Mi az a teljesítményfüggvény. Alapvető elemi függvények: tulajdonságaik és grafikonjaik. Az n-edik fokú függvénygyök tulajdonságai, n páros szám

Ismeri a funkciókat y=x, y=x2, y=x3, y=1/x stb. Mindezek a függvények a hatványfüggvény, azaz a függvény speciális esetei y=xp, ahol p egy adott valós szám.
A hatványfüggvény tulajdonságai és grafikonja alapvetően függ egy valós kitevővel rendelkező hatvány tulajdonságaitól, és különösen attól, hogy milyen értékekre xés p van értelme x p. Folytassuk a különböző esetek hasonló megfontolását, attól függően
kitevő p.

1. Indikátor p=2n páros természetes szám.

y=x2n, ahol n természetes szám, a következőkkel rendelkezik

tulajdonságok:

• a definíciós tartomány minden valós szám, azaz az R halmaz;
• értékkészlet - nem negatív számok, azaz y nagyobb vagy egyenlő, mint 0;
• funkció y=x2n sőt, mert x 2n=(- x) 2n
• a függvény az intervallumon csökken x<0 és növeli az intervallumot x>0.

Függvénygrafikon y=x2n ugyanolyan alakú, mint például egy függvény grafikonja y=x4.

2. Mutató p=2n-1- páratlan természetes szám
Ebben az esetben a teljesítmény függvény y=x 2n-1, ahol egy természetes szám, a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

• definíciós tartomány - R halmaz;
• értékkészlet - R készlet;
• funkció y=x 2n-1 furcsa, mert (- x) 2n-1=x 2n-1;
• a függvény a teljes valós tengelyen növekszik.

Függvénygrafikon y=x A 2n-1 ugyanolyan alakú, mint például a függvény grafikonja y=x 3 .

3. Mutató p=-2n, ahol n- természetes szám.

Ebben az esetben a teljesítmény függvény y=x-2n=1/x2n a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

• definíciós tartomány - R halmaz, kivéve x=0;
• értékkészlet - pozitív számok y>0;
• függvény y =1/x2n sőt, mert 1/(-x) 2n=1/x2n;
• a függvény növekszik az x intervallumon<0 и убывающей на промежутке x>0.

Az y függvény grafikonja =1/x2n ugyanolyan alakú, mint például az y függvény grafikonja =1/x2.

A hatványfüggvény az y=x n alakú függvény (olvasható, hogy y egyenlő x-szel n hatványával), ahol n egy adott szám. A hatványfüggvények sajátos esetei az y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/x és sok más formájú függvények. Beszéljünk részletesebben mindegyikről.

Lineáris függvény y=x 1 (y=x)

A grafikon egy egyenes, amely az Ox tengely pozitív irányával 45 fokos szöget bezár a ponton (0;0).

A diagram lent látható.

A lineáris függvény alapvető tulajdonságai:

• A függvény növekszik, és az egész szám tengelyén van meghatározva.
• Nincsenek maximális és minimális értékei.

Másodfokú függvény y=x 2

A másodfokú függvény grafikonja egy parabola.

A másodfokú függvény alapvető tulajdonságai:

• 1. Ha x=0, y=0, és y>0 ha x0
• 2. A másodfokú függvény a csúcsánál éri el minimális értékét. Ymin x=0-nál; Azt is meg kell jegyezni, hogy a függvény maximális értéke nem létezik.
• 3. A függvény az intervallumon csökken (-∞; 0], és nő az intervallumon és a konvexitás a [ 0 , + ∞) intervallumon;
• az inflexiós pontnak vannak koordinátái (0 ; 0) ;
• nincsenek aszimptoták;
• a páratlan n függvény grafikonja átmegy a (- 1 ; - 1), (0 ; 0) és (1 ; 1) pontokon.

Teljesítmény funkció

5. definíció

A hatványfüggvényt az y = x a képlet határozza meg.

A grafikonok típusa és a függvény tulajdonságai a kitevő értékétől függenek.

• ha egy hatványfüggvény egész kitevője a, akkor a hatványfüggvény grafikonjának formája és tulajdonságai attól függnek, hogy a kitevő páros vagy páratlan, és attól is, hogy milyen előjelű a kitevő. Vizsgáljuk meg ezeket a különleges eseteket az alábbiakban részletesebben;
• a kitevő lehet tört vagy irracionális - ettől függően a gráfok típusa és a függvény tulajdonságai is változnak. A speciális eseteket több feltétel felállításával elemezzük: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• egy hatványfüggvénynek lehet nulla kitevője, az alábbiakban ezt az esetet is elemezzük részletesebben.

Elemezzük a hatványfüggvényt y = x a, ha a páratlan pozitív szám, például a = 1 , 3 , 5 …

Az érthetőség kedvéért feltüntetjük az ilyen hatványfüggvények grafikonjait: y = x (a grafikon fekete színe), y = x 3 (a diagram kék színe), y = x 5 (a grafikon piros színe), y = x 7 (zöld grafikon). Ha a = 1, akkor egy y = x lineáris függvényt kapunk.

6. definíció

Hatványfüggvény tulajdonságai, ha a kitevő páratlan pozitív

• a függvény növekszik x ∈ esetén (- ∞ ; + ∞) ;
• a függvény konvex x ∈ (- ∞ ; 0 ] esetén, és konkáv x ∈ [ 0 ; + ∞) esetén (a lineáris függvény nélkül);
• az inflexiós pontnak vannak koordinátái (0 ; 0) (a lineáris függvény nélkül);
• nincsenek aszimptoták;
• függvény átadási pontjai: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Elemezzük a hatványfüggvényt y = x a, ha a páros pozitív szám, például a = 2 , 4 , 6 ...

Az érthetőség kedvéért feltüntetjük az ilyen hatványfüggvények grafikonjait: y \u003d x 2 (a grafikon fekete színe), y = x 4 (a grafikon kék színe), y = x 8 (a grafikon piros színe). Ha a = 2, akkor egy másodfokú függvényt kapunk, amelynek grafikonja egy másodfokú parabola.

7. definíció

Hatványfüggvény tulajdonságai, ha a kitevő páros pozitív:

• definíciós tartomány: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• csökkenő x ∈ esetén (- ∞ ; 0 ] ;
• a függvény konkáv x ∈ (- ∞ ; + ∞) esetén;
• nincsenek inflexiós pontok;
• nincsenek aszimptoták;
• függvény átadási pontjai: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Az alábbi ábra példákat mutat be exponenciális függvénygrafikonokra y = x a, ha a páratlan negatív szám: y = x - 9 (a diagram fekete színe); y = x - 5 (a diagram kék színe); y = x - 3 (a diagram piros színe); y = x - 1 (zöld grafikon). Ha a \u003d - 1, akkor egy fordított arányosságot kapunk, amelynek grafikonja egy hiperbola.

8. definíció

A hatványfüggvény tulajdonságai, ha a kitevő páratlan negatív:

Ha x \u003d 0, akkor egy második típusú szakadást kapunk, mivel lim x → 0 - 0 xa \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 xa \u003d + ∞ a \u003d - 1, - 3, - esetén 5, .... Így az x = 0 egyenes függőleges aszimptota;

• tartomány: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• a függvény páratlan, mert y (- x) = - y (x) ;
• a függvény x ∈ - ∞ esetén csökken; 0 ∪ (0 ; + ∞);
• a függvény konvex x ∈ (- ∞ ; 0) esetén és konkáv x ∈ (0 ; + ∞) esetén;
• nincsenek inflexiós pontok;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, ha a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

• függvény átadási pontjai: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Az alábbi ábra példákat mutat be az y = x a hatványfüggvény grafikonjaira, amikor a páros negatív szám: y = x - 8 (fekete diagram); y = x - 4 (a grafikon kék színe); y = x - 2 (a grafikon piros színe).

9. definíció

A hatványfüggvény tulajdonságai, ha a kitevő páros negatív:

• definíciós tartomány: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Ha x \u003d 0, akkor egy második típusú szakadást kapunk, mivel lim x → 0 - 0 xa \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 xa \u003d + ∞ a \u003d - 2, - 4, - esetén 6, .... Így az x = 0 egyenes függőleges aszimptota;

• a függvény páros, mert y (- x) = y (x) ;
• a függvény növekszik x ∈ (- ∞ ; 0) esetén, és csökken x ∈ 0 esetén; +∞ ;
• a függvény konkáv x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) esetén;
• nincsenek inflexiós pontok;
• a vízszintes aszimptota egy egyenes y = 0, mert:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, ha a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• függvény átadási pontjai: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Már az elején ügyeljen a következő szempontra: abban az esetben, ha a páratlan nevezőjű pozitív tört, egyes szerzők a -∞ intervallumot veszik ennek a hatványfüggvénynek a definíciós tartományának; + ∞ , ami azt jelenti, hogy az a kitevő irreducibilis tört. Jelenleg számos algebrával és az elemzés kezdetével foglalkozó oktatási publikáció szerzői NEM DEFINÍCIÓK olyan hatványfüggvényeket, ahol a kitevő az argumentum negatív értékeinek páratlan nevezőjével rendelkező tört. A továbbiakban csak egy ilyen állásponthoz ragaszkodunk: vesszük a halmazt [ 0 ; +∞) . Javaslat a tanulóknak: a nézeteltérések elkerülése érdekében ezen a ponton tájékozódjon a tanár álláspontjáról.

Tehát vessünk egy pillantást a teljesítmény függvényre y = x a, ha a kitevő racionális vagy irracionális szám, feltéve, hogy 0< a < 1 .

Szemléltessük grafikonokkal a hatványfüggvényeket y = x a, ha a = 11 12 (fekete diagram); a = 5 7 (a grafikon piros színe); a = 1 3 (a grafikon kék színe); a = 2 5 (a grafikon zöld színe).

Az a kitevő egyéb értékei (0-t feltételezve< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

10. definíció

Hatványfüggvény tulajdonságai 0-nál< a < 1:

• tartomány: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• a függvény növekszik x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• a függvénynek van konvexitása x ∈ (0 ; + ∞) esetén;
• nincsenek inflexiós pontok;
• nincsenek aszimptoták;

Elemezzük a hatványfüggvényt y = x a, ha a kitevő nem egész racionális vagy irracionális szám, feltéve, hogy a > 1 .

A hatványfüggvény grafikonjait szemléltetjük y \u003d xa adott körülmények között, példaként a következő függvények használatával: y \u003d x 5 4, y \u003d x 4 3, y \u003d x 7 3, y \u003d x 3 π (fekete, piros, kék, zöld grafikonok, ill.

Az a kitevő egyéb értékei a > 1 feltétel mellett hasonló képet adnak a grafikonról.

11. definíció

Hatványfüggvény tulajdonságai > 1 esetén:

• definíciós tartomány: x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• tartomány: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• ez a függvény általános forma függvénye (nem páratlan és nem páratlan);
• a függvény növekszik x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• a függvény konkáv x ∈ (0 ; + ∞) esetén (amikor 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• nincsenek inflexiós pontok;
• nincsenek aszimptoták;
• függvény áthaladási pontjai: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Ha a páratlan nevezővel rendelkező negatív tört, akkor egyes szerzők munkáiban az a nézet, hogy a definíciós tartomány ebben az esetben a - ∞ intervallum; 0 ∪ (0 ; + ∞) azzal a feltétellel, hogy az a kitevő irreducibilis tört. Jelenleg az algebráról és az elemzés kezdeteiről szóló oktatási anyagok szerzői NEM DEFINÍCIÓK a hatványfüggvényeket kitevővel, páratlan nevezőjű tört formájában az argumentum negatív értékeire. Továbbá éppen egy ilyen nézethez ragaszkodunk: a (0 ; + ∞) halmazt vesszük a tört negatív kitevővel rendelkező hatványfüggvények tartományának. Javaslat a tanulóknak: Ezen a ponton tisztázza tanára elképzelését, hogy elkerülje a nézeteltéréseket.

Folytatjuk a témát és elemezzük a hatványfüggvényt y = x a feltéve: - 1< a < 0 .

Íme a következő függvények grafikonjai: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (fekete, piros, kék, zöld vonalak, ill. ).

12. definíció

A teljesítményfüggvény tulajdonságai - 1-nél< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞, ha -1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• tartomány: y ∈ 0 ; +∞ ;
• ez a függvény általános forma függvénye (nem páratlan és nem páratlan);
• nincsenek inflexiós pontok;

Az alábbi rajz az y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 hatványfüggvények grafikonjait mutatja (a görbék fekete, piros, kék, zöld színei).

13. definíció

Hatványfüggvény tulajdonságai a< - 1:

• definíciós tartomány: x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ ha a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• tartomány: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ez a függvény általános forma függvénye (nem páratlan és nem páratlan);
• a függvény x ∈ 0 esetén csökken; +∞ ;
• a függvény konkáv x ∈ 0 esetén; +∞ ;
• nincsenek inflexiós pontok;
• vízszintes aszimptota - egyenes y = 0 ;
• függvény áthaladási pontja: (1 ; 1) .

Ha a \u003d 0 és x ≠ 0, akkor az y \u003d x 0 \u003d 1 függvényt kapjuk, amely meghatározza azt az egyenest, amelyből a (0; 1) pont ki van zárva (megegyeztünk, hogy a 0 0 kifejezést nem adjuk meg bármilyen érték).

Az exponenciális függvénynek van formája y = a x, ahol a > 0 és a ≠ 1, és ennek a függvénynek a grafikonja másképp néz ki az a bázis értéke alapján. Nézzünk speciális eseteket.

Először elemezzük azt a helyzetet, amikor az exponenciális függvény bázisának értéke nullától egyig (0< a < 1) . Szemléltető példa az a = 1 2 (a görbe kék színe) és a = 5 6 (a görbe piros színe) függvénygrafikonjai.

Az exponenciális függvény grafikonjai hasonló formájúak lesznek az alap többi értékére is, feltéve, hogy 0< a < 1 .

14. definíció

Egy exponenciális függvény tulajdonságai, ha az alap kisebb egynél:

• tartomány: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ez a függvény általános forma függvénye (nem páratlan és nem páratlan);
• egy exponenciális függvény, amelynek bázisa kisebb, mint egy, a teljes definíciós tartományban csökken;
• nincsenek inflexiós pontok;
• a vízszintes aszimptota az y = 0 egyenes, ahol az x változó + ∞ -re hajlik;

Tekintsük most azt az esetet, amikor az exponenciális függvény bázisa nagyobb egynél (a > 1).

Illusztráljuk ezt a speciális esetet az y = 3 2 x (a görbe kék színe) és az y = e x (a gráf piros színe) exponenciális függvények grafikonjával.

A bázis egyéb értékei, amelyek egynél nagyobbak, hasonló képet adnak az exponenciális függvény grafikonjáról.

15. definíció

Az exponenciális függvény tulajdonságai, ha a bázis nagyobb egynél:

• a definíciós tartomány a valós számok teljes halmaza;
• tartomány: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ez a függvény általános forma függvénye (nem páratlan és nem páratlan);
• egy exponenciális függvény, amelynek bázisa nagyobb, mint egy, növekszik x ∈ - ∞ esetén; +∞ ;
• a függvény konkáv x ∈ - ∞ esetén; +∞ ;
• nincsenek inflexiós pontok;
• vízszintes aszimptota - egyenes y = 0, x változóval - ∞;
• függvény áthaladási pontja: (0 ; 1) .

A logaritmikus függvény alakja y = log a (x) , ahol a > 0, a ≠ 1 .

Egy ilyen függvény csak az argumentum pozitív értékeire van definiálva: x ∈ 0 esetén; +∞ .

A logaritmikus függvény grafikonja más alakú, az a bázis értéke alapján.

Tekintsük először azt a helyzetet, amikor 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

A bázis egyéb értékei, amelyek nem nagyobbak egynél, hasonló képet adnak a grafikonról.

16. definíció

A logaritmikus függvény tulajdonságai, ha az alap kisebb egynél:

• definíciós tartomány: x ∈ 0 ; +∞ . Mivel x jobbról nullára tart, a függvény értékei + ∞;
• tartomány: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• ez a függvény általános forma függvénye (nem páratlan és nem páratlan);
• logaritmikus
• a függvény konkáv x ∈ 0 esetén; +∞ ;
• nincsenek inflexiós pontok;
• nincsenek aszimptoták;

Most elemezzünk egy speciális esetet, amikor a logaritmikus függvény alapja nagyobb egynél: a > 1 . Az alábbi rajzon y = log 3 2 x és y = ln x logaritmikus függvények grafikonjai (a grafikonok kék és piros színe) láthatók.

Az egynél nagyobb alapértékek hasonló képet adnak a grafikonról.

17. definíció

A logaritmikus függvény tulajdonságai, ha az alap nagyobb egynél:

• definíciós tartomány: x ∈ 0 ; +∞ . Mivel x jobbról nullára hajlik, a függvény értékei - ∞;
• tartomány: y ∈ - ∞ ; + ∞ (a valós számok teljes halmaza);
• ez a függvény általános forma függvénye (nem páratlan és nem páratlan);
• a logaritmikus függvény növekszik x ∈ 0 esetén; +∞ ;
• a függvénynek van konvexitása x ∈ 0 esetén; +∞ ;
• nincsenek inflexiós pontok;
• nincsenek aszimptoták;
• függvény áthaladási pontja: (1 ; 0) .

A trigonometrikus függvények szinusz, koszinusz, érintő és kotangens. Elemezzük mindegyik tulajdonságait és a megfelelő gráfokat.

Általában minden trigonometrikus függvényt a periodicitás tulajdonsága jellemez, pl. amikor a függvények értékei megismétlődnek az argumentum különböző értékeire, amelyek az f (x + T) = f (x) periódus értékével különböznek egymástól (T a periódus). Így a trigonometrikus függvények tulajdonságainak listájához hozzáadódik a „legkisebb pozitív periódus” elem. Ezenkívül az argumentum azon értékeit fogjuk jelezni, amelyeknél a megfelelő függvény eltűnik.

1. Szinuszfüggvény: y = sin(x)

Ennek a függvénynek a grafikonját szinuszhullámnak nevezzük.

18. meghatározás

A szinuszfüggvény tulajdonságai:

• definíciós tartomány: a valós számok teljes halmaza x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• a függvény eltűnik, ha x = π k, ahol k ∈ Z (Z az egész számok halmaza);
• a függvény növekszik x ∈ - π 2 + 2 π · k esetén; π 2 + 2 π k , k ∈ Z és csökkenő x ∈ π 2 + 2 π k esetén; 3 π 2 + 2 π k, k ∈ Z;
• a szinuszfüggvénynek lokális maximumai vannak a π 2 + 2 π · k pontokban; 1 és helyi minimumok a pontokban - π 2 + 2 π · k ; - 1, k ∈ Z;
• a szinuszfüggvény konkáv, ha x ∈ - π + 2 π k; 2 π k , k ∈ Z és konvex, ha x ∈ 2 π k ; π + 2 π k, k ∈ Z;
• nincsenek aszimptoták.

1. koszinusz függvény: y=cos(x)

Ennek a függvénynek a grafikonját koszinuszhullámnak nevezzük.

19. meghatározás

A koszinusz függvény tulajdonságai:

• definíciós tartomány: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• a legkisebb pozitív periódus: T \u003d 2 π;
• tartomány: y ∈ - 1 ; egy ;
• ez a függvény páros, mivel y (- x) = y (x) ;
• a függvény növekszik x ∈ - π + 2 π · k esetén; 2 π · k , k ∈ Z és csökkenő x ∈ 2 π · k esetén; π + 2 π k, k ∈ Z;
• a koszinuszfüggvény lokális maximumokkal rendelkezik a 2 π · k pontokban; 1, k ∈ Z és lokális minimumok a π + 2 π · k pontokban; - 1, k ∈ z;
• a koszinuszfüggvény konkáv, ha x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π k, k ∈ Z és konvex, ha x ∈ - π 2 + 2 π k; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
• Az inflexiós pontok koordinátái π 2 + π · k ; 0, k ∈ Z
• nincsenek aszimptoták.

1. Érintő függvény: y = t g (x)

Ennek a függvénynek a grafikonját ún tangentoid.

20. definíció

Az érintőfüggvény tulajdonságai:

• definíciós tartomány: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k, ahol k ∈ Z (Z az egész számok halmaza);
• Az érintőfüggvény viselkedése a lim x → π 2 + π · k + 0 tg (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 tg (x) = + definíciós tartomány határán ∞ . Így az x = π 2 + π · k k ∈ Z egyenesek függőleges aszimptoták;
• a függvény eltűnik, ha x = π k k ∈ Z esetén (Z az egész számok halmaza);
• tartomány: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• ez a függvény páratlan, mert y (- x) = - y (x) ;
• a függvény növekszik -π 2 + π · k esetén; π 2 + π k, k ∈ Z;
• az érintőfüggvény konkáv x ∈ [ π · k esetén; π 2 + π k) , k ∈ Z és konvex x ∈ esetén (- π 2 + π k ; π k ] , k ∈ Z ;
• Az inflexiós pontok koordinátái π k; 0, k ∈ Z;

1. Kotangens függvény: y = c t g (x)

Ennek a függvénynek a grafikonját kotangentoidnak nevezzük. .

21. meghatározás

A kotangens függvény tulajdonságai:

• definíciós tartomány: x ∈ (π k ; π + π k) , ahol k ∈ Z (Z az egész számok halmaza);

A kotangens függvény viselkedése a lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ definíciós tartomány határán, lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Így az x = π k k ∈ Z egyenesek függőleges aszimptoták;

• a legkisebb pozitív periódus: T \u003d π;
• a függvény eltűnik, ha x = π 2 + π k k ∈ Z esetén (Z az egész számok halmaza);
• tartomány: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• ez a függvény páratlan, mert y (- x) = - y (x) ;
• a függvény csökkenőben van x ∈ π · k esetén; π + π k, k ∈ Z;
• a kotangens függvény konkáv x ∈ (π k ; π 2 + π k ] , k ∈ Z esetén és konvex x ∈ [ - π 2 + π k ; π k ; π k ), k ∈ Z esetén;
• Az inflexiós pontok koordinátái π 2 + π · k ; 0, k ∈ Z;
• nincsenek ferde és vízszintes aszimptoták.

Az inverz trigonometrikus függvények az arcszinusz, arkkoszinusz, arctangens és arckotangens. Gyakran az "ív" előtag jelenléte miatt a névben az inverz trigonometrikus függvényeket ívfüggvényeknek nevezik. .

1. Arcsinuszfüggvény: y = a r c sin (x)

22. definíció

Az arcszinusz függvény tulajdonságai:

• ez a függvény páratlan, mert y (- x) = - y (x) ;
• az arcszinuszfüggvény konkáv x ∈ 0 esetén; 1 és konvexitás x ∈ - 1 esetén; 0;
• az inflexiós pontok koordinátái (0 ; 0) , ez egyben a függvény nullája is;
• nincsenek aszimptoták.

1. Arccosine funkció: y = a r c cos (x)

23. definíció

Arccosine függvény tulajdonságai:

• definíciós tartomány: x ∈ - 1 ; egy ;
• tartomány: y ∈ 0 ; π;
• ez a függvény általános formájú (sem páros, sem nem páratlan);
• a függvény a teljes definíciós tartományban csökken;
• az arccosinus függvény konkáv x ∈ - 1 esetén; 0 és konvexitás x ∈ 0 esetén; egy ;
• Az inflexiós pontok koordinátái 0 ; π2;
• nincsenek aszimptoták.

1. Arktangens függvény: y = a r c t g (x)

24. definíció

Arktangens függvény tulajdonságai:

• definíciós tartomány: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• tartomány: y ∈ - π 2 ; π2;
• ez a függvény páratlan, mert y (- x) = - y (x) ;
• a függvény növekszik a teljes definíciós tartományban;
• az arctangens függvény konkáv x ∈ (- ∞ ; 0 ] esetén és konvex x ∈ [ 0 ; + ∞ ) esetén;
• az inflexiós pontnak vannak koordinátái (0; 0), ez egyben a függvény nullája is;
• A vízszintes aszimptoták az y = - π 2 egyenesek x → - ∞ esetén és y = π 2 x → + ∞ esetén (az ábrán az aszimptoták zöld vonalak).

1. Ív kotangens függvény: y = a r c c t g (x)

25. definíció

Az ívkotangens függvény tulajdonságai:

• definíciós tartomány: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• tartomány: y ∈ (0 ; π) ;
• ez a funkció általános típusú;
• a függvény a teljes definíciós tartományban csökken;
• az arc kotangens függvény konkáv x ∈ [ 0 ; + ∞) és konvexitás x ∈ esetén (- ∞ ; 0 ] ;
• az inflexiós pont koordinátái 0 ; π2;
• vízszintes aszimptoták az y = π egyenesek x → - ∞ (zöld vonal a rajzon) és y = 0 x → + ∞ pontban.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Az y \u003d ax, y \u003d ax 2, y \u003d a / x függvények a teljesítményfüggvények speciális típusai n = 1, n = 2, n = -1 .

Ha n törtszám p/ q páros nevezővel qés páratlan számláló R, majd az értéket két előjele lehet, és a grafikonnak van még egy része az x tengely alján x, és szimmetrikus a felső részre.

Egy kétértékű y \u003d ± 2x 1/2 függvény grafikonját látjuk, azaz. vízszintes tengelyű parabola ábrázolja.

Függvénygrafikonok y = xn nál nél n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . Ezek a grafikonok átmennek az (1; 1) ponton.

Mikor n = -1 kapunk túlzás. Nál nél n < - 1 a hatványfüggvény grafikonja először a hiperbola felett helyezkedik el, azaz. között x = 0és x = 1, majd lent (at x > 1). Ha n> -1 a grafikon fordítottan fut. Negatív értékek xés törtértékek n hasonló pozitív n.

Minden gráf korlátlanul közelít az x tengelyhez X, valamint az y tengelyre nál nél anélkül, hogy érintkezésbe kerülne velük. A hiperbolához való hasonlóságuk miatt ezeket a grafikonokat hiperboláknak nevezik. n th rendelés.