Решение рациональных выражений. Основные сведения о рациональных выражениях и их преобразованиях. Определение и примеры рациональных дробей

Преобразование рациональных выражений

В этом уроке поработаем с рациональными выражениями. На конкретных примерах рассмотрим методы решения задач на преобразования рациональных выражений и доказательство связанных с ними тождеств.

Рациональное выражение - алгебраическое выражение, составленное из чисел, буквенных переменных, арифметических операций, возведения в натуральную степень, и знаков последовательности этих действий (скобок). Вместе со словосочетанием «рациональное выражение» в алгебре используют иногда термины «целое» или «дробное».

Например, выражения

являются и рациональными, и целыми.

Выражения

являются и рациональными, и дробными, т.к. в знаменателе находится выражение с переменной.

Не надо забывать, что дробь теряет смысл, если знаменатель обращается в нуль.

Основной целью урока будет приобретение опыта при решении задач на упрощение рациональных выражений.

Упрощение рациональных выражений — это применение тождественных преобразований, с целью упростить запись выражения (сделать короче и удобнее для дальнейшей работы).

Для преобразования рациональных выражений нам потребуются правила сложения (вычитания), умножения, деления и возведения в степень алгебраических дробей, все эти действия совершаются по тем же правилам, что и действия с обыкновенными дробями:

А также формулы сокращенного умножения:

При решении примеров по преобразованию рациональных выражений следует соблюдать следующий порядок действий: сначала выполняются действия в скобках, затем произведение/деление (либо возведение в степень), а затем действия сложения/вычитания.

Итак, рассмотрим пример 1:

необходимо упростить выражение

Во-первых, выполняем действия в скобках.

Приводим алгебраические дроби к общему знаменателю и осуществляем сложение (вычитание) дробей с одинаковыми знаменателями по правилам, записанным выше.

Используя формулу сокращенного выражения (а именно квадрат разности), полученное выражение принимает вид:

Во-вторых, по правилам умножения алгебраических дробей перемножаем числители и отдельно знаменатели:

А затем сокращаем полученное выражение:

В результате проведенных преобразований получаем простое выражение

Рассмотрим более сложный пример 2 преобразования рациональных выражений: необходимо доказать тождество:

Доказать тождество - это установить, что при всех допустимых значениях переменных его левая и правая части равны.

Доказательство:

Чтобы доказать данное тождество, необходимо преобразовать выражение в левой части. Для этого следует соблюдать порядок действий, изложенный выше: в первую очередь выполняются действия в скобках, затем умножение, а затем уже сложение.

Итак, действие 1:

выполнить сложение/вычитание выражения в скобке.

Для этого раскладываем на множители выражения в знаменателях дробей и приводим данные дроби к общему знаменателю.

Так в знаменателе первой дроби выносим за скобку 3, в знаменателе второй - выносим знак минус и по формуле сокращенного умножения раскладываем на два множителя, а в знаменателе третьей дроби выносим за скобку x.

Общим знаменателем этих трех дробей будет выражение

Действие 2:

выполнить умножение дроби

Для этого прежде следует разложить на множители числитель первой дроби и возвести эту дробь в степень 2.

А при умножении дробей выполнить соответствующее сокращение.

Действие 3:

Суммируем первую дробь исходного выражения и получившуюся дробь

Для этого сначала разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби и сократим:

Теперь остается только сложить полученные алгебраические дроби с разными знаменателями:

Таким образом, в результате 3-х действий и упрощения левой части тождества мы получили выражение из правой его части, а следовательно, доказали это тождество. Однако напомним, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменной x. Таковыми в данном примере являются любые значения x, кроме тех, которые обращают знаменатели дробей в нуль. Значит, допустимыми являются любые значения x, кроме тех, при которых выполняется хотя бы одно из равенств:

Недопустимыми будут значения:

Итак, на конкретных примерах мы рассмотрели решение задач на преобразования рациональных выражений и доказательство связанных с ними тождеств.

Список использованной литературы:

1. Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 9-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2007. – 215с.: ил.
2. Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.2. Задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.. – 8-е изд., – М.: Мнемозина, 2006 – 239с.
3. Алгебра. 8 класс. Контрольные работы для учащихся образовательных учреждений Л.А. Александрова под ред. А.Г. Мордковича 2-е изд., стер. - М.:Мнемозина 2009. - 40с.
4. Алгебра. 8 класс. Самостоятельные работы для учащихся образовательных учреждений: к учебнику А.Г. Мордковича, Л.А. Александрова под ред. А.Г. Мордковича. 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина 2013. - 112с.

Арифметическое действие, которое выполняется последним при подсчете значения выражения, является «главным».

То есть, если ты подставишь вместо букв какие-нибудь (любые) числа, и попытаешься вычислить значение выражения, то если последним действием будет умножение - значит, у нас произведение (выражение разложено на множители).

Если последним действием будет сложение или вычитание, это значит, что выражение не разложено на множители (а значит, сокращать нельзя).

Для закрепления реши самостоятельно несколько примеров:

Примеры:

Решения:

1. Надеюсь, ты не бросился сразу же сокращать и? Еще не хватало «сократить» единицы типа такого:

Первым действием должно быть разложение на множители:

4. Сложение и вычитание дробей. Приведение дробей к общему знаменателю.

Сложение и вычитание обычных дробей - операция хорошо знакомая: ищем общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители.

Давай вспомним:

Ответы:

1. Знаменатели и - взаимно простые, то есть у них нет общих множителей. Следовательно, НОК этих чисел равен их произведению. Это и будет общий знаменатель:

2. Здесь общий знаменатель равен:

3. Здесь первым делом смешанные дроби превращаем в неправильные, а дальше - по привычной схеме:

Совсем другое дело, если дроби содержат буквы, например:

Начнем с простого:

a) Знаменатели не содержат букв

Здесь все то же, что и с обычными числовыми дробями: находим общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители:

теперь в числителе можно приводить подобные, если есть, и раскладывать на множители:

Попробуй сам:

Ответы:

b) Знаменатели содержат буквы

Давай вспомним принцип нахождения общего знаменателя без букв:

· в первую очередь мы определяем общие множители;

· затем выписываем все общие множители по одному разу;

· и домножаем их на все остальные множители, не общие.

Чтобы определить общие множители знаменателей, сперва разложим их на простые множители:

Подчеркнем общие множители:

Теперь выпишем общие множители по одному разу и допишем к ним все необщие (не подчеркнутые) множители:

Это и есть общий знаменатель.

Вернемся к буквам. Знаменатели приводятся по точно такой же схеме:

· раскладываем знаменатели на множители;

· определяем общие (одинаковые) множители;

· выписываем все общие множители по одному разу;

· домножаем их на все остальные множители, не общие.

Итак, по порядку:

1) раскладываем знаменатели на множители:

2) определяем общие (одинаковые) множители:

3) выписываем все общие множители по одному разу и домножаем их на все остальные (неподчеркнутые) множители:

Значит, общий знаменатель здесь. Первую дробь нужно домножить на, вторую - на:

Кстати, есть одна хитрость:

Например: .

Видим в знаменателях одни и те же множители, только все с разными показателями. В общий знаменатель пойдут:

в степени

в степени

в степени

в степени.

Усложним задание:

Как сделать у дробей одинаковый знаменатель?

Давай вспомним основное свойство дроби:

Нигде не сказано, что из числителя и знаменателя дроби можно вычитать (или прибавлять) одно и то же число. Потому что это неверно!

Убедись сам: возьми любую дробь, например, и прибавь к числителю и знаменателю какое-нибудь число, например, . Что поучилось?

Итак, очередное незыблемое правило:

Когда приводишь дроби к общему знаменателю, пользуйся только операцией умножения!

Но на что же надо домножить, чтобы получить?

Вот на и домножай. А домножай на:

Выражения, которые невозможно разложить на множители будем называть «элементарными множителями».

Например, - это элементарный множитель. - тоже. А вот - нет: он раскладывается на множители.

Что скажешь насчет выражения? Оно элементарное?

Нет, поскольку его можно разложить на множители:

(о разложении на множители ты уже читал в теме « »).

Так вот, элементарные множители, на которые ты раскладываешь выражение с буквами - это аналог простых множителей, на которые ты раскладываешь числа. И поступать с ними будем таким же образом.

Видим, что в обоих знаменателях есть множитель. Он пойдет в общий знаменатель в степени (помнишь, почему?).

Множитель - элементарный, и он у них не общий, значит первую дробь на него придется просто домножить:

Еще пример:

Решение:

Предже, чем в панике перемножать эти знаменатели, надо подумать, как их разложить на множители? Оба они представляют :

Отлично! Тогда:

Еще пример:

Решение:

Как обычно, разложим знаменатели на множители. В первом знаменателе просто выносим за скобки; во втором - разность квадратов:

Казалось бы, общих множителей нет. Но если присмотреться, то и так похожи… И правда:

Так и напишем:

То есть получилось так: внутри скобки мы поменяли местами слагаемые, и при этом знак перед дробью поменялся на противоположный. Возьми на заметку, так поступать придется часто.

Теперь приводим к общему знаменателю:

Усвоил? Сейчас проверим.

Задачи для самостоятельного решения:

Ответы:

Тут надо вспомнить еще одну - разность кубов:

Обрати внимание, что в знаменателе второй дроби не формула «квадрат суммы»! Квадрат суммы выглядел бы так: .

А - это так называемый неполный квадрат суммы: второе слагаемое в нем - это произведение первого и последнего, а не удвоенное их произведение. Неполный квадрат суммы - это один из множителей в разложени разности кубов:

Что делать, если дробей аж три штуки?

Да то же самое! В первую очередь сделаем так, чтобы максимальное количество множителей в знаменателях было одинаковым:

Обрати внимание: если поменять знаки внутри одной скобки, знак перед дробью меняется на противоположный. Когда меняем знаки во второй скобке, знак перед дробью снова меняется на противоположный. В результате он (знак перед дробью) не изменился.

В общий знаменатель выписавыем полностью первый знаменатель, а потом дописываем к нему все множители, которые еще не написаны, из второго, а потом из третьего (и так далее, если дробей больше). То есть получается вот так:

Хм… С дробями-то понятно что делать. Но вот как быть с двойкой?

Все просто: ты ведь умеешь складывать дроби? Значит, надо сделать так, чтобы двойка стала дробью! Вспоминаем: дробь - это операция деления (числитель делится на знаменатель, если ты вдруг забыл). И нет ничего проще, чем разделить число на. При этом само число не изменится, но превратится в дробь:

То, что нужно!

5. Умножение и деление дробей.

Ну что же, самое сложное теперь позади. А впереди у нас самое простое, но при этом самое важное:

Порядок действий

Какой порядок действий при подсчете числового выражения? Вспомни, посчитав значение такого выражения:

Посчитал?

Должно получиться.

Итак, напоминаю.

Первым делом вычисляется степень.

Вторым - умножение и деление. Если умножений и делений одновременно несколько, делать их можно в любом порядке.

И напоследок выполняем сложение и вычитание. Опять же, в любом порядке.

Но: выражение в скобках вычисляется вне очереди!

Если несколько скобок умножаются или делятся друг на друга, вычисляем сначала выражение в каждой из скобок, а потом умножаем или дели их.

А если внутри скобок есть еще одни скобки? Ну давай подумаем: внутри скобок написано какое-то выражение. А при вычислении выражения в первую очередь надо делать что? Правильно, вычислять скобки. Ну вот и разобрались: сначала вычисляем внутренние скобки, потом все остальное.

Итак, порядок действий для выражения выше такой (красным выделено текущее дествие, то есть действие, которое выполняю прямо сейчас):

Хорошо, это все просто.

Но это ведь не то же самое, что выражение с буквами?

Нет, это то же самое! Только вместо арифметических действий надо делать алгебраические, то есть действия, описанные в предыдущем разделе: приведение подобных , сложение дробей, сокращение дробей и так далее. Единственным отличием будет действие разложения многочленов на множители (его мы часто применяем при работе с дробями). Чаще всего для разложения на множители нужно применять я или просто выносить общий множитель за скобки.

Обычно наша цель - представить выражение в виде произведения или частного.

Например:

Упростим выражение.

1) Первым упрощаем выражение в скобках. Там у нас разность дробей, а наша цель - представить ее как произведение или частное. Значит, приводим дроби к общему знаменателю и складываем:

Больше это выражение упростить невозможно, все множители здесь - элементарные (ты еще помнишь, что это значит?).

2) Получаем:

Умножение дробей: что может быть проще.

3) Теперь можно и сократить:

Ну вот и все. Ничего сложного, правда?

Еще пример:

Упрости выражение.

Сначала попробуй решить сам, и уж только потом посмотри решение.

Решение:

Перво-наперво определим порядок действий.

Сначала выполним сложение дробей в скобках, получится вместо двух дробей одна.

Потом выполним деление дробей. Ну и результат сложим с последней дробью.

Схематически пронумерую действия:

Теперь покажу весть процесс, подкрашивая текущее действие красным:

1. Если есть подобные, их надо немедленно привести. В какой бы момент у нас ни образовались подобные, их желательно приводить сразу.

2. То же самое касается сокращения дробей: как только появляется возможность сократить, ей надо воспользоваться. Исключение составляют дроби, которые ты складываешь или вычитаешь: если у них сейчас одинаковые знаменатели, то сокращение нужно оставить на потом.

Вот тебе задачи для самостоятельного решения:

И обещанная в самом начале:

Ответы:

Решения (краткие):

Если ты справился хотя бы с первыми тремя примерами, то тему ты, считай, освоил.

Теперь вперед к обучению!

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Базовые операции упрощения:

• Приведение подобных : чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.
• Разложение на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение и т.д.
• Сокращение дроби : числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
  1) числитель и знаменатель разложить на множители
  2) если в числителе и знаменателе есть общие множители , их можно вычеркнуть.

  ВАЖНО: сокращать можно только множители!

• Сложение и вычитание дробей:
  ;
• Умножение и деление дробей:
  ;

Любое дробное выражение (п. 48) можно записать в виде , где Р и Q - рациональные выражения, причем Q обязательно содержит переменные. Такую дробь - называют рациональной дробью.

Примеры рациональных дробей:

Основное свойство дроби выражается тождеством справедливым при условиях здесь - целое рациональное выражение. Это значит, что числитель и знаменатель рациональной дроби можно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, одночлен или многочлен.

Например, свойство дроби может быть использовано для перемены знаков у членов дроби. Если числитель и знаменатель дроби - умножить на -1, получим Таким образом, значение дроби не изменится, если одновременно изменить знаки у числителя и знаменателя. Если же изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то и дробь изменит свои знак:

Например,

60. Сокращение рациональных дробей.

Сократить дробь - это значит разделить числитель и знаменатель дроби на общий множитель. Возможность такого сокращения обусловлена основным свойством дроби.

Для того чтобы сократить рациональную дробь, нужно числитель и знаменатель разложить на множители. Если окажется, что числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь можно сократить. Если общих множителей нет, то преобразование дроби посредством сокращения невозможно.

Пример. Сократить дробь

Решение. Имеем

Сокращение дроби выполнено при условии .

61. Приведение рациональных дробей к общему знаменателю.

Общим знаменателем нескольких рациональных дробей называется целое рациональное выражение, которое делится на знаменатель каждой дроби (см. п. 54).

Например, общим знаменателем дробей и служит многочлен так как он делится и на и на и многочлен и многочлен и многочлен и т. д. Обычно берут такой общий знаменатель, что любой другой общий знаменатель делится на Еыбранный. Такой простейший знаменатель называют иногда наименьшим общим знаменателем.

В рассмотренном выше примере общий знаменатель равен Имеем

Приведение данных дробей к общему знаменателю достигнуто путем умножения числителя и знаменателя первой дроби на 2. а числителя и знаменателя второй дроби на Многочлены называются дополнительными множителями соответственно для первой и второй дроби. Дополнительный множитель для данной дроби равен частному от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби.

Чтобы несколько рациональных дробей привести к общему знаменателю, нужно:

1) разложить знаменатель каждой дроби на множители;

2) составить общий знаменатель, включив в него в качестве сомножителей все множители полученных в п. 1) разложений; если некоторый множитель имеется в нескольких разложениях, то он берется с показателем степени, равным наибольшему из имеющихся;

3) найтн дополнительные множители для каждой из дробей (для этого общий знаменатель делят на знаменатель дроби);

4) домножив числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель, привести дробн к общему знаменателю.

Пример. Привести к общему знаменателю дроби

Решение. Разложим знаменатели на множители:

В общий знаменатель надо включить следующие множители: и наименьшее общее кратное чисел 12, 18, 24, т. е. . Значит, общий знаменатель имеет вид

Дополнительные множители: для первой дроби для второй для третьей Значит, получаем:

62. Сложение и вычитание рациональных дробей.

Сумма двух (и вообще любого конечного числа) рациональных дробей с одинаковыми знаменателями тождественно равна дроби с тем же знаменателем и с числителем, равным сумме числителей складываемых дробей:

Аналогично обстоит дело в случае вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

Пример 1. Упростить выражение

Решение.

Для сложения или вычитания рациональных дробей с разными знаменателями нужно прежде всего привести дроби к общему знаменателю, а затем выполнить операции над полученными дробями с одинаковыми знаменателями.

Пример 2. Упростить выражение

Решение. Имеем

63. Умножение и деление рациональных дробей.

Произведение двух (и вообще любого конечного числа) рациональных дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель - произведению знаменателей перемножаемых дробей:

Частное от деления двух рациональных дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителя первой дроби на знаменатель второй дроби, а знаменатель - произведению внаменателя первой дроби на числитель второй дроби:

Сформулированные правила умножения и деления распространяются и на случай умножения или деления на многочлен: достаточно записать этот, многочлен в виде дроби со знаменателем 1.

Учитывая возможность сокращения рациональной дроби, полученной в результате умножения или деления рациональных дробей, обычно стремятся до выполнения этих операций разложить на множители числители и знаменатели исходных дробей.

Пример 1. Выполнить умножение

Решение. Имеем

Использовав правило умножения дробей, получаем:

Пример 2. Выполнить деление

Решение. Имеем

Использовав правило деления, получаем:

64. Возведение рациональной дроби в целую степень.

Чтобы возвести рациональную дробь - в натуральную степень , нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби; первое выражение - числитель, а второе выражение - знаменатель результата:

Пример 1. Преобразовать в дробь степень 3.

Решение Решение.

При возведении дроби в целую отрицательную степень используется тождество справедливое при всех значениях переменных, при которых .

Пример 2. Преобразовать в дробь выражение

65. Преобразование рациональных выражений.

Преобразование любого рационального выражения сводится к сложению, вычитанию, умножению и делению рациональных дробей, а также к возведению дроби в натуральную степень. Всякое рациональное выражение можно преобразовать в дробь, числитель и знаменатель которой - целые рациональные выражения; в этом, как правило, состоит цель тождественных преобразований рациональных выражений.

Пример. Упростить выражение

66. Простейшие преобразования арифметических корней (радикалов).

При преобразовании арифметических корией используются их свойства (см. п. 35).

Рассмотрим несколько примеров на применение свойств арифметических корней для простейших преобразований радикалов. При этом все переменные будем считать принимающими только неотрицательные значения.

Пример 1. Извлечь корень из произведения

Решение. Применив свойство 1°, получим:

Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня

Решение.

Такое преобразование называется вынесением множителя из-под знака корня. Цель преобразования - упростить подкоренное выражение.

Пример 3. Упростить .

Решение. По свойству 3° имеем Обычно стараются подкоренное выражение упростить, для чего выносят множители за знак кория. Имеем

Пример 4. Упростить

Решение. Преобразуем выражение, внеся множитель под знак корня: По свойству 4° имеем

Пример 5. Упростить

Решение. По свойству 5° мы имеем право показатель корня и показатель степени подкоренного выражения разделить на одно и то же натуральное число. Если в рассматриваемом, примере разделить указанные показатели на 3, то получим .

Пример 6. Упростить выражения:

Решение, а) По свойству 1° получаем, что для перемножения корней одной и той же степени достаточно перемножить подкоренные выражения и из полученного результата извлечь корень той же степени. Значит,

б) Прежде всего мы должны привести радикалы к одному показателю. Согласно свойству 5° мы можем показатель корня показатель степени подкоренного выражения умножить на одно и то же натуральное число. Поэтому Далее имеем теперь в полученном результате раз делив показатели корня и степени подкоренного выражения На 3, получим .

Рациональные выражения и дроби — краеугольный пункт всего курса алгебры. Те, кто научатся работать с такими выражениями, упрощать их и раскладывать на множители, по сути смогут решить любую задачу, поскольку преобразование выражений — неотъемлемая часть любого серьёзного уравнения, неравенства и даже текстовой задачи.

В этом видеоуроке мы посмотрим, как грамотно применять формулы сокращённого умножения для упрощения рациональных выражений и дробей. Научимся видеть эти формулы там, где, на первый взгляд, ничего нет. Заодно повторим такой нехитрый приём, как разложение квадратного трёхчлена на множители через дискриминант.

Как вы уже наверняка догадались по формулам за моей спиной, сегодня мы будем изучать формулы сокращенного умножения, а, точнее, не сами формулы, а их применение для упрощения и сокращения сложных рациональных выражений. Но, прежде чем переходить к решению примеров, давайте познакомимся ближе с этими формулами или вспомним их:

1. ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — разность квадратов;
2. ${{\left(a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}$ — квадрат суммы;
3. ${{\left(a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}$ — квадрат разности;
4. ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left(a+b \right)\left({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)$ — сумма кубов;
5. ${{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left(a-b \right)\left({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)$ — разность кубов.

Еще хотел бы отметить, что наша школьная система образования устроена таким образом, что именно с изучением этой темы, т.е. рациональных выражений, а также корней, модулей у всех учеников возникает одна и та же проблема, которую я сейчас объясню.

Дело в том, что в самом начале изучения формул сокращенного умножения и, соответственно, действий по сокращению дробей (это где-то 8 класс) учителя говорят что-то следующее: «Если вам что-то непонятно, то вы не переживайте, мы к этой теме еще вернемся неоднократно, в старших классах так точно. Мы это еще разберем». Ну а затем на рубеже 9-10 класса те же самые учителя объясняют тем же самым ученикам, которые так и не знают, как решать рациональные дроби, примерно следующее: «А где вы были предыдущие два года? Это же изучалось на алгебре в 8 классе! Чего тут может быть непонятного? Это же так очевидно!».

Однако обычным ученикам от таких объяснений нисколько не легче: у них как была каша в голове, так и осталась, поэтому прямо сейчас мы разберем два простых примера, на основании которых и посмотрим, каким образом в настоящих задачах выделять эти выражения, которые приведут нас к формулам сокращенного умножения и как потом применять это для преобразования сложных рациональных выражений.

Сокращение простых рациональных дробей

Задача № 1

\[\frac{4x+3{{y}^{2}}}{9{{y}^{4}}-16{{x}^{2}}}\]

Первое, чему нам нужно научиться — выделять в исходных выражениях точные квадраты и более высокие степени, на основании которых мы сможем потом применять формулы. Давайте посмотрим:

Перепишем наше выражение с учетом этих фактов:

\[\frac{4x+3{{y}^{2}}}{{{\left(3{{y}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left(4x \right)}^{2}}}=\frac{4x+3{{y}^{2}}}{\left(3{{y}^{2}}-4x \right)\left(3{{y}^{2}}+4x \right)}=\frac{1}{3{{y}^{2}}-4x}\]

Ответ: $\frac{1}{3{{y}^{2}}-4x}$.

Задача № 2

Переходим ко второй задаче:

\[\frac{8}{{{x}^{2}}+5xy-6{{y}^{2}}}\]

Упрощать тут нечего, потому что в числителе стоит константа, но я предложил эту задачу именно для того, чтобы вы научились раскладывать на множители многочлены, содержащие две переменных. Если бы вместо него был написанный ниже многочлен, как бы мы разложили его?

\[{{x}^{2}}+5x-6=\left(x-... \right)\left(x-... \right)\]

Давайте решим уравнение и найдем $x$, которые мы сможем поставить вместо точек:

\[{{x}^{2}}+5x-6=0\]

\[{{x}_{1}}=\frac{-5+7}{2}=\frac{2}{2}=1\]

\[{{x}_{2}}=\frac{-5-7}{2}=\frac{-12}{2}=-6\]

Мы можем переписать трехчлен следующим образом:

\[{{x}^{2}}+5xy-6{{y}^{2}}=\left(x-1 \right)\left(x+6 \right)\]

С квадратным трехчленом мы работать научились — для этого и нужно было записать этот видеоурок. А что делать, если кроме $x$ и константы присутствует еще $y$? Давайте рассмотрим их как еще одни элементы коэффициентов, т.е. перепишем наше выражение следующим образом:

\[{{x}^{2}}+5y\cdot x-6{{y}^{2}}\]

\[{{x}_{1}}=\frac{-5y+7y}{2}=y\]

\[{{x}_{2}}=\frac{-5y-7y}{2}=\frac{-12y}{2}=-6y\]

Запишем разложение нашей квадратной конструкции:

\[\left(x-y \right)\left(x+6y \right)\]

Итого если мы вернемся к исходному выражению и перепишем его с учетом изменений, то получим следующее:

\[\frac{8}{\left(x-y \right)\left(x+6y \right)}\]

Что нам дает такая запись? Ничего, потому что его не сократить, оно ни на что не умножается и не делится. Однако как только эта дробь окажется составной частью более сложного выражения, подобное разложение окажется кстати. Поэтому как только вы видите квадратный трехчлен (неважно, отягощен он дополнительными параметрами или нет), всегда старайтесь разложить его на множители.

Нюансы решения

Запомните основные правила преобразования рациональных выражений:

• Все знаменатели и числители необходимо раскладывать на множители либо через формулы сокращенного умножения, либо через дискриминант.
• Работать нужно по такому алгоритму: когда мы смотрим и пытаемся выделить формулу сокращенного умножения, то, прежде всего, пытаемся все перевести в максимально возможную степень. После этого выносим за скобку общую степень.
• Очень часто будут встречаться выражения с параметром: в качестве коэффициентов будут возникать другие переменные. Их мы находим по формуле квадратного разложения.

Таким образом, как только вы видите рациональные дроби, первое, что нужно сделать — это разложить и числитель, и знаменатель на множители (на линейные выражения), при этом мы используем формулы сокращенного умножения или дискриминант.

Давайте посмотрим на пару таких рациональных выражений и попробуем их разложить на множители.

Решение более сложных примеров

Задача № 1

\[\frac{4{{x}^{2}}-6xy+9{{y}^{2}}}{2x-3y}\cdot \frac{9{{y}^{2}}-4{{x}^{2}}}{8{{x}^{3}}+27{{y}^{3}}}\]

Переписываем и стараемся разложить каждое слагаемое:

Давайте перепишем все наше рациональное выражение с учетом этих фактов:

\[\frac{{{\left(2x \right)}^{2}}-2x\cdot 3y+{{\left(3y \right)}^{2}}}{2x-3y}\cdot \frac{{{\left(3y \right)}^{2}}-{{\left(2x \right)}^{2}}}{{{\left(2x \right)}^{3}}+{{\left(3y \right)}^{3}}}=\]

\[=\frac{{{\left(2x \right)}^{2}}-2x\cdot 3y+{{\left(3y \right)}^{2}}}{2x-3y}\cdot \frac{\left(3y-2x \right)\left(3y+2x \right)}{\left(2x+3y \right)\left({{\left(2x \right)}^{2}}-2x\cdot 3y+{{\left(3y \right)}^{2}} \right)}=-1\]

Ответ: $-1$.

Задача № 2

\[\frac{3-6x}{2{{x}^{2}}+4x+8}\cdot \frac{2x+1}{{{x}^{2}}+4-4x}\cdot \frac{8-{{x}^{3}}}{4{{x}^{2}}-1}\]

Давайте рассмотрим все дроби.

\[{{x}^{2}}+4-4x={{x}^{2}}-4x+2={{x}^{2}}-2\cdot 2x+{{2}^{2}}={{\left(x-2 \right)}^{2}}\]

Перепишем всю конструкцию с учетом изменений:

\[\frac{3\left(1-2x \right)}{2\left({{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}\cdot \frac{2x+1}{{{\left(x-2 \right)}^{2}}}\cdot \frac{\left(2-x \right)\left({{2}^{2}}+2x+{{x}^{2}} \right)}{\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right)}=\]

\[=\frac{3\cdot \left(-1 \right)}{2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right)}=\frac{3}{2\left(x-2 \right)}\]

Ответ: $\frac{3}{2\left(x-2 \right)}$.

Нюансы решения

Итак, чему мы только что научились:

• Далеко не каждый квадратный трехчлен раскладывается на множители, в частности, это относится к неполному квадрату суммы или разности, которые очень часто встречаются как части кубов суммы или разности.
• Константы, т.е. обычные числа, не имеющие при себе переменных, также могут выступать активными элементами в процессе разложения. Во-первых, их можно выносить за скобки, во-вторых, сами константы могут быть представимы в виде степеней.
• Очень часто после разложения всех элементов на множители возникают противоположные конструкции. Сокращать эти дроби нужно крайне аккуратно, потому что при из зачеркивании либо сверху, либо снизу возникает дополнительный множитель $-1$ — это как раз и есть следствие того, что они противоположны.

Решение сложных задач

\[\frac{27{{a}^{3}}-64{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}-4}:\frac{9{{a}^{2}}+12ab+16{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+4b+4}\]

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

Первая дробь:

\[{{\left(3a \right)}^{3}}-{{\left(4b \right)}^{3}}=\left(3a-4b \right)\left({{\left(3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left(4b \right)}^{2}} \right)\]

\[{{b}^{2}}-{{2}^{2}}=\left(b-2 \right)\left(b+2 \right)\]

Весь числитель второй дроби мы можем переписать следующим образом:

\[{{\left(3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left(4b \right)}^{2}}\]

Теперь посмотрим на знаменатель:

\[{{b}^{2}}+4b+4={{b}^{2}}+2\cdot 2b+{{2}^{2}}={{\left(b+2 \right)}^{2}}\]

Давайте перепишем все рациональное выражение с учетом вышеизложенных фактов:

\[\frac{\left(3a-4b \right)\left({{\left(3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left(4b \right)}^{2}} \right)}{\left(b-2 \right)\left(b+2 \right)}\cdot \frac{{{\left(b+2 \right)}^{2}}}{{{\left(3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left(4b \right)}^{2}}}=\]

\[=\frac{\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right)}{\left(b-2 \right)}\]

Ответ: $\frac{\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right)}{\left(b-2 \right)}$.

Нюансы решения

Как мы еще раз убедились, неполные квадраты суммы либо неполные квадраты разности, которые часто встречаются в реальных рациональных выражениях, однако не стоит их пугаться, потому что после преобразования каждого элемента они практически всегда сокращаются. Кроме того, ни в коем случае не стоит бояться больших конструкций в итогом ответе — вполне возможно, что это не ваша ошибка (особенно, если все разложено на множители), а это автор задумал такой ответ.

В заключение хотелось бы разобрать еще один сложных пример, который уже не относится напрямую к рациональным дробям, однако он содержит все то, что ждет вас на настоящих контрольных и экзаменах, а именно: разложение на множители, приведение к общему знаменателю, сокращение подобных слагаемых. Вот именно этим мы сейчас и займемся.

Решение сложной задачи на упрощение и преобразование рациональных выражений

\[\left(\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}-8}-\frac{1}{x-2} \right)\cdot \left(\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2}{2-x} \right)\]

Сначала рассмотрим и раскроем первую скобку: в ней мы видим три отдельных дроби с разными знаменателями поэтому первое, что нам необходимо сделать — это привести все три дроби к общему знаменателю, а для этого каждый из них следует разложить на множители:

\[{{x}^{2}}+2x+4={{x}^{2}}+2\cdot x+{{2}^{2}}\]

\[{{x}^{2}}-8={{x}^{3}}-{{2}^{2}}=\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)\]

Перепишем всю нашу конструкцию следующим образом:

\[\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}}}+\frac{{{x}^{2}}+8}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}-\frac{1}{x-2}=\]

\[=\frac{x\left(x-2 \right)+{{x}^{3}}+8-\left({{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}-2x+{{x}^{2}}+8-{{x}^{2}}-2x-4}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}=\frac{{{x}^{2}}-4x-4}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}=\]

\[=\frac{{{\left(x-2 \right)}^{2}}}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}=\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\]

Это результат вычислений из первой скобки.

Разбираемся со второй скобкой:

\[{{x}^{2}}-4={{x}^{2}}-{{2}^{2}}=\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)\]

Перепишем вторую скобку с учетом изменений:

\[\frac{{{x}^{2}}}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}+\frac{2}{x-2}=\frac{{{x}^{2}}+2\left(x+2 \right)}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}=\frac{{{x}^{2}}+2x+4}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}\]

Теперь запишем всю исходную конструкцию:

\[\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\cdot \frac{{{x}^{2}}+2x+4}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}=\frac{1}{x+2}\]

Ответ: $\frac{1}{x+2}$.

Нюансы решения

Как видите, ответ получился вполне вменяемый. Однако обратите внимание: очень часто при таких масштабных вычислениях, когда единственная переменная оказывается лишь в знаменателе, ученики забывают, что это знаменатель и он должен стоял внизу дроби и пишут это выражение в числитель — это грубейшая ошибка.

Кроме того, хотел бы обратить ваше отдельное внимание на то, как оформляются такие задачи. В любых сложных вычислениях все шаги выполняются по действиям: сначала отдельно считаем первую скобку, потом отдельно вторую и лишь в конце мы объединяем все части и считаем результат. Таким образом мы страхуем себя от глупых ошибок, аккуратно записываем все выкладки и при этом нисколько не тратим лишнего времени, как это может показаться на первый взгляд.

Готовые работы

ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ

Многое уже позади и теперь ты - выпускник, если, конечно, вовремя напишешь дипломную работу. Но жизнь - такая штука, что только сейчас тебе становится понятно, что, перестав быть студентом, ты потеряешь все студенческие радости, многие из которых, ты так и не попробовал, всё откладывая и откладывая на потом. И теперь, вместо того, чтобы навёрстывать упущенное, ты корпишь над дипломной работой? Есть отличный выход: скачать нужную тебе дипломную работу с нашего сайта - и у тебя мигом появится масса свободного времени!
Дипломные работы успешно защищены в ведущих Университетах РК.
Стоимость работы от 20 000 тенге

КУРСОВЫЕ РАБОТЫ

Курсовой проект - это первая серьезная практическая работа. Именно с написания курсовой начинается подготовка к разработке дипломных проектов. Если студент научиться правильно излагать содержание темы в курсовом проекте и грамотно его оформлять, то в последующем у него не возникнет проблем ни с написанием отчетов, ни с составлением дипломных работ, ни с выполнением других практических заданий. Чтобы оказать помощь студентам в написании этого типа студенческой работы и разъяснить возникающие по ходу ее составления вопросы, собственно говоря, и был создан данный информационный раздел.
Стоимость работы от 2 500 тенге

МАГИСТЕРСКИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В настоящее время в высших учебных заведениях Казахстана и стран СНГ очень распространена ступень высшего профессионального образования, которая следует после бакалавриата - магистратура. В магистратуре обучаются с целью получения диплома магистра, признаваемого в большинстве стран мира больше, чем диплом бакалавра, а также признаётся зарубежными работодателями. Итогом обучения в магистратуре является защита магистерской диссертации.
Мы предоставим Вам актуальный аналитический и текстовый материал, в стоимость включены 2 научные статьи и автореферат.
Стоимость работы от 35 000 тенге

ОТЧЕТЫ ПО ПРАКТИКЕ

После прохождения любого типа студенческой практики (учебной, производственной, преддипломной) требуется составить отчёт. Этот документ будет подтверждением практической работы студента и основой формирования оценки за практику. Обычно, чтобы составить отчёт по практике, требуется собрать и проанализировать информацию о предприятии, рассмотреть структуру и распорядок работы организации, в которой проходится практика, составить календарный план и описать свою практическую деятельность.
Мы поможет написать отчёт о прохождении практики с учетом специфики деятельности конкретного предприятия.