Bevezetés

A matematikában és annak természettudományi és technológiai alkalmazásaiban az exponenciális függvényeket széles körben használják. Ez különösen azzal magyarázható, hogy számos természettudományban vizsgált jelenség az úgynevezett szerves növekedési folyamatok közé tartozik, amelyekben a bennük részt vevő funkciók változási üteme arányos a funkciók értékeivel. maguk.

Ha függvénnyel és argumentummal jelöljük, akkor az organikus növekedés folyamatának differenciáltörvénye olyan formában írható fel, ahol valamilyen állandó arányossági együttható.

Ennek az egyenletnek az integrálása az általános megoldáshoz vezet exponenciális függvény formájában

Ha a kezdeti feltételt értékre állítja, akkor meghatározhat egy tetszőleges állandót, és így találhat egy konkrét megoldást, amely a vizsgált folyamat szerves törvénye.

A szerves növekedés folyamatai – néhány leegyszerűsítő feltételezés mellett – olyan jelenségek, mint például a légköri nyomás változása a Föld felszíne feletti magasság függvényében, radioaktív bomlás, a test lehűlése vagy felmelegedése állandó hőmérsékletű környezetben, egymolekuláris kémiai reakció (például egy anyag feloldódása vízben), amelyben a tömeghatás törvénye megy végbe (a reakció sebessége arányos a jelenlévő reagens mennyiségével), mikroorganizmusok szaporodása és sok más.

A kamatos kamat felhalmozódása miatti pénzmennyiség növekedése (kamat kamata) szintén szerves növekedési folyamat.

Ezeket a példákat lehetne folytatni.

Az egyedi exponenciális függvények mellett az exponenciális függvények különféle kombinációi is alkalmazásra találnak a matematikában és alkalmazásaiban, amelyek közül kiemelt jelentőséggel bírnak bizonyos lineáris és tört-lineáris függvénykombinációk, valamint az ún. hiperbolikus függvények. Hat ilyen funkció van, ezekhez a következő speciális neveket és megnevezéseket vezették be:

(hiperbolikus szinusz),

(hiperbolikus koszinusz),

(hiperbolikus érintő),

(hiperbolikus kotangens),

(hiperbolikus szekáns),

(hiperbolikus szekáns).

Felmerül a kérdés, hogy miért pont ilyen neveket adnak, és itt van egy hiperbola és a trigonometriából ismert függvények nevei: szinusz, koszinusz stb.? Kiderül, hogy a trigonometrikus függvényeket egységsugarú kör pontjainak koordinátáival összekötő relációk hasonlóak azokhoz az összefüggésekhez, amelyek a hiperbolikus függvényeket egy egységnyi féltengelyű, egyenlő oldalú hiperbola pontjainak koordinátáival kötik össze. Ez indokolja a hiperbolikus függvények elnevezését.

Hiperbolikus függvények

A képletekkel megadott függvényeket hiperbolikus koszinusznak, illetve hiperbolikus szinusznak nevezzük.

Ezek a függvények definiáltak és folyamatosan be vannak kapcsolva, és páros és páratlan függvények.

1.1. ábra - Függvénygrafikonok

A hiperbolikus függvények definíciójából az következik, hogy:

A trigonometrikus függvényekkel analóg módon a hiperbolikus érintőt és a kotangenst a képletekkel definiáljuk.

Egy függvény definiált és folyamatos be van kapcsolva, a függvény pedig definiált és folytonos egy szúrt pontú halmazon; mindkét függvény páratlan, grafikonjaik az alábbi ábrákon láthatók.

1.2 ábra - A függvény grafikonja

1.3 ábra - A függvény grafikonja

Megmutatható, hogy a és a funkciók szigorúan növekszenek, míg a funkció szigorúan csökken. Ezért ezek a funkciók reverzibilisek. Jelölje a függvényeket inverzekkel, ill.

Tekintsünk egy függvényt egy függvényre fordítottan, azaz. funkció. Elemiekkel fejezzük ki. Megoldva az egyenletet a vonatkozásban, megkapjuk a Mivel, akkor honnan

A -val és -vel helyettesítve megtaláljuk a hiperbolikus szinusz inverz függvényének képletét.

, 6. oldal

11 Komplex változó alapfüggvényei

Emlékezzünk vissza a komplex kitevő definíciójára - . Azután

Maclaurin sorozat bővítése. Ennek a sorozatnak a konvergencia sugara +∞, ami azt jelenti, hogy a komplex kitevő a teljes komplex síkon analitikus és

(exp z)"=exp z; exp 0 = 1. (2)

Az első egyenlőség itt például a hatványsorok tagonkénti differenciálására vonatkozó tételből következik.

11.1 Trigonometrikus és hiperbolikus függvények

Egy komplex változó szinusza függvénynek nevezzük

Komplex változó koszinusza van egy funkció

Komplex változó hiperbolikus szinuszaígy van definiálva:

Komplex változó hiperbolikus koszinusza-- egy függvény

Megjegyezzük az újonnan bevezetett függvények néhány tulajdonságát.

A. Ha x∈ ℝ , akkor cos x, sin x, ch x, sh x∈ ℝ .

B. A trigonometrikus és a hiperbolikus függvények között a következő összefüggés van:

cos iz=ch z; sin iz=ish z, ch iz=cos z; shiz=isinz.

B. Alapvető trigonometrikus és hiperbolikus azonosságok:

cos 2 z+sin 2 z=1; ch 2 z-sh 2 z=1.

Az alapvető hiperbolikus azonosság bizonyítása.

A fő trigonometrikus azonosság az ononi hiperbolikus azonosságból következik, ha figyelembe vesszük a trigonometrikus és a hiperbolikus függvények közötti kapcsolatot (lásd a B tulajdonságot).

G Összeadási képletek:

Különösen,

D. A trigonometrikus és hiperbolikus függvények deriváltjainak kiszámításához alkalmazni kell a hatványsorok tagonkénti differenciálásáról szóló tételt. Kapunk:

(cos z)"=-sin z; (sin z)"=cos z; (ch z)"=sh z; (sh z)"=ch z.

E. A cos z, ch z függvények párosak, míg a sin z, sh z függvények páratlanok.

G. (Időszakosság) Az e z függvény periodikus 2π i periódussal. A cos z, sin z függvények 2π periódusúak, a ch z, sh z függvények pedig 2πi periódusúak. Ráadásul,

Az összegképleteket alkalmazva azt kapjuk

Z. Valós és képzeletbeli részekre bontás:

Ha egy f(z) egyértékű analitikus függvény bijektíven leképez egy D tartományt egy G tartományra, akkor D-t univalenciatartománynak nevezzük.

ÉS. D k tartomány =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .

Bizonyíték. Az (5) reláció azt jelenti, hogy az exp:D k → ℂ leképezés injektív. Legyen w tetszőleges nullától eltérő komplex szám. Ezután az e x =|w| ​​egyenletek megoldása és e iy =w/|w| x és y valós változókkal (a félintervallumból y-t választunk); néha figyelembe veszik ...... Enciklopédiai szótár F.A. Brockhaus és I.A. Efron

A hiperbolikus függvényekkel fordított függvények (lásd Hiperbolikus függvények) sh x, ch x, th x; képletekkel fejezik ki (értsd: hiperbolikus arzin, hiperbolikus terület koszinusz, területtangens ... ... Nagy szovjet enciklopédia

A függvények fordítottak a hiperbolikusra. funkciók; képletekben kifejezve... Természettudomány. enciklopédikus szótár

Az inverz hiperbolikus függvények a hiperbolikus függvények inverzei. Ezek a függvények az egységnyi hiperbola szektor x2 − y2 = 1 területét ugyanúgy meghatározzák, mint az inverz trigonometrikus függvények a hosszát ... ... Wikipédia

Könyvek

• Hiperbolikus függvények , Yanpolsky A.R. A könyv leírja a hiperbolikus és inverz hiperbolikus függvények tulajdonságait, és megadja a kapcsolatukat más elemi függvényekkel. A hiperbolikus függvények alkalmazása…

Érintő, kotangens

Hiperbolikus függvények definíciói, definíció- és értéktartományaik

sh x- hiperbolikus szinusz
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x- hiperbolikus koszinusz
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .
Kösz- hiperbolikus érintő
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x- hiperbolikus kotangens
, x ≠ 0; y< -1 или y > +1 .

Hiperbolikus függvények grafikonjai

Az y = hiperbolikus szinusz diagramja sh x

Az y = hiperbolikus koszinusz diagramja ch x

Az y= hiperbolikus érintő diagramja Kösz

Az y = hiperbolikus kotangens diagramja cth x

Hiperbolikus függvényekkel rendelkező képletek

Kapcsolat a trigonometrikus függvényekkel

sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z ; ch iz = cos z
tgiz = i th z ; ctg iz = - i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = - i ctg z
Itt i egy képzeletbeli egység, i 2 = - 1 .

Ezeket a képleteket trigonometrikus függvényekre alkalmazva hiperbolikus függvényekre vonatkozó képleteket kapunk.

Paritás

sh(-x) = - sh x; ch(-x) = ch x.
th(-x) = -edik x; cth(-x) = - cth x.

Funkció ch(x)- még. Funkciók sh(x), Kösz), cth(x)- páratlan.

A négyzetek különbsége

ch 2 x - sh 2 x = 1.

Az argumentumok összegének és különbségének képlete

sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,

sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.

Képletek a hiperbolikus szinusz és koszinusz szorzataihoz

,
,
,

,
,
.

Képletek a hiperbolikus függvények összegére és különbségére

,
,
,
,
.

Hiperbolikus szinusz és koszinusz kapcsolata érintővel és kotangenssel

, ,
, .

Származékok

,

Az sh x, ch x, th x, cth x integráljai

,
,
.

Bővítések sorozatokká

Inverz függvények

Areasine

- ∞< x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

Areacosine

Nál nél 1 ≤ x< ∞ és 0 ≤ év< ∞ vannak képletek:
,
.

A területkoszinusz második ága a 1 ≤ x< ∞ és - ∞< y ≤ 0 :
.

Területi tangens

Nál nél - 1 < x < 1 és - ∞< y < ∞ имеют место формулы:
,

HIPERBOLIUS FUNKCIÓK- A hiperbolikus szinusz (sh x) és koszinusz (ch x) a következő egyenlőségekkel definiálható:

A hiperbolikus érintőt és a kotangenst a trigonometrikus érintővel és a kotangenssel analóg módon határozzuk meg:

A hiperbolikus szekáns és koszekáns definíciója hasonló:

Vannak képletek:

A hiperbolikus függvények tulajdonságai sok tekintetben hasonlóak a tulajdonságokhoz (lásd). Az x=cos t, y=sin t egyenletek az x²+y² = 1 kört határozzák meg; az x=сh t, y=sh t egyenletek az x² - y²=1 hiperbolát határozzák meg. Ahogy a trigonometrikus függvényeket egységsugarú körből határozzuk meg, úgy a hiperbolikus függvényeket x² - y² = 1 egyenlő szárú hiperbolából határozzuk meg. A t argumentum az OME árnyékolt görbe vonalú háromszög dupla területe (48. ábra), hasonlóan ahhoz, hogy körkörös (trigonometrikus) függvényeknél a t argumentum numerikusan egyenlő az OKE görbe vonalú háromszög területének kétszeresével. 49. ábra):

körhöz

hiperbolának

A hiperbolikus függvények összeadási tételei hasonlóak a trigonometrikus függvények összeadási tételeihez:

Ezek az analógiák könnyen beláthatók, ha az r összetett változót vesszük x argumentumként. A hiperbolikus függvények a trigonometrikus függvényekkel a következő képletekkel kapcsolódnak: sh x \u003d - i sin ix, ch x \u003d cos ix, ahol i az egyik a gyökér értékei √-1. Az sh x, valamint a ch x: hiperbolikus függvények bármilyen nagy értéket felvehetnek (ezért természetesen nagy egységeket), ellentétben a sin x, cos x trigonometrikus függvényekkel, amelyek valós értékek esetén nem. abszolút értékben nagyobb legyen egynél.
A hiperbolikus függvények szerepet játszanak Lobacsevszkij geometriájában (ld.), használják az anyagok ellenállásának vizsgálatában, az elektrotechnikában és más tudományágakban. A szakirodalomban hiperbolikus függvények megnevezései is találhatók, például sinh x; cosh x; tghx.