Словари. Энциклопедии. История. Литература. Русский язык » История » Двумерные случайные. Дискретные двумерные случайные величины. Функция распределения двумерной случайной величины

Двумерные случайные. Дискретные двумерные случайные величины. Функция распределения двумерной случайной величины

Найдем сумму ряда чисел. Если не получается ее найти, то система вычисляет сумму ряда с определенной точностью.

Сходимость ряда

Данный калькулятор умеет определять - сходится ли ряд, также показывает - какие признаки сходимости срабатывают, а какие - нет.

Также умеет определять сходимость степенных рядов.

Также строится график ряда, где можно увидеть скорость сходимости ряда (или расходимости).

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x| ) arccos(x) Функция - арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция - арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x e e число, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция - экспонента от x (что и e ^x ) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x) , надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x) =log(x)/log(10)) pi Число - "Пи", которое примерно равно 3.14 sin(x) Функция - Синус от x cos(x) Функция - Косинус от x sinh(x) Функция - Синус гиперболический от x cosh(x) Функция - Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция - квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция - Квадрат x tg(x) Функция - Тангенс от x tgh(x) Функция - Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция - кубический корень из x

В выражениях можно применять следующие операции: Действительные числа вводить в виде 7.5 , не 7,5 2*x - умножение 3/x - деление x^3 - возведение в степень x + 7 - сложение x - 6 - вычитание
Другие функции: floor(x) Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция - округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция - Знак x erf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа

Совокупность случайных величин Х 1 ,Х 2 ,...,Х п , определенных на вероятностном пространстве () образует п- мерную случайную величину (Х 1 ,Х 2 ,...,Х п ). Если экономический процесс описывается при помощи двух случайных величин Х 1 и Х 2 , тоопределяется двумерная случайная величина (Х 1 ,Х 2)или(X ,Y ).

Функцией распределения системы двух случайных величин (Х ,Y ), рассматриваемой как функция переменных называется вероятность появления события :

Значения функции распределения удовлетворяют неравенству

С геометрической точки зрения функция распределения F (x ,y ) определяет вероятность того, что случайная точка (х ,Y ) попадет в бесконечный квадрант с вершиной в точке (х ,у ), так как точка (х ,Y )будет ниже и левее указанной вершины (рис.9.1).

х ,Y ) в полуполосу (рис.9.2) или в полуполосу (рис.9.3) выражается формулами:

соответственно. Вероятность попадания значений х ,Y ) в прямоугольник (рис.9.4) можно найти по формуле:

Рис.9.2 Рис.9.3 Рис.9.4

Дискретной называют двухмерную величину, составляющие которой дискретны.

Законом распределения двумерной дискретной случайной величины (X ,Y ) называется множество всевозможных значений (x i , y j ), , дискретных случайных величин Х и Y и соответствующих им вероятностей , характеризующих вероятность того, что составляющая Х примет значение x i и одновременно с этим составляющая Y примет значение y j , причем

Закон распределениядвумерной дискретной случайной величины (X ,Y ) задают в виде табл. 9.1.

Таблица 9.1

Ω Х Ω Y x 1 x 2 … x i …
y 1 p (x 1 ,y 1) p (x 2 ,y 1) … p(x i ,y 1) …
y 2 p (x 1 ,y 2) p (x 2 ,y 2) … p(x i ,y 2) …
… … … … … …
y i p (x 1 ,y i ) p (x 2 ,y i ) … p(x i ,y i ) …
… … … … … …

Непрерывной называют двумерную случайную величину, составляющие которой непрерывны. Функция р (х ,у ), равная пределу отношения вероятности попадания двумерной случайной величины (X ,Y )в прямоугольник со сторонами и к площади этого прямоугольника, когда обе стороны прямоугольника стремятся к нулю, называется плотностью распределения вероятностей:

Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения по формуле:

Во всех точках, где существует смешанная производная второго порядка функции распределения , плотность распределения вероятностей можно найти по формуле:

Вероятность попадания случайной точки (х ,у ) в область D определяется равенством:

Вероятность того, что случайная величина X приняла значение X<х при условии, что случайная величина Y приняла фиксированное значение Y =y , вычисляется по формуле:




Аналогично,

Формулы для вычисления условных плотностей распределения вероятностей составляющих X и Y :

Совокупность условных вероятностей p (x 1 |y i ), p (x 2 |y i ), …, p (x i |y i ), … отвечающих условию Y=y i , называется условным распределением составляющей Х при Y=y i X ,Y ), где

Аналогично условное распределение составляющей Y при Х=х i дискретной двумерной случайной величины (х ,Y ) – это совокупность условных вероятностей отвечающих условию X=x i , где

Начальным моментом порядка k+s двумерной случайной величины (X ,Y и , т.е. .

Если X и Y – дискретные случайные величины, то

Если X и Y – непрерывные случайные величины, то

Центральным моментом порядка k+s двумерной случайной величины (X ,Y )называется математическое ожидание произведений и ,т.е.

Если составляющие величины являются дискретными, то

Если составляющие величины являются непрерывными, то

где р (х ,y ) – плотность распределения двумерной случайной величины (X ,Y ).

Условным математическим ожиданием Y (X )при X=х (при Y=у ) называется выражение вида:

– для дискретной случайной величины Y (X );

– для непрерывной случайной величины Y (X ).

Математические ожидания составляющих X и Y двумерной случайной величины вычисляются по формулам:



Корреляционным моментом независимых случайных величин X и Y ,входящих в двумерную случайную величину (X ,Y ), называют математическое ожидание произведений отклонений этих величин:

Корреляционный момент двух независимых случайных величин X X ,Y), равен нулю.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y, входящих в двумерную случайную величину (X ,Y ), называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:



Коэффициент корреляции характеризуют степень (тесноту) линейной корреляционной зависимости между X и Y .Случайные величины, для которых , называются некоррелированными.

Коэффициент корреляции удовлетворяет свойствам:

1. Коэффициент корреляциине зависит от единиц измерения случайных величин.

2. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицу:

3. Если то между составляющими X и Y случайной величины (X, Y) существует линейная функциональная зависимость:

4. Если то составляющие X и Y двумерной случайной величины некоррелированы.

5. Если то составляющие X и Y двумерной случайной величины зависимы.

Уравнения M (X|Y=у )=φ(у )и M (Y|X=х )=ψ(x )называют уравнениями регрессии, а линии, определяемые ими, – линиями регрессии.

Задачи

9.1. Двумерная дискретная случайная величина (X, Y) задана законом распределения:

Таблица 9.2

Ω х Ω y
0,2 0,15 0,08 0,05
0,1 0,05 0,05 0,1
0,05 0,07 0,08 0,02

Найти: а) законы распределения составляющих X и Y ;

б) условный закон распределения величины Y при X =1;

в) функцию распределения.

Выяснить, являются ли независимыми величины X и Y . Вычислить вероятность и основные числовые характеристики М (Х ), М (Y ), D (X ), D (Y ), R (X ,Y ), .

Решение. а)Случайные величины X и Y определены на множестве , состоящем из элементарных исходов, которое имеет вид:

Событию {X= 1} соответствует множество таких исходов, у которых первая компонента равна 1: (1;0), (1;1), (1;2). Эти исходы несовместимы. Вероятность того, что Х примет значение х i , согласно аксиоме 3 Колмогорова, равна:

Аналогично

Следовательно, маргинальное распределение составляющей Х , может быть задано в виде табл. 9.3.

Таблица 9.3

б) Совокупность условных вероятностей р (1;0), р (1;1), р (1;2) отвечающих условию X =1, называется условным распределением составляющей Y при X =1. Вероятность значений величины Y при Х =1 найдём при помощи формулы:

Поскольку , то, подставив значения соответствующих вероятностей, получаем

Итак, условное распределение составляющей Y при Х =1 имеет вид:

Таблица 9.5

y j
0,48 0,30 0,22

Так как условный и безусловный законы распределения не совпадают (см. табл. 9.4 и 9.5), то величины X и Y зависимы. Этот вывод подтверждается тем, что не выполняется равенство

для любой пары возможных значений X и Y .

Например,

в) Функция распределения F (x ,y ) двумерной случайной величины (X,Y) имеет вид:

где суммирование выполняется по всем точкам (), для которых одновременно выполняются неравенства x i и y j . Тогда для заданного закона распределения, получим:

Результат удобнее представлять в виде табл.9.6.

Таблица 9.6

х y
0,20 0,35 0,43 0,48
0,30 0,5 0,63 0,78
0,35 0,62 0,83

Воспользуемся формулами для начальных моментов и результатами таблиц 9.3 и 9.4 и вычислим математические ожидания составляющих X и Y :

Дисперсии вычислим через второй начальный момент и результаты табл. 9.3 и 9.4:

Для вычисления ковариации К (X,Y ) используем аналогичную формулу через начальный момент:

Коэффициент корреляции определяется по формуле:

Искомая вероятность определяется как вероятность попадания в область на плоскости, определяемую соответствующим неравенством:

9.2. Кораблем передается сообщение «SOS», которое может быть принято двумя радиостанциями. Этот сигнал может быть принят одной радиостанцией независимо от другой. Вероятность того, что сигнал принят первой радиостанцией, составляет 0,95; вероятность того, что сигнал принят второй радиостанцией, равна 0,85. Найти закон распределения двумерной случайной величины, характеризующей прием сигнала двумя радиостанциями. Написать функцию распределения.

Решение: Пусть X – событие, состоящее в том, что сигнал принимает первая радиостанция. Y – событие состоит в том, что сигнал принимает вторая радиостанция.

Множество значений .

Х =1 – сигнал принят первой радиостанцией;

Х =0 – сигнал не принят первой радиостанцией.

Множество значений .

Y =l – сигнал принят второй радиостанцией,

Y =0 – сигнал не принят второй радиостанцией.

Вероятность того, что сигнал не принят ни первой, ни второй радиостанциями равна:

Вероятность принятия сигнала первой радиостанцией:

Вероятность того, что сигнал принят второй радиостанцией:

Вероятность того, что сигнал принят и первой и второй радиостанциями, равна: .

Тогда закон распределения двумерной случайной величины равен:

y x
0,007 0,142
0,042 0,807

х ,y ) значение F (х ,y )равно сумме вероятностей тех возможных значений случайной величины (X ,Y ), которые попадают внутрь указанного прямоугольника.

Тогда функция распределения будет иметь вид:

9.3. Две фирмы выпускают одинаковую продукцию. Каждая независимо от другой может принять решение о модернизации производства. Вероятность того, что первая фирма приняла такое решение, равна 0,6. Вероятность принятия такого решения второй фирмой равна 0,65. Написать закон распределения двумерной случайной величины, характеризующей принятие решения о модернизации производства двух фирм. Написать функцию распределения.

Ответ: Закон распределения:

0,14 0,21
0,26 0,39

При каждом фиксированном значении точки с координатами (x ,y ) значение равно сумме вероятностей тех возможных значений , которые попадают внутрь указанного прямоугольника .

9.4. На токарном станке-автомате изготавливаются поршневые кольца для двигателей автомобиля. Измеряются толщина кольца (случайная величина X )и диаметр отверстия (случайная величина Y ). Известно, что около 5% всех поршневых колец бракованные. Причем, 3% брака обусловлены нестандартными диаметрами отверстий, 1% – нестандартной толщиной и 1 % – бракуют по обоим признакам. Найти: совместное распределение двумерной случайной величины (X ,Y ); одномерные распределения составляющих Х и Y ;математические ожидания составляющих X и Y ; корреляционный момент и коэффициент корреляции между составляющими X и Y двумерной случайной величины (Х ,Y ).

Ответ: Закон распределения:

0,01 0,03
0,01 0,95

; ; ; ; ; .

9.5. В продукции завода брак вследствие дефекта А составляет 4%, а вследствие дефекта В – 3,5%. Стандартная продукция составляет 96%. Определить какой процент всей продукции обладает дефектами обоих типов.

9.6. Случайная величина (X ,Y )распределена с постоянной плотностью внутри квадрата R , вершины которого имеют координаты (–2;0), (0;2), (2;0), (0;–2). Определить плотность распределения случайной величины (X ,Y )и условные плотности распределения р (х \у ), р (у \х ).

Решение. Построим на плоскости x 0y заданный квадрат (рис.9.5) и определим уравнения сторон квадрата ABCD, воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две заданные точки: Подставив координаты вершин А и В получим последовательно уравнение стороны АВ : или .

Аналогично находим уравнение стороны ВС : ;стороны CD : и стороны DA : . : .D X , Y ) представляет собой полушар с центром в начале координат радиуса R .Найти плотность распределения вероятностей.

Ответ:

9.10. Задана дискретная двумерная случайная величина:

0,25 0,10
0,15 0,05
0,32 0,13

Найти: а) условный закон распределения X , при условии, что у= 10;

б) условный закон распределения Y , при условии, что x =10;

в) математическое ожидание, дисперсию, коэффициент корреляции.

9.11. Непрерывная двумерная случайная величина (X ,Y )равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника с вершинами О (0;0), А (0;8), В (8,0).

Найти: а) плотность распределения вероятностей;

Определение 2.7. это пара случайных чисел (X, Y), или точка на координатной плоскости (рис. 2.11).

Рис. 2.11.

Двумерная случайная величина - это частный случай многомерной случайной величины, или случайного вектора.

Определение 2.8. Случайный вектор - это случайная функция?,(/) с конечным множеством возможных значений аргумента t, значение которой при любом значении t является случайной величиной.

Двумерная случайная величина называется непрерывной, если ее координаты непрерывны, и дискретной, если ее координаты дискретны.

Задать закон распределения двумерных случайных величин - это значит установить соответствие между ее возможными значениями и вероятностью этих значений. По способам задания случайные величины делятся на непрерывные и дискретные, хотя есть общие способы задания закона распределения любой СВ.

Дискретная двумерная случайная величина

Дискретная двумерная случайная величина задается с помощью таблицы распределений (табл. 2.1).

Таблица 2.1

Таблица распределения (совместное распределение) СВ (X , У)

Элементы таблицы определяются формулой

Свойства элементов таблицы распределения:

Распределение по каждой координате называется одномерным или маргинальным:

р 1> = Р(Х = .г,) - маргинальное распределение СВ X ;

р^ 2) = P(Y= у,) - маргинальное распределение СВ У.

Связь совместного распределения СВ X и У, заданного множеством вероятностей [р {) }, i = 1,..., n,j = 1,..., т (таблицей распределения), и маргинального распределения.


Аналогично для СВ Ур- 2) = X р, г

Задача 2.14. Дано:

Непрерывная двумерная случайная величина

/(х, y)dxdy - элемент вероятности для двумерной случайной величины (X, У) - вероятность попадания случайной величины (X, У) в прямоугольник со сторонами cbc, dy при dx, dy -* 0:

f(x, у) - плотность распределения двумерной случайной величины (X, У). Заданием /(х, у) мы даем полную информацию о распределении двумерной случайной величины.

Маргинальные распределения задаются следующим образом: по X - плотностью распределения СВ X/,(х); по Y - плотностью распределения СВ Уf>(y).

Задание закона распределения двумерной случайной величины функцией распределения

Универсальным способом задания закона распределения для дискретной или непрерывной двумерной случайной величины является функция распределения F(x, у).

Определение 2.9. Функция распределения F(x, у) - вероятность совместного появления событий {Ху}, т.е. F(x 0 ,y n) = = Р(Х у), брошенной на координатную плоскость, попасть в бесконечный квадрант с вершиной в точке М(х 0 , у и) (в заштрихованную на рис. 2.12 область).

Рис. 2.12. Иллюстрация функции распределения F(х, у)

Свойства функции F(x, у)

  • 1) 0 1;
  • 2) F(-oo, -оо) = F(x, -оо) = F(-oo, у) = 0; F(оо, оо) = 1;
  • 3) F(x, у) - неубывающая по каждому аргументу;
  • 4) F(x, у) - непрерывна слева и снизу;
  • 5) согласованность распределений:

F(x, X: F(x, оо) = F,(x); F(y, оо) - маргинальное распределение по Y F(оо, у) = F 2 (y). Связь /(х, у) с F(x, у):

Связь совместной плотности с маргинальной. Дана f(x, у). Получим маргинальные плотности распределения f(x),f 2 {y)".


Случай независимых координат двумерной случайной величины

Определение 2.10. СВ X и Yнезависимы (нз), если независимы любые события, связанные с каждой из этих СВ. Из определения нз СВ следует:

  • 1 )Pij = p X) pf
  • 2 )F(x,y) = F l (x)F 2 (y).

Оказывается, что для независимых СВ X и Y выполнено и

3 )f(x,y) = J(x)f,(y).

Докажем, что для независимых СВ X и Y 2) 3). Доказательство, а) Пусть выполнено 2), т.е.

в то же время F(x,y) = f J f(u,v)dudv, откуда и следует 3);

б) пусть теперь выполнено 3), тогда


т.е. верно 2).

Рассмотрим задачи.

Задача 2.15. Распределение задано следующей таблицей:

Строим маргинальные распределения:

Получаем Р(Х = 3, У = 4) = 0,17 * Р(Х = 3)Р(У = 4) = 0,1485 => => СВ X и Узависимы.

Функция распределения:


Задача 2.16. Распределение задано следующей таблицей:

Получаем P tl = 0,2 0,3 = 0,06; Р 12 = 0,2 ? 0,7 = 0,14; P 2l = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; Р 22 - 0,8 0,7 = 0,56 => СВ X и Y нз.

Задача 2.17. Дана /(х, у) = 1/я ехр| -0,5(д" + 2ху + 5г/ 2)]. Найти А(х) и /Ау)-

Решение

(досчитайте самостоятельно).

двумерный дискретный распределение случайный

Зачастую результат опыта описывается несколькими случайными величинами: . Например, погоду в данном месте в определенное время суток можно охарактеризовать следующими случайными величинами: Х 1 - температура, Х 2 - давление, Х 3 - влажность воздуха, Х 4 - скорость ветра.

В этом случае говорят о многомерной случайной величине или о системе случайных величин.

Рассмотрим двумерную случайную величину, возможные значения которой есть пары чисел. Геометрически двумерную случайную величину можно истолковать как случайную точку на плоскости.

Если составляющие Х и Y - дискретные случайные величины, то - дискретная двумерная случайная величина, а если Х и Y - непрерывные, то - непрерывная двумерная случайная величина.

Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения двумерной дискретной случайной величины может быть задан в виде таблицы с двойным входом (см. таблица 6.1), где - вероятность того, что составляющая Х приняла значение x i , а составляющая Y - значение y j .

Таблица 6.1.1.

y 1

y 2

y j

y m

x 1

p 11

p 12

p 1j

p 1m

x 2

p 21

p 22

p 2j

p 2m

x i

p i1

p i2

p ij

p im

x n

p n1

p n2

p nj

p nm

Так как события, составляют полную группу попарно несовместных событий, то сумма вероятностей равна 1, т.е.

Из таблицы 6.1 можно найти законы распределения одномерных составляющих Х и Y .

Пример 6.1.1 . Найти законы распределения составляющих Х и Y, если задано распределение двумерной случайной величины в виде таблицы 6.1.2.

Таблица 6.1.2.

Если зафиксировать значение одного из аргументов, например, то полученное распределение величины Х называется условным распределением. Аналогично определяется условное распределение Y .

Пример 6.1.2 . По распределению двумерной случайной величины, заданной табл. 6.1.2, найти: а) условный закон распределения составляющей Х при условии; б) условный закон распределения Y при условии, что.

Решение. Условные вероятности составляющих Х и Y вычисляются по формулам

Условный закон распределения Х при условии имеет вид

Контроль: .

Закон распределения двумерной случайной величины можно задать в виде функции распределения , определяющей для каждой пары чисел вероятность того, что Х примет значение, меньшее х , и при этом Y примет значение, меньшее y :

Геометрически функция означает вероятность попадания случайной точки в бесконечный квадрат с вершиной в точке (рис. 6.1.1).

Отметим свойства.

  • 1. Область значений функции - , т.е. .
  • 2. Функция - неубывающая функция по каждому аргументу.
  • 3. Имеют место предельные соотношения:

При функция распределения системы становится равной функции распределения составляющей Х , т.е. .

Аналогично, .

Зная, можно найти вероятность попадания случайной точки в пределы прямоугольника ABCD.

А именно,

Пример 6.1.3 . Двумерная дискретная случайная величина задана таблицей распределения

Найти функцию распределения.

Решение. Значение в случае дискретных составляющих Х и Y находится суммированием всех вероятностей с индексами i и j , для которых, . Тогда, если и, то (события и - невозможны). Аналогично получаем:

если и, то;

если и, то;

если и, то;

если и, то;

если и, то;

если и, то;

если и, то;

если и, то;

если и, то.

Полученные результаты оформим в виде таблицы (6.1.3) значений:

Для двумерной непрерывной случайной величины вводится понятие плотности вероятности

Геометрическая плотность вероятности представляет собой поверхность распределения в пространстве

Двумерная плотность вероятности обладает следующими свойствами:

3. Функция распределения может быть выражена через по формуле

4. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в область равна

5. В соответствии со свойством (4) функции имеют место формулы:

Пример 6.1.4. Задана функция распределения двумерной случайной величины

Упорядоченная пара (X , Y) случайных величин X и Y называется двумерной случайной величиной, или случайным вектором двумерного пространства. Двумерная случайная величина (X,Y) называется также системой случайных величина X и Y. Множество всех возможных значений дискретной случайной величины с их вероятностями называется законом распределения этой случайной величины. Дискретная двумерная случайная величина (X , Y) считается заданной, если известен ее закон распределения:

P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m

Назначение сервиса . С помощью сервиса по заданному закону распределения можно найти:

  • ряды распределения X и Y, математическое ожидание M[X], M[Y], дисперсию D[X], D[Y];
  • ковариацию cov(x,y), коэффициент корреляции r x,y , условный ряд распределения X, условное математическое ожидание M;
Кроме этого, дается ответ на вопрос, "зависимы ли случайные величины X и Y ?".

Инструкция . Укажите размерность матрицы распределения вероятностей (количество строк и столбцов) и ее вид. Полученное решение сохраняется в файле Word .

Пример №1 . Двумерная дискретная случайная величина имеет таблицу распределения:

Y/X 1 2 3 4
10 0 0,11 0,12 0,03
20 0 0,13 0,09 0,02
30 0,02 0,11 0,08 0,01
40 0,03 0,11 0,05 q
Найти величину q и коэффициент корреляции этой случайной величины.

Решение. Величину q найдем из условия Σp ij = 1
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0.91+q = 1. Откуда q = 0.09

Пользуясь формулой ∑P(xi ,yj ) = pi (j=1..n), находим ряд распределения X.

Математическое ожидание M[Y] .
M[y] = 1*0.05 + 2*0.46 + 3*0.34 + 4*0.15 = 2.59
Дисперсия D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
Среднее квадратическое отклонение σ(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0.64) = 0.801

Ковариация cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y] = 2·10·0.11 + 3·10·0.12 + 4·10·0.03 + 2·20·0.13 + 3·20·0.09 + 4·20·0.02 + 1·30·0.02 + 2·30·0.11 + 3·30·0.08 + 4·30·0.01 + 1·40·0.03 + 2·40·0.11 + 3·40·0.05 + 4·40·0.09 - 25.2 · 2.59 = -0.068
Коэффициент корреляции r xy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0.068/(11.531*0.801) = -0.00736

Пример 2 . Данные статистической обработки сведений относительно двух показателей X и Y отражены в корреляционной таблице. Требуется:

  1. написать ряды распределения для X и Y и вычислить для них выборочные средние и выборочные средние квадратические отклонения;
  2. написать условные ряды распределения Y/x и вычислить условные средние Y/x;
  3. изобразить графически зависимость условных средних Y/x от значений X;
  4. рассчитать выборочный коэффициент корреляции Y на X;
  5. написать выборочное уравнение прямой регрессии;
  6. изобразить геометрически данные корреляционной таблицы и построить прямую регрессии.
Решение . Упорядоченная пара (X,Y) случайных величин X и Y называется двумерной случайной величиной, или случайным вектором двумерного пространства. Двумерная случайная величина (X,Y) называется также системой случайных величина X и Y.
Множество всех возможных значений дискретной случайной величины с их вероятностями называется законом распределения этой случайной величины.
Дискретная двумерная случайная величина (X,Y) считается заданной, если известен ее закон распределения:
P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2..,m
X / Y 20 30 40 50 60
11 2 0 0 0 0
16 4 6 0 0 0
21 0 3 6 2 0
26 0 0 45 8 4
31 0 0 4 6 7
36 0 0 0 0 3
События (X=x i , Y=y j) образуют полную группу событий, поэтому сумма всех вероятностей p ij (i=1,2...,n, j=1,2..,m ), указанных в таблице, равна 1.
1. Зависимость случайных величин X и Y .
Находим ряды распределения X и Y.
Пользуясь формулой ∑P(xi ,yj ) = pi (j=1..n), находим ряд распределения X. Математическое ожидание M[Y] .
M[y] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14)/100 = 42.3
Дисперсия D[Y] .
D[Y] = (20 2 *6 + 30 2 *9 + 40 2 *55 + 50 2 *16 + 60 2 *14)/100 - 42.3 2 = 99.71
Среднее квадратическое отклонение σ(y) .

Поскольку, P(X=11,Y=20) = 2≠2·6, то случайные величины X и Y зависимы .
2. Условный закон распределения X .
Условный закон распределения X(Y=20) .
P(X=11/Y=20) = 2/6 = 0.33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0.67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
Условное математическое ожидание M = 11*0.33 + 16*0.67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14.33
Условная дисперсия D = 11 2 *0.33 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14.33 2 = 5.56
Условный закон распределения X(Y=30) .
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0.67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0.33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Условное математическое ожидание M = 11*0 + 16*0.67 + 21*0.33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17.67
Условная дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0.33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17.67 2 = 5.56
Условный закон распределения X(Y=40) .
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0.11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0.82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0.0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Условное математическое ожидание M = 11*0 + 16*0 + 21*0.11 + 26*0.82 + 31*0.0727 + 36*0 = 25.82
Условная дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.11 + 26 2 *0.82 + 31 2 *0.0727 + 36 2 *0 - 25.82 2 = 4.51
Условный закон распределения X(Y=50) .
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0.13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0.5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0.38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Условное математическое ожидание M = 11*0 + 16*0 + 21*0.13 + 26*0.5 + 31*0.38 + 36*0 = 27.25
Условная дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.13 + 26 2 *0.5 + 31 2 *0.38 + 36 2 *0 - 27.25 2 = 10.94
Условный закон распределения X(Y=60) .
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0.29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0.5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0.21
Условное математическое ожидание M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0.29 + 31*0.5 + 36*0.21 = 30.64
Условная дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0.29 + 31 2 *0.5 + 36 2 *0.21 - 30.64 2 = 12.37
3. Условный закон распределения Y .
Условный закон распределения Y(X=11) .
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Условное математическое ожидание M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Условная дисперсия D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Условный закон распределения Y(X=16) .
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0.4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0.6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Условное математическое ожидание M = 20*0.4 + 30*0.6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Условная дисперсия D = 20 2 *0.4 + 30 2 *0.6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Условный закон распределения Y(X=21) .
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0.27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0.55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0.18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Условное математическое ожидание M = 20*0 + 30*0.27 + 40*0.55 + 50*0.18 + 60*0 = 39.09
Условная дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0.27 + 40 2 *0.55 + 50 2 *0.18 + 60 2 *0 - 39.09 2 = 44.63
Условный закон распределения Y(X=26) .
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0.79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0.14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0.0702
Условное математическое ожидание M = 20*0 + 30*0 + 40*0.79 + 50*0.14 + 60*0.0702 = 42.81
Условная дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.79 + 50 2 *0.14 + 60 2 *0.0702 - 42.81 2 = 34.23
Условный закон распределения Y(X=31) .
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0.24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0.35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0.41
Условное математическое ожидание M = 20*0 + 30*0 + 40*0.24 + 50*0.35 + 60*0.41 = 51.76
Условная дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.24 + 50 2 *0.35 + 60 2 *0.41 - 51.76 2 = 61.59
Условный закон распределения Y(X=36) .
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Условное математическое ожидание M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Условная дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
Ковариация .
cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20·11·2 + 20·16·4 + 30·16·6 + 30·21·3 + 40·21·6 + 50·21·2 + 40·26·45 + 50·26·8 + 60·26·4 + 40·31·4 + 50·31·6 + 60·31·7 + 60·36·3)/100 - 25.3 · 42.3 = 38.11
Если случайные величины независимы, то их ковариации равна нулю. В нашем случае cov(X,Y) ≠ 0.
Коэффициент корреляции .


Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:

Уравнение линейной регрессии с x на y имеет вид:

Найдем необходимые числовые характеристики.
Выборочные средние:
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42.3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25.3
Дисперсии:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3))/100 - 42.3 2 = 99.71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25.3 2 = 24.01
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
σ x = 9.99 и σ y = 4.9
и ковариация:
Cov(x,y) = (20·11·2 + 20·16·4 + 30·16·6 + 30·21·3 + 40·21·6 + 50·21·2 + 40·26·45 + 50·26·8 + 60·26·4 + 40·31·4 + 50·31·6 + 60·31·7 + 60·36·3)/100 - 42.3 · 25.3 = 38.11
Определим коэффициент корреляции:


Запишем уравнения линий регрессии y(x):

и вычисляя, получаем:
y x = 0.38 x + 9.14
Запишем уравнения линий регрессии x(y):

и вычисляя, получаем:
x y = 1.59 y + 2.15
Если построить точки, определяемые таблицей и линии регрессии, увидим, что обе линии проходят через точку с координатами (42.3; 25.3) и точки расположены близко к линиям регрессии.
Значимость коэффициента корреляции .

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=100-m-1 = 98 находим t крит:
t крит (n-m-1;α/2) = (98;0.025) = 1.984
где m = 1 - количество объясняющих переменных.
Если t набл > t критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку t набл > t крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим.

Задание . Количество попаданий пар значений случайных величин X и Y в соответствующие интервалы приведены в таблице. По этим данным найти выборочный коэффициент корреляции и выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y .
Решение

Пример . Распределение вероятностей двумерной случайной величины (X, Y) задано таблицей. Найти законы распределения составляющих величин X, Y и коэффициент корреляции p(X, Y).
Скачать решение

Задание . Двумерная дискретная величина (X, Y) задана законом распределения. Найти законы распределения составляющих X и Y, ковариацию и коэффициент корреляции.

Похожие статьи

  • Царь Фёдор Алексеевич - неизвестный реформатор

    Два царствования первых государей Романова дома были периодом господства приказного люда, расширения письмоводства, бессилия закона, пустосвятства, повсеместного обдирательства работящего народа, всеобщего обмана, побегов, разбоев и...

  • Понятие технологизации Объективные причины технологизации социальной работы

    Мировой опыт показывает, что в условиях динамичных экономических и социальных изменений в практике управления все в большей степени утверждается инновационный метод освоения социального пространства - его технологизация. В ходе...

  • Отметьте какая энергия зашифрована в данном ребусе

    Как известно, личностью не рождаются, ею становятся, и основы этого закладываются еще в детском возрасте. Немалую роль в становлении человека как интеллектуальной индивидуальности играют его умственные способности и смекалка, развивать...

  • Нестыковки в истории человечества

    Американским кинозрителям фильм известен под названием «Иван Васильевич: Назад в будущее» (en Ivan Vasilievich: Back to the Future) - см. Назад в будущее .Шведский посол говорит не на шведском языке, а на ломаном немецком (немецкий язык...

  • Самая большая волна в мире: все еще впереди

    В декабре 2004 года фото самой большой волны в мире облетело все издания мира. 26 декабря произошло землетрясение в Азии, результатом которого стала волна-цунами, уничтожившая более 235 тысяч человек.СМИ публиковали фото разрушений, уверяя...

  • Император Пётр Первый Последние секунды жизни петра 1

    Петр и Екатерина выехали из Астрахани в Москву в конце ноября 1722 года. Еще до их отъезда начал выпадать снег. Волгу ниже Царицына сковало льдом, и Петр не смог пуститься в путь на галерах. Отыскать подходящие для царского кортежа сани...