

x = A 0 e - β t cos(ωt + φ 0),

где β – коэффициент затухания, смысл остальных параметров тот же, что для гармонических колебаний, А 0 – начальная амплитуда. В момент времени t амплитуда колебаний:

A = A 0 e - β t .

Логарифмическим декрементом затухания называют:

λ = ln
= βT ,

где Т – период колебания: T = .

Добротностью колебательной системы называют:

Уравнение плоской бегущей волны имеет вид:

y = y 0 cos ω(t ± ),

где у – смещение колеблющейся величины от положения равновесия, у 0 – амплитуда, ω – круговая частота, t – время, х – координата, вдоль которой распространяется волна, υ – скорость распространения волны.

Знак «+» соответствует волне, распространяющейся против оси X , знак «–» соответствует волне, распространяющейся по оси Х .

Длиной волны называют ее пространственный период:

λ = υ T ,

где υ –скорость распространения волны, T –период распространяющихся колебаний.

Уравнение волны можно записать:

y = y 0 cos 2π (+).

Стоячая волна описывается уравнением:

y = (2y 0 cos ) cos ωt.

В скобки заключена амплитуда стоячей волны. Точки с максимальной амплитудой называются пучностями,

x п = n ,

точки с нулевой амплитудой – узлами,

x у = (n + ) .

Примеры решения задач

Задача 20

Амплитуда гармонических колебаний равна 50 мм, период 4 с и начальная фаза . а) Записать уравнение этого колебания; б) найти смещения колеблющейся точки от положения равновесия при t =0 и при t = 1,5 с; в) начертить график этого движения.

Решение

Уравнение колебания записывается в виде x = a cos(t +  0).

По условию известен период колебаний. Через него можно выразить круговую частоту  = . Остальные параметры известны:

а) x = 0,05 cos(t + ).

б) Смещение x при t = 0.

x 1 = 0,05 cos= 0,05 = 0,0355 м.

При t = 1,5 c

x 2 = 0,05 cos( 1,5 + )= 0,05 cos  = – 0,05 м.

в) график функцииx =0,05cos (t + ) выглядит следующим образом:

Определим положение нескольких точек. Известны х 1 (0) и х 2 (1,5), а также период колебаний. Значит, через t = 4 c значение х повторяется, а через t = 2 c меняет знак. Между максимумом и минимумом посередине – 0 .

Задача 21

Точка совершает гармоническое колебание. Период колебаний 2 с, амплитуда 50 мм, начальная фаза равна нулю. Найти скорость точки в момент времени, когда ее смещение от положения равновесия равно 25 мм.

Решение

1 способ. Записываем уравнение колебания точки:

x = 0,05 cos  t , т. к.  = =.

Находим скорость в момент времени t :

υ = = – 0,05 cos  t.

Находим момент времени, когда смещение равно 0,025 м:

0,025 = 0,05 cos  t 1 ,

отсюда cos t 1 = , t 1 = . Подставляем это значение в выражение для скорости:

υ = – 0,05  sin = – 0,05  = 0,136 м/c.

2 способ. Полная энергия колебательного движения:

E =
,

где а – амплитуда,  – круговая частота, m – масса частицы.

В каждый момент времени она складывается из потенциальной и кинетической энергии точки

E k = , E п = , но k = m  2 , значит, E п =
.

Запишем закон сохранения энергии:

= +
,

отсюда получаем: a 2  2 = υ 2 +  2 x 2 ,

υ = 
= 
= 0,136 м/c.

Задача 22

Амплитуда гармонических колебаний материальной точки А = 2 см, полная энергия Е = 3∙10 -7 Дж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F = 2,25∙10 -5 Н?

Решение

Полная энергия точки, совершающей гармонические колебания, равна: E =
. (13)

Модуль упругой силы выражается через смещение точек от положения равновесия x следующим образом:

F = k x (14)

В формулу (13) входят масса m и круговая частота , а в (14) – коэффициент жесткости k . Но круговая частота связана с m и k :

 2 = ,

отсюда k = m  2 и F = m  2 x . Выразив m  2 из соотношения (13) получим: m  2 = , F = x .

Откуда и получаем выражение для смещения x : x = .

Подстановка числовых значений дает:

x =
= 1,5∙10 -2 м = 1,5 см.

Задача 23

Точка участвует в двух колебаниях с одинаковыми периодами и начальными фазами. Амплитуды колебаний А 1 = 3 см и А 2 = 4 см. Найти амплитуду результирующего колебания, если: 1) колебания происходят в одном направлении; 2) колебания взаимно перпендикулярны.

Решение

Если колебания происходят в одном направлении, то амплитуда результирующего колебания определится как:

где А 1 и А 2 – амплитуды складываемых колебаний,  1 и  2 –начальные фазы. По условию начальные фазы одинаковы, значит  2 –  1 = 0, а cos 0 = 1.

Следовательно:

A =
=
= А 1 +А ­ 2 = 7 см.

Если колебания взаимно перпендикулярны, то уравнение результирующего движения будет:

cos( 2 –  1) = sin 2 ( 2 –  1).

Так как по условию  2 –  1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0, то уравнение запишется в виде:
=0,

или
=0,

или
.

Полученное соотношение между x и у можно изобразить на графике. Из графика видно, что результирующим будет колебание точки на прямой MN . Амплитуда этого колебания определится как: A =
= 5 см.

Задача 24

Период затухающих колебаний Т =4 с, логарифмический декремент затухания  = 1,6 , начальная фаза равна нулю. Смещение точки при t = равно 4,5 см. 1) Написать уравнение этого колебания; 2) Построить график этого движения для двух периодов.

Решение

Уравнение затухающих колебаний с нулевой начальной фазой имеет вид:

x = A 0 e -  t cos2 .

Для подстановки числовых значений не хватает величин начальной амплитуды А 0 и коэффициента затухания .

Коэффициент затухания можно определить из соотношения для логарифмического декремента затухания:

 = Т .

Таким образом  = = = 0,4 с -1 .

Начальную амплитуду можно определить, подставив второе условие:

4,5 см = A 0
cos 2= A 0
cos =A 0
.

Отсюда находим:

A 0 = 4,5∙

(см) = 7,75 см.

Окончательно уравнение движения:

x = 0,0775
cost.

Задача 25

Чему равен логарифмический декремент затухания математического маятника, если за t = 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в два раза? Длина маятника l = 1 м.

Решение

Логарифмический декремент затухания можно найти из соотношения: = Т ,

где  – коэффициент затухания, Т – период колебаний. Собственная круговая частота математического маятника:

 0 =
= 3,13 с -1 .

Коэффициент затухания колебаний можно определить из условия: A 0 = A 0 e -  t ,

t = ln2 = 0,693 ,

 =
= 0,0116c -1 .

Поскольку  <<  0 , то в формуле  =
можно пренебречь по сравнению с  0 и период колебаний определить по формуле: T = = 2c.

Подставляем  и Т в выражение для логарифмического декремента затухания и получаем:

 = T = 0,0116 с -1 ∙ 2 с = 0,0232.

Задача 26

Уравнение незатухающих колебаний дано в виде x = 4 sin600 t см.

Найти смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии l = 75 см от источника колебаний, через t = 0,01 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний υ = 300 м/с.

Решение

Запишем уравнение волны, распространяющейся от данного источника: x = 0,04 sin 600 (t – ).

Находим фазу волны в данный момент времени в данном месте:

t – = 0,01 –= 0,0075 ,

600 ∙ 0,0075 = 4,5 ,

sin 4,5 = sin = 1.

Следовательно, смещение точки x = 0,04 м, т.е. на расстоянии l =75 см от источника в момент времени t = 0,01 c смещение точки максимально.

Список литературы

Волькенштейн В.С . Сборник задач по общему курсу физики. – СПб.: СпецЛит, 2001.

Савельев И.В . Сборник вопросов и задач по общей физике. – М.: Наука, 1998.

Гармонические колебания – колебания, совершаемые по законам синуса и косинуса. На следующем рисунке представлен график изменения координаты точки с течением времени по закону косинуса.

картинка

Амплитуда колебаний

Амплитудой гармонического колебания называется наибольшее значение смещения тела от положения равновесия. Амплитуда может принимать различные значения. Она будет зависеть от того, насколько мы сместим тело в начальный момент времени от положения равновесия.

Амплитуда определяется начальными условиями, то есть энергией сообщаемой телу в начальный момент времени. Так как синус и косинус могут принимать значения в диапазоне от -1 до 1, то в уравнении должен присутствовать множитель Xm, выражающий амплитуду колебаний. Уравнение движения при гармонических колебаниях:

x = Xm*cos(ω0*t).

Период колебаний

Период колебаний – это время совершения одного полного колебания. Период колебания обозначается буквой Т. Единицы измерения периода соответствуют единицам времени. То есть в СИ - это секунды.

Частота колебаний – количество колебаний совершенных в единицу времени. Частота колебаний обозначается буквой ν. Частоту колебаний можно выразить через период колебания.

ν = 1/Т.

Единицы измерения частоты в СИ 1/сек. Эта единица измерения получила название Герца. Число колебаний за время 2*pi секунд будет равняться:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

Частота колебаний

Данная величина называется циклической частотой колебаний. В некоторой литературе встречается название круговая частота. Собственная частота колебательной системы – частота свободных колебаний.

Частота собственных колебаний рассчитывается по формуле:

Частота собственных колебаний зависит от свойств материала и массы груза. Чем больше жесткость пружины, тем больше частота собственных колебаний. Чем больше масса груза, тем меньше частота собственных колебаний.

Эти два вывода очевидны. Чем более жесткая пружина, тем большее ускорение она сообщит телу, при выведении системы из равновесия. Чем больше масса тела, тем медленнее будет изменяться это скорость этого тела.

Период свободных колебаний :

T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)

Примечателен тот факт, что при малых углах отклонения период колебания тела на пружине и период колебания маятника не будут зависеть от амплитуды колебаний.

Запишем формулы периода и частоты свободных колебаний для математического маятника.

тогда период будет равен

T = 2*pi*√(l/g).

Данная формула будет справедлива лишь для малых углов отклонения. Из формулы видим, что период колебаний возрастает с увеличением длины нити маятника. Чем больше будет длина, тем медленнее тело будет колебаться.

От массы груза период колебаний совершенно не зависит. Зато зависит от ускорения свободного падения. При уменьшении g, период колебаний будет увеличиваться. Данное свойство широко используют на практике. Например, для измерения точного значения свободного ускорения.